Ecuación del lado ab. Dadas las coordenadas de los vértices del triángulo.

Problema 1. Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC están dadas: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Encuentre: 1) la longitud del lado AB; 2) ecuaciones de los lados AB y BC y sus coeficientes angulares; 3) ángulo B en radianes con una precisión de dos dígitos; 4) ecuación de la altura CD y su longitud; 5) la ecuación de la mediana AE y las coordenadas del punto K de intersección de esta mediana con la altura CD; 6) la ecuación de una línea recta que pasa por el punto K paralela al lado AB; 7) coordenadas del punto M, ubicado simétricamente al punto A con respecto a la recta CD.

Solución:

1. La distancia d entre los puntos A(x 1,y 1) y B(x 2,y 2) está determinada por la fórmula

Aplicando (1), encontramos la longitud del lado AB:

2. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(x 1,y 1) y B(x 2,y 2) tiene la forma

(2)

Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en (2), obtenemos la ecuación del lado AB:

Habiendo resuelto la última ecuación para y, encontramos la ecuación del lado AB en forma de ecuación en línea recta con un coeficiente angular:

dónde

Sustituyendo las coordenadas de los puntos B y C en (2), obtenemos la ecuación de la recta BC:

O

3. Se sabe que la tangente del ángulo entre dos rectas, cuyos coeficientes angulares son respectivamente iguales, se calcula mediante la fórmula

(3)

El ángulo B deseado está formado por las rectas AB y BC, cuyos coeficientes angulares se encuentran: Aplicando (3), obtenemos

O contento.

4. La ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado en una dirección determinada tiene la forma

(4)

La altura CD es perpendicular al lado AB. Para encontrar la pendiente de la altura CD, usamos la condición de perpendicularidad de las rectas. Desde entonces Sustituyendo en (4) las coordenadas del punto C y el coeficiente angular de altura encontrado, obtenemos

Para encontrar la longitud de la altura CD, primero determinamos las coordenadas del punto D, el punto de intersección de las líneas rectas AB y CD. Resolviendo el sistema juntos:

encontramos es decir D(8;0).

Usando la fórmula (1) encontramos la longitud de la altura CD:

5. Para encontrar la ecuación de la mediana AE, primero determinamos las coordenadas del punto E, que es el medio del lado BC, usando las fórmulas para dividir un segmento en dos partes iguales:

(5)

Por eso,

Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y E en (2), encontramos la ecuación de la mediana:

Para encontrar las coordenadas del punto de intersección de la altura CD y la mediana AE, resolvemos juntos el sistema de ecuaciones.

Encontramos.

6. Dado que la recta deseada es paralela al lado AB, su coeficiente angular será igual al coeficiente angular de la recta AB. Sustituyendo en (4) las coordenadas del punto K encontrado y el coeficiente angular obtenemos

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Dado que la recta AB es perpendicular a la recta CD, el punto deseado M, ubicado simétricamente al punto A con respecto a la recta CD, se encuentra sobre la recta AB. Además, el punto D es el punto medio del segmento AM. Usando las fórmulas (5), encontramos las coordenadas del punto deseado M:

El triángulo ABC, la altura CD, la mediana AE, la recta KF y el punto M se construyen en el sistema de coordenadas xOy de la figura. 1.

Tarea 2. Cree una ecuación para el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un punto dado A(4; 0) y a una recta dada x=1 sean iguales a 2.

Solución:

En el sistema de coordenadas xOy, construimos el punto A(4;0) y la línea recta x = 1. Sea M(x;y) un punto arbitrario de la ubicación geométrica deseada de los puntos. Bajemos la perpendicular MB a la línea dada x = 1 y determinemos las coordenadas del punto B. Dado que el punto B se encuentra en la línea dada, su abscisa es igual a 1. La ordenada del punto B es igual a la ordenada del punto M Por lo tanto, B(1;y) (Fig. 2).

Según las condiciones del problema |MA|: |MV| = 2. Distancias |MA| y |MB| encontramos de la fórmula (1) del problema 1:

Al elevar al cuadrado los lados izquierdo y derecho, obtenemos

La ecuación resultante es una hipérbola en la que el semieje real es a = 2 y el semieje imaginario es

Definamos los focos de una hipérbola. Para una hipérbola, la igualdad se satisface. Por lo tanto, y – trucos de hipérbole. Como puedes ver, el punto dado A(4;0) es el foco derecho de la hipérbola.

Determinemos la excentricidad de la hipérbola resultante:

Las ecuaciones de las asíntotas de hipérbola tienen la forma y . Por tanto, o y son asíntotas de una hipérbola. Antes de construir una hipérbola, construimos sus asíntotas.

Problema 3. Crea una ecuación para el lugar geométrico de los puntos equidistantes del punto A(4; 3) y la línea recta y = 1. Reduce la ecuación resultante a su forma más simple.

Solución: Sea M(x; y) uno de los puntos del lugar geométrico de puntos deseado. Dejemos caer la perpendicular MB desde el punto M a esta recta y = 1 (Fig. 3). Determinemos las coordenadas del punto B. Obviamente, la abscisa del punto B es igual a la abscisa del punto M, y la ordenada del punto B es igual a 1, es decir B(x; 1). Según las condiciones del problema |MA|=|MV|. En consecuencia, para cualquier punto M(x;y) que pertenezca al lugar geométrico deseado de puntos, se cumple la siguiente igualdad:

La ecuación resultante define una parábola con un vértice en el punto. Para llevar la ecuación de la parábola a su forma más simple, establezcamos y y + 2 = Y, entonces la ecuación de la parábola toma la forma:

Un ejemplo de resolución de algunas tareas del trabajo estándar "Geometría analítica en un plano"

Los vértices están dados,
,
triángulo ABC. Encontrar:

Ecuaciones de todos los lados de un triángulo;

Sistema de desigualdades lineales que definen un triángulo. A B C;

Ecuaciones de altitud, mediana y bisectriz de un triángulo dibujado desde el vértice A;

El punto de intersección de las altitudes del triángulo;

El punto de intersección de las medianas del triángulo;

Longitud de la altura bajada hacia un lado. AB;

Esquina A;

Haz un dibujo.

Sean los vértices del triángulo las coordenadas: A (1; 4), EN (5; 3), CON(3; 6). Hagamos un dibujo de inmediato:

1. Para escribir las ecuaciones de todos los lados de un triángulo, usamos la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados con coordenadas ( X 0 , y 0 ) Y ( X 1 , y 1 ):

=

Por lo tanto, sustituyendo en lugar de ( X 0 , y 0 ) coordenadas de puntos A, y en lugar de ( X 1 , y 1 ) coordenadas de puntos EN, obtenemos la ecuación de la recta AB:

La ecuación resultante será la ecuación de la recta. AB, escrito en forma general. De manera similar, encontramos la ecuación de la línea recta. C.A.:

Y también la ecuación de la recta. Sol:

2. Observa que el conjunto de puntos del triángulo A B C representa la intersección de tres semiplanos, y cada semiplano se puede definir mediante una desigualdad lineal. Si tomamos la ecuación de cualquiera de los lados ∆ A B C, Por ejemplo AB, entonces las desigualdades

Y

definir puntos que se encuentran en lados opuestos de una línea AB. Necesitamos elegir el semiplano donde se encuentra el punto C. Sustituyamos sus coordenadas en ambas desigualdades:

La segunda desigualdad será correcta, lo que significa que los puntos requeridos están determinados por la desigualdad.

.

Hacemos lo mismo con la recta BC, su ecuación
. Usamos el punto A (1, 1) como punto de prueba:

Esto significa que la desigualdad requerida tiene la forma:

.

Si comprobamos la recta AC (punto de prueba B), obtenemos:

Esto significa que la desigualdad requerida tendrá la forma

Finalmente obtenemos un sistema de desigualdades:

Los signos “≤”, “≥” significan que los puntos que se encuentran en los lados del triángulo también están incluidos en el conjunto de puntos que forman el triángulo. A B C.

3. a) Para encontrar la ecuación de la altura caída desde el vértice A por el lado Sol, considere la ecuación del lado Sol:
. Vector con coordenadas
perpendicular al lado Sol y por tanto paralelo a la altura. Escribamos la ecuación de una recta que pasa por un punto. A paralelo al vector
:

Esta es la ecuación para la altura omitida en t. A por el lado Sol.

b) Encuentra las coordenadas del medio del lado. Sol según las fórmulas:

Aquí
– estas son las coordenadas de t. EN, A
– coordenadas t. CON. Sustituyamos y obtenemos:

La recta que pasa por este punto y el punto A es la mediana requerida:

c) Buscaremos la ecuación de la bisectriz basándonos en que en un triángulo isósceles la altura, la mediana y la bisectriz que descienden de un vértice a la base del triángulo son iguales. Encontremos dos vectores.
Y
y sus longitudes:

Entonces el vector
tiene la misma dirección que el vector
, y su longitud
Asimismo, el vector unitario
coincide en dirección con el vector
Suma vectorial

hay un vector que coincide en dirección con la bisectriz del ángulo A. Por tanto, la ecuación de la bisectriz deseada se puede escribir como:

4) Ya hemos construido la ecuación para una de las alturas. Construyamos una ecuación para otra altura, por ejemplo, desde el vértice. EN. Lado C.A. dado por la ecuación
Entonces el vector
perpendicular C.A., y por lo tanto paralelo a la altura deseada. Entonces la ecuación de la recta que pasa por el vértice EN en la dirección del vector
(es decir, perpendicular C.A.), tiene la forma:

Se sabe que las alturas de un triángulo se cortan en un punto. En particular, este punto es la intersección de las alturas encontradas, es decir resolviendo el sistema de ecuaciones:

- coordenadas de este punto.

5. Medio AB tiene coordenadas
. Escribamos la ecuación de la mediana al lado. AB. Esta recta pasa por puntos con coordenadas (3, 2) y (3, 6), lo que significa que su ecuación tiene la forma:

Tenga en cuenta que un cero en el denominador de una fracción en la ecuación de una línea recta significa que esta línea recta corre paralela al eje de ordenadas.

Para encontrar el punto de intersección de las medianas, basta con resolver el sistema de ecuaciones:

El punto de intersección de las medianas de un triángulo tiene coordenadas.
.

6. Longitud de la altura bajada hacia un lado. AB, igual a la distancia desde el punto CON a una línea recta AB con ecuación
y se encuentra mediante la fórmula:

7. Coseno del ángulo A se puede encontrar usando la fórmula para el coseno del ángulo entre vectores Y , que es igual a la relación entre el producto escalar de estos vectores y el producto de sus longitudes:

.

En los problemas 1 al 20 se dan los vértices del triángulo ABC.
Encuentre: 1) la longitud del lado AB; 2) ecuaciones de los lados AB y AC y sus coeficientes angulares; 3) Ángulo interno A en radianes con una precisión de 0,01; 4) ecuación para la altura del CD y su longitud; 5) la ecuación de un círculo cuya altura CD es el diámetro; 6) un sistema de desigualdades lineales que definen el triángulo ABC.

Longitud de los lados del triángulo:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|antes de Cristo| = 14,14
Distancia d desde el punto M: d = 10
Las coordenadas de los vértices del triángulo están dadas: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Longitud de los lados del triángulo.
La distancia d entre los puntos M 1 (x 1 ; y 1) y M 2 (x 2 ; y 2) está determinada por la fórmula:

8) Ecuación de una recta
Una línea recta que pasa por los puntos A 1 (x 1 ; y 1) y A 2 (x 2 ; y 2) está representada por las ecuaciones:

Ecuación de la recta AB


o

o
y = -3 / 4 x -7 / 4 o 4y + 3x +7 = 0
Ecuación de la línea AC
Ecuación canónica de la recta:

o

o
y = 1 / 2 x + 9 / 2 o 2y -x - 9 = 0
Ecuación de la línea BC
Ecuación canónica de la recta:

o

o
y = -7x + 42 o y + 7x - 42 = 0
3) Ángulo entre rectas
Ecuación de la recta AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Ecuación lineal AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
El ángulo φ entre dos rectas, dado por ecuaciones con coeficientes angulares y = k 1 x + b 1 e y 2 = k 2 x + b 2, se calcula mediante la fórmula:

Las pendientes de estas rectas son -3/4 y 1/2. Usemos la fórmula y tomemos su módulo del lado derecho:

tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 o 1,107 rad.
9) Ecuación de altura a través del vértice C
La recta que pasa por el punto N 0 (x 0 ;y 0) y es perpendicular a la recta Ax + By + C = 0 tiene un vector director (A;B) y, por tanto, está representada por las ecuaciones:



Esta ecuación se puede encontrar de otra manera. Para ello, encontremos la pendiente k 1 de la recta AB.
Ecuación AB: y = -3 / 4 x -7 / 4, es decir k 1 = -3 / 4
Encontremos el coeficiente angular k de la perpendicular a partir de la condición de perpendicularidad de dos rectas: k 1 *k = -1.
Sustituyendo la pendiente de esta recta en lugar de k 1, obtenemos:
-3/4 k = -1, de donde k = 4/3
Como la perpendicular pasa por el punto C(5,7) y tiene k = 4 / 3, buscaremos su ecuación en la forma: y-y 0 = k(x-x 0).
Sustituyendo x 0 = 5, k = 4 / 3, y 0 = 7 obtenemos:
y-7 = 4/3 (x-5)
o
y = 4 / 3 x + 1 / 3 o 3y -4x - 1 = 0
Encontremos el punto de intersección con la recta AB:
Tenemos un sistema de dos ecuaciones:
4y + 3x +7 = 0
3 años -4x - 1 = 0
De la primera ecuación expresamos y y la sustituimos en la segunda ecuación.
Obtenemos:
x = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) Longitud de la altitud del triángulo dibujado desde el vértice C
La distancia d desde el punto M 1 (x 1 ;y 1) a la recta Ax + By + C = 0 es igual al valor absoluto de la cantidad:

Encuentra la distancia entre el punto C(5;7) y la recta AB (4y + 3x +7 = 0)


La longitud de la altura se puede calcular usando otra fórmula, como la distancia entre el punto C(5;7) y el punto D(-1;-1).
La distancia entre dos puntos se expresa en términos de coordenadas mediante la fórmula:

5) la ecuación de un círculo cuya altura CD es el diámetro;
La ecuación de una circunferencia de radio R con centro en el punto E(a;b) tiene la forma:
(xa) 2 + (yb) 2 = R 2
Dado que CD es el diámetro del círculo deseado, su centro E es el punto medio del segmento CD. Usando las fórmulas para dividir un segmento por la mitad, obtenemos:


Por lo tanto, E(2;3) y R = CD / 2 = 5. Usando la fórmula, obtenemos la ecuación del círculo deseado: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) un sistema de desigualdades lineales que definen el triángulo ABC.
Ecuación de la recta AB: y = -3/4 x -7/4
Ecuación de la recta AC: y = 1/2 x + 9/2
Ecuación de la recta BC: y = -7x + 42