लॉगरिदमिक असमानता के प्रकार। मनोव का काम "परीक्षा में लघुगणक असमानताएं।" लघुगणक असमानताओं को हल करना

उद्देश्य सबक:

व्यावहारिक:

• 1 स्तर - सबसे सरल लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए, लॉगरिदम की परिभाषा, लॉगरिदम की गुणों को लागू करने के लिए;
• 2 स्तर - एक स्वतंत्र समाधान विधि चुनने, लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए;
• 3 स्तर - गैर-मानक स्थितियों में ज्ञान और कौशल लागू करने में सक्षम होने के लिए।

विकसित होना: स्मृति, ध्यान, तार्किक सोच, तुलना कौशल विकसित करना, सामान्यीकरण और निष्कर्ष निकालने में सक्षम होना

शैक्षिक:सटीकता को शिक्षित करना, कार्य करने के लिए जिम्मेदारी, पारस्परिक सहायता।

शिक्षण विधियों: मौखिक , दृश्य , व्यावहारिक , आंशिक खोज , स्वयं सरकार , नियंत्रण।

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि के संगठन के रूप: ललाट , व्यक्ति , जोड़े में काम।

उपकरण: समाधान के लिए परीक्षण कार्यों, संदर्भ सार, स्वच्छ शीट का सेट।

पाठ का प्रकार: एक नई सामग्री का अध्ययन।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण। पाठ के विषय और उद्देश्यों की घोषणा की गई है, सबक योजना: प्रत्येक छात्र को अनुमानित शीट जारी की जाती है, जो छात्र पाठ के दौरान भरता है; छात्रों की प्रत्येक जोड़ी के लिए - कार्यों के साथ मुद्रित सामग्री, आपको जोड़े में कार्य करने की आवश्यकता है; समाधान के लिए स्वच्छ शीट; समर्थन पत्रक: लघुगणक की परिभाषा; ग्राफ लॉगरिदमिक फ़ंक्शन, इसकी गुण; लॉगरिदम की गुण; लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम।

आत्मसम्मान के बाद सभी निर्णय शिक्षक को सौंप दिए जाते हैं।

मूल्यांकन पत्र छात्र

2. ज्ञान का वास्तविककरण।

शिक्षक के निर्देश। लॉगरिदम की परिभाषा को याद करें, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का एक ग्राफ और इसकी गुण। ऐसा करने के लिए, पाठ्यपुस्तक "बीजगणित और 10-11 के विश्लेषण की शुरुआत" के s.88-90, 98-101 पर पाठ पढ़ें "10-11 के विश्लेषण की शुरुआत" को संपादित किया गया।

विद्यार्थियों को उन पत्रों को वितरित किया जाता है जिन पर वे रिकॉर्ड किए जाते हैं: लॉगरिदम की परिभाषा; लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के चित्रित ग्राफ, इसकी गुण; लॉगरिदम की गुण; लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम, लॉगरिदमिक असमानता के समाधान का एक उदाहरण जो एक वर्ग में उबलता है।

3. एक नई सामग्री का अध्ययन।

लॉगरिदमिक असमानताओं का समाधान लॉगरिदमिक फ़ंक्शन एकरसनी पर आधारित है।

लॉगरिदमिक असमानता एल्गोरिदम:

ए) असमानता की परिभाषा के क्षेत्र को ढूंढें (ओटोगरिदमिक अभिव्यक्ति शून्य से अधिक है)।
बी) एक ही आधार पर लॉगरिदम के रूप में असमानता के बाएं और दाएं हिस्से को जमा करें (यदि संभव हो)।
सी) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या लॉगरिदमिक फ़ंक्शन बढ़ रहा है या घट रहा है: यदि टी\u003e 1, फिर बढ़ रहा है; अगर 0 1, फिर घट रहा है।
डी) अधिक सरल असमानता (भयभीत अभिव्यक्तियों) पर जाएं, यह देखते हुए कि यदि कार्य घटता है और बदल जाता है तो असमानता चिह्न सहेजा जाएगा।

प्रशिक्षण तत्व संख्या 1।

उद्देश्य: सबसे सरल लघुगणितीय असमानताओं के समाधान को समेकित करें

छात्रों की संज्ञानात्मक गतिविधि के संगठन का रूप: व्यक्तिगत काम।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र काम के लिए कार्य। प्रत्येक असमानता के लिए उत्तर के लिए कई विकल्प हैं, आपको सही चुनने और कुंजी द्वारा जांचने की आवश्यकता है।

कुंजी: 13321, अंक की अधिकतम संख्या - 6 बी।

प्रशिक्षण तत्व संख्या 2।

उद्देश्य: लॉगरिदमिक असमानताओं के समाधान को समेकित करें, लॉगरिदम के गुणों को लागू करें।

शिक्षक के निर्देश। लॉगरिदम के मूल गुणों को याद करें। ऐसा करने के लिए, सी .92, 103-104 पर पाठ्यपुस्तक के पाठ को पढ़ें।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र काम के लिए कार्य।

कुंजी: 2113, अंक की अधिकतम संख्या - 8 बी।

प्रशिक्षण तत्व संख्या 3।

उद्देश्य: वर्ग को जानकारी की विधि से लॉगरिदमिक असमानताओं के समाधान का अध्ययन करने के लिए।

शिक्षक के निर्देश: वर्ग के लिए असमानता की जानकारी की विधि यह है कि इस प्रजाति में असमानता को बदलने के लिए आवश्यक है ताकि कुछ लॉगरिदमिक फ़ंक्शन एक नए चर को नामित करना है, इस चर के संबंध में एक वर्ग असमानता प्राप्त करने के बाद।

अंतराल विधि लागू करें।

आपने सामग्री को महारत हासिल करने का पहला स्तर पारित किया है। अब आपको अपने सभी ज्ञान और अवसरों का उपयोग करके लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने की विधि को स्वतंत्र रूप से चुनना होगा।

प्रशिक्षण तत्व संख्या 4।

उद्देश्य: स्वतंत्र रूप से तर्कसंगत समाधान का चयन करके लॉगरिदमिक असमानताओं के समाधान को समेकित करें।

10 मिनट के लिए स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

प्रशिक्षण तत्व संख्या 5।

शिक्षक के निर्देश। बहुत बढ़िया! आपने जटिलता के दूसरे स्तर के समीकरणों के समाधान को महारत हासिल की है। आपके काम का उद्देश्य अधिक जटिल और गैर-मानक स्थितियों में अपने ज्ञान और कौशल को लागू करना है।

स्वयं समाधान के लिए कार्य:

शिक्षक के निर्देश। अद्भुत अगर आपने सभी कार्यों का मुकाबला किया। बहुत बढ़िया!

पूरे पाठ के लिए मूल्यांकन सभी शैक्षिक तत्वों के लिए स्कोर किए गए बिंदुओं की संख्या पर निर्भर करता है:

• यदि n ≥ 20, तो आपको रेटिंग "5" मिलती है,
• 16 ≤ एन ≤ 1 9 - रेटिंग "4",
• 8 ≤ एन ≤ 15 - रेटिंग "3",
• एन के साथ< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

शिक्षक को सौंपने के लिए अनुमानित लोमड़ी।

5. होमवर्क: यदि आपने 15 से अधिक बी - त्रुटियों पर काम नहीं किया है (शिक्षक से समाधान किए जा सकते हैं) यदि आपने 15 से अधिक बी - "लॉगरिदमिक असमानता" विषय पर रचनात्मक कार्य किया है।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करना, हम लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की संपत्ति का उपयोग करते हैं। हम लॉगरिदम और मुख्य लॉगरिदमिक सूत्रों की परिभाषा का भी उपयोग करते हैं।

आइए दोहराएं कि लॉगैरिदम क्या हैं:

लोगारित्म जमीन के आधार पर एक सकारात्मक संख्या उस डिग्री का संकेतक है जिसमें आपको प्राप्त करने की आवश्यकता है।

जिसमें

मूल लघुगणितीय पहचान:

लॉगरिदम के लिए मूल सूत्र:

(काम का लघुगणक लॉगरिदम के योग के बराबर है)

(निजी लघुगणक लॉगरिदम में अंतर के बराबर है)

(लघुगणक डिग्री के लिए सूत्र)

एक नए आधार पर संक्रमण का सूत्र:

लॉगरिदमिक असमानताओं के एल्गोरिदम समाधान

यह कहा जा सकता है कि एक विशिष्ट एल्गोरिदम के अनुसार लॉगरिदमिक असमानताओं को हल किया जाता है। हमें अनुमत मानों (ओटीजेड) असमानताओं के क्षेत्र को रिकॉर्ड करने की आवश्यकता है। यहां साइन इन करने के लिए असमानता को ध्यान में रखना कोई भी हो सकता है: यह महत्वपूर्ण है कि लॉगरिदम एक ही आधार पर बाईं ओर और दाईं ओर थे।

और फिर "कास्ट" लॉगरिदम! उसी समय, यदि डिग्री की नींव, असमानता का संकेत वही रहता है। यदि आधार ऐसा है कि असमानता का संकेत विपरीत में बदल जाता है।

बेशक, हम सिर्फ "बाहर फेंकना" लॉगरिदम नहीं हैं। हम लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की संपत्ति का उपयोग करते हैं। यदि लॉगरिदम का आधार इकाई से अधिक है, तो लॉगरिदमिक फ़ंक्शन एकान्त रूप से बढ़ता है, और फिर एक्स का अधिक मूल्य अभिव्यक्ति के अधिक मूल्य से मेल खाता है।

यदि आधार शून्य और कम इकाई से अधिक है, तो लॉगरिदमिक कार्य एकीकरण से घटता है। तर्क का अधिक मूल्य कम के अनुरूप होगा

महत्वपूर्ण नोट: समकक्ष संक्रमण की श्रृंखला के रूप में समाधान रिकॉर्ड करना सबसे अच्छा है।

चलो अभ्यास करते हैं। हमेशा के रूप में, चलो सबसे सरल असमानताओं के साथ शुरू करते हैं।

1. लॉग 3 एक्स\u003e लॉग 3 5 की असमानता पर विचार करें।
चूंकि लॉगरिदम केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित किए जाते हैं, इसलिए यह आवश्यक है कि एक्स सकारात्मक हो। हालत x\u003e 0 को इस असमानता के अनुमेय मूल्यों (ओडीबी) का एक क्षेत्र कहा जाता है। केवल इस तरह की एक्स असमानता के साथ समझ में आता है।

खैर, यह फॉर्मूलेशन प्रसिद्ध रूप से लगता है और आसानी से याद किया जाता है। लेकिन हम अभी भी ऐसा क्यों करते हैं?

हम लोग हैं, हमारे पास बुद्धि है। हमारे दिमाग को इस तरह से व्यवस्थित किया जाता है कि सब कुछ तार्किक, समझने योग्य है, एक आंतरिक संरचना को याद किया जाता है और यादृच्छिक और गैर-संबंधी तथ्यों की तुलना में अधिक बेहतर होता है। यही कारण है कि यांत्रिक रूप से प्रशिक्षित कुत्ते-गणितज्ञ के रूप में नियमों को चलाने के लिए यांत्रिक रूप से कार्य करने के लिए महत्वपूर्ण नहीं है।

तो हम अभी भी क्यों "लॉगरिदम बाहर फेंक रहे हैं"?

उत्तर सरल है: यदि आधार एक से अधिक है (जैसा कि हमारे मामले में), तो लॉगरिदमिक फ़ंक्शन मोनोटोनिक रूप से बढ़ता है, इसका मतलब है कि एक्स का अधिक मूल्य वाई के अधिक मूल्य से मेल खाता है और लॉग 3 एक्स 1 की असमानता से मेल खाता है। 3 x 2 लॉग करें, यह x 1\u003e x 2 का पालन करता है।


कृपया ध्यान दें, हमने बीजगणितीय असमानता में स्विच किया, और असमानता का संकेत संरक्षित है।

तो, x\u003e 5।

निम्नलिखित लॉगरिदमिक असमानता भी सरल है।

2. लॉग 5 (15 + 3 एक्स)\u003e लॉग 5 2 एक्स

आइए अनुमत मानों के क्षेत्र से शुरू करें। LOSARITHMS को केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है, इसलिए

इस प्रणाली को हल करना, हमें मिलता है: x\u003e 0।

अब लॉगरिदमिक असमानता से, हम बीजगणितीय - "फेंक" लॉगरिदम पर जाते हैं। चूंकि लॉगरिदम का आधार इकाई से अधिक है, इसलिए असमानता का संकेत संरक्षित है।

15 + 3 एक्स\u003e 2 एक्स।

हमें मिलता है: x\u003e -15।

उत्तर: x\u003e 0।

और क्या होगा यदि लघुगणक का आधार एक से कम है? यह अनुमान लगाना आसान है कि इस मामले में, बीजगणितीय असमानता में जाने पर, असमानता संकेत बदल जाएगा।

आइए एक उदाहरण दें।

हम ओटीजेड लिखते हैं। अभिव्यक्ति जहां से लॉगरिदम लिया जाता है, सकारात्मक रूप से होना चाहिए, वह है

इस प्रणाली को हल करना, हमें मिलता है: x\u003e 4.5।

चूंकि आधार के साथ लॉगरिदमिक फ़ंक्शन मोनोटोनिक रूप से घटता है। इसका मतलब है कि तर्क का छोटा मूल्य अधिक मूल्य के लिए ज़िम्मेदार है:


और अगर, तो
2x - 9 ≤ एक्स।

हमें वह x ≤ 9 मिलता है।

उस एक्स\u003e 4.5 को ध्यान में रखते हुए, हम जवाब लिखते हैं:

निम्नलिखित कार्य में, संकेतक असमानता वर्ग में कम हो गई है। तो विषय "वर्ग असमानताओं" को दोहराने की सिफारिश की जाती है।

अब अधिक जटिल असमानताएं:

4. असमानता तय करें

5. असमानता तय करें

तो अगर। हम खुशनसीब हैं! हम जानते हैं कि लॉगरिदम का आधार ओटीजेड में शामिल एक्स के सभी मानों के लिए इकाई से अधिक है।

हम प्रतिस्थापित करेंगे

कृपया ध्यान दें कि पहले हम पूरी तरह से नए चर टी के सापेक्ष असमानता को हल करते हैं। और उसके बाद ही हम परिवर्तनीय एक्स पर वापस आते हैं। इसे याद रखें और परीक्षा में बट न करें!

हमें नियम याद है: यदि समीकरण या असमानता में जड़ें या लॉगरिदम मौजूद हैं - समाधान अनुमत मानों के क्षेत्र के साथ शुरू किया जाना चाहिए। चूंकि लॉगरिदम का आधार सकारात्मक होना चाहिए और एक के बराबर नहीं होना चाहिए, हम शर्तों की व्यवस्था प्राप्त करते हैं:

इस प्रणाली को सरल बनाएं:

यह अनुमत असमानता मूल्यों का क्षेत्र है।

हम देखते हैं कि चर लॉगरिदम के आधार पर निहित है। आइए निरंतर आधार पर जाएं। याद करें कि

इस मामले में, आधार 4 पर जाना सुविधाजनक है।

हम प्रतिस्थापित करेंगे

हम असमानता को सरल बनाते हैं और अंतराल से इसे हल करते हैं:

चलो चर पर लौटें एक्स।:

हमने एक शर्त जोड़ दी है एक्स। \u003e 0 (ओटीजेड से)।

7. अंतराल विधि का उपयोग करके निम्नलिखित कार्य भी हल किया जाता है।

हमेशा के रूप में, लॉगरिदमिक असमानता का समाधान अनुमत मानों के क्षेत्र से शुरू हो रहा है। इस मामले में

यह स्थिति निष्पादित की जानी चाहिए, और हम इसे वापस कर देंगे। असमानता के दौरान ही विचार करें। हम बाईं ओर 3 के आधार पर एक लॉगरिदम के रूप में लिखते हैं:

दाईं ओर हाथ को 3 के आधार पर एक लॉगरिदम के रूप में भी लिखा जा सकता है, और फिर बीजगणितीय असमानता में स्थानांतरित हो सकता है:

हम देखते हैं कि स्थिति (यानी, ओटीजेड) अब स्वचालित रूप से प्रदर्शन की गई है। खैर, यह असमानता के निर्णय को सरल बनाता है।

हम अंतराल की असमानता को हल करते हैं:

उत्तर:

हो गई? क्या, जटिलता के स्तर में वृद्धि:

8. असमानता तय करें:

असमानता प्रणाली के बराबर है:

9. असमानता तय करें:

अभिव्यक्ति 5 - एक्स। 2 समस्या की स्थिति में जुनूनी रूप से दोहराया जाता है। इसका मतलब है कि आप एक प्रतिस्थापन कर सकते हैं:

चूंकि संकेतक समारोह केवल सकारात्मक मान लेता है, टी \u003e 0.

असमानता फॉर्म ले जाएगी:

पहले से बेहतर। असमानता के अनुमेय मूल्यों का क्षेत्र खोजें। हमने पहले ही कहा है टी \u003e 0. इसके अलावा, टी - 3) (5 9 · टी − 1) > 0

यदि यह स्थिति पूरी हो जाती है, तो निजी सकारात्मक होगा।

और असमानता के दाईं ओर लॉगरिदम के तहत अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए, वह है (625 टी − 2) 2 .

इसका मतलब है कि 625 टी - 2 ≠ 0, वह है

धीरे से otz लिखें

और परिणामस्वरूप सिस्टम को हल करें, अंतराल विधि को लागू करना।

इसलिए,

खैर, आधा रास्ता किया गया - ओटीजेड के साथ निपटा। हम असमानता को हल करते हैं। बाईं तरफ लॉगरिदम का योग कार्य के एकांतरिक शब्द के रूप में प्रतिनिधित्व करेगा।

लघुगणक असमानता

पिछले पाठों में, हम लॉगरिदमिक समीकरणों से मुलाकात की और अब हम जानते हैं कि यह क्या है और उन्हें कैसे हल किया जाए। और आज का सबक लॉगरिदमिक असमानताओं के अध्ययन के लिए समर्पित होगा। ये असमानताएं क्या हैं और लॉगरिदमिक समीकरण और असमानता के समाधान के बीच क्या अंतर है?

लॉगरिदमिक असमानता असमानताएं हैं जिनके पास लॉगरिदम साइन या इसकी नींव में एक चर है।

या, कोई भी कह सकता है कि लॉगरिदमिक असमानता ऐसी असमानता है जिसमें इसका अज्ञात मूल्य, लॉगरिदमिक समीकरण के रूप में, लॉगरिदम के संकेत के तहत खड़ा होगा।

सबसे सरल लॉगरिदमिक असमानताओं में यह प्रकार है:

जहां एफ (एक्स) और जी (एक्स) कुछ भाव हैं जो एक्स पर निर्भर करते हैं।

आइए इस उदाहरण को देखें: एफ (एक्स) \u003d 1 + 2 एक्स + एक्स 2, जी (एक्स) \u003d 3 एक्स -1।

लघुगणक असमानताओं को हल करना

लॉगरिदमिक असमानताओं के समाधान से पहले, यह ध्यान देने योग्य है कि, निर्णय लेने पर, उनके पास संकेतक असमानताओं के साथ समानताएं हैं, अर्थात्:

सबसे पहले, लॉगरिदम से अवसरों के तहत अभिव्यक्तियों तक बढ़ते समय, हमें यूनिट के साथ लॉगरिदम के आधार की तुलना करने की भी आवश्यकता होती है;

दूसरा, वैरिएबल्स के प्रतिस्थापन का उपयोग करके लॉगरिदमिक असमानता को हल करना, हमें प्रतिस्थापन के संबंध में असमानताओं को हल करने की आवश्यकता है जब तक कि हमें सबसे सरल असमानता न मिल जाए।

लेकिन हमने लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के समान मुद्दों को देखा। और अब हम एक महत्वपूर्ण अंतर पर ध्यान देंगे। हम अच्छी तरह से जानते हैं कि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन में परिभाषा का सीमित क्षेत्र है, इसलिए लॉगरिदम को लॉगरिदम साइन के तहत अभिव्यक्तियों में स्थानांतरित करने के लिए, आपको अनुमत मानों (ओटीजेड) के क्षेत्र को ध्यान में रखना होगा।

यही है, यह ध्यान में रखना चाहिए कि लॉगरिदमिक समीकरण को हल करना, हम पहले समीकरण की जड़ों को ढूंढ सकते हैं, और फिर इस समाधान की जांच कर सकते हैं। लेकिन लॉगरिदमिक असमानता को हल करना संभव नहीं होगा, क्योंकि लॉगरिदम को लॉगरिदम साइन के तहत अभिव्यक्तियों में स्थानांतरित करने के लिए, अजीब असमानता को रिकॉर्ड करना आवश्यक होगा।

इसके अलावा, यह याद रखने योग्य है कि असमानता के सिद्धांत में वैध संख्याएं होती हैं जो सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएं होती हैं, साथ ही संख्या 0 होती हैं।

उदाहरण के लिए, जब संख्या "ए" सकारात्मक होती है, तो आपको इस तरह की प्रविष्टि का उपयोग करना होगा: a\u003e 0। इस मामले में, इन संख्याओं की राशि और उत्पाद दोनों सकारात्मक भी होंगे।

असमानता के समाधान का मूल सिद्धांत एक सरल असमानता के लिए इसका प्रतिस्थापन है, लेकिन मुख्य बात यह है कि यह इसके बराबर है। इसके अलावा, हमें भी असमानता मिली और फिर इसे उस व्यक्ति को बदल दिया जिसमें एक सरल रूप हो, आदि

अपने सभी समाधानों को खोजने के लिए एक चर की आवश्यकता के साथ असमानताओं को हल करना। यदि दो असमानताओं में एक परिवर्तनीय एक्स होता है, तो ऐसी असमानताएं समतुल्य होती हैं, बशर्ते उनके समाधान मेल खाते हैं।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए कार्य करना, यह याद रखना आवश्यक है कि जब ए\u003e 1, तो लॉगरिदमिक फ़ंक्शन बढ़ता है, और जब 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के तरीके

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करते समय अब \u200b\u200bकुछ तरीकों पर विचार करें। एक बेहतर समझ और आकलन के लिए, हम विशिष्ट उदाहरणों से निपटने की कोशिश करेंगे।

हम अच्छी तरह से जानते हैं कि सबसे सरल लॉगरिदमिक असमानता इस प्रकार है:

इस असमानता में - असमानता संकेतों में से एक है:<,>, ≤ या ≥।

जब इस लॉगरिदम का आधार यूनिट (ए\u003e 1) से अधिक होता है, तो लॉगरिदम के संकेत के तहत अभिव्यक्तियों तक संक्रमण को पूरा करता है, फिर इस अवतार में असमानताओं का संकेत संरक्षित है, और असमानता इस प्रकार होगी:

ऐसी प्रणाली के बराबर क्या है:

इस मामले में जब लॉगरिदम का आधार शून्य से अधिक और एक से कम (0) से अधिक है

यह इस प्रणाली के बराबर है:

आइए नीचे दी गई तस्वीर में दिखाए गए सबसे सरल लघुगणक असमानताओं को हल करने के अधिक उदाहरण देखें:

उदाहरणों का समाधान

कार्य। आइए ऐसी असमानता को हल करने का प्रयास करें:

अनुमत मानों के क्षेत्र को हल करना।

अब आइए अपनी दाईं ओर गुणा करने की कोशिश करें:

हम देखते हैं कि हम क्या करते हैं:

अब, चलो भयभीत अभिव्यक्तियों के रूपांतरण पर जाएं। इस तथ्य के कारण कि लॉगरिदम की नींव 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8\u003e 16;
3x\u003e 24;
x\u003e 8।

और इससे यह इस प्रकार है कि हमारे द्वारा प्राप्त अंतराल पूरी तरह से और पूरी तरह से ओटीजेड से संबंधित है और ऐसी असमानता का समाधान है।

यही वह जवाब है जो हमने निकला:

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने के लिए क्या आवश्यक है?

और अब आइए तर्कसंगत असमानताओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए हमें क्या चाहिए इसका विश्लेषण करने का प्रयास करें?

सबसे पहले, अपने सभी ध्यान केंद्रित करें और इस असमानता में दिए गए परिवर्तनों को निष्पादित करते समय त्रुटियों की अनुमति न दें। इसके अलावा, यह याद रखना चाहिए कि ऐसी असमानता को हल करने में, ओई असमानता के विस्तार और संकुचन को रोकने के लिए आवश्यक है, जिससे विदेशी समाधानों के नुकसान या अधिग्रहण का कारण बन सकता है।

दूसरा, लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करने में, तर्कसंगत रूप से सोचना और असमानता की प्रणाली और असमानताओं के एक सेट के रूप में इस तरह की अवधारणाओं के बीच अंतर को समझना आवश्यक है ताकि आप ओटीजेड द्वारा निर्देशित होने पर आसानी से असमानता निर्णयों का चयन कर सकें। ।

तीसरा, ऐसी असमानताओं के सफल समाधान के लिए, आप में से प्रत्येक को प्राथमिक कार्यों के सभी गुणों को जानने और उनके अर्थ को स्पष्ट रूप से समझने के लिए पूरी तरह से पता होना चाहिए। इस तरह के कार्यों में न केवल लॉगरिदमिक, बल्कि तर्कसंगत, शक्ति, त्रिकोणमितीय, आदि शामिल हैं, एक शब्द में, जो लोग आपने स्कूल सीखने के बीजगणित में अध्ययन किया है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदमिक असमानताओं के बारे में विषय का अध्ययन करने के बाद, इन असमानताओं को हल करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है, बशर्ते यदि आप लक्ष्यों को प्राप्त करने में चौकस और लगातार हैं। असमानताओं को हल करने के लिए, निर्णय में कोई समस्या नहीं होती है, आपको जितना संभव हो सके प्रशिक्षित करने, विभिन्न कार्यों को हल करने और एक ही समय में ऐसी असमानताओं और उनके सिस्टम को हल करने के मुख्य तरीकों को याद रखने के लिए। लॉगरिदमिक असमानताओं के असफल समाधान के साथ, आपको सावधानीपूर्वक अपनी गलतियों का विश्लेषण करना चाहिए ताकि भविष्य में उन्हें फिर से वापस नहीं करना पड़े।

होम वर्क

विषय के बेहतर आकलन और सामग्री के समेकन के लिए, निम्नलिखित असमानताओं का फैसला करें:

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का अध्ययन करते समय, हमने मुख्य रूप से फॉर्म की असमानताओं को माना
एक एच।< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

एलजी असमानता हल (x + 1) ≤ 2 (1)।

फेसला.

1) असमानता का दाहिना तरफ माना जाता है जिसका अर्थ सभी मूल्यों पर है, और बाईं ओर x + 1\u003e 0 पर है, यानी x\u003e -1 पर।

2) एक्स\u003e -1 के अंतर को असमानता की परिभाषा का क्षेत्र कहा जाता है (1)। बेस 10 के साथ लॉगरिदमिक फ़ंक्शन बढ़ रहा है, इसलिए, स्थिति x + 1\u003e 0 के तहत, यदि एक्स + 1 ≤ 100 (2 \u003d एलजी 100 के बाद से) तो असमानता (1) का प्रदर्शन किया जाता है। इस प्रकार, असमानता (1) और असमानता प्रणाली

(x\u003e -1, (2)
(x + 1 ≤ 100,

कथा, दूसरे शब्दों में, असमानता (1) और असमानता प्रणाली (2) के कई समाधान समान हैं।

3) सिस्टम को हल करना (2), हम पाते हैं -1< х ≤ 99.

उत्तर। -एक< х ≤ 99.

असमानता लॉग 2 (x - 3) + लॉग 2 (x - 2) ≤ 1 (3) हल करें।

फेसला।

1) विचाराधीन लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र तर्क के सकारात्मक मूल्यों का सेट है, इसलिए असमानता का बायां हिस्सा x - 3\u003e 0 और x - 2\u003e 0 पर है।

नतीजतन, इस असमानता को निर्धारित करने का क्षेत्र x\u003e 3 की सीमा है।

2) लॉगरिदम असमानता (3) के गुणों के अनुसार एक्स\u003e 3 लॉग 2 (एक्स - 3) (एक्स - 2) ≤ लॉग 2 (4) की असमानता के बराबर है।

3) बेस 2 के साथ लॉगरिदमिक फ़ंक्शन बढ़ रहा है। इसलिए, x\u003e 3 पर, असमानता (4) किया जाता है यदि (x - 3) (x - 2) ≤ 2।

4) इस प्रकार, प्रारंभिक असमानता (3) असमानता प्रणाली के बराबर है

((x - 3) (x - 2) ≤ 2,
(x\u003e 3।

इस प्रणाली की पहली असमानता को हल करना, हम x 2 - 5x + 4 ≤ 0 प्राप्त करते हैं, जहां से 1 ≤ x ≤ 4. इस सेगमेंट को एक अंतर के साथ संयोजन\u003e 3, हमें 3 मिलते हैं< х ≤ 4.

उत्तर। 3।< х ≤ 4.

लॉग 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ -4 की असमानता को हल करें। (पांच)

फेसला।

1) असमानता को निर्धारित करने का क्षेत्र x 2 + 2x - 8\u003e 0 से पाया जाता है।

2) असमानता (5) फॉर्म में लिखा जा सकता है:

लॉग 1/2 (x 2 + 2x - 8) ≥ लॉग 1/2 16।

3) चूंकि आधार के साथ लॉगरिदमिक फ़ंक्शन ½ घट रहा है, फिर असमानता को निर्धारित करने के पूरे क्षेत्र से सभी एक्स के लिए, हमें मिलता है:

एक्स 2 + 2 एक्स - 8 ≤ 16।

इस प्रकार, प्रारंभिक समानता (5) असमानता प्रणाली के बराबर है

(x 2 + 2x - 8\u003e 0, या (x 2 + 2x - 8\u003e 0,
(x 2 + 2x - 8 ≤ 16, (x 2 + 2x - 24 ≤ 0।

पहले वर्ग असमानता को हल करना, हम एक्स प्राप्त करते हैं< -4, х > 2. एक दूसरे वर्ग की असमानता को हल करना, हम -6 ≤ x ≤ 4. प्राप्त करते हैं, इसलिए, सिस्टम की दोनों असमानताओं को -6 ≤ x पर एक साथ किया जाता है< -4 и при 2 < х ≤ 4.

उत्तर। -6 ≤ x।< -4; 2 < х ≤ 4.

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