Gráfica de la función y 2x. Gráfico de funciones. Trazar puntos en el plano de coordenadas.

Elijamos un sistema de coordenadas rectangular en el plano y tracemos los valores del argumento en el eje de abscisas. X, y en ordenadas, los valores de la función. y = f(x).

Gráfico de funciones y = f(x) es el conjunto de todos los puntos cuyas abscisas pertenecen al dominio de definición de la función, y las ordenadas son iguales a los valores correspondientes de la función.

En otras palabras, la gráfica de la función y = f (x) es el conjunto de todos los puntos del plano, coordenadas X, en que satisfacen la relación y = f(x).

En la Fig. 45 y 46 muestran gráficas de funciones. y = 2x + 1 Y y = x 2 - 2x.

Estrictamente hablando, se debe distinguir entre la gráfica de una función (cuya definición matemática exacta se dio arriba) y una curva dibujada, que siempre da solo un bosquejo más o menos preciso de la gráfica (e incluso entonces, por regla general, no todo el gráfico, sino sólo su parte situada en las partes finales del plano). Sin embargo, en lo que sigue generalmente diremos “gráfico” en lugar de “bosquejo de gráfico”.

Usando una gráfica, puedes encontrar el valor de una función en un punto. Es decir, si el punto x = un pertenece al dominio de definición de la función y = f(x), luego para encontrar el número fa)(es decir, los valores de la función en el punto x = un) usted debe hacer esto. Es necesario pasar por el punto de abscisa. x = un trazar una línea recta paralela al eje de ordenadas; esta recta cortará la gráfica de la función y = f(x) en un punto; la ordenada de este punto será, en virtud de la definición del gráfico, igual a fa)(Figura 47).

Por ejemplo, para la función f(x) = x 2 - 2x usando la gráfica (Fig. 46) encontramos f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, etc.

Una gráfica de función ilustra claramente el comportamiento y las propiedades de una función. Por ejemplo, a partir de la consideración de la Fig. 46 está claro que la función y = x 2 - 2x toma valores positivos cuando X< 0 y en x > 2, negativo - en 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x acepta en x = 1.

Para graficar una función f(x) Necesitas encontrar todos los puntos del avión, coordenadas. X,en que satisfacen la ecuación y = f(x). En la mayoría de los casos, esto es imposible de hacer, ya que existe un número infinito de puntos de este tipo. Por lo tanto, la gráfica de la función se representa de forma aproximada, con mayor o menor precisión. El más sencillo es el método de trazar una gráfica utilizando varios puntos. Consiste en que el argumento X proporcione un número finito de valores, digamos, x 1, x 2, x 3,..., x k y cree una tabla que incluya los valores de la función seleccionada.

La tabla se ve así:

Habiendo compilado dicha tabla, podemos delinear varios puntos en la gráfica de la función. y = f(x). Luego, conectando estos puntos con una línea suave, obtenemos una vista aproximada de la gráfica de la función. y = f(x).

Sin embargo, cabe señalar que el método de trazado multipunto es muy poco fiable. De hecho, se desconoce el comportamiento del gráfico entre los puntos previstos y su comportamiento fuera del segmento entre los puntos extremos tomados.

Ejemplo 1. Para graficar una función y = f(x) alguien compiló una tabla de valores de argumentos y funciones:

Los cinco puntos correspondientes se muestran en la Fig. 48.

Con base en la ubicación de estos puntos, concluyó que la gráfica de la función es una línea recta (mostrada en la Fig. 48 por la línea de puntos). ¿Se puede considerar confiable esta conclusión? A menos que haya consideraciones adicionales que respalden esta conclusión, difícilmente puede considerarse confiable. confiable.

Para fundamentar nuestra afirmación, considere la función

.

Los cálculos muestran que los valores de esta función en los puntos -2, -1, 0, 1, 2 se describen exactamente en la tabla anterior. Sin embargo, la gráfica de esta función no es una línea recta en absoluto (se muestra en la Fig. 49). Otro ejemplo sería la función y = x + l + senπx; sus significados también se describen en la tabla anterior.

Estos ejemplos muestran que en su forma “pura” el método de trazar una gráfica utilizando varios puntos no es confiable. Por lo tanto, para trazar la gráfica de una función dada, generalmente se procede de la siguiente manera. Primero, estudiamos las propiedades de esta función, con la ayuda de las cuales podemos construir un bosquejo de la gráfica. Luego, calculando los valores de la función en varios puntos (cuya elección depende de las propiedades establecidas de la función), se encuentran los puntos correspondientes de la gráfica. Y finalmente, se dibuja una curva a través de los puntos construidos utilizando las propiedades de esta función.

Más adelante veremos algunas propiedades (las más simples y las más utilizadas) de las funciones utilizadas para encontrar un bosquejo de gráficas, pero ahora veremos algunos métodos comúnmente utilizados para construir gráficas.

Gráfica de la función y = |f(x)|.

A menudo es necesario trazar una función. y = |f(x)|, donde f(x) - función dada. Te recordamos cómo se hace esto. Al definir el valor absoluto de un número, podemos escribir

Esto significa que la gráfica de la función y =|f(x)| se puede obtener de la gráfica, función y = f(x) como sigue: todos los puntos en la gráfica de la función y = f(x), cuyas ordenadas no son negativas, no deben modificarse; Además, en lugar de los puntos de la gráfica de la función. y = f(x) Al tener coordenadas negativas, debes construir los puntos correspondientes en la gráfica de la función. y = -f(x)(es decir, parte de la gráfica de la función
y = f(x), que se encuentra debajo del eje X, debe reflejarse simétricamente respecto del eje X).

Ejemplo 2. Grafica la función y = |x|.

Tomemos la gráfica de la función. y = x(Fig. 50, a) y parte de este gráfico en X< 0 (que se encuentra debajo del eje X) reflejada simétricamente con respecto al eje X. Como resultado, obtenemos una gráfica de la función. y = |x|(Figura 50, b).

Ejemplo 3. Grafica la función y = |x 2 - 2x|.

Primero, grafiquemos la función. y = x 2 - 2x. La gráfica de esta función es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba, el vértice de la parábola tiene coordenadas (1; -1), su gráfica cruza el eje x en los puntos 0 y 2. En el intervalo (0; 2) la función toma valores negativos, por lo tanto esta parte del gráfico se refleja simétricamente con respecto al eje de abscisas. La figura 51 muestra la gráfica de la función. y = |x 2 -2x|, basado en la gráfica de la función y = x 2 - 2x

Gráfica de la función y = f(x) + g(x)

Considere el problema de construir una gráfica de una función. y = f(x) + g(x). si se dan gráficas de funciones y = f(x) Y y = g(x).

Tenga en cuenta que el dominio de definición de la función y = |f(x) + g(x)| es el conjunto de todos aquellos valores de x para los que están definidas ambas funciones y = f(x) e y = g(x), es decir, este dominio de definición es la intersección de los dominios de definición, funciones f(x) yg(x).

deja que los puntos (x 0 , y 1) Y (x 0, y 2) pertenecen respectivamente a las gráficas de funciones y = f(x) Y y = g(x), es decir y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Entonces el punto (x0;. y1 + y2) pertenece a la gráfica de la función y = f(x) + g(x)(para f(x 0) + gramo(x 0) = y 1 +y2),. y cualquier punto en la gráfica de la función y = f(x) + g(x) se puede obtener de esta manera. Por lo tanto, la gráfica de la función y = f(x) + g(x) se puede obtener a partir de gráficas de funciones y = f(x). Y y = g(x) reemplazando cada punto ( xn, y 1) gráficos de funciones y = f(x) punto (x norte, y 1 + y 2), Dónde y 2 = g(x n), es decir, desplazando cada punto ( xn, y 1) gráfico de funciones y = f(x) a lo largo del eje en por la cantidad y 1 = gramo(x norte). En este caso, sólo se consideran dichos puntos. X n para el cual ambas funciones están definidas y = f(x) Y y = g(x).

Este método de trazar una función. y = f(x) + g(x) se llama suma de gráficas de funciones y = f(x) Y y = g(x)

Ejemplo 4. En la figura, se construyó una gráfica de la función utilizando el método de suma de gráficas.
y = x + senx.

Al trazar una función y = x + senx Pensamos que f(x) = x, A g(x) = senx. Para trazar la gráfica de la función, seleccionamos puntos con abscisas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Valores f(x) = x, g(x) = senx, y = x + senx Calculemos en los puntos seleccionados y coloquemos los resultados en la tabla.

A veces, en las tareas hay funciones no del todo comunes, donde en la fórmula de la función solo hay "y" o solo "x".

Surge la pregunta: " ¿Cómo graficar tal función?».

¡Recordar!

La gráfica de una función de la forma “y = 7” y “x = 2” (funciones donde solo hay “y” o solo “x”) es una línea recta que es paralela a uno de los ejes de coordenadas.

Cómo graficar la función "y = 7"

Entendámoslo con un ejemplo. Considere la función "y = 7".

En la fórmula de la función “y = 7” solo existe “y”. Esto significa que todos los puntos en la gráfica de la función “y = 7” tienen una coordenada a lo largo del eje “y” (ordenada) igual a “7”.

El argumento de la función "x" está claramente ausente en la fórmula de la función "y = 7", pero sin embargo "x", aunque "invisiblemente", está en la función y toma cualquier valor numérico.

Dicho esto, encontremos algunos puntos. Artes graficas
funciones "y = 7". Elijamos tres valores numéricos arbitrarios para "x". Por ejemplo, los números “1”, “2” y “3”.

Si conectamos los puntos obtenidos de la gráfica de la función “y = 7”, obtendremos una recta paralela al eje “Ox”.

Cómo graficar la función “x = 2”

Las funciones donde solo hay "x" se construyen según un principio similar al de las funciones donde solo hay "y", con la única diferencia de que ahora trabajamos con el eje "Ox".

Entendámoslo con un ejemplo. Considere la función “x = 2”.

En la fórmula de la función “x = 2” solo existe “x”.

Esto significa que todos los puntos de la gráfica de la función “x = 2” tienen una coordenada a lo largo del eje “x” (abscisa) igual a “2”.

El valor de la función “y” está claramente ausente en la función “x = 2”, pero sin embargo “y” está “invisiblemente” en la función y toma cualquier valor numérico.

Dicho esto, encontremos algunos puntos en el gráfico.
funciones "x = 2".

Elijamos tres valores numéricos arbitrarios para "y". Por ejemplo, los números “1”, “2” y “3”.

Marquemos los puntos obtenidos en el sistema de coordenadas.

Si conectamos los puntos obtenidos de la gráfica de la función “x = 2”, obtendremos una recta paralela al eje “Oy”.

Cómo recordar las reglas para trazar funciones de la forma “y = 7” y “x = 2”

Para trazar funciones de la forma “y = 7” y “x = 2”, recuerda la siguiente regla.

La construcción de gráficas de funciones que contienen módulos suele causar considerables dificultades a los escolares. Sin embargo, no todo es tan malo. Basta recordar algunos algoritmos para resolver este tipo de problemas y podrá construir fácilmente una gráfica incluso de la función aparentemente más compleja. Averigüemos qué tipo de algoritmos son estos.

1. Trazar una gráfica de la función y = |f(x)|

Tenga en cuenta que el conjunto de valores de la función y = |f(x)| : y ≥ 0. Por lo tanto, las gráficas de tales funciones siempre están ubicadas completamente en el semiplano superior.

Trazar una gráfica de la función y = |f(x)| consta de los siguientes cuatro sencillos pasos.

1) Construya con cuidado y cuidado una gráfica de la función y = f(x).

2) Deje sin cambios todos los puntos del gráfico que están encima o en el eje 0x.

3) Muestre la parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x simétricamente con respecto al eje 0x.

Ejemplo 1. Dibuja una gráfica de la función y = |x 2 – 4x + 3|

1) Construimos una gráfica de la función y = x 2 – 4x + 3. Obviamente, la gráfica de esta función es una parábola. Encontremos las coordenadas de todos los puntos de intersección de la parábola con los ejes de coordenadas y las coordenadas del vértice de la parábola.

x2 – 4x + 3 = 0.

x1 = 3, x2 = 1.

Por lo tanto, la parábola corta al eje 0x en los puntos (3, 0) y (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Por lo tanto, la parábola corta al eje 0y en el punto (0, 3).

Coordenadas del vértice de la parábola:

x pulg = -(-4/2) = 2, y pulg = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Por tanto, el punto (2, -1) es el vértice de esta parábola.

Dibuja una parábola usando los datos obtenidos. (Figura 1)

2) La parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x se muestra simétricamente con respecto al eje 0x.

3) Obtenemos una gráfica de la función original ( arroz. 2, mostrado en línea de puntos).

2. Trazar la función y = f(|x|)

Tenga en cuenta que las funciones de la forma y = f(|x|) son pares:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Esto significa que las gráficas de tales funciones son simétricas con respecto al eje 0y.

Trazar una gráfica de la función y = f(|x|) consta de la siguiente cadena simple de acciones.

1) Grafica la función y = f(x).

2) Dejar aquella parte de la gráfica para la cual x ≥ 0, es decir, la parte de la gráfica ubicada en el semiplano derecho.

3) Visualice la parte del gráfico especificada en el punto (2) simétricamente al eje 0y.

4) Como gráfica final, seleccione la unión de las curvas obtenidas en los puntos (2) y (3).

Ejemplo 2. Dibuja una gráfica de la función y = x 2 – 4 · |x| + 3

Dado que x 2 = |x| 2, entonces la función original se puede reescribir de la siguiente forma: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Ahora podemos aplicar el algoritmo propuesto anteriormente.

1) Construimos cuidadosa y cuidadosamente una gráfica de la función y = x 2 – 4 x + 3 (ver también arroz. 1).

2) Dejamos aquella parte de la gráfica para la que x ≥ 0, es decir, la parte de la gráfica situada en el semiplano derecho.

3) Muestre el lado derecho del gráfico simétricamente al eje 0y.

(Fig. 3).

Ejemplo 3. Dibuja una gráfica de la función y = log 2 |x|

Aplicamos el esquema dado anteriormente.

1) Construye una gráfica de la función y = log 2 x (Figura 4).

3. Trazar la función y = |f(|x|)|

Tenga en cuenta que las funciones de la forma y = |f(|x|)| también están igualados. De hecho, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), y por lo tanto, sus gráficas son simétricas con respecto al eje 0y. El conjunto de valores de tales funciones: y ≥ 0. Esto significa que las gráficas de tales funciones están ubicadas completamente en el semiplano superior.

Para trazar la función y = |f(|x|)|, necesitas:

1) Construya con cuidado una gráfica de la función y = f(|x|).

2) Deje sin cambios la parte del gráfico que está encima o en el eje 0x.

3) Muestre la parte del gráfico ubicada debajo del eje 0x simétricamente con respecto al eje 0x.

4) Como gráfica final, seleccione la unión de las curvas obtenidas en los puntos (2) y (3).

Ejemplo 4. Dibuja una gráfica de la función y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Tenga en cuenta que x 2 = |x| 2. Esto significa que en lugar de la función original y = -x 2 + 2|x| - 1

puedes usar la función y = -|x| 2 + 2|x| – 1, ya que sus gráficas coinciden.

Construimos una gráfica y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Para ello utilizamos el algoritmo 2.

a) Grafica la función y = -x 2 + 2x – 1 (Figura 6).

b) Dejamos esa parte de la gráfica que se sitúa en el semiplano derecho.

c) Mostramos la parte resultante del gráfico simétricamente al eje 0y.

d) La gráfica resultante se muestra en la línea de puntos de la figura. (Figura 7).

2) No hay puntos encima del eje 0x; dejamos los puntos en el eje 0x sin cambios.

3) La parte del gráfico ubicada debajo del eje 0x se muestra simétricamente con respecto a 0x.

4) El gráfico resultante se muestra en la figura con una línea de puntos. (Figura 8).

Ejemplo 5. Grafica la función y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Primero necesitas trazar la función y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Para ello volvemos al Algoritmo 2.

a) Trace cuidadosamente la función y = (2x – 4) / (x + 3) (Figura 9).

Tenga en cuenta que esta función es lineal fraccionaria y su gráfica es una hipérbola. Para trazar una curva, primero necesitas encontrar las asíntotas de la gráfica. Horizontal – y = 2/1 (la relación de los coeficientes de x en el numerador y denominador de la fracción), vertical – x = -3.

2) Dejaremos sin cambios esa parte del gráfico que está encima del eje 0x o sobre él.

3) La parte del gráfico ubicada debajo del eje 0x se mostrará simétricamente con respecto a 0x.

4) El gráfico final se muestra en la figura. (Figura 11).

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Una gráfica de función es una representación visual del comportamiento de una función en un plano de coordenadas. Los gráficos le ayudan a comprender varios aspectos de una función que no se pueden determinar a partir de la función misma. Puedes construir gráficas de muchas funciones y a cada una de ellas se le dará una fórmula específica. La gráfica de cualquier función se construye utilizando un algoritmo específico (si ha olvidado el proceso exacto de graficar una función específica).

Pasos

Graficar una función lineal

Determina si la función es lineal. La función lineal viene dada por una fórmula de la forma F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) o y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(por ejemplo, ), y su gráfica es una línea recta. Por lo tanto, la fórmula incluye una variable y una constante (constante) sin exponentes, signos de raíz o similares. Si se da una función de un tipo similar, es bastante sencillo trazar una gráfica de dicha función. Aquí hay otros ejemplos de funciones lineales:

Utilice una constante para marcar un punto en el eje Y. La constante (b) es la coordenada “y” del punto donde la gráfica corta al eje Y. Es decir, es un punto cuya coordenada “x” es igual a 0. Así, si se sustituye x = 0 en la fórmula , entonces y = b (constante). En nuestro ejemplo y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) la constante es igual a 5, es decir, el punto de intersección con el eje Y tiene coordenadas (0,5). Traza este punto en el plano de coordenadas.

Encuentra la pendiente de la recta. Es igual al multiplicador de la variable. En nuestro ejemplo y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) con la variable “x” hay un factor de 2; por tanto, el coeficiente de pendiente es igual a 2. El coeficiente de pendiente determina el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto al eje X, es decir, cuanto mayor es el coeficiente de pendiente, más rápido aumenta o disminuye la función.

Escribe la pendiente como una fracción. El coeficiente angular es igual a la tangente del ángulo de inclinación, es decir, la relación entre la distancia vertical (entre dos puntos en línea recta) y la distancia horizontal (entre los mismos puntos). En nuestro ejemplo, la pendiente es 2, por lo que podemos afirmar que la distancia vertical es 2 y la distancia horizontal es 1. Escribe esto como una fracción: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Si la pendiente es negativa, la función es decreciente.

1. Desde el punto donde la línea recta cruza el eje Y, traza un segundo punto usando distancias verticales y horizontales. Una función lineal se puede graficar usando dos puntos. En nuestro ejemplo, el punto de intersección con el eje Y tiene coordenadas (0,5); Desde este punto, muévete 2 espacios hacia arriba y luego 1 espacio hacia la derecha. Marque un punto; tendrá coordenadas (1,7). Ahora puedes dibujar una línea recta.

   Con una regla, dibuja una línea recta que pase por dos puntos. Para evitar errores, encuentre el tercer punto, pero en la mayoría de los casos la gráfica se puede trazar usando dos puntos. Por lo tanto, has trazado una función lineal.

   Trazar puntos en el plano de coordenadas.

   1. Definir una función. La función se denota como f(x). Todos los valores posibles de la variable "y" se denominan dominio de la función, y todos los valores posibles de la variable "x" se denominan dominio de la función. Por ejemplo, considere la función y = x+2, es decir, f(x) = x+2.

      Dibuja dos líneas perpendiculares que se crucen. La línea horizontal es el eje X. La línea vertical es el eje Y.

      Etiqueta los ejes de coordenadas. Divide cada eje en segmentos iguales y numéralos. El punto de intersección de los ejes es 0. Para el eje X: los números positivos se trazan a la derecha (desde 0) y los números negativos a la izquierda. Para el eje Y: los números positivos se trazan en la parte superior (desde 0) y los números negativos en la parte inferior.

      Encuentra los valores de "y" a partir de los valores de "x". En nuestro ejemplo, f(x) = x+2. Sustituya valores de x específicos en esta fórmula para calcular los valores de y correspondientes. Si se le da una función compleja, simplifíquela aislando la “y” en un lado de la ecuación.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Traza los puntos en el plano coordenado. Para cada par de coordenadas, haga lo siguiente: busque el valor correspondiente en el eje X y dibuje una línea vertical (de puntos); busque el valor correspondiente en el eje Y y dibuje una línea horizontal (línea discontinua). Marque el punto de intersección de las dos líneas de puntos; por lo tanto, ha trazado un punto en la gráfica.

      Borra las líneas de puntos. Haga esto después de trazar todos los puntos del gráfico en el plano de coordenadas. Nota: la gráfica de la función f(x) = x es una línea recta que pasa por el centro de coordenadas [punto con coordenadas (0,0)]; la gráfica f(x) = x + 2 es una recta paralela a la recta f(x) = x, pero desplazada dos unidades hacia arriba y por tanto pasa por el punto de coordenadas (0,2) (porque la constante es 2) .

   Graficar una función compleja

   Encuentra los ceros de la función. Los ceros de una función son los valores de la variable x donde y = 0, es decir, estos son los puntos donde la gráfica corta al eje X. Ten en cuenta que no todas las funciones tienen ceros, pero son las primeras paso en el proceso de graficar cualquier función. Para encontrar los ceros de una función, igualala a cero. Por ejemplo:

   Encuentra y marca las asíntotas horizontales. Una asíntota es una recta a la que se acerca la gráfica de una función pero nunca se cruza (es decir, en esta región la función no está definida, por ejemplo, al dividir por 0). Marca la asíntota con una línea de puntos. Si la variable "x" está en el denominador de una fracción (por ejemplo, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), ponga el denominador en cero y encuentre “x”. En los valores obtenidos de la variable “x” la función no está definida (en nuestro ejemplo, dibuja líneas de puntos a través de x = 2 y x = -2), porque no se puede dividir por 0. Pero las asíntotas existen no sólo en los casos en que la función contiene una expresión fraccionaria. Por ello, se recomienda utilizar el sentido común: