இரண்டு விமானங்களுக்கு, பரஸ்பர ஏற்பாட்டின் பின்வரும் வகைகள் சாத்தியமாகும்: அவை இணையாக அல்லது நேர்கோட்டில் வெட்டுகின்றன.

ஒரு விமானத்தின் இரண்டு வெட்டுக் கோடுகள் முறையே மற்றொரு விமானத்தின் இரண்டு வெட்டுக் கோடுகளுக்கு இணையாக இருந்தால் இரண்டு விமானங்கள் இணையாக இருக்கும் என்று ஸ்டீரியோமெட்ரி மூலம் அறியப்படுகிறது. இந்த நிலை அழைக்கப்படுகிறது இணை விமானங்களின் அடையாளம்.

இரண்டு விமானங்கள் இணையாக இருந்தால், அவை இணையான கோடுகளுடன் மூன்றாவது விமானத்தை வெட்டுகின்றன. இதன் அடிப்படையில், இணை விமானங்கள் ஆர்மற்றும் கேஅவற்றின் தடயங்கள் இணையான நேர் கோடுகள் (படம் 50).

இரண்டு விமானங்கள் போது ஆர்மற்றும் கேஅச்சுக்கு இணையாக எக்ஸ், விமானங்களின் தன்னிச்சையான பரஸ்பர ஏற்பாட்டுடன் அவற்றின் கிடைமட்ட மற்றும் முன் தடயங்கள் x அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும், அதாவது, பரஸ்பர இணையாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, இத்தகைய நிலைமைகளின் கீழ், தடயங்களின் இணையான தன்மை விமானங்களின் இணையான தன்மையைக் குறிக்கும் போதுமான அறிகுறியாகும். அத்தகைய விமானங்களின் இணையான தன்மைக்கு, அவற்றின் சுயவிவர தடயங்களும் இணையாக இருப்பதை உறுதி செய்ய வேண்டும். பி w மற்றும் கேடபிள்யூ. விமானங்கள் ஆர்மற்றும் கேபடம் 51 இல் இணையாக உள்ளன, மேலும் படம் 52 இல் அவை இணையாக இல்லை, இருப்பினும் பி v || கே v , மற்றும் பி h y || கேம.

விமானங்கள் இணையாக இருக்கும்போது, ​​ஒரு விமானத்தின் கிடைமட்டங்கள் மற்றொன்றின் கிடைமட்டங்களுக்கு இணையாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், ஒரு விமானத்தின் முன்பக்கங்கள் மற்றொன்றின் முன்பக்கங்களுக்கு இணையாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் இந்த விமானங்கள் அதே பெயரில் இணையான தடயங்களைக் கொண்டுள்ளன.

ஒன்றுக்கொன்று வெட்டும் இரண்டு விமானங்களை உருவாக்க, இரண்டு விமானங்களும் வெட்டும் கோட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த வரியை உருவாக்க, அதைச் சேர்ந்த இரண்டு புள்ளிகளைக் கண்டறிவது போதுமானது.

சில நேரங்களில், விமானம் தடயங்கள் மூலம் வழங்கப்படும் போது, ​​ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி மற்றும் கூடுதல் கட்டுமானங்கள் இல்லாமல் இந்த புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. இங்கே, வரையறுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் திசை அறியப்படுகிறது, மேலும் அதன் கட்டுமானமானது சதித்திட்டத்தில் ஒரு புள்ளியைப் பயன்படுத்துவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

விமானத்திற்கு இணையான நேர்கோடு

ஒரு குறிப்பிட்ட விமானத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு நேர் கோட்டின் பல நிலைகள் இருக்கலாம்.

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் இணையான அடையாளத்தைக் கவனியுங்கள். ஒரு கோடு அந்த விமானத்தில் உள்ள எந்த கோட்டிற்கும் இணையாக இருக்கும் போது விமானத்திற்கு இணையாக இருக்கும். படம் 53 நேராக ஏபிவிமானத்திற்கு இணையாக ஆர், கோட்டிற்கு இணையாக இருப்பதால் எம்.என், இது இந்த விமானத்தில் உள்ளது.

ஒரு கோடு ஒரு விமானத்திற்கு இணையாக இருக்கும்போது ஆர், இந்த விமானத்தில் அதன் எந்தப் புள்ளியின் மூலமாகவும் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு இணையாக ஒரு கோட்டை வரைய முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, படம் 53 இல் வரி ஏபிவிமானத்திற்கு இணையாக ஆர். ஒரு புள்ளி வழியாக இருந்தால் எம்விமானத்தைச் சேர்ந்தது ஆர், ஒரு நேர் கோடு வரையவும் என்.எம், இணை ஏபி, பிறகு அது விமானத்தில் கிடக்கும் ஆர். அதே படத்தில், வரி குறுவட்டுவிமானத்திற்கு இணையாக இல்லை ஆர்ஏனெனில் நேர் கோடு கே.எல், இது இணையாக உள்ளது குறுவட்டுமற்றும் புள்ளி வழியாக செல்கிறது TOமேற்பரப்பில் ஆர், இந்த விமானத்தில் பொய் இல்லை.

ஒரு விமானத்தை வெட்டும் ஒரு நேர்கோடு

ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்க, இரண்டு விமானங்களின் வெட்டுக் கோடுகளை உருவாக்குவது அவசியம். வரி I மற்றும் விமானம் P (படம் 54) ஆகியவற்றைக் கவனியுங்கள்.

விமானங்களின் வெட்டும் புள்ளியின் கட்டுமானத்தைக் கவனியுங்கள்.

சில நேர்க்கோட்டின் மூலம் நான் ஒரு துணை விமானத்தை வரைய வேண்டும் கே(திட்டம்). கோடு II என்பது விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு என வரையறுக்கப்படுகிறது ஆர்மற்றும் கே. கட்டப்பட வேண்டிய புள்ளி K, I மற்றும் II கோடுகளின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ளது. இந்த கட்டத்தில் நான் கோடு விமானத்தை வெட்டுகிறது ஆர்.

இந்த கட்டுமானத்தில், தீர்வின் முக்கிய புள்ளி ஒரு துணை விமானத்தை வரைய வேண்டும் கேஇந்த வரி வழியாக செல்கிறது. பொது நிலையில் ஒரு துணை விமானத்தை வரைய முடியும். இருப்பினும், பொதுவான நிலையில் ஒரு விமானத்தை வரைவதை விட, கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டைப் பயன்படுத்தி வரைபடத்தில் ஒரு திட்ட விமானத்தைக் காண்பிப்பது எளிது. இந்த வழக்கில், ஒரு திட்ட விமானத்தை எந்த நேர் கோடு வழியாகவும் வரையலாம். இதன் அடிப்படையில், துணை விமானம் திட்டமாக தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது.

1 க்கும் குறைவாக இல்லை, எனவே குறைந்தபட்சம் 1 உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது. 1 மற்றும் 2 குறுக்கிடட்டும், அவற்றுக்கு ஒரு பொதுவான கோடு உள்ளது, அவற்றுக்கு ஒரு பொதுவான அமைப்பு உள்ளது, அவை இணையாக இல்லை, எனவே அவை கூட்டு, அதாவது . 1 மற்றும் 2 இணையாக இருக்கட்டும்:, . ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு கார்ட்டீசியன் என்றால், சாதாரண திசையன்கள். இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைன்:

இரண்டு விமானங்கள் செங்குத்தாக இருக்க தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை:

20. விண்வெளியில் நேர்கோட்டை அமைப்பதற்கான பல்வேறு வழிகள். நேர் கோடு மற்றும் விமானம். விண்வெளியில் 2 கோடுகள். இரண்டு கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம். கருத்து. விண்வெளியில் ஒரு நேர்கோட்டை ஒரு சமன்பாட்டால் வரையறுக்க முடியாது. இதற்கு இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு தேவை. விண்வெளியில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதற்கான முதல் சாத்தியம், இந்த நேர்கோட்டை சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு இணை அல்லாத விமானங்களின் குறுக்குவெட்டாகக் குறிப்பிடுவதாகும். A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 = 0 மற்றும் A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2=0, குணகங்கள் A 1 ,B 1 ,C 1மற்றும் A 2 ,B 2 ,C 2விகிதத்திற்கு வெளியே: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1=0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2=0. இருப்பினும், பல சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​ஒரு நேர்கோட்டின் பிற சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது, அதன் சில வடிவியல் பண்புகளை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கும், ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம். M 0 (x 0, y 0, z 0) வெக்டருக்கு இணையாக அ =(l,m,n).வரையறை.கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு இணையான எந்த பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் அதன் அழைக்கப்படுகிறது வழிகாட்டி திசையன்.எந்தப் புள்ளிக்கும் எம்(x,y,z) கொடுக்கப்பட்ட வரியில் பொய், திசையன் எம் 0 எம் = {x - x 0 ,y - y 0 ,z - z 0) திசை வெக்டருடன் கோலினியர் ஆகும் அ . எனவே, பின்வரும் சமத்துவங்கள் உள்ளன:

அழைக்கப்பட்டது நியமன சமன்பாடுகள்விண்வெளியில் நேர்கோடு. குறிப்பாக, இரண்டு புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடுகளைப் பெறுவது தேவைப்பட்டால்: M 1 (x 1, y 1, z 1) மற்றும் M 2 (x 2, y 2, z 2), அத்தகைய நேர்கோட்டின் திசை திசையன் திசையன் என்று கருதலாம் எம் 1 எம் 2 = {x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), மற்றும் சமன்பாடுகள் (8.11) வடிவம் எடுக்கின்றன:

- கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு. சமன்பாடுகளில் உள்ள ஒவ்வொரு சமமான பின்னங்களையும் சில அளவுருக்களாக எடுத்துக் கொண்டால் டி, நீங்கள் அழைக்கப்படும் பெற முடியும் நேர் கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகள்:

சமன்பாடுகளிலிருந்து ஒரு நேர் கோட்டின் நியதி அல்லது அளவுரு சமன்பாடுகளுக்குச் செல்ல, இந்த நேர்கோட்டின் திசை திசையன் மற்றும் அதைச் சேர்ந்த எந்தப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளையும் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையன் இரண்டு விமானங்களுக்கும் இயல்பானவற்றுக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும், எனவே, இது அவற்றின் திசையன் தயாரிப்புக்கு இணையாக உள்ளது. எனவே, திசை திசையன் என, நீங்கள் தேர்வு செய்யலாம் [ n 1 n 2 ] அல்லது விகிதாசார ஆயங்கள் கொண்ட எந்த திசையன். கொடுக்கப்பட்ட வரியில் ஒரு புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் அதன் ஆயங்களில் ஒன்றை தன்னிச்சையாக அமைக்கலாம், மற்ற இரண்டையும் சமன்பாடுகளிலிருந்து கண்டுபிடித்து, அவற்றின் குணகங்களில் இருந்து தீர்மானிப்பவர் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது.

கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம். ஒரு கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையிலான கோணம்.விண்வெளியில் உள்ள கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணம் அவற்றின் திசை திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்திற்கு சமம். எனவே, படிவத்தின் நியமன சமன்பாடுகளால் இரண்டு கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டால்

அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கோசைனை சூத்திரத்தால் காணலாம்:

கோடுகளின் இணைநிலை மற்றும் செங்குத்தாக நிலைகள் அவற்றின் திசை திசையன்களுக்கான தொடர்புடைய நிலைமைகளுக்குக் குறைக்கின்றன:

- இணையான கோடுகளின் நிலை,

- செங்குத்தாக நிலை. நியதிச் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு இடையே உள்ள கோணம் φ

மற்றும் பொதுவான சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட விமானம் Ax + By + Cz + D= 0 என்பது கோட்டின் திசை வெக்டருக்கு இடையே உள்ள கோணம் ψக்கும், விமானத்திற்கு இயல்பானதுக்கும் துணையாகக் கருதலாம். பிறகு

ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் இணையான நிலைதிசையன்களின் செங்குத்தாக இருக்கும் நிலை n மற்றும் அ : Al + Bm + Cn= 0, மற்றும் ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் செங்குத்து நிலை- இந்த திசையன்களின் இணையான நிலை: A/l = B/m = C/n.

21. ஒரு நீள்வட்டத்தின் நியதிச் சமன்பாடு. பண்புகள்.ஒரு கோடு அழைக்கப்படுகிறது, இது சில கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 என்ற விதி சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இது a≥b>0. நீள்வட்டத்தின் அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் │x│≤ a மற்றும் │у│≤ b என்று சமன்பாட்டிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது. எனவே நீள்வட்டம் 2a மற்றும் 2b பக்கங்களுடன் ஒரு செவ்வக வடிவில் உள்ளது. ஆயத்தொலைவுகள் (a, 0), (-a, 0), (0, b) மற்றும் (0, -b) கொண்ட நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அச்சுடன் நீள்வட்டத்தின் வெட்டுப்புள்ளிகள் நீள்வட்டத்தின் முனைகள் எனப்படும். . எண்கள் a மற்றும் b ஆகியவை முறையே பெரிய மற்றும் சிறிய அரைக்கோடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. C1. நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அச்சுகள் நீள்வட்டத்தின் சமச்சீர் அச்சுகளாகும், மற்றும் நியமன அமைப்பின் ஆரம்பம் அதன் சமச்சீர் மையமாகும்.நீள்வட்டத்தின் தோற்றத்தை மையத்தில் மையமாகக் கொண்ட ஆரம் வட்டத்துடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் மிக எளிதாக விவரிக்கப்படுகிறது. நீள்வட்டத்தின்: x 2 + y 2 \u003d a 2. I x I போன்ற ஒவ்வொரு xக்கும்< а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окруж­ности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эл­липсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коор­динат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее рас­стояния до фокуса к расстоянию до соответствующей ди­ректрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между от­резками, соединяющими эту точку с фокусами

22. ஹைப்பர்போலாவின் நியதிச் சமன்பாடு. பண்புகள்.ஹைப்பர்போலாவைக் கோடு என்று அழைத்தோம், சில கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 என்ற நியமனச் சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இந்தச் சமன்பாடு ஹைப்பர்போலாவின் அனைத்துப் புள்ளிகளுக்கும் │x│≥a, அதாவது ஹைப்பர்போலாவின் அனைத்து புள்ளிகளும் 2a அகலம் கொண்ட செங்குத்து துண்டுக்கு வெளியே உள்ளன. நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் abscissa அச்சு, ஆயத்தொகுதிகள் (a, 0) மற்றும் (-a, 0) கொண்ட புள்ளிகளில் ஹைப்பர்போலாவின் முனைகள் எனப்படும் ஹைப்பர்போலாவைக் குறுக்கிடுகிறது. y-அச்சு ஹைப்பர்போலாவைக் குறுக்கிடாது. இவ்வாறு, ஒரு ஹைபர்போலா இரண்டு தொடர்பில்லாத பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது. அவை அதன் கிளைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. எண்கள் a மற்றும் b ஆகியவை முறையே ஹைப்பர்போலாவின் உண்மையான மற்றும் கற்பனை அரைஅக்ஸ்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன.C1. ஒரு ஹைபர்போலாவிற்கு, நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அச்சுகள் சமச்சீரின் அச்சுகள், மற்றும் நியமன அமைப்பின் தோற்றம் சமச்சீர் மையமாகும்.ஹைப்பர்போலாவின் வடிவத்தை ஆய்வு செய்ய, தோற்றத்தின் வழியாக செல்லும் தன்னிச்சையான கோடுடன் அதன் குறுக்குவெட்டைக் காண்கிறோம். . நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை y \u003d kx வடிவத்தில் எடுத்துக்கொள்கிறோம், ஏனெனில் நேர்கோடு x \u003d 0 ஹைப்பர்போலாவைக் குறுக்கிடவில்லை என்பதை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம். x 2 / a 2 - k 2 x 2 / b 2 \u003d 1 என்ற சமன்பாட்டில் இருந்து வெட்டும் புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ்கள் காணப்படுகின்றன. எனவே, b 2 - a 2 k 2 > 0 எனில், x \u003d ± ab / √b 2 - a 2 k 2. குறுக்குவெட்டுப் புள்ளிகளின் (ab / u, abk / u) மற்றும் (-ab / u, -abk / u), u \u003d (b 2 - a 2 to 2) 1/2 இருக்கும் இடங்களின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் குறிப்பிட இது உங்களை அனுமதிக்கிறது. சுட்டிக்காட்டப்பட்டது.

நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y = bx/a மற்றும் y = -bx/a சமன்பாடுகளுடன் கூடிய நேர்கோடுகள் ஹைபர்போலாவின் அறிகுறிகளாக அழைக்கப்படுகின்றன. C2. ஹைப்பர்போலாவின் புள்ளியிலிருந்து அசிம்ப்டோட்கள் வரையிலான தூரங்களின் பெருக்கல் நிலையானது மற்றும் 2 b 2 /(a 2 + b 2) க்கு சமமானது. C3. ஒரு புள்ளி ஹைபர்போலாவுடன் நகர்ந்தால், அதன் அப்சிஸ்ஸா முழுமையான மதிப்பில் காலவரையின்றி அதிகரிக்கும், பின்னர் புள்ளியிலிருந்து அறிகுறிகளில் ஒன்றிற்கான தூரம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். c 2 \u003d a 2 + b 2 மற்றும் c\u003e 0 ஐ அமைப்பதன் மூலம் c எண்ணை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். ஹைபர்போலாவின் foci என்பது ஆய (c, 0) மற்றும் (-c, 0) உள்ள புள்ளிகள் F 1 u F 2 ஆகும். நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு. நீள்வட்டத்தைப் பொறுத்தவரை e \u003d c / a விகிதம் விசித்திரத்தன்மை எனப்படும். ஹைப்பர்போலாவில் e > 1. C4 உள்ளது. ஹைப்பர்போலாவில் உள்ள தன்னிச்சையான புள்ளி M (x, y) இலிருந்து ஒவ்வொரு fociக்கும் உள்ள தூரங்கள் அதன் abscissa x ஐப் பொறுத்து பின்வருமாறு: r 1 =│F 1 M│=│a-ex│, r 2 =│F 2 M │=│a +ex│. C5. ஒரு புள்ளி M ஒரு ஹைப்பர்போலாவின் மீது படுத்துக் கொள்ள, ஃபோசிக்கான அதன் தூரங்களில் உள்ள வேறுபாடு, ஹைபர்போலா 2a இன் உண்மையான அச்சுக்கு முழுமையான மதிப்பில் சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. ஹைப்பர்போலாவின் டைரக்ட்ரிக்ஸ்கள் x=a/ , x=-a/ சமன்பாடுகளால் நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட நேர்கோடுகள் ஆகும். C6. ஒரு புள்ளி ஹைபர்போலாவில் இருக்க, அதன் தொலைவின் விகிதமும் ஃபோகஸ் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய டைரக்ட்ரிக்ஸிற்கான தூரத்திற்கும் சமமானதாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. M 0 (x 0, y 0) புள்ளியில் உள்ள ஹைப்பர்போலாவிற்கான தொடுகோட்டின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: xx 0 /a 2 - yy 0 /b 2 = 1. C7. M 0 (x 0, y 0) புள்ளியில் உள்ள ஹைப்பர்போலாவின் தொடுகோடு இந்த புள்ளியை foci உடன் இணைக்கும் பிரிவுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் இருசமமாகும்.

23. ஒரு பரவளையத்தின் நியமனச் சமன்பாடு. பண்புகள்.சில கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் y 2 =2px, p > 0 என வழங்கப்பட்ட நியதிச் சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படும் கோடு என்று அழைக்கிறோம். இது பரவளையத்தின் அனைத்துப் புள்ளிகளுக்கும் x≥0 என்று சமன்பாட்டிலிருந்து பின்பற்றுகிறது. பரவளையமானது நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றம் வழியாக செல்கிறது. இந்த புள்ளி பரவளையத்தின் உச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது. பரவளையத்தின் மையமானது நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஆய (p/ 2, 0) கொண்ட புள்ளி F ஆகும். ஒரு பரவளையத்தின் டைரக்ட்ரிக்ஸ் என்பது நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் x=-p/2 என்ற சமன்பாட்டுடன் கூடிய நேர்கோடு ஆகும். C1. பரவளையத்தில் இருக்கும் M (x, y) புள்ளியில் இருந்து குவியத்திற்கு உள்ள தூரம் r=x+p/2 ஆகும். C2. ஒரு பரவளையத்தின் மீது புள்ளி M அமைந்திருக்க, அது ஃபோகஸ் மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸ், இந்த பரவளையத்திலிருந்து சமமான தொலைவில் இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. பரவளையத்திற்கு ஒரு விசித்திரத்தன்மை e = 1 ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த மாநாட்டின் அடிப்படையில், r / d \u003d e சூத்திரம் நீள்வட்டத்திற்கும், ஹைப்பர்போலாவிற்கும் மற்றும் பரவளையத்திற்கும் உண்மையாகும். எம் 0 (x 0, y 0) புள்ளியில் உள்ள பரவளையத்தின் தொடுகோடு சமன்பாட்டைப் பெறுவோம், அதன் மீது yy 0 = p(x + x 0) வடிவம் உள்ளது. C3 M o புள்ளியில் உள்ள பரவளையத்திற்கான தொடுகோடு என்பது M o ஐ மையத்துடன் இணைக்கும் பிரிவுக்கும் பரவளையத்தின் அச்சின் திசையில் இந்தப் புள்ளியிலிருந்து வெளிவரும் கதிர்க்கும் இடையே உள்ள கோணத்தின் இருசமப் புள்ளியாகும்.

24. இயற்கணிதக் கோடுகள்.விமானத்தில் இயற்கணிதக் கோடுகளை அமைக்கவும், அதாவது F(x,y)=0 வடிவத்தின் சில இயற்கணித சமன்பாடு மற்றும் விமானத்தில் உள்ள வட்டத்தின் சில இணைப்பு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு, பின்னர் M(x,y) ஆயத்தொகுப்புகள் மட்டுமே சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டில் இருக்கும் என்று கருதப்படுகிறது.அதேபோல், சமன்பாடுகள் விண்வெளியில் ஒரு மேற்பரப்பிற்கு அமைக்கப்படுகின்றன. F (x, y, z) \u003d 0 (z) வடிவத்தின் இயற்கணித சமன்பாடுகளை 3 மாறிகள் மற்றும் சில ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு OXYZ உடன் அமைக்கவும். மற்றும் அந்த புள்ளிகள் F (x, y, z )=0(z) என்பது விமானத்தின் சமன்பாடு ஆகும். மேலும், இரண்டு சமன்பாடுகள் t. மற்றும் t.t. இன் ஒரே கோடு அல்லது மேற்பரப்பை வரையறுக்கின்றன, இந்த சமன்பாடுகளில் ஒன்று மற்றொன்றிலிருந்து சில எண் காரணி லாம்ப்டா 0 மூலம் பெருக்கப்படும் போது.

25. இயற்கணித மேற்பரப்பின் கருத்து.புள்ளிகளின் தன்னிச்சையான தொகுப்புகளை ஆய்வு செய்வது முற்றிலும் மகத்தான பணியாகும்.வரையறை. ஒரு இயற்கணித மேற்பரப்பு என்பது புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், சில கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் + ... + = 0 என்ற வடிவத்தின் சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்படலாம், அங்கு அனைத்து அடுக்குகளும் நெகடிவ் அல்லாத முழு எண்கள். தொகைகளில் மிகப்பெரியது (நிச்சயமாக, சமன்பாட்டில் உண்மையில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள தொகைகளில் மிகப்பெரிய தொகையை நாங்கள் குறிக்கிறோம், அதாவது ஒத்த சொற்களைக் குறைத்த பிறகு பூஜ்ஜியம் அல்லாத குணகத்துடன் குறைந்தபட்சம் ஒரு சொல் இருக்கும் என்று கருதப்படுகிறது. இது போன்ற அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை உள்ளது.) + + ,...., + + என்பது சமன்பாட்டின் அளவு , அத்துடன் இயற்கணித மேற்பரப்பின் வரிசை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது ( +( +( = ) என்பது இரண்டாம்-வரிசை இயற்கணித மேற்பரப்பு. தேற்றம். எந்த கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பிலும் p வரிசையின் இயற்கணித மேற்பரப்பு +...+ =0 வரிசையின் சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்படலாம் ப.

26. 2 வது வரிசையின் உருளை மேற்பரப்புகள்.விமானம் P க்கு 2 வது வரிசையின் சில நேர்கோடு மற்றும் இணையான கோடுகள் d கொடுக்கப்பட்டால், P க்கு இணையாக இல்லாத எந்த d க்கும், பின்னர் வெட்டும் மூட்டையின் அந்த நேர்கோடுகளுக்கு சொந்தமான இடத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பு φ கோடு γ டைரக்டிங் என்றும், φ ஐ வெட்டும் கோடுகள் ஜெனரேட்டர்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. அஃபைன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைப் பொறுத்து உருளை மேற்பரப்பு சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். சில K ஐ சில விமானம் P இல் இருக்கட்டும், அதன் சமன்பாடு F(x, y) = 0, a (a 1 a 2 a 3) d திசையில் a க்கு இணையாக இருக்கும். புள்ளி M(x,y,z) சில ஜெனராட்ரிக்ஸில் உள்ளது, மேலும் N(x'y'o) என்பது இந்த ஜெனராட்ரிக்ஸின் பிளைன் P உடன் வெட்டும் புள்ளியாகும். திசையன் MN ஆனது ta உடன் இணையாக இருக்கும், எனவே MN=ta , x'=x+ a 1 t ; y'=y+a 2 t; 0=z+a 3 t எனவே t= -z/a 3, பின்னர் x'=x- (a 1 z)/a 3 ; y'=y- (a 2 z)/a 3 F(x'y')=0 F(x- (a 1 z)/a 3 ; y- (a 2 z)/a 3. இப்போது தெளிவாக உள்ளது F(x,y)=0 என்பது Oy அச்சுக்கு இணையான ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்ட சிலிண்டரின் சமன்பாடாகும், மேலும் F(y,z)=0 என்பது ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையான ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்டது. சிறப்பு வழக்கு: கோட்டின் கோடு (o,z) க்கு இணையாக இணைக்கவும், எனவே a 1 = 0 a 2 \u003d 0 a 3 ≠0 F (x, y) \u003d 0, எனவே, இரண்டாவது வரிசையின் எத்தனை கோடுகள், பல சிலிண்டர்கள் மேற்பரப்புகள்: 2 விமானங்கள் x 2 /a 2 -y 2 /b 2 \u003d 0 5. இணை விமானங்களின் ஜோடி x 2 /a 2 =1

27. இரண்டாவது வரிசையின் நியமன மேற்பரப்புகள். M o புள்ளி இருக்கும் மேற்பரப்பு, ஒவ்வொரு புள்ளி M o ≠M உடன், ஒரு நேர்கோட்டை (M o M) கொண்டிருக்கும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அத்தகைய மேற்பரப்பு நியமன அல்லது கூம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. M o என்பது கூம்பின் உச்சி, மற்றும் நேர் கோடுகள் அதன் ஜெனரேட்டர்கள். F(x,y,z)=0 ஒரு சார்பு F(tx,ty,tz)=φ(t) F(x,y,z), φ(t) என்பது t இன் செயல்பாடாக இருந்தால் ஒரே மாதிரியானதாக அழைக்கப்படுகிறது. தேற்றம். F(x,y,z) ஒரு ஒரே மாதிரியான செயல்பாடாக இருந்தால், இந்த சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பு, தோற்றத்தில் உச்சியுடன் கூடிய நியமன மேற்பரப்பு ஆகும். டாக். ஒரு அஃபைன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டு, அதிலிருந்து F(x,y,z)=0 மையத்துடன் கூடிய ஒரு நியதிச் சமன்பாடு கொடுக்கப்பட வேண்டும். O M(x,y,z)=0 என்ற புள்ளியில் உள்ள உச்சியுடன் கூடிய சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள், பின்னர் F இலிருந்து OM எந்த புள்ளியும் நியமன மேற்பரப்பில் M 1 (tx,ty,tz) வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும். M o M(x,y,z), இது மேற்பரப்பை திருப்திப்படுத்துவதால், F(tx,ty,tz)=0 என்பது ஒரே மாதிரியான செயல்பாடு φ(t) F(x,y,z)=0, எனவே மேற்பரப்பு நியமனமானது. 2 வது வரிசையின் வளைவுகள் விமானங்களின் வரையறுக்கப்பட்ட மேற்பரப்பில் உள்ள பிரிவுகளாகும் ஒரு ஜோடி இணைக்கப்பட்ட கோடுகள் மற்றும் ஒரு ஜோடி வெட்டும் கோடுகள். B) விமானம் கூம்பின் உச்சி வழியாக செல்லாது, எனவே நாம் பிரிவில் ஒரு நீள்வட்டம், அல்லது ஒரு ஹைபர்போலா அல்லது ஒரு பரவளையத்தைப் பெறுகிறோம்.

28. புரட்சியின் மேற்பரப்புகள்.ஒரு கார்ட்டீசியன் சட்டத்தை 3-பரிமாண இடத்தில் கொடுக்கலாம். விமானம் П Oz வழியாக செல்கிறது, γ விமானம் Ozy இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் கோணம் xOy=φ γ வடிவம் u=f(z) உள்ளது. Oxyz சட்டத்தைப் பொறுத்தவரை γ இலிருந்து M புள்ளியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். γ என்பது γ இலிருந்து அனைத்துப் புள்ளிகளுக்கும் மேலாக γM என்ற சுற்றப்பட்ட வட்டம் என்பது மேப்பிங் எனப்படும். சுழற்சியின் அச்சு வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சுழற்சியின் மேற்பரப்பின் பகுதி மெரிடியன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. புரட்சியின் அச்சுக்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தின் புரட்சியின் மேற்பரப்பின் பகுதி இணை என்று அழைக்கப்படுகிறது. புரட்சியின் மேற்பரப்பின் சமன்பாடு x 2 +y 2 \u003d f 2 (z) என்பது புரட்சியின் மேற்பரப்பின் சமன்பாடு ஆகும். 1) கோணம் φ=0 என்றால், γ xOz விமானத்தில் இருந்தால், x 2 +y 2 =f 2 (z) 2) γ xOy விமானத்தில் உள்ளது மற்றும் அதன் சமன்பாடு y=g(x), பின்னர் y 2 +z 2 = g 2 (x) 3) γ yOz விமானத்தில் உள்ளது மற்றும் அதன் சமன்பாடு z=h(y), பின்னர் z 2 +x 2 =h 2 (y)

29. எலிப்சாய்டுகள்.ஒரு நீள்வட்டத்தை அதன் சமச்சீர் அச்சுகளில் சுழற்றுவதால் ஏற்படும் மேற்பரப்பு. திசையன் e 3 ஐ முதலில் நீள்வட்டத்தின் சிறிய அச்சிலும், பின்னர் பெரிய அச்சிலும் செலுத்துவதன் மூலம், பின்வரும் வடிவங்களில் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: . சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், புரட்சியின் தொடர்புடைய மேற்பரப்புகளின் ur-th = 1 (a>c) ஆக இருக்கும். இத்தகைய நிலைகளைக் கொண்ட மேற்பரப்புகள் சுருக்கப்பட்ட (a) மற்றும் பின்வாங்கப்பட்ட (b) புரட்சியின் நீள்வட்டங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

சுழற்சியின் சுருக்கப்பட்ட நீள்வட்டத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி M (x, y, z) ஐ y=0 க்கு மாற்றுவோம், இதனால் புள்ளியிலிருந்து இந்த விமானத்திற்கான தூரம் அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் நிலையான விகிதத்தில் λ குறைகிறது.<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем , где b=λa. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет это ур-е, называется эллипсоидом (в). Если случайно окажется, что b=c, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид, так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения видно, чо начало канонической системы координат – центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы x 2 +y 2 +z 2 =a 2 сжатиями к плоскостям у=0 и z =0 в отношениях λ=b/a и μ=с/а.

30. ஹைபர்போலாய்டுகள்.புரட்சியின் ஒரு தாள் ஹைப்பர்போலாய்டுஇது குறுக்கிடாத ஒரு அச்சைப் பற்றிய ஹைப்பர்போலாவின் புரட்சியின் மேற்பரப்பு ஆகும். சூத்திரத்தின் படி, இந்த மேற்பரப்பின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் (படம் 48). y=0 விமானத்திற்கு ஒரு தாள் கொண்ட ஹைப்பர்போலாய்டு சுருங்குவதன் விளைவாக, நாம் ur-th உடன் ஒரு தாள் கொண்ட ஹைப்பர்போலாய்டைப் பெறுகிறோம். ஒற்றை-தாள் கொண்ட ஹைப்பர்போலாய்டின் ஒரு சுவாரஸ்யமான சொத்து அதில் ரெக்டிலினியர் ஜெனரேட்டர்களின் இருப்பு ஆகும். நேர்கோடுகள் என்று அழைக்கப்படும், அனைத்து புள்ளிகளும் மேற்பரப்பில் கிடக்கின்றன. ஹைப்பர்போலாய்டின் ஒரு புலத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இரண்டு நேர்கோட்டு ஜெனரேட்டர்கள் உள்ளன, அவற்றின் சமன்பாடுகள் பின்வருமாறு பெறலாம். சமன்பாடு (8) என மாற்றி எழுதலாம். μ =λ , λ =μ (9) சமன்பாடுகளுடன் ஒரு நேர்கோட்டைக் கவனியுங்கள், இங்கு λ மற்றும் μ சில எண்கள் (λ 2 +μ 2 ≠0). நேர்கோட்டின் ஒவ்வொரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளும் ஊர்-கிணறுகள் இரண்டையும் திருப்திப்படுத்துகின்றன, எனவே ur-th (8), இது கால-படி-காலப் பெருக்கத்தால் பெறப்படுகிறது. எனவே, λ மற்றும் μ எதுவாக இருந்தாலும், eqs (9) கொண்ட கோடு ஒரு தாள் கொண்ட ஹைப்பர்போலாய்டில் உள்ளது. இவ்வாறு, அமைப்பு (9) ரெக்டிலினியர் ஜெனரேட்டர்களின் குடும்பத்தை வரையறுக்கிறது. ஹைப்பர்போலாய்டுடன் சேர்ந்து, அதன் அறிகுறிகளை நாம் சுழற்றினால், அவை வலது வட்டக் கூம்பை விவரிக்கின்றன, இது புரட்சியின் ஹைப்பர்போலாய்டின் அசிம்ப்டோடிக் கூம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. புரட்சியின் ஒரு ஹைப்பர்போலாய்டு சுருக்கப்பட்டால், அதன் அறிகுறியற்ற கூம்பு ஒரு பொதுவான ஒரு-தாள் கொண்ட ஹைப்பர்போலாய்டின் அறிகுறியற்ற கூம்பில் சுருங்குகிறது.

இரண்டு தாள்கள் கொண்ட ஹைப்பர்போலாய்டு.புரட்சியின் இரண்டு-தாள்கள் கொண்ட ஹைப்பர்போலாய்டு என்பது அதை வெட்டுகின்ற அச்சில் ஒரு ஹைபர்போலாவைச் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட மேற்பரப்பு ஆகும். சூத்திரத்தின்படி, நாம் புரட்சியின் இரண்டு-தாள்கள் கொண்ட ஹைப்பர்போலாய்டின் ur-e ஐப் பெறுகிறோம், இந்த மேற்பரப்பை விமானம் y=0 க்கு சுருக்குவதன் விளைவாக, ur-th (12) உடன் ஒரு மேற்பரப்பு பெறப்படுகிறது. சில கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ur-e வடிவத்தை (12) கொண்டிருக்கும் மேற்பரப்பு, இரண்டு-தாள் கொண்ட ஹைப்பர்போலாய்டு (படம் 49) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இங்குள்ள ஹைப்பர்போலாவின் இரண்டு கிளைகள் மேற்பரப்பின் இரண்டு இணைக்கப்படாத பகுதிகளுக்கு ("குழிவுகள்") ஒத்திருக்கிறது. இரண்டு தாள்கள் கொண்ட ஹைப்பர்போலாய்டின் அசிம்ப்டோடிக் கூம்பு ஒரு தாள் உள்ளதைப் போலவே வரையறுக்கப்படுகிறது.

31. பரபோலாய்டுகள்.நீள்வட்ட பாராபோலாய்டு.பரவளைய x 2 =2pz ஐ அதன் சமச்சீர் அச்சில் சுழற்றினால், x 2 +y 2 =2pz சமன்பாட்டுடன் ஒரு மேற்பரப்பைப் பெறுகிறோம். இது புரட்சியின் பாராபோலாய்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது. y=0 விமானத்தின் சுருக்கம், புரட்சியின் பரபோலாய்டை ஒரு மேற்பரப்பாக மாற்றுகிறது, அதன் சமன்பாடு 2z (14) வடிவத்தில் குறைக்கப்படுகிறது. சில கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் அத்தகைய சமன்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு மேற்பரப்பு நீள்வட்ட பாராபோலாய்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஹைபர்போலிக் பரபோலாய்டு. eq. (14) உடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், நாம் eq ஐ எழுதலாம். சில கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் அத்தகைய சமன்பாட்டைக் கொண்ட ஒரு மேற்பரப்பு ஹைபர்போலிக் பரபோலாய்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு ஹைபர்போலிக் பாராபோலாய்டின் நியமன சமன்பாடு z \u003d x 2 /a 2 - y 2 /b 2 இலிருந்து, Oxz மற்றும் Oyz விமானங்கள் சமச்சீரின் விமானங்கள் என்பதைப் பின்பற்றுகிறது. Oz அச்சு ஹைபர்போலிக் பாராபோலாய்டின் அச்சு என்று அழைக்கப்படுகிறது, z=h விமானங்களுடன் ஹைபர்போலிக் பரபோலாய்டின் குறுக்குவெட்டின் z=h கோடுகள் h > 0 க்கு, ஹைப்பர்போலஸ் x 2 /a *2 - y 2 /b ஐக் குறிக்கும். *2 =1 a * = a√h , b * =b√h , மற்றும் h க்கு<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гипер­болического параболоида. Как и в случае эллиптическо­го параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический па­раболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сече­нием параболоида плоскостью Оуz (Охz).

32. சிக்கலான எண்கள். கலப்பு எண்ணின் இயற்கணித வடிவம்.ஒரு கலப்பு எண் என்பது z = x + iy வடிவத்தின் வெளிப்பாடு ஆகும், இதில் x மற்றும் y உண்மையான எண்கள், i ஒரு கற்பனை அலகு. x எண்ணானது z எண்ணின் உண்மையான பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது Re(z) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் y எண் z எண்ணின் கற்பனைப் பகுதி என்றும் Im(z) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. எண்கள் z \u003d x + iy மற்றும் z \u003d x - iy ஆகியவை இணைந்தவை என அழைக்கப்படுகின்றன. இரண்டு கலப்பு எண்கள் z 1 = x 1 + iy 1 மற்றும் z 2 = x 2 + iy 2 ஆகியவை அவற்றின் உண்மையான மற்றும் கற்பனை பகுதிகள் சமமாக இருந்தால் சமம் எனப்படும். குறிப்பாக i 2 =-1. கலப்பு எண்களின் தொகுப்பில் உள்ள எண்கணித செயல்பாடுகள் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகின்றன. 1. சேர்த்தல்: z 1+ z 2 \u003d x 1 + x 2 + i (y 1 + y 2); 2. கழித்தல்: z 1 -z 2 \u003d x 1 -x 2 +i (y 1 -y 2); 3. பெருக்கல்: z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1); பிரிவு: z 1 / z 2 \u003d ((x 1 x 2 + y 1 y 2) + i (x 2 y 1 - x 1 y 2)) / x 2 2 + y 2 2. k.ch ஐ குறிக்க ஆக்சி ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தின் புள்ளிகள். ஒவ்வொரு c.h என்றால் ஒரு விமானம் சிக்கலானது என்று அழைக்கப்படுகிறது. z \u003d x + iy, விமானத்தின் ஒரு புள்ளி z (x, y) கடிதத்தில் வைக்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த கடிதம் ஒன்றுக்கு ஒன்று. உண்மையான எண்களான z=x+0i=x மற்றும் முற்றிலும் கற்பனை எண்களான z=0+iy=iy அமைந்துள்ள ஆக்ஸ் மற்றும் ஓய் அச்சுகள் முறையே உண்மையான மற்றும் கற்பனை அச்சுகள் என அழைக்கப்படுகின்றன.

33. ஒரு கலப்பு எண்ணின் முக்கோணவியல் வடிவம். Moivre சூத்திரம்.உண்மையானால் எக்ஸ்மற்றும் கற்பனை ஒய்மாடுலஸின் அடிப்படையில் ஒரு கலப்பு எண்ணின் பகுதிகளை வெளிப்படுத்தவும் ஆர் = | z| மற்றும் வாதம் j(x=r cosj,y=r sinj), பிறகு ஏதேனும் ஒரு கலப்பு எண் z, பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர மற்றவற்றை எழுதலாம் முக்கோணவியல் வடிவம் z=r(cosj+isinj). முக்கோணவியல் வடிவத்தின் அம்சங்கள்: 1) முதல் காரணி எதிர்மறை அல்லாத எண், r³0; 2) அதே வாதத்தின் கொசைன் மற்றும் சைன் எழுதப்பட்டுள்ளது; 3) கற்பனை அலகு sinj ஆல் பெருக்கப்படுகிறது. பயனுள்ளதாகவும் இருக்கலாம் ஆர்ப்பாட்டம்சிக்கலான எண்களை எழுதும் ஒரு வடிவம், ஆய்லர் சூத்திரத்தின் மூலம் முக்கோணவியல் ஒன்றோடு நெருங்கிய தொடர்புடையது: z=re i j . இதில் e i j என்பது சிக்கலான அடுக்குகளின் வழக்குக்கான அடுக்கு விரிவாக்கம் ஆகும். ஒரு கலப்பு எண்ணை முக்கோணவியல் வடிவத்தில் ஒரு சக்தியாக உயர்த்த உங்களை அனுமதிக்கும் சூத்திரம். De Moivre சூத்திரம்வடிவம் உள்ளது: z= n =r n (cosnj+isin nj), எங்கே ஆர்மாடுலஸ் மற்றும் j என்பது கலப்பு எண்ணின் வாதம்.

34. பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் செயல்பாடுகள். யூக்ளிட் அல்காரிதம். Nth டிகிரியின் சமன்பாட்டின் பொதுவான பார்வை: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0 (1). குணகங்களின் தொகுப்பு தீர்மானிக்கப்படுகிறது. (а 0 ,а 1 ,…,a n -1, a n)-தன்னிச்சையான கலப்பு எண்கள். (1) இன் இடது பக்கத்தைக் கவனியுங்கள்: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n - nth பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள். இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் f(x) மற்றும் g(x) குணகங்கள் ஒரே சக்தியில் சமமாக இருந்தால் சமமாகவோ அல்லது ஒரே மாதிரியாகவோ சமமாகக் கருதப்படும். எந்த பல்லுறுப்புக்கோவையும் குணகங்களின் தொகுப்பால் வரையறுக்கப்படுகிறது.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மீது கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகளை வரையறுப்போம்: f(x)=a 0 +a 1 x+...+a n x n ; g(x)=b 0 +b 1 x+...+b s x s n³s; f(x)+g(x)=c 0 +c 1 x+…+c n x n -1 +c n ; c i =a i +b i என்றால் i=0.1…n; i>s b i =0; f(x)*g(x)=d 0 +d 1 x+…+d n + s x n + s ; ; d 0 = a 0 b 0 ; d 1 \u003d a 0 b 1 + a 0 b 1; d 2 \u003d a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0. பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தின் அளவு கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் மற்றும் செயல்பாடுகள் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன: 1)a k +b k =b k +a k ; 2)(a k + b k) + c k = a k + (b k + c k); 3) ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை f(x) f(x)* (x)=1 எனில் தலைகீழ் (x) எனப்படும். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுப்பில், பிரிவு செயல்பாடு சாத்தியமில்லை. யூக்ளிடியன் ஸ்பேஸில், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு, மீதமுள்ள ஒரு பிரிவு அல்காரிதம் உள்ளது. f(x) மற்றும் g(x)உள்ளது r(x)மற்றும் q(x)சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. ; ; f(x)=g(x);; . வலது பக்கத்தின் பட்டம் £ பட்டம் g(x), மற்றும் இங்கிருந்து இடது பக்கத்தின் பட்டம் - நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்துள்ளோம். தேற்றத்தின் முதல் பகுதியை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம்: . பெருக்கி g(x) ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை மூலம் முன்னணி குணகங்கள் பெருக்கப்படுகின்றன.

பிறகு கேபடிகள்.

; ; குறைந்த பட்டம் உள்ளது q(x) பல்லுறுப்புக்கோவை q(x) என்பது விகுதி f(x),அ r(x) -பிரிவின் எஞ்சிய பகுதி. என்றால் f(x)மற்றும் g(x)உண்மையான குணகங்களைக் கொண்டிருங்கள் q(x)மற்றும் r(x)- செல்லுபடியாகும்.

35. பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகுத்தல். ஜிசிடி.சிக்கலான குணகங்களுடன் கூடிய இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற பல்லுறுப்புக்கோவைகள் f(x) மற்றும் j(x) கொடுக்கப்பட வேண்டும். மீதி பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், j(x) என்பது f(x)ன் வகுத்தால் f(x) j(x) ஆல் வகுபடும். பல்லுறுப்புக்கோவையின் பண்புகள் j(x): 1) Y(x) மற்றும் f(x)= j(x)* Y(x) (1) இருந்தால், பல்லுறுப்புக்கோவை j(x) f(x) இன் வகுப்பியாக இருக்கும். j(x)-வகுப்பான், Y(x)-குறியீடு. Y(x) (1) ஐ திருப்திப்படுத்தட்டும், பின்னர் முந்தைய தேற்றத்தில் இருந்து Y(x) என்பது ஒரு விகுதி, மற்றும் மீதி 0. (1) திருப்தி அடைந்தால், j(x) ஒரு வகுப்பான், எனவே j(x)<= степени f(x). ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வகுபடுதலின் முக்கிய பண்புகள்:ஒன்று) ; 2 f(x) மற்றும் g(x) ஆகியவை j(x)ஆல் வகுபடும், பின்னர் அவை j(x)ஆல் வகுபடும்; 3) என்றால்; 4)f 1 (x)..f k (x):j(x)®f 1 g 1 +…+f k g k:j(x); 5) எந்தப் பல்லுறுப்புக்கோவையானது பூஜ்ஜியம் f(x)=a 0 x n +a 1 x n -1 +a n c என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையால் வகுபடும்; 6) f(x):j(x), பிறகு f(x):cj(x); 7) பல்லுறுப்புக்கோவை cf(x) மற்றும் அவை மட்டுமே f(x)க்கு சமமான பட்டம் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை j(x) இன் வகுப்பிகளாக இருக்கும்; 8)f(x):g(x) மற்றும் g(x):f(x), பிறகு g(x)=cf(x); 9) f(x) மற்றும் cf(x), c¹0 ஆகியவற்றில் ஒன்றின் எந்த வகுப்பான் மற்றொன்றுக்கு வகுக்கும். வரையறை:சிறந்த பொது வகுப்பான் (GCD). பல்லுறுப்புக்கோவை j(x) அவை ஒவ்வொன்றையும் பிரித்தால் gcd f(x) மற்றும் g(x) எனப்படும். ஜீரோ டிகிரி பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எப்போதும் gcd மற்றும் coprime ஆகும். பூஜ்ஜியம் அல்லாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் gcd f(x) மற்றும் g(x) d(x) எனப்படும், இது yavl ஆகும். ஒரு பொதுவான வகுப்பி மற்றும் வேறு எந்த வகுப்பினால் வகுபடும் மற்றும் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பொதுவானது. gcd f(x) மற்றும் g(x)= (f(x):g(x)). GCD கண்டுபிடிப்பதற்கான அல்காரிதம்:பட்டம் g(x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)

r k-2 (x)=r k-1 (x)q k (x)+r k (x)

r k-1 (x)=r 2 (x)+q k (x) r k (x)-gcd. நிரூபிப்போம். r k (x) என்பது r k -1 (x) ® இன் வகுப்பான் r k -2 (x)…®அவர் f(x) இன் g(x)® வகுப்பி g(x)g 1 (x) என்பது rk (x)® f(x)-ஆல் வகுபடும் g(x) g 1 (x) என்பது rk (x)® r 1 (x) ஆல் வகுக்கப்படுகிறது rk (x) )® r 2 (x) என்பது rk (x)®... qk (x) ஆல் வகுபடும்: rk (x) என்பது rk (x) ஆல் வகுபடும்.

இரண்டு விமானங்களுக்கு, பரஸ்பர ஏற்பாட்டின் பின்வரும் வகைகள் சாத்தியமாகும்: அவை இணையாக அல்லது நேர்கோட்டில் வெட்டுகின்றன.

ஒரு விமானத்தின் இரண்டு வெட்டுக் கோடுகள் முறையே மற்றொரு விமானத்தின் இரண்டு வெட்டுக் கோடுகளுக்கு இணையாக இருந்தால் இரண்டு விமானங்கள் இணையாக இருக்கும் என்று ஸ்டீரியோமெட்ரி மூலம் அறியப்படுகிறது. இந்த நிலை அழைக்கப்படுகிறது இணை விமானங்களின் அடையாளம்.

இரண்டு விமானங்கள் இணையாக இருந்தால், அவை இணையான கோடுகளுடன் மூன்றாவது விமானத்தை வெட்டுகின்றன. இதன் அடிப்படையில், இணை விமானங்கள் ஆர்மற்றும் கேஅவற்றின் தடயங்கள் இணையான நேர் கோடுகள் (படம் 50).

இரண்டு விமானங்கள் போது ஆர்மற்றும் கேஅச்சுக்கு இணையாக எக்ஸ், விமானங்களின் தன்னிச்சையான பரஸ்பர ஏற்பாட்டுடன் அவற்றின் கிடைமட்ட மற்றும் முன் தடயங்கள் x அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும், அதாவது, பரஸ்பர இணையாக இருக்கும். இதன் விளைவாக, இத்தகைய நிலைமைகளின் கீழ், தடயங்களின் இணையான தன்மை விமானங்களின் இணையான தன்மையைக் குறிக்கும் போதுமான அறிகுறியாகும். அத்தகைய விமானங்களின் இணையான தன்மைக்கு, அவற்றின் சுயவிவர தடயங்களும் இணையாக இருப்பதை உறுதி செய்ய வேண்டும். பி w மற்றும் கேடபிள்யூ. விமானங்கள் ஆர்மற்றும் கேபடம் 51 இல் இணையாக உள்ளன, மேலும் படம் 52 இல் அவை இணையாக இல்லை, இருப்பினும் பி v || கே v , மற்றும் பி h y || கேம.

விமானங்கள் இணையாக இருக்கும்போது, ​​ஒரு விமானத்தின் கிடைமட்டங்கள் மற்றொன்றின் கிடைமட்டங்களுக்கு இணையாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், ஒரு விமானத்தின் முன்பக்கங்கள் மற்றொன்றின் முன்பக்கங்களுக்கு இணையாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் இந்த விமானங்கள் அதே பெயரில் இணையான தடயங்களைக் கொண்டுள்ளன.

ஒன்றுக்கொன்று வெட்டும் இரண்டு விமானங்களை உருவாக்க, இரண்டு விமானங்களும் வெட்டும் கோட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த வரியை உருவாக்க, அதைச் சேர்ந்த இரண்டு புள்ளிகளைக் கண்டறிவது போதுமானது.

சில நேரங்களில், விமானம் தடயங்கள் மூலம் வழங்கப்படும் போது, ​​ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி மற்றும் கூடுதல் கட்டுமானங்கள் இல்லாமல் இந்த புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. இங்கே, வரையறுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் திசை அறியப்படுகிறது, மேலும் அதன் கட்டுமானமானது சதித்திட்டத்தில் ஒரு புள்ளியைப் பயன்படுத்துவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

வேலையின் முடிவு -

இந்தத் தலைப்புச் சொந்தமானது:

விளக்க வடிவியல். விரிவுரை குறிப்புகள் விரிவுரை. கணிப்புகள் பற்றி

ஒரு வரைபடத்தைப் படிக்கும் கணிப்புகளின் கருத்து கணிப்புகளைப் பற்றிய விரிவுரைத் தகவல் .. மையத் திட்டம் .. மனிதக் கண் கொடுக்கும் படத்தைப் படிப்பதன் மூலம் மையத் திட்டம் பற்றிய ஒரு யோசனையைப் பெறலாம் ..

இந்த தலைப்பில் கூடுதல் தகவல் தேவைப்பட்டால் அல்லது நீங்கள் தேடுவதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்கவில்லை என்றால், எங்கள் படைப்புகளின் தரவுத்தளத்தில் தேடலைப் பயன்படுத்த பரிந்துரைக்கிறோம்:

பெறப்பட்ட பொருளை என்ன செய்வோம்:

இந்த பொருள் உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருந்தால், அதை சமூக வலைப்பின்னல்களில் உங்கள் பக்கத்தில் சேமிக்கலாம்:

ட்வீட்

இந்த பிரிவில் உள்ள அனைத்து தலைப்புகளும்:

கணிப்புகளின் கருத்து
விளக்க வடிவியல் என்பது வரைபடத்தின் தத்துவார்த்த அடித்தளமாக இருக்கும் ஒரு அறிவியல். இந்த அறிவியலில், ஒரு விமானத்தில் பல்வேறு உடல்கள் மற்றும் அவற்றின் கூறுகளை சித்தரிக்கும் முறைகள் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன.

இணையான முன்கணிப்பு
பேரலல் ப்ரொஜெக்ஷன் என்பது இணையான ப்ரொஜெக்டிங் கதிர்களைப் பயன்படுத்தும் ஒரு வகைத் திட்டமாகும். இணையான கணிப்புகளை உருவாக்கும் போது, ​​நீங்கள் அமைக்க வேண்டும்

இரண்டு ப்ரொஜெக்ஷன் பிளேன்களில் ஒரு புள்ளியின் கணிப்புகள்
இரண்டு விமானங்களில் புள்ளிகளின் கணிப்புகளைக் கவனியுங்கள், அதற்காக நாம் இரண்டு செங்குத்தாக விமானங்களை (படம் 4) எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதை நாம் கிடைமட்ட முன் மற்றும் விமானங்கள் என்று அழைப்போம். தட்டையான தரவு வெட்டுக் கோடு

ப்ரொஜெக்ஷன் அச்சு இல்லை
ஒரு புள்ளியின் மாதிரி கணிப்புகளை செங்குத்தாக திட்ட விமானங்களில் (படம் 4) எவ்வாறு பெறுவது என்பதை விளக்க, ஒரு நீளமான செவ்வக வடிவில் ஒரு தடிமனான காகிதத்தை எடுக்க வேண்டியது அவசியம். இது இடையில் வளைக்கப்பட வேண்டும்

மூன்று ப்ரொஜெக்ஷன் விமானங்களில் ஒரு புள்ளியின் கணிப்புகள்
கணிப்புகளின் சுயவிவர விமானத்தைக் கவனியுங்கள். இரண்டு செங்குத்து விமானங்களில் உள்ள கணிப்புகள் பொதுவாக உருவத்தின் நிலையை தீர்மானிக்கின்றன மற்றும் அதன் உண்மையான பரிமாணங்களையும் வடிவத்தையும் கண்டுபிடிக்க உதவுகிறது. ஆனால் நேரங்கள் உள்ளன

புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள்
விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியின் நிலையை அதன் ஆயத்தொலைவுகள் எனப்படும் மூன்று எண்களைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்க முடியும். ஒவ்வொரு ஆயமும் சில விமானம் pr இலிருந்து ஒரு புள்ளியின் தூரத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது

ஒரு நேர் கோட்டின் திட்டம்
ஒரு வரியை வரையறுக்க இரண்டு புள்ளிகள் தேவை. ஒரு புள்ளியானது கிடைமட்ட மற்றும் முன்பக்க விமானங்களில் இரண்டு கணிப்புகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது ஒரு நேர்கோடு கிடைமட்டத்தில் அதன் இரண்டு புள்ளிகளின் கணிப்புகளைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

நேரான தடயங்கள்
ஒரு நேர் கோட்டின் சுவடு என்பது சில விமானம் அல்லது மேற்பரப்புடன் அதன் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாகும் (படம் 20). ஒரு கோட்டின் கிடைமட்ட சுவடு ஒரு புள்ளி H ஆகும்

வரியின் பல்வேறு நிலைகள்
எந்தவொரு திட்ட விமானத்திற்கும் இணையாகவோ அல்லது செங்குத்தாகவோ இல்லாமல் இருந்தால், ஒரு கோடு பொது நிலையில் உள்ள கோடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பொது நிலையில் ஒரு கோட்டின் கணிப்புகளும் இணையாகவோ அல்லது செங்குத்தாகவோ இல்லை.

இரண்டு நேர் கோடுகளின் பரஸ்பர ஏற்பாடு
விண்வெளியில் கோடுகளின் ஏற்பாட்டின் மூன்று நிகழ்வுகள் சாத்தியமாகும்: 1) கோடுகள் வெட்டுகின்றன, அதாவது அவை பொதுவான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளன; 2) கோடுகள் இணையாக உள்ளன, அதாவது, அவர்களுக்கு பொதுவான புள்ளி இல்லை, ஆனால் அதே விமானத்தில் உள்ளது

செங்குத்து கோடுகள்
தேற்றத்தைக் கவனியுங்கள்: செங்கோணத்தின் ஒரு பக்கம் ப்ராஜெக்ஷன் விமானத்திற்கு இணையாக இருந்தால் (அல்லது அதில் இருந்தால்), சரியான கோணம் சிதைவு இல்லாமல் இந்த விமானத்தின் மீது திட்டமிடப்படும். அதற்கான ஆதாரத்தை முன்வைக்கிறோம்

விமானத்தின் நிலையை தீர்மானித்தல்
தன்னிச்சையாக அமைந்துள்ள திட்ட விமானத்திற்கு, அதன் புள்ளிகள் மூன்று திட்ட விமானங்களையும் நிரப்புகின்றன. எனவே, முழு விமானத்தின் திட்டத்தைப் பற்றி பேசுவதில் அர்த்தமில்லை, நீங்கள் கணிப்புகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்

விமான தடயங்கள்
விமானம் P இன் சுவடு என்பது கொடுக்கப்பட்ட விமானம் அல்லது மேற்பரப்புடன் அதன் குறுக்குவெட்டின் கோடு (படம் 36). கிடைமட்ட விமானத்துடன் விமானம் P இன் வெட்டும் கோடு அழைக்கப்படுகிறது

விமானத்தின் விளிம்புகள் மற்றும் முன்பக்கங்கள்
ஒரு குறிப்பிட்ட விமானத்தில் இருக்கும் கோடுகளில், இரண்டு வகை கோடுகளை வேறுபடுத்தி அறியலாம், இது பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. இவை நேர்கோடுகள், அவை கிடைமட்டங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

விமான தடயங்கள் கட்டுமானம்
விமானம் P இன் தடயங்களின் கட்டுமானத்தைக் கவனியுங்கள், இது ஒரு ஜோடி வெட்டும் கோடுகள் I மற்றும் II (படம் 45) மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு கோடு P விமானத்தில் இருந்தால், அதன் தடயங்கள் அதே பெயரின் தடயங்களில் இருக்கும்

விமானத்தின் பல்வேறு நிலைகள்
பொது நிலையில் உள்ள ஒரு விமானம் என்பது எந்த திட்ட விமானங்களுக்கும் இணையாகவோ அல்லது செங்குத்தாகவோ இல்லாத ஒரு விமானம். அத்தகைய விமானத்தின் தடயங்களும் இணையாகவோ அல்லது செங்குத்தாகவோ இல்லை.

விமானத்திற்கு இணையான நேர்கோடு
ஒரு குறிப்பிட்ட விமானத்துடன் தொடர்புடைய ஒரு நேர் கோட்டின் பல நிலைகள் இருக்கலாம். 1. கோடு சில விமானத்தில் உள்ளது. 2. ஒரு கோடு சில விமானங்களுக்கு இணையாக உள்ளது. 3. நேரடி பரிமாற்றம்

ஒரு விமானத்தை வெட்டும் ஒரு நேர்கோடு
ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்க, இரண்டு விமானங்களின் வெட்டுக் கோடுகளை உருவாக்குவது அவசியம். வரி I மற்றும் விமானம் P (படம் 54) ஆகியவற்றைக் கவனியுங்கள்.

ப்ரிஸம் மற்றும் பிரமிடு
ஒரு கிடைமட்ட விமானத்தில் நிற்கும் நேரான ப்ரிஸத்தைக் கவனியுங்கள் (படம் 56). அவள் பக்க தானியங்கள்

சிலிண்டர் மற்றும் கூம்பு
ஒரு சிலிண்டர் என்பது ஒரு உருவம் ஆகும், அதன் மேற்பரப்பு ஐ-அச்சு சுற்றிலும் m என்ற நேர்கோட்டை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, இந்த நேர்கோட்டுடன் அதே விமானத்தில் அமைந்துள்ளது. வழக்கில் போது வரி மீ

பந்து, டோரஸ் மற்றும் மோதிரம்
சுழற்சியின் சில அச்சு I ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் ஆகும் போது, ​​ஒரு கோள மேற்பரப்பு பெறப்படுகிறது (படம் 66).

வரைவதில் பயன்படுத்தப்படும் கோடுகள்
பல்வேறு தடிமன் கொண்ட மூன்று முக்கிய வகை கோடுகள் (திட, கோடு மற்றும் கோடு-புள்ளி) வரைவதில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன (படம் 76).

காட்சிகளின் இடம் (திட்டங்கள்)
வரைபடத்தில், ஆறு வகைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை படம் 85 இல் காட்டப்பட்டுள்ளன. படம் "L" என்ற எழுத்தின் கணிப்புகளைக் காட்டுகிறது.

காட்சிகளின் ஏற்பாட்டிற்கான மேலே உள்ள விதிகளிலிருந்து விலகல்
சில சந்தர்ப்பங்களில், கணிப்புகளை உருவாக்குவதற்கான விதிகளிலிருந்து விலகல்கள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன. இந்த நிகழ்வுகளில், பின்வருவனவற்றை வேறுபடுத்தி அறியலாம்: பகுதியளவு காட்சிகள் மற்றும் பிற காட்சிகளுடன் திட்ட இணைப்பு இல்லாமல் அமைந்துள்ள காட்சிகள்.

இந்த உடலை வரையறுக்கும் கணிப்புகளின் எண்ணிக்கை
விண்வெளி, வடிவம் மற்றும் அளவு ஆகியவற்றில் உள்ள உடல்களின் நிலை பொதுவாக ஒரு சிறிய எண்ணிக்கையிலான சரியான தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. ஒரு உடலின் ஒரு திட்டத்தை சித்தரிக்கும் போது, ​​கவனம் செலுத்துங்கள்

கணிப்புகளின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு அச்சைப் பற்றிய ஒரு புள்ளியின் சுழற்சி
படம் 91, கிடைமட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் சுழற்சி I இன் அச்சையும், விண்வெளியில் தன்னிச்சையாக அமைந்துள்ள புள்ளி A ஐயும் காட்டுகிறது.

சுழற்சியின் மூலம் ஒரு பிரிவின் இயற்கையான நீளத்தை தீர்மானித்தல்
எந்தவொரு திட்ட விமானத்திற்கும் இணையான ஒரு பகுதி சிதைவு இல்லாமல் அதன் மீது திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. நீங்கள் பிரிவைச் சுழற்றினால், அது ப்ரொஜெக்ஷன் விமானங்களில் ஒன்றிற்கு இணையாக மாறும், நீங்கள் வரையறுக்கலாம்

பிரிவு உருவத்தின் கணிப்புகளின் கட்டுமானம் இரண்டு வழிகளில் செய்யப்படலாம்
1. வெட்டு விமானத்துடன் பாலிஹெட்ரானின் விளிம்புகளின் சந்திப்பு புள்ளிகளை நீங்கள் காணலாம், பின்னர் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் கணிப்புகளை இணைக்கலாம். இதன் விளைவாக, விரும்பிய பலகோணத்தின் கணிப்புகள் பெறப்படும். இந்நிலையில்,

பிரமிட்
படம் 98, பிரமிடு மேற்பரப்பின் குறுக்குவெட்டைக் காட்டுகிறது.

சாய்ந்த பிரிவுகள்
சாய்ந்த பிரிவுகள் திட்டமிடப்பட்ட விமானத்தால் பரிசீலிக்கப்பட்ட உடலின் இயற்கையான வகை பிரிவுகளை உருவாக்குவதற்கான பணிகளின் வரம்பாக புரிந்து கொள்ளப்படுகின்றன. ஒரு சாய்ந்த பிரிவைச் செய்ய, துண்டிக்க வேண்டியது அவசியம்

முன்பக்க விமானத்தால் ஒரு கூம்பின் மேற்பரப்பின் ஒரு பகுதியாக ஹைபர்போலா
ஒரு கூம்பின் மேற்பரப்பின் ஒரு பகுதியை கிடைமட்டத் தளத்தில் நிற்கும் விமானம் P மூலம் கட்டமைக்க வேண்டும், இது விமானம் V க்கு இணையாக உள்ளது. படம் 103 முன்பக்கத்தைக் காட்டுகிறது.

சிலிண்டரின் மேற்பரப்பின் பிரிவு
ஒரு வலது வட்ட உருளையின் மேற்பரப்பின் ஒரு பகுதியை ஒரு விமானம் மூலம் பின்வரும் நிகழ்வுகள் உள்ளன: 1) ஒரு வட்டம், சிலிண்டரின் அச்சுக்கு செங்குத்தாக P ஆனது, அது தளங்களுக்கு இணையாக இருந்தால்

கூம்பின் மேற்பரப்பின் பிரிவு
பொது வழக்கில், ஒரு வட்ட வடிவ கூம்பு மேற்பரப்பு ஒரு பொதுவான உச்சி (படம். 107c) கொண்ட இரண்டு முற்றிலும் ஒரே மாதிரியான குழிகளை உள்ளடக்கியது. ஒரு குழியின் ஜெனரேட்டர்கள் அதன் தொடர்ச்சியாகும்

பந்தின் மேற்பரப்பின் பகுதி
ஒரு விமானத்தின் மூலம் பந்தின் மேற்பரப்பின் எந்தப் பகுதியும் ஒரு வட்டமாகும், இது வெட்டு விமானம் கணிப்புகளின் விமானத்திற்கு இணையாக இருந்தால் மட்டுமே சிதைவு இல்லாமல் திட்டமிடப்படுகிறது. பொது வழக்கில், நாங்கள்

சாய்ந்த பிரிவுகள்
உடலின் முன்னோக்கித் திட்டமிடப்பட்ட விமானத்தின் மூலம் பிரிவின் இயற்கையான காட்சியைக் கட்டமைக்க வேண்டும். படம் 110a, மூன்று உருளை மேற்பரப்புகளால் (1, 3 மற்றும் 6) கட்டப்பட்ட ஒரு உடலைக் கருதுகிறது.

பிரமிட்
சில வடிவியல் உடலின் மேற்பரப்பில் ஒரு நேர் கோட்டின் தடயங்களைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் நேராக துணை விமானம் மூலம் வரைய வேண்டும், பின்னர் இந்த விமானத்தின் மூலம் உடலின் மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டறியவும். விரும்பியது இருக்கும்

உருளை சுருளி
ஒரு ஹெலிக்ஸ் உருவாக்கம். படம் 113a ஐக் கவனியுங்கள், அங்கு புள்ளி M ஒரு குறிப்பிட்ட வட்டத்தில் ஒரே மாதிரியாக நகர்கிறது, இது ஒரு வட்ட உருளையின் ஒரு பகுதியான விமானம் P. இங்கே இந்த விமானம்

புரட்சியின் இரண்டு உடல்கள்
புரட்சியின் இரண்டு உடல்களின் மேற்பரப்புகளின் குறுக்குவெட்டுக் கோட்டைக் கட்டும் போது துணை விமானங்களை வரைவதற்கான முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த முறையின் சாராம்சம் பின்வருமாறு. ஒரு துணை விமானத்தை மேற்கொள்ளுங்கள்

பிரிவுகள்
பிரிவுகளுக்குப் பொருந்தும் சில வரையறைகள் மற்றும் விதிகள் உள்ளன. ஒரு பகுதி என்பது ஒரு தட்டையான உருவம், இது கொடுக்கப்பட்ட உடலின் சிலவற்றின் குறுக்குவெட்டின் விளைவாக பெறப்பட்டது

வெட்டுக்கள்
வெட்டுக்களுக்குப் பொருந்தும் வரையறைகள் மற்றும் விதிகள். வெட்டு என்பது பார்வையாளரின் கண்ணுக்கும் வெட்டும் விமானத்திற்கும் இடையில் அமைந்துள்ள ஒரு பொருளின் ஒரு நிபந்தனையான படம்.

பகுதி வெட்டு அல்லது கிழித்தல்
சித்தரிக்கப்பட்ட பொருள் முழுவதுமாக வெட்டப்பட்டால், வெட்டு முழுமையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது, மீதமுள்ள வெட்டுக்கள் பகுதி அல்லது வெட்டுக்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. படம் 120 இல், இடது பார்வை மற்றும் திட்டத்தில், முழு பிரிவுகள் செய்யப்படுகின்றன. சிகை அலங்காரம்

விண்வெளியில் விமானங்களின் பரஸ்பர ஏற்பாடு

விண்வெளியில் இரண்டு விமானங்களின் பரஸ்பர ஏற்பாட்டுடன், இரண்டு பரஸ்பர பிரத்தியேக நிகழ்வுகளில் ஒன்று சாத்தியமாகும்.

1. இரண்டு விமானங்கள் ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்டுள்ளன. பின்னர், இரண்டு விமானங்களின் குறுக்குவெட்டின் கோட்பாட்டின் மூலம், அவை ஒரு பொதுவான கோட்டைக் கொண்டுள்ளன. Axiom R5 கூறுகிறது: இரண்டு விமானங்களுக்கு பொதுவான புள்ளி இருந்தால், இந்த விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு அவற்றின் பொதுவான கோடு. இந்த கோட்பாட்டிலிருந்து, விமானங்களுக்கு இத்தகைய விமானங்கள் வெட்டுதல் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இரண்டு விமானங்களுக்கும் பொதுவான புள்ளி இல்லை.

3. இரண்டு விமானங்கள் இணைகின்றன

3. விமானம் மற்றும் விண்வெளியில் உள்ள திசையன்கள்

திசையன் என்பது ஒரு இயக்கப்பட்ட கோடு பிரிவு. அதன் நீளம் பிரிவின் நீளமாக கருதப்படுகிறது. இரண்டு புள்ளிகள் M1 (x1, y1, z1) மற்றும் M2 (x2, y2, z2) கொடுக்கப்பட்டால், திசையன்

இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டால் பின்னர்

1. திசையன்களின் நீளம்

2. திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை:

3. a மற்றும் b ஆகிய இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை இந்த திசையன்களின் மீது கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டமாகும், இது அவற்றின் பயன்பாட்டின் பொதுவான புள்ளியில் இருந்து வருகிறது (இணை வரைபட விதி); அல்லது முக்கோண விதியின்படி முதல் திசையனின் தொடக்கத்தை கடைசி முனையுடன் இணைக்கும் திசையன். a, b, c ஆகிய மூன்று திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையானது இந்த திசையன்களின் மீது கட்டப்பட்ட இணையான பைப்பின் மூலைவிட்டமாகும் (பேராலெல்பைப்பின் விதி).

கருத்தில்:

• 1. ஆயங்களின் தோற்றம் புள்ளி A இல் உள்ளது;
• 2. கனசதுரத்தின் பக்கமானது ஒற்றைப் பிரிவாகும்.
• 3. OX அச்சை AB விளிம்பிலும், OY AD விளிம்பிலும், OZ அச்சை AA1 விளிம்பிலும் இயக்குகிறோம்.

கனசதுரத்தின் கீழ் விமானத்திற்கு

"Get an A" என்ற வீடியோ பாடத்தில் 60-65 புள்ளிகள் மூலம் கணிதத்தில் தேர்வில் வெற்றிபெற தேவையான அனைத்து தலைப்புகளும் அடங்கும். கணிதத்தில் சுயவிவரத்தின் 1-13 அனைத்து பணிகளும் பயன்படுத்தவும். கணிதத்தில் அடிப்படை பயன்பாட்டில் தேர்ச்சி பெறுவதற்கும் ஏற்றது. நீங்கள் 90-100 புள்ளிகளுடன் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற விரும்பினால், பகுதி 1 ஐ 30 நிமிடங்களில் மற்றும் தவறுகள் இல்லாமல் தீர்க்க வேண்டும்!

10-11 வகுப்புகளுக்கான தேர்வுக்கான தயாரிப்பு பாடநெறி, அத்துடன் ஆசிரியர்களுக்கும். கணிதத்தில் தேர்வின் பகுதி 1 (முதல் 12 சிக்கல்கள்) மற்றும் சிக்கல் 13 (முக்கோணவியல்) ஆகியவற்றில் நீங்கள் தீர்க்க வேண்டிய அனைத்தும். இது ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் 70 புள்ளிகளுக்கு மேல் உள்ளது, மேலும் நூறு மதிப்பெண் மாணவர் அல்லது ஒரு மனிதநேயவாதி அவர்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

தேவையான அனைத்து கோட்பாடு. விரைவான தீர்வுகள், பொறிகள் மற்றும் தேர்வின் ரகசியங்கள். FIPI பணிகளின் பகுதி 1 இன் அனைத்து தொடர்புடைய பணிகளும் பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன. பாடநெறி USE-2018 இன் தேவைகளுக்கு முழுமையாக இணங்குகிறது.

பாடநெறி 5 பெரிய தலைப்புகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் 2.5 மணிநேரம். ஒவ்வொரு தலைப்பும் புதிதாக, எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

நூற்றுக்கணக்கான தேர்வு பணிகள். உரை சிக்கல்கள் மற்றும் நிகழ்தகவு கோட்பாடு. சிக்கலைத் தீர்க்கும் வழிமுறைகள் எளிமையான மற்றும் நினைவில் கொள்ள எளிதானவை. வடிவியல். கோட்பாடு, குறிப்பு பொருள், அனைத்து வகையான USE பணிகளின் பகுப்பாய்வு. ஸ்டீரியோமெட்ரி. தீர்க்கும் தந்திரமான தந்திரங்கள், பயனுள்ள ஏமாற்று தாள்கள், இடஞ்சார்ந்த கற்பனையின் வளர்ச்சி. புதிதாக முக்கோணவியல் - பணிக்கு 13. நெரிசலுக்குப் பதிலாக புரிந்து கொள்ளுதல். சிக்கலான கருத்துகளின் காட்சி விளக்கம். இயற்கணிதம். வேர்கள், சக்திகள் மற்றும் மடக்கைகள், செயல்பாடு மற்றும் வழித்தோன்றல். தேர்வின் 2 வது பகுதியின் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை.