Vectores: definiciones y conceptos básicos. Vectores para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas. Acciones sobre vectores La longitud de un vector está determinada por la igualdad.

La longitud del vector a → se denotará por a → . Esta notación es similar al módulo de un número, por lo que la longitud de un vector también se llama módulo de un vector.

Para encontrar la longitud de un vector en un plano a partir de sus coordenadas, es necesario considerar un sistema de coordenadas cartesiano rectangular O x y. Dejemos que se especifique en él algún vector a → con coordenadas a x; sí. Introduzcamos una fórmula para encontrar la longitud (módulo) del vector a → a través de las coordenadas a x y a y.

Tracemos el vector O A → = a → desde el origen. Definamos las proyecciones correspondientes del punto A sobre los ejes de coordenadas como A x y A y. Ahora considere un rectángulo O A x A A y con diagonal O A .

Del teorema de Pitágoras se sigue la igualdad O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , de donde O A = O A x 2 + O A y 2 . De la definición ya conocida de coordenadas vectoriales en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular, obtenemos que O A x 2 = a x 2 y O A y 2 = a y 2 , y por construcción, la longitud de O A es igual a la longitud del vector O A → , lo que significa O A → = O A x 2 + O A y 2.

De esto resulta que fórmula para encontrar la longitud de un vector un → = un x ; a y tiene la forma correspondiente: a → = a x 2 + a y 2 .

Si el vector a → se da en forma de expansión en vectores de coordenadas a → = a x i → + a y j →, entonces su longitud se puede calcular usando la misma fórmula a → = a x 2 + a y 2, en este caso los coeficientes a x y a y son las coordenadas del vector a → en un sistema de coordenadas dado.

Ejemplo 1

Calcula la longitud del vector a → = 7 ; e, especificado en un sistema de coordenadas rectangular.

Solución

Para encontrar la longitud de un vector, usaremos la fórmula para encontrar la longitud de un vector a partir de las coordenadas a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Respuesta: un → = 49 + mi.

Fórmula para encontrar la longitud de un vector a → = a x ; ay; a z de sus coordenadas en el sistema de coordenadas cartesiano Oxyz en el espacio, se deriva de manera similar a la fórmula para el caso en un plano (ver figura a continuación)

En este caso, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (ya que OA es la diagonal de un paralelepípedo rectangular), por lo tanto O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . A partir de la definición de coordenadas vectoriales podemos escribir las siguientes igualdades O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , y la longitud OA es igual a la longitud del vector que buscamos, por tanto, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

De ello se deduce que la longitud del vector a → = a x ; ay; a z es igual a a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Ejemplo 2

Calcula la longitud del vector a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , donde i → , j → , k → son los vectores unitarios del sistema de coordenadas rectangulares.

Solución

Se da la descomposición vectorial a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k →, sus coordenadas son a → = 4, - 3, 5. Usando la fórmula anterior obtenemos a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

Respuesta: un → = 5 2 .

Longitud de un vector a través de las coordenadas de sus puntos inicial y final.

Arriba se derivaron fórmulas que le permiten encontrar la longitud de un vector a partir de sus coordenadas. Consideramos casos en un plano y en un espacio tridimensional. Usémoslos para encontrar las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de sus puntos inicial y final.

Entonces, se dan puntos con coordenadas dadas A (a x ; a y) y B (b x ; b y), por lo tanto, el vector A B → tiene coordenadas (b x - a x ; b y - a y), lo que significa que su longitud se puede determinar mediante la fórmula: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

Y si los puntos con coordenadas dadas A (a x ; a y ; a z) y B (b x ; by ; b z) se dan en un espacio tridimensional, entonces la longitud del vector A B → se puede calcular usando la fórmula

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Ejemplo 3

Encuentre la longitud del vector A B → si en el sistema de coordenadas rectangular A 1, 3, B - 3, 1.

Solución

Usando la fórmula para encontrar la longitud de un vector a partir de las coordenadas de los puntos inicial y final en el plano, obtenemos A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

La segunda solución implica aplicar estas fórmulas a su vez: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; UN segundo → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Respuesta: UN segundo → = 20 - 2 3 .

Ejemplo 4

Determine en qué valores la longitud del vector A B → es igual a 30 si A (0, 1, 2); B (5, 2, λ2).

Solución

Primero, escribamos la longitud del vector A B → usando la fórmula: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Luego igualamos la expresión resultante a 30, de aquí encontramos el λ requerido:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 y λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Respuesta: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Encontrar la longitud de un vector usando el teorema del coseno

Lamentablemente, en los problemas no siempre se conocen las coordenadas del vector, por lo que consideraremos otras formas de encontrar la longitud del vector.

Dejemos que se den las longitudes de dos vectores A B → , A C → y el ángulo entre ellos (o el coseno del ángulo), y necesitas encontrar la longitud del vector B C → o C B → . En este caso, debes usar el teorema del coseno en el triángulo △ A B C y calcular la longitud del lado B C, que es igual a la longitud deseada del vector.

Consideremos este caso usando el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5

Las longitudes de los vectores A B → y A C → son 3 y 7, respectivamente, y el ángulo entre ellos es π 3. Calcula la longitud del vector B C → .

Solución

La longitud del vector B C → en este caso es igual a la longitud del lado B C del triángulo △ A B C . Las longitudes de los lados A B y A C del triángulo se conocen por la condición (son iguales a las longitudes de los vectores correspondientes), también se conoce el ángulo entre ellos, por lo que podemos usar el teorema del coseno: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Por lo tanto, B C → = 37 .

Respuesta: segundo C → = 37 .

Entonces, para encontrar la longitud de un vector a partir de coordenadas, existen las siguientes fórmulas a → = a x 2 + a y 2 o a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , a partir de las coordenadas de los puntos inicial y final del vector. A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 o A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, en algunos casos se debe utilizar el teorema del coseno .

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En primer lugar, debemos comprender el concepto de vector en sí. Para introducir la definición de vector geométrico, recordemos qué es un segmento. Introduzcamos la siguiente definición.

Definición 1

Un segmento es parte de una línea que tiene dos límites en forma de puntos.

Un segmento puede tener 2 direcciones. Para denotar la dirección, llamaremos a uno de los límites del segmento su comienzo y al otro límite su final. La dirección se indica desde el inicio hasta el final del segmento.

Definición 2

Un vector o segmento dirigido será un segmento del cual se sabe cuál de los límites del segmento se considera el comienzo y cuál es su final.

Designación: En dos letras: $\overline(AB)$ – (donde $A$ es su comienzo y $B$ es su final).

En una letra minúscula: $\overline(a)$ (Fig. 1).

Introduzcamos ahora directamente el concepto de longitudes de vectores.

Definición 3

La longitud del vector $\overline(a)$ será la longitud del segmento $a$.

Notación: $|\overline(a)|$

El concepto de longitud de un vector está asociado, por ejemplo, con un concepto como la igualdad de dos vectores.

Definición 4

Llamaremos iguales a dos vectores si cumplen dos condiciones: 1. Son codireccionales; 1. Sus longitudes son iguales (Fig. 2).

Para definir vectores, ingrese un sistema de coordenadas y determine las coordenadas para el vector en el sistema ingresado. Como sabemos, cualquier vector se puede descomponer en la forma $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, donde $m$ y $n$ son números reales, y $\overline (i )$ y $\overline(j)$ son vectores unitarios en los ejes $Ox$ y $Oy$, respectivamente.

Definición 5

Llamaremos a los coeficientes de expansión del vector $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ las coordenadas de este vector en el sistema de coordenadas introducido. Matemáticamente:

$\overline(c)=(m,n)$

¿Cómo encontrar la longitud de un vector?

Para derivar una fórmula para calcular la longitud de un vector arbitrario dadas sus coordenadas, considere el siguiente problema:

Ejemplo 1

Dado: vector $\overline(α)$ con coordenadas $(x,y)$. Encuentre: la longitud de este vector.

Introduzcamos un sistema de coordenadas cartesiano $xOy$ en el plano. Apartemos $\overline(OA)=\overline(a)$ de los orígenes del sistema de coordenadas introducido. Construyamos las proyecciones $OA_1$ y $OA_2$ del vector construido en los ejes $Ox$ y $Oy$, respectivamente (Fig. 3).

El vector $\overline(OA)$ que hemos construido será el vector de radio para el punto $A$, por lo tanto, tendrá coordenadas $(x,y)$, lo que significa

$=x$, $[OA_2]=y$

Ahora podemos encontrar fácilmente la longitud requerida usando el teorema de Pitágoras, obtenemos

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Respuesta: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Conclusión: Para encontrar la longitud de un vector cuyas coordenadas están dadas, es necesario encontrar la raíz del cuadrado de la suma de estas coordenadas.

Tareas de muestra

Ejemplo 2

Encuentra la distancia entre los puntos $X$ y $Y$, que tienen las siguientes coordenadas: $(-1.5)$ y $(7.3)$, respectivamente.

Dos puntos cualesquiera se pueden asociar fácilmente con el concepto de vector. Considere, por ejemplo, el vector $\overline(XY)$. Como ya sabemos, las coordenadas de dicho vector se pueden encontrar restando las coordenadas correspondientes del punto inicial ($X$) de las coordenadas del punto final ($Y$). lo entendemos

Finalmente pude tener en mis manos este extenso y tan esperado tema. geometría analítica. Primero, un poco sobre esta sección de matemáticas superiores... Seguro que ahora recuerdas algún curso escolar de geometría con numerosos teoremas, sus demostraciones, dibujos, etc. Qué ocultar, un tema poco apreciado y a menudo oscuro para una proporción significativa de estudiantes. La geometría analítica, por extraño que parezca, puede parecer más interesante y accesible. ¿Qué significa el adjetivo “analítico”? Inmediatamente me vienen a la mente dos frases matemáticas cliché: “método de solución gráfica” y “método de solución analítica”. Método gráfico, por supuesto, está asociado a la construcción de gráficos y dibujos. Analítico o método implica resolver problemas principalmente mediante operaciones algebraicas. En este sentido, el algoritmo para resolver casi todos los problemas de geometría analítica es simple y transparente, a menudo basta con aplicar cuidadosamente las fórmulas necesarias y ¡la respuesta está lista! No, por supuesto, no podremos hacer esto sin ningún dibujo y, además, para comprender mejor el material, intentaré citarlos más allá de lo necesario.

El nuevo curso de lecciones de geometría no pretende ser teóricamente completo, sino que se centra en la resolución de problemas prácticos. Incluiré en mis conferencias sólo lo que, desde mi punto de vista, es importante en términos prácticos. Si necesita ayuda más completa sobre alguna subsección, le recomiendo la siguiente literatura bastante accesible:

1) Algo con lo que, no es broma, varias generaciones están familiarizadas: Libro de texto escolar sobre geometría., autores - L.S. Atanasyan y compañía. Este colgador de vestuario escolar ya ha pasado por 20 (!) reimpresiones, lo cual, por supuesto, no es el límite.

2) Geometría en 2 volúmenes.. Autores L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Esta es literatura para la escuela secundaria, necesitarás primer volumen. Es posible que las tareas que encuentro con poca frecuencia se pierdan de vista y el tutorial será de invaluable ayuda.

Ambos libros se pueden descargar gratis en línea. Además, puede utilizar mi archivo con soluciones listas para usar, que se pueden encontrar en la página Descargar ejemplos de matemáticas superiores.

Entre las herramientas, vuelvo a proponer mi propio desarrollo: paquete de software en geometría analítica, lo que simplificará enormemente la vida y ahorrará mucho tiempo.

Se supone que el lector está familiarizado con conceptos y figuras geométricas básicas: punto, recta, plano, triángulo, paralelogramo, paralelepípedo, cubo, etc. Conviene recordar algunos teoremas, al menos el teorema de Pitágoras, hola a los repetidores)

Y ahora consideraremos secuencialmente: el concepto de vector, acciones con vectores, coordenadas vectoriales. Recomiendo leer más el artículo más importante Producto escalar de vectores, y también Vector y producto mixto de vectores.. Tampoco será superflua una tarea local: la división de un segmento en este sentido. Con base en la información anterior, puedes dominar ecuación de una recta en un plano Con ejemplos más simples de soluciones, lo que permitirá aprender a resolver problemas de geometría. Los siguientes artículos también son útiles: Ecuación de un avión en el espacio., Ecuaciones de una recta en el espacio, Problemas básicos sobre recta y plano, otros apartados de geometría analítica. Naturalmente, a lo largo del camino se tendrán en cuenta tareas estándar.

Concepto vectorial. Vector libre

Primero, repitamos la definición escolar de vector. Vector llamado dirigido un segmento para el cual se indican su inicio y final:

En este caso, el comienzo del segmento es el punto, el final del segmento es el punto. El vector en sí se denota por . Dirección es esencial, si mueves la flecha al otro extremo del segmento, obtienes un vector, y este ya está vector completamente diferente. Conviene identificar el concepto de vector con el movimiento de un cuerpo físico: debes estar de acuerdo, entrar por las puertas de un instituto o salir por las puertas de un instituto son cosas completamente diferentes.

Es conveniente considerar los puntos individuales de un plano o espacio como los llamados vector cero. Para tal vector, el final y el comienzo coinciden.

!!! Nota: Aquí y más, se puede suponer que los vectores se encuentran en el mismo plano o se puede suponer que están ubicados en el espacio; la esencia del material presentado es válida tanto para el plano como para el espacio.

Designaciones: Muchos notaron inmediatamente el palo sin flecha en la designación y dijeron: ¡también hay una flecha en la parte superior! Es cierto que puedes escribirlo con una flecha: , pero también es posible la entrada que usaré en el futuro. ¿Por qué? Aparentemente, este hábito surgió por razones prácticas: mis tiradores en la escuela y la universidad resultaron ser de tamaños demasiado diferentes y peludos. En la literatura educativa, a veces no se preocupan en absoluto por la escritura cuneiforme, sino que resaltan las letras en negrita: , lo que implica que se trata de un vector.

Eso fue estilística, y ahora sobre formas de escribir vectores:

1) Los vectores se pueden escribir con dos letras latinas mayúsculas:
etcétera. En este caso, la primera letra Necesariamente denota el punto inicial del vector y la segunda letra denota el punto final del vector.

2) Los vectores también se escriben en minúsculas latinas:
En particular, nuestro vector puede redesignarse por brevedad con una letra latina minúscula.

Longitud o módulo un vector distinto de cero se llama longitud del segmento. La longitud del vector cero es cero. Lógico.

La longitud del vector está indicada por el signo del módulo: ,

Aprenderemos a encontrar la longitud de un vector (o lo repetiremos, según quién) un poco más tarde.

Se trataba de información básica sobre vectores, familiar para todos los escolares. En geometría analítica, la llamada vector libre.

Para hacerlo mas simple - el vector se puede trazar desde cualquier punto:

Estamos acostumbrados a llamar iguales a estos vectores (la definición de vectores iguales se dará a continuación), pero desde un punto de vista puramente matemático, son el MISMO VECTOR o vector libre. ¿Por qué gratis? Porque durante la resolución de problemas, puede "adjuntar" tal o cual vector "escuela" a CUALQUIER punto del plano o espacio que necesite. ¡Esta es una característica muy interesante! Imagine un segmento dirigido de longitud y dirección arbitrarias: se puede "clonar" un número infinito de veces y en cualquier punto del espacio, de hecho, existe EN TODAS PARTES. Hay un estudiante que dice: A todo profesor le importa un carajo el vector. Después de todo, no es sólo una rima ingeniosa, todo es casi correcto: allí también se puede agregar un segmento dirigido. Pero no se apresure a alegrarse, son los propios estudiantes los que a menudo sufren =)

Entonces, vector libre- Este un montón de segmentos dirigidos idénticos. La definición escolar de vector, dada al comienzo del párrafo: “Un segmento dirigido se llama vector...” implica específico un segmento dirigido tomado de un conjunto dado, que está vinculado a un punto específico en el plano o espacio.

Cabe señalar que desde el punto de vista de la física, el concepto de vector libre es generalmente incorrecto y el punto de aplicación es importante. En efecto, un golpe directo de la misma fuerza en la nariz o en la frente, suficiente para desarrollar mi estúpido ejemplo, conlleva consecuencias diferentes. Sin embargo, no libre Los vectores también se encuentran en el curso de vyshmat (no vayas allí :)).

Acciones con vectores. Colinealidad de vectores

Un curso de geometría escolar cubre una serie de acciones y reglas con vectores: suma según la regla del triángulo, suma según la regla del paralelogramo, regla de diferencia de vectores, multiplicación de un vector por un número, producto escalar de vectores, etc. Como punto de partida, repitamos dos reglas que son especialmente relevantes para resolver problemas de geometría analítica.

La regla para sumar vectores usando la regla del triángulo.

Considere dos vectores arbitrarios distintos de cero y:

Necesitas encontrar la suma de estos vectores. Debido a que todos los vectores se consideran gratuitos, dejaremos de lado el vector de fin vector:

La suma de los vectores es el vector. Para una mejor comprensión de la regla, es aconsejable darle un significado físico: dejar que algún cuerpo viaje a lo largo del vector y luego a lo largo del vector. Entonces la suma de vectores es el vector del camino resultante con inicio en el punto de partida y final en el punto de llegada. Se formula una regla similar para la suma de cualquier número de vectores. Como dicen, el cuerpo puede seguir su camino muy inclinado en zigzag, o tal vez en piloto automático, a lo largo del vector resultante de la suma.

Por cierto, si el vector se pospone desde comenzó vector, entonces obtenemos el equivalente regla del paralelogramo suma de vectores.

Primero, sobre la colinealidad de los vectores. Los dos vectores se llaman colineal, si se encuentran en la misma recta o en rectas paralelas. En términos generales, estamos hablando de vectores paralelos. Pero en relación con ellos siempre se utiliza el adjetivo “colineal”.

Imaginemos dos vectores colineales. Si las flechas de estos vectores están dirigidas en la misma dirección, entonces dichos vectores se llaman codirigido. Si las flechas apuntan en diferentes direcciones, entonces los vectores serán direcciones opuestas.

Designaciones: la colinealidad de los vectores se escribe con el símbolo de paralelismo habitual: , mientras que es posible detallar: (los vectores están codirigidos) o (los vectores están dirigidos de manera opuesta).

La obra un vector distinto de cero en un número es un vector cuya longitud es igual a , y los vectores y están codirigidos y dirigidos de manera opuesta a .

La regla para multiplicar un vector por un número es más fácil de entender con la ayuda de una imagen:

Veámoslo con más detalle:

1 dirección. Si el multiplicador es negativo, entonces el vector cambia de dirección al contrario.

2) Longitud. Si el multiplicador está contenido dentro de o , entonces la longitud del vector disminuye. Entonces, la longitud del vector es la mitad de la longitud del vector. Si el módulo del multiplicador es mayor que uno, entonces la longitud del vector aumenta a tiempo.

3) Tenga en cuenta que todos los vectores son colineales, mientras que un vector se expresa a través de otro, por ejemplo, . Lo contrario también es cierto: si un vector se puede expresar a través de otro, entonces dichos vectores son necesariamente colineales. De este modo: si multiplicamos un vector por un número obtenemos colineal(relativo al original) vector.

4) Los vectores están codirigidos. Son vectores y también codirigidos. Cualquier vector del primer grupo tiene dirección opuesta con respecto a cualquier vector del segundo grupo.

¿Qué vectores son iguales?

Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección y la misma longitud. Tenga en cuenta que la codireccionalidad implica colinealidad de los vectores. La definición sería inexacta (redundante) si dijéramos: “Dos vectores son iguales si son colineales, codireccionales y tienen la misma longitud”.

Desde el punto de vista del concepto de vector libre, vectores iguales son el mismo vector, como se comenta en el párrafo anterior.

Coordenadas vectoriales en el plano y en el espacio.

El primer punto es considerar vectores en el plano. Representaremos un sistema de coordenadas rectangular cartesiano y lo trazaremos desde el origen de coordenadas. soltero vectores y:

Vectores y ortogonal. Ortogonal = Perpendicular. Te recomiendo que te vayas acostumbrando poco a poco a los términos: en lugar de paralelismo y perpendicularidad, utilizamos las palabras respectivamente colinealidad Y ortogonalidad.

Designación: La ortogonalidad de los vectores se escribe con el símbolo de perpendicularidad habitual, por ejemplo: .

Los vectores considerados se llaman vectores de coordenadas o ortos. Estos vectores forman base en la superficie. Creo que lo que es una base es intuitivamente claro para muchos; se puede encontrar información más detallada en el artículo. Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores En palabras simples, la base y el origen de las coordenadas definen todo el sistema; esta es una especie de base sobre la cual hierve una vida geométrica rica y plena.

A veces la base construida se llama ortonormal base del plano: “orto” - debido a que los vectores de coordenadas son ortogonales, el adjetivo “normalizado” significa unidad, es decir las longitudes de los vectores base son iguales a uno.

Designación: la base suele estar escrita entre paréntesis, dentro de los cuales en estricta secuencia Se enumeran los vectores base, por ejemplo: . Vectores de coordenadas esta prohibido reorganizar.

Cualquier vector de avion la única forma expresado como:
, Dónde - números que se llaman coordenadas vectoriales en esta base. Y la expresión misma. llamado descomposición vectorialpor base .

Cena servida:

Comencemos con la primera letra del alfabeto: . El dibujo muestra claramente que al descomponer un vector en una base se utilizan las que acabamos de comentar:
1) la regla para multiplicar un vector por un número: y ;
2) suma de vectores según la regla del triángulo: .

Ahora traza mentalmente el vector desde cualquier otro punto del plano. Es bastante obvio que su decadencia “lo seguirá implacablemente”. Aquí está la libertad del vector: el vector "lleva todo consigo". Esta propiedad, por supuesto, es válida para cualquier vector. Es curioso que los vectores básicos (libres) no tengan que trazarse desde el origen; uno puede dibujarse, por ejemplo, en la parte inferior izquierda y el otro en la parte superior derecha, ¡y nada cambiará! Es cierto que no es necesario que hagas esto, ya que el profesor también mostrará originalidad y te otorgará un "crédito" en un lugar inesperado.

Los vectores ilustran exactamente la regla para multiplicar un vector por un número, el vector es codireccional con el vector base, el vector está dirigido en dirección opuesta al vector base. Para estos vectores, una de las coordenadas es igual a cero; puedes escribirlo meticulosamente así:


Y los vectores básicos, por cierto, son así: (de hecho, se expresan a través de sí mismos).

Y finalmente: , . Por cierto, ¿qué es la resta de vectores y por qué no hablé de la regla de la resta? En algún lugar del álgebra lineal, no recuerdo dónde, noté que la resta es un caso especial de la suma. Así, las expansiones de los vectores “de” y “e” se escriben fácilmente como una suma: . Siga el dibujo para ver con qué claridad funciona la vieja suma de vectores según la regla del triángulo en estas situaciones.

La descomposición considerada de la forma. a veces llamado descomposición vectorial en el sistema ort(es decir, en un sistema de vectores unitarios). Pero esta no es la única forma de escribir un vector; la siguiente opción es común:

O con signo igual:

Los propios vectores de base se escriben de la siguiente manera: y

Es decir, las coordenadas del vector se indican entre paréntesis. En problemas prácticos se utilizan las tres opciones de notación.

Dudé si hablar, pero lo diré de todos modos: las coordenadas vectoriales no se pueden reorganizar. Estrictamente en primer lugar anotamos la coordenada que corresponde al vector unitario, estrictamente en segundo lugar anotamos la coordenada que corresponde al vector unitario. De hecho, y son dos vectores diferentes.

Descubrimos las coordenadas en el avión. Ahora veamos los vectores en el espacio tridimensional, ¡casi todo es igual aquí! Solo agregará una coordenada más. Es difícil hacer dibujos tridimensionales, así que me limitaré a un vector, que por simplicidad apartaré del origen:

Cualquier vector espacial 3D la única forma expandirse sobre una base ortonormal:
, donde están las coordenadas del vector (número) en esta base.

Ejemplo de la imagen: . Veamos cómo funcionan aquí las reglas vectoriales. Primero, multiplicando el vector por un número: (flecha roja), (flecha verde) y (flecha frambuesa). En segundo lugar, aquí hay un ejemplo de cómo sumar varios vectores, en este caso tres: . El vector suma comienza en el punto inicial de salida (inicio del vector) y termina en el punto final de llegada (fin del vector).

Todos los vectores del espacio tridimensional, naturalmente, también son libres; intenta apartar mentalmente el vector de cualquier otro punto y comprenderás que su descomposición “permanecerá con él”.

Similar al estuche plano, además de escribir. Las versiones con soportes son muy utilizadas: ya sea .

Si faltan uno (o dos) vectores de coordenadas en la expansión, se colocan ceros en su lugar. Ejemplos:
vector (meticulosamente ) - vamos a escribir ;
vector (meticulosamente ) - vamos a escribir ;
vector (meticulosamente ) - vamos a escribir .

Los vectores base se escriben de la siguiente manera:

Este, quizás, sea todo el conocimiento teórico mínimo necesario para resolver problemas de geometría analítica. Puede haber muchos términos y definiciones, por lo que recomiendo que las teteras vuelvan a leer y comprender esta información. Y será útil para cualquier lector consultar la lección básica de vez en cuando para asimilar mejor el material. Colinealidad, ortogonalidad, base ortonormal, descomposición vectorial: estos y otros conceptos se utilizarán con frecuencia en el futuro. Observo que los materiales en el sitio no son suficientes para aprobar una prueba teórica o un coloquio sobre geometría, ya que cifro cuidadosamente todos los teoremas (y sin pruebas), en detrimento del estilo científico de presentación, pero una ventaja para su comprensión de el tema. Para recibir información teórica detallada, inclínese ante el profesor Atanasyan.

Y pasamos a la parte práctica:

Los problemas más simples de geometría analítica.
Acciones con vectores en coordenadas.

Es muy recomendable aprender a resolver las tareas que se considerarán de forma totalmente automática y las fórmulas. memorizar, ni siquiera tienes que recordarlo a propósito, ellos mismos lo recordarán =) Esto es muy importante, ya que otros problemas de geometría analítica se basan en los ejemplos elementales más simples, y será molesto pasar más tiempo comiendo peones. . No es necesario que te abroches los botones superiores de la camisa, muchas cosas te son familiares en la escuela.

La presentación del material seguirá un curso paralelo, tanto para el avión como para el espacio. Porque todas las fórmulas... las verás por ti mismo.

¿Cómo encontrar un vector a partir de dos puntos?

Si se dan dos puntos del plano y, entonces el vector tiene las siguientes coordenadas:

Si se dan dos puntos en el espacio y, entonces el vector tiene las siguientes coordenadas:

Eso es, desde las coordenadas del final del vector. necesitas restar las coordenadas correspondientes comienzo del vector.

Ejercicio: Para los mismos puntos, escribe las fórmulas para encontrar las coordenadas del vector. Fórmulas al final de la lección.

Ejemplo 1

Dados dos puntos del avión y . Encuentra coordenadas vectoriales

Solución: según la fórmula correspondiente:

Alternativamente, se podría utilizar la siguiente entrada:

Los estetas decidirán esto:

Personalmente, estoy acostumbrado a la primera versión de la grabación.

Respuesta:

Según la condición, no fue necesario construir un dibujo (lo cual es típico de los problemas de geometría analítica), pero para aclarar algunos puntos para los tontos, no seré perezoso:

Definitivamente necesitas entender diferencia entre coordenadas de puntos y coordenadas vectoriales:

Coordenadas de puntos– estas son coordenadas ordinarias en un sistema de coordenadas rectangular. Creo que todo el mundo sabe cómo trazar puntos en un plano de coordenadas desde el quinto al sexto grado. Cada punto tiene un lugar estricto en el avión y no se pueden mover a ningún lado.

Las coordenadas del vector.– esta es su expansión según la base, en este caso. Cualquier vector es libre, por lo que si lo deseamos o es necesario, podemos alejarlo fácilmente de algún otro punto del plano. Es interesante que para los vectores no es necesario construir ejes ni un sistema de coordenadas rectangulares; solo se necesita una base, en este caso una base ortonormal del plano.

Los registros de coordenadas de puntos y coordenadas de vectores parecen ser similares: , y significado de coordenadas absolutamente diferente, y usted debe ser muy consciente de esta diferencia. Esta diferencia, por supuesto, también se aplica al espacio.

Damas y caballeros, llenémonos las manos:

Ejemplo 2

a) Puntos y se dan. Encuentra vectores y .
b) Se dan puntos Y . Encuentra vectores y .
c) Puntos y se dan. Encuentra vectores y .
d) Se otorgan puntos. encontrar vectores .

Quizás eso sea suficiente. Estos son ejemplos para que decidas tú mismo, intenta no descuidarlos, te saldrá bien ;-). No es necesario hacer dibujos. Soluciones y respuestas al final de la lección.

¿Qué es importante a la hora de resolver problemas de geometría analítica? Es importante tener MUCHO CUIDADO para evitar cometer el magistral error de “dos más dos es igual a cero”. Pido disculpas de inmediato si cometí un error en alguna parte =)

¿Cómo encontrar la longitud de un segmento?

La longitud, como ya se señaló, se indica mediante el signo del módulo.

Si se dan dos puntos del plano y , entonces la longitud del segmento se puede calcular usando la fórmula

Si se dan dos puntos en el espacio y, entonces la longitud del segmento se puede calcular usando la fórmula

Nota: Las fórmulas seguirán siendo correctas si se intercambian las coordenadas correspondientes: y , pero la primera opción es más estándar

Ejemplo 3

Solución: según la fórmula correspondiente:

Respuesta:

Para mayor claridad, haré un dibujo.

Segmento de línea - esto no es un vector y, por supuesto, no puedes moverlo a ningún lado. Además, si dibujas a escala: 1 unidad. = 1 cm (dos celdas de cuaderno), entonces la respuesta resultante se puede verificar con una regla normal midiendo directamente la longitud del segmento.

Sí, la solución es breve, pero hay un par de puntos más importantes que me gustaría aclarar:

En primer lugar, en la respuesta ponemos la dimensión: “unidades”. La condición no dice QUÉ es, milímetros, centímetros, metros o kilómetros. Por lo tanto, una solución matemáticamente correcta sería la formulación general: "unidades", abreviada como "unidades".

En segundo lugar, repitamos el material escolar, que es útil no sólo para la tarea considerada:

prestar atención a técnica importante – quitando el multiplicador de debajo de la raíz. Como resultado de los cálculos, tenemos un resultado y un buen estilo matemático implica eliminar el factor de debajo de la raíz (si es posible). Con más detalle, el proceso se ve así: . Por supuesto, dejar la respuesta como está no sería un error, pero sin duda sería un defecto y un argumento de peso para las objeciones por parte del profesor.

Aquí hay otros casos comunes:

A menudo la raíz produce un número bastante grande, por ejemplo. ¿Qué hacer en tales casos? Con la calculadora comprobamos si el número es divisible por 4: . Sí, estaba completamente dividido, así: . ¿O tal vez el número se pueda volver a dividir entre 4? . De este modo: . El último dígito del número es impar, por lo que dividir por 4 por tercera vez obviamente no funcionará. Intentemos dividir por nueve: . Como resultado:
Listo.

Conclusión: Si debajo de la raíz obtenemos un número que no se puede extraer en su totalidad, intentamos eliminar el factor de debajo de la raíz; usando una calculadora verificamos si el número es divisible por: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc

Al resolver varios problemas, a menudo se encuentran raíces; siempre trate de extraer factores de debajo de la raíz para evitar una calificación más baja y problemas innecesarios al finalizar sus soluciones basadas en los comentarios del profesor.

Repitamos también raíces cuadradas y otras potencias:

Las reglas para operar con potencias en forma general se pueden encontrar en un libro de texto de álgebra escolar, pero creo que por los ejemplos dados todo o casi todo ya está claro.

Tarea para solución independiente con un segmento en el espacio:

Ejemplo 4

Puntos y se dan. Encuentra la longitud del segmento.

La solución y la respuesta están al final de la lección.

¿Cómo encontrar la longitud de un vector?

Si se da un vector plano, su longitud se calcula mediante la fórmula.

Si se da un vector espacial, entonces su longitud se calcula mediante la fórmula .

Definición

Cantidad escalar- una cantidad que puede caracterizarse por un número. Por ejemplo, longitud, área, masa, temperatura, etc.

Vector llamado segmento dirigido $\overline(A B)$; el punto $A$ es el comienzo, el punto $B$ es el final del vector (Fig. 1).

Un vector se indica con dos letras mayúsculas: su principio y su final: $\overline(A B)$ o con una letra minúscula: $\overline(a)$.

Definición

Si el principio y el final de un vector coinciden, entonces dicho vector se llama cero. Muy a menudo, el vector cero se denota como $\overline(0)$.

Los vectores se llaman colineal, si se encuentran en la misma línea o en líneas paralelas (Fig. 2).

Definición

Dos vectores colineales $\overline(a)$ y $\overline(b)$ se llaman codirigido, si sus direcciones coinciden: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (Fig. 3, a). Dos vectores colineales $\overline(a)$ y $\overline(b)$ se llaman dirigido de manera opuesta, si sus direcciones son opuestas: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (Fig. 3, b).

Definición

Los vectores se llaman coplanar, si son paralelos al mismo plano o se encuentran en el mismo plano (Fig. 4).

Dos vectores son siempre coplanares.

Definición

Longitud (módulo) El vector $\overline(A B)$ es la distancia entre su principio y su final: $|\overline(A B)|$

Teoría detallada sobre la longitud del vector en el enlace.

La longitud del vector cero es cero.

Definición

Un vector cuya longitud es igual a uno se llama vector unitario o ortom.

Los vectores se llaman igual, si se encuentran en una o líneas paralelas; sus direcciones coinciden y sus longitudes son iguales.

Antes de pasar al tema del artículo, recordemos los conceptos básicos.

Definición 1

Vector– un segmento de línea recta caracterizado por un valor numérico y una dirección. Un vector se indica con una letra latina minúscula con una flecha en la parte superior. Si hay puntos límite específicos, la designación del vector se ve como dos letras latinas mayúsculas (que marcan los límites del vector) también con una flecha en la parte superior.

Definición 2

vector cero– cualquier punto del plano, designado como cero con una flecha en la parte superior.

Definición 3

Longitud del vector– un valor igual o mayor que cero que determina la longitud del segmento que conforma el vector.

Definición 4

Vectores colineales– acostado sobre una línea o sobre líneas paralelas. Los vectores que no cumplen esta condición se denominan no colineales.

Definición 5

Entrada: vectores un → Y segundo →. Para realizar una operación de suma sobre ellos, es necesario trazar un vector desde un punto arbitrario indefinido. A B →, igual al vector un →; desde el punto resultante indefinido – vector B C →, igual al vector segundo →. Al conectar los puntos indefinidos y C, obtenemos un segmento (vector) A C →, que será la suma de los datos originales. De lo contrario, el esquema de suma de vectores descrito se llama regla del triángulo.

Geométricamente, la suma de vectores se ve así:

Para vectores no colineales:

Para vectores colineales (codireccionales u opuestos):

Tomando como base el esquema descrito anteriormente, tenemos la oportunidad de realizar la operación de sumar vectores en una cantidad mayor que 2: sumando cada vector posterior por turno.

Definición 6

Entrada: vectores un → , segundo → , c →, d → . Desde un punto arbitrario A en el plano es necesario trazar un segmento (vector) igual al vector un →; luego, desde el final del vector resultante, se despide un vector igual al vector segundo →; luego, los vectores subsiguientes se disponen utilizando el mismo principio. El punto final del último vector diferido será el punto B, y el segmento resultante (vector) A B →– la suma de todos los datos iniciales. El esquema descrito para sumar varios vectores también se llama regla del polígono .

Geométricamente se ve así:

Definición 7

Un esquema de acción separado para resta de vectores no porque esencialmente una diferencia vectorial un → Y segundo → es la suma de vectores un → Y - segundo → .

Definición 8

Para realizar la acción de multiplicar un vector por un determinado número k se deben tener en cuenta las siguientes reglas:
- si k > 1, entonces este número hará que el vector se estire k veces;
- si 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1.000 veces;
- si k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- si k = 1, entonces el vector sigue siendo el mismo;
- si uno de los factores es un vector cero o un número igual a cero, el resultado de la multiplicación será un vector cero.

Datos iniciales:
1) vector un → y número k = 2;
2) vectores segundo → y número k = - 1 3 .

Geométricamente, el resultado de la multiplicación de acuerdo con las reglas anteriores se verá así:

Las operaciones con vectores descritas anteriormente tienen propiedades, algunas de las cuales son obvias, mientras que otras pueden justificarse geométricamente.

Entrada: vectores un → , segundo → , c → y números reales arbitrarios λ y μ.

Las propiedades de conmutatividad y asociatividad permiten sumar vectores en cualquier orden.

Las propiedades enumeradas de las operaciones le permiten realizar las transformaciones necesarias de expresiones vectoriales-numéricas de forma similar a las numéricas habituales. Veamos esto con un ejemplo.

Ejemplo 1

Tarea: simplifica la expresión a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Solución
- usando la segunda propiedad de distribución, obtenemos: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- utilizamos la propiedad asociativa de la multiplicación, la expresión tomará la siguiente forma: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = un → - 2 · b → - 6 un →
- usando la propiedad de conmutatividad, intercambiamos los términos: a → - 2 · b → - 6 · a → = a → - 6 · a → - 2 · b →
- luego, usando la primera propiedad de distribución obtenemos: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → Una notación corta de la solución se verá así: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Respuesta: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

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