Математическа енциклопедия. Енциклопедия по математика Вижте какво е "Математическа енциклопедия" в други речници

Математическа енциклопедия - справочно издание по всички раздели на математиката. Енциклопедията се основава на обзорни статии, посветени на най-важните области на математиката. Основното изискване за статии от този тип е възможната пълнота на прегледа на текущото състояние на теорията при максимална достъпност на изложението; Тези статии са общодостъпни за студенти по математика, докторанти и специалисти в сродни области на математиката, а в определени случаи - и за специалисти в други области на знанието, които използват математически методи в работата си, инженери и учители по математика. Освен това са осигурени средни статии по отделни специфични проблеми и методи на математиката; Тези статии са предназначени за по-тесен кръг читатели и следователно може да са по-малко достъпни. И накрая, друг вид статия са кратки препратки и определения. В края на последния том на Енциклопедията ще има предметен указател, който ще включва не само заглавията на всички статии, но и много понятия, чиито определения ще бъдат дадени в статии от първите два вида, както и като най-важните резултати, споменати в статиите. Повечето статии в Енциклопедията са придружени от библиография с поредни номера на всяко заглавие, което дава възможност за цитирането им в текстовете на статиите. В края на статиите (като правило) се посочва авторът или източникът, ако статията вече е била публикувана преди това (предимно това са статии в Голямата съветска енциклопедия). Имената на чуждестранни (с изключение на древните) учени, споменати в статии, са придружени от латински правопис (ако няма връзка към списъка с препратки).

Изтеглете и прочетете Математическа енциклопедия, том 3, Виноградов I.M., 1982 г.

Математическа енциклопедия - справочно издание по всички раздели на математиката. Енциклопедията се основава на обзорни статии, посветени на най-важните области на математиката. Основното изискване за статии от този тип е възможната пълнота на прегледа на текущото състояние на теорията при максимална достъпност на изложението; Тези статии са общодостъпни за студенти по математика, докторанти и специалисти в сродни области на математиката, а в определени случаи - и за специалисти в други области на знанието, които използват математически методи в работата си, инженери и учители по математика. Освен това са осигурени средни статии по отделни специфични проблеми и методи на математиката; Тези статии са предназначени за по-тесен кръг читатели и следователно може да са по-малко достъпни. И накрая, друг вид статия са кратки препратки и определения. В края на последния том на Енциклопедията ще има предметен указател, който ще включва не само заглавията на всички статии, но и много понятия, чиито определения ще бъдат дадени в статии от първите два вида, както и като най-важните резултати, споменати в статиите. Повечето статии в Енциклопедията са придружени от библиография с поредни номера на всяко заглавие, което дава възможност за цитирането им в текстовете на статиите. В края на статиите (като правило) се посочва авторът или източникът, ако статията вече е била публикувана преди това (предимно това са статии в Голямата съветска енциклопедия). Имената на чуждестранни (с изключение на древните) учени, споменати в статии, са придружени от латински правопис (ако няма връзка към списъка с препратки).

Изтеглете и прочетете Математическа енциклопедия, том 2, Виноградов I.M., 1979 г.

Математическа енциклопедия - справочно издание по всички раздели на математиката. Енциклопедията се основава на обзорни статии, посветени на най-важните области на математиката. Основното изискване за статии от този тип е възможната пълнота на прегледа на текущото състояние на теорията при максимална достъпност на изложението; Тези статии са общодостъпни за студенти по математика, докторанти и специалисти в сродни области на математиката, а в определени случаи - и за специалисти в други области на знанието, които използват математически методи в работата си, инженери и учители по математика. Освен това са осигурени средни статии по отделни специфични проблеми и методи на математиката; Тези статии са предназначени за по-тесен кръг читатели и следователно може да са по-малко достъпни. И накрая, друг вид статия са кратки препратки и определения. В края на последния том на Енциклопедията ще има предметен указател, който ще включва не само заглавията на всички статии, но и много понятия, чиито определения ще бъдат дадени в статии от първите два вида, както и като най-важните резултати, споменати в статиите. Повечето статии в Енциклопедията са придружени от библиография с поредни номера на всяко заглавие, което дава възможност за цитирането им в текстовете на статиите. В края на статиите (като правило) се посочва авторът или източникът, ако статията вече е била публикувана преди това (предимно това са статии в Голямата съветска енциклопедия). Имената на чуждестранни (с изключение на древните) учени, споменати в статии, са придружени от латински правопис (ако няма връзка към списъка с препратки).

Изтеглете и прочетете Математическа енциклопедия, том 1, Виноградов I.M., 1977 г.

Първоначално алгебрата е била дял от математиката, занимаващ се с решаването на уравнения. За разлика от геометрията, аксиоматичното изграждане на алгебрата не съществува до средата на 19 век, когато се появява принципно нов възглед за предмета и природата на алгебрата. Изследванията започват все повече да се фокусират върху изучаването на така наречените алгебрични структури. Това имаше две предимства. От една страна, областите, за които са валидни отделните теореми, бяха изяснени; от друга страна, стана възможно използването на едни и същи доказателства в напълно различни области. Това разделение на алгебрата продължава до средата на 20 век и се отразява в появата на две имена: „класическа алгебра“ и „модерна алгебра“. Последното се характеризира по-добре с друго име: „абстрактна алгебра“. Факт е, че този раздел - за първи път в математиката - се характеризираше с пълна абстрактност.

Изтеглете и прочетете Малка математическа енциклопедия, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruzsa I., 1976

„Вероятност и математическа статистика“ е справочна публикация по теория на вероятностите, математическа статистика и техните приложения в различни области на науката и технологиите. Енциклопедията има две части: основната съдържа обзорни статии, статии, посветени на отделни специфични проблеми и методи, кратки препратки, даващи дефиниции на основни понятия, най-важните теореми и формули. Значително място е отделено на приложните въпроси – теория на информацията, теория на масовото обслужване, теория на надеждността, експериментално планиране и свързани области – физика, геофизика, генетика, демография и отделни клонове на техниката. Повечето статии са придружени от библиография на най-важните трудове по този въпрос. Заглавията на статиите са дадени и в превод на английски език. Втората част - „Антология по теория на вероятностите и математическа статистика“ съдържа статии, написани за местни енциклопедии от миналото, както и енциклопедични материали, публикувани преди това в други произведения. Енциклопедията е придружена от обширен списък от списания, периодични издания и текущи публикации, обхващащи теми от теорията на вероятностите и математическата статистика.
Материалът, включен в Енциклопедията, е необходим за студенти, докторанти и изследователи в областта на математиката и други науки, които използват вероятностни методи в своята изследователска и практическа работа.

Математическа енциклопедия - справочно издание по всички раздели на математиката. Енциклопедията се основава на обзорни статии, посветени на най-важните области на математиката. Основното изискване за статии от този тип е възможната пълнота на прегледа на текущото състояние на теорията при максимална достъпност на изложението; Тези статии са общодостъпни за студенти по математика, докторанти и специалисти в сродни области на математиката, а в определени случаи - и за специалисти в други области на знанието, които използват математически методи в работата си, инженери и учители по математика. Освен това са осигурени средни статии по отделни специфични проблеми и методи на математиката; Тези статии са предназначени за по-тесен кръг читатели и следователно може да са по-малко достъпни. И накрая, друг вид статия са кратки препратки и определения. Някои определения са дадени в рамките на първите два вида статии. Повечето статии в Енциклопедията са придружени от библиография с поредни номера на всяко заглавие, което дава възможност за цитирането им в текстовете на статиите. В края на статиите (като правило) се посочва авторът или източникът, ако статията вече е била публикувана преди това (предимно това са статии в Голямата съветска енциклопедия). Имената на чуждестранни (с изключение на древните) учени, споменати в статии, са придружени от латински правопис (ако няма връзка към списъка с препратки).

Принципът на подреждане на статиите в Енциклопедията е азбучен. Ако заглавието на статията е термин, който има синоним, то последният се дава след основния. В много случаи заглавията на статиите се състоят от две или повече думи. В тези случаи термините се дават или в най-често срещаната им форма, или на първо място се поставя думата с най-важно значение. Ако заглавието на статия включва собствено име, то се поставя на първо място (списъкът с препратки за такива статии, като правило, съдържа първичен източник, обясняващ името на термина). Заглавията на статиите се дават предимно в единствено число.

Енциклопедията широко използва система от връзки към други статии, където читателят ще намери допълнителна информация по разглежданата тема. Дефиницията не дава препратка към термина, фигуриращ в заглавието на статията.

За да се спести място, в статиите се използват обичайните за енциклопедиите съкращения на някои думи.

Работил върху том 1

Редакционна колегия по математика на издателство "Съветска енциклопедия" - В. И. БИТЮЦКОВ (ръководител на редакцията), М. И. ВОЙЦЕХОВСКИЙ (научен редактор), Ю. А. ГОРБКОВ (научен редактор), А. Б. ИВАНОВ (старши научен редактор), О. А. ИВАНОВА (ст. научен редактор), Т. Й. ПОПОВА (научен редактор), С. А. РУКОВА (старши научен редактор), Е. Г. СОБОЛЕВСКАЯ (редактор), Л. В. СОКОЛОВА (младши редактор), Л. Р. ХАБИБ (младши редактор).

Сътрудници на издателството: Е. П. РЯБОВА (литературни редактори). Е. И. ЖАРОВА, А. М. МАРТИНОВА (библиография). А. Ф. ДАЛКОВСКАЯ (препис). Н. А. ФЕДОРОВА (отдел по придобиване). 3. А. СУХОВА (илюстрационно издание). Е. И. АЛЕКСЕЕВА, Н. Й. КРУЖАЛОВА (редактор на речника). М. В. АКИМОВА, А. Ф. ПРОШКО (коректор). Г. В. СМИРНОВА (техническо издание).

Корицата на художника Р. И. МАЛАНИЧЕВ.

Допълнителна информация за том 1

Издателство "Съветска енциклопедия"

Енциклопедии, речници, справочници

Научен и редакционен съвет на издателството

А. М. ПРОХОРОВ (председател), И. В. АБАШИДЗЕ, П. А. АЗИМОВ, А. П. АЛЕКСАНДРОВ, В. А. АМБАРЦУМЯН, И. И. АРТОБОЛЕВСКИ, А. В. АРЦИХОВСКИЙ, М. С. АСИМОВ, М. П. БАЖАН, Ю. Й. БАРАБАШ, Н. В. БАРАНОВ, Н. Н. БОГОЛИ UBOV, P. U. BROVKA, Y. V. BROMLEY, B. E. BYKHOVSKY, V. X. ВАСИЛЕНКО , Л. М. ВОЛОДАРСКИ, В. В. ВОЛСКИ, Б. М. ВУЛ, Б. Г. ГАФУРОВ, С. Р. ГЕРШБЕРГ, М. С. ГИЛЯРОВ, В. П. ГЛУШКО, В. М. ГЛУШКОВ, Г. Н. ГОЛИКОВ, Д. Б. ГУЛИЕВ, А. А. ГУСЕВ (заместник-председател), В. П. ЕЛУТИН, В. С. ЕМЕЛИ АНОВ, Е. М. ЖУКОВ , А. А. ИМШЕНЕЦКИ, Н. Н. ИНОЗЕМЦЕВ, М. А. И. КАБАЧНИК, С. В. КАЛЕСНИК, Г. А. КАРАВАЕВ, К. К. КАРАКЕЕВ, М. К. КАРАТАЕВ, Б. М. КЕДРОВ, Г. В. КЕЛДИШ, В. А. КИРИЛИН, И. Л. КНУНЯНЦ, С. М. КОВАЛЕВ (първи заместник-председател), Ф. В. КОНСТАНТИНОВ, В. Н. КУДРЯВЦЕВ , М. И. КУЗНЕЦОВ (заместник-председател), Б. В. КУКАРКИН, В. Г. КУЛИКОВ, И. А. КУТУЗОВ, П. П. ЛОБАНОВ, Г. М. ЛОЗА, Ю. Е. МАКСАРЕВ, П. А. МАРКОВ, А. И. МАРКУШЕВИЧ, Ю. Й. МАТУЛИС, Г. И. НААН, Г. Д. ОБИЧКИН, Б. Е. ПАТОН, В. М. ПОЛЕВОЙ, М. А. ПРОКОФИЕВ, Ю. В. ПРОХОРОВ, Н. Ф. РОСТОВЦЕВ, А. М. РУМЯНЦЕВ, Б. А. РИБАКОВ, В. П. САМСОН, М. И. СЛАДКОВСКИЙ, В. И. СМИРНОВ, Д. Н. СОЛОВИЕВ (заместник-председател), В. Г. СОЛОДОВНИКОВ, В. Н. СТОЛЕТОВ, Б. И. СТУКАЛИН, А. А. СУРКОВ, М. Л. ТЕРЕНТЬЕВ, С. А. ТОКАРЕВ, В. А. ТРАПЕЗНИКОВ, Е. К. ФЕДОРОВ, М. Б. ХРАПЧЕНКО, Е. И. ЧАЗОВ, В. Н. ЧЕРНИГОВСКИ, Ю. Е. ШМУШКИС, С. И. ЮТКЕВИЧ. Секретар на Съвета Л. В. КИРИЛОВА.

Москва 1977 г

Математическа енциклопедия. Том 1 (A - D)

Главен редактор И. М. ВИНОГРАДОВ

Редакционен екип

С. И. АДЯН, П. С. АЛЕКСАНДРОВ, Н. С. БАХВАЛОВ, В. И. БИТЮЦКОВ (заместник-главен редактор), А. В. БИЦАДЗЕ, Л. Н. БОЛШЕВ, А. А. ГОНЧАР, Н. В. ЕФИМОВ, В. А. ИЛЬИН, А. А. КАРАЦУБА, Л. Д. КУДРЯВЦЕВ, Б. М. ЛЕВИТАН, К. К. МАРЖАНИШВИЛИ, Е. Ф. МИЩЕНКО, С. П. НОВИКОВ, Е. Г. ПОЗНЯК, Ю. В. ПРОХОРОВ (заместник-главен редактор), А. Г. СВЕШНИКОВ, А. Н. ТИХОНОВ, П. Л. УЛЯНОВ, А. И. ШИРШОВ, С. В. ЯБЛОНСКИ

Математическа енциклопедия. Изд. съвет: И. М. Виноградов (главен редактор) [и др.] Т. 1 - М., „Съветска енциклопедия“, 1977 г.

(Енциклопедии. Речници. Справочници), т. 1. A - G. 1977. 1152 stb. от илюстрация.

Предаден за набор на 9 юни 1976 г. Подписан за печат на 18 февруари 1977 г. Отпечатване на текст от матрици, направени в Първа образцова печатница на името на. А. А. Жданова. Орден на Червеното знаме на труда издателство "Съветска енциклопедия". 109817. Москва, Ж - 28, Покровски булевард, 8. Т - 02616 Тираж 150 000 бр. Поръчка № 418. Печатна хартия № 1. Формат на хартията 84xl08 1/14. Том 36 физически. п.л. ; 60, 48 конвенционални п.л. текст. 101, 82 академик. - изд. л. Цената на книгата е 7 рубли. 10 к.

Орден на Червеното знаме Московска печатница № 1 "Союзполиграфпрома" към Държавния комитет на Съвета на министрите на СССР по издателска дейност, печат и книготърговия, Москва, I - 85, проспект Мира, 105. Заповед №. 865.

20200 - 004 абонамент © Издателство "Съветска енциклопедия", 1977 007(01) - 77

Математическа енциклопедия

Математическа енциклопедия- съветско енциклопедично издание в пет тома, посветено на математически теми. Публикувана през 1985 г. от издателство "Съветска енциклопедия". Главен редактор: академик И. М. Виноградов.

Това е фундаментално илюстровано издание за всички основни клонове на математиката. Книгата представя обширен материал по темата, биографии на известни математици, чертежи, графики, диаграми и диаграми.

Общ обем: около 3000 страници. Разпределение на статиите по обем:

• Том 1: Абакус - принцип на Хюйгенс, 576 стр.
• Том 2: Оператор D'Alembert - Кооперативна игра, 552 стр.
• Том 3: Координати - мономи, 592 стр.
• Том 4: Окото на теоремата - Комплексна функция, 608 стр.
• Том 5: Случайна променлива - клетка, 623 стр.
  Приложение към том 5: индекс, списък на забелязаните печатни грешки.

Връзки

• Общи и специални справочници и енциклопедии по математика на портала „Светът на математическите уравнения“, където можете да изтеглите енциклопедията в електронен вид.

Категории:

• Книги по азбучен ред
• Математическа литература
• Енциклопедии
• Книги от издателство "Съветска енциклопедия"
• Енциклопедии на СССР

Фондация Уикимедия. 2010 г.

• Математическа химия
• Математически основи на квантовата механика

Вижте какво е "Математическа енциклопедия" в други речници:

Математическа логика- (теоретична логика, символична логика) клон на математиката, който изучава доказателства и въпроси на основите на математиката. „Предметът на съвременната математическа логика е разнообразен.“ Според определението на П. С. Порецки, „математическата ... ... Уикипедия

Енциклопедия- (нова латинска енциклопедия (не по-рано от 16-ти век) от други гръцки ἐγκύκλιος παιδεία „учене в пълен кръг“, κύκλος кръг и παιδεία учене/paideia) въведена в системата около ... Wikipedia

ЕНЦИКЛОПЕДИЯ- (от гръцки enkyklios paideia обучение в целия спектър от знания), научен. или научен популярно справочно издание, съдържащо систематизирана информация. Тяло от знания. Материалът в Е. е подреден по азбучен или систематичен ред. принцип (по отрасли на знанието).... ... Естествени науки. енциклопедичен речник

МАТЕМАТИЧЕСКА ЛОГИКА- едно от имената на съвременната логика, което дойде във втората. етаж. 19 начало 20-ти век да замени традиционната логика. Терминът символна логика се използва и като друго наименование на съвременния етап в развитието на науката логика. Определение…… Философска енциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКА БЕЗКРАЙНОСТ- общо наименование за разлагане. внедряване на идеята за безкрайност в математиката. Въпреки че между значенията на понятието М. б. и други значения, в които се използва терминът безкрайност, няма твърдо ограничение (тъй като всички тези понятия в крайна сметка отразяват много ... ... Философска енциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКА ИНДУКЦИЯ- пълна математическа индукция (в математиката често се нарича просто пълна индукция; в този случай това понятие трябва да се разграничава от понятието пълна индукция, разглеждано в нематематическата формална логика), - метод за доказване на общи твърдения в ... . .. Философска енциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКА ХИПОТЕЗА- предполагаема промяна във формата, вида, характера на уравнението, изразяващо закона на изследваната област от явления, с цел разширяването му в нова, все още неизучена област като присъщ закон. M. g. се използва широко в съвремието. теоретично...... Философска енциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКА ШКОЛА ПО ПОЛИТИЧЕСКА ИКОНОМИЯ- Английски математическа школа по политическа икономия; Немски mathematische Schule in der politischen Okonomie. Посоката в политиката, икономиката, която възниква през втората половина на 19 век, е дадена от представители (Л. Валрас, В. Парето, О. Джевънс и др.) ... ... Енциклопедия по социология

МАТЕМАТИЧЕСКА ШКОЛА ПО СОЦИОЛОГИЯ- Английски математическа школа по социология; Немски mathematische Schule in der Soziologie. Направление в социологията, възникнало през първата половина на 20-ти век, основателите на социологията (А. Ципф, Е. Дод и др.) Вярват, че теориите на социолога достигат нивото на... ... Енциклопедия по социология

Математически модел на сгради и съоръжения- Математически (компютърен) модел на сгради и конструкции - представяне на сгради и конструкции под формата на диаграма с крайни елементи за извършване на числени изчисления при решаване на набор от проблеми, възникващи по време на проектиране, строителство и... ... Енциклопедия на термини, определения и обяснения на строителни материали

Книги

• Математическа енциклопедия (комплект от 5 книги), . Математическа енциклопедия - удобно справочно издание за всички клонове на математиката. Енциклопедията се основава на статии, посветени на най-важните области на математиката. Принципът на местоположение...

Изтеглете книгата Математическа енциклопедия в 5 томаабсолютно безплатно.

За да изтеглите книга безплатно от услугите за хостинг на файлове, щракнете върху връзките непосредствено след описанието на безплатната книга.

Математическа енциклопедия - справочно издание по всички раздели на математиката. Енциклопедията се основава на обзорни статии, посветени на най-важните области на математиката. Основното изискване за статии от този тип е възможната пълнота на прегледа на текущото състояние на теорията при максимална достъпност на изложението; Тези статии са общодостъпни за студенти по математика, докторанти и специалисти в сродни области на математиката, а в определени случаи - и за специалисти в други области на знанието, които използват математически методи в работата си, инженери и учители по математика. Освен това са осигурени средни статии по отделни специфични проблеми и методи на математиката; Тези статии са предназначени за по-тесен кръг читатели и следователно може да са по-малко достъпни. И накрая, друг вид статия са кратки препратки и определения.

Уважаеми читатели, ако не се получи за вас

Изтегляне на математическа енциклопедия в 5 тома

пишете за това в коментарите и ние определено ще ви помогнем. Надяваме се книгата да ви е харесала и да сте я прочели с удоволствие. Като благодарност можете да оставите линк към нашия уебсайт във форума или блога :)Електронната книга Математическа енциклопедия в 5 тома се предоставя само за преглед преди закупуване на хартиена книга и не е конкурент на печатните издания.

Съдържанието на статията

МАТЕМАТИКА.Математиката обикновено се определя чрез изброяване на имената на някои от нейните традиционни клонове. На първо място, това е аритметиката, която се занимава с изучаването на числата, връзките между тях и правилата за работа с числа. Фактите на аритметиката са податливи на различни специфични интерпретации; например връзката 2 + 3 = 4 + 1 съответства на твърдението, че две и три книги правят толкова книги, колкото четири и една. Всяко отношение като 2 + 3 = 4 + 1, т.е. връзка между чисто математически обекти без препратка към каквато и да е интерпретация от физическия свят се нарича абстрактна. Абстрактният характер на математиката позволява да се използва за решаване на голямо разнообразие от проблеми. Например алгебрата, която се занимава с операции с числа, може да решава проблеми, които надхвърлят аритметиката. По-специфичен клон на математиката е геометрията, чиято основна задача е изучаването на размерите и формите на обектите. Комбинацията от алгебрични методи с геометрични води, от една страна, до тригонометрията (първоначално посветена на изучаването на геометрични триъгълници, а сега обхващаща много по-широк кръг от въпроси), а от друга страна, до аналитичната геометрия, в която геометричните тела и фигури се изучават с алгебрични методи. Има няколко клона на висшата алгебра и геометрия, които имат по-висока степен на абстракция и не се занимават с изучаването на обикновени числа и обикновени геометрични фигури; най-абстрактната от геометричните дисциплини се нарича топология.

Математическият анализ се занимава с изучаването на величини, които се променят в пространството или времето, и се основава на две основни понятия - функция и граница, които не се срещат в по-елементарните клонове на математиката. Първоначално математическият анализ се състоеше от диференциално и интегрално смятане, но сега включва и други раздели.

Има два основни клона на математиката - чиста математика, която набляга на дедуктивните разсъждения, и приложна математика. Терминът „приложна математика“ понякога се отнася до онези клонове на математиката, които са създадени специално, за да задоволят нуждите и изискванията на науката, а понякога и до онези раздели на различни науки (физика, икономика и др.), които използват математиката като средство за решаване на техните задачи. Много често срещани погрешни схващания за математиката възникват от объркването на тези две интерпретации на „приложна математика“. Аритметиката може да бъде пример за приложна математика в първия смисъл, а счетоводството във втория.

Противно на общоприетото схващане, математиката продължава да се развива бързо. Списанието Mathematical Review публикува прибл. 8000 кратки резюмета на статии, съдържащи най-новите резултати - нови математически факти, нови доказателства за стари факти и дори информация за напълно нови области на математиката. Настоящата тенденция в обучението по математика е учениците да се запознават с модерни, по-абстрактни математически идеи на по-ранен етап от преподаването на математика. Вижте същоИСТОРИЯ НА МАТЕМАТИКАТА. Математиката е един от крайъгълните камъни на цивилизацията, но много малко хора имат представа за текущото състояние на нещата в тази наука.

Математиката претърпя огромни промени през последните сто години, както в предмета, така и в изследователските си методи. В тази статия ще се опитаме да дадем обща представа за основните етапи в еволюцията на съвременната математика, основните резултати от които могат да се считат, от една страна, увеличаване на разликата между чистата и приложната математика и от друга, пълно преосмисляне на традиционните области на математиката.

РАЗВИТИЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИ МЕТОД

Раждането на математиката.

Около 2000 г. пр.н.е беше забелязано, че в триъгълник със страни от 3, 4 и 5 единици дължина, един от ъглите е 90 ° (това наблюдение улеснява конструирането на прав ъгъл за практически нужди). Тогава забелязахте ли отношението 5 2 = 3 2 + 4 2? Нямаме информация по този въпрос. Няколко века по-късно беше открито общо правило: във всеки триъгълник ABCс прав ъгъл на върха Аи страните b = ACИ ° С = AB, между които е ограден този ъгъл, и срещуположната страна а = пр.н.е.съотношението е валидно а 2 = b 2 + ° С 2. Можем да кажем, че науката започва, когато маса от индивидуални наблюдения се обяснява с един общ закон; следователно откриването на "Питагоровата теорема" може да се счита за един от първите известни примери за истинско научно постижение.

Но още по-важно за науката като цяло и за математиката в частност е фактът, че наред с формулирането на общ закон се появяват и опити за неговото доказване, т.е. показват, че тя задължително следва от други геометрични свойства. Едно от източните „доказателства“ е особено ясно в своята простота: четири триъгълника, равни на този, са вписани в квадрат BCDEкакто е показано на чертежа. Квадратна площ а 2 се оказва разделено на четири равни триъгълника с обща площ 2 пр.н.еи квадрат AFGH■ площ ( b – ° С) 2 . По този начин, а 2 = (b – ° С) 2 + 2пр.н.е = (b 2 + ° С 2 – 2пр.н.е) + 2пр.н.е = b 2 + ° С 2. Поучително е да отидете още една крачка напред и да разберете по-точно кои „предишни“ свойства се предполага, че са известни. Най-очевидният факт е, че тъй като триъгълниците BACИ BEFточно, без празнини или припокриване, „напаснати“ отстрани Б.А.И Б.Ф., това означава, че двата ъгъла на върха бИ СЪСв триъгълник ABCзаедно образуват ъгъл от 90° и следователно сумата от трите му ъгъла е равна на 90° + 90° = 180°. Горното "доказателство" също използва формулата ( пр.н.е/2) за площта на триъгълник ABCс ъгъл 90° при върха А. Всъщност бяха използвани и други предположения, но казаното е достатъчно, за да можем ясно да видим основния механизъм на математическото доказателство - дедуктивното разсъждение, което позволява, използвайки чисто логически аргументи (въз основа на правилно подготвен материал, в нашия пример - разделяне на квадрат) за извеждане от известни резултати нови свойства, като правило, не следват директно от наличните данни.

Аксиоми и методи за доказателство.

Една от основните характеристики на математическия метод е процесът на създаване, използвайки внимателно изградени чисто логически аргументи, верига от твърдения, в която всяка следваща връзка е свързана с предишните. Първото доста очевидно съображение е, че във всяка верига трябва да има първо звено. Това обстоятелство става очевидно за гърците, когато те започват да систематизират набор от математически аргументи през 7 век. пр.н.е. За да осъществят този план, на гърците са били необходими ок. Преди 200 години, а оцелелите документи дават само груба представа за това как точно са действали. Имаме точна информация само за крайния резултат от изследването – известният НаченкиЕвклид (ок. 300 г. пр.н.е.). Евклид започва с изброяване на началните позиции, от които всички останали се извеждат чисто логически. Тези разпоредби се наричат ​​аксиоми или постулати (термините са практически взаимозаменяеми); те изразяват или много общи и донякъде неясни свойства на обекти от всякакъв вид, например „цялото е по-голямо от частта“, или някои специфични математически свойства, например, че за всеки две точки има уникална права линия, която ги свързва . Нямаме информация дали гърците са придавали някакво по-дълбоко значение или значение на „истината“ на аксиомите, въпреки че има някои намеци, че гърците са ги обсъждали известно време, преди да приемат определени аксиоми. При Евклид и неговите последователи аксиомите са представени само като отправни точки за изграждането на математиката, без коментар за тяхната природа.

Що се отнася до методите на доказателство, те като правило се свеждат до директното използване на доказани по-рано теореми. Понякога обаче логиката на разсъжденията се оказваше по-сложна. Тук ще споменем любимия метод на Евклид, станал част от ежедневната практика на математиката – косвено доказателство или доказателство чрез противоречие. Като елементарен пример за доказателство от противно ще покажем, че шахматна дъска, от която са изрязани две ъглови полета, разположени в противоположните краища на диагонала, не може да бъде покрита с домино, всяко от които е равно на две полета. (Предполага се, че всяко поле от шахматната дъска трябва да бъде покрито само веднъж.) Да предположим, че обратното („противоположното“) твърдение е вярно, т.е. че дъската може да бъде покрита с домино. Всяка плочка покрива един черен и един бял квадрат, така че независимо как са подредени доминото, те покриват равен брой черни и бели квадрати. Но тъй като двете ъглови полета са премахнати, шахматната дъска (която първоначално имаше толкова черни полета, колкото и белите) има две повече полета от един цвят, отколкото полета от другия цвят. Това означава, че нашето първоначално предположение не може да бъде вярно, тъй като води до противоречие. И тъй като твърдения, които си противоречат, не могат да бъдат едновременно неверни (ако едно от тях е невярно, то обратното е вярно), нашето първоначално предположение трябва да е вярно, тъй като предположението, което му противоречи, е невярно; следователно шахматна дъска с две ъглови полета, изрязани по диагонал, не може да бъде покрита с домино. И така, за да докажем определено твърдение, можем да предположим, че то е невярно и да изведем от това предположение противоречие с някое друго твърдение, чиято истинност е известна.

Отличен пример за доказателство от противно, което се превърна в един от крайъгълните камъни в развитието на древногръцката математика, е доказателството, че не е рационално число, т.е. не може да се представи като дроб стр/р, Където стрИ р- цели числа. Ако , тогава 2 = стр 2 /р 2, от къде стр 2 = 2р 2. Да предположим, че има две цели числа стрИ р, за което стр 2 = 2р 2. С други думи, приемаме, че има цяло число, чийто квадрат е два пъти по-голям от квадрата на друго цяло число. Ако някое цяло число отговаря на това условие, тогава едно от тях трябва да е по-малко от всички останали. Нека се съсредоточим върху най-малкото от тези числа. Нека да е число стр. От 2 р 2 е четно число и стр 2 = 2р 2, след това числото стр 2 трябва да е четно. Тъй като квадратите на всички нечетни числа са нечетни, и квадратът стр 2 е четно, което означава самото число стртрябва да е равно. С други думи, броят стрдва пъти по-голям от размера на някакво цяло число r. защото стр = 2rИ стр 2 = 2р 2 имаме: (2 r) 2 = 4r 2 = 2р 2 и р 2 = 2r 2. Последното равенство има същата форма като равенството стр 2 = 2р 2 и можем, повтаряйки същото разсъждение, да покажем, че числото ре четен и че има такова цяло число с, Какво р = 2с. Но след това р 2 = (2с) 2 = 4с 2, и тъй като р 2 = 2r 2, заключаваме, че 4 с 2 = 2r 2 или r 2 = 2с 2. Това ни дава второ цяло число, което отговаря на условието, че неговият квадрат е два пъти по-голям от квадрата на другото цяло число. Но след това стрне може да бъде най-малкото такова число (тъй като r = стр/2), въпреки че първоначално предположихме, че това е най-малкото от тези числа. Следователно нашето първоначално предположение е невярно, тъй като води до противоречие и следователно няма такива цели числа стрИ р, за което стр 2 = 2р 2 (т.е. такова, че ). Това означава, че числото не може да бъде рационално.

От Евклид до началото на 19 век.

През този период математиката се промени значително в резултат на три нововъведения.

(1) В процеса на развитие на алгебрата беше изобретен метод на символно означение, който направи възможно представянето в съкратена форма на все по-сложни връзки между количествата. Като пример за неудобствата, които биха възникнали, ако нямаше такова „курсивно писане“, нека се опитаме да предадем с думи връзката ( а + b) 2 = а 2 + 2аб + b 2: „Площта на квадрат със страна, равна на сумата от страните на два дадени квадрата, е равна на сумата от техните площи плюс удвоената площ на правоъгълник, чиито страни са равни на страните на дадени квадрати."

(2) Създаване през първата половина на 17 век. аналитична геометрия, която направи възможно свеждането на всеки проблем от класическата геометрия до някакъв алгебричен проблем.

(3) Създаването и развитието в периода от 1600 до 1800 г. на безкрайно малко смятане, което направи възможно лесното и систематично решаване на стотици проблеми, свързани с концепциите за граница и непрекъснатост, само много малко от които бяха решени с голяма трудност от древногръцки математици. Тези клонове на математиката са разгледани по-подробно в статиите АЛГЕБРА; АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ ; МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ ; ПРЕГЛЕД НА ГЕОМЕТРИЯТА.

От 17 век. Въпросът, който досега оставаше неразрешим, постепенно се изяснява. Какво е математика? Преди 1800 г. отговорът беше доста прост. По това време не е имало ясни граници между различните науки; математиката е част от „естествената философия“ - систематичното изучаване на природата с помощта на методите, предложени от великите реформатори от Ренесанса и началото на 17 век. – Галилей (1564–1642), Ф. Бейкън (1561–1626) и Р. Декарт (1596–1650). Смяташе се, че математиците имат своя собствена област на изследване - числа и геометрични обекти - и че математиците не използват експерименталния метод. Но Нютон и неговите последователи изучават механиката и астрономията, използвайки аксиоматичния метод, подобно на това как геометрията е представена от Евклид. В по-общ план се признава, че всяка наука, в която резултатите от даден експеримент могат да бъдат представени с помощта на числа или системи от числа, се превръща в поле за приложение на математиката (във физиката тази идея е установена едва през 19 век).

Областите на експерименталната наука, които са били подложени на математическа обработка, често се наричат ​​"приложна математика"; Това е много неудачно наименование, тъй като нито според класическите, нито според съвременните стандарти в тези приложения има (в строгия смисъл на думата) наистина математически аргументи, тъй като обектът на изследване в тях са нематематически обекти. След като експерименталните данни са преведени на езика на числата или уравненията (такъв „превод“ често изисква голяма находчивост от страна на „приложния“ математик), става възможно широкото прилагане на математически теореми; след това резултатът се превежда обратно и се сравнява с наблюденията. Фактът, че терминът "математика" се прилага към процес от този вид, е един от източниците на безкрайни недоразумения. В „класическите“ времена, за които говорим сега, този вид недоразумение не е съществувало, тъй като едни и същи хора са били едновременно „приложни“ и „чисти“ математици, работещи едновременно върху проблемите на математическия анализ или теорията на числата и проблемите на динамика или оптика. Въпреки това, повишената специализация и тенденцията за разделяне на „чистата“ и „приложната“ математика значително отслабиха съществуващата преди това традиция на универсалност и учените, които като Й. фон Нойман (1903–1957) успяха да водят активна научна работа и в двете приложни и в чистата математика са се превърнали по-скоро в изключение, отколкото в правило.

Каква е природата на математическите обекти – числа, точки, линии, ъгли, повърхнини и т.н., чието съществуване приемаме за даденост? Какво означава понятието „истина“ по отношение на такива обекти? В класическия период на тези въпроси са дадени доста категорични отговори. Разбира се, учените от онази епоха ясно разбират, че в света на нашите усещания няма такива неща като „безкрайно удължена права линия“ или „безразмерна точка“ на Евклид, точно както няма „чисти метали“, „едноцветни“. светлина”, „топлоизолирани системи” и др., с които експериментаторите оперират в разсъжденията си. Всички тези концепции са „платонически идеи“, т.е. своеобразни генеративни модели на емпирични понятия, макар и с коренно различен характер. Независимо от това, мълчаливо се предполагаше, че физическите „образи“ на идеите могат да бъдат възможно най-близки до самите идеи. До степента, в която изобщо може да се каже нещо за близостта на обектите до идеите, се казва, че „идеите“ са, така да се каже, „ограничени случаи“ на физическите обекти. От тази гледна точка аксиомите на Евклид и извлечените от тях теореми изразяват свойствата на „идеалните“ обекти, на които трябва да съответстват предсказуемите експериментални факти. Например, измерването с оптични методи на ъглите на триъгълник, образуван от три точки в пространството, в „идеалния случай“ трябва да даде сума, равна на 180°. С други думи, аксиомите се поставят на същото ниво като физическите закони и следователно тяхната „истина“ се възприема по същия начин като истината на физическите закони; тези. логическите следствия от аксиомите подлежат на проверка чрез сравнение с експериментални данни. Разбира се, съгласие може да бъде постигнато само в границите на грешката, свързана както с „несъвършения“ характер на измервателния уред, така и с „несъвършения характер“ на измервания обект. Въпреки това, винаги се приема, че ако законите са „верни“, тогава подобренията в процесите на измерване могат по принцип да направят грешката на измерване толкова малка, колкото желаете.

През целия 18 век. имаше все повече и повече доказателства, че всички следствия, получени от основните аксиоми, особено в астрономията и механиката, са в съответствие с експерименталните данни. И тъй като тези следствия са получени с помощта на съществуващия по това време математически апарат, постигнатите успехи допринесоха за укрепване на мнението за истинността на аксиомите на Евклид, която, както казва Платон, е „ясна за всички“ и не подлежи на обсъждане.

Съмнения и нови надежди.

Неевклидова геометрия.

Сред постулатите, дадени от Евклид, един беше толкова неочевиден, че дори първите ученици на великия математик го смятаха за слабо място в системата започна. Въпросната аксиома гласи, че през точка, лежаща извън дадена права, може да се начертае само една права, успоредна на дадена права. Повечето геометри вярват, че паралелната аксиома може да бъде доказана с други аксиоми и че Евклид формулира паралелното твърдение като постулат, просто защото не е успял да излезе с такова доказателство. Но въпреки че най-добрите математици се опитаха да решат проблема с паралелите, никой от тях не успя да надмине Евклид. И накрая, през втората половина на 18в. Бяха направени опити да се докаже постулата на Евклид за паралелите чрез противоречие. Предполага се, че паралелната аксиома е невярна. Априори, постулатът на Евклид може да се окаже неверен в два случая: ако е невъзможно да се начертае една успоредна права през точка извън дадена права; или ако през него могат да се прокарат няколко паралелни. Оказа се, че първата априорна възможност се изключва от други аксиоми. След като приеха нова аксиома вместо традиционната аксиома за паралелите (че през точка извън дадена права могат да бъдат начертани няколко прави, успоредни на дадена), математиците се опитаха да извлекат от нея твърдение, което противоречи на други аксиоми, но не успяха: не Колкото и да се опитваха да извлекат следствия от новата „антиевклидова“ или „неевклидова“ аксиома, противоречие никога не се появяваше. Накрая, независимо един от друг, NI Lobachevsky (1793–1856) и J. Bolyai (1802–1860) разбраха, че постулатът на Евклид за паралелите е недоказуем или, с други думи, противоречие няма да се появи в „неевклидовата геометрия. ”

С появата на неевклидовата геометрия веднага възникнаха няколко философски проблема. Тъй като твърдението за априорната необходимост от аксиоми беше изчезнало, единственият останал начин да се провери тяхната „истина“ беше експериментален. Но, както по-късно отбелязва А. Поанкаре (1854–1912), в описанието на всяко явление има толкова много скрити физически предположения, че нито един експеримент не може да предостави убедителни доказателства за истинността или неистинността на дадена математическа аксиома. Освен това, дори ако приемем, че нашият свят е „неевклидов“, следва ли, че цялата евклидова геометрия е невярна? Доколкото е известно, нито един математик не е разглеждал сериозно подобна хипотеза. Интуицията предполага, че както евклидовата, така и неевклидовата геометрия са примери за пълноценна математика.

Математически "чудовища".

Неочаквано се стига до същите изводи от съвсем друга посока – открити са обекти, които шокират математиците от 19 век. шокирани и наречени „математически чудовища“. Това откритие е пряко свързано с много тънки проблеми на математическия анализ, възникнали едва в средата на 19 век. Трудности възникват, когато се опитват да намерят точен математически аналог на експерименталната концепция за крива. Каква беше същността на концепцията за "непрекъснато движение" (например върхът на писалка за рисуване, движещ се върху лист хартия) беше предмет на точна математическа дефиниция и тази цел беше постигната, когато концепцията за непрекъснатост придоби строг математически значение ( см. СъщоКРИВА). Интуитивно изглеждаше, че „кривата“ във всяка своя точка има посока, т.е. в общия случай в близост до всяка своя точка кривата се държи почти по същия начин като правата линия. (От друга страна, не е трудно да си представим, че една крива има краен брой ъглови точки, „извивки“, като многоъгълник.) Това изискване може да се формулира математически, а именно съществуването на допирателна към кривата е се приема и до средата на 19в. смяташе се, че „кривата“ има допирателна в почти всички свои точки, може би с изключение на някои „специални“ точки. Следователно откриването на „криви“, които нямат допирателна в нито една точка, предизвика истински скандал ( см. СъщоТЕОРИЯ НА ФУНКЦИИТЕ). (Читателят, запознат с тригонометрията и аналитичната геометрия, може лесно да провери, че кривата, дадена от уравнението г = хгрях(1/ х), няма допирателна в началото, но дефинирането на крива, която няма допирателна в нито една от точките си, е много по-трудно.)

Малко по-късно беше получен много по-„патологичен“ резултат: беше възможно да се конструира пример за крива, която напълно запълва квадрат. Оттогава стотици такива „чудовища“ са измислени, противно на „здравия разум“. Трябва да се подчертае, че съществуването на такива необичайни математически обекти следва от основните аксиоми, толкова строго и логически безупречни, колкото съществуването на триъгълник или елипса. Тъй като математическите "чудовища" не могат да съответстват на нито един експериментален обект и единственото възможно заключение е, че светът на математическите "идеи" е много по-богат и необичаен, отколкото може да се очаква, и само много малко от тях имат съответствия в света на нашия усещания. Но ако математическите „чудовища“ логично следват от аксиомите, тогава могат ли аксиомите да се считат за верни?

Нови обекти.

Горните резултати бяха потвърдени от още една страна: в математиката, главно в алгебрата, един след друг започнаха да се появяват нови математически обекти, които бяха обобщения на понятието число. Обикновените цели числа са доста „интуитивни“ и изобщо не е трудно да се стигне до експерименталната концепция за дроб (въпреки че трябва да се признае, че операцията за разделяне на единица на няколко равни части и избирането на няколко от тях е различна по природа от процеса на броене). След като беше открито, че едно число не може да бъде представено като дроб, гърците бяха принудени да разглеждат ирационални числа, чието правилно определяне чрез безкрайна последователност от приближения чрез рационални числа принадлежи към най-високите постижения на човешкия ум, но едва ли съответства на всичко реално в нашия физически свят (където всяко измерване неизменно е свързано с грешки). Въпреки това въвеждането на ирационални числа се случи повече или по-малко в духа на „идеализацията“ на физическите понятия. Какво можем да кажем за отрицателните числа, които бавно, срещайки голяма съпротива, започнаха да навлизат в научната употреба във връзка с развитието на алгебрата? Може да се твърди с пълна сигурност, че не е имало готови физически обекти, изхождайки от които ние, използвайки процеса на директна абстракция, да развием концепцията за отрицателно число, а в преподаването на начален курс по алгебра трябва да въведем много спомагателни и доста сложни примери (ориентирани сегменти, температури, дългове и т.н.), за да се обясни какво представляват отрицателните числа. Тази ситуация е много далеч от понятието „ясно за всички“, както изисква Платон от идеите, лежащи в основата на математиката, и често се срещат завършили колеж, за които правилото на знаците все още е загадка (– а)(–b) = аб. Вижте същоНОМЕР .

Още по-лошо е положението с „въображаемите“ или „сложните“ числа, тъй като те включват „число“ аз, така че аз 2 = –1, което е явно нарушение на правилото за знака. Въпреки това математиците от края на 16в. не се колебайте да извършвате изчисления с комплексни числа, сякаш те „имаха смисъл“, въпреки че преди 200 години не можеха да дефинират тези „обекти“ или да ги интерпретират с помощта на някаква спомагателна конструкция, както например те бяха интерпретирани с помощта на насочени сегменти отрицателни числа . (След 1800 г. бяха предложени няколко интерпретации на комплексни числа, като най-известните използват вектори в равнината.)

Съвременна аксиоматика.

Революцията се състоя през втората половина на 19 век. И въпреки че не беше придружено от приемането на официални изявления, в действителност става дума за провъзгласяване на своеобразна „декларация за независимост“. По-точно за фактическата декларация за независимост на математиката от външния свят.

От тази гледна точка математическите „обекти“, ако изобщо има смисъл да се говори за тяхното „съществуване“, са си чисти творения на ума, а имат ли „съответствия“ и позволяват ли някаква „интерпретация“ във физическия свят? , за математиката е маловажен (въпреки че този въпрос сам по себе си е интересен).

„Истинските“ твърдения за такива „обекти“ са същите логически следствия от аксиомите. Но сега аксиомите трябва да се разглеждат като напълно произволни и следователно няма нужда те да бъдат „очевидни“ или изводими от ежедневния опит чрез „идеализация“. На практика пълната свобода е ограничена от различни съображения. Разбира се, „класическите“ обекти и техните аксиоми остават непроменени, но сега те не могат да се считат за единствените обекти и аксиоми на математиката и навикът да се изхвърлят или преработват аксиомите е станал част от ежедневната практика, така че е възможно да използвайте ги по различни начини, както беше направено по време на прехода от евклидова към неевклидова геометрия. (По този начин са получени многобройни варианти на „неевклидови“ геометрии, различни от евклидовата геометрия и от геометрията на Лобачевски-Болай; например има неевклидови геометрии, в които няма успоредни прави.)

Бих искал специално да подчертая едно обстоятелство, което следва от новия подход към математическите „обекти“: всички доказателства трябва да се основават изключително на аксиоми. Ако си спомним определението за математическо доказателство, тогава такова твърдение може да изглежда повтарящо се. Въпреки това, това правило рядко се следва в класическата математика поради "интуитивния" характер на нейните обекти или аксиоми. Дори в НаченкиЕвклид, въпреки цялата им очевидна „строгост“, много аксиоми не са посочени изрично и много свойства са или мълчаливо приети, или въведени без достатъчна обосновка. За да се постави евклидовата геометрия на солидна основа, беше необходима критична ревизия на самите нейни принципи. Едва ли си струва да се каже, че педантичният контрол върху най-малките детайли на доказателството е следствие от появата на „чудовища“, които научиха съвременните математици да бъдат внимателни в своите заключения. Най-безобидното и „самоочевидно“ твърдение за класическите обекти, например твърдението, че крива, свързваща точки, разположени от противоположните страни на линия, задължително пресича тази линия, изисква строго формално доказателство в съвременната математика.

Може да изглежда парадоксално да се каже, че именно поради придържането си към аксиомите съвременната математика служи като ясен пример за това каква трябва да бъде всяка наука. Въпреки това, този подход илюстрира характерна черта на един от най-фундаменталните процеси на научното мислене - получаването на точна информация в ситуация на непълно знание. Научното изследване на определен клас обекти предполага, че характеристиките, които позволяват да се разграничи един обект от друг, са умишлено оставени в забрава и се запазват само общите характеристики на разглежданите обекти. Това, което отличава математиката от общия набор от науки, е стриктното спазване на тази програма във всички нейни точки. Казва се, че математическите обекти са напълно определени от аксиомите, използвани в теорията на тези обекти; или, по думите на Поанкаре, аксиомите служат като „прикрити дефиниции“ на обектите, за които се отнасят.

СЪВРЕМЕННА МАТЕМАТИКА

Въпреки че съществуването на всякакви аксиоми е теоретично възможно, само малък брой аксиоми са предложени и проучени досега. Обикновено по време на разработването на една или повече теории се забелязва, че определени образци на доказателство се повтарят при повече или по-малко сходни условия. След като свойствата, използвани в общи схеми за доказателство, бъдат открити, те се формулират като аксиоми и техните последствия се вграждат в обща теория, която няма пряка връзка със специфичните контексти, от които аксиомите са били абстрахирани. Получените по този начин общи теореми са приложими към всяка математическа ситуация, в която има системи от обекти, които удовлетворяват съответните аксиоми. Повтарянето на едни и същи схеми за доказателство в различни математически ситуации показва, че имаме работа с различни спецификации на една и съща обща теория. Това означава, че след подходящо тълкуване аксиомите на тази теория стават теореми във всяка ситуация. Всяко свойство, извлечено от аксиомите, ще бъде валидно във всички тези ситуации, но няма нужда от отделно доказателство за всеки случай. В такива случаи се казва, че математическите ситуации споделят една и съща математическа „структура“.

Ние използваме идеята за структура на всяка стъпка в нашето ежедневие. Ако термометърът показва 10 ° C и службата за прогнози прогнозира повишаване на температурата с 5 ° C, ние без никакво изчисление очакваме температура от 15 ° C. Ако книга е отворена на страница 10 и ние сме помолени да погледнем 5 страници по-нататък , не се притесняваме да го отворим на 15-та страница, без да броим междинните страници. И в двата случая смятаме, че събирането на числата дава правилния резултат, независимо от интерпретацията им – като температура или номера на страници. Не е необходимо да учим една аритметика за термометрите и друга за номерата на страниците (въпреки че използваме специална аритметика, когато работим с часовници, в която 8 + 5 = 1, тъй като часовниците имат различна структура от страниците на книга). Структурите, които интересуват математиците, са малко по-сложни, което е лесно да се види от примерите, които се обсъждат в следващите два раздела на тази статия. Един от тях ще говори за теория на групите и математическите концепции за структури и изоморфизми.

Теория на групите.

За да разберем по-добре описания по-горе процес, нека си позволим да надникнем в лабораторията на модерен математик и да разгледаме по-отблизо един от основните му инструменти - теорията на групите ( см. СъщоАБСТРАКТНА АЛГЕБРА). Групата е набор (или „набор“) от обекти Ж, върху който е дефинирана операция, която отговаря на всеки два обекта или елемента а, bот Ж, взети в посочения ред (първи е елементът а, вторият е елементът b), трети елемент ° Сот Жпо строго определено правило. За краткост обозначаваме този елемент а*b; Звездицата (*) обозначава операцията по съставяне на два елемента. Тази операция, която ще наричаме групово умножение, трябва да отговаря на следните условия:

(1) за всеки три елемента а, b, ° Сот Жсвойството за асоциативност притежава: а* (b*° С) = (а*b) *° С;

(2) в Жима такъв елемент д, което за произволен елемент аот Жима връзка д*а = а*д = а; този елемент днаречен единствен или неутрален елемент на група;

(3) за всеки елемент аот Жима такъв елемент аў, наречен обратен или симетричен към елемент а, Какво а*аў = аў* а = д.

Ако тези свойства се приемат като аксиоми, тогава логическите следствия от тях (независими от всякакви други аксиоми или теореми) заедно образуват това, което обикновено се нарича теория на групите. Извеждането на тези следствия веднъж завинаги се оказа много полезно, тъй като групите се използват широко във всички клонове на математиката. От хилядите възможни примери за групи ще изберем само няколко от най-простите.

а) дроби стр/р, Където стрИ р– произволни цели числа i1 (с р= 1 получаваме обикновени цели числа). дроби стр/робразуват група под групово умножение ( стр/р) *(r/с) = (пр)/(qs). Свойства (1), (2), (3) следват от аксиомите на аритметиката. Наистина ли, [( стр/р) *(r/с)] *(T/u) = (прт)/(qsu) = (стр/р)*[(r/с)*(T/u)]. Единичният елемент е числото 1 = 1/1, тъй като (1/1)*( стр/р) = (1Н стр)/(1Н р) = стр/р. И накрая, елементът, обратен на дробта стр/р, е дроб р/стр, защото ( стр/р)*(р/стр) = (pq)/(pq) = 1.

(б) Разглеждайте като Жнабор от четири цели числа 0, 1, 2, 3 и as а*b- остатък от делението а + bна 4. Резултатите от така въведената операция са представени в табл. 1 (елемент а*bстои в пресечната точка на линията аи колона b). Лесно се проверява, че свойствата (1)–(3) са изпълнени и елементът на идентичност е числото 0.

(c) Нека изберем като Жнабор от числа 1, 2, 3, 4 и as а*b- остатък от делението аб(обикновен продукт) с 5. В резултат на това получаваме табл. 2. Лесно се проверява дали свойствата (1)–(3) са изпълнени и елементът на идентичност е 1.

(г) Четири обекта, като четирите числа 1, 2, 3, 4, могат да бъдат подредени в редица по 24 начина. Всяка подредба може да бъде визуално представена като трансформация, която трансформира „естествената“ подредба в дадена; например подредбата 4, 1, 2, 3 е резултат от трансформацията

С: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

които могат да бъдат написани в по-удобна форма

За всеки две такива трансформации С, Tние ще определим С*Tкато трансформация, която е резултат от последователно изпълнение T, и тогава С. Например, ако , тогава . С тази дефиниция всичките 24 възможни трансформации образуват група; единичният му елемент е , а елементът е обратен на С, получено чрез замяна на стрелките в дефиницията Скъм обратното; например, ако , тогава .

Лесно е да се види, че в първите три примера а*b = b*а; в такива случаи се казва, че групата или груповото умножение е комутативно. От друга страна, в последния пример и следователно T*Ссе различава от С*T.

Групата от пример (г) е частен случай на т.нар. симетрична група, чиито приложения включват, наред с други неща, методи за решаване на алгебрични уравнения и поведението на линиите в спектрите на атомите. Групите в примери (b) и (c) играят важна роля в теорията на числата; в пример (b) числото 4 може да бъде заменено с всяко цяло число н, а числата от 0 до 3 – числата от 0 до н– 1 (със н= 12 получаваме система от числа, които са на циферблатите на часовника, както споменахме по-горе); в пример (c) числото 5 може да бъде заменено с всяко просто число Р, а числата от 1 до 4 - числата от 1 до стр – 1.

Структури и изоморфизъм.

Предишните примери показват колко разнообразна може да бъде природата на обектите, които образуват група. Но всъщност във всеки случай всичко се свежда до един и същ сценарий: от свойствата на набор от обекти ние разглеждаме само тези, които превръщат този набор в група (ето пример за непълно знание!). В такива случаи се казва, че разглеждаме груповата структура, дадена от груповото умножение, което сме избрали.

Друг пример за структура е т.нар. структура на поръчката. Няколко днадарен със структурата на реда или подреден, ако е между елементите а è b, принадлежи на д, е дадено определено отношение, което обозначаваме Р (а,b). (Тази връзка трябва да има смисъл за всяка двойка елементи от д, но като цяло е невярно за някои двойки и вярно за други, например връзката 7

(1) Р (а,а) вярно за всички А, собственост д;

(2) от Р (а,b) И Р (b,а) следва това а = b;

(3) от Р (а,b) И Р (b,° С) Трябва Р (а,° С).

Нека дадем няколко примера от огромен брой различни подредени множества.

(А) дсе състои от всички цели числа Р (а,b) – отношение “ Апо-малко или равно b».

б) дсе състои от всички цели числа >1, Р (а,b) – отношение “ Аразделя bили равен b».

(° С) дсе състои от всички кръгове на равнината, Р (а,b) – отношение „окръжност асъдържано в bили съвпада с b».

Като последен пример за структура, нека споменем структурата на метричното пространство; такава структура е дефинирана на множеството д, ако всяка двойка елементи аИ bпринадлежи на д, можете да съпоставите номера д (а,b) i 0, отговарящ на следните свойства:

(1) д (а,b) = 0 ако и само ако а = b;

(2) д (b,а) = д (а,b);

(3) д (а,° С) Ј д (а,b) + д (b,° С) за всеки три дадени елемента а, b, ° Сот д.

Нека дадем примери за метрични пространства:

(а) обикновено "триизмерно" пространство, където д (а,b) – обикновено (или „евклидово”) разстояние;

б) повърхността на сфера, където д (а,b) – дължината на най-малката дъга от окръжност, свързваща две точки аИ bвърху сферата;

в) всеки набор д, за което д (а,b) = 1 ако а № b; д (а,а) = 0 за всеки елемент а.

Точното дефиниране на понятието структура е доста трудно. Без да навлизаме в подробности, можем да кажем това за много дсе посочва структура от определен тип, ако между елементите на множеството д(а понякога и други обекти, например числа, които играят спомагателна роля) се определят отношения, които отговарят на определен фиксиран набор от аксиоми, характеризиращи структурата на разглеждания тип. По-горе представихме аксиомите на три вида структури. Разбира се, има много други видове структури, чиито теории са напълно развити.

Много абстрактни понятия са тясно свързани с понятието структура; Нека назовем само едно от най-важните - понятието изоморфизъм. Спомнете си примера за групи (b) и (c), даден в предишния раздел. Лесно е да проверите това от таблицата. 1 към масата 2 може да се навигира чрез съвпадение

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

В този случай казваме, че тези групи са изоморфни. Общо взето две групи ЖИ Жў са изоморфни, ако между елементите на групата Жи групови елементи Жў е възможно да се установи такава кореспонденция едно към едно а « ау, какво ако ° С = а*b, Че ° Сў = аў* bў за съответните елементи Gў. Всяко твърдение от теорията на групите, което е валидно за група Ж, остава в сила за групата Жу, и обратното. Алгебрични групи ЖИ Жў неразличим.

Читателят може лесно да види, че по абсолютно същия начин могат да се дефинират две изоморфни подредени множества или две изоморфни метрични пространства. Може да се покаже, че концепцията за изоморфизъм се разпростира върху структури от всякакъв тип.

КЛАСИФИКАЦИЯ

Стари и нови класификации по математика.

Концепцията за структура и други свързани понятия са заели централно място в съвременната математика, както от чисто „техническа“, така и от философска и методологическа гледна точка. Общите теореми на основните видове структури служат като изключително мощни инструменти на математическата "техника". Всеки път, когато математикът успее да покаже, че обектите, които изучава, отговарят на аксиомите на определен тип структура, той по този начин доказва, че всички теореми на теорията на структурата от този тип са приложими към конкретните обекти, които изучава (без тези общи теореми той много вероятно щях да пропусна, щях да изгубя от поглед техните специфични възможности или щях да бъда принуден да натоваря разсъжденията си с ненужни допускания). По същия начин, ако се докаже, че две структури са изоморфни, тогава броят на теоремите веднага се удвоява: всяка теорема, доказана за една от структурите, незабавно дава съответстваща теорема за другата. Следователно не е изненадващо, че има много сложни и трудни теории, например „теорията на класовото поле“ в теорията на числата, чиято основна цел е да докаже изоморфизма на структурите.

От философска гледна точка, широкото използване на структури и изоморфизми демонстрира основната характеристика на съвременната математика - фактът, че "природата" на математическите "обекти" няма голямо значение, само връзките между обектите са значими (вид принцип на непълното познание).

И накрая, не може да не споменем, че концепцията за структура направи възможно класифицирането на клоновете на математиката по нов начин. До средата на 19в. те варираха в зависимост от предмета на изследването. Аритметиката (или теорията на числата) се занимава с цели числа, геометрията се занимава с прави линии, ъгли, многоъгълници, кръгове, площи и т.н. Алгебрата се занимаваше почти изключително с методи за решаване на числени уравнения или системи от уравнения; аналитичната геометрия разработи методи за превръщане на геометрични проблеми в еквивалентни алгебрични задачи. Обхватът на интересите на друг важен клон на математиката, наречен "математически анализ", включва главно диференциално и интегрално смятане и техните различни приложения в геометрията, алгебрата и дори теорията на числата. Броят на тези приложения се увеличи и тяхното значение също се увеличи, което доведе до фрагментирането на математическия анализ на подраздели: теория на функциите, диференциални уравнения (обикновени и частни производни), диференциална геометрия, вариационно смятане и др.

За много съвременни математици този подход припомня историята на класификацията на животните от ранните натуралисти: преди време и морската костенурка, и рибата тон са били считани за риби, защото са живели във вода и са имали сходни характеристики. Съвременният подход ни научи да виждаме не само това, което лежи на повърхността, но и да погледнем по-дълбоко и да се опитаме да разпознаем фундаменталните структури, които се крият зад измамния вид на математическите обекти. От тази гледна точка е важно да се проучат най-важните видове структури. Малко вероятно е да имаме на наше разположение пълен и окончателен списък на тези видове; някои от тях са открити през последните 20 години и има всички основания да очакваме нови открития в бъдеще. Въпреки това, ние вече имаме разбиране за много от основните "абстрактни" типове структури. (Те са „абстрактни“ в сравнение с „класическите“ обекти на математиката, въпреки че дори и те трудно могат да бъдат наречени „конкретни“; по-скоро е въпрос на степен на абстракция.)

Известните структури могат да бъдат класифицирани според връзките, които съдържат, или според тяхната сложност. От една страна, има обширен блок от „алгебрични“ структури, частен случай на които е например груповата структура; Сред другите алгебрични структури наричаме пръстени и полета ( см. СъщоАБСТРАКТНА АЛГЕБРА). Клонът на математиката, занимаващ се с изучаването на алгебрични структури, се нарича "модерна алгебра" или "абстрактна алгебра", за разлика от обикновената или класическата алгебра. Значителна част от евклидовата геометрия, неевклидовата геометрия и аналитичната геометрия също бяха включени в новата алгебра.

На същото ниво на общост са два други блока от структури. Една от тях, наречена обща топология, включва теории за типове структури, частен случай на които е структурата на метрично пространство ( см. ТОПОЛОГИЯ ; АБСТРАКТНИ ПРОСТРАНСТВА). Третият блок се състои от теории за структурите на реда и техните разширения. „Разширяването“ на структурата се състои в добавяне на нови аксиоми към съществуващите. Например, ако към аксиомите на групата добавим свойството комутативност като четвърта аксиома а*b = b*а, тогава получаваме структурата на комутативна (или абелева) група.

От тези три блока, последните два бяха в относително стабилно състояние доскоро, а блокът „модерна алгебра“ растеше бързо, понякога в неочаквани посоки (например, разви се цял клон, наречен „хомологична алгебра“). Извън т.нар „Чистите“ типове структури се намират на друго ниво – „смесени“ структури, например алгебрични и топологични, заедно с нови аксиоми, които ги свързват. Изследвани са много такива комбинации, повечето от които попадат в два широки блока - "топологична алгебра" и "алгебрична топология".

Взети заедно, тези блокове съставляват много съществена „абстрактна“ област на науката. Много математици се надяват да използват нови инструменти за по-добро разбиране на класическите теории и решаване на трудни проблеми. Наистина, с подходящото ниво на абстракция и обобщение, проблемите на древните могат да се покажат в нова светлина, което ще позволи да се намерят техните решения. Огромни части от класическия материал попаднаха под властта на новата математика и бяха трансформирани или обединени с други теории. Остават обширни области, в които съвременните методи не са навлезли толкова дълбоко. Примерите включват теорията на диференциалните уравнения и голяма част от теорията на числата. Много е вероятно значителен напредък в тези области да бъде постигнат, след като бъдат открити и задълбочено проучени нови видове структури.

ФИЛОСОФСКИ ТРУДНОСТИ

Още древните гърци ясно са разбирали, че математическата теория трябва да бъде свободна от противоречия. Това означава, че е невъзможно да се изведе като логическо следствие от аксиомите твърдението Ри неговото отричане не е П. Въпреки това, тъй като се смяташе, че математическите обекти имат съответствия в реалния свят, а аксиомите бяха „идеализации“ на законите на природата, никой не се съмняваше в последователността на математиката. По време на прехода от класическата математика към съвременната математика проблемът за последователността придобива различно значение. Свободата за избор на аксиомите на всяка математическа теория трябва очевидно да бъде ограничена от условието за последователност, но можем ли да сме сигурни, че това условие ще бъде изпълнено?

Вече споменахме понятието множество. Тази концепция винаги е била използвана повече или по-малко изрично в математиката и логиката. През втората половина на 19в. частично са систематизирани елементарните правила за боравене с понятието множество, освен това са получени някои важни резултати, оформили съдържанието на т.нар. теория на множествата ( см. СъщоТЕОРИЯ НА МНОЖЕСТВАТА), която стана, така да се каже, субстрат на всички други математически теории. От античността до 19 век. имаше опасения относно безкрайните множества, например, отразени в известните парадокси на Зенон от Елеатика (5 век пр.н.е.). Тези опасения бяха отчасти метафизични по природа и отчасти причинени от трудности, свързани с концепцията за измерване на количества (например дължина или време). Едва след 19 век е възможно да се премахнат тези трудности. основните понятия на математическия анализ бяха строго дефинирани. До 1895 г. всички страхове бяха разсеяни и изглеждаше, че математиката почива върху непоклатимата основа на теорията на множествата. Но през следващото десетилетие се появиха нови аргументи, които сякаш показаха вътрешната непоследователност на теорията на множествата (и останалата част от математиката).

Новите парадокси бяха много прости. Първият от тях, парадоксът на Ръсел, може да се разглежда в проста версия, известна като парадокс на бръснаря. В един град бръснар бръсне всички жители, които не се бръснат сами. Кой бръсне самия бръснар? Ако бръснарят се бръсне сам, тогава той бръсне не само онези жители, които не се бръснат сами, но и един жител, който се бръсне сам; ако самият той не се бръсне, значи не бръсне всички жители на града, които не се бръснат. Парадокс от този тип възниква винаги, когато се разглежда понятието „множество от всички множества“. Въпреки че този математически обект изглежда много естествен, разсъжденията за него бързо водят до противоречия.

Парадоксът на Бери е още по-показателен. Помислете за набор от всички руски фрази, съдържащи не повече от седемнадесет думи; Броят на думите в руския език е ограничен, така че броят на такива фрази е краен. Нека изберем сред тях тези, които еднозначно определят някакво цяло число, например: „Най-голямото нечетно число, по-малко от десет“. Броят на тези фрази също е краен; следователно множеството от определени от тях цели числа е крайно. Нека обозначим крайния набор от тези числа с д. От аксиомите на аритметиката следва, че има цели числа, които не принадлежат на д, и че сред тези числа има най-малкото число н. Този номер нсе определя уникално от фразата: „Най-малкото цяло число, което не може да бъде определено от фраза, състояща се от не повече от седемнадесет руски думи.“ Но тази фраза съдържа точно седемнадесет думи. Следователно определя броя н, което трябва да принадлежи д, и стигаме до парадоксално противоречие.

Интуиционисти и формалисти.

Шокът, причинен от парадоксите на теорията на множествата, породи различни реакции. Някои математици бяха доста категорични и изразиха мнение, че математиката се е развивала в погрешна посока от самото начало и трябва да се основава на съвсем друга основа. Не е възможно да се опише с точност гледната точка на такива „интуиционисти“ (както започнаха да се наричат), тъй като те отказаха да сведат възгледите си до чисто логическа схема. От гледна точка на интуиционистите е погрешно да се прилагат логически процеси към интуитивно непредставими обекти. Единствените интуитивно ясни обекти са естествените числа 1, 2, 3,... и крайните набори от естествени числа, “конструирани” по точно определени правила. Но дори към такива обекти интуиционистите не позволяват да се прилагат всички изводи на класическата логика. Например, те не признаха това за нито едно изявление Рвярно също Р, или не Р. С такива ограничени средства те лесно избегнаха „парадоксите“, но в същото време изхвърлиха зад борда не само цялата съвременна математика, но и значителна част от резултатите на класическата математика, а за тези, които останаха, беше необходимо да се намерят нови , по-сложни доказателства.

По-голямата част от съвременните математици не са съгласни с аргументите на интуиционистите. Математиците, които не са интуиционисти, са забелязали, че аргументите, използвани в парадоксите, се различават значително от тези, използвани в обикновената математическа работа с теория на множествата, и следователно такива аргументи трябва да бъдат изключени като незаконни, без да се застрашават съществуващите математически теории. Друго наблюдение беше, че в "наивната" теория на множествата, която съществуваше преди появата на "парадоксите", значението на термините "множество", "свойство", "отношение" не беше поставено под въпрос - точно както в класическата геометрия "интуитивното" не беше поставено под съмнение.естеството на обикновените геометрични понятия. Следователно, човек може да действа по същия начин, както беше в геометрията, а именно да отхвърли всички опити да се позовава на „интуицията“ и да вземе система от точно формулирани аксиоми като отправна точка на теорията на множествата. Не е очевидно обаче как думи като "собственост" или "отношение" могат да бъдат лишени от обикновеното си значение; но това трябва да се направи, ако искаме да изключим такива аргументи като парадокса на Бери. Методът се състои в въздържане от използване на обикновен език при формулиране на аксиоми или теореми; само твърдения, конструирани в съответствие с изрична система от строги правила, са разрешени като „свойства“ или „отношения“ в математиката и влизат във формулирането на аксиоми. Този процес се нарича "формализация" на математическия език (за да се избегнат недоразумения, произтичащи от двусмислието на обикновения език, се препоръчва да се отиде една крачка напред и да се заменят самите думи със специални символи във формализирани изречения, например, замяна на съединителя "и" със символа &, съединителното "или" - със символа b, "съществува" със символа $ и т.н.). Математиците, които отхвърлиха методите, предложени от интуиционистите, започнаха да се наричат ​​„формалисти“.

Първоначалният въпрос обаче така и не получи отговор. „Аксиоматичната теория на множествата“ свободна ли е от противоречия? Нови опити да се докаже последователността на „формализираните“ теории са направени през 20-те години на ХХ век от Д. Хилберт (1862–1943) и неговата школа и са наречени „метаматематика“. По същество метаматематиката е клон на „приложната математика“, където обектите, към които се прилагат математическите разсъждения, са предложения на формализирана теория и тяхното подреждане в рамките на доказателства. Тези изречения трябва да се разглеждат просто като материални комбинации от символи, създадени съгласно определени установени правила, без каквото и да е позоваване на възможното „значение“ на тези символи (ако има такова). Добра аналогия е играта на шах: символите съответстват на фигурите, изреченията съответстват на различни позиции на дъската, а логическите заключения съответстват на правилата за преместване на фигурите. За да се установи последователността на една формализирана теория, достатъчно е да се покаже, че в тази теория нито едно доказателство не завършва с твърдението 0 No. 0. Човек обаче може да възрази срещу използването на математически аргументи в „метаматематическо“ доказателство на последователността на една математическа теория; ако математиката беше непоследователна, тогава математическите аргументи биха загубили всякаква сила и ние щяхме да се окажем в ситуация на порочен кръг. За да отговори на тези възражения, Хилберт допуска много ограничени математически разсъждения от типа, който интуиционистите смятат за приемлив за използване в метаматематиката. Въпреки това К. Гьодел скоро показа (1931), че последователността на аритметиката не може да бъде доказана с толкова ограничени средства, ако е наистина последователна (обхватът на тази статия не ни позволява да очертаем гениалния метод, чрез който е получен този забележителен резултат, и последвалата история на метаматематиката).

Обобщавайки настоящата проблемна ситуация от формалистична гледна точка, трябва да признаем, че тя далеч не е приключила. Използването на концепцията за множество беше ограничено от резерви, които бяха специално въведени, за да се избегнат известни парадокси, и няма гаранция, че няма да възникнат нови парадокси в аксиоматизираната теория на множествата. Въпреки това, ограниченията на аксиоматичната теория на множествата не попречиха на раждането на нови жизнеспособни теории.

МАТЕМАТИКАТА И РЕАЛНИЯТ СВЯТ

Въпреки твърденията за независимостта на математиката, никой няма да отрече, че математиката и физическият свят са свързани помежду си. Разбира се, математическият подход за решаване на проблемите на класическата физика остава валиден. Също така е вярно, че в една много важна област на математиката, а именно в теорията на диференциалните уравнения, обикновените и частните производни, процесът на взаимно обогатяване на физиката и математиката е доста плодотворен.

Математиката е полезна при тълкуване на феномени от микросвета. Но новите „приложения“ на математиката се различават значително от класическите. Един от най-важните инструменти на физиката се превърна в теорията на вероятностите, която преди това беше използвана главно в теорията на хазарта и застраховането. Математическите обекти, които физиците свързват с „атомни състояния“ или „преходи“, са много абстрактни по природа и са въведени и изучавани от математиците много преди появата на квантовата механика. Трябва да се добави, че след първите успехи възникнаха сериозни трудности. Това се случи във време, когато физиците се опитваха да приложат математическите идеи към по-фините аспекти на квантовата теория; Въпреки това много физици все още гледат с надежда на новите математически теории, вярвайки, че те ще им помогнат да решат нови проблеми.

Наука или изкуство е математиката?

Дори да включим теорията на вероятностите или математическата логика към „чистата“ математика, се оказва, че по-малко от 50% от известните математически резултати в момента се използват от други науки. Какво да мислим за останалата половина? С други думи, какви са мотивите зад тези области на математиката, които не са свързани с решаването на физически проблеми?

Вече споменахме ирационалността на числото като типичен представител на този вид теореми. Друг пример е теоремата, доказана от J.-L.Lagrange (1736–1813). Едва ли има математик, който да не го нарече „важен“ или „красив“. Теоремата на Лагранж гласи, че всяко цяло число, по-голямо или равно на единица, може да бъде представено като сбор от квадратите на най-много четири числа; например 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. При сегашното състояние на нещата е немислимо този резултат да бъде полезен при решаването на някакъв експериментален проблем. Вярно е, че физиците се занимават с цели числа много по-често днес, отколкото в миналото, но целите числа, с които работят, винаги са ограничени (те рядко надвишават няколкостотин); следователно, теорема като тази на Лагранж може да бъде "полезна" само ако се прилага към цели числа в някаква граница. Но веднага щом ограничим формулировката на теоремата на Лагранж, тя веднага престава да бъде интересна за математика, тъй като цялата привлекателна сила на тази теорема се крие в нейната приложимост към всички цели числа. (Има много твърдения за цели числа, които могат да бъдат проверени от компютри за много големи числа; но тъй като не е намерено общо доказателство, те остават хипотетични и не представляват интерес за професионалните математици.)

Фокусирането върху теми, далеч от непосредствените приложения, не е необичайно за учени, работещи във всяка област, било то астрономия или биология. Въпреки това, докато експерименталният резултат може да бъде прецизиран и подобрен, математическото доказателство винаги е убедително. Ето защо е трудно да се устои на изкушението математиката или поне тази част от нея, която няма отношение към „реалността“, да се разглежда като изкуство. Математическите задачи не са наложени отвън и от съвременна гледна точка ние сме напълно свободни в избора на материал. Когато оценяват някои математически произведения, математиците нямат „обективни“ критерии и са принудени да разчитат на собствения си „вкус“. Вкусовете варират значително в зависимост от времето, страната, традициите и индивидите. В съвременната математика има мода и „школи“. В момента има три такива „школи“, които за удобство ще наречем „класицизъм“, „модернизъм“ и „абстракционизъм“. За да разберем по-добре разликите между тях, нека анализираме различните критерии, които математиците използват, когато оценяват теорема или група от теореми.

(1) Според общото мнение един „красив“ математически резултат трябва да е нетривиален, т.е. не трябва да бъде очевидно следствие от аксиоми или доказани преди това теореми; доказателството трябва да използва някаква нова идея или умело да прилага стари идеи. С други думи, за математика е важен не самият резултат, а процесът на преодоляване на трудностите, които е срещнал при получаването му.

(2) Всеки математически проблем има своя собствена история, „родословие“, така да се каже, което следва същия общ модел, според който се развива историята на всяка наука: след първите успехи може да мине известно време преди отговорът на поставеният въпрос е намерен. Когато се получи решение, историята не свършва дотук, защото започват добре познатите процеси на разширяване и обобщаване. Например теоремата на Лагранж, спомената по-горе, води до въпроса за представяне на всяко цяло число като сбор от кубове, четвърта, пета степен и т.н. Така възниква „Waring problem”, който все още не е получил окончателно решение. Освен това, ако имаме късмет, проблемът, който решаваме, ще се окаже свързан с една или повече фундаментални структури, а това от своя страна ще доведе до нови проблеми, свързани с тези структури. Дори ако първоначалната теория в крайна сметка умре, тя обикновено оставя след себе си множество живи издънки. Съвременните математици са изправени пред толкова широк набор от проблеми, че дори ако всяка комуникация с експерименталната наука бъде прекъсната, тяхното решаване ще отнеме още няколко века.

(3) Всеки математик ще се съгласи, че когато пред него възникне нов проблем, негов дълг е да го реши с всички възможни средства. Когато даден проблем се отнася до класически математически обекти (класиците рядко се занимават с други типове обекти), класиците се опитват да го решат само с класически средства, докато други математици въвеждат по-„абстрактни“ структури, за да използват общи теореми, подходящи за задачата. Тази разлика в подхода не е нова. От 19 век. математиците се делят на „тактици“, които се стремят да намерят чисто силово решение на проблема, и „стратези“, които са склонни към заобиколни маневри, които позволяват да се смаже врагът с малки сили.

(4) Съществен елемент от „красотата“ на теоремата е нейната простота. Разбира се, търсенето на простота е характерно за цялата научна мисъл. Но експериментаторите са готови да се примирят с „грозни решения“, ако само проблемът бъде решен. По същия начин в математиката класиците и абстракционистите не са много загрижени за появата на „патологични“ резултати. От друга страна, модернистите стигат дотам, че виждат в появата на „патологии“ на теорията симптом, показващ несъвършенството на фундаменталните понятия.