Оси инерции. Главные оси и главные моменты инерции Главные оси сечения

Главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к.-л. точку тела и обладающие тем св-вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокруг оси, к-рая в данной точке явл. главной О. и., то тело при отсутствии внеш.сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. Понятие о главных О. и. играет важную роль в динамике тв. тела.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия ..1983 .

ОСИ ИНЕРЦИИ

Главные - три взаимноперпендикулярные оси, проведённые через к.-н. точку тела, совпадающие сосями эллипсоида инерции тела в этой точке. Главные О. и. обладают темсвойством, что если их принять за координатные оси, то центробежные моментыинерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если одна из координатныхосей, напр. ось Ох, является для точки О главной О. и., тоцентробежные моменты инерции, в индексы к-рых входит наименование этойоси, т. е. I xy и I xz , равны нулю. Еслитвёрдое тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокругоси, к-рая в данной точке является главной О. и., то тело при отсутствиивнеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия .Главный редактор А. М. Прохоров .1988 .

Осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у (см. рис. 32, а) называются определенные интегралы вида

При определении осевых моментов инерции в некоторых случаях приходится встречаться с еще одной новой геометрической характеристикой сечения - центробежным моментом инерции.

Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х у (см. рис. 32, а)

Полярным моментом инерции сечения относительно начала координат О (см. рис. 32, а) называется определенный интеграл вида

где р - расстояние от начала координат до элементарной площадки dA.

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент в зависимости от выбора осей может быть положительным, отрицательным или равняться нулю. Единицы обозначения моментов инерции - см 4 , мм 4 .

Между полярным и осевыми моментами инерции существует следующая зависимость:

Согласно формуле (41) сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей (начала координат).

Моменты инерции сечений относительно параллельных осей, одни из которых являются центральными (х с,ус)> определяются из выражений:

где а ив- координаты центра тяжести С сечения (рис. 34).

Формулы (42), имеющие большое практическое применение, читаются так: момент инерции сечения относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр тяжести сечения, плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.

Обратите внимание : координаты а и в следует подставлять в приведенные выше формулы (42) с учетом их знаков.

Рис. 34.

Из формул (42) следует, что из всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьший момент будет относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, т. е. центральный момент инерции.

В формулы для определения прочности и жесткости конструкции входят моменты инерции, которые вычисляются относительно осей, являющихся не только центральными, но и главными. Для того чтобы определить, какие оси, проходящие через центр тяжести, являются главными, надо уметь определять моменты инерции относительно осей, повернутых относительно друг друга на некоторый угол.

Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей (рис. 35) имеют следующий вид:

где а - угол поворота осей и и v относительно осей хну соответственно. Угол а считается положительным , если поворот осей и и у происходит против часовой стрелки.

Рис. 35.

Сумма осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте:

При повороте осей вокруг начала координат центробежный момент инерции меняется непрерывно , следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю.

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называются главными осями инерции.

Направление главных осей инерции можно определить так:

Полученные из формулы (43) два значения угла а отличаются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как видим, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает л /4. В дальнейшем будем пользоваться только меньшим углом. Проведенную под этим углом главную ось будем обозначать буквой и. На рис. 36 приведены некоторые примеры обозначения главных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначаются буквами хи у.

Рис. 36.

В задачах изгиба важно знать осевые моменты инерции сечений относительно тех главных осей, которые проходят через центр тяжести сечения.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть эти оси просто главными осями , опуская слово «центральные».

Ось симметрии плоского сечения является главной центральной осью инерции этого сечения, вторая ось ей перпендикулярна. Другими словами, ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

Если плоское сечение имеет хотя бы две оси симметрии, не перпендикулярные друг другу, то все оси, проходящие через центр тяжести такого сечения, являются его главными центральными осями инерции. Так, на рис. 37 представлены некоторые типы сечений (круг, кольцо, квадрат, правильный шестиугольник и др.), обладающие следующим свойством: любая ось, проходящая через их центр тяжести, является главной.

Рис. 37.

Следует отметить, что нецентральные главные оси интереса для нас не представляют.

В теории изгиба наибольшее значение имеют моменты инерции относительно главных центральных осей.

Главными центральными моментами инерции или главными моментами инерции называются моменты инерции относительно главных центральных осей. Причем относительно одной из главных осей момент инерции максимален , относительно другой - минимален :

Осевые моменты инерции сечений, изображенных на рис. 37, вычисленные относительно главных центральных осей, равны между собой: J y , тогда: J u = J x cos 2 a +J y sin а = J x .

Моменты инерции сложного сечения равны сумме моментов инерции его частей. Поэтому для определения моментов инерции сложного сечения можно записать:

гдeJ xi , J y „ J xiyi -моменты инерции отдельных частей сечения.

NB: если сечение имеет отверстие, то его удобно считать участком с отрицательной площадью.

Для выполнения в дальнейшем прочностных расчетов введем новую геометрическую характеристику прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Эту геометрическую характеристику называют осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе.

Отношение момента инерции сечения относительно оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленной точки сечения называется осевым моментом сопротивления:

Момент сопротивления имеет размерность мм 3 , см 3 .

Моменты инерции и моменты сопротивления наиболее распространенных простых сечений определяются по формулам, приведенным в табл. 3.

Для прокатных стальных балок (двутавровых, швеллерных, уголковых и др.) моменты инерции и моменты сопротивлений приводятся в таблицах сортамента прокатных сталей, где помимо размеров даны площади сечений, положения центров тяжести и другие характеристики.

В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей х и у - i x и i y соответственно, которые определяются по следующим формулам.

Главные оси - это оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения: минимальный и мак­симальный.

Главные центральные моменты инерции рассчитываются отно­сительно главных осей, проходящих через центр тяжести.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить величину осевых моментов инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу (рис. 25.5).

Решение

1. Определим осевой момент инерции относительно оси Ох. Ис­пользуем формулы для главных центральных моментов. Представим момент инерции сечения как разность моментов инерции круга и прямо­угольника.

Для круга

Для прямоугольника

Для прямоугольника ось Ох не проходит через ЦТ. Момент инерции прямоугольника относительно оси Ох:

где А - площадь сечения; а - расстояние между осями Ох и Ох о .

Момент инерции сечения

Пример 2. Найти главный центральный момент инерции сече­ния относительно оси Ох (рис. 25.6).

Решение

1. Сечение составлено из стандарт­ных профилей, главные центральные моменты инерции которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1. Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89 Jox 1 = 572 см 4 .

Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 Jox 2 = 757 см 4 .

Площадь А 2 = 18,1см 2 , Jo y 2 = 63,3см 4 .

2. Определяем координату центра тяжести швеллера относи­тельно оси Ох. В заданном сечении швеллер повернут и поднят. При этом главные центральные оси поменялись местами.

у 2 = (h 1 /2) + d 2 - zo 2 , по ГОСТ находим h 1 = 14 см; d 2 = 5 мм; z o = 1,8 см.

Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции швеллеров и двутавра относительно оси Ох. Используем формулу моментов инерции относительно параллельных осей:

В данном случае

Пример 3. Для заданного сечения (рис. 2.45) вычислить главные центральные моменты инерции.

Решение

Сечение имеет две оси симметрии, которые являются его главными центральными осями.

Разбиваем сечение на две про­стейшие фигуры: прямоугольник (I ) и два круга (II).

Момент инерции сечения относи­тельно оси х

Ось x (центральная ось сечения) не является централь­ной осью круга. Следовательно, момент инерции круга следует вычислять по формуле

Подставляя значения J x ’’ , a, F" в формулу, получаем

Ось у является центральной для прямоугольника и кругов. Следовательно,

Пример 4. Для заданного сечения (рис.2.46)определить положение главных центральных осей и вы­числить главные центральные моменты инерции.

Решение

Центр тяжести лежит на оси Оу, так как она является осью сим­метрии сечения. Раз­бив сечение на два прямоугольника I (160 x 100) иII (140 x 80) и выбрав вспомогательную ось и, определим коорди­нату центра тяжести v 0 по формуле

Оси Ох и Оу - главные центральные оси сечения (Оу - ось симметрии, ось Ох проходит через центр тя­жести сечения и перпендикулярна к Оу).

Вычислим главные моменты инерции сечения J x и J y:

Ось Оу является центральной осью для прямоуголь­ников 1 и 11. Следовательно,

Для проверки правильности решения можно разбить сечение на прямоугольники другим способом и вновь произвести расчет. Со­впадение результатов явится подтверждением их правильности.

Пример 5. Вы­числить главные цент­ральные моменты инер­ции сечения (рис. 2.47).

Решение

Сечение имеет две оси симмет­рии, которые и являют­ся его главными цент­ральными осями.

Разбиваем сечение на два прямоугольника с b * h = 140 x 8 и два прокатных швеллера. Для швеллера № 16 из таблицы ГОСТ 8240 – 72 имеем J X 1 = J x = 747 см 4 ; J y 1 = 63 , 3 см 9 , F 1 = 18,1см 2 , z 0 = 1,8см.

Вычислим J x и J y:

Пример 6. Определить положение главных цент­ральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции заданного сечения (рис. 2.48).

Решение

Заданное сечение разбиваем на прокатные профили: швеллер I и два двутавра II. Геометрические характеристики швеллера и двутавра берем из таблиц прокатной стали ГОСТ 8240-72 и ГОСТ 8239 - 72.

Для швеллера № 20 J Xl = 113 см 4 (в таблице J y); J y 1 = 1520 см 4 (в таблице J x); F 1 = 23,4 см 2 ; г 0 = 2,07 см.

Для двутавра №18 J x 2 = 1330 см 4 (в таблице J x); Jy 2 = 94,6 см 4 (в таблице J y); F 2 = 23,8 см 2 .

Одной из главных осей является ось симметрии Оу , другая главная ось Ох проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно к первой.

Выбираем вспомогательную ось и и определяем ко­ординату v 0 :

где v 1 = 180 + 20,7 = 200,7 мм и v 2 = 180/2 = 90 мм. Вычисляем J x и J у:

Контрольные вопросы и задания

1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличатся осевые моменты инерции?

2. Осевые моменты сечения равны соответственно J x = 2,5 мм 4 и J y = 6,5мм. Определите полярный момент сечения.

3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох J x = 4 см 4 . Определите величину J p .

4. В каком случае J x наименьшее (рис. 25.7)?

5. Какая из приведенных формул для определения J x подойдет для сечения, изображенного на рис. 25.8?

6. Момент инерции швеллера № 10 относительно главной цен­тральной оси J XQ = 174см 4 ; площадь поперечного сечения 10,9 см 2 .

Определите осевой момент инерции относительно оси, проходя­щей через основание швеллера (рис. 25.9).

7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).

8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох пря­моугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).

Главные оси инерции и главные моменты инерции.

При изменении угла величины Ix1, Iy1 и Ix1y1 изменяются. Найдем значение угла, при котором Ix1 и Iy1имеют экстремальные значения; для этого возьмем от Ix1 или Iy1 первую производную по и преравняем ее нулю:илиоткуда(1.28)

Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой - минемален.

Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Значения главных моментов инерции найдем из формул (1.23) и (1.24), подставив в них из формулы (1.28), при этом используем известные формулы тригонометрии для функций двойных углов.

После преобразований получим следующую формулу для определения главных моментов инерции: (1.29)

Исследуя вторую производную можно установить, что для данного случая (Ix < Iy) максимальный момент инерции Imax имеет место относительно главной оси, повернутой на угол по отношению к оси х, а минимальный момент инерции - относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфигурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Сказанное следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю.

В случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, то у этого сечения любая центральная ось является главной, и все главные центральные моменты инерции одинаковы (круг, квадрат, шестиугольник, равносторонний шестиугольник).

9.Основные геометрические характеристики сечений

Здесь: C - центр тяжести плоских сечений;

A - площадь сечения;

I x , I y - осевые моменты инерции сечения относительно главных осей;

I xI , I yI - осевые моменты инерции относительно вспомогательных осей;

I p - полярный момент инерции сечения;

W x , W y - осевые моменты сопротивления;

W p - полярный момент сопротивления

Прямоугольное сечение

Сечение равнобедренный треугольник

10.Основные виды сил, действующие на тело. Момент силы относительно центра. Свойства момента сил.

При рас­смот­ре­нии ме­ха­ни­че­ских задач боль­шин­ство сил, дей­ству­ю­щих на тела, можно от­не­сти к трем ос­нов­ным раз­но­вид­но­стям:

Сила все­мир­но­го тя­го­те­ния;

Сила тре­ния;

Сила упру­го­сти.

Все окру­жа­ю­щие нас тела при­тя­ги­ва­ют­ся к Земле, это обу­слов­ле­но дей­стви­ем сил все­мир­но­го тя­го­те­ния. Если мы будем пре­не­бре­гать со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха, то мы уже знаем, что все тела па­да­ют на Землю с оди­на­ко­вым уско­ре­ни­ем – уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния.

Как и вся­кий пред­мет, тело, под­ве­шен­ное на пру­жине, стре­мит­ся упасть вниз из-за при­тя­же­ния Земли, но, когда пру­жи­на рас­тя­нет­ся до неко­то­рой длины, тело оста­нав­ли­ва­ет­ся, то есть при­хо­дит в со­сто­я­ние ме­ха­ни­че­ско­го рав­но­ве­сия. Мы уже знаем, что ме­ха­ни­че­ское рав­но­ве­сие на­сту­па­ет, когда сумма сил, дей­ству­ю­щих на тело, равна нулю. Это озна­ча­ет, что сила тя­же­сти, дей­ству­ю­щая на груз, долж­на урав­но­ве­сить­ся с неко­то­рой силой, дей­ству­ю­щей со сто­ро­ны пру­жи­ны. Эта сила, на­прав­лен­ная про­тив силы тя­же­сти и дей­ству­ю­щая со сто­ро­ны пру­жи­ны, на­зы­ва­ет­ся силой упру­го­сти.

Прой­дя неко­то­рое рас­сто­я­ние, тело оста­нав­ли­ва­ет­ся, ско­рость тела умень­ша­ет­ся от на­чаль­но­го зна­че­ния до нуля, то есть уско­ре­ние тела – ве­ли­чи­на от­ри­ца­тель­ная. Сле­до­ва­тель­но, на тело со сто­ро­ны по­верх­но­сти дей­ству­ет сила, ко­то­рая стре­мит­ся оста­но­вить это тело, то есть дей­ству­ет про­тив его ско­ро­сти. Эта сила на­зы­ва­ет­ся силой тре­ния.

Момент силы относительно центра (точки).

Моментом силы F относительно центра (точки) О называется вектор m o (F) равный векторному произведению радиуса вектора r , проведенного из центра О в точку А приложения силы, на вектор силы F :

где плечо h  перпендикуляр, опущенный из центра О на линию действия силы F.

Момент m o (F) характеризует вращательный эффект силы F относительно центра (точки) О .

Свойства момента силы:

1. Момент силы относительно центра не изменяется при переносе силы вдоль линии ее действия в любую точку;

2. Если линия действия силы проходит через центр О (h = 0), то момент силы относительно центра О равен нулю .

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными, а моменты инерции относительно этих осей называются главными моментами инерции.

Перепишем формулу (2.18) с учетом известных тригонометрических соотношений:

;

в таком виде

С целью определения положения главных центральных осей, продифференцируем равенство (2.21) по углу α один раз получим

При некотором значении угла α=α 0 , центробежный момент инерции может оказаться равным нулю. Следовательно, с учетом производной (в ), осевой момент инерции примет экстремальное значение. Приравнивая

,

получаем формулу для определения положения главных осей инерции в виде:

(2.22)

В формуле (2.21) вынесем за скобки соs2α 0 и подставим туда значение (2.22) и с учетом известной тригонометрической зависимости получим:

После упрощения окончательно получим формулу для определения значений главных моментов инерции:

(2.23)

Формула (20.1) применяется для определения моментов инерции относительно главных осей. Формула (2.22) не дает прямого ответа на вопрос о том: относительно какой оси момент инерции будет максимальный или минимальный. По аналогии с теорией по исследованию плоского напряженного состояния приведем более удобные формулы для определения положения главных осей инерции:

(2.24)

Здесь α 1 и α 2 определяют положение осей, относительно которых моменты инерции соответственно равны J 1 и J 2 . При этом следует иметь в виду, что сумма модулей углов α 01 и α 02 должна равняться π/2:

Условие (2.24) является условием ортогональности главных осей инерции плоского сечения.

Следует отметить, что при пользовании формулами (2.22) и (2.24) для определения положения главных осей инерции должна соблюдаться такая закономерность:

Главная ось, относительно которой момент инерции максимален, составляет наименьший угол с той исходной осью, относительно которой момент инерции больше.

Пример 2.2.

Определить геометрические характеристики плоских сечений бруса относительно главных центральных осей:

Решение

Предложенное сечение является несимметричным. Поэтому положение центральных осей будет определяться двумя координатами, главные центральные оси будут развернуты относительно центральных осей на определенный угол. Отсюда вытекает такой алгоритм решения задачи по определению основных геометрических характеристик.

1. Разбиваем сечение на два прямоугольника с такими площадями и моментами инерции относительно собственных центральных осей:

F 1 =12 cм 2 , F 2 =18 cм 2 ;

2. Задаемся системой вспомогательных осей х 0 у 0 с началом в точке А . Координаты центров тяжести прямоугольников в этой системе осей такие:

х 1 =4 см; х 2 =1 см; у 1 =1,5 см; у 2 =4,5 см.

3. Определяем координаты центра тяжести сечения по формулам (2.4):

Наносим центральные оси (на рис 2.9 красным цветом).

4. Вычисляем осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей х с и у с по формулам (2.13) применительно к составному сечению:

5. Находим главные моменты инерции по формуле (2.23)

6. Определяем положение главных центральных осей инерции х и у по формуле (2.24):

Главные центральные оси показаны на (рис. 2.9) синим цветом.

7. Проверим проведенные вычисления. Для этого проведем следующие вычисления:

Сумма осевых моментов инерции относительно главных центральных и центральных осей должна быть одинаковой:

Сумма модулей углов α х и α у, , определяющих положение главных центральных осей:

Кроме того, выполняется положение о том, что главная центральная ось х , относительно которой момент инерции J x имеет максимальное значение, составляет меньший угол с той центральной осью, относительно которой момент инерции больше, т.е. с осью х с.