Resolución de ecuaciones por método de sustitución conocimiento escolar. Resolver sistemas de ecuaciones mediante el método de sustitución. Resolver un sistema de ecuaciones lineales por suma

Por lo general, las ecuaciones del sistema se escriben en una columna, una debajo de la otra, y se combinan con una llave.

Un sistema de ecuaciones de este tipo, donde a B C- números, y x,y- las variables se llaman sistema de ecuaciones lineales.

Al resolver un sistema de ecuaciones se utilizan propiedades que son válidas para resolver ecuaciones.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de sustitución.

Veamos un ejemplo

1) Expresar la variable en una de las ecuaciones. Por ejemplo, expresemos y en la primera ecuación obtenemos el sistema:

2) Sustituir en la segunda ecuación del sistema en lugar de y expresión 3x-7:

3) Resuelve la segunda ecuación resultante:

4) Sustituimos la solución resultante en la primera ecuación del sistema:

Un sistema de ecuaciones tiene una solución única: un par de números. x=1, y=-4. Respuesta: (1; -4) , escrito entre paréntesis, en la primera posición el valor X, En el segundo - y.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por suma

Resolvamos el sistema de ecuaciones del ejemplo anterior. método de suma.

1) Transformar el sistema para que los coeficientes de una de las variables sean opuestos. Multipliquemos la primera ecuación del sistema por "3".

2) Sumar las ecuaciones del sistema término por término. Reescribimos la segunda ecuación del sistema (cualquiera) sin cambios.

3) Sustituimos la solución resultante en la primera ecuación del sistema:

Resolver un sistema de ecuaciones lineales gráficamente.

La solución gráfica de un sistema de ecuaciones con dos variables se reduce a encontrar las coordenadas de los puntos comunes de las gráficas de las ecuaciones.

La gráfica de una función lineal es una línea recta. Dos rectas en un plano pueden cortarse en un punto, ser paralelas o coincidir. En consecuencia, un sistema de ecuaciones puede: a) tener una solución única; b) no tienen soluciones; c) tener un número infinito de soluciones.

2) La solución del sistema de ecuaciones es el punto (si las ecuaciones son lineales) de la intersección de las gráficas.

Solución gráfica del sistema.

Método para introducir nuevas variables.

Cambiar variables puede llevar a resolver un sistema de ecuaciones más simple que el original.

Considere la solución del sistema.

Introduzcamos el reemplazo, luego

Pasemos a las variables iniciales.

Casos especiales

Sin resolver un sistema de ecuaciones lineales, puedes determinar el número de sus soluciones a partir de los coeficientes de las variables correspondientes.

Los sistemas de ecuaciones se utilizan ampliamente en el sector económico para la modelización matemática de diversos procesos. Por ejemplo, a la hora de resolver problemas de gestión y planificación de la producción, rutas logísticas (problema de transporte) o colocación de equipos.

Los sistemas de ecuaciones se utilizan no sólo en matemáticas, sino también en física, química y biología, para resolver problemas de búsqueda del tamaño de una población.

Un sistema de ecuaciones lineales son dos o más ecuaciones con varias variables para las cuales es necesario encontrar una solución común. Tal secuencia de números para la cual todas las ecuaciones se convierten en verdaderas igualdades o prueban que la secuencia no existe.

Ecuación lineal

Las ecuaciones de la forma ax+by=c se llaman lineales. Las designaciones x, y son las incógnitas cuyo valor se debe encontrar, b, a son los coeficientes de las variables, c es el término libre de la ecuación.
Resolver una ecuación graficandola se verá como una línea recta, cuyos puntos son soluciones del polinomio.

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales.

Se considera que los ejemplos más simples son sistemas de ecuaciones lineales con dos variables X e Y.

F1(x, y) = 0 y F2(x, y) = 0, donde F1,2 son funciones y (x, y) son variables de función.

Resolver sistema de ecuaciones. - esto significa encontrar valores (x, y) en los cuales el sistema se convierte en una verdadera igualdad o establecer que no existen valores adecuados de xey.

Un par de valores (x, y), escritos como las coordenadas de un punto, se denomina solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Si los sistemas tienen una solución común o no existe ninguna solución, se llaman equivalentes.

Los sistemas homogéneos de ecuaciones lineales son sistemas cuyo lado derecho es igual a cero. Si la parte derecha después del signo igual tiene un valor o se expresa mediante una función, dicho sistema es heterogéneo.

El número de variables puede ser mucho mayor que dos, entonces deberíamos hablar de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales con tres o más variables.

Ante los sistemas, los escolares suponen que el número de ecuaciones debe coincidir necesariamente con el número de incógnitas, pero no es así. El número de ecuaciones en el sistema no depende de las variables, puede haber tantas como se desee.

Métodos simples y complejos para resolver sistemas de ecuaciones.

No existe un método analítico general para resolver tales sistemas; todos los métodos se basan en soluciones numéricas. El curso de matemáticas de la escuela describe en detalle métodos como la permutación, la suma algebraica, la sustitución, así como los métodos gráficos y matriciales y la solución mediante el método gaussiano.

La tarea principal al enseñar métodos de solución es enseñar cómo analizar correctamente el sistema y encontrar el algoritmo de solución óptimo para cada ejemplo. Lo principal no es memorizar un sistema de reglas y acciones para cada método, sino comprender los principios del uso de un método en particular.

Resolver ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales en el plan de estudios de educación general de séptimo grado es bastante simple y se explica con gran detalle. En cualquier libro de texto de matemáticas, esta sección recibe suficiente atención. La resolución de ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss y Cramer se estudia con más detalle en los primeros años de educación superior.

Resolver sistemas mediante el método de sustitución.

Las acciones del método de sustitución tienen como objetivo expresar el valor de una variable en términos de la segunda. La expresión se sustituye en la ecuación restante y luego se reduce a una forma con una variable. La acción se repite dependiendo del número de incógnitas en el sistema.

Demos una solución a un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales de clase 7 usando el método de sustitución:

Como puede verse en el ejemplo, la variable x se expresó mediante F(X) = 7 + Y. La expresión resultante, sustituida en la segunda ecuación del sistema en lugar de X, ayudó a obtener una variable Y en la segunda ecuación. . Resolver este ejemplo es fácil y permite obtener el valor de Y. El último paso es comprobar los valores obtenidos.

No siempre es posible resolver un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales mediante sustitución. Las ecuaciones pueden ser complejas y expresar la variable en términos de la segunda incógnita será demasiado engorroso para realizar más cálculos. Cuando hay más de 3 incógnitas en el sistema, resolver por sustitución tampoco es apropiado.

Solución de un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas:

Solución usando suma algebraica

Cuando se buscan soluciones a sistemas utilizando el método de la suma, las ecuaciones se suman término por término y se multiplican por varios números. El objetivo final de las operaciones matemáticas es una ecuación en una variable.

La aplicación de este método requiere práctica y observación. Resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el método de la suma cuando hay 3 o más variables no es fácil. La suma algebraica es conveniente cuando las ecuaciones contienen fracciones y decimales.

Algoritmo de solución:

1. Multiplica ambos lados de la ecuación por un número determinado. Como resultado de la operación aritmética, uno de los coeficientes de la variable debería ser igual a 1.
2. Suma la expresión resultante término por término y encuentra una de las incógnitas.
3. Sustituye el valor resultante en la segunda ecuación del sistema para encontrar la variable restante.

Método de solución introduciendo una nueva variable.

Se puede introducir una nueva variable si el sistema requiere encontrar una solución para no más de dos ecuaciones; el número de incógnitas tampoco debe ser más de dos.

El método se utiliza para simplificar una de las ecuaciones introduciendo una nueva variable. La nueva ecuación se resuelve para la incógnita introducida y el valor resultante se utiliza para determinar la variable original.

El ejemplo muestra que al introducir una nueva variable t, fue posible reducir la primera ecuación del sistema a un trinomio cuadrático estándar. Puedes resolver un polinomio encontrando el discriminante.

Es necesario encontrar el valor del discriminante utilizando la conocida fórmula: D = b2 - 4*a*c, donde D es el discriminante deseado, b, a, c son los factores del polinomio. En el ejemplo dado, a=1, b=16, c=39, por lo tanto D=100. Si el discriminante es mayor que cero, entonces hay dos soluciones: t = -b±√D / 2*a, si el discriminante es menor que cero, entonces hay una solución: x = -b / 2*a.

La solución de los sistemas resultantes se encuentra mediante el método de la suma.

Método visual para resolver sistemas.

Adecuado para sistemas de 3 ecuaciones. El método consiste en construir gráficas de cada ecuación incluida en el sistema sobre el eje de coordenadas. Las coordenadas de los puntos de intersección de las curvas serán la solución general del sistema.

El método gráfico tiene varios matices. Veamos varios ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de forma visual.

Como se puede ver en el ejemplo, para cada línea se construyeron dos puntos, los valores de la variable x se eligieron arbitrariamente: 0 y 3. Con base en los valores de x, se encontraron los valores de y: 3 y 0. Los puntos con coordenadas (0, 3) y (3, 0) se marcaron en el gráfico y se conectaron mediante una línea.

Los pasos deben repetirse para la segunda ecuación. El punto de intersección de las rectas es la solución del sistema.

El siguiente ejemplo requiere encontrar una solución gráfica a un sistema de ecuaciones lineales: 0,5x-y+2=0 y 0,5x-y-1=0.

Como se puede ver en el ejemplo, el sistema no tiene solución, porque las gráficas son paralelas y no se cruzan en toda su longitud.

Los sistemas de los ejemplos 2 y 3 son similares, pero cuando se construyen resulta obvio que sus soluciones son diferentes. Cabe recordar que no siempre es posible decir si un sistema tiene solución o no, siempre es necesario construir una gráfica.

La matriz y sus variedades.

Las matrices se utilizan para escribir de forma concisa un sistema de ecuaciones lineales. Una matriz es un tipo especial de tabla llena de números. n*m tiene n - filas ym - columnas.

Una matriz es cuadrada cuando el número de columnas y filas es igual. Una matriz-vector es una matriz de una columna con un número infinito de filas. Una matriz con unos a lo largo de una de las diagonales y otros elementos cero se llama identidad.

Una matriz inversa es una matriz que cuando se multiplica por la cual la original se convierte en una matriz unitaria; dicha matriz existe solo para la matriz cuadrada original.

Reglas para convertir un sistema de ecuaciones en una matriz.

En relación con los sistemas de ecuaciones, los coeficientes y los términos libres de las ecuaciones se escriben como números matriciales; una ecuación es una fila de la matriz.

Se dice que una fila de una matriz es distinta de cero si al menos un elemento de la fila es distinto de cero. Por lo tanto, si en alguna de las ecuaciones el número de variables difiere, entonces es necesario ingresar cero en lugar de la incógnita que falta.

Las columnas de la matriz deben corresponder estrictamente a las variables. Esto significa que los coeficientes de la variable x se pueden escribir solo en una columna, por ejemplo en la primera, el coeficiente de la desconocida y solo en la segunda.

Al multiplicar una matriz, todos los elementos de la matriz se multiplican secuencialmente por un número.

Opciones para encontrar la matriz inversa.

La fórmula para encontrar la matriz inversa es bastante simple: K -1 = 1 / |K|, donde K -1 es la matriz inversa y |K| es el determinante de la matriz. |K| no debe ser igual a cero, entonces el sistema tiene solución.

El determinante se calcula fácilmente para una matriz de dos por dos; sólo necesitas multiplicar los elementos de la diagonal entre sí. Para la opción “tres por tres”, existe una fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 segundo 2 do 1 . Puede usar la fórmula o recordar que debe tomar un elemento de cada fila y de cada columna para que los números de columnas y filas de elementos no se repitan en el trabajo.

Resolver ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales usando el método matricial.

El método matricial para encontrar una solución le permite reducir las entradas engorrosas al resolver sistemas con una gran cantidad de variables y ecuaciones.

En el ejemplo, a nm son los coeficientes de las ecuaciones, la matriz es un vector x n son variables y b n son términos libres.

Resolver sistemas mediante el método gaussiano.

En matemáticas superiores, el método gaussiano se estudia junto con el método de Cramer, y el proceso de encontrar soluciones a sistemas se denomina método de solución de Gauss-Cramer. Estos métodos se utilizan para encontrar variables de sistemas con una gran cantidad de ecuaciones lineales.

El método de Gauss es muy similar a las soluciones por sustitución y suma algebraica, pero es más sistemático. En el curso escolar se utiliza la solución por el método gaussiano para sistemas de 3 y 4 ecuaciones. El objetivo del método es reducir el sistema a la forma de un trapezoide invertido. Mediante transformaciones y sustituciones algebraicas se encuentra el valor de una variable en una de las ecuaciones del sistema. La segunda ecuación es una expresión con 2 incógnitas, mientras que 3 y 4 son, respectivamente, con 3 y 4 variables.

Después de llevar el sistema a la forma descrita, la solución adicional se reduce a la sustitución secuencial de variables conocidas en las ecuaciones del sistema.

En los libros de texto escolares para el séptimo grado, un ejemplo de una solución mediante el método de Gauss se describe a continuación:

Como se puede ver en el ejemplo, en el paso (3) se obtuvieron dos ecuaciones: 3x 3 -2x 4 =11 y 3x 3 +2x 4 =7. Resolver cualquiera de las ecuaciones te permitirá encontrar una de las variables x n.

El teorema 5, que se menciona en el texto, establece que si una de las ecuaciones del sistema se reemplaza por una equivalente, entonces el sistema resultante también será equivalente al original.

El método gaussiano es difícil de entender para los estudiantes de secundaria, pero es una de las formas más interesantes de desarrollar el ingenio de los niños matriculados en programas de aprendizaje avanzado en clases de matemáticas y física.

Para facilitar el registro, los cálculos generalmente se realizan de la siguiente manera:

Los coeficientes de las ecuaciones y términos libres se escriben en forma de matriz, donde cada fila de la matriz corresponde a una de las ecuaciones del sistema. separa el lado izquierdo de la ecuación del derecho. Los números romanos indican el número de ecuaciones del sistema.

Primero se escribe la matriz a trabajar, luego todas las acciones realizadas con una de las filas. La matriz resultante se escribe después del signo de "flecha" y se continúan las operaciones algebraicas necesarias hasta lograr el resultado.

El resultado debe ser una matriz en la que una de las diagonales sea igual a 1 y todos los demás coeficientes sean iguales a cero, es decir, la matriz se reduce a una forma unitaria. No debemos olvidarnos de realizar cálculos con números a ambos lados de la ecuación.

Este método de grabación es menos engorroso y permite no distraerse enumerando numerosas incógnitas.

El uso gratuito de cualquier método de solución requerirá cuidado y cierta experiencia. No todos los métodos son de naturaleza aplicada. Algunos métodos para encontrar soluciones son más preferibles en un área particular de la actividad humana, mientras que otros existen con fines educativos.

Mantener su privacidad es importante para nosotros. Por este motivo, hemos desarrollado una Política de Privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Revise nuestras prácticas de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.

Recopilación y uso de información personal.

La información personal se refiere a datos que pueden usarse para identificar o contactar a una persona específica.

Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.

A continuación se muestran algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.

Qué información personal recopilamos:

• Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar diversa información, incluido su nombre, número de teléfono, dirección de correo electrónico, etc.

Cómo usamos tu información personal:

• La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted con ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
• De vez en cuando, podemos utilizar su información personal para enviar avisos y comunicaciones importantes.
• También podemos utilizar información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos e investigaciones diversas para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
• Si participa en un sorteo de premios, concurso o promoción similar, podremos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.

Divulgación de información a terceros

No revelamos la información que recibimos de usted a terceros.

Excepciones:

• Si es necesario, de conformidad con la ley, un procedimiento judicial, en procedimientos legales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de autoridades gubernamentales en el territorio de la Federación de Rusia, revelar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada para fines de seguridad, cumplimiento de la ley u otros fines de importancia pública.
• En caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.

Protección de información personal

Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal contra pérdida, robo y uso indebido, así como contra acceso no autorizado, divulgación, alteración y destrucción.

Respetando su privacidad a nivel de empresa

Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos estándares de privacidad y seguridad a nuestros empleados y aplicamos estrictamente las prácticas de privacidad.

En este caso, es conveniente expresar x en términos de y de la segunda ecuación del sistema y sustituir la expresión resultante en lugar de x en la primera ecuación:

La primera ecuación es una ecuación con una variable y. Resolvámoslo:

5(7-3 años)-2 años = -16

Sustituimos el valor de y resultante en la expresión de x:

Respuesta: (-2; 3).

En este sistema, es más fácil expresar y en términos de x de la primera ecuación y sustituir la expresión resultante en lugar de y en la segunda ecuación:

La segunda ecuación es una ecuación con una variable x. Resolvámoslo:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

En la expresión para y, en lugar de x, sustituimos x=1 y encontramos y:

Respuesta: (1; -5).

Aquí es más conveniente expresar y en términos de x de la segunda ecuación (ya que dividir entre 10 es más fácil que dividir entre 4, -9 o 3):

Resolvamos la primera ecuación:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

Sustituye x=2 y encuentra y:

Respuesta: (2; 1).

Antes de aplicar el método de sustitución, conviene simplificar este sistema. Ambos lados de la primera ecuación se pueden multiplicar por el mínimo común denominador, en la segunda ecuación abrimos los paréntesis y presentamos términos similares:

Obtuvimos un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. Ahora apliquemos la sustitución. Es conveniente expresar de a a b a partir de la segunda ecuación:

Resolvemos la primera ecuación del sistema:

3(21,5 + 2,5b) – 7b = 63

Queda por encontrar el valor de a:

De acuerdo con las reglas de formato, escribimos la respuesta entre paréntesis separada por punto y coma en orden alfabético.

Respuesta: (14; -3).

A la hora de expresar una variable a través de otra, a veces es más conveniente dejarla con un determinado coeficiente.

Analicemos dos tipos de soluciones a sistemas de ecuaciones:

1. Resolver el sistema mediante el método de sustitución.
2. Resolver el sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema.

Para resolver el sistema de ecuaciones. por método de sustitución debes seguir un algoritmo simple:
1. Expresar. De cualquier ecuación expresamos una variable.
2. Sustituto. Sustituimos el valor resultante en otra ecuación en lugar de la variable expresada.
3. Resuelve la ecuación resultante con una variable. Encontramos una solución al sistema.

Resolver sistema por método de suma (resta) término por término Necesitar:
1. Seleccione una variable para la cual haremos coeficientes idénticos.
2. Sumamos o restamos ecuaciones, lo que da como resultado una ecuación con una variable.
3. Resuelve la ecuación lineal resultante. Encontramos una solución al sistema.

La solución del sistema son los puntos de intersección de las gráficas de funciones.

Consideremos en detalle la solución de sistemas usando ejemplos.

Ejemplo 1:

Resolvamos por el método de sustitución.

Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.

2x+5y=1 (1 ecuación)
x-10y=3 (segunda ecuación)

1. expreso
Se puede ver que en la segunda ecuación hay una variable x con un coeficiente de 1, lo que significa que es más fácil expresar la variable x de la segunda ecuación.
x=3+10y

2.Después de haberlo expresado, sustituimos 3+10y en la primera ecuación en lugar de la variable x.
2(3+10y)+5y=1

3. Resuelve la ecuación resultante con una variable.
2(3+10y)+5y=1 (abre los corchetes)
6+20y+5y=1
25 años=1-6
25 años=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

La solución del sistema de ecuaciones son los puntos de intersección de las gráficas, por lo tanto necesitamos encontrar x e y, porque el punto de intersección consta de x e y, encontremos x, en el primer punto donde lo expresamos sustituimos y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Se acostumbra escribir puntos en primer lugar escribimos la variable x, y en segundo lugar la variable y.
Respuesta: (1; -0,2)

Ejemplo #2:

Resolvamos usando el método de suma (resta) término por término.

Resolver un sistema de ecuaciones usando el método de la suma.

3x-2y=1 (1 ecuación)
2x-3y=-10 (segunda ecuación)

1. Elegimos una variable, digamos que elegimos x. En la primera ecuación, la variable x tiene un coeficiente de 3, en la segunda - 2. Necesitamos igualar los coeficientes, para ello tenemos derecho a multiplicar las ecuaciones o dividir por cualquier número. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 y obtenemos un coeficiente total de 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Resta la segunda de la primera ecuación para eliminar la variable x y resuelve la ecuación lineal.
__6x-4y=2

5 años=32 | :5
y=6.4

3. Encuentra x. Sustituimos la y encontrada en cualquiera de las ecuaciones, digamos en la primera ecuación.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13,8 |:3
x=4.6

El punto de intersección será x=4,6; y=6,4
Respuesta: (4.6; 6.4)

¿Quieres prepararte para los exámenes gratis? Tutor en línea gratis. En serio.