Какво е необходимо, за да се намери центърът на тежестта на тялото. Определяне на центъра на тежестта на равнинни фигури. Методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата

6.1. Главна информация

Център на паралелни сили
Нека разгледаме две успоредни сили, насочени в една посока и , приложени към тялото в точки А 1 и А 2 (фиг.6.1). Тази система от сили има резултатна, чиято линия на действие минава през определена точка СЪС. Точкова позиция СЪСможе да се намери с помощта на теоремата на Varignon:

Ако обърнете силите и близо до точките А 1 и А 2 в една посока и под същия ъгъл, тогава получаваме нова система от паралелни сали със същите модули. В този случай тяхната резултатна също ще премине през точката СЪС. Тази точка се нарича център на успоредни сили.
Нека разгледаме система от успоредни и еднакво насочени сили, приложени към твърдо тяло в точки. Тази система има резултат.
Ако всяка сила от системата се завърти в близост до точките на тяхното приложение в една и съща посока и под същия ъгъл, тогава ще се получат нови системи от еднакво насочени успоредни сили с еднакви модули и точки на приложение. Резултатът от такива системи ще има същия модул Р, но всеки път в различна посока. Сгънал силата си Е 1 и Е 2 намираме, че техният резултат Р 1, който винаги ще минава през точката СЪС 1, чието положение се определя от равенството . Сгъване по-нататък Р 1 и Е 3, намираме техния резултат, който винаги ще минава през точката СЪС 2 лежащи на права линия А 3 СЪС 2. След като завършим процеса на добавяне на сили до края, ще стигнем до заключението, че резултатната от всички сили наистина винаги ще минава през една и съща точка СЪС, чиято позиция спрямо точките ще остане непроменена.
Точка СЪС, през която минава линията на действие на произтичащата система от успоредни сили за всяко въртене на тези сили в близост до точките на тяхното прилагане в една и съща посока под същия ъгъл, се нарича център на успоредни сили (фиг. 6.2).

Фиг.6.2

Нека определим координатите на центъра на паралелните сили. Тъй като позицията на точката СЪСспрямо тялото е непроменена, то нейните координати не зависят от избора на координатна система. Нека обърнем всички сили около тяхното приложение, така че да станат успоредни на оста OUи приложете теоремата на Varignon към въртящи се сили. защото R"е резултатната от тези сили, тогава според теоремата на Вариньон имаме , защото , , получаваме

Оттук намираме координатата на центъра на успоредните сили zc:

За определяне на координатите xcНека създадем израз за момента на силите около оста Оз.

За определяне на координатите ycнека обърнем всички сили така, че да станат успоредни на оста Оз.

Позицията на центъра на паралелните сили спрямо началото (фиг. 6.2) може да се определи от неговия радиус вектор:

6.2. Център на тежестта на твърдо тяло

Център на тежесттана твърдо тяло е точка, неизменно свързана с това тяло СЪС, през която минава линията на действие на резултантните сили на тежестта на дадено тяло, за всяко положение на тялото в пространството.
Центърът на тежестта се използва при изследване на стабилността на равновесните положения на телата и непрекъснатите среди под въздействието на гравитацията и в някои други случаи, а именно: в якостта на материалите и в строителната механика - при използване на правилото на Верешчагин.
Има два начина за определяне на центъра на тежестта на тялото: аналитичен и експериментален. Аналитичният метод за определяне на центъра на тежестта пряко следва от концепцията за центъра на паралелните сили.
Координатите на центъра на тежестта, като център на паралелни сили, се определят по формулите:

Където Р- цяло телесно тегло; pk- тегло на телесните частици; xk, yk, zk- координати на частици от тялото.
За хомогенно тяло теглото на цялото тяло и всяка част от него е пропорционално на обема P=Vγ, pk =vk γ, Където γ - тегло на единица обем, V- обем на тялото. Заместване на изрази П, pkвъв формулата за определяне на координатите на центъра на тежестта и, намалявайки с общ фактор γ , получаваме:

Точка СЪС, чиито координати се определят от получените формули, се нарича център на тежестта на обема.
Ако тялото е тънка хомогенна плоча, тогава центърът на тежестта се определя по формулите:

Където С- площ на цялата плоча; ск- площ на неговата част; xk, yk- координати на центъра на тежестта на частите на плочата.
Точка СЪСв този случай се нарича зона на центъра на тежестта.
Числителите на изрази, които определят координатите на центъра на тежестта на равнинни фигури, се наричат ​​с статични моменти на площтаспрямо осите приИ х:

Тогава центърът на тежестта на площта може да се определи по формулите:

За тела, чиято дължина е многократно по-голяма от размерите на напречното сечение, определете центъра на тежестта на линията. Координатите на центъра на тежестта на линията се определят по формулите:

Където Л- дължина на линията; лк- дължината на частите му; xk, yk, zk- координата на центъра на тежестта на части от линията.

6.3. Методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата

Въз основа на получените формули е възможно да се предложат практически методи за определяне на центровете на тежестта на телата.
1. Симетрия. Ако едно тяло има център на симетрия, тогава центърът на тежестта е в центъра на симетрия.
Ако тялото има равнина на симетрия. Например равнината XOU, тогава центърът на тежестта лежи в тази равнина.
2. Разделяне. За тела, състоящи се от тела с прости форми, се използва методът на разделяне. Тялото е разделено на части, чийто център на тежестта се определя по метода на симетрията. Центърът на тежестта на цялото тяло се определя по формулите за центъра на тежестта на обема (площта).

Пример. Определете центъра на тежестта на плочата, показана на фигурата по-долу (фиг. 6.3). Плочата може да бъде разделена на правоъгълници по различни начини и да се определят координатите на центъра на тежестта на всеки правоъгълник и тяхната площ.

Фиг.6.3

Отговор: х° С=17,0см; г° С=18,0 см.

3. Допълнение. Този метод е специален случай на метода на разделяне. Използва се, когато тялото има изрези, срезове и др., ако са известни координатите на центъра на тежестта на тялото без изреза.

Пример. Определете центъра на тежестта на кръгла плоча с радиус на изрязване r = 0,6 Р(фиг. 6.4).

Фиг.6.4

Кръглата плоча има център на симетрия. Нека поставим началото на координатите в центъра на плочата. Област на плоча без изрез, зона на изрез. Квадратна чиния с изрез; .
Плочата с изрез е с ос на симетрия О1 х, следователно, yc=0.

4. Интеграция. Ако тялото не може да бъде разделено на краен брой части, чиито позиции на центровете на тежестта са известни, тялото се разделя на произволни малки обеми, за които формулата, използваща метода на разделяне, приема формата: .
След това отиват на границата, насочвайки елементарните обеми към нула, т.е. договаряне на обеми в точки. Сумите се заменят с интеграли, разширени до целия обем на тялото, след което формулите за определяне на координатите на центъра на тежестта на обема приемат формата:

Формули за определяне на координатите на центъра на тежестта на дадена област:

Координатите на центъра на тежестта на площта трябва да се определят при изследване на равновесието на плочите, при изчисляване на интеграла на Мор в строителната механика.

Пример. Определете центъра на тежестта на кръгова дъга с радиус Рс централен ъгъл AOB= 2α (фиг. 6.5).

Ориз. 6.5

Дъгата на окръжност е симетрична на оста о, следователно центърът на тежестта на дъгата лежи върху оста о, yс = 0.
Според формулата за центъра на тежестта на линия:

6.Експериментален метод. Центровете на тежестта на нехомогенни тела със сложна конфигурация могат да бъдат определени експериментално: чрез метода на окачване и претегляне. Първият метод е да окачите тялото на кабел в различни точки. Посоката на кабела, на който е окачено тялото, ще даде посоката на гравитацията. Пресечната точка на тези посоки определя центъра на тежестта на тялото.
Методът на претегляне включва първо определяне на теглото на тяло, като например кола. След това на кантара се определя натискът на задната ос на автомобила върху опората. Чрез съставяне на уравнение на равновесие спрямо точка, например оста на предните колела, можете да изчислите разстоянието от тази ос до центъра на тежестта на автомобила (фиг. 6.6).

Фиг.6.6

Понякога при решаване на проблеми е необходимо едновременно да се използват различни методи за определяне на координатите на центъра на тежестта.

6.4. Центрове на тежестта на някои прости геометрични фигури

За да се определят центровете на тежестта на тела с често срещани форми (триъгълник, кръгова дъга, сектор, сегмент), е удобно да се използват референтни данни (Таблица 6.1).

Таблица 6.1

Координати на центъра на тежестта на някои еднородни тела

№	Име на фигурата	рисуване
	Дъга от кръг: центърът на тежестта на дъга от равномерна окръжност е върху оста на симетрия (координатна uc=0). Р- радиус на окръжността.
	Хомогенен кръгъл сектор uc=0). където α е половината от централния ъгъл; Р- радиус на окръжността.
	сегмент: центърът на тежестта е разположен върху оста на симетрия (координат uc=0). където α е половината от централния ъгъл; Р- радиус на окръжността.
	Полукръг:
	Триъгълник: центърът на тежестта на еднороден триъгълник е в точката на пресичане на неговите медиани. Където x1, y1, x2, y2, x3, y3- координати на върховете на триъгълника
	Конус: центърът на тежестта на еднороден кръгъл конус лежи на неговата височина и се намира на разстояние 1/4 от височината от основата на конуса.

Въз основа на общите формули, получени по-горе, е възможно да се посочат специфични методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата.

1. Симетрия.Ако хомогенното тяло има равнина, ос или център на симетрия (фиг. 7), тогава неговият център на тежестта лежи съответно в равнината на симетрия, оста на симетрия или в центъра на симетрия.

Фиг.7

2. Разделяне.Тялото е разделено на краен брой части (фиг. 8), за всяка от които е известно положението на центъра на тежестта и площта.

Фиг.8

3.Метод на отрицателната площ.Специален случай на метода на разделяне (фиг. 9). Прилага се за тела, които имат изрези, ако са известни центровете на тежестта на тялото без изреза и на изреза. Тяло под формата на плоча с изрез е представено от комбинация от твърда плоча (без изрез) с площ S 1 и площ на изрязаната част S 2 .

Фиг.9

4.Метод на групиране.Той е добро допълнение към последните два метода. След разделянето на фигура на нейните съставни елементи е удобно някои от тях да се комбинират отново, за да се опрости решението, като се вземе предвид симетрията на тази група.

Центрове на тежестта на някои еднородни тела.

1) Център на тежестта на кръгова дъга.Помислете за дъгата ABрадиус Рс централен ъгъл. Поради симетрията центърът на тежестта на тази дъга лежи върху оста вол(фиг. 10).

Фиг.10

Нека намерим координатата с помощта на формулата. За да направите това, изберете върху дъгата ABелемент ММ'дължина, чието положение се определя от ъгъла. Координирайте хелемент ММ'ще . Замествайки тези стойности хи d ли имайки предвид, че интегралът трябва да бъде разширен по цялата дължина на дъгата, получаваме:

Където Л- дължината на дъгата AB, равна на .

От тук най-накрая откриваме, че центърът на тежестта на кръгова дъга лежи върху нейната ос на симетрия на разстояние от центъра ОТНОСНО, равен

където ъгълът се измерва в радиани.

2) Център на тежестта на площта на триъгълника.Помислете за триъгълник, разположен в равнината Окси, координатите на върховете на които са известни: A i(x i,y i), (аз= 1,2,3). Разбийте триъгълника на тесни ленти, успоредни на страната А 1 А 2, стигаме до извода, че центърът на тежестта на триъгълника трябва да принадлежи на медианата А 3 М 3 (фиг. 11).

Фиг.11

Разбиване на триъгълник на ленти, успоредни на страната А 2 А 3, можем да проверим, че трябва да лежи върху медианата А 1 М 1 . По този начин, центърът на тежестта на триъгълника лежи в точката на пресичане на неговите медиани, която, както е известно, отделя трета част от всяка медиана, считано от съответната страна.

По-специално за медианата А 1 М 1 получаваме, като вземем предвид, че координатите на точката М 1 е средноаритметичното на координатите на върховете А 2 и А 3:

x c = х 1 + (2/3)∙(х М 1 - х 1) = х 1 + (2/3)∙[(х 2 + х 3)/2-х 1 ] = (х 1 +х 2 +х 3)/3.

По този начин координатите на центъра на тежестта на триъгълника са средноаритметичните координати на неговите върхове:

х ° С =(1/3)Σ x i ; г ° С =(1/3)Σ y i.

3) Център на тежестта на площта на кръгъл сектор.Помислете за сектор от окръжност с радиус Рс централен ъгъл 2α, разположен симетрично спрямо оста вол(фиг. 12) .

Очевидно е, че г ° С = 0, а разстоянието от центъра на окръжността, от която се изрязва този сектор, до неговия център на тежестта може да се определи по формулата:

Фиг.12

Най-лесният начин за изчисляване на този интеграл е чрез разделяне на интеграционната област на елементарни сектори с ъгъл дφ. С точност до безкрайно малки от първи ред, такъв сектор може да бъде заменен с триъгълник с основа, равна на Р× дφ и височина Р. Площта на такъв триъгълник dF=(1/2)Р 2 ∙дφ, а центърът на тежестта му е на разстояние 2/3 Рот върха, следователно в (5) поставяме х = (2/3)Р∙cosφ. Заместване в (5) Е= α Р 2, получаваме:

Използвайки последната формула, изчисляваме по-специално разстоянието до центъра на тежестта полукръг.

Замествайки α = π/2 в (2), получаваме: х ° С = (4Р)/(3π) ≅ 0,4 Р .

Пример 1.Нека определим центъра на тежестта на еднородното тяло, показано на фиг. 13.

Фиг.13

Тялото е хомогенно, състои се от две части със симетрична форма. Координати на техните центрове на тежестта:

Техните обеми:

Следователно координатите на центъра на тежестта на тялото

Пример 2.Нека намерим центъра на тежестта на плоча, огъната под прав ъгъл. Размерите са на чертежа (фиг. 14).

Фиг.14

Координати на центровете на тежестта:

области:

Ориз. 6.5.

Пример 3.В квадратен лист cm е изрязан квадратен отвор cm (фиг. 15). Нека намерим центъра на тежестта на листа.

Фиг.15

В този проблем е по-удобно да разделите тялото на две части: голям квадрат и квадратна дупка. Само площта на дупката трябва да се счита за отрицателна. След това координатите на центъра на тежестта на листа с дупката:

координирам тъй като тялото има ос на симетрия (диагонал).

Пример 4.Телената скоба (фиг. 16) се състои от три секции с еднаква дължина л.

Фиг.16

Координати на центровете на тежестта на секциите:

Следователно координатите на центъра на тежестта на цялата скоба са:

Пример 5.Определете позицията на центъра на тежестта на фермата, всички пръти на която имат еднаква линейна плътност (фиг. 17).

Нека припомним, че във физиката плътността на тялото ρ и неговото специфично тегло g са свързани със съотношението: γ= ρ ж, Където ж- ускорение на гравитацията. За да намерите масата на такова хомогенно тяло, трябва да умножите плътността по неговия обем.

Фиг.17

Терминът „линейна“ или „линейна“ плътност означава, че за да се определи масата на прът за ферма, линейната плътност трябва да се умножи по дължината на този прът.

За да разрешите проблема, можете да използвате метода на разделяне. Представяйки дадена ферма като сбор от 6 отделни пръта, получаваме:

Където L iдължина азта ферма, и x i, y i- координати на неговия център на тежестта.

Решението на този проблем може да бъде опростено чрез групиране на последните 5 бара на фермата. Лесно се вижда, че те образуват фигура с център на симетрия, разположен в средата на четвъртия прът, където се намира центърът на тежестта на тази група пръти.

По този начин дадена ферма може да бъде представена чрез комбинация само от две групи пръти.

Първата група се състои от първия прът, за него Л 1 = 4 м, х 1 = 0 м, г 1 = 2 м. Втората група пръти се състои от пет пръта, за него Л 2 = 20 м, х 2 = 3 м, г 2 = 2 м.

Координатите на центъра на тежестта на фермата се намират по формулата:

х ° С = (Л 1 ∙х 1 +Л 2 ∙х 2)/(Л 1 + Л 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

г ° С = (Л 1 ∙г 1 +Л 2 ∙г 2)/(Л 1 + Л 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.

Имайте предвид, че центърът СЪСлежи на правата, свързваща СЪС 1 и СЪС 2 и разделя сегмента СЪС 1 СЪС 2 относно: СЪС 1 СЪС/СС 2 = (х ° С - х 1)/(х 2 - х ° С ) = Л 2 /Л 1 = 2,5/0,5.

Въпроси за самопроверка

Как се нарича центърът на паралелните сили?

Как се определят координатите на центъра на успоредните сили?

Как да определим центъра на успоредни сили, чийто резултат е нула?

Какви свойства има центърът на успоредните сили?

Какви формули се използват за изчисляване на координатите на центъра на успоредните сили?

Какъв е центърът на тежестта на тялото?

Защо гравитационните сили на Земята, действащи върху точка от тяло, могат да се приемат като система от успоредни сили?

Запишете формулата за определяне на положението на центъра на тежестта на нехомогенни и еднородни тела, формулата за определяне на положението на центъра на тежестта на плоски секции?

Запишете формулата за определяне на позицията на центъра на тежестта на прости геометрични фигури: правоъгълник, триъгълник, трапец и полукръг?

Какъв е статичният момент на площта?

Дайте пример за тяло, чийто център на тежестта е разположен извън тялото.

Как се използват свойствата на симетрията при определяне на центровете на тежестта на телата?

Каква е същността на метода на отрицателните тегла?

Къде е центърът на тежестта на кръгова дъга?

Каква графична конструкция може да се използва за намиране на центъра на тежестта на триъгълник?

Запишете формулата, която определя центъра на тежестта на кръгъл сектор.

Използвайки формули, които определят центровете на тежестта на триъгълник и кръгъл сектор, изведете подобна формула за кръгъл сегмент.

Какви формули се използват за изчисляване на координатите на центровете на тежестта на еднородни тела, плоски фигури и прави?

Какво се нарича статичен момент на площта на равнинна фигура спрямо оста, как се изчислява и какво измерение има?

Как да се определи положението на центъра на тежестта на една област, ако е известно положението на центровете на тежестта на отделните й части?

Какви спомагателни теореми се използват за определяне на позицията на центъра на тежестта?

В инженерната практика се случва, че е необходимо да се изчислят координатите на центъра на тежестта на сложна плоска фигура, състояща се от прости елементи, за които местоположението на центъра на тежестта е известно. Тази задача е част от задачата за определяне на...

Геометрични характеристики на съставни напречни сечения на греди и пръти. Често проектантите на режещите матрици трябва да се сблъскат с подобни въпроси при определяне на координатите на центъра на натиск, разработчиците на схеми за натоварване на различни превозни средства при поставяне на товари, дизайнерите на строителни метални конструкции при избора на напречни сечения на елементи и, разбира се, студенти при изучаване на дисциплините „Теоретична механика” и „Съпротивление на материалите”.

Библиотека от елементарни фигури.

При симетричните равнинни фигури центърът на тежестта съвпада с центъра на симетрия. Симетричната група от елементарни обекти включва: кръг, правоъгълник (включително квадрат), успоредник (включително ромб), правилен многоъгълник.

От десетте фигури, представени на фигурата по-горе, само две са основни. Тоест, използвайки триъгълници и сектори от кръгове, можете да комбинирате почти всяка фигура от практически интерес. Всякакви произволни криви могат да бъдат разделени на секции и заменени с кръгови дъги.

Останалите осем фигури са най-често срещаните, поради което са включени в тази уникална библиотека. В нашата класификация тези елементи не са основни. От два триъгълника могат да се образуват правоъгълник, успоредник и трапец. Шестоъгълникът е сборът от четири триъгълника. Сегмент от кръг е разликата между сектор от кръг и триъгълник. Пръстеновидният сектор на окръжност е разликата между два сектора. Кръгът е сектор от окръжност с ъгъл α=2*π=360˚. Полукръгът съответно е сектор от окръжност с ъгъл α=π=180˚.

Изчисляване в Excel на координатите на центъра на тежестта на съставна фигура.

Винаги е по-лесно да се предаде и възприеме информация, като се вземе предвид пример, отколкото да се проучи въпросът с помощта на чисто теоретични изчисления. Нека разгледаме решението на проблема „Как да намерим центъра на тежестта?“ използвайки примера на съставната фигура, показана на фигурата под този текст.

Композитното сечение е правоъгълник (с размери а1 =80 mm, b1 =40 mm), към който горе вляво е добавен равнобедрен триъгълник (с размера на основата а2 =24 мм и вис ч2 =42 мм) и от който горе вдясно е изрязан полукръг (с център в точката с координати х03 =50 mm и г03 =40 mm, радиус r3 =26 мм).

Ние ще използваме програма, за да ви помогнем да извършите изчисленията MS Excel или програма OOo Изч . Всеки от тях лесно ще се справи с нашата задача!

В клетки с жълто ние ще го напълним спомагателен предварителен изчисления .

Изчисляваме резултатите в клетки със светло жълто запълване.

Син шрифтът е изходни данни .

черен шрифтът е междинен резултати от изчисленията .

червен шрифтът е финал резултати от изчисленията .

Започваме да решаваме проблема - започваме търсенето на координатите на центъра на тежестта на секцията.

Първоначални данни:

1. Ще изпишем съответно имената на елементарните фигури, образуващи съставно сечение

към клетка D3: Правоъгълник

към клетка E3: Триъгълник

към клетка F3: Полукръг

2. Използвайки „Библиотека от елементарни фигури“, представена в тази статия, ще определим координатите на центровете на тежестта на елементите на композитната секция xciИ yciв mm спрямо произволно избрани оси 0x и 0y и запишете

към клетка D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = а 1 /2

към клетка D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

към клетка E4: =24/2 =12,000

xc 2 = а 2 /2

към клетка E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + ч 2 /3

към клетка F4: =50 =50,000

xc 3 = х03

към клетка F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = г 03 -4* r3 /3/ π

3. Нека изчислим площите на елементите Е 1 , Е 2 , Е3 в mm2, отново използвайки формулите от раздела „Библиотека с елементарни фигури“

в клетка D6: =40*80 =3200

Е1 = а 1 * b1

в клетка E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

в клетка F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Площта на третия елемент - полукръгът - е отрицателна, защото е изрез - празно пространство!

Изчисляване на координатите на центъра на тежестта:

4. Определете общата площ на крайната фигура Е0 в mm2

в обединена клетка D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

Е0 = Е 1 + Е 2 + Е3

5. Нека изчислим статичните моменти на съставна фигура SxИ Syв mm3 спрямо избраните оси 0x и 0y

в обединена клетка D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3

в обединената клетка D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. И накрая, нека изчислим координатите на центъра на тежестта на съставното сечение XcИ Ycв mm в избраната координатна система 0x - 0y

в обединена клетка D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / Е0

в обединена клетка D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc =Sx /F0

Проблемът е решен, изчислението в Excel е завършено - координатите на центъра на тежестта на сечението, съставени с помощта на три прости елемента, са намерени!

Заключение.

Примерът в статията е избран да бъде много прост, за да се улесни разбирането на методологията за изчисляване на центъра на тежестта на сложно сечение. Методът е, че всяка сложна фигура трябва да бъде разделена на прости елементи с известно местоположение на центровете на тежестта и да се направят окончателни изчисления за цялото сечение.

Ако сечението е съставено от валцовани профили – винкели и канали, то няма нужда да ги разделяте на правоъгълници и квадрати с изрязани кръгли “π/2” сектори. Координатите на центровете на тежестта на тези профили са дадени в таблиците на GOST, т.е. както ъгълът, така и каналът ще бъдат основните елементарни елементи във вашите изчисления на композитни профили (няма смисъл да говорим за I-лъчи, тръби, пръти и шестоъгълници - това са централно симетрични сечения).

Местоположението на координатните оси, разбира се, не влияе на позицията на центъра на тежестта на фигурата! Затова изберете координатна система, която опростява вашите изчисления. Ако, например, завъртя координатната система на 45˚ по посока на часовниковата стрелка в нашия пример, тогава изчисляването на координатите на центровете на тежестта на правоъгълник, триъгълник и полукръг ще се превърне в друг отделен и тромав етап от изчисления, които не могат да бъдат извършени “ в главата".

Представеният по-долу изчислителен файл в Excel не е програма в този случай. По-скоро е скица на калкулатор, алгоритъм, шаблон, който следва във всеки конкретен случай създайте своя собствена последователност от формули за клетки с ярко жълто запълване.

И така, вече знаете как да намерите центъра на тежестта на всяка секция! Пълното изчисляване на всички геометрични характеристики на произволни сложни композитни секции ще бъде разгледано в една от предстоящите статии в раздела "". Следете новините в блога.

За получаване информация за пускането на нови статии и за изтегляне на работещи програмни файлове Моля ви да се абонирате за съобщения в прозореца в края на статията или в прозореца в горната част на страницата.

След като въведете своя имейл адрес и щракнете върху бутона „Получаване на съобщения за статии“. НЕ ЗАБРАВЯЙ ПОТВЪРДЕТЕ ВАШИЯ АБОНАМЕНТ като щракнете върху връзката в писмо, което веднага ще дойде при вас на посочения имейл адрес (понякога в папката « Спам » )!

Няколко думи за чашата, монетата и двете вилици, които са изобразени в „иконата за илюстрация“ в самото начало на статията. Много от вас със сигурност са запознати с този „трик“, който предизвиква възхитени погледи от деца и непосветени възрастни. Темата на тази статия е центърът на тежестта. Именно той и опорната точка, играейки си със съзнанието и опита ни, просто заблуждават ума ни!

Центърът на тежестта на системата “вилица+монета” винаги е разположен на фиксираниразстояние вертикално надолуот ръба на монетата, който от своя страна е опорната точка. Това е положение на стабилно равновесие!Ако разклатите вилиците, веднага става очевидно, че системата се стреми да заеме предишната си стабилна позиция! Представете си махало - фиксираща точка (= точката на опора на монета върху ръба на чаша), пръчка-ос на махалото (= в нашия случай оста е виртуална, тъй като масата на двете вилици е разпръснати в различни посоки на пространството) и товар в долната част на оста (= центърът на тежестта на цялата система „вилица + монета“). Ако започнете да отклонявате махалото от вертикалата във всяка посока (напред, назад, наляво, надясно), тогава то неизбежно ще се върне в първоначалното си положение под въздействието на гравитацията. стабилно състояние на равновесие(същото се случва с нашите вилици и монета)!

Ако не разбирате, но искате да разберете, разберете го сами. Много е интересно да „стигате“ сами! Ще добавя, че същият принцип на използване на стабилно равновесие се прилага и в играчката Vanka-stand-up. Само центърът на тежестта на тази играчка е разположен над опорната точка, но под центъра на полусферата на опорната повърхност.

Винаги се радвам да видя вашите коментари, скъпи читатели!!!

Питам, УВАЖАВАЩ авторска работа, файл за изтегляне СЛЕД АБОНИРАНЕ за съобщения за статии.

Правоъгълник. Тъй като правоъгълникът има две оси на симетрия, неговият център на тежестта е в пресечната точка на осите на симетрия, т.е. в точката на пресичане на диагоналите на правоъгълника.

Триъгълник. Центърът на тежестта е в точката на пресичане на неговите медиани. От геометрията е известно, че медианите на триъгълника се пресичат в една точка и се разделят в съотношение 1:2 от основата.

кръг. Тъй като кръгът има две оси на симетрия, неговият център на тежестта е в пресечната точка на осите на симетрия.

Полукръг. Полукръгът има една ос на симетрия, тогава центърът на тежестта лежи на тази ос. Друга координата на центъра на тежестта се изчислява по формулата: .

Много конструктивни елементи са изработени от стандартни валцувани продукти - ъгли, I-греди, канали и други. Всички размери, както и геометричните характеристики на валцуваните профили, са таблични данни, които могат да бъдат намерени в справочната литература в таблици с нормален асортимент (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Пример 1. Определете позицията на центъра на тежестта на фигурата, показана на фигурата.

Решение:

Избираме координатните оси така, че оста Ox да минава покрай най-долното цялостно измерение, а оста Oy да минава покрай най-лявото цялостно измерение.

Разделяме сложна фигура на минимален брой прости фигури:

правоъгълник 20x10;

триъгълник 15x10;

кръг R=3 см.

Ние изчисляваме площта на всяка проста фигура и нейните координати на центъра на тежестта. Резултатите от изчислението се въвеждат в таблицата

фигура №	Площ на фигура А,	Координати на центъра на тежестта

Отговор: C(14,5; 4,5)

Пример 2 . Определете координатите на центъра на тежестта на композитен профил, състоящ се от лист и валцувани профили.

Решение.

Избираме координатните оси, както е показано на фигурата.

Нека да обозначим цифрите с числа и да изпишем необходимите данни от таблицата:

фигура №	Площ на фигура А,	Координати на центъра на тежестта

Изчисляваме координатите на центъра на тежестта на фигурата, като използваме формулите:

Отговор: C(0; 10)

Лабораторна работа № 1 „Определяне на центъра на тежестта на съставни плоски фигури“

Мишена: Определете центъра на тежестта на дадена плоска сложна фигура с помощта на експериментални и аналитични методи и сравнете техните резултати.

Работен ред

Начертайте вашата плоска фигура в тетрадките си по размер, като посочите координатните оси.

Определете аналитично центъра на тежестта.

1. Разделете фигурата на минималния брой фигури, чиито центрове на тежестта знаем как да определим.

   Посочете номерата на площите и координатите на центъра на тежестта на всяка фигура.

   Изчислете координатите на центъра на тежестта на всяка фигура.

   Изчислете площта на всяка фигура.

   Изчислете координатите на центъра на тежестта на цялата фигура, като използвате формулите (позицията на центъра на тежестта е нанесена на чертежа на фигурата):

Инсталацията за експериментално определяне на координатите на центъра на тежестта по метода на окачване се състои от вертикална стойка 1 (виж фигурата), към който е прикрепена иглата 2 . Плоска фигура 3 Изработена от картон, в който лесно се пробиват дупки. Дупки А И IN пробити на произволно разположени точки (за предпочитане на най-отдалеченото разстояние една от друга). Плоска фигура е окачена на игла, първо на върха А , а след това в точката IN . С помощта на отвес 4 , прикрепени към същата игла, начертайте вертикална линия върху фигурата с молив, съответстваща на конеца на отвеса. Център на тежестта СЪС фигурата ще бъде разположена в пресечната точка на вертикалните линии, начертани при окачването на фигурата в точките А И IN .

Конспекти от уроци по физика 7 клас

Тема: Определяне на центъра на тежестта

Учител по физика, Аргаяшко СОУ No2

Хидиятулина З.А.

Лабораторна работа:

"Определяне на центъра на тежестта на плоска плоча"

Мишена : намиране на центъра на тежестта на плоска плоча.

Теоретична част:

Всички тела имат център на тежестта. Центърът на тежестта на тялото е точката, спрямо която общият момент на тежестта, действащ върху тялото, е равен на нула. Например, ако окачите предмет за центъра на тежестта му, той ще остане в покой. Тоест позицията му в пространството няма да се промени (няма да се обърне с главата надолу или на една страна). Защо някои тела се преобръщат, докато други не? Ако начертаете линия, перпендикулярна на пода от центъра на тежестта на тялото, тогава ако линията надхвърли границите на опората на тялото, тялото ще падне. Колкото по-голяма е опорната площ, толкова по-близо е центърът на тежестта на тялото до централната точка на опорната зона и централната линия на центъра на тежестта, толкова по-стабилна ще бъде позицията на тялото . Например, центърът на тежестта на известната наклонена кула в Пиза се намира само на два метра от средата на нейната опора. И падането ще стане само когато това отклонение е около 14 метра. Центърът на тежестта на човешкото тяло е приблизително 20,23 сантиметра под пъпа. Въображаема линия, начертана вертикално от центъра на тежестта, минава точно между краката. За куклата кукла тайната също се крие в центъра на тежестта на тялото. Стабилността му се обяснява с факта, че центърът на тежестта на чашата е в самото дъно, той всъщност стои върху него. Условието за поддържане на баланса на тялото е преминаването на вертикалната ос на неговия общ център на тежестта в зоната на опората на тялото. Ако вертикалният център на тежестта на тялото напусне опорната зона, тялото губи равновесие и пада. Следователно, колкото по-голяма е опорната площ, толкова по-близо е центърът на тежестта на тялото до централната точка на опорната зона и централната линия на центъра на тежестта, толкова по-стабилна е позицията на тялото ще бъде. Зоната на опора, когато човек е във вертикално положение, е ограничена от пространството под стъпалата и между краката. Централната точка на вертикалната линия на центъра на тежестта на стъпалото е на 5 см пред петата. Сагиталният размер на опорната зона винаги преобладава над фронталния, поради което изместването на вертикалната линия на центъра на тежестта се случва по-лесно надясно и наляво, отколкото назад, и е особено трудно напред. В това отношение стабилността по време на завои по време на бързо бягане е значително по-малка, отколкото в сагитална посока (напред или назад). Крак в обувки, особено с широк ток и твърда подметка, е по-стабилен, отколкото без обувки, тъй като придобива по-голяма площ на опора.

Практическа част:

Цел на работата: Използвайки предложеното оборудване, експериментално намерете позицията на центъра на тежестта на две фигури, изработени от картон и триъгълник.

Оборудване:Статив, дебел картон, триъгълник от ученически комплект, линийка, лента, конец, молив...

Задача 1: Определете положението на центъра на тежестта на плоска фигура с произволна форма

С помощта на ножица изрежете произволна форма от картон. Прикрепете с тиксо конеца към него в точка А. Закачете фигурата за конеца към крачето на статива. С помощта на линийка и молив маркирайте вертикалната линия AB върху картона.

Преместете точката на закрепване на конеца в позиция C. Повторете горните стъпки.

Точка O на пресечната точка на правите AB иCDдава желаната позиция на центъра на тежестта на фигурата.

Задача 2: Използвайки само линийка и молив, намерете позицията на центъра на тежестта на плоска фигура

С помощта на молив и линийка разделете формата на два правоъгълника. По конструкция намерете позициите O1 и O2 на техните центрове на тежест. Очевидно е, че центърът на тежестта на цялата фигура е на линията O1O2

Разделете фигурата на два правоъгълника по друг начин. По конструкция намерете позициите на центровете на тежестта O3 и O4 на всеки от тях. Свържете точките O3 и O4 с линия. Пресечната точка на линиите O1O2 и O3O4 определя позицията на центъра на тежестта на фигурата

Задача 2: Определете положението на центъра на тежестта на триъгълника

С помощта на лента закрепете единия край на конеца в горната част на триъгълника и го окачете на крака на статива. С помощта на линийка маркирайте посоката AB на гравитационната линия (направете маркировка на противоположната страна на триъгълника)

Повторете същата процедура, като окачите триъгълника от връх C. На противоположната страна на връх C на триъгълника, направете знакд.

С помощта на лента прикрепете парчета конец AB иCD. Точката O на тяхното пресичане определя положението на центъра на тежестта на триъгълника. В този случай центърът на тежестта на фигурата е извън самото тяло.

III . Решаване на проблеми с качеството

1.За каква цел цирковите артисти държат тежки пръти в ръцете си, когато ходят по въже?

2. Защо човек, който носи тежък товар на гърба си, се навежда напред?

3. Защо не можете да станете от стол, освен ако не наклоните тялото си напред?

4.Защо кранът не се накланя към повдигания товар? Защо без товар кранът не се накланя към противотежестта?

5. Защо колите и велосипедите и т.н. По-добре ли е да поставите спирачки на задните колела, отколкото на предните?

6. Защо камион, натоварен със сено, се преобръща по-лесно от същия камион, натоварен със сняг?