Урокът по информатика е предназначен за ученици от 10 клас на общообразователно училище, чиято учебна програма включва раздела "Алгебра на логиката". Тази тема е много трудна за учениците, така че аз като учител исках да ги заинтересувам да изучават законите на логиката, да опростяват логически изрази и да подхождат с интерес към решаването на логически проблеми. В обичайната форма даването на уроци по тази тема е досадно и обезпокоително, а някои определения не винаги са ясни на децата. Във връзка с предоставянето на информационно пространство, имах възможността да публикувам уроците си в обвивката „учене“. Студентите, които се регистрират в него, могат да посещават този курс в свободното си време и да препрочитат това, което не е ясно в урока. Някои ученици, пропуснали уроци поради болест, компенсират пропуснатата тема у дома или в училище и винаги са готови за следващия урок. Тази форма на обучение много подхождаше на много деца и тези закони, които бяха неразбираеми за тях, сега се научават в компютърна форма много по-лесно и по-бързо. Предлагам един от тези уроци по информатика, който се провежда интегрирано с ИКТ.

План на урока

1. Обяснение на нов материал, с участието на компютър - 25 минути.
2. Основни понятия и дефиниции, заложени в „обучение” – 10 минути.
3. Материал за любопитните - 5 минути.
4. Домашна работа – 5 минути.

1. Обяснение на нов материал

Закони на формалната логика

Най-простите и необходими истински връзки между мислите са изразени в основните закони на формалната логика. Това са законите на тъждеството, непротиворечивостта, изключената среда, достатъчното основание.

Тези закони са основни, защото в логиката играят особено важна роля, те са най-общи. Те ви позволяват да опростявате логически изрази и да създавате изводи и доказателства. Първите три от горните закони са идентифицирани и формулирани от Аристотел, а законът за достатъчното основание - от Г. Лайбниц.

Законът за тъждеството: в процеса на определено разсъждение всяко понятие и съждение трябва да бъде идентично на себе си.

Законът за непротиворечивостта: невъзможно е едно и също око едновременно да бъде и да не е присъщо на едно и също нещо в едно и също отношение. Тоест, невъзможно е едновременно да се твърди и отрича нещо.

Закон за изключената среда: от две противоречиви твърдения едното е вярно, другото е невярно, а третото не е дадено.

Закон за достатъчната причина: Всяка истинска мисъл трябва да бъде достатъчно обоснована.

Последният закон гласи, че доказването на нещо предполага обосноваване на точно и само верни мисли. Фалшивите мисли не могат да бъдат доказани. Има една хубава латинска поговорка: "Да греши е присъщо на всеки човек, но само глупавият е да настоява за грешка." За този закон няма формула, тъй като той има само материален характер. Като аргументи за потвърждаване на истинската мисъл могат да се използват верни преценки, фактически материали, статистически данни, закони на науката, аксиоми, доказани теореми.

Закони на пропозиционалната алгебра

Алгебра на твърденията (алгебра на логиката) е раздел от математическата логика, който изучава логическите операции върху предложенията и правилата за трансформиране на сложни предложения.

При решаването на много логически проблеми често е необходимо да се опростят формулите, получени чрез формализиране на техните условия. Опростяването на формулите в алгебрата на предложенията се извършва на базата на еквивалентни трансформации, базирани на основните логически закони.

Законите на алгебрата на твърденията (алгебрата на логиката) са тавтологии.

Понякога тези закони се наричат ​​теореми.

В пропозиционалната алгебра логическите закони се изразяват като равенство на еквивалентни формули. Сред законите особено се отличават тези, които съдържат една променлива.

Първите четири от следните закони са основните закони на пропозиционалната алгебра.

Закон за идентичността:

Всяка концепция и преценка са идентични на себе си.

Законът за тъждеството означава, че в процеса на разсъждение човек не може да замени една мисъл с друга, едно понятие с друго. Ако този закон е нарушен, са възможни логически грешки.

Например дискусия Казват правилно, че езикът ще ви отведе до Киев, но вчера купих пушен език, което означава, че сега мога спокойно да отида до Киевнеправилно, тъй като първата и втората дума "език" обозначават различни понятия.

В дискусия: Движението е вечно. Ходенето на училище е движение. Следователно ходенето на училище е завинагидумата "движение" се използва в два различни смисъла (първият - във философския смисъл - като атрибут на материята, вторият - в обикновен смисъл - като действие за движение в пространството), което води до погрешно заключение.

Закон за непротиворечие:

Едно твърдение и неговото отрицание не могат да бъдат истинни едновременно. Тоест, ако твърдението Ае вярно, тогава неговото отрицание не Атрябва да е невярно (и обратното). Тогава техният продукт винаги ще бъде фалшив.

Именно това равенство често се използва при опростяване на сложни логически изрази.

Понякога този закон се формулира по следния начин: две твърдения, които си противоречат, не могат да бъдат верни едновременно. Примери за неспазване на закона за непротиворечие:

1. Има живот на Марс и няма живот на Марс.

2. Оля е завършила гимназия и е в 10 клас.

Законът на изключената среда:

В един и същи момент твърдението може да бъде вярно или невярно, няма трето. Вярно също а,или не А.Примери за прилагане на закона за изключената среда:

1. Числото 12345 е четно или нечетно, трето няма.

2. Компанията работи на загуба или на рентабилност.

3. Тази течност може или не може да бъде киселина.

Законът за изключената среда не е закон, признат от всички логици като универсален закон на логиката. Този закон се прилага, когато знанието се занимава с твърда ситуация: "или - или", "вярно-невярно". Когато има несигурност (например при разсъждения за бъдещето), законът на изключената среда често не може да бъде приложен.

Помислете за следното твърдение: Това предложение е невярно.Не може да е вярно, защото твърди, че е невярно. Но не може да бъде и невярно, защото тогава би било истина. Това твърдение не е нито вярно, нито невярно и следователно законът за изключената среда е нарушен.

Парадокс(гръцки paradoxos - неочакван, странен) в този пример възниква от факта, че изречението се отнася за себе си. Друг известен парадокс е проблемът с фризьора: В един град фризьор подстригва всички жители, с изключение на тези, които се подстригват сами. Кой подстригва бръснаря?В логиката, поради своята формалност, не е възможно да се получи формата на такова самореферентно твърдение. Това още веднъж потвърждава идеята, че с помощта на алгебрата на логиката е невъзможно да се изразят всички възможни мисли и аргументи. Нека покажем как въз основа на дефиницията на пропозиционалната еквивалентност могат да бъдат получени останалите закони на пропозиционалната алгебра.

Например, нека дефинираме какво е еквивалентно на (еквивалентно на) А(два пъти не а,т.е. отрицание на отрицанието А).За да направим това, ще изградим таблица на истината:

По дефиницията на еквивалентността трябва да намерим колоната, чиито стойности съвпадат със стойностите на колоната А.Това ще бъде колоната А.

Така можем да формулираме двойно правоотрицания:

Ако отхвърлим дадено твърдение два пъти, тогава резултатът е оригиналното твърдение. Например изявлението А= Матроскин- коткае еквивалентно на казване A = Не е вярно, че Матроскин не е котка.

По подобен начин могат да бъдат извлечени и проверени следните закони:

Постоянни свойства:

Закони на идемпотентността:

Колкото и пъти да повтаряме: Включен телевизор или включен телевизор или включен телевизор...смисълът на изречението няма да се промени. Също и от повторение Навън е топло, навън е топло...нито един градус по-топло.

Законите на комутативността:

A v B = B v A

A & B = B & A

операнди АИ INв операциите на дизюнкция и конюнкция могат да бъдат разменени.

Закони за асоциативност:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Ако изразът използва само операцията дизюнкция или само операцията конюнкция, тогава можете да пренебрегнете скобите или да ги подредите произволно.

Закони за разпределение:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(разпределителна дизюнкция
относно връзката)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(дистрибутивност на връзката
относно дизюнкция)

Дистрибутивният закон на конюнкцията спрямо дизюнкцията е подобен на дистрибутивния закон в алгебрата, но законът на дистрибутивната дизюнкция спрямо конюнкцията няма аналог, той е валиден само в логиката. Следователно трябва да се докаже. Доказателството се прави най-добре с помощта на таблица на истината:

Закони за абсорбция:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

Извършете доказателството на законите за поглъщане сами.

Законите на Де Морган:

Словесни формулировки на законите на де Морган:

Мнемонично правило:от лявата страна на идентичността операцията на отрицание стои над цялото твърдение. От дясната страна изглежда, че е счупено и отрицанието стои над всяко от простите твърдения, но в същото време операцията се променя: дизюнкция към конюнкция и обратно.

Примери за прилагане на закона на де Морган:

1) Изявление Не е вярно, че знам арабски или китайские идентичен с твърдението Не знам арабски и не знам китайски.

2) Изявление Не е вярно, че съм си научил урока и съм получил 5е идентичен с твърдението Или не съм си научил урока, или не съм получил пет.

Замяна на импликация и операции за еквивалентност

Операциите на импликация и еквивалентност понякога не са сред логическите операции на конкретен компютър или компилатор от език за програмиране. Тези операции обаче са необходими за решаване на много проблеми. Има правила за замяна на тези операции с последователности от операции на отрицание, дизюнкция и конюнкция.

Така че, сменете операцията последицивъзможно според следното правило:

За да замените операцията еквивалентностима две правила:

Лесно е да се провери валидността на тези формули чрез конструиране на таблици на истината за дясната и лявата страна на двете идентичности.

Познаването на правилата за заместване на операциите на импликация и еквивалентност помага например за правилното конструиране на отрицанието на импликация.

Помислете за следния пример.

Нека бъде дадено изявлението:

E = Не е вярно, че ако спечеля състезанието, ще получа награда.

Позволявам А= Ще спечеля състезанието

B = Ще получа награда.

Следователно E = ще спечеля състезанието, но няма да получа награда.

Следните правила също представляват интерес:

Можете също да докажете тяхната валидност с помощта на таблици на истината.

Изразът им на естествен език е интересен.

Например фразата

Ако Мечо Пух е ял мед, значи е пълен

е идентичен с фразата

Ако Мечо Пух не е пълен, значи не е ял мед.

Упражнение:помислете за фрази-примери за тези правила.

2. Основни понятия и определенияв Приложение 1

3. Материал за любопитнитев Приложение 2

4. Домашна работа

1) Научете законите на логиката, като използвате курса по алгебра на логиката, намиращ се в информационното пространство (www.learning.9151394.ru).

2) Проверете доказателството на законите на Де Морган на компютър, като съставите таблица на истината.

Приложения

1. Основни понятия и определения (Приложение 1).
2. Материал за любознателните (Приложение 2).

1.3.1. ИЗЯВЛЕНИЕ
1.3.2. ЛОГИЧЕСКИ ОПЕРАЦИИ
1.3.3. КОНСТРУКЦИЯ НА ТАБЛИЦИ ЗА ИСТИННОСТ ЗА ЛОГИЧЕСКИ ИЗРАЗИ
1.3.4. СВОЙСТВА НА ЛОГИЧЕСКИТЕ ОПЕРАЦИИ
1.3.5. РЕШАВАНЕ НА ЛОГИЧЕСКИ ЗАДАЧИ
1.3.6. ЛОГИЧЕСКИ ЕЛЕМЕНТИ

1. Запознайте се с презентационните материали към параграфа, съдържащи се в електронното приложение към учебника. Презентацията допълва ли информацията, съдържаща се в текста на параграфа?

2. Обяснете защо следните изречения не са твърдения.
1) Какъв цвят е тази къща?
2) Числото X не надвишава единица.
3) 4X+3.
4) Погледнете през прозореца.
5) Пийте доматен сок!
6) Тази тема е скучна.
7) Рики Мартин е най-популярният певец.
8) Ходили ли сте на театър?

3. Дайте по един пример за верни и неверни твърдения от биология, география, информатика, история, математика, литература.

4. В следващите твърдения подчертайте прости твърдения, като маркирате всяко от тях с буква; запишете всяко съставно твърдение, като използвате букви и знаци на логически операции.
1) Числото 376 е четно и трицифрено.
2) През зимата децата карат кънки или ски.
3) Ще празнуваме Нова година в дачата или на Червения площад.
4) Не е вярно, че Слънцето се движи около Земята.
5) Земята има формата на топка, която изглежда синя от космоса.
6) В урока по математика учениците от гимназията отговориха на въпросите на учителя, а също така написаха самостоятелна работа.

5. Конструирайте отрицанията на следните твърдения.

6. Нека A \u003d "Всеки харесва уроци по математика" и B = "Всеки харесва уроци по химия." Изразете следните формули на разбираем език:

7. Някой сегмент от интернет мрежата се състои от 1000 сайта. Сървърът за търсене състави автоматично таблица с ключови думи за сайтове в този сегмент. Ето нейния фрагмент:

920; 80.

8. Създайте таблици на истината за следните логически изрази:

9. Дайте доказателство на логическите закони, разгледани в параграфа, като използвате таблици на истинност.

10. В десетичната бройна система са дадени три числа: A=23, B=19, C=26. Преобразувайте A, B и C в двоичната бройна система и изпълнете побитови логически операции (A v B) и C. Дайте отговора в десетична бройна система.

11. Намерете значението на изразите:

12. Намерете стойността на логическия израз (x
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
1) 0. 2) 0. 3) 1. 4) 1.

13. Нека A \u003d "Първата буква на името е гласна", B \u003d "Четвъртата буква на името е съгласна." Намерете стойността на логическия израз A v B за следните имена:
1) ЕЛЕНА 2) ВАДИМ 3) АНТОН 4) ФЕДОР
1) 1. 2) 1. 3) 0. 4) 1.

14. Случаят на Джон, Браун и Смит се разглежда. Известно е, че един от тях е намерил и скрил съкровището. По време на разследването всеки от заподозрените е направил по две показания:
Смит: „Не съм го направил. Браун го направи."
Джон: „Браун не е виновен. Смит го направи."
Браун: Не съм го направил. Джон не го е направил."
Съдът установи, че единият е излъгал два пъти, другият два пъти е казал истината, третият е излъгал веднъж, веднъж е казал истината. Кой заподозрян трябва да бъде оправдан?
Отговор: Смит и Джон.

15. Альоша, Боря и Гриша намериха стар съд в земята. Имайки предвид удивителната находка, всеки направи две предположения:
1) Альоша: "Този съд е гръцки и е направен през 5 век."
2) Боря: "Това е финикийски съд и е направен през 3 век."
3) Гриша: „Този ​​съд не е гръцки и е направен през 4 век.“
Учителят по история каза на децата, че всяко от тях е правилно само в едно от двете предположения. Къде и през кой век е изработен съдът?
Отговор: Финикийски съд, изработен през 5 век.

16. Разберете какъв сигнал трябва да бъде на изхода на електронната схема за всеки възможен набор от сигнали на входовете. Направете работен лист на веригата. Какъв логически израз описва веригата?

Изграждане на таблици за истинност за логически изрази

Преглед основни логически операции.

53. Таблицата показва заявките и броя страници, намерени в тях за определен сегмент от Интернет.

Заявка	Намерени страници (в хиляди)
ШОКОЛАД | ЗЕФИР	15 000
ШОКОЛАД И МРАМОР	8 000
ЗЕФИР	12 000

Колко страници (в хиляди) ще бъдат намерени за заявката ШОКОЛАД? Решете задачата с помощта на кръгове на Ойлер:

54. Таблицата показва заявките и броя страници, намерени в тях за определен сегмент от Интернет.

Заявка	Намерени страници (в хиляди)
ЗУБР И ТУР	5 000
БИЗОН	18 000
ОБИКОЛКА	12 000

Колко страници (в хиляди) ще бъдат намерени за заявката ZUBR | ТУР?Решете задачата с помощта на кръгове на Ойлер:

55. Таблицата показва заявките и броя страници, намерени в тях за определен сегмент от Интернет.

Заявка	Намерени страници (в хиляди)
ФУТБОЛ | ХОКЕЙ	20 000
ФУТБОЛ	14 000
ХОКЕЙ	16 000

Колко страници (в хиляди) ще бъдат намерени за ФУТБОЛ И ХОКЕЙ? Решете задачата с помощта на кръгове на Ойлер:

Задачи.

1. Обяснете защо следните изречения не са твърдения.

1) Какъв цвят е тази къща?

2) Числото X не надвишава единица.

4) Погледнете през прозореца.

5) Пийте доматен сок!

6) Тази тема е скучна.

7) Рики Мартин е най-популярният певец.

8) Ходили ли сте на театър?

3. В следващите твърдения подчертайте прости твърдения, като маркирате всяко от тях с буква; запишете всяко съставно твърдение, като използвате букви и знаци на логически операции.

1) Числото 376 е четно и трицифрено.

2) През зимата децата карат кънки или ски.

3) Ще празнуваме Нова година в дачата или на Червения площад.

4) Не е вярно, че Слънцето се движи около Земята.

5) Земята има формата на топка, която изглежда синя от космоса.

6) В урока по математика учениците от гимназията отговориха на въпросите на учителя, а също така написаха самостоятелна работа.

4. Изградете отрицанията на следните твърдения.

1) Днес театърът играе операта "Евгений Онегин".

2) Всеки ловец иска да знае къде седи фазанът.

3) Числото 1 е просто число.

4) Естествените числа, завършващи на О, не са прости числа.

5) Не е вярно, че числото 3 не е делител на числото 198.

6) Коля реши всички задачи от теста.

7) Във всяко училище някои ученици се интересуват от спорт.

8) Някои бозайници не живеят на сушата.

5. Нека A \u003d " Аня харесва уроците по математика"и B =" Но неХаресвам уроците по химия. Изразете следните формули на разбираем език:

6. Разгледайте електрическите вериги, показани на фигурата:

Те показват познатите ви от курса по физика паралелни и последователни връзки на ключове. В първия случай, за да светне крушката, трябва да са включени и двата ключа. Във втория случай е достатъчно един от превключвателите да е включен. Опитайте се самостоятелно да направите аналогия между елементите на електрическите вериги и обектите и операциите на алгебрата на логиката:

Електрическа схема	Алгебра на логиката
Превключване
Включи
Изключвам
Серийно свързване на ключове
Паралелно свързване на ключове

7. Някой сегмент от интернет мрежата се състои от 1000 сайта. Сървърът за търсене състави автоматично таблица с ключови думи за сайтове в този сегмент. Ето неговия фрагмент:

Ключова дума	Броят на сайтовете, за които тази дума е ключова дума
сом	250
мечоносци	200
гупи	500

По заявка сомове и гупиНамерени са 0 сайта по заявка сомове и мечове- 20 обекта и по заявка мечове и гупи- 10 обекта.Колко сайта ще бъдат намерени при поискване сом | мечоносци | гупи?
За колко сайта от разглеждания сегмент твърдението е невярно"Сом - ключовата дума на сайта ИЛИ мечоносци -ключова дума за сайта ИЛИ guppy - ключова дума за сайта"?
8. Създайте таблици на истината за следните логически изрази:

9. Докажете логиката, разгледана в параграфа някои закони с помощта на таблици на истината.

Дадени са три числа в десетичната бройна система: A = 23, B = 19, C = 26. Преобразувайте A, B и C в двоичната бройна система и изпълнете побитови логически операции (A v B) & C. Дайте отговора в десетична бройна система.
11. Намерете стойностите на израза:
1) (1 срещу 1) v (1 срещу 0);
2) ((1 v 0) v 1) v 1);
3) (0 & 1) & 1;
4) 1 & (1 & 1) & 1;
5) ((1 срещу 0) & (1 & 1)) & (0 срещу 1);
6) ((1 & 1) v 0) & (0 v 1);
7) ((0 & 0) v 0) & (1 v 1);
8) (A v 1) v (B v 0);
9) ((1 & A) v (B & 0)) v 1;
10) 1 v A & 0.
12. Намерете стойността на булев израз

За посочените стойности на числото X: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Формули и закони на логиката

Във встъпителен урок по основите на математическата логика, ние се запознахме с основните понятия на този раздел от математиката и сега темата получава естествено продължение. В допълнение към новия теоретичен, или по-скоро дори не теоретичен - а общообразователен материал, ни очакват практически задачи и затова, ако сте дошли на тази страница от търсачка и / или сте лошо ориентирани в материала, моля, следвайте връзката по-горе и започнете от предишната статия. Освен това за практика се нуждаем от 5 таблици на истината логически операциикойто аз горещо препоръчвам пренаписвам на ръка.

НЕ помнете, НЕ печатайте, а именно, разбирайте отново и пренапишете на хартия със собствената си ръка - така че да са пред очите ви:

– маса НЕ;
- таблица I;
– таблица ИЛИ;
– импликационна таблица;
- Таблица за еквивалентност.

Много е важно. По принцип би било удобно да ги номерирате "Таблица 1", "Таблица 2" и т.н., но многократно съм подчертавал недостатъка в този подход - както се казва, в единия източник таблицата ще бъде първа, а в другия - сто и първа. Затова ще използваме "естествени" имена. Продължаваме:

Всъщност вече сте запознати с концепцията за логическа формула. Ще дам стандартен, но доста остроумен определение: формулипропозиционалните алгебри се наричат:

1) всякакви елементарни (прости) твърдения;

2) ако и са формули, то формулите също са изрази на формата
.

Няма други формули.

По-специално, формула е всяка логическа операция, като например логическо умножение. Обърнете внимание на втората точка - позволява рекурсивенначин за "създаване" на произволно дълга формула. Тъй като са формули, тогава също е формула; тъй като и са формули, тогава - също формула и др. Всяко елементарно твърдение (отново по дефиниция)може да въведе формулата повече от веднъж.

Формула Нее, например, запис - и тук има очевидна аналогия с "алгебричен боклук", от който не става ясно дали числата трябва да се добавят или умножават.

Логическата формула може да се разглежда като логическа функция. Нека напишем същата връзка във функционална форма:

Елементарните твърдения в този случай също играят ролята на аргументи (независими променливи), които в класическата логика могат да приемат 2 стойности: вярноили лъжа. По-нататък, за удобство, понякога ще наричам прости твърдения променливи.

Таблицата, описваща логическата формула (функция), се нарича, както вече беше споменато, таблица на истината. Моля - позната снимка:

Принципът на формиране на таблицата на истината е следният: "на входа" трябва да изброите всички възможни комбинацииистини и лъжи, които елементарните предложения (аргументи) могат да приемат. В този случай формулата включва две твърдения и е лесно да се установи, че има четири такива комбинации. „На изхода“ получаваме съответните логически стойности на цялата формула (функция).

Трябва да кажа, че „изходът“ тук се оказа „в една стъпка“, но в общия случай логическата формула е по-сложна. И в такива "трудни случаи" е необходимо да се наблюдава ред на изпълнение на логическите операции:

- първо се извършва отрицание;
- второ - съюз;
- тогава - дизюнкция;
- тогава импликацията ;
- и накрая най-ниският приоритет има еквивалент.

Така например записът предполага, че първо трябва да извършите логическо умножение, а след това - логическо събиране:. Точно като в "обикновената" алгебра - "първо умножаваме, а после събираме."

Редът на действията може да се промени по обичайния начин - скоби:
- тук на първо място се извършва дизюнкция и едва след това по-„силна“ операция.

Вероятно всички разбират, но за всеки случай пожарникар: и този две различниформули! (както формално, така и по същество)

Нека направим таблица на истинност за формулата. Тази формула включва две елементарни твърдения и „на входа“ трябва да изброим всички възможни комбинации от единици и нули. За да избегнем объркване и несъответствия, ние се съгласяваме да посочим комбинации точно в този ред (което всъщност използвам де факто от самото начало):

Формулата включва две логически операции и според техния приоритет първо трябва да изпълните отрицаниеизявления. Е, ние отричаме колоната „pe“ - превръщаме единиците в нули, а нулите в единици:

Във втората стъпка разглеждаме колоните и прилагаме към тях ИЛИ операция. Гледайки малко напред, ще кажа, че дизюнкцията е пермутабилна (и са едно и също нещо), и следователно колоните могат да бъдат анализирани в обичайния ред - отляво надясно. Когато извършвате логическо добавяне, е удобно да използвате следното приложно разсъждение: „Ако има две нули, поставяме нула, ако поне една единица, поставяме единица“:

Таблицата на истината е изградена. А сега нека си припомним доброто старо внушение:

…внимателно-внимателно… погледнете последните колони…. В пропозиционалната алгебра такива формули се наричат еквивалентенили идентичен:

(три хоризонтални линии са иконата за самоличност)

В 1-вата част на урока обещах да изразя внушението чрез основни логически операции и изпълнението на обещанието не закъсня! Желаещите могат да вложат смислен смисъл в подтекста (напр. "Ако вали, навън е влажно")и независимо анализирайте еквивалентното твърдение.

Да формулираме обща дефиниция: двете формули се извикват еквивалентен (идентичен), ако приемат едни и същи стойности за всеки набор от стойности, включени в тези формули за променливи (елементарни твърдения). Те също така казват "формулите са еквивалентни, ако техните таблици на истинност са еднакви"но тази фраза не ми харесва много.

Упражнение 1

Направете таблица на истината за формулата и се уверете, че самоличността, която познавате, е вярна.

Нека повторим процедурата за решаване на проблема:

1) Тъй като формулата включва две променливи, ще има общо 4 възможни набора от нули и единици. Записваме ги в посочения по-горе ред.

2) Изводите са „по-слаби“ от съюзите, но са поставени в скоби. Попълваме колоната, докато е удобно да използваме следното приложно разсъждение: „ако нула следва от едно, тогава поставяме нула, във всички останали случаи - едно“. След това попълнете колоната за импликацията и в същото време внимание!– колони и трябва да се анализират „от дясно на ляво“!

3) И на последния етап попълнете последната колона. И тук е удобно да се спори така: „ако има две единици в колоните, тогава поставяме една, във всички останали случаи - нула“.

И накрая, проверяваме таблицата на истината еквивалентности .

Основни еквивалентности на пропозиционалната алгебра

Току-що се запознахме с двама от тях, но въпросът, разбира се, не се ограничава до тях. Има доста самоличности и ще изброя най-важните и най-известните от тях:

Комутативност на конюнкция и комутативност на дизюнкция

комутативносте пермутация:

Познати от 1 клас правила: „От пренареждане на фактори (членове) продуктът (сумата) не се променя“. Но въпреки цялата привидна елементарност на това свойство, то далеч не винаги е вярно, по-специално, то е некомутативно матрично умножение (като цяло не могат да се пренареждат), А кръстосано произведение на вектори– антикомутативно (пермутацията на векторите води до промяна на знака).

И освен това тук отново искам да подчертая формализма на математическата логика. Така, например, фрази "Студентът изкара изпита и пи"И "Студентът пи и изкара изпита"различен от гледна точка на съдържанието, но неразличим от гледна точка на формалната истина. ... Всеки от нас познава такива студенти и по етични причини няма да назовем конкретни имена =)

Асоциативност на логическото умножение и събиране

Или, ако „училищен стил“ е асоциативно свойство:

Разпределителни свойства

Моля, имайте предвид, че във втория случай ще бъде неправилно да се говори за "отваряне на скобите", в известен смисъл тук е "фикция" - в края на краищата те могат да бъдат премахнати напълно: умножението е по-силна операция.

И отново, тези привидно „банални“ свойства далеч не са удовлетворени във всички алгебрични системи и освен това изискват доказателство (за което ще говорим съвсем скоро). Между другото, вторият закон за разпределение не е валиден дори в нашата „обикновена“ алгебра. И наистина:

Закон за идемпотентността

Какво да се прави, латино....

Просто някакъв принцип на здрава психика: „Аз и аз съм аз“, „Аз или аз също съм аз“ =)

А ето и няколко подобни самоличности:

... добре, нещо дори затворих ... така че утре можете да се събудите с докторска степен =)

Законът за двойното отрицание

Е, тук примерът с руския език вече се подсказва - всички много добре знаят, че две частици "не" означават "да". И за да се подобри емоционалното оцветяване на отричането, често се използват три „не“:
- дори и с мъничко доказателство проработи!

Закони за абсорбция

- Момче ли беше? =)

В дясната идентичност скобите могат да бъдат пропуснати.

Законите на Де Морган

Да предположим строг учител (чието име също знаете :))полага изпит, ако - Ученикът отговори на първия въпрос И – Ученикът отговори на 2-рия въпрос. Тогава изявлението, в което се посочва, че Студент Неиздържал изпита, ще бъде еквивалентно на твърдението - Студент Неотговори на 1-ви въпрос иликъм 2-ри въпрос.

Както беше отбелязано по-горе, еквивалентностите подлежат на доказване, което стандартно се извършва с помощта на таблици на истинност. Всъщност ние вече доказахме еквивалентностите, които изразяват импликацията и еквивалентността, и сега е време да коригираме техниката за решаване на този проблем.

Да докажем самоличността. Тъй като включва един оператор, тогава са възможни само две опции „на входа“: едно или нула. След това присвояваме една колона и прилагаме към тях правило И:

В резултат на това "на изхода" се получава формула, чиято истинност съвпада с истинността на твърдението. Еквивалентността е доказана.

Да, това доказателство е примитивно (и някой ще каже, че е "глупаво"), но един типичен учител по математика ще си изтръска душата за него. Следователно дори такива прости неща не трябва да се третират с пренебрежение.

Сега нека се уверим, например, във валидността на закона на де Морган.

Първо, нека създадем таблица на истината за лявата страна. Тъй като дизюнкцията е в скоби, първо я изпълняваме, след което отричаме колоната:

След това съставяме таблица на истината за дясната страна. Тук също всичко е прозрачно - първо извършваме по-„силни“ негативи, след което прилагаме към колоните правило И:

Резултатите съвпадат, така че самоличността е доказана.

Всяка еквивалентност може да бъде представена като идентично вярна формула. Означава, че ЗА ВСЕКИ първоначален набор от нули и единици"на изхода" се получава строго единство. И има много просто обяснение за това: тъй като таблиците на истината и съвпадат, тогава, разбира се, те са еквивалентни.Нека комбинираме, например, лявата и дясната част на току-що доказаната идентичност на де Морган чрез еквивалентност:

Или по-компактно:

Задача 2

Докажете следните еквивалентности:

б)

Кратко решение в края на урока. Нека не бъдем мързеливи! Опитайте се не само да направите таблици на истината, но и ясноформулирайте заключения. Както отбелязах наскоро, пренебрегването на прости неща може да бъде много, много скъпо!

Продължаваме да се запознаваме със законите на логиката!

Да, абсолютно правилно - вече работим с тях усилено:

Вярнопри , е наречен идентично вярна формулаили законът на логиката.

По силата на предварително обоснования преход от еквивалентност към идентично вярна формула, всички изброени по-горе идентичности са законите на логиката.

Формула, която приема стойност Лъжапри всеки набор от стойности на променливите, включени в него, е наречен идентично невярна формулаили противоречие.

Типичен пример за противоречие от древните гърци:
Никое твърдение не може да бъде вярно и невярно едновременно.

Доказателството е тривиално:

„Изход“ получи изключително нули, следователно формулата е наистина идентичен фалшив.

Всяко противоречие обаче е и закон на логиката, по-специално:

Невъзможно е да обхванем толкова обширна тема в една статия и затова ще се огранича само с още няколко закона:

Закон за изключената среда

- в класическата логика всяко твърдение е вярно или невярно и няма трети път. „Да бъдеш или да не бъдеш“ – това е въпросът.

Направете своя собствена таблица на истината и се уверете, че е така идентично вярноформула.

Закон за контрапозицията

Този закон беше активно преувеличен, когато обсъждахме същността необходимо условие, помня: „Ако навън е влажно по време на дъжд, значи ако навън е сухо, определено не е валяло“.

От този закон също следва, че ако справедливо е прав теорема, след това изявлението, което понякога се нарича противоположносттеорема.

Ако е вярно обратентеорема, тогава по силата на закона за противопоставянето, теоремата също е валидна, обратен реверс:

И нека се върнем към нашите смислени примери: за твърдения - числото се дели на 4, - числото се дели на 2справедлив правИ противоположносттеореми, но неверни обратенИ обратен реверстеореми. За "възрастната" формулировка на Питагоровата теорема са верни и 4-те "посоки".

Закон на силогизма

Също класика на жанра: „Всички дъбове са дървета, всички дървета са растения, следователно всички дъбове са растения“.

Е, тук отново бих искал да отбележа формализма на математическата логика: ако нашият строг Учител смята, че даден Ученик е дъб, то от формална гледна точка този Ученик със сигурност е растение =) ... въпреки че, ако замисли се, може да е и от неофициален = )

Нека направим таблица на истинност за формулата. В съответствие с приоритета на логическите операции се придържаме към следния алгоритъм:

1) изпълнете импликациите и . Най-общо казано, можете веднага да изпълните 3-та импликация, но с нея е по-удобно (и позволено!)разберете го малко по-късно

2) приложете към колони правило И;

3) сега изпълняваме;

4) и на последната стъпка приложете импликацията към колоните И .

Чувствайте се свободни да контролирате процеса с показалеца и средния си пръст :))


От последната колона мисля, че всичко е ясно без коментари:
, което трябваше да се докаже.

Задача 3

Разберете дали следната формула е закон на логиката:

Кратко решение в края на урока. Да, и почти забравих - нека се съгласим да изброим началните набори от нули и единици в точно същия ред, както в доказателството на закона за силогизма. Разбира се, линиите могат да бъдат пренаредени, но това ще направи много трудно съгласуването с моето решение.

Преобразуване на булеви формули

В допълнение към тяхната "логическа" цел, еквивалентностите се използват широко за трансформиране и опростяване на формули. Грубо казано, една част от самоличността може да бъде заменена с друга. Така например, ако попаднете на фрагмент в логическа формула, тогава, според закона за идемпотентността, можете (и трябва) да напишете просто вместо него. Ако видите , тогава, съгласно закона за абсорбцията, опростете записа до . И така нататък.

Освен това има още нещо важно: тъждествата са валидни не само за елементарни твърдения, но и за произволни формули. Например:

, къде има (колкото сложно искате)формули.

Нека трансформираме, например, сложната импликация (1-ва самоличност):

Освен това прилагаме „сложния“ закон на де Морган към скобата, докато поради приоритета на операциите това е законът, където :

Скобите могат да бъдат премахнати, т.к вътре има по-„силна“ връзка:

Е, с комутативността като цяло всичко е просто - дори не е нужно да обозначавате нищо ... нещо потъна в душата ми законът на силогизма :))

Така законът може да бъде пренаписан в по-сложна форма:

Кажете на глас логическата верига „с дъб, дърво, растение“ и ще разберете, че същинският смисъл на закона изобщо не се е променил от пренареждането на последиците. Е, че формулировката е станала по-оригинална.

Като обучение опростяваме формулата.

Откъде да започна? На първо място, за да разберем реда на действията: тук отрицанието се прилага към цяла скоба, която е „закрепена“ с твърдението чрез „малко по-слаба“ връзка. По същество имаме пред себе си логическия продукт на два фактора: . От останалите две операции импликацията има най-нисък приоритет и следователно цялата формула има следната структура: .

Като правило, на първата стъпка (стъпки) се отървете от еквивалентността и импликацията (ако са)и редуцирайте формулата до три основни логически операции. Какво мога да кажа…. Логично.

(1) Ние използваме самоличността . И в нашия случай.

Обикновено следва "разглобяване" със скоби. Първо цялото решение, а след това коментарите. За да не получа "маслено масло", ще използвам "обичайните" икони за равенство:

(2) Прилагаме закона на де Морган към външните скоби, където .

§ 1.3. Елементи на алгебрата на логиката

Елементи на алгебрата на логиката. Въпроси и задачи

1. Запознайте се с презентационните материали към параграфа, съдържащи се в електронното приложение към учебника. Презентацията допълва ли информацията, съдържаща се в текста на параграфа?

2. Обяснете защо следните изречения не са твърдения.

1) Какъв цвят е тази къща?
2) Числото X не надвишава единица.
3) 4X + 3.
4) Погледнете през прозореца.
5) Пийте доматен сок!
6) Тази тема е скучна.
7) Рики Мартин е най-популярният певец.
8) Ходили ли сте на театър?

3. Дайте по един пример за верни и неверни твърдения от биология, география, информатика, история, математика, литература.

4. В следващите твърдения подчертайте прости твърдения, като маркирате всяко от тях с буква; запишете всяко съставно твърдение, като използвате букви и знаци на логически операции.

1) Числото 376 е четно и трицифрено.
2) През зимата децата карат кънки или ски.
3) Ще празнуваме Нова година в дачата или на Червения площад.
4) Не е вярно, че Слънцето се движи около Земята.
5) Земята има формата на топка, която изглежда синя от космоса.
6) В урока по математика учениците от гимназията отговориха на въпросите на учителя, а също така написаха самостоятелна работа.

5. Конструирайте отрицанията на следните твърдения.

1) Днес в театъра върви операта "Евгений Онегин".
2) Всеки ловец иска да знае къде седи фазанът.
3) Числото 1 е просто число.
4) Естествените числа, завършващи на 0, не са прости числа.
5) Не е вярно, че числото 3 не е делител на числото 198.
6) Коля реши всички задачи от теста.
7) Във всяко училище някои ученици се интересуват от спорт.
8) Някои бозайници не живеят на сушата.

6. Нека A = „Ана харесва уроците по математика“и B = „Ана харесва уроците по химия“. Изразете следните формули на разбираем език:

7. Някой сегмент от интернет мрежата се състои от 1000 сайта. Сървърът за търсене състави автоматично таблица с ключови думи за сайтове в този сегмент. Ето неговия фрагмент:

По заявка сомове и гупиНамерени са 0 сайта по заявка сомове и мечове- 20 обекта и по заявка мечове и гупи- 10 обекта.

Колко сайта ще бъдат намерени при поискване сом | мечоносци | гупи?

За колко сайта от разглеждания сегмент твърдението е невярно „Сом – ключовата дума на сайта ИЛИ мечоносци – ключовата дума на сайта ИЛИ гупи – ключовата дума на сайта“?

8. Създайте таблици на истината за следните логически изрази:

9. Извършете доказателството на логическите закони, разгледани в параграфа, като използвате таблици на истинност.