Логопедичен портал / дизартрия / Механичното значение на производната от втори ред. Уравнения на нормалата и допирателната към графиката на функция

Механичното значение на производната от втори ред. Уравнения на нормалата и допирателната към графиката на функция

29.07.2023

Карта с инструкции No20

Takyryby/Предмет: « Втората производна и нейното физическо значение».

Maқsaty / Цел:

Да може да намери уравнението на допирателната, както и тангенса на ъгъла на наклон на допирателната към оста OX. Да може да намери скоростта на промяна на функция, както и ускорението.

Създайте условия за формиране на умения за сравняване, класифициране на изучаваните факти и понятия.

Възпитаване на отговорно отношение към учебната работа, воля и постоянство за постигане на крайни резултати при намиране на уравнението на допирателната, както и при намиране на скоростта на изменение на функцията и ускорението.

Теоретичен материал:

(Геометрично значение на производната)

Уравнението за допирателната към графиката на функцията е:

Пример 1: Нека намерим уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката с обциса 2.

Отговор: y = 4x-7

Наклонът k на допирателната към графиката на функцията в точката с абсцисата x o е равен на f / (x o) (k = f / (x o)). Ъгълът на наклона на допирателната към графиката на функцията в дадена точка е

arctg k \u003d arctg f / (x o), т.е. k= f / (x o)= tg

Пример 2: Под какъв ъгъл е синусоидата пресича оста x в началото?

Ъгълът, под който графиката на тази функция пресича абсцисната ос, е равен на ъгъла на наклон a на допирателната, начертана към графиката на функцията f (x) в тази точка. Нека намерим производната: Имайки предвид геометричния смисъл на производната, имаме: и a = 60°. Отговор: =60 0 .

Ако една функция има производна във всяка точка от своята област, тогава нейната производна е функция на . Функцията от своя страна може да има производна, която се нарича производна от втори редфункции (или втора производна) и се означават със символа .

Пример 3: Намерете втората производна на функцията: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

В началото намираме първата производна на тази функция f "(x) \u003d (x 3 -4x 2 + 2x-7) '= 3x 2 -8x + 2,

След това намираме втората производна на получената първа производна

f""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8. Отговор: f""x) = 6x-8.

(Механично значение на втората производна)

Ако точката се движи по права линия и е даден законът на нейното движение, тогава ускорението на точката е равно на втората производна на пътя по отношение на времето:

Скоростта на материално тяло е равна на първата производна на пътя, т.е.

Ускорението на материално тяло е равно на първата производна на скоростта, т.е.

Пример 4: Тялото се движи по права линия съгласно закона s (t) \u003d 3 + 2t + t 2 (m). Определете неговата скорост и ускорение в момент t = 3 s. (Пътят се измерва в метри, времето в секунди).
Решение
v (T) = с (T) =(3+2t+t 2)'= 2 + 2t
а (T) = v΄ (T) =(2+2t)’= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). Отговор: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Практическа част:

1 вариант	Вариант 2	3 вариант	4 вариант	5 опция
Намерете тангенса на ъгъла на наклон към оста x на тангентата, минаваща през дадената точка M графика на функцията f.
f(x)=x 2, M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията f в точката с абсцисата x 0.
f (x) \u003d x 3 -1, x 0 \u003d 2	f (x) \u003d x 2 +1, x 0 \u003d 1	f (x) \u003d 2x-x 2, x 0 \u003d -1	f(x)=3sinx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
Намерете наклона на допирателната към функцията f в точката с абсцисата x 0.

Намерете втората производна на функция:

			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2sinx+x 3
Тялото се движи праволинейно по закона x (t). Определете неговата скорост и ускорение в момента време t. (Изместването се измерва в метри, времето в секунди).
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t3 -t2, t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x (t) \u003d t 4 -0,5t 2 \u003d 2, t \u003d 0,5

Контролни въпроси:

Какъв според вас е физическият смисъл на производната - моментна скорост ли е или средна?

Каква е връзката между допирателната, начертана към графиката на функция през която и да е точка, и концепцията за производна?

Каква е дефиницията на допирателна към графиката на функция в точка M (x 0; f (x 0))?

Какво е механичното значение на втората производна?

Производна.Помислете за някаква функция г= f (х) в две точки х 0 и х 0 + : f(х 0) и f (х 0 +). Тук, означено с малка промяна в аргумента, наречено увеличение на аргумента; съответно разликата между двете стойности на функцията: f(х 0 + ) - f (х 0) се извиква увеличение на функцията. производнафункции г= f (х) в точката х 0 се нарича граница:

Ако тази граница съществува, тогава функцията f (х) е наречен диференцируемив точката х 0 . Производна на функция f (х) се обозначава по следния начин:

Геометричният смисъл на производната.Разгледайте графиката на функцията г= f (х):

От фиг. 1 се вижда, че за всеки две точки A и B от графиката на функцията:

Къде е ъгълът на наклона на секущата AB.

По този начин съотношението на разликата е равно на наклона на секанса. Ако фиксираме точка A и преместим точка B към нея, тогава тя намалява неограничено и се доближава до 0, а секансът AB се доближава до допирателната AC. Следователно границата на съотношението на разликата е равна на наклона на допирателната в точка А. От това следва: производната на функция в точка е наклонът на допирателната към графиката на тази функция в тази точка.Ето в какво се състои геометричен смисълпроизводна.

Уравнение на тангенс.Нека изведем уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката A ( х 0 , f (х 0)). В общия случай уравнението на права линия с наклон f ’(х 0) има формата:

г = f ’(х 0) · x + b.

Да намеря b, използваме факта, че допирателната минава през точка A:

f (х 0) = f ’(х 0) · х 0 +б,

оттук b = f (х 0) – f ’(х 0) · х 0 и заместване на този израз за b, ще получим уравнение на допирателната:

г =f (х 0) + f ’(х 0) · ( х-х 0) .

Механичното значение на производната.Разгледайте най-простия случай: движението на материална точка по координатната ос и законът за движение е даден: координата хподвижната точка е известна функция х (T) време T. През интервала от време от T 0 до T 0 + точката се премества на разстояние: х (T 0 + ) -х (T 0) = , и неговото Средната скоросте равно на: va = / . При 0 стойността на средната скорост клони към определена стойност, която се нарича моментна скорост v(T 0) материална точка във времето T 0 . Но по дефиницията на производна имаме:

оттук v(T 0)= x'(T 0), т.е. Скоростта е производната на координатата по отношение на времето.Ето в какво се състои механичен смисълпроизводна . по същия начин, ускорението е производната на скоростта спрямо времето: а = v'(T).

Примерни задачи

Задача 1. Напишете уравнението на общата допирателна към графиките на функциите и .

Правата линия е обща допирателна към графиките на функциите и ако се допира както до едната, така и до другата графика, но не е задължително в една и съща точка.

- уравнението на допирателната към графиката на функцията y=x2 в точката с абсцисата x0

- уравнението на допирателната към графиката на функцията y=x3 в точката с абсцисата x1

Правите линии съвпадат, ако техните наклони и свободни членове са равни. Оттук

Решението на системата ще бъде

Общите допирателни уравнения имат формата:

16. Правила за диференциране. Производни на комплексни, обратни и неявни функции.
Правила за диференциране
При диференциране константата може да бъде извадена като производна:

Правилото за диференциране на сумата от функции:

Правило за диференциране на разликата във функциите:

Правилото за диференциране на произведението на функциите (правилото на Лайбниц):

Правилото за диференциране на частни функции:

Правило за диференциране на функция на степен на друга функция:

Правило за диференциране на съставна функция:

Правило за логаритъм при диференциране на функция:

Производна на сложна функция

„Двуслойна“ сложна функция се записва като където u = g(x) е вътрешната функция, която от своя страна е аргумент за външната функция f. Ако f и g са диференцируеми функции, тогава комплексната функция също е диференцируема по отношение на x и нейната производна е равна на Тази формула показва, че производната на комплексна функция е равна на произведението на производната на външната функция и производната на вътрешната функция. Важно е обаче, че производната на вътрешната функция се изчислява в точката x, а производната на външната функция се изчислява в точката u = g(x)! Тази формула лесно се обобщава за случая, когато сложна функция се състои от няколко „слоя“, йерархично вложени един в друг. Разгледайте няколко примера, илюстриращи правилото за производната на сложна функция. Това правило се използва широко в много други задачи в раздела "Диференциране".

Пример 1

Намерете производната на функцията. Решение. Тъй като , тогава, съгласно правилото за производната на сложна функция, получаваме

Една функция е сложна, ако може да бъде представена като функция на функция y = f[φ(x)], където y = f(u), au=φ(x), където u е междинен аргумент. Всяка сложна функция може да бъде представена като елементарни функции (прости), които са нейните междинни аргументи.

Примери:

Прости функции: Сложни функции:

y \u003d x 2 y \u003d (x + 1) 2; u = (x + 1); y \u003d u 2;

y = sinx; y \u003d sin2x; u \u003d 2x; y=sinu;

y \u003d e x y \u003d e 2x; u \u003d 2x; y \u003d e u;

y \u003d lnx y \u003d ln (x + 2); u \u003d x + 2; y=lnu.

Общото правило за диференциране на сложна функция е дадено от горната теорема без доказателство.

Ако функцията u \u003d φ (x) има производна u "x \u003d φ" (x) в точката x, а функцията y = f (u) има производна y "u \u003d f " (u) в съответната точка u, тогава производната на комплексната функция y \u003d f [φ (x)] в точката x се намира по формулата: y "x \u003d f " (u) u "(x).

Често се използва по-малко точна, но по-кратка формулировка на тази теорема. : производната на сложна функция е равна на произведението на производната по отношение на междинната променлива и производната на междинната променлива по отношение на независимата променлива.

Пример: y=sin2x 2; u \u003d 2x 2; y=sinu;

y "x \u003d (sinu)" u (2x 2) "x \u003d cosu 4x \u003d 4x cos2x 2.

3. Производна от втори ред. Механично значение на втората производна.

Производната на функцията y \u003d f (x) се нарича производна от първи ред или просто първа производна на функцията. Тази производна е функция на x и може да бъде диференцирана втори път. Производната на производната се нарича производна от втори ред или втора производна. Означава се: y "xx - (y две черти на x); f "(x) – ( eff две черти върху x); d 2 y / dx 2 - (de две y върху de x два пъти); d 2 f / dx 2 - (de две ef върху de x два пъти).

Въз основа на дефиницията на втората производна можем да напишем:

y "xx \u003d (y" x) "x; f" (x) \u003d "x d 2 y / dx 2 \u003d d / dx (dy / dx).

Втората производна от своя страна е функция на x и може да се диференцира, за да се получи производна от трети ред и т.н.

Пример: y \u003d 2x 3 + x 2; y "xx \u003d [(2x 3 + x 2)" x] "x \u003d (6x 2 + 2x)" x \u003d 12x + 2;

Механичното значение на втората производна се обяснява на базата на моментното ускорение, което характеризира променливото движение.

Ако S=f(t) е уравнението на движението, тогава=S" t ; Авж. =;

Аинст. =
А cf =
=" t ; Аинст. = " t = (S" t)" t = S" tt .

Така втората производна на пътя по отношение на времето е равна на моментното ускорение на променливото движение. Това е физическото (механично) значение на 2-ра производна.

Пример:Нека праволинейното движение на материална точка се извършва по закона S=t 3 /3. Ускорението на материална точка ще бъде определено като втората производна на S "tt: А\u003d S "tt \u003d (t 3 / 3)" \u003d 2t.

4. Функционален диференциал.

Тясно свързана с концепцията за производна е концепцията за диференциал на функция, която има важни практически приложения.

Функция f( х) има производна
= f " (Х);

Съгласно теоремата (ние не разглеждаме теоремата) за връзката на безкрайно малка величина α(∆х)(
α(∆х)=0) с производна: = f " (х)+ α (∆х), откъдето ∆f = f " (х) ∆х+α(∆х) ∆х.

От последното равенство следва, че нарастването на функцията се състои от сума, всеки член от която е безкрайно малка стойност при ∆х→ 0.

Нека определим порядъка на малкост на всяка безкрайно малка стойност на тази сума по отношение на безкрайно малкия ∆x:

Следователно безкрайно малка f (х) ∆х и ∆x имат същия порядък на величина.

Следователно безкрайно малката стойност α(∆х)∆х има по-висок порядък на малост по отношение на безкрайно малката стойност ∆х. Това означава, че в изразите за ∆f вторият член α(∆х)∆х клони към 0 по-бързо като ∆х→0 от първия член f " (x)∆x.

Това е първият член f " (x)∆x се нарича диференциал на функцията в точката x. Обозначава се dy (de y) или df (de ef). Така че dy=df= f " (x)∆x или dy= f " (x)dx, защото диференциалът dx на аргумента е равен на неговото увеличение ∆x (ако във формулата df= f " (x)dx приемаме, че f(x)=x, тогава получаваме df=dx=x"x ∆x, но x"x =1, т.е. dx=∆x). И така, диференциалът на функция е равен на произведението на тази функция и диференциала на аргумента.

Аналитичният смисъл на диференциала се крие във факта, че диференциалът на една функция е основната част от нарастването на функцията ∆f, линейна по отношение на аргумента ∆x. Диференциалът на функцията се различава от нарастването на функцията с безкрайно малка стойност α(∆х)∆х по-висок порядък на малкост от ∆х. Действително ∆f=f " (х)∆х+α(∆х)∆х или ∆f=df+α(∆х)∆х; откъдето df= ∆f- α(∆х)∆х.

Пример: y = 2x 3 + x 2; dy =? dy = y "dx = (2x 3 + x 2)" x dx = (6x 2 + 2x) dx.

Пренебрегвайки безкрайно малката стойност α(∆x)∆x от по-висок порядък дребност отколкото ∆х, получаваме df≈∆f≈ f " (x)dx т.е. диференциалът на функция може да се използва за приближаване на увеличението на функция, тъй като диференциалът обикновено е по-лесен за изчисляване. Диференциалът може да се приложи и за приблизителното изчисляване на стойността на функция. Нека знаем функцията y= f(x) и нейната производна в точката x. Необходимо е да се намери стойността на функцията f(x+∆x) в някаква близка точка (x+∆x). За целта използваме приблизителното равенство ∆у ≈dy или ∆у ≈f " (x) ∆x. Като се има предвид, че ∆y=f(x+∆x)-f(x), получаваме f(x+∆x)-f (x) ≈f " (x) dx , откъдето f(х+∆х) = f(х)+f " (x) dx. Получената формула решава проблема.

Производна(функции в точка) - основната концепция на диференциалното смятане, характеризираща скоростта на изменение на функция (в дадена точка). Дефинира се като границата на съотношението на увеличението на функция към увеличението на нейния аргумент, тъй като увеличението на аргумента клони към нула, ако такова ограничение съществува. Функция, която има крайна производна (в дадена точка), се нарича диференцируема (в дадена точка).

Производна. Помислете за някаква функция г = f (х ) в две точки х 0 и х 0 + : f (х 0) и f (х 0 +). Тук, означено с малка промяна в аргумента, наречено увеличение на аргумента; съответно разликата между двете стойности на функцията: f (х 0 + )  f (х 0 ) е наречен увеличение на функцията.производнафункции г = f (х ) в точката х 0 наречен лимит:

Ако тази граница съществува, тогава функцията f (х ) е наречен диференцируемив точката х 0 . Производна на функция f (х ) се обозначава по следния начин:

Геометричният смисъл на производната. Разгледайте графиката на функцията г = f (х ):

От фиг. 1 се вижда, че за всеки две точки A и B от графиката на функцията:

където е ъгълът на наклона на секущата AB.

Уравнение на тангенс. Нека изведем уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката A ( х 0 , f (х 0 )). В общия случай уравнението на права линия с наклон f ’(х 0 ) изглежда като:

г = f ’(х 0 ) · x + b.

Да намеря b, използваме факта, че допирателната минава през точка А:

f (х 0 ) = f ’(х 0 ) · х 0 +б ,

оттук b = f (х 0 ) – f ’(х 0 ) · х 0 , и заместване на този израз за b, ще получим уравнение на допирателната:

г =f (х 0 ) + f ’(х 0 ) · ( х-х 0 ) .

Механичното значение на производната. Разгледайте най-простия случай: движението на материална точка по координатната ос и законът за движение е даден: координата хподвижната точка е известна функция х (T) време T. През интервала от време от T 0 до T 0 + точката се премества на разстояние: х (T 0 + )  х (T 0) = , и неговото Средната скорост е равно на: v а =  . При 0 стойността на средната скорост клони към определена стойност, която се нарича моментална скорост v ( T 0 ) материална точка във времето T 0 . Но по дефиницията на производна имаме:

оттук v (T 0 ) = x' (T 0 ), т.е. скоростта е производната на координатата от време. Ето в какво се състои механичен смисълпроизводна . по същия начин, ускорението е производната на скоростта спрямо времето: а = v' (T).

8. Таблица с производни и правила за диференциране

Говорихме за това какво е производна в статията „Геометричното значение на производната“. Ако функцията е дадена с графика, нейната производна във всяка точка е равна на тангенса на наклона на допирателната към графиката на функцията. И ако функцията е дадена с формула, таблицата с производните и правилата за диференциране ще ви помогнат, тоест правилата за намиране на производната.

Ако тази граница съществува, тогава функцията f (х ) е наречен диференцируемив точката х 0 . Производна на функция f (х ) се обозначава по следния начин:

Геометричният смисъл на производната. Разгледайте графиката на функцията г = f (х ):

От фиг. 1 се вижда, че за всеки две точки A и B от графиката на функцията:

където е ъгълът на наклона на секущата AB.

г = f ’(х 0 ) · x + b.

Да намеря b, използваме факта, че допирателната минава през точка А:

f (х 0 ) = f ’(х 0 ) · х 0 +б ,

оттук b = f (х 0 ) – f ’(х 0 ) · х 0 , и заместване на този израз за b, ще получим уравнение на допирателната:

г =f (х 0 ) + f ’(х 0 ) · ( х-х 0 ) .

Механичното значение на производната. Разгледайте най-простия случай: движението на материална точка по координатната ос и законът за движение е даден: координата хподвижната точка е известна функция х (T) време T. През интервала от време от T 0 до T 0 + точката се премества на разстояние: х (T 0 + ) х (T 0) = , и неговото Средната скорост е равно на: v а =  . При 0 стойността на средната скорост клони към определена стойност, която се нарича моментална скорост v ( T 0 ) материална точка във времето T 0 . Но по дефиницията на производна имаме:

8. Таблица с производни и правила за диференциране

§ 2. Дефиниция на производна.

Нека функцията г= f(х) определен на интервала ( а;b). Помислете за стойността на аргумента

(а;b) . Нека увеличим аргумента ∆ х 0, така че условието ( х 0 +∆ х)

а;b). Нека обозначим съответните стойности на функцията чрез y 0 и y 1:

г 0 = f(х 0 ), г 1 = f(х 0 +∆ х). При преместване от х 0 Да се х 0 +∆ хфункцията ще бъде увеличена

∆y= г 1 -y 0 = f(х 0 +∆ х) -f(х 0 ). Ако, в стремежа ∆ хдо нула има ограничение на съотношението на нарастването на функцията ∆yкъм увеличението на аргумента, което го е извикало ∆ х,

тези. има ограничение

=

,

тогава тази граница се нарича производна на функцията г= f(х) в точката х 0 . И така, производната на функцията г= f(х) в точката х=х 0 има ограничение за отношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента, когато нарастването на аргумента клони към нула. Производна на функция г= f(х) в точката хобозначени със символи (х) или (х). Използват се и обозначенията , , ,. Последните три обозначения подчертават факта, че производната се взема по отношение на променливата х.

Ако функцията г= f(х) има производна във всяка точка от някакъв интервал, тогава на този интервал производната ( х) е аргументна функция х.

§ 3. Механичен и геометричен смисъл на производната.

Уравнения на нормалата и допирателната към графиката на функцията.

Както е показано в § 1, моментната скорост на точка е

v = .

Но това означава, че скоростта v е производната на изминатото разстояние С по време T ,

v =. По този начин, ако функцията г= f(х) описва закона за праволинейно движение на материална точка, където ге пътят, изминат от материална точка от момента на началото на движението до момента на времето х, тогава производната ( х) определя моментната скорост на точка в даден момент х. Това е механичният смисъл на производната.

В § 1 намерихме и наклона на допирателната към графиката на функцията г= f(х) к= tgα= . Тази връзка означава, че наклонът на тангентата е равен на производната ( х). По-строго погледнато, производната ( х) функции г= f(х) , изчислен със стойността на аргумента, равна на х, е равен на наклона на допирателната към графиката на тази функция в точка, чиято абциса е равна на х. Това е геометричното значение на производната.

Нека при х=х 0 функция г= f(х) придобива стойност г 0 =f(х 0 ) , а графиката на тази функция има допирателна в точката с координати ( х 0 ;г 0). След това наклонът на тангентата

k = ( х 0). Използвайки уравнението на права линия, минаваща през дадена точка в дадена посока, известно от курса на аналитичната геометрия ( г-г 0 =к(х-х 0)), пишем уравнението на допирателната:

Правата, минаваща през точката на контакт перпендикулярно на допирателната, се нарича нормала към кривата. Тъй като нормалата е перпендикулярна на допирателната, нейният наклон кнорми е свързано с наклона на тангентата квръзката, известна от аналитичната геометрия: кнорми = ─ , т.е. за нормално преминаване през точка с координати ( х 0 ;г 0),кнорма = ─ . Следователно уравнението за тази норма е:

(при условие че

).

§ 4. Примери за изчисляване на производната.

За изчисляване на производната на функция г= f(х) в точката х, необходимо:

Аргумент хувеличение ∆ х;

Намерете съответното нарастване на функцията ∆ г=f(х+∆х) -f(х);

Съставете релация ;

Намерете границата на това отношение за ∆ х→0.

Пример 4.1. Намерете производната на функция г=C=конст.

Аргумент хдаде увеличение ∆ х.

Както и да е х, ∆г=0: ∆г=f(х+∆х) ─f(х)=С─С=0;

Оттук =0 и =0, т.е. =0.

Пример 4.2. Намерете производната на функция г=х.

∆ г=f(х+∆х) ─f(х)= х+∆х– х=∆ х;

1, =1, т.е. =1.

Пример 4.3. Намерете производната на функция г=х 2.

∆ г= (х+∆ х)2–х 2= 2 х∙∆ х+ (∆ х)2;

= 2 х+ ∆ х, = 2 х, т.е. =2 х.

Пример 4.4. Намерете производната на функцията y=sin х.

∆ г=грях( х+∆х) - грях х= 2sin защото ( х+);

=

;

=

= cos х, т.е. = cos х.

Пример 4.5. Намерете производната на функция г=

.

=

, т.е. = .

МЕХАНИЧНО ЗНАЧЕНИЕ НА ПРОИЗВОДНАТА

От физиката е известно, че законът за равномерното движение има формата s = v t, Където с- изминат път до точката във времето T, vе скоростта на равномерното движение.

Въпреки това, тъй като повечето от движенията, които се случват в природата, са неравномерни, тогава в общия случай скоростта и следователно разстоянието сще зависи от времето T, т.е. ще бъде функция на времето.

И така, нека материалната точка се движи по права линия в една посока според закона s=s(t).

Отбележете момент във времето T 0 . До този момент точката е преминала пътя s=s(t 0 ). Да определим скоростта vматериална точка във времето T 0 .

За да направите това, помислете за друг момент във времето T 0 + Δ T. Съответства на изминатото разстояние s =s(t 0 + Δ T). Тогава за интервала от време Δ Tточката е изминала пътя Δs =s(t 0 + Δ T)–s(t).

Нека разгледаме връзката. Тя се нарича средна скорост в интервала от време Δ T. Средната скорост не може точно да характеризира скоростта на движение на дадена точка в момента T 0 (защото движението е неравномерно). За да изразите по-точно тази истинска скорост, като използвате средната скорост, трябва да вземете по-малък интервал от време Δ T.

И така, скоростта на движение в даден момент T 0 (моментна скорост) е границата на средната скорост в интервала от T 0 до T 0 +Δ Tкогато Δ T→0:

тези. скорост на неравномерно движениее производната на изминатото разстояние спрямо времето.

ГЕОМЕТРИЧНО ЗНАЧЕНИЕ НА ПРОИЗВОДНАТА

Нека първо въведем определението за допирателна към крива в дадена точка.

Нека имаме крива и фиксирана точка върху нея М 0(виж фигурата) Помислете за друга точка Мтази крива и начертайте секуща М 0 М. Ако точка Мзапочва да се движи по кривата, а точката М 0остава неподвижен, секущата променя позицията си. Ако, с неограничено приближение на точката Мкрива до точка М 0от която и да е страна, секансът има тенденция да заеме позицията на определена права линия М 0 Т, след това правата линия М 0 Тсе нарича допирателна към кривата в дадена точка М 0.

Че., допирателнакъм кривата в дадена точка М 0наречено гранично положение на секанса М 0 Мкогато точката Мклони по кривата към точка М 0.

Помислете сега за непрекъснатата функция y=f(x)и кривата, съответстваща на тази функция. За някаква стойност х 0 функция приема стойност y0=f(x0).Тези ценности х 0 и г 0 на кривата съответства на точка M 0 (x 0; y 0).Нека дадем аргумент x0увеличение Δ х. Новата стойност на аргумента съответства на увеличената стойност на функцията г 0 +Δ y=f(x 0 –Δ х). Получаваме точка M(x 0+Δ х; y 0+Δ y).Нека начертаем секанс М 0 Ми означаваме с φ ъгъла, образуван от секанса с положителната посока на оста вол. Нека направим връзка и отбележим, че .

Ако сега Δ х→0, тогава, поради непрекъснатостта на функцията Δ при→0 и следователно точката М, движейки се по кривата, неограничено се приближава до точката М 0. След това секансът М 0 Мще се стреми да заеме позицията на допирателна към кривата в точката М 0, и ъгълът φ→α при Δ х→0, където α означава ъгъла между допирателната и положителната посока на оста вол. Тъй като функцията tg φ непрекъснато зависи от φ при φ≠π/2, тогава при φ→α tg φ → tg α и следователно наклонът на допирателната ще бъде:

тези. f"(x)= tgα.

Така, геометрично y "(x 0)представлява наклона на допирателната към графиката на тази функция в точката x0, т.е. за дадена стойност на аргумента х, производната е равна на тангенса на ъгъла, образуван от допирателната към графиката на функцията f(x)в съответната точка M 0 (x; y)с положителна посока на оста вол.

Пример.Намерете наклона на допирателната към кривата y = x 2 в точката М(-1; 1).

Това вече го видяхме ( х 2)" = 2х. Но наклонът на допирателната към кривата е tg α = г"| x=-1 = - 2.

Геометричен, механичен, икономически смисъл на производната

Дефиниция на производна.

Лекция №7-8

Библиография

1 Ухоботов, В. И. Математика: Учебник.- Челябинск: Челяб. състояние ун-т, 2006.- 251 с.

2 Ермаков, В.И. Сборник задачи по висша математика. Урок. -М .: ИНФРА-М, 2006. - 575 с.

3 Ермаков, В.И. Общ курс по висша математика. Учебник. -М .: ИНФРА-М, 2003. - 656 с.

Тема "Производно"

Мишена:обясняват понятието производна, проследяват връзката между непрекъснатостта и диференцируемостта на функцията, показват приложимостта на използването на производна с примери.

Тази граница в икономиката се нарича пределни производствени разходи.

Дефиниция на производна. Геометричният и механичният смисъл на производната, уравнението на функция, допирателна към графиката.

Имам нужда от кратък отговор (без допълнителна вода)

Мъртъв_бял_сняг

Производната е основната концепция на диференциалното смятане, която характеризира скоростта на промяна на функция.
Геометричен?
Допирателна към функция в точка... .
Условие за увеличаване на функцията: f "(x) > 0.
Условие на намаляваща функция: f "(x)< 0.
Инфлексна точка (необходимо условие): f " " (x0) = 0.
Изпъкнал нагоре: f " " (x) Изпъкнал надолу: f " " (x) >0
Нормално уравнение: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
Механичен?
Скоростта е производната по отношение на разстоянието, ускорението е производната по отношение на скоростта, а втората производна по отношение на разстоянието...
Уравнението на допирателната към графиката на функцията f в точката x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Потребителят е изтрит

Ако има ограничение на съотношението delta y към delta x на увеличението на функцията delta y към нарастването на аргумента delta x, който го е причинил, когато делта x клони към нула, тогава това ограничение се нарича производна на функцията y = f (x) в дадена точка x и се означава с y "или f "(x)
Скоростта v на праволинейно движение е производната на пътя s спрямо времето t: v = ds/dt. Това е механичният смисъл на производната.
Наклонът на допирателната към кривата y \u003d f (x) в точката с абсцисата x нула е производната на f "(x нула). Това е геометричното значение на производната.
Допирателната крива в точката M нула се нарича права линия M нула T, чийто наклон е равен на границата на наклона на секущата M нула M единица, когато делта x клони към нула.
tg phi = lim tg алфа, когато делта x доближава нула = lim (делта x/делта y), когато делта x доближава нула
От геометричния смисъл на производната уравнението на допирателната ще приеме формата:
y - y нула = f "(x нула) (x - x нула)

Свързани материали:

Карта на сайта