மான்டே கார்லோ முறை(மான்டே கார்லோ முறைகள், எம்எம்சி) என்பது ஒரு சீரற்ற (சீரற்ற) செயல்முறையின் அதிக எண்ணிக்கையிலான உணர்தல்களைப் பெறுவதை அடிப்படையாகக் கொண்ட எண் முறைகளின் குழுவின் பொதுவான பெயர், இது அதன் நிகழ்தகவு பண்புகள் ஒத்த மதிப்புகளுடன் ஒத்துப்போகும் வகையில் உருவாகிறது. தீர்க்கப்படும் பிரச்சனையின். இயற்பியல், வேதியியல், கணிதம், பொருளாதாரம், தேர்வுமுறை, கட்டுப்பாட்டுக் கோட்பாடு போன்ற பல்வேறு துறைகளில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கப் பயன்படுகிறது.

கதை

பையை நிர்ணயிப்பதற்கான பஃப்பனின் அல்காரிதம்

ரேண்டம் மாறிகள் பல்வேறு பயன்பாட்டு சிக்கல்களைத் தீர்க்க நீண்ட காலமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. 1777 ஆம் ஆண்டில் பஃப்பனால் முன்மொழியப்பட்ட பை எண்ணை நிர்ணயிப்பதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. முறையின் சாராம்சம் ஒரு ஊசி நீளத்தை வீசுவதாகும் எல்தொலைவில் அமைந்துள்ள இணை கோடுகளால் வரையப்பட்ட ஒரு விமானத்தின் மீது ஆர்ஒருவருக்கொருவர் (படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்).

படம் 1.பஃபன் முறை

நிகழ்தகவு (மேலும் சூழலில் இருந்து பார்க்க முடியும், நாம் நிகழ்தகவு பற்றி பேசவில்லை, ஆனால் ஒரு பரிசோதனையில் குறுக்குவெட்டுகளின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்பு பற்றி; இது ஒரு நிகழ்தகவு என்றால் மட்டுமே ஆர்>எல்) கோடு வெட்டும் பிரிவு பை எண்ணுடன் தொடர்புடையது:

, எங்கே

ஏ- ஊசியின் தொடக்கத்திலிருந்து அருகிலுள்ள நேர் கோட்டிற்கான தூரம்;

θ என்பது நேர் கோடுகளுடன் தொடர்புடைய ஊசியின் கோணம்.

இந்த ஒருங்கிணைப்பை எடுத்துக்கொள்வது எளிது: (அது வழங்கப்பட்டுள்ளது ஆர்>எல்), எனவே, வெட்டும் கோடுகளின் விகிதத்தை எண்ணுவதன் மூலம், இந்த எண்ணை நாம் தோராயமாக தீர்மானிக்க முடியும். முயற்சிகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும் போது, ​​பெறப்பட்ட முடிவின் துல்லியம் அதிகரிக்கும்.

1864 ஆம் ஆண்டில், கேப்டன் ஃபாக்ஸ், ஒரு காயத்திலிருந்து மீண்டு, எப்படியாவது தன்னை ஆக்கிரமிக்க வேண்டும் என்பதற்காக, ஒரு ஊசியை வீசுவதில் ஒரு பரிசோதனையை மேற்கொண்டார். முடிவுகள் பின்வரும் அட்டவணையில் வழங்கப்படுகின்றன:

	வீசுதல்களின் எண்ணிக்கை	குறுக்குவெட்டுகளின் எண்ணிக்கை	ஊசி நீளம்	கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்	சுழற்சி	பை மதிப்பு
முதல் முயற்சி					இல்லாத
இரண்டாவது முயற்சி					தற்போது
மூன்றாவது முயற்சி					தற்போது

கருத்துகள்:

முறையான பிழையைக் குறைப்பதற்காக விமானச் சுழற்சி பயன்படுத்தப்பட்டது (மற்றும், முடிவுகள் காட்டுவது போல், வெற்றிகரமாக).

மூன்றாவது முயற்சியில், ஊசியின் நீளம் கோடுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை விட அதிகமாக இருந்தது, இது எறிதல்களின் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்காமல், நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையை திறம்பட அதிகரிக்கவும் துல்லியத்தை மேம்படுத்தவும் சாத்தியமாக்கியது.

சீரற்ற செயல்முறைகள் மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு இடையிலான உறவு

சீரற்ற முறைகளின் கணிதக் கருவியின் உருவாக்கம் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் தொடங்கியது. 1899 ஆம் ஆண்டில், லார்ட் ரேலி ஒரு எல்லையற்ற லட்டியில் ஒரு பரிமாண சீரற்ற நடை ஒரு பரவளைய வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு தோராயமான தீர்வைக் கொடுக்க முடியும் என்பதைக் காட்டினார். 1931 ஆம் ஆண்டில் ஆண்ட்ரி கோல்மோகோரோவ் பல்வேறு கணித சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான சீரற்ற அணுகுமுறைகளின் வளர்ச்சிக்கு ஒரு பெரிய உத்வேகத்தை அளித்தார், ஏனெனில் மார்கோவ் சங்கிலிகள் சில ஒருங்கிணைந்த-வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுடன் தொடர்புடையவை என்பதை அவர் நிரூபிக்க முடிந்தது. 1933 ஆம் ஆண்டில், இவான் பெட்ரோவ்ஸ்கி, மார்கோவ் சங்கிலியை உருவாக்கும் சீரற்ற நடை, நீள்வட்ட பகுதி வேறுபாடு சமன்பாட்டின் தீர்வுடன் எந்த அறிகுறியும் இல்லாமல் தொடர்புடையது என்பதைக் காட்டினார். இந்த கண்டுபிடிப்புகளுக்குப் பிறகு, சீரற்ற செயல்முறைகளை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளால் விவரிக்க முடியும் என்பது தெளிவாகியது, அதன்படி, அந்த நேரத்தில் இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு நன்கு வளர்ந்த கணித முறைகளைப் பயன்படுத்தி ஆய்வு செய்யப்பட்டது.

லாஸ் அலமோஸில் மான்டே கார்லோ முறையின் பிறப்பு

முதலாவதாக, 1930 களில் இத்தாலியில் என்ரிகோ ஃபெர்மி, பின்னர் 1940 களில் லாஸ் அலமோஸில் ஜான் வான் நியூமன் ஸ்டானிஸ்லாவ் உலாம், சீரற்ற செயல்முறைகள் மற்றும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கு இடையிலான தொடர்பை "எதிர் திசையில்" பயன்படுத்த முடியும் என்று பரிந்துரைத்தனர். ஒரு விசோட்ரோபிக் ஊடகத்தில் நியூட்ரான் இயக்கத்தின் சிக்கல் தொடர்பாக எழுந்த போக்குவரத்து சமன்பாடுகளில் தோராயமான பல பரிமாண ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு சீரற்ற அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்த அவர்கள் முன்மொழிந்தனர்.

இந்த யோசனை உலாம் என்பவரால் உருவாக்கப்பட்டது, முரண்பாடாக, ஃபாக்ஸைப் போலவே, நோயிலிருந்து குணமடையும் போது கட்டாய செயலற்ற தன்மையுடன் போராடிக் கொண்டிருந்தார், மேலும் சொலிடர் விளையாடும் போது, ​​சொலிடர் விளையாட்டு "ஒர்க் அவுட்" ஆகும் சாத்தியம் என்ன என்று யோசித்தார். இதுபோன்ற சிக்கல்களுக்கு காம்பினேட்டரிக்ஸின் வழக்கமான பரிசீலனைகளைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பதிலாக, அவர் "பரிசோதனையை" அதிக எண்ணிக்கையில் செய்யலாம், இதனால், வெற்றிகரமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையை எண்ணி, அவற்றின் நிகழ்தகவை மதிப்பிடலாம் என்ற யோசனையை அவர் கொண்டு வந்தார். மான்டே கார்லோ கணக்கீடுகளுக்கு கணினிகளைப் பயன்படுத்தவும் அவர் முன்மொழிந்தார்.

அதிக வேகத்தில் போலி எண்களை உருவாக்கக்கூடிய முதல் மின்னணு கணினிகளின் வருகை, மற்ற கணித முறைகளை விட சீரற்ற அணுகுமுறை மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் சிக்கல்களின் வரம்பை வியத்தகு முறையில் விரிவுபடுத்தியது. இதற்குப் பிறகு, ஒரு பெரிய முன்னேற்றம் ஏற்பட்டது மற்றும் மான்டே கார்லோ முறை பல சிக்கல்களில் பயன்படுத்தப்பட்டது, ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் பதிலைப் பெறுவதற்கு அதிக எண்ணிக்கையிலான கணக்கீடுகள் தேவைப்படுவதால் அதன் பயன்பாடு எப்போதும் நியாயப்படுத்தப்படவில்லை.

மான்டே கார்லோ முறையின் பிறந்த ஆண்டு 1949 என்று கருதப்படுகிறது, அப்போது மெட்ரோபோலிஸ் மற்றும் உலம் "தி மான்டே கார்லோ முறை" கட்டுரை வெளியிடப்பட்டது. இந்த முறையின் பெயர் மொனாக்கோ மாகாணத்தில் உள்ள நகரத்தின் பெயரிலிருந்து வந்தது, இது ஏராளமான சூதாட்ட விடுதிகளுக்கு பரவலாக அறியப்படுகிறது, ஏனெனில் ரவுலட் மிகவும் பரவலாக அறியப்பட்ட சீரற்ற எண் ஜெனரேட்டர்களில் ஒன்றாகும். ஸ்டானிஸ்லாவ் உலாம் தனது சுயசரிதையான, ஒரு கணிதவியலாளரின் சாகசங்களில், சூதாட்டக்காரரான தனது மாமாவின் நினைவாக நிக்கோலஸ் மெட்ரோபோலிஸால் இந்த பெயரைப் பரிந்துரைத்தார் என்று எழுதுகிறார்.

இந்த இடுகை உங்களுக்கு மிகவும் கடினமான சூழ்நிலையிலிருந்து வெளியேற உதவும். நீங்கள் ஒரு அறையில் பூட்டப்பட்டிருக்கிறீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம், உங்களிடம் ஒரு நூல் மற்றும் ஊசி உள்ளது, மேலும் ஒரு எண்ணின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிட நீங்கள் தொடர்ந்து கேட்கப்படுகிறீர்கள். பை, இந்த பொருட்களை மட்டும் பயன்படுத்தி, எதுவும் நடக்கலாம், உங்களுக்கு தெரியும். எனவே, இன்று, பென்சில்வேனியா பல்கலைக்கழகத்தில் மதன் பற்றிய பாடத்தைக் கேட்டுக்கொண்டிருந்தபோது, ​​இதை எப்படி செய்வது என்று திடீரென்று கற்றுக்கொண்டேன். அந்த எண்ணை என்னால் நினைத்துக்கூட பார்க்க முடியவில்லை பைஇங்கேயும் மறைந்திருக்கிறது. ஜார்ஜஸ்-லூயிஸ் லெக்லெர்க் டி பஃப்ஃபோன் பின்வரும் பணியை அமைத்துக் கொண்ட 18 ஆம் நூற்றாண்டிற்கு இந்த கேள்வியின் வேர்கள் திரும்பியது: "தளம் இரண்டு வண்ணங்களின் மரக் கீற்றுகளால் ஆனது என்று வைத்துக்கொள்வோம், அவை மாறி மாறி வருகின்றன; வீசப்பட்ட ஊசி இரண்டு கீற்றுகள் சேரும் கோட்டைக் கடக்கும் வகையில் விழும் நிகழ்தகவு என்ன?” இந்த செயல்முறையின் உருவகப்படுத்துதல் மற்றும் கேள்விக்கான பதிலை வெட்டுக்கு கீழ் காணலாம்.

உருவகப்படுத்துதல்

சூழ்ச்சியைக் கெடுக்காமல் இருக்க, ஒரு பரிசோதனையுடன் ஆரம்பிக்கலாம். எனவே, எங்களிடம் நீளமுள்ள பல ஊசிகள் உள்ளன எல்மற்றும் ஒரு பச்சை நூல். தொலைவில் உள்ள மேற்பரப்பிற்கு சமமான நீளத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான இணையான பிரிவுகளைப் பயன்படுத்துவோம் எல்ஒருவருக்கொருவர்.

இந்த வயலில் 100 ஊசிகளை வீசுவோம்.

ஒருவேளை போதாது. மேலும் 900 ஐச் சேர்த்து, நூல்களைக் கடக்கும் ஊசிகளை சிவப்பு நிறத்தில் குறிப்போம்.

நாம் அனைத்து ஊசிகளையும் ஒரே நேரத்தில் எறிந்தோம், ஆனால் ஒரு நேரத்தில் ஒரு முறை எறிந்தோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் ஒவ்வொரு அடியிலும் நூலில் விழுந்த ஊசிகளின் எண்ணிக்கையின் விகிதத்தை எறிந்த மொத்த ஊசிகளின் எண்ணிக்கையுடன் பதிவுசெய்தோம், இதன் மூலம் அதிக மற்றும் அதிக தோராயத்தைப் பெறுகிறோம். ஊசி, விழுந்து, நூலைக் கடக்கும் நிகழ்தகவு.

நீங்கள் 10,000 ஊசிகளை வீசினால், படம் மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும்.

இப்போது பின்வரும் மாற்றத்தைச் செய்வோம்: இதன் விளைவாக வரும் தொடரில் ஒவ்வொரு எண்ணிலும் இரண்டை வகுக்கவும்.

10,000 ஊசிகளுக்கு இது ஏற்கனவே மிகவும் துல்லியமானது.

கடந்த ஐந்தாயிரம் சொற்களின் சராசரியைக் கண்டால் தொடர் கிடைக்கும் 3.141685 , பை சமமாக இருக்கும் போது 3.141593 .

பொதுவாக, கடைசித் தொடர் எண்ணுடன் இணைகிறது என்பது யாருக்கும் ரகசியம் அல்ல பை. ஆனால் இது எப்படி நடந்தது? நான் 28 வயதில் மேற்படி பாடத்திலிருந்து இதைப் பற்றி அறிந்தேன். மாடனுக்குள் மூழ்குவோம்.

கோட்பாடு

ஊசி மற்றும் அதற்கு அருகில் உள்ள கோட்டை வலதுபுறமாக கருதுவோம். ஊசியின் இடது முனையிலிருந்து தூரத்தைக் குறிக்கலாம் ம, கோட்டிலிருந்து விலகல் கோணம் - அ.

வெளிப்படையாக, கோணத்தில் இருந்து எதிர் காலின் நீளம் ஏஹைபோடென்யூஸின் நீளத்தால் பெருக்கப்படும் கோணத்தின் சைனுக்கு சமமாக இருக்கும். அப்படியானால் என்று கூறலாம் மகோணத்திற்கு எதிரே உள்ள காலை விட குறைவாக அல்லது சமமாக ஏ, பின்னர் ஊசி நூலைக் கடக்கிறது. ஒரு வரைபடத்தை வரைவோம்:

வீசப்படும் ஒவ்வொரு ஊசிக்கும் நாம் எண்ணினால் மமற்றும் அமுந்தைய வரைபடத்தில் இந்த புள்ளிகளைக் குறிக்கவும், படம் பின்வருமாறு இருக்கும்:

எனவே, ஊசி நூலைக் கடக்கும் நிகழ்தகவு வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு செவ்வகத்தின் பகுதிக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது பை, ஊசியின் நீளத்தால் பெருக்கப்படுகிறது.

இங்கிருந்து எண்ணின் விரும்பிய தோராயத்தைப் பெறுகிறோம் பை, முதல் பகுதியில் அனுபவம் காட்டியது.

விமானம் இணையான கோடுகளுடன் வரிசையாக உள்ளது. அருகில் உள்ள எந்த இரண்டு நேர்கோடுகளுக்கும் இடையே உள்ள தூரம் 1க்கு சமம். நிலையான நீளமுள்ள ஒரு ஊசி விமானத்தின் மீது விழுகிறது. எல் (எல் ≤ 1).

கண்டுபிடிஊசி குறைந்தபட்சம் ஒரு வரியை வெட்டும் நிகழ்தகவு (அதாவது, குறைந்தபட்சம் ஒரு வரியுடன் பொதுவான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது).
ஊசிக்கு தடிமன் இல்லை (இது ஒரு பிரிவு மட்டுமே) மற்றும் அது விழுந்து, விமானத்தில் தட்டையாக கிடக்கிறது, மேலும் அதில் ஒட்டவில்லை என்று நாங்கள் கருதுகிறோம்.

குறிப்பு 1

ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு என்றால் என்ன?

1. முதலில், நாம் என்ன சொல்கிறோம் என்பதை ஒப்புக்கொள்வோம் நிகழ்வு. ஒரே மாதிரியான சோதனைகளின் வரிசையை நடத்துவோம் - சோதனைகள், ஒவ்வொன்றிலும் அதே ஆரம்ப நிலைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன மற்றும் அடுத்த சோதனையின் முடிவு முந்தையவற்றின் முடிவுகளை எந்த வகையிலும் சார்ந்து இருக்காது. பாடநூல் எடுத்துக்காட்டுகள்: "சரியான" நாணயத்தைத் தூக்கி எறிதல், "சரியான" பகடை எறிதல். அல்லது, எங்கள் பிரச்சனையைப் போலவே, ஒரு வரிசையான விமானத்தில் ஒரு ஊசியை வீசுவது.

ஒவ்வொரு சோதனையும் வித்தியாசமானது அடிப்படை முடிவுகள். எடுத்துக்காட்டாக, பகடை உதாரணத்தில் 1 முதல் 6 வரையிலான எண்ணை உருட்டுதல். நிகழ்வுஅடிப்படை விளைவுகளின் சில துணைக்குழு அழைக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, "ரோல் 2". அல்லது "ஒற்றைப்படை எண்ணை உருட்டுதல்" (அதாவது, 1, 3 அல்லது 5 ஐ உருட்டுதல்). ஐந்து நாணயங்களை தூக்கி எறிவது போன்ற சிக்கலான சோதனைகளை நீங்கள் பரிசீலிக்கலாம். இங்கே அடிப்படை முடிவுகள் இருக்கும்: "ஐந்து தலைகள் விழுந்தன", "நான்கு தலைகள் மற்றும் ஒரு வால் விழுந்தது", மற்றும் பல. ஒரு நிகழ்வாக, எடுத்துக்காட்டாக, பின்வருவனவற்றை நாம் கருத்தில் கொள்ளலாம்: "குறைந்தது மூன்று தலைகள் விழுந்தன."

எங்கள் பிரச்சனையில், சோதனை என்பது ஒரு ஊசியை எறிவது, மேலும் நமக்குத் தேவையான நிகழ்வு குறைந்தபட்சம் ஒரு வரியின் குறுக்குவெட்டு ஆகும்.

2. கீழ் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவுஇந்த நிகழ்வுக்கு சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை மற்றும் சாத்தியமான அனைத்து விளைவுகளின் எண்ணிக்கையின் விகிதத்தை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளலாம் (எனவே நிகழ்தகவு எப்போதும் 0 முதல் 1 வரையிலான எண்ணாக மாறிவிடும்). எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு டையை வீசும்போது "ஒற்றைப்படை எண்ணை உருட்டுதல்" நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 1/2 ஆகும், ஏனெனில் சாத்தியமான அனைத்து விளைவுகளிலும் சரியாக பாதி பொருந்தும். 5 நாணயங்களை வீசும்போது "குறைந்தது மூன்று தலைகள்" நிகழ்வின் நிகழ்தகவு 1/2 ஆகும்.

சாத்தியமான விளைவுகளின் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும்போது நிகழ்தகவின் இந்த வரையறை நன்றாக வேலை செய்கிறது. ஆனால் எங்கள் பிரச்சனையில் எண்ணற்ற பல விளைவுகள் உள்ளன - விழுந்த ஊசியின் நிலைகள். மேலும் எண்ணற்ற பல பொருத்தமான விளைவுகளும் உள்ளன. எப்படி இருக்க வேண்டும்? நமது "வரையறையை" கொஞ்சம் சரிசெய்வோம்: ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு- இது அனைத்து விளைவுகளின் தொகுப்பிலும் சாதகமான முடிவுகள் "ஆக்கிரமிக்கும்" பங்கு ஆகும். இந்த "வரையறை" மூலம் சிக்கலில் தேவையான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவது ஏற்கனவே சாத்தியமாகும்.

உண்மையைச் சொல்வதென்றால், மேலே கூறப்பட்ட அனைத்தும் ஒரு "ஹேண்ட்-ஆன்" விளக்கம் மற்றும் அனைத்து கணித கடுமையுடன் கருத முடியாது. ஆனால் எங்கள் நோக்கங்களுக்காக இந்த அணுகுமுறை மிகவும் போதுமானது.

3. தெளிவுக்கு இன்னும் ஒரு உதாரணம். ஒரு சதுரத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் இரண்டு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை ஒரு பகுதியுடன் இணைப்போம், இதனால் ஒரு மூலையை வெட்டுவோம். இதற்குப் பிறகு, நாங்கள் தோராயமாக ஊசியை சதுரத்தில் குத்துவோம். எந்த நிகழ்தகவுடன் நாம் மூலைக்குள் செல்லப் போகிறோம்? இங்கே, ஒவ்வொரு சோதனையின் முடிவும் ஊசியின் முடிவு, அதாவது சதுரத்தின் உள்ளே ஒரு புள்ளி இறங்குகிறது. எண்ணற்ற பல முடிவுகள் உள்ளன என்பதும், நமது நிகழ்விற்கு ஏற்ற எண்ணற்ற பல முடிவுகள் உள்ளன என்பதும் தெளிவாகிறது - மூலையில் நுழைவது. எனவே, நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையைப் பற்றி பேசுவது ஏற்கனவே அர்த்தமற்றது. ஆனால் பின்னம் கணக்கிடப்படலாம் - இது வெறுமனே மூலை மற்றும் சதுரத்தின் பகுதிகளின் விகிதமாகும். இது 1/8க்கு சமம். புள்ளிவிவரங்களின் எல்லைகள் பூஜ்ஜிய பகுதியைக் கொண்டிருப்பதைக் கவனியுங்கள், எனவே நீங்கள் அவற்றைப் பற்றி சிந்திக்க வேண்டியதில்லை. குறிப்பாக, நிகழ்தகவு 0 உடன் மூலையைத் துண்டிக்கும் பகுதியை ஊசி தாக்கும்.

குறிப்பு 2

முதல் குறிப்பிலிருந்து கடைசி உதாரணம் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான சாத்தியமான வழியின் குறிப்பைக் கொடுக்கலாம். ஊசியின் நிலையை தீர்மானிக்கும் அளவுருக்களை உள்ளிடுவது அவசியம் மற்றும் அது கோடுகளை கடக்கும்போது எல்லா நிகழ்வுகளையும் விவரிக்க அனுமதிக்கிறது. இரண்டு அளவுருக்கள் இங்கே போதுமானவை. இதற்குப் பிறகு, இந்த அளவுருக்கள் என்ன மதிப்புகளை எடுக்கலாம் மற்றும் எந்த மதிப்புகள் எங்கள் நிகழ்வை விவரிக்கின்றன என்பதை நாம் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். நீங்கள் அளவுருக்களை நன்றாகத் தேர்வுசெய்தால், இந்த நிபந்தனைகள் மிகவும் எளிமையானதாக இருக்கும், மேலும் அவற்றை "சித்திரப்படுத்தவும்" கூட முடியும்: அச்சுகள் அளவுருக்களுடன் ஒத்திருக்கும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தை எடுத்து, பெறப்பட்ட நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு பகுதியை வரையவும். இதற்குப் பிறகு, முழு பிராந்தியத்தின் பரப்பளவையும், ஊசி மற்றும் கோடுகளின் குறுக்குவெட்டுக்கு ஒத்திருக்கும் அந்த பகுதியின் பகுதியையும் கணக்கிடுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. பின்னர் இந்த பகுதிகளின் விகிதத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையிலிருந்து நேர்கோடுகள் கிடைமட்டமாக செல்கின்றன என்பதை ஒப்புக்கொள்வோம். எனவே விமானத்தின் மீது ஊசியை வீசினோம். நேர்கோடுகளுடன் குறுக்குவெட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது வசதியாக இருக்கும் வகையில் அதன் இருப்பிடத்தை எவ்வாறு விவரிப்பது? ஒரு விசித்திரமான சமச்சீர்மையைக் கவனிக்கலாம்: நேர் கோடுகளுக்கு இடையில் எந்த பட்டை (அல்லது இரண்டு இருந்தால்) கோடுகள் ஊசி விழும் என்பது எங்களுக்கு அவ்வளவு முக்கியமல்ல - கோடுகள் அனைத்தும் ஒரே மாதிரியானவை. கிடைமட்ட மாற்றங்களும் எந்த விளைவையும் ஏற்படுத்தாது என்பதும் தெளிவாகிறது. ஆனால் உண்மையில் முக்கியமானது என்னவென்றால், ஊசி நேர் கோடுகளிலிருந்து எவ்வளவு "தொலைவில்" உள்ளது மற்றும் எந்த கோணத்தில் அது சாய்ந்துள்ளது. எனவே, இரண்டாவது குறிப்பிலிருந்து அளவுருக்களாக, நீங்கள் ஊசியின் சாய்வின் கோணத்தை நேர் கோடுகள் மற்றும் தூரத்திற்கு எடுக்கலாம். ஈஊசியின் நடுவில் இருந்து அருகில்நேராக (படம் 1). எனவே, சிக்கலில் எழுந்த மற்றொரு "சமச்சீர்" பயன்படுத்துகிறோம்.

இந்த அளவுருக்கள் என்ன மதிப்புகளை எடுக்கலாம்? கோணம் α இன் ரேடியன் அளவு 0 முதல் π வரை மாறுபடும், மற்றும் ஈ 0 (ஊசியின் நடுப்பகுதி ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்தால்) 1/2 (ஊசியின் நடுப்பகுதி ஒரு நேர் கோட்டிலிருந்து மேலும் இருக்க முடியாது) மதிப்புகளை எடுக்கும். ஆயத்தொலைவுகளுடன் கூடிய விமானத்தில் (α, ஈ) இந்த கட்டுப்பாடுகள் ஒரு செவ்வகத்தை வரையறுக்கின்றன (படம் 2).

படம் 3 இலிருந்து α மற்றும் என்ன நிபந்தனைகளின் கீழ் தெளிவாக உள்ளது ஈஊசி குறைந்தது ஒரு நேர்கோட்டையாவது வெட்டுகிறது: நேர்கோடுகளுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் திசையில் பாதி ஊசியின் ப்ரொஜெக்ஷன் அதிகமாக இருக்க வேண்டும். ஈ. அதாவது, சமத்துவமின்மை திருப்திப்படுத்தப்பட வேண்டும்.

எனவே ஊசி குறைந்தபட்சம் ஒரு வரியை வெட்டும் போது அனைத்து நிகழ்வுகளின் விளக்கமும் எங்களிடம் உள்ளது (சமநிலைகள் α = π/2 மற்றும் இரண்டு கோடுகளுடன் ஒரு வெட்டும் இருக்கும் ஈ= 1/2, இது எங்கள் செவ்வகத்தில் ஒரு புள்ளியை மட்டுமே கொடுக்க முடியும் - ஒரு ஜோடி அளவுருக்களின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் எல்லையற்ற தொகுப்பு). சைனூசாய்டு வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பகுதியைக் கணக்கிடுவதற்கும், முழு செவ்வகத்தின் பரப்பளவிற்கும் π/2 (படம் 4) க்கு சமமான பகுதியால் பிரிக்கவும் இது உள்ளது.

அறியப்பட்டபடி, ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் கீழ் உள்ள பகுதி, தேவையான இடைவெளியில் இந்த செயல்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்: .

இதன் விளைவாக, விரும்பிய நிகழ்தகவு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

பின்னுரை

இந்த சிக்கலை முதன்முதலில் முன்வைத்து, 18 ஆம் நூற்றாண்டின் பிரெஞ்சு விஞ்ஞானி கவுண்ட் டி பஃப்பன் என்பவரால் முழுமையாக ஆய்வு செய்யப்பட்டதாக நம்பப்படுகிறது - மிகவும் பரந்த அளவிலான ஆர்வங்களைக் கொண்ட ஒரு அசாதாரண நபர், பல்வேறு அறிவுத் துறைகளில் நிறைய பயனுள்ள விஷயங்களைச் செய்தார். எனவே, இது பெரும்பாலும் பஃப்பனின் ஊசி பிரச்சனை என்று அழைக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, இது வடிவியல் நிகழ்தகவு என்று அழைக்கப்படும் முதல் பிரச்சனை. நாம் பார்த்தபடி, இந்த அணுகுமுறையின் சாராம்சம், சில சோதனைகளின் அடிப்படை விளைவுகளின் தொகுப்பை வடிவியல் உருவத்தின் வடிவத்தில் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதும், பொருத்தமான புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் விகிதத்தைக் கணக்கிடுவதற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறியும் கேள்வியைக் குறைப்பதும் ஆகும். . இந்த வழியில், நீங்கள் இன்னும் பல நன்கு அறியப்பட்ட சிக்கல்களை தீர்க்க முடியும் - ஒருவேளை நீங்கள் "கூறுகள்" இல் பின்னர் சிலவற்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்வீர்கள். எனவே, இன்னும் ஒரு எளிய பணியை ஒரு பயிற்சியாக முன்வைப்போம்:

d விட்டம் கொண்ட ஒரு வட்ட நாணயம், எந்த கட்டக் கோடுகளையும் மூடாமல், சதுரங்களில் ஒன்றின் உள்ளே முழுமையாக முடிவடையும், ஒரு செக்கர்டு விமானத்தின் மீது (அலகு சதுரங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டது) எறியப்படும் நிகழ்தகவு என்ன?

பஃபனின் சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது, ​​ஒருவர் சற்று வித்தியாசமாக நியாயப்படுத்தலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க. அத்தகைய முடிவின் போக்கு விரிவாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளது (ஆங்கிலத்தில் இருந்தாலும்).

இப்போது நாம் பெற்ற பதிலின் பொருளைப் பற்றி கொஞ்சம். மணிக்கு எல் = 1 பதில் தோராயமாக 0.6366197... இந்த எண் சரியாக எதைக் குறிக்கிறது? வழக்கம் போல், நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் இது பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும். நாங்கள் மிக நீண்ட தொடர் சோதனைகளை செய்தோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஒவ்வொரு சோதனையிலும் ஒரு ஊசியை ஒரு மில்லியன் முறை எறிந்து, அது விமானத்தில் எத்தனை முறை நேர்கோடுகளைக் கடந்தது என்பதை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளும் பொறுமை நமக்கு இருந்தது என்று வைத்துக்கொள்வோம். மேலும் இதுபோன்ற ஒரு மில்லியன் சோதனைகளையும் நடத்தினோம். அவற்றில் பெரும்பாலானவற்றில் (பெரும்பாலும், அதிக எண்ணிக்கையிலான) குறுக்குவெட்டுகளின் எண்ணிக்கை 636,619 க்கு அருகில் உள்ளது. மேலும் இதுபோன்ற சோதனைகளை நாம் எவ்வளவு அதிகமாக நடத்துகிறோமோ, அவ்வளவு வெற்றிகரமான விளைவுகளின் விகிதம் (ஊசி கோட்டைக் கடக்கும் போது) நெருக்கமாக இருக்கும். செய்ய. உண்மையில், நிச்சயமாக, நீங்கள் சோதனைகளை எவ்வாறு தொடராகப் பிரிக்கிறீர்கள் என்பது முக்கியமல்ல - மொத்த எண்ணிக்கை மட்டுமே முக்கியமானது. உண்மையில், இவ்வளவு நீண்ட தொடர் சோதனைகளை நடத்த போதுமான பொறுமை இல்லை. ஆனால் நீங்கள் ஒரு நிரலை எழுதலாம் (அல்லது ஏற்கனவே உள்ளதைப் போன்றவற்றைப் பயன்படுத்தலாம்), இது வழக்கமான செயல்பாடுகளைச் செய்யும் மற்றும் அதிக எண்ணிக்கையிலான வீசுதல்களுக்கு குறுக்குவெட்டுகளின் எண்ணிக்கையை மட்டுமே கொடுக்கிறது.

முந்தைய பத்தியில் கூறப்பட்டது, π = 3.1415926 என்ற எண்ணைத் துல்லியமாகக் கணக்கிடுவதில் உள்ள முக்கியமான சிக்கலுக்கு ஒரு அசாதாரண அணுகுமுறையை அளிக்கிறது... இந்த எண் ஒரு வட்டத்தின் நீளத்தின் அதன் விட்டம் (அனைத்து வட்டங்களுக்கும்) விகிதமாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவு கூர்வோம். இந்த விகிதம் அதே தான்). π எண் கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில் முக்கிய மாறிலிகளில் ஒன்றாகும். வட்டங்கள் மற்றும் நீள்வட்டங்கள் கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில் பல்வேறு சிக்கல்கள் மற்றும் மாதிரிகளில் தோன்றும் என்பதன் மூலம் இதை ஓரளவு விளக்கலாம் - முற்றிலும் வடிவியல் முதல் கோள்கள் மற்றும் செயற்கைக்கோள்களின் சுற்றுப்பாதைகளின் கணக்கீடுகள் போன்ற நடைமுறை வரை. எனவே, π எண்ணின் மதிப்பைத் துல்லியமாகக் கணக்கிடுவது முக்கியம். இந்த எண் பகுத்தறிவற்றது என்று அறியப்படுகிறது, அதாவது, அதை ஒரு பகுத்தறிவு பின்னமாக (இரண்டு முழு எண்களின் விகிதம்) குறிப்பிட முடியாது, ஆனால் சிறிய வகுப்பினருடன் அதற்கு நெருக்கமான பின்னங்கள் உள்ளன. பின்னம் 22/7 = 3,(142,857) தோராயமாக π ஆயிரத்தில் ஒரு பங்கு என்று ஆர்க்கிமிடிஸ் அறிந்திருந்தார். சுமார் 5ஆம் நூற்றாண்டு கி.பி. இ. தோராயமான 355/113 = 3.14159292... ஏற்கனவே அறியப்பட்டது - பிழை ஒரு மில்லியனுக்கும் குறைவாக உள்ளது.

பஃபன் ஊசிக்கும் இதற்கும் என்ன சம்பந்தம்? நாம் ஏற்கனவே புரிந்து கொண்டபடி, ஒரு நீண்ட தொடர் சோதனைகளில், ஊசி எறிதல்களின் மொத்த எண்ணிக்கையிலிருந்து குறுக்குவெட்டுகளின் விகிதம் தோராயமாக 2/πக்கு சமமாக இருக்கும். எனவே, இந்த பகுதியை அனுபவபூர்வமாகக் கண்டுபிடித்து தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடலாம். அதிக வீசுதல்கள், பின்னம் மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும், எனவே π இன் மதிப்பு. 19 ஆம் நூற்றாண்டில், அத்தகைய செயலில் பல மாலைகளை செலவிடத் தயாராக இருந்த ஹீரோக்கள் இருந்தனர். அவை 3.14 இல் வெவ்வேறு மதிப்புகளைப் பெற்றன. ஆங்கில விக்கிபீடியாவில் இந்தப் பக்கத்தில் மேலும் படிக்கலாம்.

இப்போது, ​​நிச்சயமாக, யாரும் ஊசியை வீசவில்லை, மேலும் π எண் ஏற்கனவே 10 டிரில்லியன் இலக்கங்களுக்கு அப்பால் கணக்கிடப்பட்டுள்ளது. நடைமுறைக் கணக்கீடுகளுக்கு அத்தகைய துல்லியம் கிட்டத்தட்ட அவசியமில்லை என்பது வேடிக்கையானது - ஒரு அணுவிற்குள் தெரியும் பிரபஞ்சத்தின் அளவைத் துல்லியமாகக் கணக்கிடுவதற்கு π முதல் 40 வது தசம இடத்திற்குத் தெரிந்தால் போதுமானது என்று மதிப்பிடப்பட்டுள்ளது. எனவே துல்லியமாக π ஐ கணக்கிடுவது பதிவுகளுக்கான போட்டி மற்றும் சூப்பர் கம்ப்யூட்டர்களுக்கு இடையேயான போட்டியாகும்.

சரியான கணக்கீடுகள் வெவ்வேறு சூத்திரங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. அடிப்படையில், π க்கு மாற்றப்படும் வரிசைகள் மற்றும் தொடரின் கூட்டுத்தொகை ஆகியவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன; விக்கிபீடியாவில் பல அல்காரிதம்களைக் காணலாம். இங்கே நாம் ஒரு அற்புதமான சூத்திரத்தை மட்டுமே வழங்குகிறோம்

மீதமுள்ள இலக்கங்களைக் கணக்கிடாமல் π இன் எந்த இலக்கத்தையும் கணக்கிட இது உங்களை அனுமதிக்கிறது.