Sistemas de ecuaciones diferenciales, métodos de integración. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones diferenciales mediante el método operacional? Soluciones particulares de un sistema de ecuaciones diferenciales.

Muchos sistemas de ecuaciones diferenciales, tanto homogéneos como no homogéneos, se pueden reducir a una ecuación para una función desconocida. Demostremos el método con ejemplos.

Ejemplo 3.1. resolver el sistema

Solución. 1) Diferenciar por t primera ecuación y usando la segunda y tercera ecuaciones para reemplazar Y , encontramos

Diferenciamos la ecuación resultante con respecto a de nuevo

1) Creamos un sistema

De las dos primeras ecuaciones del sistema expresamos las variables Y a través de
:

Sustituyamos las expresiones encontradas por Y en la tercera ecuación del sistema

Entonces, para encontrar la función
obtuvo una ecuación diferencial de tercer orden con coeficientes constantes

.

2) Integramos la última ecuación usando el método estándar: componemos la ecuación característica
, encuentra sus raíces
y construir una solución general en forma de combinación lineal de exponenciales, teniendo en cuenta la multiplicidad de una de las raíces :.

3) Siguiente para encontrar las dos funciones restantes.
Y
, derivamos la función resultante dos veces

Usando conexiones (3.1) entre las funciones del sistema, restauramos las incógnitas restantes.

.

Respuesta. ,
,.

Puede resultar que todas las funciones conocidas excepto una queden excluidas del sistema de tercer orden incluso con una única diferenciación. En este caso, el orden de la ecuación diferencial para encontrarla será menor que el número de funciones desconocidas en el sistema original.

Ejemplo 3.2. Integrar el sistema

(3.2)

Solución. 1) Diferenciar por la primera ecuación, encontramos

Excluyendo variables Y de ecuaciones

tendremos una ecuación de segundo orden con respecto a

(3.3)

2) De la primera ecuación del sistema (3.2) tenemos

(3.4)

Sustituyendo en la tercera ecuación del sistema (3.2) las expresiones encontradas (3.3) y (3.4) para Y , obtenemos una ecuación diferencial de primer orden para determinar la función

Integrando esta ecuación no homogénea con coeficientes constantes de primer orden, encontramos
Usando (3.4), encontramos la función

Respuesta.
,,
.

Tarea 3.1. Resolver sistemas homogéneos reduciéndolos a una ecuación diferencial.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes encontrando un sistema fundamental de soluciones.

La solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas se puede encontrar como una combinación lineal de las soluciones fundamentales del sistema. En el caso de sistemas con coeficientes constantes, se pueden utilizar métodos de álgebra lineal para encontrar soluciones fundamentales.

Ejemplo 3.3. resolver el sistema

(3.5)

Solución. 1) Reescribamos el sistema en forma matricial.

. (3.6)

2) Buscaremos una solución fundamental del sistema en forma de vector.
. Funciones de sustitución
en (3.6) y reduciendo por , obtenemos

, (3.7)

ese es el numero debe ser un valor propio de la matriz
, y el vector el vector propio correspondiente.

3) Del curso de álgebra lineal se sabe que el sistema (3.7) tiene una solución no trivial si su determinante es igual a cero

,

eso es . A partir de aquí encontramos los valores propios.
.

4) Encuentre los vectores propios correspondientes. Sustituyendo el primer valor en (3.7)
, obtenemos un sistema para encontrar el primer vector propio

De aquí obtenemos la conexión entre las incógnitas.
. Nos basta con elegir una solución no trivial. Creyendo
, Entonces
, es decir, el vector es propio del valor propio
, y el vector de función
solución fundamental de un sistema dado de ecuaciones diferenciales (3.5). De manera similar, al sustituir la segunda raíz
en (3.7) tenemos una ecuación matricial para el segundo vector propio
. ¿De dónde obtenemos la conexión entre sus componentes?
. Así, tenemos la segunda solución fundamental.

.

5) La solución general del sistema (3.5) se construye como una combinación lineal de las dos soluciones fundamentales obtenidas.

o en forma de coordenadas

.

Respuesta.

.

Tarea 3.2. Resolver sistemas encontrando el sistema fundamental de soluciones.

Un sistema de este tipo se llama sistema normal de ecuaciones diferenciales (SNDU). Para un sistema normal de ecuaciones diferenciales, podemos formular un teorema sobre existencia y unicidad, igual que para una ecuación diferencial.

Teorema. Si las funciones están definidas y son continuas en un conjunto abierto, y las derivadas parciales correspondientes también son continuas, entonces el sistema (1) tendrá una solución (2)

y en presencia de condiciones iniciales (3)

esta solución será la única.

Este sistema se puede representar como:

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

Definición. El sistema de ecuaciones diferenciales se llama lineal , si es lineal con respecto a todas las funciones desconocidas y sus derivadas.

(5)

Vista general del sistema de Ecuaciones Diferenciales.

Si se da la condición inicial: , (7)

entonces la solución será única, siempre que la función vectorial sea continua y los coeficientes de la matriz también sean funciones continuas.

Introduzcamos un operador lineal, luego (6) se puede reescribir como:

si entonces la ecuación del operador (8) se llama homogéneo y tiene la forma:

Dado que el operador es lineal, se satisfacen las siguientes propiedades:

resolviendo la ecuación (9).

Consecuencia. Combinación lineal, solución (9).

Si se dan las soluciones (9) y son linealmente independientes, entonces todas las combinaciones lineales de la forma: (10) sólo bajo la condición de que todas. Esto significa que el determinante compuesto por soluciones (10):

. Este determinante se llama El determinante de Vronsky para un sistema de vectores.

Teorema 1. Si el determinante de Wronski para un sistema lineal homogéneo (9) con coeficientes continuos en un intervalo es igual a cero al menos en un punto, entonces las soluciones dependen linealmente de este intervalo y, por tanto, el determinante de Wronski es igual a cero en todo el intervalo.

Prueba: Como son continuos, el sistema (9) satisface la condición Teoremas de existencia y unicidad, por tanto, la condición inicial determina la solución única del sistema (9). El determinante de Wronski en un punto es igual a cero, por lo tanto, existe un sistema no trivial para el cual se cumple lo siguiente: La combinación lineal correspondiente para otro punto tendrá la forma y satisface condiciones iniciales homogéneas, por lo tanto, coincide con la solución trivial, es decir, linealmente dependiente y el determinante de Wronski es igual a cero.

Definición. El conjunto de soluciones del sistema (9) se llama sistema fundamental de soluciones sobre si el determinante de Wronski no desaparece en ningún punto.

Definición. Si para un sistema homogéneo (9) las condiciones iniciales se definen de la siguiente manera, entonces el sistema de soluciones se llama fundamental normal sistema de decisión .

Comentario. Si es un sistema fundamental o un sistema fundamental normal, entonces la combinación lineal es la solución general (9).

Teorema 2. Una combinación lineal de soluciones linealmente independientes de un sistema homogéneo (9) con coeficientes continuos en un intervalo será una solución general (9) en el mismo intervalo.

Prueba: Dado que los coeficientes son continuos, el sistema satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad. Por tanto, para demostrar el teorema, basta con demostrar que seleccionando constantes es posible satisfacer alguna condición inicial elegida arbitrariamente (7). Aquellos. puede satisfacerse mediante la ecuación vectorial :. Dado que es una solución general de (9), el sistema es relativamente solucionable, ya que y son todos linealmente independientes. Lo definimos de forma única y, dado que somos linealmente independientes, entonces.

Teorema 3. Si ésta es una solución al sistema (8), una solución al sistema (9), entonces + también habrá una solución a (8).

Prueba: Según las propiedades del operador lineal: 

Teorema 4. La solución general (8) en un intervalo con coeficientes y lados derechos continuos en este intervalo es igual a la suma de la solución general del correspondiente sistema homogéneo (9) y la solución particular del sistema no homogéneo (8 ).

Prueba: Dado que se satisfacen las condiciones del teorema sobre existencia y unicidad, queda por demostrar que satisfará un valor inicial dado arbitrariamente (7), es decir . (11)

Para el sistema (11) siempre es posible determinar los valores de . Esto se puede hacer como un sistema de decisión fundamental.

Problema de Cauchy para una ecuación diferencial de primer orden

Formulación del problema. Recuerde que la solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

y"(t)=f(t, y(t)) (5.1)

se llama función diferenciable y(t), que, cuando se sustituye en la ecuación (5.1), la convierte en una identidad. La gráfica de la solución de una ecuación diferencial se llama curva integral. El proceso de encontrar soluciones a una ecuación diferencial generalmente se llama integración de esta ecuación.

Con base en el significado geométrico de la derivada y", observamos que la ecuación (5.1) especifica en cada punto (t, y) en el plano de las variables t, y el valor f(t, y) de la tangente del ángulo de inclinación (hacia el eje 0t) de la tangente a la gráfica de la solución que pasa por este punto. El valor k=tga=f(t,y) se denominará además coeficiente angular (Fig. 5.1).Si ahora en cada En el punto (t,y) especificamos, utilizando un determinado vector, la dirección de la tangente, determinada por el valor f(t,y ), luego se obtiene el llamado campo de dirección (Fig. 5.2, a). Geométricamente, la tarea de integrar ecuaciones diferenciales consiste en encontrar curvas integrales que en cada punto tengan una dirección tangente dada (Fig. 5.2, b), para seleccionar una solución específica de la familia de soluciones de la ecuación diferencial (5.1). , establece la condición inicial

y(t 0)=y 0 (5.2)

Aquí t 0 es un valor fijo del argumento t, y 0 tiene un valor llamado valor inicial. La interpretación geométrica de usar la condición inicial es seleccionar de una familia de curvas integrales la curva que pasa por un punto fijo (t 0, y 0).

El problema de encontrar para t>t 0 una solución y(t) a la ecuación diferencial (5.1) que satisfaga la condición inicial (5.2) se denominará problema de Cauchy. En algunos casos, el comportamiento de la solución para todo t>t 0 es de interés. Sin embargo, lo más frecuente es que se limiten a determinar la solución en un segmento finito.

Integración de sistemas normales.

Uno de los principales métodos para integrar un sistema DE normal es el método de reducir el sistema a un DE de orden superior. (El problema inverso, la transición del control remoto al sistema, se consideró anteriormente usando un ejemplo). La técnica de este método se basa en las siguientes consideraciones.

Sea un sistema normal (6.1). Diferenciamos cualquier ecuación, por ejemplo la primera, respecto de x:

Sustituyendo en esta igualdad los valores de las derivadas del sistema (6.1), obtenemos

o, brevemente,

Diferenciando nuevamente la igualdad resultante y reemplazando los valores de las derivadas del sistema (6.1), obtenemos

Continuando con este proceso (diferenciar – sustituir – obtener), encontramos:

Reunimos las ecuaciones resultantes en un sistema:

De las primeras (n-1) ecuaciones del sistema (6.3) expresamos las funciones y 2, y 3, ..., y n en términos de x, la función y 1 y sus derivadas y" 1, y" 1,. .., y 1 (n -1) . Obtenemos:

Sustituimos los valores encontrados de y 2, y 3,..., y n en la última ecuación del sistema (6.3). Obtenemos un DE de enésimo orden con respecto a la función deseada y su solución general es

Diferenciarlo (n-1) veces y sustituir los valores de las derivadas. en las ecuaciones del sistema (6.4), encontramos las funciones y 2, y 3,..., y n.

Ejemplo 6.1. Resolver sistema de ecuaciones.

Solución: Diferenciamos la primera ecuación: y"=4y"-3z". Sustituimos z"=2y-3z en la igualdad resultante: y"=4y"-3(2y-3z), y"-4y"+6y= 9z. Creemos un sistema de ecuaciones:

De la primera ecuación del sistema expresamos z pasando por yey":

Sustituimos el valor z en la segunda ecuación del último sistema:

es decir, y""-y"-6y=0. Recibimos un LOD de segundo orden. Resuélvelo: k 2 -k-6=0, k 1 =-2, k 2 =3 y - solución general

ecuaciones Encuentra la función z. Sustituimos los valores de y y en la expresión z hasta y e y" (fórmula (6.5)). Obtenemos:

Por tanto, la solución general de este sistema de ecuaciones tiene la forma

Comentario. El sistema de ecuaciones (6.1) se puede resolver mediante el método de combinaciones integrables. La esencia del método es que, mediante operaciones aritméticas, las ecuaciones de un sistema dado se utilizan para formar las llamadas combinaciones integrables, es decir, ecuaciones fácilmente integrables con respecto a una nueva función desconocida.

Ilustremos la técnica de este método con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.2. Resuelve el sistema de ecuaciones:

Solución: Sumemos las ecuaciones dadas término por término: x"+y"=x+y+2, o (x+y)"=(x+y)+2. Denotemos x+y=z. Entonces tenemos z"=z+2. Resolvemos la ecuación resultante:

Tenemos el llamado primera integral del sistema. Desde él se puede expresar una de las funciones buscadas a través de otra, reduciendo así en uno el número de funciones buscadas. Por ejemplo, Entonces la primera ecuación del sistema tomará la forma

Habiendo encontrado x a partir de él (por ejemplo, usando la sustitución x=uv), también encontraremos y.

Comentario. Este sistema “permite” formar otra combinación integrable: Poniendo x - y = p, tenemos:, o Tener dos primeras integrales del sistema, es decir Y es fácil encontrar (sumando y restando las primeras integrales) que

Operador lineal, propiedades. Dependencia lineal e independencia de vectores. Determinante de Wronski para el sistema LDE.

Operador diferencial lineal y sus propiedades. El conjunto de funciones que tienen en el intervalo ( a , b ) no menos norte derivadas, forma un espacio lineal. Considere el operador l norte (y ), que muestra la función y (X ), que tiene derivadas, en una función que tiene k - norte derivados:

Usando un operador l norte (y ) la ecuación no homogénea (20) se puede escribir de la siguiente manera:

l norte (y ) = F (X );

la ecuación homogénea (21) toma la forma

l norte (y ) = 0);

Teorema 14.5.2. Operador diferencial l norte (y ) es un operador lineal. Documento se sigue directamente de las propiedades de los derivados: 1. Si C = constante, entonces 2. Nuestras acciones futuras: primero estudiar cómo funciona la solución general de la ecuación lineal homogénea (25), luego la ecuación no homogénea (24) y luego aprender a resolver estas ecuaciones. Comencemos con los conceptos de dependencia lineal e independencia de funciones en un intervalo y definamos el objeto más importante en la teoría de ecuaciones y sistemas lineales: el determinante de Wronski.

El determinante de Vronsky. Dependencia e independencia lineal de un sistema de funciones.Def. 14.5.3.1. Sistema de funciones y 1 (X ), y 2 (X ), …, y norte (X ) se llama linealmente dependiente en el intervalo ( a , b ), si hay un conjunto de coeficientes constantes distintos de cero al mismo tiempo, de modo que la combinación lineal de estas funciones sea idénticamente igual a cero en ( a , b ): para. Si la igualdad para es posible sólo si, el sistema de funciones y 1 (X ), y 2 (X ), …, y norte (X ) se llama independiente linealmente en el intervalo ( a , b ). En otras palabras, las funciones y 1 (X ), y 2 (X ), …, y norte (X ) linealmente dependiente en el intervalo ( a , b ), si hay un igual a cero en ( a , b ) su combinación lineal no trivial. Funciones y 1 (X ),y 2 (X ), …, y norte (X ) independiente linealmente en el intervalo ( a , b ), si sólo su combinación lineal trivial es idénticamente igual a cero en ( a , b ). Ejemplos: 1. Funciones 1, X , X 2 , X 3 son linealmente independientes en cualquier intervalo ( a , b ). Su combinación lineal - polinomio de grado - no puede tener en ( a , b )más de tres raíces, por lo que la igualdad = 0 para es posible sólo cuando: El ejemplo 1 se generaliza fácilmente al sistema de funciones 1, X , X 2 , X 3 , …, X norte . Su combinación lineal, un polinomio de grado, no puede tener en ( a , b ) más norte raíces. 3. Las funciones son linealmente independientes en cualquier intervalo ( a , b ), Si . De hecho, si, por ejemplo, entonces la igualdad tiene lugar en un solo punto .4. Sistema de funciones también es linealmente independiente si los números k i (i = 1, 2, …, norte ) son diferentes por pares, pero la prueba directa de este hecho es bastante engorrosa. Como muestran los ejemplos anteriores, en algunos casos la dependencia lineal o independencia de funciones se demuestra de forma sencilla, en otros casos esta prueba es más complicada. Por lo tanto, se necesita una herramienta universal simple que responda a la pregunta sobre la dependencia lineal de funciones. Tal herramienta - El determinante de Vronsky.

Def. 14.5.3.2. Determinante de Wronsky (wronskiano) sistemas norte - Funciones diferenciables 1 vez y 1 (X ), y 2 (X ), …, y norte (X ) se llama determinante

.

14.5.3.3 Teorema de Wronskian de un sistema de funciones linealmente dependiente. Si el sistema de funciones y 1 (X ), y 2 (X ), …, y norte (X ) linealmente dependiente en el intervalo ( a , b ), entonces el Wronskiano de este sistema es idénticamente igual a cero en este intervalo. Documento. Si las funciones y 1 (X ), y 2 (X ), …, y norte (X ) dependen linealmente del intervalo ( a , b ), entonces hay números , al menos uno de los cuales es distinto de cero, tales que

Diferenciamos por X igualdad (27) norte - 1 vez y crea un sistema de ecuaciones. Consideraremos este sistema como un sistema lineal homogéneo de ecuaciones algebraicas con respecto a. El determinante de este sistema es el determinante de Wronski (26). Este sistema tiene una solución no trivial, por lo tanto, en cada punto su determinante es igual a cero. Entonces, W. (X ) = 0 en , es decir en ( a , b ).

Representación matricial de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (SODE) con coeficientes constantes

SODE lineal homogéneo con coeficientes constantes $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) + a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,

donde $y_(1)\left(x\right),\; y_(2)\izquierda(x\derecha),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- las funciones requeridas de la variable independiente $x$, coeficientes $a_(jk),\; 1\le j,k\le n$ -- representamos los números reales dados en notación matricial:

1. matriz de funciones requeridas $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \left(x\right)) \end(array)\right)$;
2. matriz de soluciones derivadas $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )( dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\right)$;
3. Matriz de coeficientes SODE $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\right)$.

Ahora, según la regla de multiplicación de matrices, este SODE se puede escribir en forma de ecuación matricial $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Método general para resolver SODE con coeficientes constantes.

Sea una matriz de algunos números $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(array)\right)$.

La solución al SODE se encuentra de la siguiente forma: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^(k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. En forma matricial: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\right)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)$.

De aquí obtenemos:

Ahora a la ecuación matricial de este SODE se le puede dar la forma:

La ecuación resultante se puede representar de la siguiente manera:

La última igualdad muestra que el vector $\alpha $ se transforma usando la matriz $A$ en un vector paralelo $k\cdot \alpha $. Esto significa que el vector $\alpha $ es un vector propio de la matriz $A$, correspondiente al valor propio $k$.

El número $k$ se puede determinar a partir de la ecuación $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right|=0$.

Esta ecuación se llama característica.

Sean diferentes todas las raíces $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ de la ecuación característica. Para cada valor $k_(i) $ del sistema $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c ) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ una matriz de valores ​​se puede definir $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i \right)) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(i\right)) ) \end(array)\right)$.

Uno de los valores de esta matriz se elige al azar.

Finalmente, la solución de este sistema en forma matricial se escribe de la siguiente manera:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ left(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n) ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,

donde $C_(i) $ son constantes arbitrarias.

Tarea

Resuelva el sistema DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\right.$.

Escribimos la matriz del sistema: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

En forma matricial, este SODE se escribe de la siguiente manera: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin(matriz)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(matriz)\right)$.

Obtenemos la ecuación característica:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$, es decir, $k^ ( 2) -10\cdot k+9=0$.

Las raíces de la ecuación característica son: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Creemos un sistema para calcular $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ right)) ) \end(array)\right)$ para $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (matriz)\derecha)=0,\]

es decir, $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +\left(5-1\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right ) ) =0$.

Poniendo $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, obtenemos $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Creemos un sistema para calcular $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ right)) ) \end(array)\right)$ para $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (matriz)\derecha)=0, \]

es decir, $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right) ) =0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +\left(5-9\right)\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right ) ) =0$.

Poniendo $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, obtenemos $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Obtenemos la solución de SODE en forma matricial:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-1) & (1) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\right).\]

En la forma habitual, la solución del SODE tiene la forma: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_( 2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x ) ) \end(array )\right.$.

Conceptos y definiciones básicos El problema más simple de la dinámica de un punto conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales: se dan las fuerzas que actúan sobre el punto material; encuentre la ley del movimiento, es decir encuentre las funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t), que expresan la dependencia de las coordenadas de un punto en movimiento con el tiempo. El sistema resultante, en general, tiene la forma Aquí x, y, z son las coordenadas del punto en movimiento, t es el tiempo, f, g, h son funciones conocidas de sus argumentos. Un sistema de tipo (1) se llama canónico. Pasando al caso general de un sistema de m ecuaciones diferenciales con m funciones desconocidas del argumento t, llamamos canónico a un sistema de la forma resuelta con respecto a derivadas superiores. Un sistema de ecuaciones de primer orden resueltas con respecto a las derivadas de las funciones deseadas se llama normal. Si tomamos nuevas funciones auxiliares, entonces el sistema canónico general (2) puede reemplazarse por un sistema normal equivalente que consta de ecuaciones. Por tanto, basta con considerar sólo los sistemas normales. Por ejemplo, una ecuación es un caso especial del sistema canónico. Poniendo ^ = y, en virtud de la ecuación original tendremos como resultado, obtenemos un sistema de ecuaciones normal SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Métodos de integración Método de eliminación Método de combinaciones integrables Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Matriz fundamental Método de variación de constantes Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Método matricial equivalente a la ecuación original. Definición 1. Una solución al sistema normal (3) en el intervalo (a, b) de cambiar el argumento t es cualquier sistema de n funciones diferenciables en el intervalo que convierte las ecuaciones del sistema (3) en identidades con respecto a t en el intervalo (a, b). El problema de Cauchy para el sistema (3) se formula de la siguiente manera: encontrar una solución (4) del sistema que satisfaga las condiciones iniciales en t = al Teorema 1 (existencia y unicidad de la solución por las tareas de las cuales) Tengamos un sistema normal de ecuaciones diferenciales y definamos las funciones en algún dominio (n + 1)-dimensional D de cambios en las variables t, X\, x2, ..., xn. Si existe una vecindad ft en la que las funciones ft son continuas en el conjunto de argumentos y tienen derivadas parciales acotadas con respecto a las variables X\, x2, ..., xn, entonces existe un intervalo hasta - A0 de cambio t , en el que existe una solución única del sistema normal (3) que satisface las condiciones iniciales Definición 2. Un sistema de n funciones que depende de tun de constantes arbitrarias se denomina solución general del sistema normal (3) en alguna región Π de existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy si 1) para cualquier valor admisible, el sistema de funciones (6) convierte las ecuaciones (3) en identidades, 2) en el dominio Π, las funciones (6) resuelven cualquier problema de Cauchy. Las soluciones obtenidas a partir de valores generales a específicos de las constantes se denominan soluciones particulares. Para mayor claridad, pasemos al sistema normal de dos ecuaciones, consideraremos el sistema de valores t> X\, x2 como coordenadas cartesianas rectangulares de un punto en el espacio tridimensional referido al sistema de coordenadas Otx\x2. La solución del sistema (7), que toma valores en t - to, define en el espacio una determinada línea que pasa por el punto) - Esta línea se llama curva integral del sistema normal (7). El problema de Koshi para el sistema (7) recibe la siguiente formulación geométrica: en el espacio de variables t> X\, x2, encontrar la curva integral que pasa por un punto dado Mo(to, x1, x2) (Fig. 1). El teorema 1 establece la existencia y unicidad de dicha curva. Al sistema normal (7) y su solución también se le puede dar la siguiente interpretación: consideraremos la variable independiente t como parámetro, y la solución del sistema como ecuaciones paramétricas de una curva en el plano x\Ox2. Este plano de variables X\X2 se llama plano de fase. En el plano de fase, la solución (0 del sistema (7), tomando en t = t0 valores iniciales x°(, x2, se representa mediante la curva AB que pasa por el punto). Esta curva se llama trayectoria del sistema (trayectoria de fase). La trayectoria del sistema (7) es la proyección de la curva integral en el plano de fase. A partir de la curva integral, la trayectoria de fase se determina de forma única, pero no al revés. § 2. Métodos para integrar sistemas de ecuaciones diferenciales 2.1.Método de eliminación Uno de los métodos de integración es el método de eliminación. Un caso especial del sistema canónico es una ecuación de enésimo orden, resuelta con respecto a la derivada más alta, introduciendo la nueva función ecuación con el siguiente sistema normal de n ecuaciones: reemplazamos esta una ecuación de enésimo orden es equivalente al sistema normal (1). También podemos afirmar lo contrario que, en términos generales, un sistema normal de n ecuaciones de primer orden es equivalente a una ecuación de orden p. Esta es la base del método de eliminación para integrar sistemas de ecuaciones diferenciales. Se hace así. Tengamos un sistema normal de ecuaciones diferenciales, derivemos la primera de las ecuaciones (2) con respecto a t. Tenemos Reemplazar el producto en el lado derecho o, en resumen, se vuelve a derivar la Ecuación (3) con respecto a t. Teniendo en cuenta el sistema (2), obtenemos o Continuando con este proceso, encontramos Supongamos que el determinante (jacobiano del sistema de funciones es distinto de cero para los valores considerados Entonces el sistema de ecuaciones compuesto por la primera ecuación del sistema ( 2) y las ecuaciones serán solucionables con respecto a las incógnitas se expresarán mediante Introduciendo las expresiones encontradas en la ecuación obtenemos una ecuación de enésimo orden. Del método mismo de su construcción se deduce que si) hay soluciones al sistema (2), entonces la función X\(t) será una solución de la ecuación (5). Por el contrario, sea la solución de la ecuación (5). Diferenciando esta solución con respecto a t, calculamos y sustituimos los valores encontrados como funciones conocidas. Por suposición, este sistema se puede resolver con respecto a xn en función de t. Se puede demostrar que el sistema de funciones así construido constituye una solución al sistema de ecuaciones diferenciales (2). Ejemplo. Se requiere integrar el sistema, derivando la primera ecuación del sistema, tenemos de donde, usando la segunda ecuación, obtenemos una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes con una función desconocida. Su solución general tiene la forma. En virtud de la primera ecuación del sistema, encontramos la función. Las funciones encontradas x(t), y(t), como se puede verificar fácilmente, para cualquier valor de C| y C2 satisfacen el sistema dado. Las funciones se pueden representar de la forma en la que se puede observar que las curvas integrales del sistema (6) son rectas helicoidales con un paso con un eje común x = y = 0, que también es una curva integral (Fig. 3). ). Eliminando el parámetro en las fórmulas (7), obtenemos la ecuación de modo que las trayectorias de fase de un sistema dado son círculos con centro en el origen de coordenadas: proyecciones de líneas helicoidales en un plano. Cuando A = 0, la trayectoria de fase consiste de un punto, llamado punto de reposo del sistema. " Puede resultar que las funciones no se puedan expresar mediante Entonces no obtendremos una ecuación de enésimo orden equivalente al sistema original. He aquí un ejemplo sencillo. El sistema de ecuaciones no puede reemplazarse por una ecuación equivalente de segundo orden para x\ o x2. Este sistema está compuesto por un par de ecuaciones de primer orden, cada una de las cuales se integra de forma independiente, dando como resultado el Método de combinaciones integrables. La integración de sistemas normales de ecuaciones diferenciales dXi se realiza en ocasiones mediante el método de combinaciones integrables. Una combinación integrable es una ecuación diferencial que es consecuencia de las ecuaciones (8), pero que ya es fácilmente integrable. Ejemplo. Integrar un sistema SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Métodos de integración Método de eliminación Método de combinaciones integrables Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Matriz fundamental Método de variación de constantes Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Método matricial 4 Sumando las ecuaciones dadas término por término, encontramos una combinación integrable: Restando término por término de la primera ecuación del sistema la segunda, obtenemos la segunda combinación integrable: de donde encontramos dos ecuaciones finitas a partir de las cuales se determina fácilmente la solución general del sistema: Una combinación integrable permite Obtenga una ecuación que conecte la variable independiente t y funciones desconocidas. Esta ecuación finita se llama primera integral del sistema (8). De lo contrario: la primera integral de un sistema de ecuaciones diferenciales (8) es una función diferenciable que no es idénticamente constante, pero mantiene un valor constante en cualquier curva integral de este sistema. Si se encuentran n primeras integrales del sistema (8) y todas son independientes, es decir, el jacobiano del sistema de funciones es distinto de cero: Un sistema de ecuaciones diferenciales se llama lineal si es lineal con respecto a funciones desconocidas y sus derivadas incluido en la ecuación. Un sistema de n ecuaciones lineales de primer orden, escrito en forma normal, tiene la forma o, en forma matricial, el Teorema 2. Si todas las funciones son continuas en un intervalo, entonces en una vecindad suficientemente pequeña de cada punto., xn) , donde), se cumplen las condiciones del teorema de existencia y la unicidad de la solución al problema de Causchia, por lo tanto, a través de cada uno de esos puntos pasa una curva integral única del sistema (1). De hecho, en este caso, los lados derechos del sistema (1) son continuos con respecto al conjunto de argumentos t)x\,x2)... , xn y sus derivadas parciales con respecto a, son limitadas, ya que estas las derivadas son iguales a los coeficientes continuos en el intervalo. Introducimos un operador lineal. Luego el sistema ( 2) se escribe en la forma Si la matriz F es cero en el intervalo (a, 6), entonces el sistema (2) se llama lineal homogéneo y tiene la forma Presentemos algunos teoremas que establecen las propiedades de las soluciones de sistemas lineales. Teorema 3. Si X(t) es una solución de un sistema lineal homogéneo donde c es una constante arbitraria, es una solución del mismo sistema. Teorema 4. La suma de dos soluciones de un sistema lineal homogéneo de ecuaciones es una solución del mismo sistema. Consecuencia. Una combinación lineal, con coeficientes constantes arbitrarios c, de soluciones a un sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales es una solución al mismo sistema. Teorema 5. Si X(t) es una solución de un sistema lineal no homogéneo, una solución del sistema homogéneo correspondiente, entonces la suma será una solución de un sistema no homogéneo. De hecho, por condición, utilizando la propiedad de aditividad del operador, obtenemos Esto significa que la suma es una solución al sistema no homogéneo de ecuaciones Definición. Se dice que los vectores son linealmente dependientes de un intervalo si hay números constantes tales que at, y al menos uno de los números a no es igual a cero. Si la identidad (5) es válida sólo para entonces se dice que los vectores son linealmente independientes de (a, b). Tenga en cuenta que una identidad vectorial (5) es equivalente a n identidades: . El determinante se llama determinante de Wronski de un sistema de vectores. Definición. Tengamos un sistema lineal homogéneo donde hay una matriz con elementos. Un sistema de n soluciones de un sistema lineal homogéneo (6), linealmente independiente en el intervalo, se llama fundamental. Teorema 6. El determinante de Wronski W(t) de un sistema de soluciones fundamental en un intervalo de un sistema lineal homogéneo (6) con coeficientes a-ij(t) continuos en el intervalo a b es distinto de cero en todos los puntos del intervalo (a , 6). Teorema 7 (sobre la estructura de la solución general de un sistema lineal homogéneo). La solución general en el campo de un sistema lineal homogéneo con coeficientes continuos en un intervalo es una combinación lineal de n soluciones del sistema (6) linealmente independientes en el intervalo a: números constantes arbitrarios). Ejemplo. El sistema tiene, como es fácil de comprobar, soluciones (las soluciones de Ash son linealmente independientes, ya que el determinante de Wronski es distinto de cero: “La solución general del sistema tiene la forma o son constantes arbitrarias). 3.1 Matriz fundamental Una matriz cuadrada cuyas columnas son soluciones linealmente independientes del sistema (6), se llama matriz fundamental de este sistema. Es fácil verificar que la matriz fundamental satisface la ecuación matricial. Si X(t) es la matriz fundamental del sistema (6), entonces la solución general del sistema se puede representar en la forma: una matriz de columnas constantes con elementos arbitrarios. Suponiendo que tenemos de ahí, la matriz se llama matriz de Cauchy. Con su ayuda, se puede resolver el sistema (6). representarse de la siguiente manera: Teorema 8 (sobre la estructura de la solución general de un sistema lineal no homogéneo de ecuaciones diferenciales). La solución general en el campo de un sistema lineal no homogéneo de ecuaciones diferenciales con coeficientes continuos en un intervalo y lados derechos fi (t) es igual a la suma de la solución general del sistema homogéneo correspondiente y alguna solución particular X(t) del sistema no homogéneo (2): 3.2. Método de variación de constantes Si se conoce la solución general de un sistema lineal homogéneo (6), entonces se puede encontrar una solución particular de un sistema no homogéneo mediante el método de variación de constantes (método Lag-Rang). Sea una solución general para el sistema homogéneo (6), entonces dXk y las soluciones son linealmente independientes. Buscaremos una solución particular al sistema no homogéneo donde se desconocen funciones de t. Derivando tenemos Sustituyendo obtenemos Desde entonces para la definición obtenemos un sistema o, en forma expandida, el Sistema (10) es un sistema algebraico lineal con respecto a 4(0 > cuyo determinante es el determinante de Wronski W(t) de la fundamental sistema de soluciones Este determinante es distinto de cero en todas partes del intervalo, de modo que el sistema tiene una solución única donde MO son funciones continuas conocidas. Integrando las últimas relaciones, encontramos Sustituyendo estos valores, encontramos una solución particular al sistema (2): (aquí el símbolo se entiende como una de las primitivas de la función §4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Considere una ecuación lineal sistema de ecuaciones diferenciales en el que todos los coeficientes son constantes. Más a menudo, en general, un sistema de este tipo se integra reduciéndolo a una ecuación de orden superior, y esta ecuación también será lineal con coeficientes constantes. Otro método eficaz para integrar sistemas con coeficientes constantes es el método de la transformada de Laplace.También consideraremos el método de Euler para integrar sistemas lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Consta de lo siguiente: Método de Euler Buscaremos una solución al sistema donde son constantes.Sustituyendo x* en forma (2) en el sistema (1), cancelando por e* y transfiriendo todos los términos a una parte de la igualdad, obtenemos el sistema. Para que este sistema (3) de ecuaciones algebraicas lineales homogéneas con n incógnitas an tuviera una solución no trivial ; es necesario y suficiente que su determinante sea igual a cero: la ecuación (4) se llama característica. En su lado izquierdo existe un polinomio con respecto a A de grado n. A partir de esta ecuación determinamos aquellos valores de A para los cuales el sistema (3) tiene soluciones no triviales a\. Si todas las raíces de la ecuación característica (4) son diferentes, luego, al sustituirlos a su vez en el sistema ( 3), encontramos las soluciones no triviales correspondientes de este sistema y, por lo tanto, encontramos n soluciones al sistema original de ecuaciones diferenciales (1) en la forma donde el segundo índice indica el número de la solución y el primero indica el número de la función desconocida. Las n soluciones parciales del sistema lineal homogéneo (1) así construido forman, como se puede comprobar, un sistema fundamental de soluciones de este sistema. En consecuencia, la solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales (1) tiene la forma: constantes arbitrarias. No consideraremos el caso en el que la ecuación característica tenga múltiples raíces. M Buscamos una solución en forma de Ecuación característica El sistema (3) para determinar 01.02 se ve así: Sustituyendo obtenemos de donde Por lo tanto, Suponiendo que encontramos por lo tanto La solución general de este sistema: SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Métodos de integración Método de eliminación Método de combinaciones integrables Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Matriz fundamental Método de constantes de variación Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Método matricial Presentemos también el método matricial para integrar un sistema homogéneo (1). Escribamos el sistema (1) como una matriz con elementos reales constantes a, j. Recordemos algunos conceptos del álgebra lineal. El vector g ФО se llama vector propio de la matriz A si el Número A se llama valor propio de la matriz A correspondiente al vector propio g y es la raíz de la ecuación característica donde I es la matriz identidad. Supondremos que todos los valores propios A„ de la matriz A son diferentes. En este caso, los vectores propios son linealmente independientes y existe una matriz T n x n que reduce la matriz A a forma diagonal, es decir, tal que las columnas de la matriz T son las coordenadas de los vectores propios. Introduzcamos los siguientes conceptos. Sea B(ξ) una matriz n × n, cuyos elementos 6,;(0 son funciones del argumento t definido en el conjunto. La matriz B(f) se llama continua en Π si todos sus elementos 6,j (f) son continuas en Q. Se dice que una matriz B(*) es diferenciable en Π si todos los elementos de esta matriz son diferenciables en Q. En este caso, la derivada de la ^p-matriz B(*) es una matriz cuyos elementos son las derivadas de los elementos correspondientes de la matriz B (*). Sea B el vector columna. Teniendo en cuenta las reglas del álgebra matricial, por verificación directa estamos convencidos de la validez de la fórmula En particular, si B es una matriz constante, entonces dado que ^ es una matriz nula Teorema 9. Si los valores propios de la matriz A son diferentes, entonces la solución general del sistema (7) tiene la forma donde - las columnas de vectores propios de la matriz son números constantes arbitrarios. Introduzcamos un nuevo vector columna desconocido usando la fórmula donde T es una matriz que reduce la matriz A a forma diagonal. Sustituyendo, obtenemos el sistema Multiplicando ambos lados de la última relación de la izquierda por T 1 y teniendo en cuenta que T 1 AT = А, llegamos al sistema. Hemos obtenido un sistema de n ecuaciones independientes, que se pueden integrar fácilmente: (12) Aquí hay números constantes arbitrarios. Al introducir vectores de columna unitarios de n dimensiones, la solución se puede representar en la forma Dado que las columnas de la matriz T son los vectores propios de la matriz, el vector propio de la matriz A. Por lo tanto, sustituyendo (13) en (11), tenemos obtenga la fórmula (10): Así, si la matriz Un sistema de ecuaciones diferenciales (7) tiene diferentes valores propios, para obtener una solución general de este sistema: 1) encuentre los valores propios „ de la matriz como raíces de la ecuación algebraica 2) encuentre todos los vectores propios 3) escriba la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales (7) usando la fórmula (10). Ejemplo 2. Resolver el sistema Método matricial 4 La matriz A del sistema tiene la forma 1) Componer la ecuación característica Las raíces de la ecuación característica. 2) Encuentre los vectores propios Para A = 4 obtenemos un sistema del cual = 0|2, de modo que de manera similar para A = 1 encontramos I 3) Usando la fórmula (10), obtenemos una solución general al sistema de ecuaciones diferenciales. Las raíces de la ecuación característica pueden ser reales y complejas. Dado que, por supuesto, los coeficientes ay del sistema (7) son reales, la ecuación característica tendrá coeficientes reales. Por lo tanto, junto con la raíz compleja A, también tendrá una raíz \*, conjugada compleja con A. Es fácil demostrar que si g es un vector propio correspondiente al valor propio de A, entonces A* también es un valor propio al que el vector propio g* corresponde, conjugado complejo con g. Para el complejo A, la solución del sistema (7) taioKe será compleja. La parte real y la parte imaginaria de esta solución son soluciones del sistema (7). El valor propio A* corresponderá a un par de soluciones reales. el mismo par que para el valor propio A. Así, el par A, A* de valores propios conjugados complejos corresponde a un par de soluciones reales al sistema (7) de ecuaciones diferenciales. Sean valores propios reales, valores propios complejos. Entonces cualquier solución real del sistema (7) tiene la forma donde c, son constantes arbitrarias. Ejemplo 3. Resolver el sistema -4 Matriz del sistema 1) Ecuación característica del sistema Sus raíces Vectores propios de la matriz 3) Solución del sistema donde hay constantes complejas arbitrarias. Encontremos soluciones reales del sistema. Usando la fórmula de Euler, obtenemos Por tanto, cualquier solución real del sistema tiene la forma de números reales arbitrarios. Ejercicios Integrar sistemas mediante el método de eliminación: Integrar sistemas mediante el método de combinaciones integradas: Integrar sistemas mediante el método matricial: Respuestas