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Enciclopedia matemática. Enciclopedia de matemáticas Vea qué es "Enciclopedia matemática" en otros diccionarios

04.01.2024

Enciclopedia matemática. Enciclopedia de matemáticas Mira lo que es

Enciclopedia Matemática: una publicación de referencia sobre todas las ramas de las matemáticas. La Enciclopedia se basa en artículos de revisión dedicados a las áreas más importantes de las matemáticas. El principal requisito para artículos de este tipo es la posible integridad de la descripción general del estado actual de la teoría con la máxima accesibilidad de presentación; Estos artículos son generalmente accesibles para estudiantes de matemáticas de último año, estudiantes de posgrado y especialistas en campos relacionados de las matemáticas y, en ciertos casos, para especialistas en otras áreas del conocimiento que utilizan métodos matemáticos en su trabajo, ingenieros y profesores de matemáticas. Además, se proporcionan artículos de tamaño mediano sobre problemas y métodos matemáticos específicos individuales; Estos artículos están destinados a un público más reducido de lectores y, por lo tanto, pueden ser menos accesibles. Finalmente, otro tipo de artículo son las referencias breves y las definiciones. Al final del último volumen de la Enciclopedia habrá un índice temático, que incluirá no solo los títulos de todos los artículos, sino también muchos conceptos, cuyas definiciones se darán también en los artículos de los dos primeros tipos. como los resultados más importantes mencionados en los artículos. La mayoría de los artículos de la Enciclopedia van acompañados de una bibliografía con números de serie para cada título, lo que permite citarlos en los textos de los artículos. Al final de los artículos (por regla general), se indica el autor o la fuente si el artículo ya se ha publicado anteriormente (principalmente son artículos de la Gran Enciclopedia Soviética). Los nombres de los científicos extranjeros (excepto los antiguos) mencionados en los artículos van acompañados de ortografía latina (si no hay un enlace a la lista de referencias).

Descargue y lea la Enciclopedia Matemática, Volumen 3, Vinogradov I.M., 1982

Descargue y lea la Enciclopedia Matemática, Volumen 2, Vinogradov I.M., 1979

Descargue y lea la Enciclopedia Matemática, Volumen 1, Vinogradov I.M., 1977

El álgebra fue originalmente una rama de las matemáticas que se ocupaba de la resolución de ecuaciones. A diferencia de la geometría, la construcción axiomática del álgebra no existió hasta mediados del siglo XIX, cuando apareció una visión fundamentalmente nueva del tema y la naturaleza del álgebra. La investigación comenzó a centrarse cada vez más en el estudio de las llamadas estructuras algebraicas. Esto tenía dos ventajas. Por un lado, se aclararon los ámbitos en los que son válidos los teoremas individuales; por otro lado, fue posible utilizar las mismas demostraciones en ámbitos completamente diferentes. Esta división del álgebra duró hasta mediados del siglo XX y se reflejó en la aparición de dos nombres: “álgebra clásica” y “álgebra moderna”. Esta última se caracteriza mejor con otro nombre: “álgebra abstracta”. El hecho es que esta sección, por primera vez en matemáticas, se caracterizó por una completa abstracción.

Descargue y lea la Pequeña Enciclopedia Matemática, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruzsa I., 1976

“Probabilidad y Estadística Matemática” es una publicación de referencia sobre teoría de la probabilidad, estadística matemática y sus aplicaciones en diversos campos de la ciencia y la tecnología. La enciclopedia tiene dos partes: la principal contiene artículos de revisión, artículos dedicados a problemas y métodos específicos individuales, breves referencias que dan definiciones de conceptos básicos, los teoremas y fórmulas más importantes. Se dedica un espacio considerable a cuestiones aplicadas: teoría de la información, teoría de colas, teoría de la confiabilidad, planificación experimental y áreas relacionadas: física, geofísica, genética, demografía y ramas individuales de la tecnología. La mayoría de los artículos van acompañados de una bibliografía de los trabajos más importantes sobre este tema. Los títulos de los artículos también están traducidos al inglés. La segunda parte, "Antología sobre teoría de la probabilidad y estadística matemática", contiene artículos escritos para enciclopedias nacionales del pasado, así como materiales enciclopédicos publicados anteriormente en otras obras. La enciclopedia va acompañada de una extensa lista de revistas, publicaciones periódicas y publicaciones en curso que cubren temas de teoría de la probabilidad y estadística matemática.
El material incluido en la Enciclopedia es necesario para estudiantes universitarios, estudiantes de posgrado e investigadores en el campo de las matemáticas y otras ciencias que utilizan métodos probabilísticos en sus investigaciones y trabajos prácticos.

Enciclopedia Matemática: una publicación de referencia sobre todas las ramas de las matemáticas. La Enciclopedia se basa en artículos de revisión dedicados a las áreas más importantes de las matemáticas. El principal requisito para artículos de este tipo es la posible integridad de la descripción general del estado actual de la teoría con la máxima accesibilidad de presentación; Estos artículos son generalmente accesibles para estudiantes de matemáticas de último año, estudiantes de posgrado y especialistas en campos relacionados de las matemáticas y, en ciertos casos, para especialistas en otras áreas del conocimiento que utilizan métodos matemáticos en su trabajo, ingenieros y profesores de matemáticas. Además, se proporcionan artículos de tamaño mediano sobre problemas y métodos matemáticos específicos individuales; Estos artículos están destinados a un público más reducido de lectores y, por lo tanto, pueden ser menos accesibles. Finalmente, otro tipo de artículo son las referencias breves y las definiciones. Algunas definiciones se dan dentro de los dos primeros tipos de artículos. La mayoría de los artículos de la Enciclopedia van acompañados de una bibliografía con números de serie para cada título, lo que permite citarlos en los textos de los artículos. Al final de los artículos (por regla general), se indica el autor o la fuente si el artículo ya se ha publicado anteriormente (principalmente son artículos de la Gran Enciclopedia Soviética). Los nombres de los científicos extranjeros (excepto los antiguos) mencionados en los artículos van acompañados de ortografía latina (si no hay un enlace a la lista de referencias).

El principio de ordenación de los artículos de la Enciclopedia es alfabético. Si el título del artículo es un término que tiene un sinónimo, este último se coloca después del principal. En muchos casos, los títulos de los artículos constan de dos o más palabras. En estos casos, los términos se dan en su forma más común o se da el primer lugar a la palabra con el significado más importante. Si el título de un artículo incluye un nombre propio, se coloca en primer lugar (la lista de referencias de dichos artículos, por regla general, contiene una fuente primaria que explica el nombre del término). Los títulos de los artículos se dan principalmente en singular.

La Enciclopedia utiliza ampliamente un sistema de enlaces a otros artículos, donde el lector encontrará información adicional sobre el tema en cuestión. La definición no hace referencia al término que aparece en el título del artículo.

Para ahorrar espacio, los artículos utilizan las abreviaturas habituales de algunas palabras en las enciclopedias.

Trabajó en el volumen 1.

Consejo editorial de matemáticas de la editorial "Enciclopedia soviética" - V. I. BITYUTSKOV (director editorial), M. I. VOITSEKHOVSKY (editor científico), Yu. A. GORBKOV (editor científico), A. B. IVANOV (editor científico senior), O A. IVANOVA (editor senior) editor científico), T. Y. POPOVA (editor científico), S. A. RUKOVA (editor científico senior), E. G. SOBOLEVSKAYA (editor), L. V. SOKOLOVA (editor junior), L. R. HABIB (editor junior).

Personal de la editorial: E. P. RYABOVA (editores literarios). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (bibliografía). A. F. DALKOVSKAYA (transcripción). N. A. FEDOROVA (departamento de adquisiciones). 3. A. SUKHOVA (edición de ilustraciones). E. I. ALEXEEVA, N. Y. KRUZHALOVA (editor del diccionario). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (corrector). G. V. SMIRNOVA (edición técnica).

Portada del artista R.I. MALANICHEV.

Información adicional sobre el volumen 1

Editorial "Enciclopedia soviética"

Enciclopedias, diccionarios, libros de referencia.

Consejo científico y editorial de la editorial.

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Moscú 1977

Enciclopedia matemática. Volumen 1 (A-D)

Redactor jefe I. M. VINOGRADOV

Equipo editorial

S. I. ADYAN, P. S. ALEXANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (editor jefe adjunto), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V EFIMOV, V. A. ILYIN, A. A. KARATSUBA, L. D. KUDRYAVTSEV, B. M. LEVITAN, K. K. MARZHANISHVILI, E.F. MISHCHENKO, S. P. NOVIKOV, E. G. POZNYAK, Y. V. PROKHOROV (editor jefe adjunto), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

Enciclopedia Matemática. Ed. junta directiva: I. M. Vinogradov (editor jefe) [y otros] T. 1 - M., “Soviet Encyclopedia”, 1977

(Enciclopedias. Diccionarios. Libros de referencia), vol.1. A - G. 1977. 1152 stb. de ilus.

Presentado para tipografía el 9 de junio de 1976. Firmado para impresión el 18 de febrero de 1977. Impresión de texto a partir de matrices realizadas en la Primera Imprenta Modelo que lleva su nombre. A. A. Zhdanova. Orden de la editorial Bandera Roja del Trabajo "Enciclopedia Soviética". 109817. Moscú, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 Tirada 150.000 ejemplares. N° de pedido 418. Papel de impresión N° 1. Formato de papel 84xl08 1/14. Volumen 36 físico. p.l. ; 60, 48 convencional p.l. texto. 101, 82 académicos. - editor. l. El precio del libro es de 7 rublos. 10k.

Orden de la Bandera Roja del Trabajo Imprenta de Moscú No. 1 "Soyuzpoligrafproma" dependiente del Comité Estatal del Consejo de Ministros de la URSS para la Edición, la Impresión y el Comercio del Libro, Moscú, I - 85, Prospekt Mira, 105. Orden No. 865.

20200 - 004 suscripción © Editorial "Enciclopedia Soviética", 1977 007(01) - 77

Enciclopedia Matemática

Enciclopedia Matemática- Publicación enciclopédica soviética en cinco volúmenes dedicados a temas matemáticos. Publicado en 1985 por la editorial "Enciclopedia Soviética". Editor jefe: Académico I. M. Vinogradov.

Esta es una publicación ilustrada fundamental sobre todas las ramas principales de las matemáticas. El libro presenta material extenso sobre el tema, biografías de matemáticos famosos, dibujos, gráficos, tablas y tablas.

Volumen total: alrededor de 3000 páginas. Distribución de artículos por volumen:

Volumen 1: Ábaco - Principio de Huygens, 576 págs.
Volumen 2: Operador D'Alembert - Juego cooperativo, 552 págs.
Volumen 3: Coordenadas - Monomio, 592 págs.
Volumen 4: Ojo del teorema - Función compleja, 608 págs.
Volumen 5: Variable aleatoria - Celda, 623 págs.
Apéndice del volumen 5: índice, lista de errores tipográficos observados.

Enlaces

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Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica.

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Enciclopedia- (nueva enciclopedia latina (no antes del siglo XVI) de otro griego ἐγκύκλιος παιδεία “aprendizaje en un círculo completo”, κύκλος círculo y παιδεία aprendizaje/paideia) incorporado al sistema sobre ... Wikipedia

ENCICLOPEDIA- (del griego enkykliospaideia formación en toda la gama de conocimientos), científico. o científico Publicación de referencia popular que contiene información sistematizada. cuerpo de conocimientos. El material en E. está ordenado alfabética o sistemáticamente. principio (por ramas del conocimiento).... ... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

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HIPÓTESIS MATEMÁTICAS- un presunto cambio en la forma, tipo y carácter de la ecuación que expresa la ley del área de fenómenos estudiada, con el objetivo de extenderla a un área nueva, aún no estudiada, como una ley inherente. M. g. se usa ampliamente en los tiempos modernos. teórico... ... Enciclopedia filosófica

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ESCUELA DE MATEMÁTICAS EN SOCIOLOGÍA- Inglés escuela de matemáticas en sociología; Alemán Mathematische Schule in der Soziologie. Una tendencia en sociología que surgió en la primera mitad del siglo XX, los fundadores de la sociología (A. Zipf, E. Dodd, etc.) creían que las teorías de un sociólogo alcanzan el nivel de... ... Enciclopedia de Sociología

Modelo matemático de edificios y estructuras.- Modelo matemático (informático) de edificios y estructuras: representación de edificios y estructuras en forma de diagrama de elementos finitos para realizar cálculos numéricos al resolver una serie de problemas que surgen durante el diseño, la construcción y... ... Enciclopedia de términos, definiciones y explicaciones de materiales de construcción.

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Enciclopedia matemática (juego de 5 libros), . Enciclopedia matemática: una publicación de referencia conveniente sobre todas las ramas de las matemáticas. La Enciclopedia se basa en artículos dedicados a las áreas más importantes de las matemáticas. El principio de ubicación...

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El contenido del artículo.

MATEMÁTICAS. Las matemáticas suelen definirse enumerando los nombres de algunas de sus ramas tradicionales. En primer lugar, se trata de aritmética, que se ocupa del estudio de los números, las relaciones entre ellos y las reglas para su funcionamiento. Los hechos de la aritmética son susceptibles de diversas interpretaciones específicas; por ejemplo, la relación 2 + 3 = 4 + 1 corresponde a la afirmación de que dos y tres libros hacen tantos libros como cuatro y uno. Cualquier relación como 2 + 3 = 4 + 1, es decir una relación entre objetos puramente matemáticos sin referencia a ninguna interpretación del mundo físico se llama abstracta. La naturaleza abstracta de las matemáticas permite que se utilicen para resolver una amplia variedad de problemas. Por ejemplo, el álgebra, que se ocupa de operaciones con números, puede resolver problemas que van más allá de la aritmética. Una rama más específica de las matemáticas es la geometría, cuya tarea principal es el estudio de los tamaños y formas de los objetos. La combinación de métodos algebraicos con geométricos conduce, por un lado, a la trigonometría (originalmente dedicada al estudio de los triángulos geométricos, y ahora cubre una gama mucho más amplia de temas), y por otro lado, a la geometría analítica, en la que Los cuerpos y figuras geométricas se estudian mediante métodos algebraicos. Hay varias ramas del álgebra superior y de la geometría que tienen un mayor grado de abstracción y no se ocupan del estudio de números ordinarios y figuras geométricas ordinarias; La más abstracta de las disciplinas geométricas se llama topología.

El análisis matemático se ocupa del estudio de cantidades que cambian en el espacio o el tiempo y se basa en dos conceptos básicos: función y límite, que no se encuentran en las ramas más elementales de las matemáticas. Inicialmente, el análisis matemático consistía en cálculo diferencial e integral, pero ahora incluye otras secciones.

Hay dos ramas principales de las matemáticas: las matemáticas puras, que enfatizan el razonamiento deductivo, y las matemáticas aplicadas. El término "matemáticas aplicadas" a veces se refiere a aquellas ramas de las matemáticas que se crearon específicamente para satisfacer las necesidades y requisitos de la ciencia y, a veces, a aquellas secciones de diversas ciencias (física, economía, etc.) que utilizan las matemáticas como medio para resolver problemas. sus tareas. Muchos conceptos erróneos comunes sobre las matemáticas surgen de la confusión de estas dos interpretaciones de las "matemáticas aplicadas". La aritmética puede ser un ejemplo de matemáticas aplicadas en el primer sentido y de contabilidad en el segundo.

Contrariamente a la creencia popular, las matemáticas siguen avanzando rápidamente. La revista Mathematical Review publica aprox. 8.000 breves resúmenes de artículos que contienen los últimos resultados: nuevos hechos matemáticos, nuevas pruebas de hechos antiguos e incluso información sobre áreas completamente nuevas de las matemáticas. La tendencia actual en la educación matemática es presentar a los estudiantes ideas matemáticas modernas y más abstractas en una fase más temprana de la enseñanza de las matemáticas. ver también HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS. Las matemáticas son una de las piedras angulares de la civilización, pero muy pocas personas tienen una idea del estado actual de esta ciencia.

Las matemáticas han experimentado enormes cambios en los últimos cien años, tanto en su materia como en sus métodos de investigación. En este artículo intentaremos dar una idea general de las principales etapas de la evolución de las matemáticas modernas, cuyos principales resultados pueden considerarse, por un lado, un aumento de la brecha entre la matemática pura y la aplicada, y por el otro, un replanteamiento completo de las áreas tradicionales de las matemáticas.

DESARROLLO DEL MÉTODO MATEMÁTICO

El nacimiento de las matemáticas.

Alrededor del año 2000 a.C. Se notó que en un triángulo con lados de 3, 4 y 5 unidades de longitud, uno de los ángulos mide 90° (esta observación facilitó la construcción de un ángulo recto para necesidades prácticas). ¿Te diste cuenta entonces de la razón 5 2 = 3 2 + 4 2? No tenemos ninguna información al respecto. Unos siglos más tarde se descubrió una regla general: en cualquier triángulo A B C con ángulo recto en el vértice A y las partes b = C.A. Y C = AB, entre los cuales está encerrado este ángulo, y el lado opuesto a = ANTES DE CRISTO. la relación es válida a 2 = b 2 + C 2. Podemos decir que la ciencia comienza cuando una masa de observaciones individuales se explica mediante una ley general; por lo tanto, el descubrimiento del "teorema de Pitágoras" puede considerarse uno de los primeros ejemplos conocidos de un logro verdaderamente científico.

Pero aún más importante para la ciencia en general y para las matemáticas en particular es el hecho de que, junto con la formulación de una ley general, parecen intentar demostrarla, es decir, demuestre que se sigue necesariamente de otras propiedades geométricas. Una de las “pruebas” orientales es especialmente clara por su sencillez: cuatro triángulos iguales a éste están inscritos en un cuadrado. BCDE como se muestra en el dibujo. Área cuadrada a 2 resulta estar dividido en cuatro triángulos iguales con un área total de 2 antes de Cristo y cuadrado AFGHárea ( b – C) 2 . De este modo, a 2 = (b – C) 2 + 2antes de Cristo = (b 2 + C 2 – 2antes de Cristo) + 2antes de Cristo = b 2 + C 2. Es instructivo ir un paso más allá y descubrir con mayor precisión qué propiedades “anteriores” se supone que se conocen. El hecho más obvio es que dado que los triángulos bachillerato Y BEF exactamente, sin espacios ni superposiciones, “encajados” a lo largo de los lados LICENCIADO EN LETRAS. Y B.F., esto significa que los dos ángulos del vértice B Y CON en un triangulo A B C juntos forman un ángulo de 90° y por lo tanto la suma de sus tres ángulos es igual a 90° + 90° = 180°. La "prueba" anterior también utiliza la fórmula ( antes de Cristo/2) para el área de un triángulo A B C con un ángulo de 90° en el vértice A. De hecho, también se utilizaron otros supuestos, pero lo dicho es suficiente para que podamos ver claramente el mecanismo esencial de la prueba matemática: el razonamiento deductivo, que permite, utilizando argumentos puramente lógicos (basados en material adecuadamente preparado, en nuestro ejemplo). dividir un cuadrado) para deducir de resultados conocidos nuevas propiedades, por regla general, no se derivan directamente de los datos disponibles.

Axiomas y métodos de prueba.

Una de las características fundamentales del método matemático es el proceso de creación, utilizando argumentos puramente lógicos cuidadosamente construidos, una cadena de enunciados en la que cada eslabón posterior está conectado con los anteriores. La primera consideración bastante obvia es que en cualquier cadena debe haber un primer eslabón. Esta circunstancia se hizo evidente para los griegos cuando comenzaron a sistematizar un conjunto de argumentos matemáticos en el siglo VII. ANTES DE CRISTO. Para implementar este plan, los griegos necesitaron aprox. Hace 200 años, y los documentos supervivientes proporcionan sólo una idea aproximada de cómo funcionaban exactamente. Sólo tenemos información precisa sobre el resultado final de la investigación: el famoso Principios Euclides (c. 300 a. C.). Euclides comienza enumerando las posiciones iniciales, de las que se derivan todas las demás de forma puramente lógica. Estas disposiciones se denominan axiomas o postulados (los términos son prácticamente intercambiables); expresan propiedades muy generales y algo vagas de objetos de cualquier tipo, por ejemplo, "el todo es mayor que la parte", o algunas propiedades matemáticas específicas, por ejemplo, que para dos puntos cualesquiera hay una línea recta única que los conecta . No tenemos información sobre si los griegos atribuyeron algún significado o significado más profundo a la “verdad” de los axiomas, aunque hay algunos indicios de que los griegos los discutieron durante algún tiempo antes de aceptar ciertos axiomas. En Euclides y sus seguidores, los axiomas se presentan sólo como puntos de partida para la construcción de las matemáticas, sin ningún comentario sobre su naturaleza.

En cuanto a los métodos de demostración, por regla general se reducían al uso directo de teoremas previamente probados. A veces, sin embargo, la lógica del razonamiento resultó ser más compleja. Mencionaremos aquí el método favorito de Euclides, que se ha convertido en parte de la práctica diaria de las matemáticas: la prueba indirecta o prueba por contradicción. Como ejemplo elemental de prueba por contradicción, mostraremos que un tablero de ajedrez del que se cortan dos cuadrados de esquina, ubicados en extremos opuestos de la diagonal, no se puede cubrir con fichas de dominó, cada una de las cuales sea igual a dos cuadrados. (Se supone que cada casilla del tablero de ajedrez debe cubrirse sólo una vez). Supongamos que la afirmación opuesta (“opuesta”) es verdadera, es decir, que el tablero se pueda cubrir con fichas de dominó. Cada ficha cubre un cuadrado negro y uno blanco, por lo que no importa cómo estén dispuestas las fichas de dominó, cubren un número igual de cuadrados blancos y negros. Sin embargo, debido a que se eliminan los dos cuadrados de las esquinas, el tablero de ajedrez (que originalmente tenía tantos cuadrados negros como blancos) tiene dos cuadrados más de un color que cuadrados del otro color. Esto significa que nuestra suposición inicial no puede ser cierta, ya que conduce a una contradicción. Y como las proposiciones que se contradicen entre sí no pueden ser falsas al mismo tiempo (si una de ellas es falsa, entonces la contraria es verdadera), nuestro supuesto inicial debe ser verdadero, porque el supuesto que lo contradice es falso; por lo tanto, un tablero de ajedrez con dos cuadrados en las esquinas cortados en diagonal no se puede cubrir con fichas de dominó. Entonces, para probar una determinada afirmación, podemos suponer que es falsa y deducir de esta suposición una contradicción con alguna otra afirmación cuya verdad se conoce.

Un excelente ejemplo de prueba por contradicción, que se convirtió en uno de los hitos en el desarrollo de las matemáticas griegas antiguas, es la prueba de que no es un número racional, es decir no representable como una fracción pag/q, Dónde pag Y q- números enteros. Si, entonces 2 = pag 2 /q 2, desde donde pag 2 = 2q 2. Supongamos que hay dos números enteros pag Y q, para cual pag 2 = 2q 2. En otras palabras, suponemos que existe un número entero cuyo cuadrado es el doble del cuadrado de otro número entero. Si algún número entero cumple esta condición, entonces uno de ellos debe ser más pequeño que todos los demás. Centrémonos en el más pequeño de estos números. que sea un numero pag. Desde 2 q 2 es un número par y pag 2 = 2q 2, luego el número pag 2 debe ser par. Como los cuadrados de todos los números impares son impares y el cuadrado pag 2 es par, lo que significa el número en sí pag debe ser parejo. En otras palabras, el número pag el doble del tamaño de algún número entero r. Porque pag = 2r Y pag 2 = 2q 2 , tenemos: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 y q 2 = 2r 2. La última igualdad tiene la misma forma que la igualdad. pag 2 = 2q 2, y podemos, repitiendo el mismo razonamiento, demostrar que el número q es par y que existe tal número entero s, Qué q = 2s. Pero entonces q 2 = (2s) 2 = 4s 2, y, desde q 2 = 2r 2 , concluimos que 4 s 2 = 2r 2 o r 2 = 2s 2. Esto nos da un segundo número entero que satisface la condición de que su cuadrado sea el doble del cuadrado del otro número entero. Pero entonces pag no puede ser el número más pequeño (ya que r = pag/2), aunque inicialmente asumimos que era el más pequeño de esos números. Por lo tanto, nuestra suposición inicial es falsa, ya que conduce a una contradicción y, por lo tanto, no existen tales números enteros. pag Y q, para cual pag 2 = 2q 2 (es decir, tal que ). Esto significa que el número no puede ser racional.

Desde Euclides hasta principios del siglo XIX.

Durante este período, las matemáticas cambiaron significativamente como resultado de tres innovaciones.

(1) En el proceso de desarrollo del álgebra, se inventó un método de notación simbólica que permitió representar en forma abreviada relaciones cada vez más complejas entre cantidades. Como ejemplo de los inconvenientes que surgirían si no existiera esa “escritura cursiva”, intentemos transmitir con palabras la relación ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: “El área de un cuadrado con un lado igual a la suma de los lados de dos cuadrados dados es igual a la suma de sus áreas más el doble del área de un rectángulo cuyos lados son iguales a los lados del cuadrados dados”.

(2) Creación en la primera mitad del siglo XVII. geometría analítica, que permitió reducir cualquier problema de geometría clásica a algún problema algebraico.

(3) La creación y desarrollo en el período de 1600 a 1800 del cálculo infinitesimal, que permitió resolver fácil y sistemáticamente cientos de problemas relacionados con los conceptos de límite y continuidad, de los cuales sólo unos pocos se resolvieron con gran dificultad. por los antiguos matemáticos griegos. Estas ramas de las matemáticas se analizan con más detalle en los artículos ÁLGEBRA; GEOMETRÍA ANALÍTICA ; ANÁLISIS MATEMÁTICO ; REVISIÓN DE GEOMETRÍA.

Desde el siglo XVII. La cuestión, que hasta ahora seguía siendo insoluble, se va aclarando poco a poco. ¿Qué son las matemáticas? Antes de 1800 la respuesta era bastante sencilla. En aquella época no había fronteras claras entre las distintas ciencias; las matemáticas formaban parte de la “filosofía natural”, el estudio sistemático de la naturaleza utilizando los métodos propuestos por los grandes reformadores del Renacimiento y principios del siglo XVII. – Galileo (1564–1642), F. Bacon (1561–1626) y R. Descartes (1596–1650). Se creía que los matemáticos tenían su propio campo de estudio (los números y los objetos geométricos) y que no utilizaban el método experimental. Sin embargo, Newton y sus seguidores estudiaron mecánica y astronomía utilizando el método axiomático, similar a cómo Euclides presentó la geometría. De manera más general, se reconoció que cualquier ciencia en la que los resultados de un experimento puedan representarse utilizando números o sistemas de números se convierte en un campo de aplicación de las matemáticas (en física, esta idea no se estableció hasta el siglo XIX).

Los campos de la ciencia experimental que han sido objeto de tratamiento matemático a menudo se denominan "matemáticas aplicadas"; Este es un nombre muy desafortunado, ya que, ni según los estándares clásicos ni modernos, existen (en sentido estricto) argumentos verdaderamente matemáticos en estas aplicaciones, ya que el tema de estudio en ellas son los objetos no matemáticos. Una vez que los datos experimentales se traducen al lenguaje de los números o las ecuaciones (dicha “traducción” a menudo requiere un gran ingenio por parte del matemático “aplicado”), resulta posible aplicar ampliamente los teoremas matemáticos; Luego, el resultado se traduce nuevamente y se compara con las observaciones. El hecho de que el término "matemáticas" se aplique a un proceso de este tipo es una de las fuentes de infinitos malentendidos. En la época “clásica” de la que ahora hablamos, este tipo de malentendidos no existían, ya que las mismas personas eran tanto matemáticos “aplicados” como “puros”, trabajando simultáneamente en problemas de análisis matemático o teoría de números, y problemas de dinámica u óptica. Sin embargo, la mayor especialización y la tendencia a separar las matemáticas "puras" y "aplicadas" debilitaron significativamente la tradición de universalidad previamente existente, y los científicos que, como J. von Neumann (1903-1957), pudieron realizar un trabajo científico activo en ambas aplicadas y en matemáticas puras se han convertido en la excepción y no en la regla.

¿Cuál es la naturaleza de los objetos matemáticos (números, puntos, líneas, ángulos, superficies, etc.) cuya existencia dábamos por sentada? ¿Qué significa el concepto “verdad” en relación con tales objetos? En el período clásico se dieron respuestas bastante definitivas a estas preguntas. Por supuesto, los científicos de esa época entendieron claramente que en el mundo de nuestras sensaciones no existen cosas como "una línea recta infinitamente extendida" o "un punto adimensional" de Euclides, así como no existen "metales puros", "monocromáticos". luz”, “sistemas con aislamiento térmico”, etc. .d., que los experimentadores operan en su razonamiento. Todos estos conceptos son “ideas platónicas”, es decir. una especie de modelos generativos de conceptos empíricos, aunque de naturaleza radicalmente distinta. Sin embargo, se asumió tácitamente que las “imágenes” físicas de las ideas podían ser tan cercanas como se deseara a las ideas mismas. En la medida en que se pueda decir algo sobre la proximidad de los objetos a las ideas, se dice que las "ideas" son, por así decirlo, "casos límite" de los objetos físicos. Desde este punto de vista, los axiomas de Euclides y los teoremas que de ellos se derivan expresan las propiedades de objetos "ideales" a los que deben corresponder hechos experimentales predecibles. Por ejemplo, midiendo por métodos ópticos los ángulos de un triángulo formado por tres puntos en el espacio, en el “caso ideal” debería dar una suma igual a 180°. En otras palabras, los axiomas se colocan al mismo nivel que las leyes físicas y, por lo tanto, su “verdad” se percibe de la misma manera que la verdad de las leyes físicas; aquellos. Las consecuencias lógicas de los axiomas están sujetas a verificación mediante comparación con datos experimentales. Por supuesto, sólo se puede lograr un acuerdo dentro de los límites del error asociado tanto con la naturaleza “imperfecta” del instrumento de medición como con la “naturaleza imperfecta” del objeto medido. Sin embargo, siempre se supone que si las leyes son “verdaderas”, las mejoras en los procesos de medición pueden, en principio, hacer que el error de medición sea tan pequeño como se desee.

Durante todo el siglo XVIII. Cada vez había más evidencia de que todas las consecuencias obtenidas de los axiomas básicos, especialmente en astronomía y mecánica, son consistentes con los datos experimentales. Y dado que estas consecuencias se obtuvieron utilizando el aparato matemático que existía en ese momento, los éxitos logrados contribuyeron a fortalecer la opinión sobre la verdad de los axiomas de Euclides, que, como dijo Platón, es "clara para todos" y no está sujeta a discusión.

Dudas y nuevas esperanzas.

Geometría no euclidiana.

Entre los postulados de Euclides, uno era tan obvio que incluso los primeros alumnos del gran matemático lo consideraron un punto débil del sistema. Comenzó. El axioma en cuestión establece que a través de un punto que se encuentra fuera de una línea dada, sólo se puede trazar una línea paralela a esta. La mayoría de los geómetras creían que el axioma de las paralelas podía demostrarse mediante otros axiomas, y que Euclides formuló el enunciado de las paralelas como un postulado simplemente porque no pudo llegar a tal prueba. Pero, aunque los mejores matemáticos intentaron resolver el problema de los paralelos, ninguno logró superar a Euclides. Finalmente, en la segunda mitad del siglo XVIII. Se intentó probar el postulado de paralelos de Euclides por contradicción. Se ha sugerido que el axioma de las paralelas es falso. A priori, el postulado de Euclides podría resultar falso en dos casos: si es imposible trazar una sola recta paralela por un punto exterior a una recta dada; o si a través de él se pueden trazar varios paralelos. Resultó que la primera posibilidad a priori queda excluida por otros axiomas. Habiendo adoptado un nuevo axioma en lugar del tradicional axioma de las paralelas (que a través de un punto fuera de una recta determinada se pueden trazar varias rectas paralelas a esta), los matemáticos intentaron derivar de él una afirmación que contradecía otros axiomas, pero fracasaron: no Por mucho que intentaran sacar consecuencias del nuevo axioma “antieuclidiano” o “no euclidiano”, nunca apareció una contradicción. Finalmente, independientemente uno del otro, N. I. Lobachevsky (1793–1856) y J. Bolyai (1802–1860) se dieron cuenta de que el postulado de Euclides sobre los paralelos no es demostrable o, en otras palabras, que no aparecerá una contradicción en la “geometría no euclidiana”. "

Con el advenimiento de la geometría no euclidiana, surgieron inmediatamente varios problemas filosóficos. Dado que había desaparecido la afirmación de la necesidad a priori de los axiomas, la única manera que quedaba de comprobar su “verdad” era la experimental. Pero, como señaló más tarde A. Poincaré (1854-1912), en la descripción de cualquier fenómeno se esconden tantos supuestos físicos que ni un solo experimento puede proporcionar evidencia convincente de la verdad o falsedad de un axioma matemático. Además, incluso si asumimos que nuestro mundo es “no euclidiano”, ¿se sigue de ello que toda la geometría euclidiana es falsa? Hasta donde se sabe, ningún matemático ha considerado jamás seriamente tal hipótesis. La intuición sugirió que tanto la geometría euclidiana como la no euclidiana son ejemplos de matemáticas en toda regla.

"Monstruos" matemáticos.

Inesperadamente, se llegó a las mismas conclusiones desde una dirección completamente diferente: se descubrieron objetos que sorprendieron a los matemáticos del siglo XIX. sorprendidos y apodados "monstruos matemáticos". Este descubrimiento está directamente relacionado con cuestiones muy sutiles del análisis matemático que surgieron recién a mediados del siglo XIX. Surgieron dificultades al intentar encontrar un análogo matemático exacto del concepto experimental de curva. Cuál era la esencia del concepto de "movimiento continuo" (por ejemplo, la punta de un bolígrafo que se mueve sobre una hoja de papel) estaba sujeto a una definición matemática precisa, y este objetivo se logró cuando el concepto de continuidad adquirió una estricta definición matemática. significado ( cm. También CURVA). Intuitivamente parecía que la “curva” en cada uno de sus puntos tenía una dirección, es decir en el caso general, en las proximidades de cada uno de sus puntos, una curva se comporta casi igual que una línea recta. (Por otro lado, no es difícil imaginar que una curva tenga un número finito de vértices, “pliegues”, como un polígono). Este requisito podría formularse matemáticamente, es decir, la existencia de una tangente a la curva era asumido, y hasta mediados del siglo XIX. se creía que la “curva” tenía una tangente en casi todos sus puntos, quizás con excepción de algunos puntos “especiales”. Por tanto, el descubrimiento de “curvas” que no tenían tangente en ningún punto provocó un auténtico escándalo ( cm. También TEORÍA DE FUNCIONES). (El lector familiarizado con la trigonometría y la geometría analítica puede verificar fácilmente que la curva dada por la ecuación y = X pecado(1/ X), no tiene tangente en el origen, pero definir una curva que no tiene tangente en ninguno de sus puntos es mucho más difícil.)

Un poco más tarde se obtuvo un resultado mucho más “patológico”: se pudo construir un ejemplo de curva que ocupa completamente un cuadrado. Desde entonces, se han inventado cientos de “monstruos” de este tipo, en contra del “sentido común”. Cabe destacar que la existencia de objetos matemáticos tan inusuales se deriva de axiomas básicos tan estricta y lógicamente impecables como la existencia de un triángulo o una elipse. Porque los "monstruos" matemáticos no pueden corresponder a ningún objeto experimental, y la única conclusión posible es que el mundo de las "ideas" matemáticas es mucho más rico e inusual de lo que cabría esperar, y sólo muy pocas de ellas tienen correspondencias en el mundo de nuestro sensaciones. Pero si los “monstruos” matemáticos se derivan lógicamente de los axiomas, ¿pueden todavía considerarse verdaderos los axiomas?

Nuevos objetos.

Los resultados anteriores se confirmaron desde un lado más: en matemáticas, principalmente en álgebra, uno tras otro comenzaron a aparecer nuevos objetos matemáticos, que eran generalizaciones del concepto de número. Los números enteros ordinarios son bastante "intuitivos", y no es nada difícil llegar al concepto experimental de fracción (aunque hay que admitir que la operación de dividir una unidad en varias partes iguales y elegir varias de ellas es de naturaleza diferente del proceso de contar). Una vez que se descubrió que un número no podía representarse como una fracción, los griegos se vieron obligados a considerar los números irracionales, cuya correcta determinación mediante una secuencia infinita de aproximaciones de números racionales pertenece a los mayores logros de la mente humana, pero difícilmente Corresponde a cualquier cosa real en nuestro mundo físico (donde cualquier medición está invariablemente asociada con errores). Sin embargo, la introducción de los números irracionales se produjo más o menos en el espíritu de la "idealización" de los conceptos físicos. ¿Qué podemos decir de los números negativos, que lentamente, encontrando gran resistencia, comenzaron a entrar en uso científico en relación con el desarrollo del álgebra? Se puede afirmar con toda certeza que no existían objetos físicos prefabricados a partir de los cuales, mediante el proceso de abstracción directa, pudiéramos desarrollar el concepto de número negativo, y al enseñar un curso de álgebra elemental tenemos que introducir muchos Ejemplos auxiliares y bastante complejos (segmentos orientados, temperaturas, deudas, etc.) para explicar qué son los números negativos. Esta situación está muy lejos de ser un concepto “claro para todos”, como Platón exigía de las ideas subyacentes a las matemáticas, y a menudo nos encontramos con graduados universitarios para quienes la regla de los signos sigue siendo un misterio (– a)(–b) = ab. ver también NÚMERO .

La situación es aún peor con los números “imaginarios” o “complejos”, ya que incluyen un “número” i, tal que i 2 = –1, lo cual es una clara violación de la regla de los signos. Sin embargo, los matemáticos de finales del siglo XVI. no dudan en realizar cálculos con números complejos como si “tuvieran sentido”, aunque hace 200 años no podían definir estos “objetos” ni interpretarlos utilizando ninguna construcción auxiliar, como, por ejemplo, se interpretaban utilizando segmentos dirigidos de números negativos. . (Después de 1800, se propusieron varias interpretaciones de los números complejos, la más famosa utilizando vectores en el plano).

Axiomática moderna.

La revolución tuvo lugar en la segunda mitad del siglo XIX. Y aunque no estuvo acompañada de la adopción de declaraciones oficiales, en realidad se trataba de la proclamación de una especie de “declaración de independencia”. Más concretamente, sobre la declaración de facto de independencia de las matemáticas del mundo exterior.

Desde este punto de vista, los "objetos" matemáticos, si es que tiene sentido hablar de su "existencia", son puras creaciones de la mente, y ¿tienen alguna "correspondencia" y permiten alguna "interpretación" en el mundo físico? , porque las matemáticas no son importantes (aunque esta pregunta en sí misma es interesante).

Las afirmaciones “verdaderas” sobre tales “objetos” son las mismas consecuencias lógicas de los axiomas. Pero ahora los axiomas deben considerarse completamente arbitrarios y, por lo tanto, no hay necesidad de que sean "obvios" o deducibles de la experiencia cotidiana mediante la "idealización". En la práctica, la libertad total está limitada por varias consideraciones. Por supuesto, los objetos "clásicos" y sus axiomas permanecen sin cambios, pero ahora no pueden considerarse los únicos objetos y axiomas de las matemáticas, y el hábito de descartar o reelaborar los axiomas se ha convertido en parte de la práctica cotidiana, de modo que es posible utilizarlos de diferentes maneras, como se hizo durante la transición de la geometría euclidiana a la no euclidiana. (Es así como se han obtenido numerosas variantes de geometrías “no euclidianas”, diferentes de la geometría euclidiana y de la geometría de Lobachevsky-Bolyai; por ejemplo, hay geometrías no euclidianas en las que no hay líneas paralelas.)

Me gustaría destacar especialmente una circunstancia que se deriva del nuevo enfoque de los “objetos” matemáticos: todas las demostraciones deben basarse exclusivamente en axiomas. Si recordamos la definición de prueba matemática, entonces tal afirmación puede parecer repetitiva. Sin embargo, esta regla rara vez se siguió en las matemáticas clásicas debido a la naturaleza "intuitiva" de sus objetos o axiomas. Incluso en Principios Euclides, a pesar de su aparente “rigor”, muchos axiomas no se formulan explícitamente y muchas propiedades se asumen tácitamente o se introducen sin justificación suficiente. Para dotar a la geometría euclidiana de una base sólida era necesaria una revisión crítica de sus propios principios. No vale la pena decir que el control pedante sobre los detalles más pequeños de una demostración es consecuencia de la aparición de "monstruos" que enseñaron a los matemáticos modernos a ser cuidadosos en sus conclusiones. La afirmación más inofensiva y "evidente" sobre los objetos clásicos, por ejemplo, la afirmación de que una curva que conecta puntos ubicados en lados opuestos de una línea necesariamente corta a esta línea, requiere una prueba formal estricta en las matemáticas modernas.

Puede parecer paradójico decir que es precisamente por su adherencia a los axiomas que las matemáticas modernas sirven como un claro ejemplo de lo que debería ser cualquier ciencia. Sin embargo, este enfoque ilustra un rasgo característico de uno de los procesos más fundamentales del pensamiento científico: la obtención de información precisa en una situación de conocimiento incompleto. El estudio científico de una determinada clase de objetos supone que las características que permiten distinguir un objeto de otro se relegan deliberadamente al olvido, y sólo se conservan las características generales de los objetos considerados. Lo que distingue a las matemáticas del conjunto general de ciencias es el estricto cumplimiento de este programa en todos sus puntos. Se dice que los objetos matemáticos están completamente determinados por los axiomas utilizados en la teoría de esos objetos; o, en palabras de Poincaré, los axiomas sirven como “definiciones disfrazadas” de los objetos a los que se refieren.

MATEMÁTICAS MODERNAS

Aunque la existencia de cualquier axioma es teóricamente posible, hasta ahora sólo se ha propuesto y estudiado un pequeño número de axiomas. Generalmente, durante el desarrollo de una o más teorías, se observa que ciertos patrones de prueba se repiten en condiciones más o menos similares. Una vez que se descubren las propiedades utilizadas en los esquemas de demostración generales, se formulan como axiomas y sus consecuencias se incorporan a una teoría general que no tiene relación directa con los contextos específicos de los cuales se abstrajeron los axiomas. Los teoremas generales obtenidos de esta forma son aplicables a cualquier situación matemática en la que existan sistemas de objetos que satisfagan los axiomas correspondientes. La repetición de los mismos esquemas de demostración en diferentes situaciones matemáticas indica que estamos tratando con diferentes especificaciones de la misma teoría general. Esto significa que después de una interpretación adecuada, los axiomas de esta teoría se convierten en teoremas en cada situación. Cualquier propiedad derivada de los axiomas será válida en todas estas situaciones, pero no es necesaria una demostración separada para cada caso. En tales casos, se dice que las situaciones matemáticas comparten la misma "estructura" matemática.

Utilizamos la idea de estructura en cada paso de nuestra vida diaria. Si el termómetro marca 10 ° C y la oficina de pronóstico predice un aumento de temperatura de 5 ° C, sin ningún cálculo esperamos una temperatura de 15 ° C. Si se abre un libro en la página 10 y se nos pide que miremos 5 páginas más , no dudamos en abrirlo en la página 15, sin contar las páginas intermedias. En ambos casos, creemos que la suma de los números da el resultado correcto, independientemente de su interpretación, como temperatura o números de página. No necesitamos aprender una aritmética para termómetros y otra para números de páginas (aunque sí utilizamos una aritmética especial cuando tratamos con relojes, en la que 8 + 5 = 1, ya que los relojes tienen una estructura diferente a la de las páginas de un libro). Las estructuras que interesan a los matemáticos son algo más complejas, lo cual es fácil de ver en los ejemplos que se analizan en las dos secciones siguientes de este artículo. Uno de ellos hablará sobre la teoría de grupos y los conceptos matemáticos de estructuras e isomorfismos.

Teoría de grupos.

Para comprender mejor el proceso descrito anteriormente, tomemos la libertad de mirar en el laboratorio de un matemático moderno y observar más de cerca una de sus principales herramientas: la teoría de grupos ( cm. TambiénÁLGEBRA ABSTRACTA). Un grupo es un conjunto (o “conjunto”) de objetos. GRAMO, en el que se define una operación que coincide con dos objetos o elementos cualesquiera a, b de GRAMO, tomado en el orden especificado (primero es el elemento a, el segundo es el elemento b), tercer elemento C de GRAMO según una regla estrictamente definida. Por brevedad, denotamos este elemento. a*b; El asterisco (*) denota la operación de composición de dos elementos. Esta operación, que llamaremos multiplicación de grupos, debe cumplir las siguientes condiciones:

(1) para tres elementos cualesquiera a, b, C de GRAMO la propiedad de asociatividad se cumple: a* (b*C) = (a*b) *C;

(2) en GRAMO existe tal elemento mi, que para cualquier elemento a de GRAMO hay una relacion mi*a = a*mi = a; este elemento mi llamado elemento singular o neutro de un grupo;

(3) para cualquier elemento a de GRAMO existe tal elemento aў, llamado inverso o simétrico al elemento a, Qué a*aў = aў* a = mi.

Si estas propiedades se toman como axiomas, entonces sus consecuencias lógicas (independientes de cualquier otro axioma o teorema) forman en conjunto lo que comúnmente se llama teoría de grupos. Deducir estas consecuencias de una vez por todas resultó muy útil, ya que los grupos se utilizan ampliamente en todas las ramas de las matemáticas. De miles de posibles ejemplos de grupos, seleccionaremos sólo algunos de los más simples.

(a) Fracciones pag/q, Dónde pag Y q– enteros arbitrarios i1 (con q= 1 obtenemos números enteros ordinarios). fracciones pag/q formar un grupo mediante la multiplicación de grupos ( pag/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Las propiedades (1), (2), (3) se derivan de los axiomas de la aritmética. En realidad, [( pag/q) *(r/s)] *(t/tu) = (prt)/(qsu) = (pag/q)*[(r/s)*(t/tu)]. El elemento unitario es el número 1 = 1/1, ya que (1/1)*( pag/q) = (1H pag)/(1H q) = pag/q. Finalmente, el elemento inverso de la fracción. pag/q, es una fracción q/pag, porque ( pag/q)*(q/pag) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Considerar como GRAMO un conjunto de cuatro números enteros 0, 1, 2, 3, y como a*b- resto de la división a + b en 4. Los resultados de la operación introducida de esta manera se presentan en la tabla. 1 (elemento a*b se encuentra en la intersección de la línea a y columna b). Es fácil verificar que las propiedades (1) a (3) se cumplen y que el elemento identidad es el número 0.

(c) Elijamos como GRAMO un conjunto de números 1, 2, 3, 4, y como a*b- resto de la división ab(producto ordinario) por 5. Como resultado, obtenemos la tabla. 2. Es fácil comprobar que las propiedades (1) a (3) se cumplen y que el elemento identidad es 1.

(d) Cuatro objetos, como los cuatro números 1, 2, 3, 4, se pueden ordenar en fila de 24 maneras. Cada arreglo se puede representar visualmente como una transformación que transforma el arreglo “natural” en uno determinado; por ejemplo, la disposición 4, 1, 2, 3 resulta de la transformación

S: 1® 4, 2® 1, 3® 2, 4® 3,

que se puede escribir en una forma más conveniente

Para dos transformaciones de este tipo S, t nosotros determinaremos S*t como una transformación que resulta de la ejecución secuencial t, y luego S. Por ejemplo, si, entonces. Con esta definición, las 24 transformaciones posibles forman un grupo; su elemento unitario es , y el elemento inverso a S, obtenido reemplazando las flechas en la definición S al contrario; por ejemplo, si, entonces.

Es fácil ver que en los primeros tres ejemplos a*b = b*a; en tales casos se dice que el grupo o la multiplicación de grupos es conmutativo. Por otro lado, en el último ejemplo, y por tanto t*S difiere de S*t.

El grupo del ejemplo (d) es un caso especial de los llamados. grupo simétrico, cuyas aplicaciones incluyen, entre otras cosas, métodos para la resolución de ecuaciones algebraicas y el comportamiento de líneas en los espectros de átomos. Los grupos de los ejemplos (b) y (c) desempeñan un papel importante en la teoría de números; en el ejemplo (b) el número 4 se puede reemplazar por cualquier número entero norte y números del 0 al 3 – números del 0 al 3 norte– 1 (con norte= 12 obtenemos un sistema de números que están en las esferas del reloj, como mencionamos anteriormente); en el ejemplo (c) el número 5 se puede reemplazar por cualquier número primo R y números del 1 al 4 - números del 1 al pag – 1.

Estructuras e isomorfismo.

Los ejemplos anteriores muestran cuán variada puede ser la naturaleza de los objetos que forman un grupo. Pero, de hecho, en cada caso, todo se reduce al mismo escenario: de las propiedades de un conjunto de objetos, consideramos solo aquellas que convierten este conjunto en un grupo (¡aquí hay un ejemplo de conocimiento incompleto!). En tales casos se dice que estamos considerando la estructura de grupo dada por la multiplicación de grupo que hemos elegido.

Otro ejemplo de estructura es el llamado. estructura de orden. Un montón de mi dotado de la estructura de orden, u ordenado si entre los elementos a è b, perteneciendo a mi, se da una cierta relación, que denotamos R (a,b). (Esta relación debe tener sentido para cualquier par de elementos de mi, pero en general es falso para algunos pares y verdadero para otros, por ejemplo, la relación 7

(1) R (a,a) cierto para todos A, propiedad mi;

(2) de R (a,b) Y R (b,a) sigue que a = b;

(3) de R (a,b) Y R (b,C) debería R (a,C).

Demos algunos ejemplos de una gran cantidad de diversos conjuntos ordenados.

(A) mi consta de todos los números enteros R (a,b) – relación “ A menos o igual b».

(b) mi consta de todos los números enteros >1, R (a,b) – relación “ A divide b o igual b».

Como ejemplo final de estructura, mencionemos la estructura del espacio métrico; tal estructura está definida en el conjunto mi, si cada par de elementos a Y b perteneciendo a mi, puedes hacer coincidir el número d (a,b) i 0, satisfaciendo las siguientes propiedades:

(1) d (a,b) = 0 si y sólo si a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,C) Ј d (a,b) + d (b,C) para tres elementos dados a, b, C de mi.

Demos ejemplos de espacios métricos:

(a) espacio "tridimensional" ordinario, donde d (a,b) – distancia ordinaria (o “euclidiana”);

(b) la superficie de una esfera, donde d (a,b) – la longitud del arco más pequeño de un círculo que conecta dos puntos a Y b en la esfera;

La definición precisa del concepto de estructura es bastante difícil. Sin entrar en detalles, podemos decir que en muchos mi una estructura de un cierto tipo se especifica si entre los elementos del conjunto mi(y a veces otros objetos, por ejemplo, números que desempeñan un papel auxiliar) se especifican relaciones que satisfacen un cierto conjunto fijo de axiomas que caracterizan la estructura del tipo considerado. Arriba presentamos los axiomas de tres tipos de estructuras. Por supuesto, existen muchos otros tipos de estructuras cuyas teorías están plenamente desarrolladas.

Muchos conceptos abstractos están estrechamente relacionados con el concepto de estructura; Mencionemos sólo uno de los más importantes: el concepto de isomorfismo. Recuerde el ejemplo de los grupos (b) y (c) dado en la sección anterior. Es fácil comprobarlo en la tabla. 1 a la mesa 2 se puede navegar usando coincidencias

0® 1, 1® 2, 2® 4, 3® 3.

En este caso decimos que estos grupos son isomorfos. En general, dos grupos GRAMO Y GRAMOў son isomorfos si entre los elementos del grupo GRAMO y elementos del grupo GRAMOў es posible establecer dicha correspondencia uno a uno a « aў, ¿y si C = a*b, Eso Cў = aў* bў para los elementos correspondientes Gў. Cualquier afirmación de la teoría de grupos que sea válida para un grupo. GRAMO, sigue siendo válido para el grupo. GRAMOў, y viceversa. grupos algebraicamente GRAMO Y GRAMOў indistinguible.

El lector puede ver fácilmente que exactamente de la misma manera se pueden definir dos conjuntos ordenados isomórficos o dos espacios métricos isomórficos. Se puede demostrar que el concepto de isomorfismo se extiende a estructuras de cualquier tipo.

CLASIFICACIÓN

Viejas y nuevas clasificaciones de las matemáticas.

El concepto de estructura y otros conceptos relacionados han ocupado un lugar central en las matemáticas modernas, tanto desde un punto de vista puramente “técnico” como filosófico y metodológico. Los teoremas generales de los principales tipos de estructuras sirven como herramientas extremadamente poderosas de la "técnica" matemática. Siempre que un matemático logra demostrar que los objetos que estudia satisfacen los axiomas de un determinado tipo de estructura, demuestra con ello que todos los teoremas de la teoría de estructuras de este tipo se aplican a los objetos específicos que está estudiando (sin estos teoremas generales, muy probablemente habría perdido de vista sus opciones específicas o me habría visto obligado a cargar mi razonamiento con suposiciones innecesarias). De manera similar, si se demuestra que dos estructuras son isomorfas, entonces el número de teoremas se duplica inmediatamente: cada teorema demostrado para una de las estructuras da inmediatamente un teorema correspondiente para la otra. No es sorprendente, por tanto, que existan teorías muy complejas y difíciles, por ejemplo, la “teoría de campos de clases” en la teoría de números, cuyo objetivo principal es demostrar el isomorfismo de las estructuras.

Desde un punto de vista filosófico, el uso generalizado de estructuras e isomorfismos demuestra la característica principal de las matemáticas modernas: el hecho de que la "naturaleza" de los "objetos" matemáticos no importa mucho, sólo las relaciones entre los objetos son significativas (una especie de principio de conocimiento incompleto).

Finalmente, no se puede dejar de mencionar que el concepto de estructura ha permitido clasificar las ramas de las matemáticas de una manera nueva. Hasta mediados del siglo XIX. variaron según el tema del estudio. La aritmética (o teoría de números) se ocupaba de números enteros, la geometría se ocupaba de líneas rectas, ángulos, polígonos, círculos, áreas, etc. El álgebra se ocupaba casi exclusivamente de métodos para resolver ecuaciones numéricas o sistemas de ecuaciones; la geometría analítica desarrolló métodos para convertir problemas geométricos en problemas algebraicos equivalentes. La gama de intereses de otra importante rama de las matemáticas, llamada “análisis matemático”, incluía principalmente el cálculo diferencial e integral y sus diversas aplicaciones a la geometría, el álgebra y la teoría de números pares. El número de estas aplicaciones aumentó, y también aumentó su importancia, lo que llevó a la fragmentación del análisis matemático en subsecciones: teoría de funciones, ecuaciones diferenciales (derivadas ordinarias y parciales), geometría diferencial, cálculo de variaciones, etc.

Para muchos matemáticos modernos, este enfoque recuerda la historia de la clasificación de los animales por los primeros naturalistas: hace un tiempo, tanto la tortuga marina como el atún eran considerados peces porque vivían en el agua y tenían características similares. El enfoque moderno nos ha enseñado a ver no sólo lo que hay en la superficie, sino también a mirar más profundamente y tratar de reconocer las estructuras fundamentales que se esconden detrás de la apariencia engañosa de los objetos matemáticos. Desde este punto de vista, es importante estudiar los tipos de estructuras más importantes. Es poco probable que tengamos a nuestra disposición una lista completa y definitiva de estos tipos; algunos de ellos han sido descubiertos en los últimos 20 años y hay muchas razones para esperar nuevos descubrimientos en el futuro. Sin embargo, ya conocemos muchos de los tipos básicos de estructuras "abstractas". (Son “abstractos” en comparación con los objetos “clásicos” de las matemáticas, aunque incluso éstos difícilmente pueden llamarse “concretos”; es más una cuestión del grado de abstracción.)

Las estructuras conocidas se pueden clasificar por las relaciones que contienen o por su complejidad. Por un lado, existe un extenso bloque de estructuras “algebraicas”, cuyo caso especial es, por ejemplo, una estructura de grupo; Entre otras estructuras algebraicas denominamos anillos y campos ( cm. TambiénÁLGEBRA ABSTRACTA). La rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de estructuras algebraicas se denomina "álgebra moderna" o "álgebra abstracta", en contraste con el álgebra ordinaria o clásica. Una parte importante de la geometría euclidiana, la geometría no euclidiana y la geometría analítica también se incluyeron en la nueva álgebra.

Al mismo nivel de generalidad se encuentran otros dos bloques de estructuras. Uno de ellos, llamado topología general, incluye teorías de tipos de estructuras, cuyo caso especial es la estructura de un espacio métrico ( cm. TOPOLOGÍA ; ESPACIOS ABSTRACTOS). El tercer bloque consta de teorías de las estructuras de orden y sus extensiones. La “ampliación” de la estructura consiste en añadir nuevos axiomas a los existentes. Por ejemplo, si a los axiomas del grupo le sumamos la propiedad de conmutatividad como cuarto axioma a*b = b*a, entonces obtenemos la estructura de un grupo conmutativo (o abeliano).

De estos tres bloques, los dos últimos se encontraban en un estado relativamente estable hasta hace poco, y el bloque de “álgebra moderna” estaba creciendo rápidamente, a veces en direcciones inesperadas (por ejemplo, se desarrolló una rama completa llamada “álgebra homológica”). Fuera del llamado En otro nivel se encuentran tipos de estructuras “puras”: estructuras “mixtas”, por ejemplo algebraicas y topológicas, junto con nuevos axiomas que las conectan. Se han estudiado muchas combinaciones de este tipo, la mayoría de las cuales se dividen en dos grandes bloques: "álgebra topológica" y "topología algebraica".

En conjunto, estos bloques constituyen un campo de ciencia “abstracto” muy sustancial. Muchos matemáticos esperan utilizar nuevas herramientas para comprender mejor las teorías clásicas y resolver problemas difíciles. De hecho, con el nivel adecuado de abstracción y generalización, los problemas de los antiguos pueden aparecer bajo una nueva luz que permitirá encontrar sus soluciones. Grandes porciones de material clásico quedaron bajo el dominio de las nuevas matemáticas y fueron transformadas o fusionadas con otras teorías. Quedan vastas áreas en las que los métodos modernos no han penetrado tan profundamente. Los ejemplos incluyen la teoría de ecuaciones diferenciales y gran parte de la teoría de números. Es muy probable que se logren avances significativos en estas áreas una vez que se descubran y estudien a fondo nuevos tipos de estructuras.

DIFICULTADES FILOSÓFICAS

Incluso los antiguos griegos entendieron claramente que la teoría matemática debería estar libre de contradicciones. Esto significa que es imposible derivar como consecuencia lógica de los axiomas el enunciado R y su negación no es PAG. Sin embargo, como se creía que los objetos matemáticos tenían correspondencias en el mundo real y los axiomas eran "idealizaciones" de las leyes de la naturaleza, nadie dudaba de la coherencia de las matemáticas. Durante la transición de las matemáticas clásicas a las matemáticas modernas, el problema de la coherencia adquirió un significado diferente. La libertad de elegir los axiomas de cualquier teoría matemática debe estar obviamente limitada por la condición de coherencia, pero ¿puede uno estar seguro de que esta condición se cumplirá?

Ya hemos mencionado el concepto de conjunto. Este concepto siempre se ha utilizado de forma más o menos explícita en matemáticas y lógica. En la segunda mitad del siglo XIX. Se sistematizaron parcialmente las reglas elementales para el manejo del concepto de conjunto, además, se obtuvieron algunos resultados importantes que formaron el contenido del llamado. teoría de conjuntos ( cm. También TEORÍA DE CONJUNTOS), que se convirtió, por así decirlo, en el sustrato de todas las demás teorías matemáticas. Desde la antigüedad hasta el siglo XIX. Existían preocupaciones sobre los conjuntos infinitos, por ejemplo, reflejadas en las famosas paradojas de Zenón de Eleática (siglo V a. C.). Estas preocupaciones eran en parte de naturaleza metafísica y en parte causadas por dificultades asociadas con el concepto de medir cantidades (por ejemplo, longitud o tiempo). Estas dificultades sólo pudieron eliminarse después del siglo XIX. Los conceptos básicos del análisis matemático estaban estrictamente definidos. En 1895 todos los temores se disiparon y parecía que las matemáticas descansaban sobre los cimientos inquebrantables de la teoría de conjuntos. Pero en la década siguiente surgieron nuevos argumentos que parecían mostrar la inconsistencia interna de la teoría de conjuntos (y el resto de las matemáticas).

Las nuevas paradojas eran muy simples. La primera de ellas, la paradoja de Russell, puede considerarse en una versión simple conocida como la paradoja del barbero. En cierto pueblo, un barbero afeita a todos los vecinos que no se afeitan ellos mismos. ¿Quién afeita al barbero él mismo? Si el barbero se afeita, no sólo afeita a los residentes que no se afeitan, sino también a un residente que se afeita solo; si él mismo no se afeita, entonces no se afeita a todos los habitantes del pueblo que no se afeitan. Una paradoja de este tipo surge siempre que se considera el concepto de “el conjunto de todos los conjuntos”. Aunque este objeto matemático parece muy natural, razonar sobre él rápidamente conduce a contradicciones.

La paradoja de Berry es aún más reveladora. Consideremos el conjunto de todas las frases rusas que no contengan más de diecisiete palabras; El número de palabras en el idioma ruso es finito, por lo que el número de frases de este tipo es finito. Elijamos entre ellos aquellos que definan de forma única algún número entero, por ejemplo: “El mayor número impar menor que diez”. El número de tales frases también es finito; por tanto, el conjunto de números enteros determinado por ellos es finito. Denotemos el conjunto finito de estos números por D. De los axiomas de la aritmética se deduce que hay números enteros que no pertenecen a D, y que entre estos números hay un número más pequeño norte. Este número norte se define únicamente por la frase: "El número entero más pequeño que no puede definirse mediante una frase que consta de no más de diecisiete palabras rusas". Pero esta frase contiene exactamente diecisiete palabras. Por lo tanto, determina el número norte, que debería pertenecer D, y llegamos a una contradicción paradójica.

Intuicionistas y formalistas.

El shock causado por las paradojas de la teoría de conjuntos dio lugar a diversas reacciones. Algunos matemáticos se mostraron muy decididos y expresaron la opinión de que las matemáticas se habían desarrollado desde el principio en la dirección equivocada y debían basarse en una base completamente diferente. No es posible describir con precisión el punto de vista de tales "intuicionistas" (como empezaron a llamarse a sí mismos), ya que se negaron a reducir sus puntos de vista a un esquema puramente lógico. Desde el punto de vista de los intuicionistas, es incorrecto aplicar procesos lógicos a objetos intuitivamente irrepresentables. Los únicos objetos intuitivamente claros son los números naturales 1, 2, 3,... y conjuntos finitos de números naturales, “construidos” según reglas precisamente especificadas. Pero incluso a tales objetos, los intuicionistas no permitieron que se aplicaran todas las deducciones de la lógica clásica. Por ejemplo, no reconocieron que para cualquier declaración R cierto tampoco R, O no R. Con medios tan limitados, evitaron fácilmente las "paradojas", pero al mismo tiempo arrojaron por la borda no sólo todas las matemáticas modernas, sino también una parte importante de los resultados de las matemáticas clásicas, y para los que quedaron, fue necesario encontrar nuevos. , pruebas más complejas.

La gran mayoría de los matemáticos modernos no estaba de acuerdo con los argumentos de los intuicionistas. Los matemáticos no intuicionistas han notado que los argumentos utilizados en las paradojas difieren significativamente de los utilizados en el trabajo matemático ordinario con teoría de conjuntos y, por lo tanto, tales argumentos deben descartarse como ilegales sin poner en peligro las teorías matemáticas existentes. Otra observación fue que en la teoría de conjuntos "ingenua", que existía antes de la aparición de las "paradojas", no se cuestionaba el significado de los términos "conjunto", "propiedad" y "relación", al igual que en la geometría clásica la "intuitiva". No se cuestionó la naturaleza de los conceptos geométricos ordinarios. En consecuencia, se puede actuar de la misma manera que en geometría, es decir, descartar todos los intentos de apelar a la “intuición” y tomar un sistema de axiomas formulados con precisión como punto de partida de la teoría de conjuntos. Sin embargo, no es obvio cómo se puede privar a palabras como "propiedad" o "relación" de su significado ordinario; sin embargo, es necesario hacerlo si queremos excluir argumentos como la paradoja de Berry. El método consiste en abstenerse de utilizar el lenguaje ordinario al formular axiomas o teoremas; sólo las proposiciones construidas de acuerdo con un sistema explícito de reglas rígidas se permiten como “propiedades” o “relaciones” en matemáticas y entran en la formulación de axiomas. Este proceso se denomina "formalización" del lenguaje matemático (para evitar malentendidos derivados de las ambigüedades del lenguaje ordinario, se recomienda ir un paso más allá y reemplazar las palabras mismas con símbolos especiales en oraciones formalizadas, por ejemplo, reemplazando el conectivo "y" con el símbolo &, el conectivo "o" - con el símbolo b, “existe” con el símbolo $, etc.). Los matemáticos que rechazaban los métodos propuestos por los intuicionistas comenzaron a ser llamados “formalistas”.

Sin embargo, la pregunta original nunca fue respondida. ¿Está la “teoría axiomática de conjuntos” libre de contradicciones? En la década de 1920, D. Hilbert (1862-1943) y su escuela hicieron nuevos intentos de demostrar la coherencia de las teorías “formalizadas” y los llamaron “metamatemáticas”. Esencialmente, la metamatemática es una rama de las “matemáticas aplicadas”, donde los objetos a los que se aplica el razonamiento matemático son proposiciones de una teoría formalizada y su disposición dentro de pruebas. Estas oraciones deben considerarse simplemente como combinaciones materiales de símbolos producidos de acuerdo con ciertas reglas establecidas, sin ninguna referencia al posible "significado" de estos símbolos (si los hay). Una buena analogía es el juego de ajedrez: los símbolos corresponden a las piezas, las oraciones corresponden a diferentes posiciones en el tablero y las conclusiones lógicas corresponden a las reglas para mover las piezas. Para establecer la coherencia de una teoría formalizada, basta con demostrar que en esta teoría ninguna prueba termina con el enunciado 0 No. 0. Sin embargo, se puede oponerse al uso de argumentos matemáticos en una prueba “metamatemática”. de la consistencia de una teoría matemática; Si las matemáticas fueran inconsistentes, entonces los argumentos matemáticos perderían toda fuerza y nos encontraríamos en una situación de círculo vicioso. Para responder a estas objeciones, Hilbert permitió un razonamiento matemático muy limitado del tipo que los intuicionistas consideran aceptable para su uso en metamatemática. Sin embargo, K. Gödel pronto demostró (1931) que la consistencia de la aritmética no puede demostrarse por medios tan limitados si es verdaderamente consistente (el alcance de este artículo no nos permite esbozar el ingenioso método mediante el cual se obtuvo este notable resultado). y la historia posterior de las metamatemáticas).

Resumiendo la problemática situación actual desde un punto de vista formalista, debemos admitir que está lejos de terminar. El uso del concepto de conjunto estuvo limitado por reservas que se introdujeron específicamente para evitar paradojas conocidas, y no hay garantía de que no surjan nuevas paradojas en la teoría de conjuntos axiomatizada. Sin embargo, las limitaciones de la teoría axiomática de conjuntos no impidieron el nacimiento de nuevas teorías viables.

MATEMÁTICAS Y EL MUNDO REAL

A pesar de las afirmaciones sobre la independencia de las matemáticas, nadie negará que las matemáticas y el mundo físico están conectados entre sí. Por supuesto, el enfoque matemático para resolver problemas de la física clásica sigue siendo válido. También es cierto que en un área muy importante de las matemáticas, a saber, la teoría de ecuaciones diferenciales, derivadas ordinarias y parciales, el proceso de enriquecimiento mutuo de la física y las matemáticas es bastante fructífero.

Las matemáticas son útiles para interpretar los fenómenos del micromundo. Sin embargo, las nuevas “aplicaciones” de las matemáticas difieren significativamente de las clásicas. Una de las herramientas más importantes de la física fue la teoría de la probabilidad, que anteriormente se utilizaba principalmente en la teoría del juego y los seguros. Los objetos matemáticos que los físicos asocian con “estados atómicos” o “transiciones” son de naturaleza muy abstracta y fueron introducidos y estudiados por los matemáticos mucho antes del advenimiento de la mecánica cuántica. Hay que añadir que tras los primeros éxitos surgieron serias dificultades. Esto sucedió en una época en la que los físicos intentaban aplicar ideas matemáticas a los aspectos más sutiles de la teoría cuántica; Sin embargo, muchos físicos todavía miran con esperanza las nuevas teorías matemáticas, creyendo que les ayudarán a resolver nuevos problemas.

¿Las matemáticas son una ciencia o un arte?

Incluso si incluimos la teoría de la probabilidad o la lógica matemática en las matemáticas “puras”, resulta que menos del 50% de los resultados matemáticos conocidos son utilizados actualmente por otras ciencias. ¿Qué debemos pensar de la mitad restante? En otras palabras, ¿cuáles son los motivos detrás de aquellas áreas de las matemáticas que no están relacionadas con la resolución de problemas físicos?

Ya hemos mencionado la irracionalidad del número como representante típico de este tipo de teoremas. Otro ejemplo es el teorema demostrado por J.-L. Lagrange (1736-1813). No hay matemático que no lo llame “importante” o “hermoso”. El teorema de Lagrange establece que cualquier número entero mayor o igual a uno puede representarse como la suma de los cuadrados de como máximo cuatro números; por ejemplo, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. En el estado actual de las cosas, es inconcebible que este resultado pueda ser útil para resolver cualquier problema experimental. Es cierto que los físicos tratan con números enteros mucho más a menudo hoy que en el pasado, pero los números enteros con los que operan son siempre limitados (rara vez superan unos pocos cientos); por lo tanto, un teorema como el de Lagrange sólo puede ser "útil" si se aplica a números enteros dentro de algún límite. Pero tan pronto como limitamos la formulación del teorema de Lagrange, inmediatamente deja de ser interesante para un matemático, ya que todo el poder de atracción de este teorema reside en su aplicabilidad a todos los números enteros. (Hay muchísimas afirmaciones sobre números enteros que pueden ser verificadas por computadoras para números muy grandes; pero como no se ha encontrado ninguna prueba general, siguen siendo hipotéticas y sin interés para los matemáticos profesionales.)

Centrarse en temas muy alejados de las aplicaciones inmediatas no es inusual para los científicos que trabajan en cualquier campo, ya sea astronomía o biología. Sin embargo, si bien el resultado experimental puede perfeccionarse y mejorarse, la prueba matemática siempre es concluyente. Por eso es difícil resistir la tentación de considerar las matemáticas, o al menos esa parte de ellas que no tiene relación con la "realidad", como un arte. Los problemas matemáticos no se imponen desde fuera y, si adoptamos el punto de vista moderno, somos completamente libres en la elección del material. Al evaluar algunos trabajos matemáticos, los matemáticos no tienen criterios "objetivos" y se ven obligados a confiar en su propio "gusto". Los gustos varían mucho según la época, el país, las tradiciones y las personas. En las matemáticas modernas hay modas y “escuelas”. Actualmente, existen tres de estas "escuelas", que por conveniencia llamaremos "clasicismo", "modernismo" y "abstraccionismo". Para comprender mejor las diferencias entre ellos, analicemos los diferentes criterios que utilizan los matemáticos al evaluar un teorema o grupo de teoremas.

(1) Según la opinión general, un resultado matemático “hermoso” no debe ser trivial, es decir, no debería ser una consecuencia obvia de axiomas o teoremas previamente probados; la prueba debe utilizar alguna idea nueva o aplicar inteligentemente ideas antiguas. En otras palabras, lo importante para un matemático no es el resultado en sí, sino el proceso de superar las dificultades que encontró para obtenerlo.

(2) Cualquier problema matemático tiene su propia historia, un “pedigrí”, por así decirlo, que sigue el mismo patrón general según el cual se desarrolla la historia de cualquier ciencia: después de los primeros éxitos, puede pasar un cierto tiempo antes de que se llegue a la respuesta. Se encuentra la pregunta planteada. Cuando se obtiene una solución, la historia no termina ahí, porque comienzan los conocidos procesos de expansión y generalización. Por ejemplo, el teorema de Lagrange mencionado anteriormente lleva a la cuestión de representar cualquier número entero como una suma de cubos, cuarta, quinta potencia, etc. Surge así el “problema de Waring”, que aún no ha recibido una solución definitiva. Además, si tenemos suerte, el problema que resolvamos resultará estar relacionado con una o más estructuras fundamentales, y esto, a su vez, conducirá a nuevos problemas relacionados con estas estructuras. Incluso si la teoría original finalmente muere, generalmente deja numerosos brotes vivos. Los matemáticos modernos se enfrentan a una gama tan amplia de problemas que, incluso si se interrumpiera toda comunicación con la ciencia experimental, su solución tardaría varios siglos más.

(3) Todo matemático estará de acuerdo en que cuando se le presente un nuevo problema, es su deber resolverlo por cualquier medio posible. Cuando un problema concierne a objetos matemáticos clásicos (los clasicistas rara vez tratan con otros tipos de objetos), los clasicistas intentan resolverlo utilizando sólo medios clásicos, mientras que otros matemáticos introducen estructuras más "abstractas" para utilizar teoremas generales relevantes para la tarea. Esta diferencia de enfoque no es nueva. Desde el siglo XIX. los matemáticos se dividen en "tácticos" que se esfuerzan por encontrar una solución puramente contundente al problema, y "estrategas" que son propensos a maniobras indirectas que permiten aplastar al enemigo con pequeñas fuerzas.

(4) Un elemento esencial de la “belleza” del teorema es su simplicidad. Por supuesto, la búsqueda de la simplicidad es característica de todo pensamiento científico. Pero los experimentadores están dispuestos a tolerar “soluciones desagradables” con tal de que se resuelva el problema. Asimismo, en matemáticas, los clasicistas y abstraccionistas no se preocupan mucho por la aparición de resultados “patológicos”. Por otra parte, los modernistas llegan incluso a ver en la aparición de “patologías” de la teoría un síntoma que indica la imperfección de los conceptos fundamentales.

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