ग्राफ जानवरों के रूप में समारोह। फ़ंक्शन का ग्राफ कैसे खोजें? यही हुआ भी

विमान पर आयताकार समन्वय प्रणाली का चयन करें और हम Abscissa अक्ष पर तर्क मूल्यों के मूल्यों को स्थगित कर देंगे एच, और ordinate अक्ष पर - फ़ंक्शन मान y \u003d f (x).

ग्राफ ग्राफ y \u003d f (x) सभी बिंदुओं का सेट जिसमें Abscissas फ़ंक्शन को निर्धारित करने के कार्य से संबंधित है, और ordents फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर हैं।

दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ विमान के सभी बिंदुओं का सेट है, निर्देशांक एक्स, डब्ल्यू जो रिश्ते को संतुष्ट करता है y \u003d f (x).

अंजीर में। 45 और 46 कार्यों के ग्राफ हैं। y \u003d 2x + 1 तथा y \u003d x 2 - 2x.

कड़ाई से, समारोह के ग्राफ को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए (जिसकी सटीक गणितीय परिभाषा ऊपर दी गई थी) और खींचा वक्र, जो हमेशा अनुसूची के केवल या कम सटीक स्केच देता है (और फिर, एक नियम के रूप में, नहीं संपूर्ण अनुसूची, लेकिन विमान के अंतिम भागों में स्थित केवल इसके हिस्से)। भविष्य में, हालांकि, हम आमतौर पर एक "अनुसूची" कहते हैं, न कि "ग्राफिक्स का स्केच"।

ग्राफ का उपयोग करके, आप बिंदु पर फ़ंक्शन का मूल्य पा सकते हैं। यह मुद्दा है एक्स \u003d ए फील्ड परिभाषा क्षेत्र से संबंधित है y \u003d f (x)फिर एक नंबर खोजने के लिए एफ (ए) (I.E. कार्य मूल्यों पर एक्स \u003d ए) तुम्हें यह करना चाहिए। Abscissa बिंदु के माध्यम से जरूरत है एक्स \u003d ए समन्वय की एक सीधी, समानांतर धुरी खर्च करें; यह सीधी रेखा फ़ंक्शन ग्राफ़ को पार करेगी। y \u003d f (x) एक बिंदु पर; इस बिंदु का नियम और अनुसूची के आधार पर, के बराबर होगा एफ (ए) (चित्र 47)।

उदाहरण के लिए, समारोह के लिए f (x) \u003d x 2 - 2x ग्राफ का उपयोग (चित्र 46), हम f (-1) \u003d 3, f (0) \u003d 0, f (1) \u003d -l, f (2) \u003d 0, आदि पाते हैं।

फ़ंक्शन ग्राफ़ स्पष्ट रूप से फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों को दिखाता है। उदाहरण के लिए, चित्र के विचार से। 46 उस समारोह को साफ़ करें y \u003d x 2 - 2x जब सकारात्मक मूल्य लेता है एच< 0 और किसके लिए x\u003e 2।, नकारात्मक - 0 पर< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x के लिए स्वीकार करता है x \u003d 1।.

एक ग्राफ फ़ंक्शन बनाने के लिए f (x)विमान के सभी बिंदुओं को ढूंढना आवश्यक है, निर्देशांक एच, डब्ल्यू जो समीकरण को संतुष्ट करता है y \u003d f (x)। ज्यादातर मामलों में, ऐसा करना असंभव है, क्योंकि ऐसे बिंदु असीम रूप से बहुत कुछ हैं। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ लगभग अधिक या कम सटीकता के साथ चित्रित किया गया है। सबसे सरल कई बिंदुओं के लिए एक कार्यक्रम बनाने की विधि है। यह तर्क है एच मूल्यों की परिमित संख्या दबाएं - कहें, x 1, x 2, x 3, ..., x k और उस तालिका को बनाएं जिसमें फ़ंक्शन के चयनित मान शामिल हैं।

तालिका इस तरह दिखती है:

ऐसी मेज खींचकर, हम फ़ंक्शन ग्राफिक्स के कुछ बिंदुओं को रेखांकित कर सकते हैं। y \u003d f (x)। फिर, इन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़कर, हमें फ़ंक्शन ग्राफिक्स का अनुमानित दृश्य मिलता है y \u003d f (x)।

हालांकि, यह ध्यान रखना चाहिए कि कई बिंदुओं के लिए शेड्यूल बनाने की विधि बहुत अविश्वसनीय है। वास्तव में, चरम बिंदुओं के बीच सेगमेंट के बीच सेगमेंट के बाहर इच्छित बिंदुओं और इसके व्यवहार के बीच ग्राफ का व्यवहार अज्ञात रहता है।

उदाहरण 1।। एक ग्राफ फ़ंक्शन बनाने के लिए y \u003d f (x) किसी ने तर्क और कार्य के मूल्यों की एक तालिका संकलित की:

इसी पांच अंक अंजीर में दिखाए जाते हैं। 48।

इन बिंदुओं के स्थान के आधार पर, यह निष्कर्ष निकाला गया कि फ़ंक्शन का ग्राफ एक सीधी रेखा है (चित्र 48 में दिखाया गया है)। क्या इस निष्कर्ष विश्वसनीय पर विचार करना संभव है? यदि इस निष्कर्ष की पुष्टि करने में कोई अतिरिक्त विचार नहीं हैं, तो यह विश्वसनीय होने की संभावना नहीं है। विश्वसनीय।

अपने आरोपों को सही ठहराने के लिए, कार्य पर विचार करें

.

गणनाएं दिखाती हैं कि अंक -2, -1, 0, 1, 2 पर इस फ़ंक्शन के मान नीचे दी गई तालिका में वर्णित हैं। हालांकि, इस फ़ंक्शन का ग्राफ सभी सीधी रेखा पर नहीं है (यह चित्र 49 में दिखाया गया है)। एक और उदाहरण समारोह है। y \u003d x + l + sinπx; इसके मूल्यों को उपरोक्त तालिका के ऊपर भी वर्णित किया गया है।

ये उदाहरण बताते हैं कि "शुद्ध" रूप में, कई बिंदुओं के लिए शेड्यूल बनाने की विधि अविश्वसनीय है। इसलिए, किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ बनाने के लिए, एक नियम के रूप में, निम्नानुसार लागू किया जाता है। सबसे पहले, इस फ़ंक्शन के गुण पढ़ रहे हैं, जिसके साथ आप ग्राफिक्स का एक स्केच बना सकते हैं। फिर, फ़ंक्शन के मानों की गणना कई बिंदुओं पर (जिसकी पसंद फ़ंक्शन के सेट गुणों पर निर्भर करती है), ग्राफ के संबंधित बिंदुओं को ढूंढें। और अंत में, निर्माण बिंदुओं के माध्यम से, इस फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके वक्र किया जाता है।

कुछ (सबसे सरल और अक्सर उपयोग किए जाने वाले) कार्यों के गुणों के गुणों का उपयोग ग्राफ के स्केच को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है, हम बाद में देखेंगे, और अब हम ग्राफ बनाने के लिए अक्सर उपयोग किए जाने वाले कुछ तरीकों का विश्लेषण करेंगे।

अनुसूची समारोह वाई \u003d | एफ (एक्स) |।

अक्सर आपको एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना होता है y \u003d | f (x)|, जहां f (x) -एक निर्दिष्ट समारोह। याद रखें कि यह कैसे किया जाता है। संख्या के पूर्ण मूल्य की परिभाषा द्वारा आप लिख सकते हैं

इसका मतलब है कि अनुसूची समारोह y \u003d | f (x) | ग्राफिक्स, कार्यों से प्राप्त किया जा सकता है y \u003d f (x) निम्नानुसार: ग्राफिक्स समारोह के सभी बिंदु y \u003d f (x)जो गैर-नकारात्मक अध्यादेश हैं, को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए; आगे, ग्राफिक्स समारोह के बिंदुओं के बजाय y \u003d f (x)नकारात्मक निर्देशांक होने के बाद, आपको फ़ंक्शन शेड्यूल का उचित फ़ंक्शन बनाना चाहिए y \u003d -f (x) (यानी अनुसूची समारोह का हिस्सा
y \u003d f (x)जो धुरी के नीचे स्थित है एक्स, अक्षीय रूप से अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंबित किया जाना चाहिए एच).

उदाहरण 2। एक चार्ट समारोह बनाएँ y \u003d | x |।

हम एक समारोह का एक ग्राफ लेते हैं y \u003d x।(चित्र 50, ए) और इस कार्यक्रम का हिस्सा कब एच< 0 (धुरी के नीचे झूठ बोलना एच) अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रतिबिंबित एच। नतीजतन, हमें फ़ंक्शन का शेड्यूल मिलता है वाई \u003d | एक्स | (चित्र 50, बी)।

उदाहरण 3।। एक चार्ट समारोह बनाएँ वाई \u003d | एक्स 2 - 2 एक्स |।

पहले एक समारोह अनुसूची का निर्माण वाई \u003d एक्स 2 - 2 एक्स। इस समारोह का ग्राफ पैराबोला है, जिनकी शाखाओं को निर्देशित किया जाता है, परबोल वर्टेक्स में समन्वय (1; -1) है, इसका ग्राफ अंकसिसा अक्ष को अंक 0 और 2 पर पार करता है। अंतराल (0; 2), फक्शन नकारात्मक मान लेता है, इसलिए यह ग्राफ का यह हिस्सा एब्रिसा अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से प्रतिबिंबित होता है। चित्र 51 ने फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाया वाई \u003d एक्स 2 -2 एक्स |अनुसूची समारोह के आधार पर y \u003d x 2 - 2x

समारोह ग्राफ y \u003d f (x) + g (x)

एक ग्राफ बनाने के कार्य पर विचार करें y \u003d f (x) + g (x)। यदि कार्यों के ग्राफिक्स निर्दिष्ट हैं y \u003d f (x) तथा y \u003d g (x).

ध्यान दें कि फ़ंक्शन y \u003d | f (x) + g (x) को निर्धारित करने का फ़ील्ड | यह उन सभी मूल्यों का सेट है, जिसके लिए दोनों कार्यों y \u003d f (x) और y \u003d g (x) को परिभाषित किया गया है, यानी, परिभाषा का यह क्षेत्र परिभाषा के क्षेत्रों का चौराहे है, कार्य f (x) और g (x)।

चलो (x 0, y 1) मैं। (x 0, 2 में) क्रमशः कार्यों के शेड्यूल से संबंधित हैं y \u003d f (x) तथा y \u003d g (x), यानी वाई 1 \u003d एफ (x 0), y 2 \u003d g (x 0)। फिर बिंदु (x0; y1 + y2) ग्राफ से संबंधित है y \u003d f (x) + g (x) (के लिये f (x 0) + g (x 0)) \u003d y। 1 + Y2।),। और फ़ंक्शन ग्राफिक्स का कोई भी बिंदु y \u003d f (x) + g (x) इस तरह से प्राप्त किया जा सकता है। नतीजतन, समारोह का ग्राफ y \u003d f (x) + g (x) कार्यों के ग्राफ से प्राप्त किया जा सकता है y \u003d f (x)। तथा y \u003d g (x) प्रत्येक बिंदु को बदलें ( एक्स एन, यू 1) ग्राफिक्स कार्य y \u003d f (x) बिंदु (x n, y 1 + y 2), कहा पे 2 \u003d जी (x n) में), यानी, प्रत्येक बिंदु की शिफ्ट ( x n, 1 में) समारोह ग्राफिक्स y \u003d f (x) धुरी के साथ डब्ल्यू परिमाण द्वारा y 1 \u003d g (x n))। यह केवल ऐसे बिंदुओं को संबोधित करता है। एच n जिसके लिए दोनों कार्यों को परिभाषित किया गया है y \u003d f (x) तथा y \u003d g (x).

एक ग्राफिक फ़ंक्शन बनाने के लिए ऐसी विधि y \u003d f (x) + g (x)) कार्यों के ग्राफ के अतिरिक्त कहा जाता है y \u003d f (x)तथा Y \u003d g (x)

उदाहरण 4।। आकृति में, ग्राफ के ग्राफ को एक फ़ंक्शन शेड्यूल बनाया गया है
y \u003d x + sinx.

एक ग्राफ का निर्माण करते समय y \u003d x + sinx हमें विश्वास था कि f (x) \u003d x,लेकिन अ G (x) \u003d sinx।फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाने के लिए, Absiss -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5 ,,,,,, 1.5, 2. मान के साथ एक बिंदु चुनें f (x) \u003d x, g (x) \u003d sinx, y \u003d x + sinxचयनित बिंदुओं में गणना करें और परिणाम तालिका में पोस्ट किए गए हैं।

समन्वय अक्ष पर सेगमेंट की लंबाई सूत्र द्वारा है:

समन्वय विमान पर सेगमेंट की लंबाई सूत्र द्वारा खोजा जाता है:

तीन-आयामी समन्वय प्रणाली में सेगमेंट की लंबाई खोजने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

सेगमेंट के बीच के निर्देशांक (समन्वय धुरी के लिए, केवल पहला सूत्र समन्वय विमान के लिए उपयोग किया जाता है - पहले दो सूत्र, त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली के लिए - सभी तीन सूत्रों की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

समारोह - यह एक मिलान फॉर्म है वाई= एफ(एक्स।) चर के बीच, जिसके आधार पर प्रत्येक को एक निश्चित परिवर्तनीय मूल्य का मान माना जाता है एक्स। (तर्क या स्वतंत्र चर) किसी अन्य चर मूल्य के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है, वाई (आश्रित चर, कभी-कभी इस मान को केवल फ़ंक्शन का मान कहा जाता है)। ध्यान दें कि फ़ंक्शन का तात्पर्य है कि एक तर्क मूल्य एच आश्रित चर का केवल एक मूल्य मामूली हो सकता है। डब्ल्यू। इस मामले में, एक ही मूल्य डब्ल्यू अलग के साथ प्राप्त किया जा सकता है एच.

समारोह परिभाषा क्षेत्र - ये एक स्वतंत्र चर (फ़ंक्शन तर्क, आमतौर पर) के सभी मान हैं एच), जिसमें समारोह निर्धारित किया जाता है, यानी। इसका मूल्य मौजूद है। परिभाषा क्षेत्र को दर्शाता है डी(वाई)। बड़े पैमाने पर, आप पहले से ही इस अवधारणा से परिचित हैं। फ़ंक्शन को निर्धारित करने का कार्य अनुमत मानों का क्षेत्र, या ओटीजेड, जिसे आप लंबे समय से खोजने में सक्षम हैं।

कार्य मूल्य क्षेत्र - ये इस समारोह के आश्रित चर के सभी संभावित मूल्य हैं। अर्थ है इ।(डब्ल्यू).

समारोह बढ़ रहा है अंतराल पर, जिस पर तर्क का अधिक मूल्य फ़ंक्शन के अधिक मूल्य से मेल खाता है। समारोह घटता है अंतराल पर, जिस पर तर्क का अधिक मूल्य फ़ंक्शन के छोटे मूल्य से मेल खाता है।

प्रतीक समारोह के अंतराल - ये एक स्वतंत्र चर के अंतराल हैं, जिस पर आश्रित चर अपने सकारात्मक या नकारात्मक संकेत को बरकरार रखता है।

शून्य कार्य - ये तर्क के मूल्य हैं जिनमें फ़ंक्शन का मूल्य शून्य है। इन बिंदुओं पर, फ़ंक्शन का ग्राफ Abscissa अक्ष (ओएच) को पार करता है। अक्सर कार्यों के शून्य को खोजने की आवश्यकता का मतलब समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है। अक्सर, वैकल्पिकता के अंतराल को ढूंढने के लिए अक्सर आवश्यक होता है, इसका मतलब असमानता को हल करने की आवश्यकता होती है।

समारोह वाई = एफ(एक्स।) कॉल यहाँ तक की एच

इसका मतलब है कि तर्क के किसी भी विपरीत मूल्यों के लिए, यहां तक \u200b\u200bकि समारोह के मान बराबर हैं। एक पूर्णांक समारोह का कार्यक्रम हमेशा ordinate ou की धुरी के बारे में सममित होता है।

समारोह वाई = एफ(एक्स।) कॉल अजीबयदि यह एक सममित सेट पर और किसी के लिए परिभाषित किया गया है एच समानता परिभाषा क्षेत्र से किया जाता है:

इसका मतलब है कि तर्क के किसी भी विपरीत मूल्यों के लिए, विषम कार्य के मूल्य भी विपरीत हैं। विषम समारोह का ग्राफ हमेशा निर्देशांक की शुरुआत पर सममित होता है।

बुद्धिमान और विषम कार्यों की जड़ों का योग (एब्सिसा अक्ष के चौराहे के बिंदु ओह) हमेशा शून्य होता है, क्योंकि प्रत्येक सकारात्मक जड़ के लिए एच एक नकारात्मक जड़ है - एच.

नोट करना महत्वपूर्ण है: कुछ फ़ंक्शन जरूरी नहीं कि या तो विषम हो। ऐसे कई कार्य हैं जो विषम भी नहीं हैं। ऐसे कार्यों को बुलाया जाता है सामान्य दृश्य के कार्य, और उनके लिए, उपरोक्त के समानता या गुणों में से कोई भी नहीं किया जाता है।

रैखिक प्रकार्य एक फ़ंक्शन को कॉल करें जिसे सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ प्रत्यक्ष है और सामान्य मामले में निम्नानुसार है (जब मामले के लिए एक उदाहरण दिया जाता है क। \u003e 0, इस मामले में समारोह बढ़ रहा है; मामले के लिए क। < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

एक वर्गबद्ध समारोह (पैराबोला) की अनुसूची

पैराबोला ग्राफ एक वर्गबद्ध समारोह द्वारा निर्धारित किया जाता है:

किसी भी अन्य समारोह की तरह वर्गबद्ध कार्य, धुरी को अपनी जड़ों पर पार करता है: ( एक्स। एक ; 0) और ( एक्स। 2; 0)। यदि कोई जड़ें नहीं हैं, तो इसका मतलब है कि धुरी का वर्गबद्ध कार्य ओह पार नहीं करता है, अगर रूट एक है, तो इस बिंदु पर ( एक्स। 0; 0) क्वाड्रैटिक फ़ंक्शन केवल अक्ष पर लागू होता है ओह, लेकिन इसे पार नहीं करता है। वर्गबद्ध कार्य हमेशा निर्देशांक के साथ बिंदु पर ओए अक्ष को पार करता है: (0; सी।)। वर्गिक समारोह (पैराबोला) का चार्ट इस तरह दिख सकता है (आकृति के उदाहरणों में जो पैराबोला के सभी संभावित विचारों को समाप्त करने से बहुत दूर हैं):

जिसमें:

• यदि गुणांक ए। \u003e 0, समारोह में वाई = कुल्हाड़ी। 2 + बीएक्स। + सी।, फिर पैराबोला शाखाओं को निर्देशित किया जाता है;
• अगर ए। < 0, то ветви параболы направлены вниз.

पियरबोल कोर्टिस के निर्देशांक की गणना निम्नलिखित सूत्रों के अनुसार की जा सकती है। Iks vershina (पी - ऊपर के आंकड़ों में) पैराबोला (या वह बिंदु जिसमें वर्ग तीन घटता है, यह सबसे बड़ा या सबसे छोटा मूल्य तक पहुंचता है):

चेकर वर्सीडिया (प्र - ऊपर के आंकड़ों में) पैराबोला या अधिकतम, यदि पैराबोला शाखाओं को निर्देशित किया जाता है ( ए। < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (ए। \u003e 0), स्क्वायर तीन का मूल्य निर्णय लेता है:

अन्य कार्यों के अनुसूची

ऊर्जा समीकरण

पावर फ़ंक्शंस के ग्राफ के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं:

विपरीत आनुपातिक निर्भरता सूत्र द्वारा निर्दिष्ट फ़ंक्शन कहा जाता है:

संख्याओं की संख्या के आधार पर क। आनुपातिक निर्भरता के ग्राफ में दो मौलिक विकल्प हो सकते हैं:

अनंतस्पर्शी - यह वह रेखा है जिस पर फ़ंक्शन ग्राफ़ का कार्य असीम रूप से करीब है, लेकिन छेड़छाड़ नहीं करता है। उपरोक्त के विपरीत आनुपातिकता के ग्राफ के लिए एसिम्प्टोट्स को चित्रित करने वाले कुल्हाड़ियों की अक्ष हैं, जिनके लिए फ़ंक्शन ग्राफ़ असीमित रूप से करीब है, लेकिन उन्हें छेड़छाड़ नहीं करता है।

संकेतक समारोह आधार के साथ लेकिन अ सूत्र द्वारा निर्दिष्ट फ़ंक्शन कहा जाता है:

ए। संकेतक कार्य के ग्राफ में दो मौलिक विकल्प हो सकते हैं (हम भी उदाहरण देते हैं, नीचे देखें):

लॉगरिदमिक समारोह सूत्र द्वारा निर्दिष्ट फ़ंक्शन कहा जाता है:

बड़े या कम इकाई संख्या के आधार पर ए। लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के ग्राफ में दो मौलिक विकल्प हो सकते हैं:

अनुसूची समारोह वाई = |एक्स।| निम्नलिखित नुसार:

आवधिक ग्राफ (त्रिकोणमितीय) कार्य

समारोह डब्ल्यू = एफ(एक्स।) बुला हुआ सामयिकयदि कोई असमान शून्य है, तो संख्या टी, क्या भ एफ(एक्स। + टी) = एफ(एक्स।), किसी के लिए भी एच कार्य को निर्धारित करने के कार्य से एफ(एक्स।)। अगर समारोह एफ(एक्स।) एक अवधि के साथ आवधिक है टी, फिर समारोह:

कहा पे: ए।, क।, बी - निरंतर संख्या, और क। शून्य के बराबर नहीं, एक अवधि के साथ आवधिक भी टी 1, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आवधिक कार्यों के अधिकांश उदाहरण त्रिकोणमितीय कार्य हैं। हम मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों का ग्राफ देते हैं। निम्नलिखित चित्र फ़ंक्शन शेड्यूल का हिस्सा दिखाता है। वाई \u003d पाप एक्स। (पूरा अनुसूची असीमित बाएं और दाएं जारी है), फ़ंक्शन का ग्राफ वाई \u003d पाप एक्स। कॉल sinusoid:

अनुसूची समारोह वाई \u003d कोस। एक्स। बुला हुआ कोसिनूसोइडो। इस अनुसूची को निम्नलिखित आंकड़े में चित्रित किया गया है। साइनस ग्राफ के बाद से, वह लगातार अक्ष के साथ जारी रहता है ओह बाएं और दाएं:

अनुसूची समारोह वाई \u003d टीजी। एक्स। कॉल टेंगेंटोइड। इस अनुसूची को निम्नलिखित आंकड़े में चित्रित किया गया है। अन्य आवधिक कार्यों के ग्राफिक्स की तरह, यह शेड्यूल अक्ष और दाएं अक्ष के साथ बहुत दूर असीमित है।

खैर, अंत में, समारोह का ग्राफ वाई \u003d सीटीजी। एक्स। बुला हुआ कोठान्ज़ोइडॉय। इस अनुसूची को निम्नलिखित आंकड़े में चित्रित किया गया है। अन्य आवधिक और त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफिक्स की तरह, यह चार्ट अक्षम और दाएं अक्ष के साथ अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है।

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भौतिकी और गणित में सीटी के लिए सफलतापूर्वक कैसे तैयार किया जाए?

भौतिकी और गणित में सीटी के लिए सफलतापूर्वक तैयार करने के लिए, अन्य चीजों के साथ, तीन सबसे महत्वपूर्ण स्थितियों को पूरा करना आवश्यक है:

1. सभी विषयों की जांच करें और इस साइट पर प्रशिक्षण सामग्री में दिए गए सभी परीक्षणों और कार्यों को पूरा करें। इसके लिए आपको भौतिकी और गणित में सीटी, सिद्धांत के अध्ययन और हर दिन तीन या चार घंटे की समस्याओं को हल करने के लिए कुछ भी चाहिए। तथ्य यह है कि सीटी एक परीक्षा है, जहां भौतिकी या गणित को जानना पर्याप्त नहीं है, आपको विभिन्न विषयों और विभिन्न जटिलताओं पर बड़ी संख्या में कार्यों को हल करने के लिए जल्दी और विफलताओं को सक्षम करने में सक्षम होना चाहिए। आप केवल हजारों कार्यों को हल करने के तरीके सीख सकते हैं।
2. भौतिकी, और सूत्रों और गणित में विधियों में सभी सूत्रों और कानूनों को सीखने के लिए। वास्तव में, यह प्रदर्शन करना भी बहुत आसान है, भौतिकी में आवश्यक सूत्र केवल 200 टुकड़े हैं, लेकिन गणित में भी थोड़ा कम है। इन वस्तुओं में से प्रत्येक में जटिलता के मूल स्तर की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक विधियां हैं, जो भी, अच्छी तरह से सीख सकते हैं, और इस प्रकार पूरी तरह से मशीन पर और कठिनाई के बिना केंद्रीय टी के दाईं ओर हल करें । उसके बाद, आप बस सबसे कठिन कार्यों के बारे में सोचेंगे।
3. भौतिकी और गणित में पुनर्संरचना परीक्षण के सभी तीन चरणों पर जाएं। दोनों विकल्पों को तोड़ने के लिए प्रत्येक आरटी को दो बार दौरा किया जा सकता है। फिर, सीटी पर, समस्याओं को त्वरित और कुशलता से हल करने की क्षमता के अलावा, और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, समय की सही योजना बनाने, बलों को वितरित करने में सक्षम होना भी आवश्यक है, और मुख्य बात यह है कि सही ढंग से भरना है उत्तर प्रपत्र, प्रतिक्रियाओं और कार्यों की संख्या को भ्रमित किए बिना, कोई उपनाम नहीं। तातारस्तान गणराज्य के दौरान भी, कार्यों में मुद्दों के निर्माण के मुद्दे के लिए उपयोग करना महत्वपूर्ण है, जो सीटी पर बहुत असामान्य व्यक्ति प्रतीत हो सकता है।

इन तीन वस्तुओं के सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन, साथ ही अंतिम प्रशिक्षण परीक्षणों के जिम्मेदार अध्ययन, आपको सीटी के लिए एक अच्छा परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो आप सक्षम हैं।

एक गलती मिली?

अगर आपको लगता है कि आपको प्रशिक्षण सामग्री में कोई गलती है, तो कृपया ईमेल () द्वारा इसके बारे में लिखें। पत्र में, विषय (भौतिकी या गणित) निर्दिष्ट करें, नाम या संख्या विषय या परीक्षण, कार्य संख्या, या पाठ (पृष्ठ) में एक स्थान जहां आपको लगता है कि एक त्रुटि है। यह भी वर्णन करें कि अनुमानित त्रुटि क्या है। आपका पत्र अनजान नहीं रहेगा, त्रुटि या तो तय की जाएगी, या आप समझाएंगे कि यह कोई त्रुटि क्यों नहीं है।

रैखिक फ़ंक्शन को फॉर्म वाई \u003d केएक्स + बी का फ़ंक्शन कहा जाता है, जहां एक्स-स्वतंत्र चर, के और बी-किसी भी संख्या।
रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ सीधे है।

1. एक फ़ंक्शन शेड्यूल जोड़ने के लिए, हमें फ़ंक्शन के ग्राफिक्स से संबंधित दो बिंदुओं के निर्देशांक की आवश्यकता है। उन्हें खोजने के लिए, आपको दो मान एक्स लेने, उन्हें कार्य के समीकरण में प्रतिस्थापित करने और वाई के संबंधित मानों की गणना करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन वाई \u003d एक्स + 2 के ग्राफ का निर्माण करने के लिए, यह x \u003d 0 और x \u003d 3 लेना सुविधाजनक है, फिर इन बिंदुओं के आधार y \u003d 2 और y \u003d 3 के बराबर होंगे। हम अंक (0; 2) और (3; 3) में प्राप्त करते हैं। उन्हें कनेक्ट करें और फ़ंक्शन y \u003d x + 2 का ग्राफ़ प्राप्त करें:

2. सूत्र वाई \u003d केएक्स + बी में, संख्या k को आनुपातिकता का गुणांक कहा जाता है:
यदि K\u003e 0, तो फ़ंक्शन y \u003d kx + b बढ़ता है
अगर के।
गुणांक बी ओवाई अक्ष के साथ फ़ंक्शन शेड्यूल का विस्थापन दिखाता है:
यदि B\u003e 0, तो फ़ंक्शन y \u003d kx + b का फ़ंक्शन फ़ंक्शन के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है \u003d kx shift oy अक्ष के साथ b इकाइयों तक
यदि B.
नीचे दी गई आकृति y \u003d 2x + 3 कार्यों के ग्राफ दिखाती है; y \u003d ½ x + 3; y \u003d x + 3

ध्यान दें कि इन सभी कार्यों में गुणांक के गुणांक शून्य के ऊपर, और कार्य हैं बढ़ रहा। इसके अलावा, मूल्य के जितना अधिक होगा, ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के लिए सीधे झुकाव का कोण जितना अधिक होगा।

सभी कार्यों में बी \u003d 3 - और हम देखते हैं कि सभी ग्राफ बिंदु पर ओई अक्ष को पार करते हैं (0; 3)

अब कार्यों के ग्राफ पर विचार करें y \u003d -2x + 3; y \u003d - ½ x + 3; y \u003d -x + 3

इस समय के गुणांक के सभी कार्यों में शून्य से कम और कार्य कमी। गुणांक बी \u003d 3, और ग्राफिक्स, साथ ही पिछले मामले में, बिंदु पर ओए अक्ष को छेड़छाड़ (0; 3)

कार्यों के ग्राफ y \u003d 2x + 3 पर विचार करें; y \u003d 2x; Y \u003d 2x-3

अब कार्यों के सभी समीकरणों में, गुणांक के गुणांक के बराबर हैं। और हमें तीन समानांतर सीधे मिल गए।

लेकिन बी गुणांक अलग हैं, और ये ग्राफ विभिन्न बिंदुओं पर ओई अक्ष को पार करते हैं:
फ़ंक्शन y \u003d 2x + 3 (b \u003d 3) का ग्राफ बिंदु पर ओई अक्ष को पार करता है (0; 3)
फ़ंक्शन y \u003d 2x (b \u003d 0) का ग्राफ बिंदु पर ओए अक्ष को पार करता है (0; 0) - निर्देशांक की शुरुआत।
फ़ंक्शन वाई \u003d 2 एक्स -3 (बी \u003d -3) का ग्राफ बिंदु पर ओई अक्ष को पार करता है (0; -3)

इसलिए, यदि हम के और बी गुणांक के संकेतों को जानते हैं, तो हम तुरंत कल्पना कर सकते हैं कि फ़ंक्शन y \u003d kx + b का ग्राफ कैसा दिखता है।
यदि एक k 0

यदि एक k\u003e 0 और b\u003e 0 , फिर फ़ंक्शन y \u003d kx + b का ग्राफ है:

यदि एक k\u003e 0 और b , फिर फ़ंक्शन y \u003d kx + b का ग्राफ है:

यदि एक के, फिर फ़ंक्शन y \u003d kx + b का फ़ंक्शन फॉर्म है:

यदि एक k \u003d 0। फ़ंक्शन y \u003d kx + b y \u003d b फ़ंक्शन और इसकी ग्राफिक में बदल जाता है:

ग्राफ़ फ़ंक्शन y \u003d b के सभी बिंदुओं के आधार बी के बराबर हैं b \u003d 0। , फिर फ़ंक्शन y \u003d kx (प्रत्यक्ष आनुपातिकता) का ग्राफ समन्वय की उत्पत्ति से गुजरता है:

3. अलग से, हम समीकरण x \u003d a के ग्राफ को नोट करते हैं। इस समीकरण का ग्राफ एक सीधी रेखा है, समानांतर धुरी ओए सभी बिंदुओं के सभी बिंदुओं में एब्सिसा एक्स \u003d ए है।

उदाहरण के लिए, समीकरण x \u003d 3 का ग्राफ इस तरह दिखता है:
ध्यान! समीकरण x \u003d A कोई फ़ंक्शन नहीं है, इस तर्क का मूल्य फ़ंक्शन के विभिन्न मानों से मेल खाता है, जो फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुरूप नहीं है।

4. दो सीधी रेखाओं के समानांतरता की स्थिति:

फ़ंक्शन का अनुसूची वाई \u003d के 1 एक्स + बी 1 समारोह के समानांतर ग्राफिक्स वाई \u003d के 2 एक्स + बी 2, यदि के 1 \u003d के 2

5. दो सीधी रेखाओं के पुनर्निर्माण की स्थिति:

फ़ंक्शन y \u003d k 1 x + b 1 का ग्राफ फ़ंक्शन y \u003d k 2 x + b 2 के ग्राफिक्स का पुनर्निर्मित किया गया है, यदि के 1 * के 2 \u003d -1 या के 1 \u003d -1 / के 2

6. निर्देशांक के अक्ष के साथ ग्राफ समारोह y \u003d kx + b के चौराहे के अंक।

ओवाई अक्ष के साथ। ओई अक्ष से संबंधित किसी भी बिंदु का एब्सिसा शून्य है। इसलिए, ओवाई अक्ष के साथ चौराहे बिंदु को खोजने के लिए, समीकरण में शून्य को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हमें y \u003d b मिलता है। यही है, ओए अक्ष के साथ चौराहे बिंदु समन्वय (0; बी) है।

एक्सिस ओएच के साथ: धुरी से संबंधित किसी भी बिंदु का नियम शून्य के बराबर है। इसलिए, धुरी के साथ चौराहे बिंदु को खोजने के लिए ओह, वाई के बजाय फ़ंक्शन के समीकरण में शून्य को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हम 0 \u003d kx + b प्राप्त करते हैं। इसलिए एक्स \u003d-बी / के। यही है, ऑक्स अक्ष के साथ चौराहे बिंदु समन्वय (-b / k; 0) है:

एक अनुसूची बनाने के कार्य के साथ, स्कूल के बच्चे को बीजगणित के अध्ययन की शुरुआत में चेहरा और साल-दर-साल बनाने के लिए जारी रखें। एक रैखिक फ़ंक्शन के ग्राफिक्स से शुरू करना, जो आपको केवल दो बिंदुओं को केवल दो बिंदुओं को जानने की आवश्यकता है, जिसके लिए आपको पहले से ही 6 अंक, हाइपरबोला और साइनसॉइड की आवश्यकता है। हर साल, कार्य तेजी से मुश्किल हो रहे हैं और अपने ग्राफ का निर्माण टेम्पलेट द्वारा अब संभव नहीं है, डेरिवेटिव और सीमाओं का उपयोग करके अधिक जटिल अध्ययन करना आवश्यक है।

आइए समझें कि एक फ़ंक्शन का ग्राफ कैसे ढूंढें? ऐसा करने के लिए, आइए सबसे सरल कार्यों से शुरू करें जिनके ग्राफ अंक द्वारा बनाए गए हैं, और फिर योजना को अधिक जटिल कार्यों का निर्माण करने के लिए विचार करें।

एक रैखिक समारोह ग्राफिक्स का निर्माण

सरल ग्राफ बनाने के लिए, तालिका मान तालिका का उपयोग करें। रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ सीधे है। आइए फ़ंक्शन y \u003d 4x + 5 के शेड्यूल पॉइंट्स को खोजने का प्रयास करें।

1. इसके लिए, हम परिवर्तनीय एक्स के दो मनमानी मान लेते हैं, हम उन्हें वैकल्पिक रूप से फ़ंक्शन में बदलते हैं, हमें वेरिएबल वाई का मूल्य मिलता है और सबकुछ टेबल में लाता है।
2. मान x \u003d 0 लें और हम एक्स -0 के बजाय प्रतिस्थापित करेंगे - हम प्राप्त करते हैं: y \u003d 4 * 0 + 5, यानी, y \u003d 5 इस मान को एक टेबल में एक टेबल में 0. y \u003d 4 * 1 + 5, y \u003d 9 प्राप्त करें।
3. अब, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ बनाने के लिए आपको इन बिंदुओं के समन्वय विमान पर लागू करने की आवश्यकता है। फिर आपको प्रत्यक्ष खर्च करने की आवश्यकता है।

एक वर्गबद्ध समारोह के एक चार्ट का निर्माण

क्वाड्रैटिक फ़ंक्शन फ़ॉर्म वाई \u003d एएक्स 2 + बीएक्स + सी का कार्य है, जहां एक्स-वैरिएबल, ए, बी, सी - संख्याएं (ए 0 नहीं है)। उदाहरण के लिए: y \u003d x 2, y \u003d x 2 +5, y \u003d (x-3) 2, y \u003d 2x 2 + 3x + 5।

सरल वर्गबद्ध फ़ंक्शन y \u003d x 2 का निर्माण करने के लिए, 5-7 अंक आमतौर पर लिया जाता है। वैरिएबल एक्स: -2, -1, 0, 1, 2 के लिए मान लें और वाई के मानों को और पहले ग्राफ बनाने के दौरान भी खोजें।

वर्गिक समारोह का ग्राफ पैराबोला कहा जाता है। ग्राफ बनाने के बाद, छात्रों को अनुसूची से जुड़ी नई चुनौतियां हैं।

उदाहरण 1: फ़ंक्शन y \u003d x 2 के फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का एब्रिसी ढूंढें, यदि ऑर्डिनेट 9 है। समस्या को हल करने के लिए, इसे अपने मूल्य को प्रतिस्थापित करने के लिए y के बजाय फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हम 9 \u003d x 2 प्राप्त करें और इस समीकरण को हल करें। x \u003d 3 और x \u003d -3। यह फ़ंक्शन के ग्राफ पर देखा जा सकता है।

अनुसंधान समारोह और इसके अनुसूची का निर्माण

अधिक जटिल कार्यों के ग्राफ बनाने के लिए, आपको इसका अध्ययन करने के उद्देश्य से कई कदमों को करना होगा। इसके लिए आपको आवश्यकता है:

1. फ़ंक्शन डेफिनिशन एरिया खोजें। परिभाषा क्षेत्र सभी मान है जो परिवर्तनीय एक्स ले सकते हैं। परिभाषा क्षेत्र से, आपको उन बिंदुओं को बाहर करना चाहिए जिसमें denominator 0 को संदर्भित करता है या भोजन अभिव्यक्ति नकारात्मक हो जाती है।
2. समानता या विषम समारोह सेट करें। याद रखें कि वह फ़ंक्शन भी है जो स्थिति f (-x) \u003d f (x) से मिलता है। इसका ग्राफ कहां के बारे में सममित है। यदि यह स्थिति F (-x) \u003d - f (x) को पूरा करता है तो फ़ंक्शन अजीब होगा। इस मामले में, ग्राफ निर्देशांक की शुरुआत पर सममित है।
3. समन्वय अक्ष के साथ चौराहे बिंदु खोजें। एक्सिस ओह के साथ चौराहे के अंकों के अवशोसा को खोजने के लिए, समीकरण एफ (x) \u003d 0 (ordinate 0 के बराबर है) को हल करने के लिए आवश्यक है। ओयू एक्सिस के साथ गिनती बिंदु ordinate खोजने के लिए, परिवर्तनीय एक्स के बजाय फ़ंक्शन में 0 (Abscissa 0) को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है।
4. Asimptotes सुविधाओं का पता लगाएं। असिपस्टोटा सीधे है, जिसके लिए शेड्यूल असीम रूप से आ रहा है, लेकिन इसे कभी पार न करें। आइए समझें कि एसिमोटोट ग्राफ ग्राफिक्स को कैसे ढूंढें।
   • लंबवत Asymptota प्रत्यक्ष प्रजाति x \u003d a
   • क्षैतिज Asymptota - प्रत्यक्ष प्रजाति y \u003d a
   • इच्छुक AsyMptota - प्रत्यक्ष दृश्य y \u003d kx + b
5. चरम कार्यों के अंक, बढ़ते और अवरोही समारोह के अंतराल खोजें। चरम समारोह के अंक खोजें। ऐसा करने के लिए, पहले व्युत्पन्न को ढूंढना और इसे 0. तक समझना आवश्यक है। यह इन बिंदुओं पर है कि कार्य तेजी से घटते हुए बदल सकता है। प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न के संकेत का निर्धारण करें। यदि व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, तो कार्य अनुसूची बढ़ जाती है, यदि नकारात्मक - घट जाती है।
6. समारोह के ग्राफिक्स, बल्गे ऊपर और नीचे के अंतराल के विभाजन में अंक खोजें।

विभक्ति बिंदु ढूंढना अब सरल से आसान है। दूसरे व्युत्पन्न को ढूंढना केवल आवश्यक है, फिर इसे शून्य तक बराबर करें। प्रत्येक अंतराल पर दूसरे व्युत्पन्न के संकेत के बाद। यदि सकारात्मक हो, तो यदि नकारात्मक हो तो फ़ंक्शन का ग्राफ नीचे निकाला जाता है।

1. फ्रैक्शनल रैखिक समारोह और इसकी अनुसूची

फॉर्म वाई \u003d पी (एक्स) / क्यू (एक्स) का कार्य, जहां पी (एक्स) और क्यू (एक्स) बहुपद हैं, जिन्हें एक आंशिक तर्कसंगत कार्य कहा जाता है।

तर्कसंगत संख्याओं की अवधारणा के साथ, आप पहले ही शायद जानते हैं। उसी प्रकार तर्कसंगत कार्य - ये ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक निजी दो बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यदि एक आंशिक तर्कसंगत कार्य एक निजी दो रैखिक कार्य है - पहली डिग्री बहुपद, यानी प्रकार का कार्य

वाई \u003d (कुल्हाड़ी + बी) / (सीएक्स + डी), फिर इसे आंशिक रैखिक कहा जाता है।

ध्यान दें कि कार्यों में वाई \u003d (कुल्हाड़ी + बी) / (सीएक्स + डी), सी ≠ 0 (अन्यथा फ़ंक्शन रैखिक वाई \u003d कुल्हाड़ी / डी + बी / डी बन जाता है) और वह ए / सी ≠ बी / डी (अन्यथा) निरंतर कार्य)। फ्रैक्शनल रैखिक फ़ंक्शन x \u003d -d / c को छोड़कर सभी मान्य संख्याओं के साथ निर्धारित किया जाता है। आकार में आंशिक रैखिक कार्यों के ग्राफ ग्राफिक्स से भिन्न नहीं होते हैं जो आपको ज्ञात नहीं हैं y \u003d 1 / x। वक्र, जो फ़ंक्शन y \u003d 1 / x का एक ग्राफ है, कहा जाता है हाइपरोलोइक। एक पूर्ण मूल्य में एक असीमित वृद्धि x के साथ, फ़ंक्शन y \u003d 1 / x असीमित रूप से पूर्ण मूल्य से कम हो गया है और ग्राफ की दोनों शाखाएं ABSCISSA अक्ष के पास आ रही हैं: दाईं ओर से ऊपर आ रही है, और बाएं-नीचे। सीधे, जिसके लिए हाइपरबोले की शाखाएं आ रही हैं, इसे बुलाया जाता है asympttotami.

उदाहरण 1।

y \u003d (2x + 1) / (x - 3)।

फेसला।

हम पूर्णांक को हाइलाइट करते हैं: (2x + 1) / (x - 3) \u003d 2 + 7 / (x - 3)।

अब यह देखना आसान है कि इस फ़ंक्शन का अनुसूची निम्नलिखित परिवर्तनों द्वारा वाई \u003d 1 / एक्स फ़ंक्शन के ग्राफ से प्राप्त की जाती है: 3 एकल सेगमेंट की शिफ्ट दाईं ओर, 7 बार के ओए अक्ष के साथ खींचती है और ए 2 सिंगल सेगमेंट तक शिफ्ट करें।

कोई भी अंश वाई \u003d (कुल्हाड़ी + बी) / (सीएक्स + डी) उसी तरह दर्ज किया जा सकता है, जो "पूरे भाग" को हाइलाइट करता है। नतीजतन, सभी आंशिक रैखिक कार्यों के ग्राफ में हाइपरबोलास होते हैं, जो समन्वय अक्ष के साथ अलग-अलग स्थानांतरित होते हैं और ओए अक्ष के साथ फैले होते हैं।

कुछ मनमानी आंशिक रैखिक समारोह का एक ग्राफ बनाने के लिए, एक अंश को बदलने के लिए आवश्यक नहीं है जो इस फ़ंक्शन को कनवर्ट करने के लिए निर्दिष्ट करता है। जैसा कि हम जानते हैं कि चार्ट एक हाइपरबोले है, यह सीधे खोजने के लिए पर्याप्त होगा, जिस पर इसकी शाखाएं आ रही हैं - हाइपरबोले एक्स \u003d-डी / सी और वाई \u003d ए / सी के एसिमोट्स।

उदाहरण 2।

Asimptotes ग्राफिक्स फ़ंक्शन y \u003d (3x + 5) / (2x + 2) खोजें।

फेसला।

फ़ंक्शन को x \u003d -1 पर परिभाषित नहीं किया गया है। तो, एक्स \u003d -1 सीधी रेखा ऊर्ध्वाधर विषमता के रूप में कार्य करती है। क्षैतिज asymptotes खोजने के लिए, पता लगाएं कि फ़ंक्शन वाई (एक्स) के मान क्या आ रहे हैं जब तर्क एक्स पूर्ण मूल्य में बढ़ता है।

ऐसा करने के लिए, हम x पर अंश के संख्यात्मक और denominator को विभाजित करते हैं:

y \u003d (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x)।

एक्स → ∞ पर, अंश 3/2 के लिए प्रयास करेगा। इसलिए, क्षैतिज एसिम्प्टोटा सीधे वाई \u003d 3/2 है।

उदाहरण 3।

फ़ंक्शन y \u003d (2x + 1) / (x + 1) का एक ग्राफ बनाएं।

फेसला।

हम अंश "पूरे भाग" को हाइलाइट करते हैं:

(2x + 1) / (x + 1) \u003d (2x + 2 - 1) / (x + 1) \u003d 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) \u003d

2 - 1 / (x + 1)।

अब यह देखना आसान है कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ निम्न परिवर्तन द्वारा y \u003d 1 / x फ़ंक्शन के फ़ंक्शन से प्राप्त किया जाता है: बाईं ओर 1 इकाई द्वारा एक शिफ्ट, बैल के सापेक्ष सममित मैपिंग और 2 एकल में शिफ्ट ओवाई अक्ष को सेगमेंट करता है।

परिभाषा क्षेत्र d (y) \u003d (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞)।

ई (वाई) \u003d (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞) के मानों की सीमा।

अक्ष के साथ चौराहे का बिंदु: सी ओए: (0; 1); सी ऑक्स: (-1/2; 0)। फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र के प्रत्येक अंतराल पर बढ़ता है।

उत्तर: चित्रा 1।

2. आंशिक तर्कसंगत समारोह

फॉर्म वाई \u003d पी (एक्स) / क्यू (एक्स) के एक आंशिक तर्कसंगत कार्य पर विचार करें, जहां पी (एक्स) और क्यू (एक्स) बहुपद हैं, पहले से ऊपर की डिग्री।

ऐसे तर्कसंगत कार्यों के उदाहरण:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) या y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3)।

यदि फ़ंक्शन y \u003d p (x) / q (x) पहले के ऊपर की डिग्री के निजी दो बहुपद है, तो इसका अनुसूची एक नियम के रूप में होगी, यह अधिक जटिल है, और कभी-कभी इसे सभी के साथ बनाना मुश्किल होता है विवरण। हालांकि, अक्सर उन तकनीकों को लागू करने के लिए पर्याप्त होता है जिनके साथ हम पहले से ही मिले हैं।

अंश दें - सही (n)< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

पी (एक्स) / क्यू (एक्स) \u003d ए 1 / (एक्स - के 1) एम 1 + ए 2 / (एक्स - के 1) एम 1-1 + ... + एक एम 1 / (एक्स - के 1) + .. । +

एल 1 / (एक्स - के एस) एमएस + एल 2 / (एक्स - के एस) एमएस -1 + ... + एल एमएस / (एक्स - के एस) + ... +

+ (बी 1 एक्स + सी 1) / (एक्स 2 + पी 1 एक्स + क्यू 1) एम 1 + ... + (बी एम 1 एक्स + सी एम 1) / (एक्स 2 + पी 1 एक्स + क्यू 1) + .. । +

+ (एम 1 एक्स + एन 1) / (x 2 + पी टी एक्स + क्यू टी) एम 1 + ... + (एम एम 1 एक्स + एन एम 1) / (एक्स 2 + पी टी एक्स + क्यू टी)।

जाहिर है, एक आंशिक तर्कसंगत कार्य का एक ग्राफ प्राथमिक अंशों के ग्राफ के योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

आंशिक तर्कसंगत कार्यों के निर्माण ग्राफ

एक आंशिक तर्कसंगत कार्य के ग्राफ बनाने के कई तरीकों पर विचार करें।

उदाहरण 4।

फ़ंक्शन y \u003d 1 / x 2 का एक ग्राफ बनाएं।

फेसला।

ग्राफ y \u003d 1 / x 2 बनाने के लिए फ़ंक्शन y \u003d x 2 के ग्राफ़ का उपयोग करके और ग्राफ के "डिवीजन" के रिसेप्शन का उपयोग करें।

परिभाषा क्षेत्र d (y) \u003d (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞)।

मान का क्षेत्र ई (वाई) \u003d (0; + ∞)।

अक्ष के साथ कोई चौराहे बिंदु नहीं हैं। समारोह भी है। यह अंतराल से सभी एक्स के साथ बढ़ता है (-∞; 0), x के साथ 0 से + ∞ से घटता है।

उत्तर: चित्रा 2।

उदाहरण 5।

फ़ंक्शन y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) का एक ग्राफ बनाएं।

फेसला।

परिभाषा क्षेत्र d (y) \u003d (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞)।

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3।

यहां हम गुणक, कटौती और रैखिक फ़ंक्शन लाने पर अपघटन प्राप्त करते थे।

उत्तर: चित्रा 3।

उदाहरण 6।

फ़ंक्शन y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) का एक ग्राफ बनाएं।

फेसला।

परिभाषा क्षेत्र डी (वाई) \u003d आर। चूंकि फ़ंक्शन भी है, फिर ग्राफ ऑर्डिनेट की धुरी के सा समृद्ध है। एक ग्राफ बनाने से पहले, हम फिर से पूरे हिस्से के आवंटन द्वारा अभिव्यक्ति को परिवर्तित करते हैं:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1)।

ध्यान दें कि एक आंशिक तर्कसंगत कार्य के सूत्र में पूरे हिस्से का आवंटन ग्राफ के निर्माण में मुख्य में से एक है।

यदि x → ± ∞, तो y → 1, यानी। डायरेक्ट वाई \u003d 1 एक क्षैतिज असमपोटोटा है।

उत्तर: चित्रा 4।

उदाहरण 7।

फ़ंक्शन y \u003d x / (x 2 + 1) पर विचार करें और सबसे बड़े मान को सटीक रूप से ढूंढने का प्रयास करें, यानी ग्राफिक्स के दाहिने आधे हिस्से का उच्चतम बिंदु। इस कार्यक्रम को सटीक रूप से बनाने के लिए, आज का ज्ञान पर्याप्त नहीं है। जाहिर है, हमारे वक्र बहुत अधिक "वृद्धि" नहीं कर सकते हैं, क्योंकि Denominator संख्यात्मक "आगे" करने के लिए शुरू हो रहा है। चलो देखते हैं कि फ़ंक्शन का मान बराबर है 1. ऐसा करने के लिए, समीकरण x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. को हल करना आवश्यक है। इस समीकरण में वैध जड़ें नहीं हैं। तो हमारी धारणा सत्य नहीं है। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य खोजने के लिए, आपको यह जानना होगा कि समीकरण कब है \u003d x / (x 2 + 1) का समाधान होगा। मूल समीकरण वर्ग को बदलें: कुल्हाड़ी 2 - एक्स + ए \u003d 0. इस समीकरण में एक समाधान है जब 1- 4 ए 2 ≥ 0. यहां से हमें सबसे अधिक मूल्य ए \u003d 1/2 मिलता है।

उत्तर: चित्रा 5, अधिकतम वाई (एक्स) \u003d ½।

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