Свойства на тетраедъра, видове и формули. Обем на тетраедър Чертеж на правилен тетраедър

Тетраедър в превод от гръцки означава "тетраедър". Тази геометрична фигура има четири лица, четири върха и шест ръба. Лицата са триъгълници. Всъщност тетраедърът е първото споменаване на полиедри, появило се много преди съществуването на Платон.

Днес ще говорим за елементите и свойствата на тетраедъра, а също така ще научим формулите за намиране на площта, обема и други параметри на тези елементи.

Елементи на тетраедър

Сегмент, изтеглен от всеки връх на тетраедър и спуснат до точката на пресичане на медианите на противоположното лице, се нарича медиана.

Височината на многоъгълник е нормален сегмент, изтеглен от противоположния връх.

Бимедиана е сегмент, свързващ центровете на пресичащи се ръбове.

Свойства на тетраедъра

1) Паралелни равнини, които минават през два пресичащи се ръба, образуват описан паралелепипед.

2) Отличително свойство на тетраедъра е, че медианите и бимедианите на фигурата се срещат в една точка. Важно е последният да дели медианите в съотношение 3:1, а бимедианите - наполовина.

3) Равнина разделя тетраедър на две части с еднакъв обем, ако минава през средата на два пресичащи се ръба.

Видове тетраедър

Видовото разнообразие на фигурата е доста широко. Тетраедърът може да бъде:

• правилен, тоест в основата равностранен триъгълник;
• изоедричен, в който всички лица са еднакви по дължина;
• ортоцентричен, когато височините имат обща пресечна точка;
• правоъгълен, ако равнинните ъгли при върха са нормални;
• пропорционално, всички двойни височини са равни;
• рамка, ако има сфера, която докосва ребрата;
• incentric, т.е. сегментите, изпуснати от върха до центъра на вписаната окръжност на противоположното лице, имат обща точка на пресичане; тази точка се нарича център на тежестта на тетраедъра.

Нека се спрем подробно на правилния тетраедър, чиито свойства са практически еднакви.

Въз основа на името можете да разберете, че се нарича така, защото лицата са правилни триъгълници. Всички ръбове на тази фигура са еднакви по дължина, а лицата са еднакви по площ. Правилният тетраедър е един от пет подобни многостени.

Формули на тетраедър

Височината на тетраедър е равна на произведението на корена от 2/3 и дължината на ръба.

Обемът на тетраедър се намира по същия начин като обема на пирамида: корен квадратен от 2, разделен на 12 и умножен по дължината на ръба в куба.

Останалите формули за изчисляване на площта и радиусите на кръговете са представени по-горе.

Да разгледаме произволен триъгълник ABC и точка D, която не лежи в равнината на този триъгълник. Нека свържем тази точка с върховете на триъгълник ABC с помощта на сегменти. В резултат на това получаваме триъгълници ADC, CDB, ABD. Повърхнината, ограничена от четири триъгълника ABC, ADC, CDB и ABD, се нарича тетраедър и се обозначава като DABC.
Триъгълниците, които образуват тетраедър, се наричат ​​негови лица.
Страните на тези триъгълници се наричат ​​ръбове на тетраедъра. И техните върхове са върховете на тетраедър

Тетраедърът има 4 лица, 6 ребраИ 4 върха.
Две ребра, които нямат общ връх, се наричат ​​противоположни.
Често за удобство се нарича едно от лицата на тетраедър база, а останалите три лица са странични лица.

По този начин тетраедърът е най-простият многостен, чиито лица са четири триъгълника.

Но също така е вярно, че всяка произволна триъгълна пирамида е тетраедър. Тогава също е вярно, че се нарича тетраедър пирамида с триъгълник в основата си.

Височина на тетраедърнарича сегмент, който свързва връх с точка, разположена на противоположното лице и перпендикулярна на него.
Медиана на тетраедърнарича сегмент, който свързва връх с точката на пресичане на медианите на противоположното лице.
Бимедиана на тетраедърнарича сегмент, който свързва средните точки на пресичащите се ръбове на тетраедър.

Тъй като тетраедърът е пирамида с триъгълна основа, обемът на всеки тетраедър може да се изчисли по формулата

• С– площ на всяко лице,
• з– височина спусната към това лице

Правилен тетраедър - специален вид тетраедър

Тетраедър, в който всички лица са равностранни, се нарича триъгълник. правилно.
Свойства на правилния тетраедър:

• Всички ръбове са равни.
• Всички равнинни ъгли на правилния тетраедър са 60°
• Тъй като всеки негов връх е връх на три правилни триъгълника, сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 180°
• Всеки връх на правилен тетраедър се проектира в ортоцентъра на срещуположното лице (в точката на пресичане на височините на триъгълника).

Нека ни е даден правилен тетраедър ABCD с ръбове, равни на a. DH е неговата височина.
Нека направим допълнителни постройки BM - височината на триъгълника ABC и DM - височината на триъгълника ACD.
Височината на BM е равна на BM и е равна на
Да разгледаме триъгълника BDM, където DH, което е височината на тетраедъра, е и височината на този триъгълник.
Височината на триъгълника, паднала до страната MB, може да се намери с помощта на формулата

, Където
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Нека заместим тези стойности във формулата за височина. Получаваме


Нека извадим 1/2a. Получаваме

Нека приложим формулата за разликата на квадратите

След малки трансформации получаваме


Обемът на всеки тетраедър може да се изчисли с помощта на формулата
,
Където ,

Замествайки тези стойности, получаваме

Така формулата за обем за правилен тетраедър е

Където а– ръб на тетраедър

Изчисляване на обема на тетраедър, ако са известни координатите на върховете му

Нека са ни дадени координатите на върховете на тетраедъра

От върха изчертаваме векторите , , .
За да намерите координатите на всеки от тези вектори, извадете съответната начална координата от крайната координата. Получаваме

ТЕКСТОВ ПРЕПИС НА УРОКА:

Добър ден Продължаваме да изучаваме темата: „Паралелизъм на прави и равнини“.

Мисля, че вече е ясно, че днес ще говорим за полиедри - повърхнините на геометрични тела, съставени от многоъгълници.

А именно за тетраедъра.

Ще изучаваме полиедри по план:

1. дефиниция на тетраедър

2. елементи на тетраедъра

3. развитие на тетраедър

4. изображение на равнина

1. построи триъгълник ABC

2. точка D не лежи в равнината на този триъгълник

3. Свържете точка D с отсечки към върховете на триъгълник ABC. Получаваме триъгълници DAB, DBC и DCA.

Определение: повърхност, съставена от четири триъгълника ABC, DAB, DBC и DCA, се нарича тетраедър.

Обозначение: DABC.

Елементи на тетраедър

Триъгълниците, които образуват тетраедъра, се наричат ​​лица, страните им са ръбове, а върховете им се наричат ​​върхове на тетраедъра.

Колко лица, ръбове и върхове има тетраедърът?

Тетраедърът има четири лица, шест ръба и четири върха

Два ръба на тетраедър, които нямат общи върхове, се наричат ​​противоположни.

На фигурата ръбовете AD и BC, BD и AC, CD и AB са срещуположни.

Понякога едно от лицата на тетраедъра е изолирано и се нарича негова основа, а останалите три се наричат ​​странични лица.

Развитие на тетраедър.

За да направите тетраедър от хартия, ще ви трябва следното развитие:

трябва да се прехвърли върху плътна хартия, да се изреже, да се сгъне по пунктираните линии и да се залепи.

На равнина е изобразен тетраедър

Под формата на изпъкнал или не изпъкнал четириъгълник с диагонали. В този случай невидимите ръбове са изобразени с пунктирани линии.

На първата снимка AC е невидим ръб,

на втория - ЕК, ЛК и КФ.

Нека решим няколко типични задачи за тетраедър:

Намерете областта на развитие на правилен тетраедър с ръб 5 cm.

Решение. Нека начертаем развитието на тетраедър

(на екрана се появява сканиране на тетраедър)

Този тетраедър се състои от четири равностранни триъгълника, следователно площта на развитие на правилния тетраедър е равна на площта на общата повърхност на тетраедъра или площта на четири правилни триъгълника.

Намираме площта на правилен триъгълник по формулата:

Тогава получаваме площта на тетраедъра, равна на:

Нека заместим дължината на ръба a = 5 cm във формулата,

Оказва се

Отговор: Област на развитие на правилен тетраедър

Построете сечение на тетраедъра с равнина, минаваща през точки M, N и K.

а) Наистина, нека свържем точки M и N (принадлежащи на лицето ADC), точки M и K (принадлежащи на лицето ADB), точки N и K (лице DBC). Напречното сечение на тетраедъра е триъгълникът MKN.

b) Свържете точки M и K (принадлежат на лица ADB), точки K и N (принадлежат на лица DCB), след това продължете правите MK и AB, докато се пресекат и поставят точка P. Правата PN и точка T лежат в една и съща равнина ABC и сега можем да построим пресечната точка на правата MK с всяко лице. Резултатът е четириъгълник MKNT, което е желаното сечение.

Всичките му лица са равни триъгълници. Развитието на изоедърен тетраедър е триъгълник, разделен от три средни линии на четири равни триъгълника. В изоедърен тетраедър основите на височините, средните точки на височините и пресечните точки на височините на лицата лежат върху повърхността на една сфера (сфера от 12 точки) (Аналог на кръга на Ойлер за триъгълник ).

Свойства на изоедърен тетраедър:

• Всичките му лица са равни (конгруентни).
• Пресичащите се ръбове са равни по двойки.
• Тристенните ъгли са равни.
• Противоположните двустенни ъгли са равни.
• Два равнинни ъгъла, лежащи на един и същи ръб, са равни.
• Сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 180°.
• Развитието на тетраедър е триъгълник или успоредник.
• Описаният паралелепипед е правоъгълен.
• Тетраедърът има три оси на симетрия.
• Общите перпендикуляри на пресичащите се ръбове са перпендикулярни по двойки.
• Средните линии са перпендикулярни по двойки.
• Периметрите на лицата са равни.
• Площите на лицата са равни.
• Височините на тетраедъра са равни.
• Отсечките, свързващи върховете с центровете на тежестта на срещуположните лица, са равни.
• Радиусите на окръжностите, описани около лицата, са равни.
• Центърът на тежестта на тетраедъра съвпада с центъра на описаната сфера.
• Центърът на тежестта съвпада с центъра на вписаната сфера.
• Центърът на описаната сфера съвпада с центъра на вписаната сфера.
• Вписаната сфера се допира до лицата в центровете на окръжностите, описани около тези лица.
• Сумата от външните нормални единици (единични вектори, перпендикулярни на лицата) е нула.
• Сумата от всички двустенни ъгли е нула.

Ортоцентричен тетраедър

Всички височини, спуснати от върховете към противоположните лица, се пресичат в една точка.

Свойства на ортоцентричен тетраедър:

• Височините на тетраедъра се пресичат в една точка.
• Основите на височините на тетраедъра са ортоцентровете на лицата.
• Всеки два противоположни ръба на тетраедър са перпендикулярни.
• Сумите на квадратите на противоположните ръбове на тетраедър са равни.
• Отсечките, свързващи средината на противоположните ръбове на тетраедъра, са равни.
• Продуктите на косинусите на противоположни двустенни ъгли са равни.
• Сумата от квадратите на площите на лицата е четири пъти по-малка от сумата от квадратите на продуктите на противоположните ръбове.
• U ортоцентричен тетраедър 9-точковите кръгове (окръжности на Ойлер) на всяко лице принадлежат на една сфера (24-точкова сфера).
• U ортоцентричен тетраедърцентровете на тежестта и точките на пресичане на височините на лицата, както и точките, разделящи сегментите на всяка височина на тетраедъра от върха до точката на пресичане на височините в съотношение 2: 1, лежат върху една сфера (сфера от 12 точки).

Правоъгълен тетраедър

Всички ръбове, съседни на един от върховете, са перпендикулярни един на друг. Правоъгълен тетраедър се получава чрез отрязване на тетраедъра с равнина от кубоид.

Рамка тетраедър

Това е тетраедър, отговарящ на някое от следните условия:

• има сфера, докосваща всички ръбове,
• сумите от дължините на пресичащите се ръбове са равни,
• сумите на двустенните ъгли в противоположните ръбове са равни,
• кръгове, вписани в лица, се докосват по двойки,
• са описани всички четириъгълници, произтичащи от развитието на тетраедър,
• перпендикуляри, повдигнати към лицата от центровете на вписаните в тях окръжности, се пресичат в една точка.

Съизмерим тетраедър

Свойства на съизмерим тетраедър:

• Би-височините са равни. Биалтитудите на тетраедър са общите перпендикуляри на два от неговите пресичащи се ръбове (ръбове, които нямат общи върхове).
• Проекция на тетраедър върху равнина, перпендикулярна на произволна бимедиани, има ромб. БимедианиТетраедър се нарича сегментите, свързващи средните точки на неговите пресичащи се ръбове (които нямат общи върхове).
• Лицата на описания паралелепипед са еднакви по големина.
• Важат следните отношения: $4a^2(a\_1)^2-\; (b^2+(b\_1)^2-c^2-(c\_1)^2)^2=4b^2(b\_1)^2-\; (c^2+(c\_1)\; ^2-a^2-(a\_1)^2)^2=4c^2(c\_1)^2-\; (a^2+(a\_1)^2-b^2-(b\_1)^2)^2$, Където $а$И $a\_1$, $b$И $b\_1$, $°\; С$И $c\_1$- дължини на противоположни ребра.
• За всяка двойка противоположни ръбове на тетраедър равнините, прекарани през единия от тях и средата на втория, са перпендикулярни.
• В описания паралелепипед на съизмерим тетраедър може да се впише сфера.

Инцентричен тетраедър

При този тип сегментите, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжности, вписани в противоположни лица, се пресичат в една точка. Свойства на инцентричен тетраедър:

• Сегментите, свързващи центровете на тежестта на лицата на тетраедъра с противоположни върхове (медиани на тетраедъра), винаги се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на тежестта на тетраедъра.
• Коментирайте. Ако в последното условие заменим центровете на тежестта на лицата с ортоцентровете на лицата, то ще се превърне в нова дефиниция ортоцентричен тетраедър. Ако ги заменим с центрове на окръжности, вписани в лицата, понякога наричани вписани центрове, получаваме дефиницията на нов клас тетраедри - нецентричен.
• Сегментите, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжности, вписани в противоположни страни, се пресичат в една точка.
• Симетралите на ъглите на две лица, начертани към общия ръб на тези лица, имат обща основа.
• Произведенията от дължините на срещуположните ръбове са равни.
• Триъгълникът, образуван от вторите пресечни точки на три ръба, излизащи от един връх с всяка сфера, минаваща през трите края на тези ръбове, е равностранен.

Правилен тетраедър

Това е равностен тетраедър, чиито лица са правилни триъгълници. Това е едно от петте тела на Платон.

Свойства на правилния тетраедър:

• всички ръбове на тетраедъра са равни един на друг,
• всички лица на тетраедър са равни едно на друго,
• периметрите и площите на всички лица са равни.
• Правилен тетраедър е едновременно ортоцентрична, рамкова, равностранна, инцентрична и пропорционална.
• Тетраедърът е правилен, ако принадлежи към всеки два от следните видове тетраедри: ортоцентричен, рамка, инцентричен, пропорционален, изоедричен.
• Тетраедърът е правилен, ако е такъв равностенени принадлежи към един от следните видове тетраедри: ортоцентричен, рамка, инцентричен, пропорционален.
• Октаедър може да бъде вписан в правилен тетраедър, освен това четири (от осем) лица на октаедъра ще бъдат комбинирани с четири лица на тетраедъра, всичките шест върха на октаедъра ще бъдат комбинирани с центровете на шест ръба на тетраедъра .
• Правилният тетраедър се състои от един вписан октаедър (в центъра) и четири тетраедъра (във върховете), а ръбовете на тези тетраедри и октаедъра са половината от размера на ръбовете на правилния тетраедър.
• Правилен тетраедър може да бъде вписан в куб по два начина, като четирите върха на тетраедъра са подравнени с четирите върха на куба.
• Правилен тетраедър може да бъде вписан в икосаедър, освен това четирите върха на тетраедъра ще бъдат комбинирани с четирите върха на икосаедъра.
• Пресичащите се ръбове на правилния тетраедър са взаимно перпендикулярни.

Обем на тетраедър

• Обемът на тетраедър (като се вземе предвид знакът), чиито върхове са разположени в точките $\backslash mathbf(r)\_1\; (x\_1,y\_1,z\_1),$ $\backslash mathbf(r)\_2\; (x\_2,y\_2,z\_2),$ $\backslash mathbf(r)\_3\; (x\_3,y\_3,z\_3),$ $\backslash mathbf(r)\_4\; (x\_4,y\_4,z\_4),$равно на

$V\; =\; \backslash frac16$

\begin(vmatrix) 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end(vmatrix) = \frac16 \begin( vmatrix) x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end(vmatrix),или

$V\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; S\; H,$

Където $С$е областта на всяко лице и $з$– височината, спусната до това лице.

• Обемът на тетраедър по отношение на дължините на ръбовете се изразява с помощта на детерминантата на Cayley-Menger:

$288\; \backslash cdot\; V^2\; =$

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & d_(12)^2 & d_(13)^2 & d_(14)^2 \\ 1 & d_(12)^2 & 0 & d_( 23)^2 & d_(24)^2 \\ 1 & d_(13)^2 & d_(23)^2 & 0 & d_(34)^2 \\ 1 & d_(14)^2 & d_( 24)^2 & d_(34)^2 & 0

\end(vmatrix).

• Тази формула има плосък аналог за площта на триъгълник под формата на вариант на формулата на Heron чрез подобна детерминанта.
• Обем на тетраедър през дължините на два срещуположни ръба аИ b, като пресичане на линии, които са на разстояние една от друга чедин от друг и образуват ъгъл един с друг $\backslash phi$, се намира по формулата:

$V\; =\; \backslash frac(1)(6)\; ab\; h\; \backslash sin\; \backslash phi\; .$

$V\; =\; \backslash frac(1)(3)\backslash \; abc\; \backslash sqrt\; (D)\; ,$

Където $$D=\backslash begin(vmatrix)$$

1 & \cos \gamma & \cos \beta \\ \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\ \cos \beta & \cos \alpha & 1 \end(vmatrix).

• Аналогът на равнината на последната формула е формулата за площта на триъгълник по отношение на дължините на двете му страни аИ b, излизащи от един връх и образуващи ъгъл помежду си $\backslash гама$:

$S\; =\; \backslash frac(1)(2)\backslash \; ab\; \backslash sqrt\; (D)\; ,$

Където $D=\backslash begin(vmatrix)$

1 & \cos \gamma \\ \cos \gamma & 1 \\ \end(vmatrix).

Тетраедри в микрокосмоса

• Правилен тетраедър се образува чрез sp 3 -хибридизация на атомни орбитали (техните оси са насочени към върховете на правилния тетраедър, а ядрото на централния атом се намира в центъра на описаната сфера на правилния тетраедър), следователно много молекулите, в които се извършва такава хибридизация на централния атом, имат вида на този полиедър
• CH4 метанова молекула
• Сулфатен йон SO 4 2-, фосфатен йон PO 4 3-, перхлоратен йон ClO 4 - и много други йони
• Диамант C е тетраедър с ръб, равен на 2,5220 ангстрьома
• Флуорит CaF 2, тетраедър с ръб равен на 3, 8626 ангстрьома
• Сфалерит, ZnS, тетраедър с ръб, равен на 3,823 ангстрьома
• Комплексни йони - , 2- , 2- , 2+
• Силикати, чиято структура се основава на силициево-кислородния тетраедър 4-

Тетраедри в природата

Някои плодове, четири от тях от едната страна, са разположени в върховете на тетраедър, който е близо до правилния. Този дизайн се дължи на факта, че центровете на четири еднакви топки, които се допират една до друга, са разположени във върховете на правилен тетраедър. Следователно топчестите плодове образуват подобно относително разположение. Така могат да се подредят например орехи.

Тетраедри в технологията

Вижте също

• Симплекс - n-мерен тетраедър

Напишете отзив за статията "Тетраедър"

Бележки

Литература

• Матизен В. Е., Дубровски. Из геометрията на тетраедъра “Квант”, бр.9, 1988 г. С.66.
• Заславски А. А. // Математическо образование, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.

Правилно Правилно неизпъкнал Изпъкнал формули, теореми, теории други

Откъс, характеризиращ тетраедъра

На четвъртия ден започнаха пожари на Зубовски вал.
Пиер и още тринадесет бяха отведени в Кримски брод, в къщата за карети на търговец. Разхождайки се по улиците, Пиер се задушаваше от дима, който сякаш стоеше над целия град. Пожарите се виждаха от различни посоки. Пиер все още не разбираше значението на опожаряването на Москва и гледаше тези пожари с ужас.
Пиер остана в каретата на една къща близо до Кримския брод още четири дни и през тези дни научи от разговора на френските войници, че всички, държани тук, всеки ден очакват решението на маршала. Кой маршал, Пиер не можа да разбере от войниците. За войника, очевидно, маршалът изглеждаше най-висшата и донякъде мистериозна връзка във властта.
Тези първи дни, до 8 септември, деня, в който затворниците бяха отведени за вторичен разпит, бяха най-трудни за Пиер.

х
На 8 септември един много важен офицер влезе в обора, за да види затворниците, съдейки по уважението, с което пазачите се отнасяха към него. Този офицер, вероятно щабен офицер, със списък в ръцете си, направи поименна проверка на всички руснаци, наричайки Пиер: celui qui n "avoue pas son nom [този, който не казва името си]. И безразлично и гледайки лениво всички затворници, той нареди на пазача, че е редно офицерът да ги облече и подреди, преди да ги заведе при маршала.Час по-късно пристигна рота войници и Пиер и тринадесет други бяха отведени до Моминското поле , Денят беше ясен, слънчев след дъжда и въздухът беше необичайно чист.Димът не се утаи, както в онзи ден, когато Пиер беше изведен от караулката на Зубовски Вал; димът се издигаше на стълбове в чистия въздух.Пожарите огньовете не се виждаха никъде, но стълбове дим се издигаха от всички страни и цяла Москва, всичко, което Пиер можеше да види, беше един пожар.От всички страни се виждаха празни места с печки и комини и от време на време овъглените стени от каменни къщи.Пиер се вгледа внимателно в огньовете и не разпозна познатите квартали на града.На места се виждаха оцелели църкви.Кремъл, неразрушен, се очертаваше бял отдалеч със своите кули и Иван Велики. Наблизо весело блестеше куполът на Новодевическия манастир и оттам се чуваше особено силно камбаната на Евангелието. Това съобщение напомни на Пиер, че е неделя и празникът Рождество Богородично. Но изглеждаше, че нямаше кой да празнува този празник: навсякъде имаше опустошение от огъня, а сред руските хора само от време на време имаше дрипави, уплашени хора, които се криеха при вида на французите.
Очевидно руското гнездо е опустошено и унищожено; но зад унищожаването на този руски ред на живот Пиер несъзнателно чувстваше, че над това разрушено гнездо е установен неговият собствен, напълно различен, но твърд френски ред. Той почувствува това от вида на онези войници, вървящи бодро и бодро, в равни редици, които го ескортираха с други престъпници; той почувства това от вида на някой важен френски чиновник в двойна карета, управлявана от войник, който се движеше към него. Той почувства това от веселите звуци на полковата музика, идващи от лявата страна на полето, и особено го усети и разбра от списъка, който гостуващият френски офицер прочете тази сутрин, като викаше пленниците. Пиер беше взет от няколко войници, отведен на едно или друго място с десетки други хора; изглеждаше, че могат да го забравят, да го смесят с други. Но не: отговорите му, дадени по време на разпита, се върнаха при него под формата на името му: celui qui n "avoue pas son nom. И под това име, от което Пиер се страхуваше, сега го водеха нанякъде с несъмнена увереност На лицата им пишеше, че всички останали затворници и той са тези, които са нужни и че ги водят там, където трябва.Пиер се чувстваше като незначителна треска, хваната в колелата на непозната за него, но правилно работеща машина.
Пиер и други престъпници бяха отведени от дясната страна на Девическото поле, недалеч от манастира, до голяма бяла къща с огромна градина. Това беше къщата на княз Щербатов, в която Пиер често посещаваше собственика преди и в която сега, както научи от разговора на войниците, беше разположен маршалът, херцогът на Екмюл.
Изведоха ги на верандата и един по един ги вкараха в къщата. Пиер беше доведен шести. През стъклена галерия, вестибюл и преддверие, познати на Пиер, той беше въведен в дълъг, нисък кабинет, на вратата на който стоеше адютант.
Даву седеше в дъното на стаята над масата, с очила на носа. Пиер се приближи до него. Даву, без да вдига очи, очевидно се справяше с някаква хартия, лежаща пред него. Без да вдига очи, тихо попита:
– Qui etes vous? [Кой си ти?]
Пиер мълчеше, защото не можеше да произнесе думи. За Пиер Даву не е просто френски генерал; за Пиер Даву той беше човек, известен със своята жестокост. Гледайки студеното лице на Даву, който като строг учител се съгласи да има търпение за момента и да чака отговор, Пиер почувства, че всяка секунда забавяне може да му струва живота; но не знаеше какво да каже. Той не посмя да каже това, което каза на първия разпит; разкриването на нечий ранг и позиция беше едновременно опасно и срамно. Пиер мълчеше. Но преди Пиер да успее да вземе решение за нещо, Даву вдигна глава, вдигна очилата си на челото, присви очи и се взря в Пиер.
— Познавам този човек — каза той с премерен, студен глас, очевидно пресметнат да уплаши Пиер. Студът, който преди това беше преминал по гърба на Пиер, стисна главата му като менгеме.
– Mon general, vous ne pouvez pas me connaitre, je ne vous ai jamais vu... [Не можехте да ме познаете, генерале, никога не съм ви виждал.]
„C"est un espion russe, [Това е руски шпионин", прекъсна го Даву, обръщайки се към друг генерал, който беше в стаята и когото Пиер не беше забелязал. И Даву се обърна. С неочаквано бумтене в гласа Пиер внезапно заговори бързо.
— Не, монсеньор — каза той, внезапно си спомняйки, че Даву е херцог. - Не, Monseigneur, vous n"avez pas pu me connaitre. Je suis un officier militianaire et je n"ai pas quitte Moscow. [Не, Ваше Височество... Не, Ваше Височество, не бихте могли да ме познаете. Аз съм полицай и не съм напускал Москва.]
- Votre nom? [Вашето име?] - повтори Даву.
- Бесухоф. [Безухов.]
– Qu"est ce qui me prouvera que vous ne mentez pas? [Кой ще ми докаже, че не лъжеш?]
- Мосеньор! [Ваше височество!] - извика Пиер с не обиден, а умоляващ глас.
Даву вдигна очи и се взря в Пиер. Двамата се гледаха няколко секунди и този поглед спаси Пиер. Според този възглед, освен всички условия на война и изпитание, между тези двама души е установена човешка връзка. И двамата в тази една минута смътно преживяха безброй неща и разбраха, че и двамата са деца на човечеството, че са братя.
На пръв поглед за Даву, който само вдигна глава от своя списък, където човешките дела и живот се наричаха числа, Пиер беше само обстоятелство; и без да вземе предвид лошото дело на съвестта си, Даву щеше да го застреля; но сега той вече видя човек в него. Той се замисли за момент.
– Comment me prouverez vous la verite de ce que vous me dites? [Как ще ми докажеш истинността на думите си?] - каза студено Даву.
Пиер си спомни Рамбал и назова своя полк, фамилното му име и улицата, на която се намира къщата.
„Vous n"etes pas ce que vous dites, [Вие не сте това, което казвате]", каза отново Даву.
Пиер с треперещ, накъсан глас започна да предоставя доказателства за истинността на показанията си.
Но в това време адютантът влезе и докладва нещо на Даву.
Даву внезапно засия при новината, предадена от адютанта, и започна да закопчава. Явно напълно е забравил за Пиер.
Когато адютантът му напомни за затворника, той се намръщи, кимна към Пиер и каза да го отведат. Но Пиер не знаеше къде трябваше да го отведат: обратно в кабината или на подготвеното място за екзекуция, което му показаха другарите му, докато вървеше по Моминското поле.
Обърна глава и видя, че адютантът пак пита нещо.
- Oui, sans doute! [Да, разбира се!] - каза Даву, но Пиер не знаеше какво е „да“.
Пиер не помнеше как, колко време е вървял и къде. Той, в състояние на пълно безсмислие и тъпота, без да вижда нищо около себе си, движеше краката си заедно с другите, докато всички спряха, и той спря. През цялото това време една мисъл беше в главата на Пиер. Това беше мисълта кой, кой накрая го осъди на смърт. Това не бяха същите хора, които го разпитваха в комисията: никой от тях не искаше и очевидно не можеше да направи това. Не Даву го погледна толкова човешки. Още минута и Даву щеше да разбере, че правят нещо нередно, но този момент беше прекъснат от влезлия адютант. И този адютант явно не е искал нищо лошо, но може и да не е влизал. Кой накрая екзекутира, уби, отне живота му - Пиер с всичките му спомени, стремежи, надежди, мисли? Кой направи това? И Пиер почувства, че не е никой.
Беше заповед, стечение на обстоятелствата.
Някакъв ред го убиваше - Пиер, лишаваше го от живота му, от всичко, унищожаваше го.

От къщата на княз Щербатов затворниците бяха отведени право надолу по Девическия полюс, вляво от Девическия манастир и отведени до зеленчукова градина, върху която имаше стълб. Зад стълба имаше голяма дупка, изкопана с прясно изкопана пръст, а голяма тълпа от хора стояха в полукръг около ямата и стълба. Тълпата се състоеше от малък брой руснаци и голям брой наполеонови войски извън формация: германци, италианци и французи в различни униформи. Отдясно и отляво на стълба стояха фронтовете на френските войски в сини униформи с червени еполети, ботуши и шако.
Престъпниците бяха поставени в определен ред, който беше в списъка (Пиер беше шести) и бяха отведени до пост. Няколко барабана внезапно удариха от двете страни и Пиер почувства, че с този звук сякаш част от душата му беше откъсната. Той загуби способността да мисли и мисли. Можеше само да вижда и чува. И имаше само едно желание - желанието да се случи нещо ужасно, което трябваше да стане възможно най-бързо. Пиер погледна другарите си и ги огледа.
Двамата мъже на ръба бяха обръснати и пазени. Единият е висок и слаб; другият е черен, рошав, мускулест, с плосък нос. Третият беше уличен слуга, около четирийсет и пет годишен, с прошарена коса и пълно, охранено тяло. Четвъртият беше много красив мъж, с гъста кафява брада и черни очи. Петият беше фабричен работник, жълт, слаб, около осемнайсетгодишен, по пеньоар.
Пиер чул, че французите обсъждали как да стрелят - един по един или двама? — Двама наведнъж — студено и спокойно отговори старшият офицер. Имаше движение в редиците на войниците и се забелязваше, че всички бързаха - и бързаха не както бързаха да направят нещо разбираемо за всички, а тъй като бързаха да свършат необходима, но неприятна и неразбираема задача.
Френски служител с шал се приближи от дясната страна на редицата престъпници и прочете присъдата на руски и френски.
Тогава две двойки французи се приближиха до престъпниците и по указание на офицера взеха двама пазачи, които стояха на ръба. Стражите, приближавайки се до поста, спряха и докато донасяха торбите, мълчаливо ги оглеждаха, както ранено животно гледа подходящ ловец. Единият продължи да се прекръства, другият се почеса по гърба и направи движение с устните си като усмивка. Войниците, бързайки с ръцете си, започнаха да им завързват очите, да ги слагат в торби и да ги връзват за стълб.
Дванадесет стрелци с пушки излязоха иззад редиците с отмерени, твърди стъпки и спряха на осем крачки от поста. Пиер се обърна, за да не види какво ще се случи. Изведнъж се чу трясък и рев, който се стори на Пиер по-силен от най-страшните гръмотевици, и той се огледа. Имаше дим, а французите с бледи лица и треперещи ръце правеха нещо край ямата. Доведоха другите двама. По същия начин, с едни и същи очи, тези двамата гледаха всички, напразно, само с очите си, мълчаливо, търсейки защита и, очевидно, без да разбират или вярват какво ще се случи. Те не можеха да повярват, защото само те знаеха какво е за тях животът им и затова не разбираха и не вярваха, че той може да бъде отнет.
Пиер искаше да не гледа и отново се обърна; но отново, сякаш ужасна експлозия удари ушите му и заедно с тези звуци той видя дим, нечия кръв и бледите, уплашени лица на французите, които отново правеха нещо на поста, блъскайки се един друг с треперещи ръце. Пиер, дишайки тежко, се огледа, сякаш питаше: какво е това? Същият въпрос беше във всички погледи, които срещнаха погледа на Пиер.

В този урок ще разгледаме тетраедъра и неговите елементи (ръб на тетраедъра, повърхност, лица, върхове). И ще решим няколко задачи за конструиране на сечения в тетраедър, като използваме общия метод за конструиране на сечения.

Тема: Успоредност на прави и равнини

Урок: Тетраедър. Задачи за построяване на сечения в тетраедър

Как да изградим тетраедър? Нека вземем произволен триъгълник ABC. Всяка точка д, който не лежи в равнината на този триъгълник. Получаваме 4 триъгълника. Повърхността, образувана от тези 4 триъгълника, се нарича тетраедър (фиг. 1.). Вътрешните точки, ограничени от тази повърхност, също са част от тетраедъра.

Ориз. 1. Тетраедър ABCD

Елементи на тетраедър
а,б, ° С, д - върхове на тетраедър.
AB, A.C., AD, пр.н.е., BD, CD - тетраедърни ръбове.
ABC, ABD, BDC, ADC - лица на тетраедър.

коментар:може да се вземе плоско ABCотзад основа на тетраедър, и след това точка де връх на тетраедър. Всеки ръб на тетраедъра е пресечната точка на две равнини. Например ребро AB- това е пресечната точка на равнини ABдИ ABC. Всеки връх на тетраедър е пресечната точка на три равнини. Вертекс Алежи в самолети ABC, ABд, АдСЪС. Точка Ае пресечната точка на трите обозначени равнини. Този факт е написан по следния начин: А= ABC ∩ ABд ∩ ACд.

Дефиниция на тетраедър

Така, тетраедъре повърхност, образувана от четири триъгълника.

Ръб на тетраедър- линията на пресичане на две равнини на тетраедъра.

Направете 4 равни триъгълника от 6 кибритени клечки. Невъзможно е да се реши проблемът в самолет. И това е лесно да се направи в космоса. Нека вземем тетраедър. 6 кибрита са неговите ръбове, четири лица на тетраедъра и ще бъдат четири равни триъгълника. Проблемът е решен.

Даден е тетраедър ABCд. Точка Мпринадлежи на ръб на тетраедъра AB, точка нпринадлежи на ръб на тетраедъра INди точка Рпринадлежи на ръба дСЪС(фиг. 2.). Построете сечение на тетраедър с равнина MNP.

Ориз. 2. Чертеж към задача 2 - Построяване на сечение на тетраедър с равнина

Решение:
Помислете за лицето на тетраедър дслънце. На това лице на точката нИ Ппринадлежат на лицата дслънце, и следователно тетраедъра. Но според състоянието на пункта Н, Ппринадлежат на сечащата равнина. означава, НП- това е линията на пресичане на две равнини: равнината на лицето дслънцеи режеща равнина. Да приемем, че прави линии НПИ слънцене успоредно. Те лежат в една равнина дслънцеНека намерим пресечната точка на правите НПИ слънце. Нека го обозначим д(фиг. 3.).

Ориз. 3. Чертеж към задача 2. Намиране на точка E

Точка дпринадлежи на равнината на сечението MNP, тъй като лежи на правата НП, и правата линия НПлежи изцяло в равнината на сечението MNP.

Също точка длежи в равнина ABC, защото лежи на права линия слънцеизвън самолета ABC.

Разбираме това ЯЖТЕ- линия на пресичане на равнини ABCИ MNP,тъй като точки дИ Млежат едновременно в две равнини - ABCИ MNP.Нека свържем точките МИ д, и продължете направо ЯЖТЕдо пресечната точка с линията AC. Пресечна точка на линии ЯЖТЕИ ACнека обозначим Q.

Така че в този случай NPQМ- необходимата секция.

Ориз. 4. Чертеж към задача 2. Решение на задача 2

Нека сега разгледаме случая, когато НПпаралелен пр.н.е.. Ако прав НПуспоредна на някаква линия, например права линия слънцеизвън самолета ABC, след това направо НПуспоредно на цялата равнина ABC.

Желаната равнина на сечение минава през правата линия НП, успоредна на равнината ABC, и пресича равнината по права линия MQ. Така че линията на пресичане MQуспоредна на правата НП. Получаваме NPQМ- необходимата секция.

Точка Млежи отстрани АдINтетраедър ABCд. Построете сечение на тетраедъра с равнина, която минава през точката Муспоредно на основата ABC.

Ориз. 5. Чертеж към задача 3 Построете сечение на тетраедър с равнина

Решение:
Режеща равнина φ успоредна на равнината ABCспоред условието това означава, че този самолет φ успоредни на линии AB, AC, слънце.
В самолета ABдпрез точката Мнека направим директен PQпаралелен AB(фиг. 5). Направо PQлежи в равнина ABд. По същия начин в самолета ACдпрез точката Рнека направим директен PRпаралелен AC. Имам точка Р. Две пресичащи се линии PQИ PRсамолет PQRсъответно успоредни на две пресичащи се прави ABИ ACсамолет ABC, което означава самолети ABCИ PQRпаралелен. PQR- необходимата секция. Проблемът е решен.

Даден е тетраедър ABCд. Точка М- вътрешна точка, точка на лицето на тетраедъра ABд. н- вътрешна точка на сегмента дСЪС(фиг. 6.). Построете пресечната точка на права Н.М.и самолети ABC.

Ориз. 6. Чертеж към задача 4

Решение:
За да разрешим това, ще конструираме спомагателна равнина дMN. Нека е направо дМпресича права AB в точка ДА СЕ(фиг. 7.). Тогава, SKд- това е разрез на самолета дMNи тетраедър. В самолета дMNлъжи и прави Н.М., и получената права линия SK. Така че, ако Н.М.не успоредно SK, тогава те ще се пресекат в даден момент Р. Точка Ри ще има желаната пресечна точка на линията Н.М.и самолети ABC.

Ориз. 7. Чертеж към задача 4. Решение на задача 4

Даден е тетраедър ABCд. М- вътрешна точка на лицето ABд. Р- вътрешна точка на лицето ABC. н- вътрешна точка на ръба дСЪС(фиг. 8.). Построете сечение на тетраедър с равнина, минаваща през точките М, нИ Р.

Ориз. 8. Чертеж към задача 5 Построете сечение на тетраедър с равнина

Решение:
Нека разгледаме първия случай, когато правата линия MNне е успореден на равнината ABC. В предишната задача намерихме пресечната точка на правата MNи самолети ABC. Това е смисълът ДА СЕ, се получава с помощта на спомагателната равнина дMN, т.е. ние правим дМи получаваме точка Е. Ние изпълняваме CFи на кръстовището MNполучаваме точка ДА СЕ.

Ориз. 9. Чертеж към задача 5. Намиране на точка К

Да направим директен KR. Направо KRлежи както в равнината на сечението, така и в равнината ABC. Получаване на точките П 1И R 2. Свързване П 1И Ми като продължение разбираме смисъла М 1. Свързване на точката R 2И н. В резултат на това получаваме желаната секция Р 1 Р 2 NM 1. Проблемът в първия случай е решен.
Нека разгледаме втория случай, когато правата линия MNуспоредна на равнината ABC. Самолет MNPпреминава през права линия MNуспоредна на равнината ABCи пресича равнината ABCпо някаква права линия R 1 R 2, след това направо R 1 R 2успоредна на дадената права MN(фиг. 10.).

Ориз. 10. Чертеж към задача 5. Необходимият раздел

Сега нека начертаем права линия R 1 Mи получаваме точка М 1.Р 1 Р 2 NM 1- необходимата секция.

И така, разгледахме тетраедъра и решихме някои типични проблеми с тетраедъра. В следващия урок ще разгледаме паралелепипед.

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то издание, коригирано и разширено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с. : аз ще. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и специализирани нива)

2. Шаригин И. Ф. - М.: Дропла, 1999. - 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователните институции

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то издание, стереотип. - М .: Bustard, 008. - 233 с. :I л. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователните институции със задълбочено и профилирано изучаване на математика

Допълнителни уеб ресурси

2. Как се построява напречно сечение на тетраедър. Математика ().

3. Фестивал на педагогическите идеи ().

Направете задачи у дома по темата „Тетраедър“, как да намерите ръба на тетраедър, лица на тетраедър, върхове и повърхност на тетраедър

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и специализирани нива) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то издание, коригирано и разширено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задачи 18, 19, 20 стр. 50

2. Точка дсредно ребро MAтетраедър MAVS. Построете сечение на тетраедъра с равнина, минаваща през точките Б, ВИ д.

3. В тетраедъра MABC точка M принадлежи на лицето AMV, точка P принадлежи на лицето BMC, точка K принадлежи на ръба AC. Построете сечение на тетраедъра с равнина, минаваща през точките М, Р, К.

4. Какви фигури могат да се получат в резултат на пресичането на тетраедър с равнина?