Gráficas de funciones trigonométricas, transformación de gráficas. Conversión de gráficas de funciones trigonométricas Ejemplos de conversión de gráficas de funciones trigonométricas

ÁLGEBRA
Lecciones para el décimo grado.

Sujeto.Graficar funciones trigonométricas

Objetivo de la lección: trazar funciones y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Formación de habilidades para construir gráficas de funciones: y = Asin (kx + b), y = Acos (kx + b), y = Atg (kx + b), y = Actg (kx + b).

I. Revisar la tarea

1. Un alumno reproduce la solución del ejercicio nº 24 (1-3).

2. Conversación frontal:

1) Nombrar fenómenos de la naturaleza que se repiten periódicamente.

2) Dar la definición de función periódica.

3) Si la función y = f (x) tiene un período del número T, ¿entonces el período de esta función será el número 2T, 3T...? Justifica tu respuesta.

4) Encuentra el período positivo más pequeño de las funciones:

a) y = cos; b) y = pecado; c) y = tg; d) y = .

5) función periódica y = C? En caso afirmativo, indique el período de esta función.

II. Trazar la función y = sen x

Para trazar la función y = sen x, usaremos el círculo unitario. Construyamos un círculo unitario con un radio de 1 cm (2 celdas). A la derecha construiremos un sistema de coordenadas, como en la Fig. 57.

Tracemos los puntos en el eje OX; π; ; 2 π (respectivamente 3 celdas, 6 celdas, 9 celdas, 12 celdas). Dividamos el primer cuarto del círculo unitario en tres partes iguales y el segmento del eje de abscisas en el mismo número de partes. Transfiramos el valor del seno a los puntos correspondientes del eje OX. Obtenemos los puntos que deben conectarse con una línea suave. Luego dividimos el segundo, tercer y cuarto cuarto del círculo unitario en tres partes iguales y transferimos el valor del seno al punto correspondiente en el eje OX. Conectando secuencialmente todos los puntos obtenidos, obtenemos una gráfica de la función y = sen x en el intervalo.

Dado que la función y = sin x es periódica con un período de 2 π, entonces para construir una gráfica de la función y = sin x en toda la línea OX, basta con mover paralelamente la gráfica construida a lo largo del eje OX en 2 π , 4 π, 6 π ... unidades a la izquierda y a la derecha (Fig. 58).

Una curva que es una gráfica de la función y = sen x se llama onda sinusoidal.

Realización de ejercicios______________________________

1. Construir gráficas de funciones.

a) y = pecado; b) y = sen 2x; c) y = 2 sen x; d) y = pecado (-x).

Respuestas: a) fig. 59; b) figura. 60; c) figura. 61; d) arroz. 62.

III. Trazar la función y = cos x

Como sabes, cos x = sin, por lo tanto y = cos x e y = sin son las mismas funciones. Para construir una gráfica de la función y = sin, usaremos transformaciones geométricas de gráficas: primero construimos (Fig.63) una gráfica de la función y = sin x, luego y = sin (-x) y finalmente y = sin .

Realización de ejercicios________________________________

1. Grafica las funciones:

a) y = cos; b) y = cos; c) y = porque x; d) y = | porque x |.

Respuesta: a) fig. 64; b) figura. sesenta y cinco; c) figura. 66; d) arroz. 67.

IV. Trazar una gráfica de la función y = tg x

Construimos una gráfica de la función y = tan x usando una recta de tangentes en un intervalo cuya longitud es igual al período π de esta función. Construyamos un círculo unitario con un radio de 2 cm (4 celdas) y dibujemos una línea de tangentes. A la derecha construiremos un sistema de coordenadas, como en la Fig. 68.

Tracemos los puntos en el eje OX; (6 celdas). Divide el primer y cuarto cuarto del círculo en 3 partes iguales y cada uno de los segmentos y en la misma cantidad de partes. Encontremos los valores de las tangentes de los números; ; 0; ; usando la recta tangente (las coordenadas de los puntos ; ; ; ; recta tangente). Transfiramos los valores de la tangente a los puntos correspondientes del eje OX. Conectando secuencialmente todos los puntos obtenidos, obtenemos una gráfica de la función y = tan x en el intervalo.

Dado que la función y = tg x es periódica con un período π, para construir una gráfica de la función y = tg x en toda la recta OX, basta con mover paralelamente la gráfica construida a lo largo del eje OX en π, 2 π, 3 π, 4 π ... unidades a la izquierda y a la derecha (Fig. 69).

La gráfica de la función y = tan x se llama tangente.

Haciendo ejercicios

1. Grafica las funciones

a) y = tan 2x; b) y = tgx; c) y = tanx + 2; d) y = tan (-x).

Respuestas: a) fig. 70; b) figura. 71; c) figura. 72; d) arroz. 73.

V. Graficar la función y = cot x

La gráfica de la función y = ctg x se puede obtener fácilmente usando la fórmula ctg x = tg y dos transformaciones geométricas (Fig. 74): simetría con respecto al eje ΟΥ, traslación paralela a lo largo del eje OX.

IV. Tarea

Sección I § 6. Preguntas y tareas para la repetición de la fracción I N° 50-51. Ejercicios nº 28 (a-d).

V. Resumen de la lección

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Títulos de diapositivas:

Gráficas de funciones trigonométricas Función y = sen x, sus propiedades Transformación de gráficas de funciones trigonométricas por transferencia paralela Transformación de gráficas de funciones trigonométricas por compresión y expansión Para los curiosos…

funciones trigonométricas La gráfica de la función y = sen x es una sinusoide Propiedades de la función: D(y) =R Periódico (T=2 ) Impar (sin(-x)=-sen x) Ceros de la función: y =0, sen x=0 en x =  n, n  Z y=sen x

funciones trigonométricas Propiedades de la función y = sen x 5. Intervalos de signo constante: Y >0 para x   (0+2  n ;  +2  n) , n  Z Y

funciones trigonométricas Propiedades de la función y = sen x 6. Intervalos de monotonicidad: la función aumenta en intervalos de la forma:  -  /2 +2  n ;  / 2+2  n   n  Z y = sen x

funciones trigonométricas Propiedades de la función y= sen x Intervalos de monotonicidad: la función decrece en intervalos de la forma:  /2 +2  n ; 3  / 2+2  n   n  Z y=sen x

funciones trigonométricas Propiedades de la función y = sen x 7. Puntos extremos: X max =  / 2 +2  n, n  Z X m in = -  / 2 +2  n, n  Z y=sen x

funciones trigonométricas Propiedades de la función y = sen x 8. Rango de valores: E(y) =  -1;1  y = sen x

funciones trigonométricas Transformación de gráficas de funciones trigonométricas La gráfica de la función y = f (x +в) se obtiene de la gráfica de la función y = f(x) por traslación paralela de (-в) unidades a lo largo de la abscisa La gráfica de la función y = f (x) +а se obtiene de la función gráfica y = f(x) mediante traslación paralela por (a) unidades a lo largo del eje de ordenadas

funciones trigonométricas Convertir gráficas de funciones trigonométricas Trazar una gráfica Funciones y = sin(x+  /4) recuerda las reglas

funciones trigonométricas Conversión de gráficas de funciones trigonométricas y =sen (x+  /4) Traza una gráfica de la función: y=sin (x -  /6)

funciones trigonométricas Conversión de gráficas de funciones trigonométricas y = sin x +  Trazar la gráfica de la función: y = sin (x -  /6)

funciones trigonométricas Conversión de gráficas de funciones trigonométricas y= sin x +  Grafica la función: y=sin (x +  /2) recuerda las reglas

funciones trigonométricas La gráfica de la función y = cos x es una onda coseno Enumera las propiedades de la función y = cos x sin(x+  /2)=cos x

funciones trigonométricas Transformación de gráficas de funciones trigonométricas por compresión y estiramiento La gráfica de la función y = k f (x) se obtiene de la gráfica de la función y = f (x) estirándola k veces (para k>1) a lo largo de la gráfica de ordenadas La gráfica de la función y = k f (x ) se obtiene de la gráfica de la función y = f(x) comprimiéndola k veces (en 0

funciones trigonométricas Transforma gráficas de funciones trigonométricas aplastando y estirando y=sin2x y=sin4x Y=sin0.5x recuerda las reglas

funciones trigonométricas Transformación de gráficas de funciones trigonométricas por compresión y estiramiento La gráfica de la función y = f (kx) se obtiene de la gráfica de la función y = f (x) comprimiéndola k veces (para k>1) a lo largo de la Eje x La gráfica de la función y = f (kx ) se obtiene de la gráfica de la función y = f(x) estirándola k veces (en 0

funciones trigonométricas Transforma gráficas de funciones trigonométricas aplastando y estirando y = cos2x y = cos 0.5x recuerda las reglas

funciones trigonométricas Transformación de gráficas de funciones trigonométricas mediante compresión y estiramiento Las gráficas de funciones y = -f (kx) e y=- k f(x) se obtienen a partir de gráficas de funciones y = f(kx) e y= k f(x), respectivamente, al reflejarlos con respecto al eje x el seno es una función impar, por lo tanto sin(-kx) = - sin (kx) el coseno es una función par, por lo tanto cos(-kx) = cos(kx)

funciones trigonométricas Transforma gráficas de funciones trigonométricas aplastando y estirando y = - sin3x y = sin3x recuerda las reglas

funciones trigonométricas Transforma gráficas de funciones trigonométricas aplastando y estirando y=2cosx y=-2cosx recuerda las reglas

funciones trigonométricas Transformación de gráficas de funciones trigonométricas aplastando y estirando La gráfica de la función y = f (kx+b) se obtiene de la gráfica de la función y = f(x) paralelándola en (-en /k) unidades a lo largo del eje x y comprimiéndolo en k veces (en k>1) o estirándolo k veces (en 0

funciones trigonométricas Transformación de gráficas de funciones trigonométricas aplastando y estirando Y= cos(2x+  /3) y=cos(x+  /6) y= cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6) ) y = cos(2x+  /3) y= cos(2(x+  /6)) Y= cos(2x+  /3) y=cos2x recuerda las reglas

Funciones trigonométricas Para los curiosos... Mira cómo se ven las gráficas de algunas otras funciones trigonométricas. funciones: y = 1 / cos x o y=sec x (leer sec) y = cosec x o y= 1/ sin x leer cosecons

Sobre el tema: desarrollos metodológicos, presentaciones y notas.

TsOR “Transformación de gráficas de funciones trigonométricas” grados 10-11

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Apuntes de la lección de álgebra en décimo grado

Vasilyeva Ekaterina Sergeevna,

profesor de matematicas

OGBOU "Especial de Smolensk (correccional)

escuela integral de tipos I y II"

Smolensk

Tema de la lección: "Transformación de gráficas de funciones trigonométricas".

Nombremódulo: conversión de gráficas de funciones trigonométricas. Integrandodidácticoobjetivo: Practicar habilidades en la construcción de gráficas de funciones trigonométricas. Plan de acción objetivo para estudiantes:

repasar las propiedades básicas de las funciones trigonométricas; practicar la habilidad de convertir gráficas de funciones trigonométricas; promover el desarrollo del pensamiento lógico; Cultivar el interés por estudiar el tema.

Banco de información.

Control entrante. Nombra las propiedades de las funciones y = sen x (Fig. 1).

Arroz. 1

Propiedades:

D(y)=R E(y)=[-1;1], la función es limitada sin(-x)=-sinx, la función es impar Período positivo mínimo: 2π
sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R. sin x=0 en x=πk, kЄ Z sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z sin x Mayor el valor igual a 1, y=sin x toma en los puntos x=π/2+ 2πk, k Є Z. El valor más pequeño igual a -1, y=sin x toma en los puntos x=3π/2+ 2πk, k Є Z.

Consideremos la gráfica de la función y= cos x (Fig. 2).

Arroz. 2

Propiedades:

D (y)=R E (y)=[-1;1], la función es limitada cos(-x)= cos x, la función es par Período positivo mínimo: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 en x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+ 2πk), k Є Z cos x El valor más grande igual a 1, y=cos x toma en los puntos x= 2πk, k Є Z. El valor más pequeño igual a -1, y=cos x toma en los puntos x=π+ 2πk , k Є Z.

La siguiente gráfica de la función y=tg x (Fig.3)

Arroz . 3

Propiedades:

D(y)-conjunto de todos los números reales, excepto los números de la forma x=π/2 +πk, k Є Z E(y)=(-∞;+ ∞), función ilimitada tg(-x)=-tg x , función impar período positivo más pequeño: π
tg(x+π)= tan x tgx= 0 en x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x

La siguiente gráfica de la función y=ctg x (Fig.4)

Arroz. 4

Propiedades:

D(y)-conjunto de todos los números reales, excepto los números de la forma x=πk, k Є Z E(y)= (-∞;+ ∞), función ilimitada ctg(-x)=-ctg x, función impar Mínimo periodo positivo: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 en x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x

Explicación del material.

y= F(X)+ a, donde a es un número constante, debes mover la gráfica y= F(X) a lo largo del eje de ordenadas. Si a>0, entonces movemos la gráfica paralela a sí misma hacia arriba, si a Para construir una gráfica de la función y= kf(X) Necesitamos estirar la gráfica de la función. y= F(X) V k veces a lo largo del eje de ordenadas. Si | k|>1 , entonces la gráfica se extiende a lo largo del eje oy, Si 0k| , entonces – compresión. Gráfica de una función y= F(X+ b) obtenido del gráfico y= F(X) por traslación paralela a lo largo del eje de abscisas. Si b>0, entonces la gráfica se mueve hacia la izquierda, si b

Para graficar una función y= F(kx) Necesito estirar el horario y= F(X) a lo largo del eje de abscisas. Si | k|>1 , entonces el gráfico se comprime a lo largo del eje OH, si 0

Fijación del material.

Nivel A

Privadodidácticoobjetivo: Practique la habilidad de construir funciones trigonométricas usando transformaciones.

Metódicoun comentarioParaestudiantes:

Buey 3 veces.





La gráfica de una función se obtiene a partir de una gráfica estirando a lo largo del eje. Oye 2 veces.





La gráfica de la función se obtiene a partir de la gráfica mediante traslación paralela 2 unidades hacia arriba a lo largo del eje. Oye.







La gráfica de una función se obtiene a partir de la gráfica mediante traslación paralela a lo largo del eje de abscisas en unidades hacia la izquierda.





GRAMO

La gráfica de una función se obtiene a partir de la gráfica comprimiendo a lo largo del eje. Oye 4 veces.

Nivel B.

Privadodidácticoobjetivo: trigonométrico funciones por coherente aplicando transformaciones.

Metódicoun comentarioParaestudiantes: construir gráficas de funciones realizando transformaciones.



La gráfica de una función se obtiene a partir de la gráfica mediante traslación paralela a lo largo del eje de abscisas en unidades hacia la derecha.



La gráfica de una función se obtiene a partir de la gráfica de una función realizando secuencialmente las siguientes transformaciones:

1) traslación paralela en unidades hacia la izquierda a lo largo del eje de abscisas

2) compresión a lo largo del eje Oy 4 veces .





La gráfica de la función se obtiene a partir de la gráfica de la función, cada ordenada de la cual cambia en un factor de -2. Para ello realizamos las siguientes transformaciones:

1) mostrar simétricamente respecto al eje Buey,

2) estirar 2 veces a lo largo del eje Oye.




coherente realizar las siguientes transformaciones:

1) compresión a lo largo del eje de abscisas 2 veces;

2) extensión V 3 veces a lo largo de ejes Oye;

3) paralelo transferir en 1 unidad arriba a lo largo de ejes ordenada.





Nivel CON .

Privadodidácticoobjetivo: practicar habilidades gráficas trigonométrico funciones por coherente aplicando transformaciones.

Metódico un comentario Para estudiantes : por favor indica , cual transformación Necesitar ejecutar Para construcción graficos . Construir gráficos .

1.

La gráfica de una función se obtiene a partir de la gráfica de una función realizando secuencialmente las siguientes transformaciones:

1) la pantalla es simétrica con respecto al eje Buey,

2) compresión 2 veces a lo largo del eje Oy;

3) traslación paralela 2 unidades hacia abajo a lo largo del eje Oy.





2.

La gráfica de una función se obtiene a partir de la gráfica de una función. coherente realizando las siguientes transformaciones: resulta www. aeropuerto. ru/ servicios/ grafico. HTML

SUJETO: Transformaciones de gráficas de funciones trigonométricas con módulo.

OBJETIVO: Consideración de la obtención de gráficas de funciones trigonométricas de la forma.

y= f(|x|) ;y = | F(X)| .

Desarrollar la lógica matemática y la atención.

DURANTE LAS CLASES:

Org. momento: Anuncio del tema, metas y objetivos de la lección.

Maestro: Hoy debemos aprender a graficar funciones y = sin |x|; y = porque|x|

Y = |A sen x +b| ; Y = |A porque x +b| utilizando nuestro conocimiento de transformaciones de funciones trascendentales de la forma y = f(|x|) y y = |f(x)| . Quizás te preguntes: "¿Para qué es esto?" El hecho es que las propiedades de las funciones cambian en este caso, pero como sabes, esto se ve mejor en el gráfico.

Recordemos cómo se escriben estas funciones usando la definición.

Niños: f(|x|) =

|f(x)| =

Maestro: Entonces, para trazar la función y =F(|x|), si se conoce la gráfica de la función

y =F{ X), debes dejar esa parte de la gráfica de la función y = en su lugarF(X), cual

corresponde a la parte no negativa del dominio de definición de la función y =F(X). Reflejando esto

parte es simétrica con respecto al eje y, obtenemos otra parte de la gráfica correspondiente

parte negativa del dominio de definición.

Es decir, en la gráfica se ve así: y = f (x)

(Estos gráficos están dibujados en la pizarra. Niños en cuadernos)

Ahora, con base en esto, construiremos una gráfica de las funciones y = sin |x|; Y = |pecado x | ; Y = |2 sen x + 2|

Figura 1. Y = sen x

Figura 2. Y = sen |x|

Ahora grafiquemos las funciones Y = |sen x | y Y = |2 sen x + 2|

Para trazar la función y = \F(X)\, si se conoce la gráfica de la función y =F(X), es necesario dejar en su lugar la parte dondeF(X) > ACERCA DE, y mostrar simétricamente su otra parte con respecto al eje x, dondeF(X) < 0.