Многогранники тела и поверхности вращения. Многогранники и тела вращения. Сбор и использование персональной информации

Любое геометрическое тело состоит из оболочки, т. е. внешней поверхности, и какого-либо материала, его наполняющего (рис. 42). Каждое геометрическое тело имеет свою форму, кото­рая различается по составу, структуре и размерам.

Состав формы геометрического тела - перечень отсеков по­верхностей, составляющих его (табл. 4). Так, форма прямоуголь­ного параллелепипеда состоит из шести отсеков, поверхностей (граней): две из них являются основаниями параллелепипеда, а остальные четыре отсека образуют замкнутую выпуклую лома­ную поверхность, называемую боковой поверхностью.

Рис 42. Геометрическое тело: 1 - оболочка; 2 - отсеки поверхностей, образующих оболочку тела

Структура формы геометрического тела - характеристика формы, которая показывает взаимосвязь и расположение отсеков поверхностей относительно друг друга (см. рис. 44).

Эти характеристики взаимосвязаны и в наибольшей степени определяют форму геометрического тела и любого другого объ­екта.

По форме простые геометрические тела делятся на много­гранники и тела вращения.

Плоскость является частным случаем поверхности.

Многогранники - геометрические тела, оболочка которых об­разована отсеками плоскостей (рис. 43, а).

Грани - отсеки плоскостей, которые составляют поверхность (оболочку) многогранника; ребра - отрезки прямых, по которым пересекаются грани; вершины - концы ребер.

Тела вращения - геометрические тела (рис. 43, б), оболочка которых представляет собой поверхность вращения (например, шар) либо состоит из отсека поверхности вращения и одного (двух) отсека плоскостей (например, конус, цилиндр и т. п.).

Рис. 43. Многогранники (а) и тела вращения (б): 1 - оболочка геометрического тела;
2 - отсеки плоскостей; 3 - отсеки поверхностей вращения

4. Состав простых геометрических тел

Структура формы влияет на внешний облик геометрического тела. Рассмотрим это на примере прямого и наклонного цилинд­ров (рис. 44), отсеки оснований которых по-разному расположены относительно друг друга.

Рис. 44. Структурные различия в форме цилиндров

Рис. 45. Изменения формы цилиндров

Рис. 46. Четырехугольные пирамиды различной формы

Сравнивая изображения цилиндров на рисунке 45, можно сделать вывод, что изменение положения одного из оснований приводит к изменению формы геометрического тела.

Изменение высоты, ширины, длины, диаметра основания, угла наклона осевой, положение оснований относительно друг друга су­щественно влияет на форму геометрических тел. Например, рас­смотрите четырехугольные пирамиды различной формы (рис. 46).

Рис. 47. Геометрические тела

Транскрипт

1 Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Лекция Геометрическая фигура. Внутренние точки (существует окрестность, лежащая в фигуре), граничные точки (любая окрестность пересекается и с фигурой, и с дополнением), граница фигуры. Внутренность, замыкание фигуры. Канонически замкнутая фигура: = Геометрическое тело (ограниченное, канонически замкнутое, связное). Поверхность тела Многогранник. Вершины, ребра, грани. Выпуклые многогранники. Формула Эйлера для выпуклого многогранника. Правильные многогранники (платоновы тела). Вписанные и описанные многогранники Объем геометрического тела как функция, отображающая множество фигур в R +. Аксиомы инвариантности (объемы конгруэнтных фигур равны), монотонности, аддитивности, нормированности (объем единичного кубика) Призма. Площадь поверхности и объем прямой и наклонной призмы (в том числе с использованием перпендикулярного сечения) Пирамида и усеченная пирамида. Правильная пирамида, правильный тетраэдр. Основание высоты пирамиды в различных «хороших» случаях. Площадь поверхности и объем пирамиды и усеченной пирамиды: V yc. = 1 3 h S 1 + S 2 + p S 1 S 2. Лекция Тела вращения. Цилиндр. Прямой круговой цилиндр. Площадь поверхности и объем цилиндра Конус. Прямой круговой конус. Конические сечения. Усеченный конус. Площадь поверхности и объем конуса и усеченного конуса Сфера и шар. Объем шара. Площадь сферы («метод окрашивания»). Шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор. 1

2 Лекция Выпуклый многогранный угол. Трехгранный угол. Теорема об объемах треугольных пирамид с конгруэнтными трехгранными углами при вершине Плоские углы многогранного угла (неравенство треугольника < +), их сумма (она меньше 360 ; раздавим угол каблуком на плоскость) Теоремы синусов и косинусов для трехгранного угла. Пусть, плоские углы, а A, B, C двугранные (двугранный угол A «между» и). 1-я теорема косинусов. cos = cos cos + sin sin cos A. cos cos cos Следствие. cos A =. sin sin Теорема трех косинусов (еще одно следствие). Если две грани трехгранного угла перпендикулярны, то есть если A = 90, то cos = cos cos. 2-я теорема косинусов. cos A = cos B cos C+sin B sin C cos. Теорема синусов. sin sin A = sin sin B = sin sin C. Практика 1 1. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через противоположные вершины боковой грани и середину противолежащего ей бокового ребра. 2. В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 6. Найдите объем этой призмы, если известно, что в нее можно вписать шар. 3. Внутри куба расположены два равных касающихся друг друга шара. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех других граней куба. Найдите радиусы шаров, если ребро куба равно 1. 2

3 4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а радиус вписанного шара 1/2. Найдите величину двугранного угла между боковыми гранями пирамиды. 5. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 2. Найдите объем пирамиды, а также радиусы вписанного и описанного шаров. 6. Найдите объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит треугольник со сторонами 3, 4, 5, а двугранные углы при основании равны Найдите двугранный угол между соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что радиус вписанного в нее шара в три раза меньше стороны основания. Практика 2 8. Найдите радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, пять ребер которой равны 2, а одно ребро равно Ребро куба равно 1. Найдите объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в центрах трех смежных граней и в вершине куба, не принадлежащей этим граням. 10. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед. В каком отношении плоскость, проходящая через D, C 1 и середину A 1 B 1, делит диагональ D 1 B? 11. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, AB = 3. Высота пирамиды равна 4 и проходит через середину AD. Найдите AD, если известно, что в пирамиду можно вписать шар. 12. Чему равна длина кратчайшего пути по поверхности куба, соединяющего центр какой-либо грани куба с одной из вершин противоположной грани? (Ребро куба равно 1.) 3

4 13. S и P площади двух смежных граней тетраэдра ABCD, a длина их общего ребра, величина угла между этими гранями. Докажите, что объем тетраэдра можно 2SP sin вычислить по формуле V =. 3a Практика Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD. На ребре SA взята точка M так, что SM = 2AM. Через M и середины ребер SB и SD проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды? 15. В каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через центры трех его смежных граней? Практика Радиусы двух шаров равны 2 и 5. Через их единственную общую точку проведена плоскость, площадь сечения которой меньшего шара равна 0,4. Найдите площадь сечения этой плоскостью большего шара. 17. Расстояние от центра верхнего основания цилиндра до плоскости нижнего основания цилиндра равно радиусу основания цилиндра и равно 6. Найдите расстояние от центра верхнего основания до хорды нижнего основания, стягивающей дугу Высота конуса равна h. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 120. Вычислите объем конуса. 19. Определите площадь боковой поверхности и объем усеченного конуса с образующей, равной l, описанного около шара радиуса r. 4

5 20. Около шара описан усеченный конус, площадь нижнего основания которого в a раз больше площади верхнего основания. Во сколько раз объем усеченного конуса больше объема шара? 21. Радиус основания конуса равен R, а площадь боковой поверхности равна сумме площадей основания и осевого сечения. Определите объем конуса. 22. Радиус основания конуса равен R. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 90. Вычислите объем конуса. 23. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основания. Определите отношение объемов полученных частей конуса. 24. В конус вписан шар. Докажите, что отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно отношению их объемов. Практика Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно q. Найдите отношение объемов этих тел. При каких значениях q задача не имеет решения? 26. Через центр шара проведены три попарно перпендикулярные плоскости, разделившие шар на 8 частей. В каждую из этих частей вписано по маленькому шарику. Найдите отношение объема одного маленького шарика к объему исходного шара. 27. Пусть в условиях предыдущей задачи центры вписанных шариков являются вершинами некоторого многогранника. Найдите отношение объемов этого многогранника и исходного шара. 28. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 150. Через вершину конуса проведено сечение, являющееся пря- 5

6 моугольным треугольником. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса. 29. Диаметр основания цилиндра увеличили вдвое и одновременно уменьшили вдвое его высоту. Как изменились площадь боковой поверхности и объем цилиндра? 30. В конус высоты h с радиусом основания R впишите цилиндр с максимальной площадью боковой поверхности и найдите эту площадь. 31. Каждое ребро куба разделено на три конгруэнтные части. Докажите, что полученные двадцать четыре точки деления принадлежат одной сфере. Вычислите площадь поверхности этой сферы, если длина ребра куба равна Из бумажного прямоугольника со сторонами a и b склеивают боковую поверхность цилиндра. Какие стороны следует склеить между собой, чтобы цилиндр с такой боковой поверхностью имел наибольший объем? Практика Радиус основания цилиндра равен 1, а высота цилиндра равна p 2. Две вершины правильного треугольника расположены на границе одного основания цилиндра, а одна вершина на границе другого основания. Найдите сторону правильного треугольника. 34. * В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC, у которого AB = AC = 2, BAC = 30. Ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. Известно, что существует конус, вершина которого совпадает с точкой A, а основание вписано в треугольник SBC. Найдите объем пирамиды. 35. * ABC правильный треугольник со стороной 3, M и K точки на BA и CA такие, что BM = CK = 1. Найдите объем тела, полученного при вращении треугольника ABC вокруг прямой MK. 6

7 36. Высота конуса равна диаметру его основания. В конус вписан куб, четыре вершины которого расположены на основании конуса, а четыре на его боковой поверхности. Найдите отношение объемов куба и конуса. 37. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 1 и 2 вокруг диагонали. 38. Концы диагонали куба совпадают с центрами оснований цилиндра, а остальные вершины куба лежат на боковой поверхности цилиндра. Найдите отношение объемов цилиндра и куба. Указания, решения, ответы 34. Пусть точки K и H точки касания основания конуса (его центр обозначим буквой O, а радиус буквой r) со сторонами грани SBC, тогда по теореме о трех перпендикулярах имеем AK? SB, AH? BC. Заметим, что треугольник SAB является прямоугольным, так как по условию SA? (ABC). Обозначим также AK = a, AH = b, AS = h. По условию высота пирамиды, проведенная из вершины A, падает в центр окружности, вписанной в треугольник SBC, поэтому прямоугольные треугольники AOK и AOH равны, откуда a = b. Из треугольника p ABC по теореме косинусов легко находим, что BC = 2 2 p 3, после чего по теореме Пифагора из треугольника p AHB (учитывая, что H середина BC) получим a = b = 2 + p 3. Но a является длиной высоты прямоугольного треугольника SAB, опущенной из вершины прямого угла, поэтому она равна произведению катетов этого треугольника, деленному на гипоте- 7

8 SA AB нузу. Таким образом, a = = p SB находим h = p 3 = 2(2 + p 3). 2h p h = p2 + p 3, откуда Дальнейшее несложно. Площадь основания пирамиды BAC равна 1 (легко находится как половина произведения двух сторон на синус угла между ними), высоту пирамиды h мы только что нашли. Ответ: 2 3 (2 + p 3). 35. Найдем сначала все величины, обозначенные на рисунке. Так как BM = 1, из желтого треугольника находим глубину конической «ямы»: x = 2 1. Зеленый треугольник, очевидно, равносторонний, поэтому H = BM = 1. Далее, h = 1 2 BC H = = = 1 2. Из желтого треугольника находим r = 3 p 2. Треугольник MKA правильный со стороной 2, а R длина его высоты, поэтому R = 2p 3 2 = p 3. Искомый объем равен 2(V 1 V 2 + V 3), где V 1 объем цилиндра с радиусом основания r и высотой H, V 2 объем конической «ямы» с радиусом основания r и высотой x, V 3 объем усеченного конуса с радиусами оснований R и r и высотой h. Используя найденные данные, находим: V 1 = 4 3, V 2 = 1 8, V 3 = 7 8. Ответ: 3. Практика * Докажите, что для того, чтобы в усеченный конус можно было вписать сферу, касающуюся оснований и каждой образующей конуса, необходимо и достаточно, чтобы длина высоты конуса была средним геометрическим между диаметрами верхнего и нижнего оснований конуса. 8

9 40. Три шара попарно касаются, а плоскость касается этих шаров в точках A, B и C. Найдите радиусы этих шаров, если стороны треугольника ABC равны a, b и c. Указания, решения, ответы 39. Понятно, что данная задача планиметрическая. Пусть сфера вписана в конус требуемым образом; введем обозначения как показано на рисунке. Из желтого треугольника по теореме Пифагора имеем: h 2 + (R r) 2 = (R + r) 2, откуда h 2 = 4Rr, то есть h = p (2R)(2r), что и требовалось доказать. Докажем теперь утверждение в обратную сторону: из данного соотношения и теоремы Пифагора следует, что длина боковой стороны трапеции равна R + r, то есть сумма длин оснований трапеции равна сумме длин ее боковых сторон и, следовательно, в трапецию можно вписать окружность. 9

60 2.2. Тесты 161. Если стороны основания правильной усеченной пирамиды 6 и 4, а двугранный угол при основании равен 0, то боковая поверхность правильной треугольной усеченной пирамиды равна 1) 10; 2)

Самостоятельная работа «Цилиндр») Прямоугольник со сторонами, равными 3а и 2а, вращается сначала вокруг одной стороны, затем вокруг другой. Вычислите отношение площадей полных поверхностей и площадей

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 16 1. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения, как π Найти угол между диагоналями осевого сечения. 2. На поверхности шара

И.М. Смирнова, В.А. Смирнов ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) ОБЪЕМЫ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР Москва 2008 1 ВВЕДЕНИЕ В настоящем пособии собраны задачи на нахождение объемов и площадей поверхностей

Пирамиды. 11.1.5. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, два других наклонены к основанию под углом 60. Найти полную поверхность

Тема 1. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости 78. Точки Р и Q середины соответственно рёбер А 1 В 1 и ВС куба АВСDA 1 B 1 C 1 D 1. Считая ребро куба равным а, найти расстояния до прямой

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 1 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна а. Найти объем цилиндра, если известно, что его осевое сечение является квадратом. 2. В прямоугольной

Задание 8 Стереометрия. Куб 1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. 2. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. 3. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь

Куб 1. Диагональ куба равна. Найдите его объем. 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? Прямоугольный параллелепипед 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,

Все прототипы задания В11 (2013) (25541) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). (25561) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16 1. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами a и b. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания углы и. Найти объём

В8 все задачи из банка Площади поверхности Параллелепипед 27143. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности

Вариант 17826051 1. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен Найдите сторону этого треугольника. 2. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен

1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все двугранные углы прямые). Прототипы заданий В10 2014 года 2 25561 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности 3 25581 Найдите площадь

1. Прототип задания B13 (27054) выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины. Все прототипы заданий В13

ЭКЗАМЕН ПО ГЕОМЕТРИИ КЛАСС ЧАСТЬ I Координаты и векторы Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (;3;5) параллельно векторам a = (; ;5) и b = (4;3;0) Составьте уравнение плоскости, проходящей

Три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

Задание 17 Углы и расстояния в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми. 1. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Найдите угол между прямыми DM и CL, где M середина ребра BC, L середина

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 1 1. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной a, длина бокового ребра равна b, одно из боковых ребер образует с прилежащими

Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

ПРОТОТИПЫ В9 (всего 167) 1 Найдите площадь поверхности 6 Найдите площадь поверхности 2 Найдите площадь поверхности 4 Найдите площадь поверхности 7 Найдите площадь поверхности 3 Найдите площадь поверхности

1. Прототип задания 12 (27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий 12

1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 9 2015 года 8 25681 Найдите площадь поверхности 2 25561 Найдите площадь поверхности 9 25701 Найдите площадь поверхности 3 25581

Контрольный экзамен в формате ЕГЭ по программе ЕГЭ 2017 г. по дисциплине "математика"в формате прототипов заданий. Ответ - строка в бланке для записи кратких ответов. ФИО: дата: Задание 6 1. В равнобедренном

1. Прототип задания B13 (27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий

1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 8 2016 года 2 25561 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности 3 25581 Найдите площадь поверхности 9 25701

1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 8 2016 года 2 25561 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности 3 25581 Найдите площадь поверхности 4 25601

Задания В11 245354 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра 245358 Длина окружности

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Тематическое планирование учебного материала по геометрии класс. урока пункта Тема. Количество часов. 3-4 5-6 7 8-9 0 39 40 4-43 44 45 46 5Многогранники Двугранный угол Трёхгранный и многогранный углы

Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Задание В13 ЕГЭ 2014 Задание Ответ 1 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 4 Прямоугольный параллелепипед

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

МОДУЛЬ 0 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.». Декартовы координаты и векторы в пространстве.. Многогранники. 3. Тела вращения. 4. Объемы многогранников 5. Объемы

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПЛАНИМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы

2012 Подготовка к ЕГЭ по математике 184 прототипа задач В11 Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2012 А.С. Крутицких и Н.С.

Справка В9 Многогранники Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,

Вариант I 1) Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции 7 5. Найдите боковую сторону. 2) Чему вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

1. Прототип задания B9 (245359) Все прототипы В5 2013 года Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,. 2. Прототип задания B9 (245360) Найдите расстояние

Теорема о трех синусах и другие креативные методы нахождения углов и расстояний в стереометрии (К решению задач С ЕГЭ по математике) В задачах группы С ЕГЭ по математике, присутствует стандартный набор

Тема: Тела вращения. Комбинация фигур. Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 14) Задание 8. 1. В цилиндрический сосуд налили 2000 см 3 воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь.

В.А. Смирнов 1. Распознавание фигур 1. Какой многогранник называется кубом? 2. Сколько у куба вершин, ребер, граней? 3. Изобразите куб на клетчатой бумаге. 4. Какой многогранник называется параллелепипедом?

Задание 8, 4. Стереометрия Основные определения Аксиомы стереометрии Теорема. Через любые три точки, не лежащих на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Теорема. Если две точки прямой

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Теорема Пифагора 1. Найдите диагональ квадрата со стороной a. a. В прямоугольном треугольнике с углом 60 гипотенуза равна. Найдите катеты.

КГА ПОУ «ПКЛТТ» МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» по дисциплине математика, курс 1 для студентов очной формы обучения Токарская М.С. 014 Г.ЛЕ С О З А В О Д С К Пояснительная записка Данное учебно-методическое

Стартовая контрольная работа Контрольная работа 1(на 20 мин) 1. Найдите координаты вектора АВ, если А (5; 1; 3), В (2; 2; 4). 2. Даны векторы b (3; 1; 2) и c 2b c (1; 4; 3). Найдите. 3. Изобразите систему

Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

Среднее (полное) общее образование М.И.Башмаков Математика 11 класс Сборник задач 3-е издание УДК 372.851(075.3) ББК 22.1я721 Б336 Башмаков М. И. Б336 Математика. 11 класс. Сборник задач: среднее (полное)

Прототипы заданий 132017 года 1 25541 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности многогранника (все многогранника, изображенного на рисунке (все 2 25561 Найдите площадь поверхности

1. Прототип задания B13 (27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 2. Прототип задания B13

Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

Тест по теме 69 «Комбинированные задачи» 1. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 32 128 0 2.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 0- КЛАССЫ Рабочая программа учебного курса «Геометрия», 0- классы составлена в соответствии федеральным компонентом государственного стандарта общего образования

1 I Аннотация 1 Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики Цель и задачи дисциплины Целью освоения дисциплины является:

А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ. 0 КЛАССЫ» Базовый уровень (,5 ч в неделю) Номера пункта Содержание материала Кол-во часов Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий). Аксиомы

08. Стереометрия Часть 1. ФИПИ (www.fipi.ru) + Другие источники (*) I) Параллелепипед 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=6, BC=5, AA1=4. Найдите объём многогранника, вершинами

Решение задач типа С2 при подготовке к ЕГЭ 1В прямоугольном параллелепипеде заданы длины ребер, Найдите объем пирамиды если M точка на ребре, причем Заметим, что Площадь прямоугольного треугольника, лежащего

Контрольные вопросы В вопросах 8 рассматриваются точки A (; ;), B(; 4; 0) и плоскость α, заданная уравнением x 4 y z 48 = 0. (). Найти угол между прямой AB и плоскостью α. (). Составить уравнение плоскости,

Тригонометрические уравнения С б) Укажите корни, принадлежащие отрезку. а) Решите уравнение б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку а) Решbте уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Комбинации тел 1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. 2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус

Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки A(1; 2; 3) до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки B(1; 1; 1) до начала

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 7 Задачи по стереометрии методические указания для абитуриентов физического факультета Ростов-на-Дону 00 Печатается по решению учебнофакультета РГУ методической комиссии

Все прототипы задания В9 (2013) (245359) Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,. (245360) Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда,

1. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке. Площадь треугольника равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка. 2. В правильной треугольной пирамиде медианы основания

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Теорема Пифагора Мы готовы вывести важнейшую теорему геометрии теорему Пифагора. С помощью теоремы Пифагора выполняются многие геометрические вычисления.

П/п Условие задачи Стереометрия В 10 1. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. Ответ:24 Решение 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Сборник заданий С Пирамида Ответ Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 08, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна. Найдите площадь сечения, проходящего через

Цилиндр называется описанным около призмы , если окружности оснований цилиндра описаны около оснований призмы, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра. Призма соответственно называется вписанной в цилиндр.

Теорема . Для того чтобы около призмы можно было описать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и около ее основания можно было описать окружность.

Цилиндр называется вписанным в призму , если окружности его оснований вписаны в основания призмы, а боковая поверхность касается боковых граней призмы.

Теорема . Для того чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и в ее основание можно было вписать окружность.

Конус называется описанным около пирамиды , если окружность основания конуса описана около основания пирамиды, а боковые ребра пирамиды являются образующими конуса. Пирамида соответственно называется вписанной в конус.

Теорема . Для того чтобы около пирамиды можно было описать конус, необходимо и достаточно, чтобы боковые ребра пирамиды были равны.

Конус называется вписанным в пирамиду , если окружность его основания вписана в основание пирамиды, а боковая поверхность касается боковых граней пирамиды. Пирамида соответственно называется описанной около конуса.

Теорема . Для того чтобы в пирамиду можно было вписать конус, необходимо и достаточно, чтобы в основание пирамиды можно было вписать окружность, а вершина пирамиды ортогонально проектировалась в центр этой окружности.

Пример 1. Шар вписан в прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим ему острым углом α . Найти объем призмы.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.48). Шар вписан в прямую призму, значит, высота призмы равна диаметру шара, а в треугольник основания вписана окружность, радиус которой равен радиусу шара. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC , у которого катет BC = a , противолежащий ему ÐBAC = α . Найдем катет AC и гипотенузу AB :

Площадь треугольника ABC равна:

Вычислим радиус окружности, вписанной в треугольник:

Вычисляем объем призмы по формуле

Получаем ответ:

Пример 2 . Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно a. Двугранный угол, образованный смежными боковыми гранями, равен β . Найти радиус шара, описанного около этой пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.49): ABCD – квадрат, SO – высота пирамиды, ÐAEC = b – двугранный угол.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды – треугольник SBD (SB = SD ). Радиусом шара, описанного около данной пирамиды, будет радиус окружности, описанной около треугольника SBD . Найдем его по формуле

Из подобия треугольников (ÐSOB = ÐSEO = 90°, ÐBSO = ÐOSE ) следует пропорциональность сторон: SB /SO = BO /OE .

Из треугольника найдем Так как АО = ВО , то Следовательно,

Вычисляем радиус окружности:

Получаем ответ:

Пример 3. В усеченный конус вписан шар радиуса R . Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом a . Найти объем усеченного конуса.

Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса (рис. 12.50).

Введем обозначения: R 1 – радиус нижнего основания конуса, R 2 – радиус верхнего основания. Высота данного усеченного конуса будет равна диаметру вписанного в него шара 2R . Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC : ÐB = 90°, ÐA = a , BC = 2R . Найдем катет BA и гипотенузу AC : BA = BC × ctga , Так как в усеченный конус вписан шар, то образующая этого конуса равна сумме радиусов его оснований. Получим равенство:

Заметим, что

Решив систему найдем

Вычисляем объем усеченного конуса по формуле (12.8).

Получаем ответ:

Пример 4 . В шар радиуса R вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол φ . Найти площадь полной поверхности конуса.

Решение. Для вычисления площади полной поверхности конуса необходимо знать радиус основания и образующую конуса. Рассмотрим осевое сечение данного конуса – равнобедренный треугольник SAB : SA = SB – образующие, SD – высота, DB – радиус основания конуса (рис. 12.51).

По условию задачи ÐSAD = φ , следовательно, Треугольник AOS – равнобедренный (AO = OS = R ), поэтому Внешний угол этого треугольника при вершине О равен: ÐAOD = ÐSAO + ÐASO = p – 2j .

Из треугольника AOD (ÐD = 90°, AO = R , ÐAOD = p – 2j ) выразим AD :

Из треугольника ASD (ÐD = 90°, AD = R sin 2j ) выразим SA :

Подставив найденные выражения в формулу для вычисления площади полной поверхности конуса, получим:

Таким образом,

Пример 5 . В прямой параллелепипед вписан цилиндр, объем которого в m раз меньше объема параллелепипеда. Найти двугранные углы при боковых ребрах параллелепипеда.

Решение. Двугранными углами при боковых ребрах данного параллелепипеда являются углы параллелограмма, лежащего в его основании. В параллелепипед вписан цилиндр, значит, в параллелограмм основания вписана окружность. Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противолежащих сторон четырехугольника равны. Таким образом, основанием параллелепипеда является ромб. Сделаем рисунок (рис. 12.52).

Обозначим искомый угол a . Из треугольника ABC (ÐC = 90°, ÐA = a ) найдем сторону ромба AB и его высоту BC :

Так как высоты цилиндра и параллелепипеда равны, то площадь основания цилиндра будет в m раз меньше площади основания параллелепипеда. Запишем равенство: и выразим из него далее

Двугранные углы при боковых ребрах параллелепипеда будут равны:

И

Задания

I уровень

1.1. В правильную четырехугольную пирамиду с объемом вписан конус. Найдите его объем.

1.2. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом a , вписана пирамида. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Найдите объем пирамиды, если

1.3. Около цилиндра описана правильная четырехугольная призма, периметр основания которой равен 12 см, а площадь боковой поверхности равна 48 см 2 . Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

1.4. В равносторонний цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна вписана правильная шестиугольная призма. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

1.5. Усеченный конус описан около правильной треугольной усеченной пирамиды. Радиус верхнего основания в 2 раза меньше радиуса нижнего основания конуса, высота равна 4 см, а образующая – 5 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

1.6. В куб вписан шар и около куба описан шар. Найдите отношение объемов этих шаров.

1.7. В сферу вписан цилиндр. Площадь основания цилиндра равна 16p см 2 , тангенс угла наклона диагонали его осевого сечения к плоскости основания равен 3. Найдите площадь сферы.

1.8. В конус, площадь боковой поверхности которого в 2 раза больше площади основания, вписан шар. Найдите радиус шара, если образующая конуса равна 8 см.

1.9. В цилиндрическую мензурку, диаметр которой 2,5 см, заполненную водой до некоторого уровня, опускают четыре равных металлических шарика диаметром 1 см. Определите, на сколько изменится уровень воды в мензурке.

1.10. Основания шарового слоя и цилиндра совпадают. Объем тела, заключенного между их боковыми поверхностями, равен 36p см 3 . Найдите высоту шарового слоя.

II уровень

2.1. Равносторонний треугольник, сторона которого равна а , вращается вокруг внешней оси, параллельной его высоте и удаленной от нее на Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

2.2. Усеченный конус вписан в четырехугольную усеченную пирамиду, основание которой – ромб со стороной а и углом a . Площадь боковой поверхности пирамиды равна S , боковые грани наклонены к основанию пирамиды под углом b . Найдите объем усеченного конуса.

2.3. В правильной треугольной призме боковое ребро равно стороне основания. Около призмы описан шар, а около шара описан конус. Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол a . Найдите объем призмы.

2.4. В пирамиде, все боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания, через центр вписанного шара проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Отношение площади сечения пирамиды этой плоскостью к площади основания равно k . Найдите угол между боковой гранью и основанием пирамиды.

2.5. В шар радиуса R вписаны два конуса с общим основанием. Вершины конусов совпадают с противоположными концами диаметра шара. Шаровой сегмент, вмещающий меньший конус, имеет в осевом сечении дугу a . Найдите расстояние между центрами шаров, вписанных в эти конусы.

2.6. Шар касается всех боковых ребер правильной четырехугольной призмы и ее оснований. Найдите отношение площади поверхности шара, лежащей вне призмы, к площади полной поверхности призмы.

2.7. В правильную четырехугольную пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что одна из его образующих расположена на диагонали основания пирамиды, а окружность основания касается двух смежных боковых граней пирамиды. Найдите радиус основания цилиндра, если боковое ребро пирамиды равно b , а угол его наклона к плоскости основания равен a .

2.8. Ребро тетраэдра равно 8 см. Цилиндрическая поверхность проходит через одно из его ребер и через все его вершины. Найдите радиус основания цилиндра.

2.9. Ребра треугольной пирамиды, выходящие из вершины S , попарно перпендикулярны и равны a , b и c . Найдите объем куба, вписанного в пирамиду так, что одна из его вершин совпадает с вершиной S пирамиды.

2.10. В усеченный конус вписан шар, объем которого составляет объема конуса. Найдите угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса.

III уровень

3.1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и образует с плоскостью основания угол α . В пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что его нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите высоту цилиндра.

3.2. Сфера с центром в вершине конуса касается его основания и делит поверхность конуса на две части, имеющие равные площади. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

3.3. В куб, ребро которого равно a , вписан конус с углом между образующими в осевом сечении, равным α . Найдите длину образующей и радиус основания конуса, если его высота лежит на диагонали куба.

3.4. Шар касается трех граней куба, содержащих одну вершину, и проходит через вершину куба, противолежащую первой. Найдите радиус шара, если ребро куба равно a .

3.5. Цилиндр завершен сверху полушаром. Объем тела равен 45π . При каком радиусе полушара полная поверхность тела будет наименьшей?

3.6. В конус с радиусом основания R и высотой H вписан цилиндр. Найдите линейные размеры цилиндра, при которых его объем будет наибольшим.

3.7. Найдите наибольший объем правильной шестиугольной пирамиды вписанной в шар, радиус которого равен R .

3.8. В правильную четырехугольную пирамиду вписан цилиндр так, что окружность его верхнего основания касается всех боковых граней пирамиды, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Какую часть высоты пирамиды должна составлять высота цилиндра, чтобы объем цилиндра был наибольшим?

«Многогранники в геометрии» - Первый вел от фигур высшего порядка к фигурам низшего. Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников (граней). У прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники. В ХI книге “Начал” изложены среди других и теоремы следующего содержания. Параллелепипеды с одинаковыми высотами и равновеликими основаниями равновелики.

«Построение многогранников» - У додекаэдра: 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Платон родился в Афинах. Существует пять типов правильных многогранников. Построение додекаэдра, описанного около куба. Построение с помощью куба. Элементы симметрии правильных многогранников. Построение икосаэдра, вписанного в куб. Построение правильного тетраэдра.

«Тела вращения» - Тела вращения. Вращением какого многоугольника и около какой оси можно получить данное геометрическое тело? Вычислите объем геометрического тела, полученного при вращении равнобедренной трапеции со сторонами основания 6 см, 8 см и высотой 4 см, около меньшего основания? Какое геометрическое тело получится при вращении данного треугольника около указанной оси?

«Полуправильные многогранники» - Тетраэдр. Четвертая группа Архимедовых тел: Вы дали неверный ответ. Усеченный октаэдр. Усеченный тетраэдр. Правильные. Вспомним. Обучающая программа. Пятая группа Архимедовых тел состоит из одного многогранника: Ромбоикосододэкаэдр. Управляющие кнопки. Полуправильные. Курносый куб. Многогранники. Псевдоромбокубооктаэдр.

«Правильные многогранники» - Мы делаем четкое различие между понятиями «автоморфизм» и «симметрия». Борьба со скрытыми симметриями - путь претворения в жизнь парадигмы Кокстера. Хaролд Скотт МакДoналд («Доналд») Кокстер (1907-2003). Малый звездчатый додекаэдр. Все автоморфизмы становятся скрытыми симметриями геометрической модели БТГ.

«Правильные многогранники» - Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Сумма плоских углов додекаэдра при каждой вершине равна 324?. 9 Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли. Сумма плоских углов куба при каждой вершине равна 270?. Правильные многогранники и природа.

Многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон плоскостями. Элементы многогранника: грани, рёбра, вершины. Совокупность всех рёбер многогранника называется его сеткой. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; при этом его грани являются выпуклыми многоугольниками. Для выпуклых многогранников Леонардом Эйлером предложена формула:

Г+В-Р=2, где Г-число граней; В – число вершин; Р – число рёбер.

Среди множества выпуклых многогранников наибольший интерес представляют правильные многогранники (тела Платона), пирамиды и призмы. Многогранник называется правильным, если все его грани являются равными правильными многоугольниками. К ним относятся (рис. 26): а - тетраэдр; б - гексаэдр (куб); в - октаэдр; г - додекаэдр; д - икосаэдр.

а) б) в) г) д)

Рис. 26

Параметры правильных многогранников (рис. 26)

	Правильный многогранник (тело Платона)	Число	Угол между смежными рёбрами, град.
	граней	вершин	рёбер	сторон у каждой грани	Число рёбер у каждой вершины
Тетраэдр	4	4	6	3	60	3
Гексаэдр (куб)	6	8	12	4	90	3
Октаэдр	8	6	12	3	60	4
Додекаэдр	12	20	30	5	72	3
Икосаэдр	20	12	30	3	60	5

Из таблицы видно, что число граней и вершин у куба и октаэдра соответственно составляет 6, 8 и 8, 6. Это позволяет вписывать (описывать) их в друг друга до бесконечности (рис. 27).

Большую группу составляют, так называемые, полуправильные многогранники (тела Архимеда). Это выпуклые многогранники, у которых грани являются правильными многоугольниками разных типов. Тела Архимеда это усечённые тела Платона. Внешний вид некоторых из них представлены на рис. 28, а ниже их параметры в таблице.

а) б) в) г)

Рис. 27 Рис. 28

Параметры полуправильных многогранников (рис. 28)

Многогранник может занимать общее положение в пространстве, или же его элементы могут быть параллельными и (или) перпендикулярными к плоскостям проекций. Исходными данными для построения многогранника в первом случае служат координаты вершин, во втором ─ его размеры. Построение проекций многогранника сводится к построению проекций его сетки. Наружный очерк проекции многогранника называют контуром тела.

Призма

─ выпуклый многогранник, боковые рёбра которого параллельны между собой. Нижняя и верхняя грани ─ равные многоугольники, определяющие количество боковых рёбер, называются основаниями призмы. Призма называется правильной, если в основании правильный многоугольник, и прямой, если боковые рёбра перпендикулярны к основанию. В противном случае призма наклонная. Боковые грани прямой призмы прямоугольники, а наклонной ─ параллелограммы. Боковая поверхность прямой призмы относится к проецирующим объектам и вырождается в многоугольник на перпендикулярную боковым рёбрам плоскость проекций. Проекции точек и линий, расположенных на боковой поверхности призмы, совпадают с её вырожденной проекцией.

Типовая задача 3 (рис. 29): Построить комплексный чертёж прямой призмы с размерами: l- сторона основания (длина призмы); b- высота равнобедренного треугольника основания (ширина призмы); h- высота призмы. Определить положение рёбер и граней относительно плоскостей проекций. На гранях ABB’A’ и ACC’A’ задать фронтальные проекции соответственно точки M и прямой n и построить их недостающие проекции.

1. Мысленно располагаем многогранник в системе плоскостей проекций так, чтобы его основание D ABC║P 1 ;а ребро АС║P 3 (рис. 29, а).

2. Мысленно вводим базовые плоскости: S║P 1 и совпадающую с основанием (D ABC); D║P 2 и совпадающую с задней гранью АСС’А’. Строим базовые линии S 2 , S 3 , D 1 , D 3 (рис. 29, б).

3. Строим горизонтальную, затем фронтальную и, наконец, профильную проекции призмы, используя базовые линии D 1 , D 3 (рис. 29, в).

Рёбра: АВ, ВС ─ горизонтали; АС ─ профильно-проецирующая; AS, SC, SB ─ горизонтально-проецирующие. Грани: ABC A"B’C’ ─ горизонтальные уровня; ABВ’А’, BCС’В’ ─ горизонтально-проецирующие; ACC"А’ ─фронтальная уровня..

5. Построение горизонтальных проекций точек, лежащих на боковых гранях призмы, выполняем с использованием собирательного свойства проецирующего объекта: все проекции точек и линий, расположенных на боковой поверхности призмы, совпадают с её вырожденной (горизонтальной) проекцией. Профильные проекции точек (например М) строим откладывая по горизонтальным линиям связи их глубины (Y M) от D 3 , которые измеряются на горизонтальной проекции от D 1 (см. также с. 8, 17). На прямой n задаём точки 1, 2 и строим эти точки на поверхности призмы, аналогично точке М. Определяем видимость методом конкурирующих точек. Выполнение задания "Призма с вырезом" см. в .

а) б) в)

Рис. 29

Пирамида

многогранник, одной из граней которого является многоугольник (основание пирамиды), определяющий число боковых граней, а остальные грани (боковые) ─ треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды. Пирамида правильная, если в основании правильный многоугольник и прямая, если вершина проецируется в центр основания. Боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой. Если вершина пирамиды проецируется вне её основания, - то пирамида наклонная.

Типовая задача 4 (рис. 30-32): Построить комплексный чертёж прямой правильной пирамиды с размерами: l- сторона основания (длина); b- высота треугольника основания (ширина); h- высота пирамиды. Определить положение рёбер и граней относительно плоскостей проекций. Задать фронтальную и горизонтальные проекции точек M и N принадлежащих соответственно граням ASB и ASC и построить их недостающие проекции.

1. Мысленно располагаем многогранник в системе плоскостей проекций так, чтобы его основание D ABC║P 1 ;а ребро АС║P 3 (рис. 31).

2. Мысленно вводим базовые плоскости: S║P 1 и совпадающую с основанием (D ABC);

D║P 2 и совпадающую с ребром АС. Строим базовые линии S 2 , S 3 , D 1 , D 3 (рис. 32) .

3. Строим горизонтальную, затем фронтальную и, наконец,

профильную проекции пирамиды (см. рис. 32).

4. Анализируем положение рёбер и граней на комплексном чертеже пирамиды, учитывая исходные данные и классификаторы положения прямых и плоскостей (с. 11,14).

Рёбра: АВ, ВС ─ горизонтали; АС ─ профильно-проецирующая; AS, SC ─ общего положения; SB ─ профильная уровня. Грани: ASB, BSC ─ общего положения; ABC ─горизонтальная уровня; ASC ─ профильно-проецирующая.

5. Построение недостающих проекций точек, лежащих на гранях пирамиды, выполняем с использованием признака «принадлежности точек плоскости». В качестве вспомогательных прямых используем горизонтали или произвольные прямые. Профильные проекции точек строим откладывая по горизонтальным линиям связи глубины точек (в направлении оси Y), которые измеряются на горизонтальной проекции (см с. 8, 17).

Рис. 30 Рис. 31 Рис. 32