Вектори: основни определения и понятия. Вектори за единния държавен изпит по математика. Действия върху вектори Дължината на вектор се определя от равенството

Дължината на вектора a → ще бъде означена с a → . Тази нотация е подобна на модула на число, така че дължината на вектор се нарича още модул на вектор.

За да се намери дължината на вектор в равнина от неговите координати, е необходимо да се разгледа правоъгълна декартова координатна система O x y. Нека в него е зададен някакъв вектор a → с координати a x; ай. Нека въведем формула за намиране на дължината (модула) на вектора a → чрез координатите a x и a y.

Нека начертаем вектора O A → = a → от началото. Нека дефинираме съответните проекции на точка A върху координатните оси като A x и A y. Сега разгледайте правоъгълник O A x A A y с диагонал O A .

От Питагоровата теорема следва равенството O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откъдето O A = O A x 2 + O A y 2 . От вече известната дефиниция на векторни координати в правоъгълна декартова координатна система получаваме, че O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , и по конструкцията дължината на O A е равна на дължината на вектора O A → , което означава O A → = O A x 2 + O A y 2.

От това излиза, че формула за намиране на дължината на вектор a → = a x ; a y има съответния вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Ако векторът a → е даден под формата на разширение в координатни вектори a → = a x i → + a y j →, тогава неговата дължина може да се изчисли по същата формула a → = a x 2 + a y 2, в този случай коефициентите a x и a y са като координатите на вектора a → в дадена координатна система.

Пример 1

Да се ​​изчисли дължината на вектора a → = 7 ; e, зададени в правоъгълна координатна система.

Решение

За да намерим дължината на вектор, ще използваме формулата за намиране на дължината на вектор от координати a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Отговор: a → = 49 + e.

Формула за намиране на дължината на вектор a → = a x ; a y; a z от неговите координати в декартовата координатна система Oxyz в пространството, се извлича подобно на формулата за случая на равнина (вижте фигурата по-долу)

В този случай O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (тъй като OA е диагоналът на правоъгълен паралелепипед), следователно O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . От дефиницията на векторните координати можем да запишем следните равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а дължината OA е равна на дължината на вектора, който търсим, следователно O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

От това следва, че дължината на вектора a → = a x ; a y; a z е равно на a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Пример 2

Изчислете дължината на вектора a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , където i → , j → , k → са единичните вектори на правоъгълната координатна система.

Решение

Дадено е векторното разлагане a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k →, неговите координати са a → = 4, - 3, 5. Използвайки горната формула, получаваме a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

Отговор: a → = 5 2 .

Дължина на вектор през координатите на началната и крайната му точка

По-горе бяха получени формули, които ви позволяват да намерите дължината на вектор от неговите координати. Разгледахме случаи в равнина и в триизмерно пространство. Нека ги използваме, за да намерим координатите на вектор от координатите на началната и крайната му точка.

И така, дадени са точки с дадени координати A (a x ; a y) и B (b x ; b y), следователно векторът A B → има координати (b x - a x ; b y - a y), което означава, че дължината му може да се определи по формулата: A B → = ( ​​b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

И ако точки с дадени координати A (a x ; a y ; a z) и B (b x ; b y ; b z) са дадени в триизмерно пространство, тогава дължината на вектора A B → може да се изчисли с помощта на формулата

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Пример 3

Намерете дължината на вектора A B → ако в правоъгълната координатна система A 1, 3, B - 3, 1.

Решение

Използвайки формулата за намиране на дължината на вектор от координатите на началната и крайната точка на равнината, получаваме A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Второто решение включва последователно прилагане на тези формули: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Отговор: A B → = 20 - 2 3 .

Пример 4

Определете при какви стойности дължината на вектора A B → е равна на 30, ако A (0, 1, 2); B (5 , 2 , λ 2) .

Решение

Първо, нека запишем дължината на вектора A B → с помощта на формулата: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

След това приравняваме получения израз на 30, от тук намираме необходимия λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 и λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Отговор: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Намиране на дължината на вектор чрез косинусовата теорема

Уви, в задачите координатите на вектора не винаги са известни, така че ще разгледаме други начини за намиране на дължината на вектора.

Нека са дадени дължините на два вектора A B → , A C → и ъгълът между тях (или косинусът на ъгъла) и трябва да намерите дължината на вектора B C → или C B → . В този случай трябва да използвате косинусовата теорема в триъгълника △ A B C и да изчислите дължината на страната B C, която е равна на желаната дължина на вектора.

Нека разгледаме този случай, използвайки следния пример.

Пример 5

Дължините на векторите A B → и A C → са съответно 3 и 7, а ъгълът между тях е π 3. Изчислете дължината на вектора B C → .

Решение

Дължината на вектора B C → в този случай е равна на дължината на страната B C на триъгълника △ A B C . Дължините на страните A B и A C на триъгълника са известни от условието (те са равни на дължините на съответните вектори), известен е и ъгълът между тях, така че можем да използваме косинусовата теорема: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Така, B C → = 37 .

Отговор: B C → = 37 .

И така, за да намерите дължината на вектор от координати, има следните формули a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , от координатите на началната и крайната точка на вектора A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 или A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, в някои случаи трябва да се използва косинусовата теорема .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Първо, трябва да разберем концепцията за самия вектор. За да въведем определението за геометричен вектор, нека си припомним какво е сегмент. Нека въведем следното определение.

Определение 1

Сегментът е част от линия, която има две граници под формата на точки.

Един сегмент може да има 2 посоки. За да обозначим посоката, ще наричаме едната граница на отсечката нейно начало, а другата граница – негов край. Посоката се посочва от началото до края на сегмента.

Определение 2

Вектор или насочен сегмент ще бъде сегмент, за който е известно коя от границите на сегмента се счита за начало и коя е неговият край.

Обозначение: С две букви: $\overline(AB)$ – (където $A$ е началото му, а $B$ е краят му).

С една малка буква: $\overline(a)$ (фиг. 1).

Нека сега въведем директно концепцията за векторни дължини.

Определение 3

Дължината на вектора $\overline(a)$ ще бъде дължината на сегмента $a$.

Нотация: $|\overline(a)|$

Концепцията за дължина на вектора се свързва например с такава концепция като равенството на два вектора.

Определение 4

Два вектора ще наричаме равни, ако отговарят на две условия: 1. Те ​​са съпосочни; 1. Дължините им са равни (фиг. 2).

За да дефинирате вектори, въведете координатна система и определете координатите за вектора във въведената система. Както знаем, всеки вектор може да се разложи във формата $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, където $m$ и $n$ са реални числа, а $\overline (i )$ и $\overline(j)$ са единични вектори съответно на оста $Ox$ и $Oy$.

Определение 5

Ще наричаме коефициентите на разширение на вектора $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ координатите на този вектор във въведената координатна система. Математически:

$\overline(c)=(m,n)$

Как да намерим дължината на вектор?

За да изведете формула за изчисляване на дължината на произволен вектор, дадени неговите координати, разгледайте следния проблем:

Пример 1

Дадено: вектор $\overline(α)$ с координати $(x,y)$. Намерете: дължината на този вектор.

Нека въведем декартова координатна система $xOy$ на равнината. Нека оставим настрана $\overline(OA)=\overline(a)$ от произхода на въведената координатна система. Нека построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ на построения вектор съответно по осите $Ox$ и $Oy$ (фиг. 3).

Векторът $\overline(OA)$, който конструирахме, ще бъде радиус векторът за точка $A$, следователно той ще има координати $(x,y)$, което означава

$=x$, $[OA_2]=y$

Сега можем лесно да намерим необходимата дължина с помощта на Питагоровата теорема, която получаваме

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Отговор: $\sqrt(x^2+y^2)$.

Заключение:За да се намери дължината на вектор, чиито координати са дадени, е необходимо да се намери коренът на квадрата от сбора на тези координати.

Примерни задачи

Пример 2

Намерете разстоянието между точките $X$ и $Y$, които имат следните координати: $(-1.5)$ и $(7.3)$, съответно.

Всякакви две точки могат лесно да бъдат свързани с концепцията за вектор. Помислете например за вектора $\overline(XY)$. Както вече знаем, координатите на такъв вектор могат да бъдат намерени чрез изваждане на съответните координати на началната точка ($X$) от координатите на крайната точка ($Y$). Разбираме това

Най-накрая се сдобих с тази обширна и дългоочаквана тема. аналитична геометрия. Първо, малко за този раздел на висшата математика... Със сигурност си спомняте училищен курс по геометрия с множество теореми, техните доказателства, чертежи и т.н. Какво да крия, нелюбим и често неясен предмет за значителна част от учениците. Колкото и да е странно, аналитичната геометрия може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното „аналитичен“? Две клиширани математически фрази веднага идват на ум: „метод на графично решение“ и „метод на аналитично решение“. Графичен метод, разбира се, е свързано с изграждането на графики и чертежи. Аналитиченили методвключва решаване на проблеми главночрез алгебрични операции. В това отношение алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен; често е достатъчно внимателно да приложите необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, няма да можем да направим това без чертежи изобщо, а освен това, за по-добро разбиране на материала, ще се опитам да ги цитирам извън необходимостта.

Новооткритият курс от уроци по геометрия не претендира да бъде теоретично завършен, той е фокусиран върху решаването на практически проблеми. В моите лекции ще включвам само това, което от моя гледна точка е важно от практическа гледна точка. Ако имате нужда от по-пълна помощ за някой подраздел, препоръчвам следната доста достъпна литература:

1) Нещо, с което, без шега, са запознати няколко поколения: Училищен учебник по геометрия, автори - Л.С. Атанасян и компания. Тази закачалка за училищна съблекалня вече е преминала през 20 (!) Препечатки, което, разбира се, не е ограничението.

2) Геометрия в 2 тома. автори Л.С. Атанасян, Базилев В.Т.. Това е литература за гимназията, ще ви трябва първи том. Рядко срещаните задачи могат да изпаднат от погледа ми и урокът ще бъде от безценна помощ.

И двете книги могат да бъдат изтеглени безплатно онлайн. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтегляне на примери по висша математика.

Сред инструментите отново предлагам собствена разработка - софтуерен пакетв аналитичната геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и фигури: точка, права, равнина, триъгълник, паралелограм, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте на повторителите)

И сега ще разгледаме последователно: понятието вектор, действия с вектори, векторни координати. Препоръчвам да прочетете допълнително най-важната статия Точково произведение на вектори, и също Вектор и смесено произведение на вектори. Локална задача - Разделяне на сегмент в това отношение - също няма да бъде излишна. Въз основа на горната информация можете да овладеете уравнение на права в равнинас най-прости примери за решения, което ще позволи научете се да решавате геометрични задачи. Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права в пространството, Основни задачи за права и равнина, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.

Векторна концепция. Безплатен вектор

Първо, нека повторим училищната дефиниция на вектор. векторНаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:

В този случай началото на сегмента е точката, краят на сегмента е точката. Самият вектор се означава с . Посокае от съществено значение, ако преместите стрелката в другия край на сегмента, получавате вектор и това вече е напълно различен вектор. Удобно е да се идентифицира концепцията за вектор с движението на физическо тяло: трябва да се съгласите, влизането през вратите на институт или излизането от вратите на института са напълно различни неща.

Удобно е отделни точки от една равнина или пространство да се разглеждат като т.нар нулев вектор. За такъв вектор краят и началото съвпадат.

!!! Забележка: Тук и по-нататък можете да приемете, че векторите лежат в една равнина или можете да приемете, че са разположени в пространството - същността на изложения материал е валидна както за равнината, така и за пространството.

Обозначения:Мнозина веднага забелязаха пръчката без стрелка в обозначението и казаха, че има и стрелка в горната част! Вярно, че можете да го напишете със стрелка: , но и това е възможно записът, който ще използвам в бъдеще. Защо? Очевидно този навик се е развил по практически причини, стрелците ми в училище и университета се оказаха твърде различни по размер и рошави. В образователната литература понякога те изобщо не се занимават с клинописно писане, а подчертават буквите с удебелен шрифт: , като по този начин намекват, че това е вектор.

Това беше стилистика, а сега относно начините за писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и така нататък. В този случай първата буква Задължителнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се изписват с малки латински букви:
По-специално, нашият вектор може да бъде преназначен за краткост с малка латинска буква.

Дължинаили модулненулев вектор се нарича дължина на сегмента. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично.

Дължината на вектора се обозначава със знака за модул: ,

Ще научим как да намираме дължината на вектор (или ще го повторим, зависи кой) малко по-късно.

Това беше основна информация за векторите, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар безплатен вектор.

Казано по-просто - векторът може да се начертае от всяка точка:

Ние сме свикнали да наричаме такива вектори равни (дефиницията на равни вектори ще бъде дадена по-долу), но от чисто математическа гледна точка те са ЕДИН И СЪЩ ВЕКТОР или безплатен вектор. Защо безплатно? Защото в процеса на решаване на проблеми можете да „прикрепите“ този или онзи „училищен“ вектор към ВСЯКА точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готина функция! Представете си насочен сегмент с произволна дължина и посока - той може да бъде "клониран" безкраен брой пъти и във всяка точка на пространството, всъщност той съществува НАВСЯКЪДЕ. Има една студентска поговорка: На всеки преподавател му пука за вектора. В крайна сметка това не е просто остроумна рима, всичко е почти правилно - там може да се добави и насочен сегмент. Но не бързайте да се радвате, често страдат самите ученици =)

Така, безплатен вектор- Това няколко еднакви насочени сегменти. Училищната дефиниция на вектор, дадена в началото на параграфа: „Насочена отсечка се нарича вектор...“ предполага специфиченнасочен сегмент, взет от дадено множество, който е свързан с определена точка в равнината или пространството.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и има значение точката на приложение. Наистина, един директен удар с еднаква сила по носа или челото, колкото да развия глупавия си пример, води до различни последствия. Въпреки това, несвободенвектори се намират и в хода на vyshmat (не отивайте там :)).

Действия с вектори. Колинеарност на вектори

Училищният курс по геометрия обхваща редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правило за векторна разлика, умножение на вектор с число, скаларно произведение на вектори и др.Като отправна точка нека повторим две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правилото за добавяне на вектори с помощта на правилото на триъгълника

Помислете за два произволни ненулеви вектора и:

Трябва да намерите сумата от тези вектори. Поради факта, че всички вектори се считат за свободни, ще отделим вектора от крайвектор:

Сумата от вектори е векторът. За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да му вложим физически смисъл: нека някое тяло пътува по вектора , а след това по вектора . Тогава сумата от вектори е векторът на резултантния път с начало в началната точка и край в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви по своя път много постно по зигзаг или може би на автопилот - по резултантния вектор на сумата.

Между другото, ако векторът е отложен от започнавектор, тогава получаваме еквивалента правило на успоредникдобавяне на вектори.

Първо, относно колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеарен, ако лежат на една права или на успоредни прави. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но по отношение на тях винаги се използва прилагателното „колинеарни“.

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съвместно режисиран. Ако стрелките сочат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположни посоки.

Обозначения:колинеарността на векторите се записва с обичайния символ за паралелизъм: , докато детайлизирането е възможно: (векторите са сънасочени) или (векторите са противоположно насочени).

Работатаненулев вектор върху число е вектор, чиято дължина е равна на , а векторите и са сънасочени към и противоположно насочени към .

Правилото за умножаване на вектор по число е по-лесно за разбиране с помощта на картина:

Нека го разгледаме по-подробно:

1) Посока. Ако множителят е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако множителят се съдържа в или , тогава дължината на вектора намалява. И така, дължината на вектора е половината от дължината на вектора. Ако модулът на множителя е по-голям от едно, тогава дължината на вектора се увеличавана време.

3) Моля, имайте предвид, че всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например, . Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. По този начин: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарни(спрямо оригинала) вектор.

4) Векторите са ко-насочени. Вектори и също са съвместно насочени. Всеки вектор от първата група е противоположно насочен по отношение на всеки вектор от втората група.

Кои вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са в една и съща посока и имат еднаква дължина. Обърнете внимание, че една насоченост предполага колинеарност на векторите. Определението би било неточно (излишно), ако кажем: „Два вектора са равни, ако са колинеарни, еднакви по посока и имат еднаква дължина.“

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, както беше обсъдено в предишния параграф.

Векторни координати в равнината и пространството

Първата точка е да разгледаме векторите в равнината. Нека да изобразим декартова правоъгълна координатна система и да я начертаем от началото на координатите единиченвектори и:

Вектори и ортогонален. Ортогонално = Перпендикулярно. Препоръчвам ви бавно да свикнете с термините: вместо успоредност и перпендикулярност използваме думите съответно колинеарностИ ортогоналност.

Обозначаване:Ортогоналността на векторите се записва с обичайния символ за перпендикулярност, например: .

Разглежданите вектори се наричат координатни векториили orts. Тези вектори образуват базана повърхността. Какво е основа, мисля, че е интуитивно ясно за мнозина, по-подробна информация можете да намерите в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторитеС прости думи, основата и произходът на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.

Понякога изградената основа се нарича ортонормалнаоснова на равнината: “орто” - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното “нормализиран” означава единица, т.е. дължините на базисните вектори са равни на единица.

Обозначаване:основата обикновено се изписва в скоби, вътре в които в строга последователностбазисните вектори са изброени, например: . Координатни вектори забранено епренареждам.

Всякаквиравнинен вектор единствения начинизразено като:
, Където - числакоито се наричат векторни координатив тази основа. И самият израз Наречен векторно разлаганепо основа .

Сервирана вечеря:

Да започнем с първата буква от азбуката: . Чертежът ясно показва, че при разлагането на вектор в базис се използват току-що обсъдените:
1) правилото за умножаване на вектор с число: и ;
2) събиране на вектори по правилото на триъгълника: .

Сега мислено начертайте вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че неговото упадък ще го „следва безмилостно“. Ето я свободата на вектора - векторът „носи всичко със себе си“. Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Странно е, че самите базисни (свободни) вектори не трябва да се начертават от началото, единият може да се начертае например долу вляво, а другият горе вдясно и нищо няма да се промени! Вярно е, че не е нужно да правите това, тъй като учителят също ще покаже оригиналност и ще ви изтегли „кредит“ на неочаквано място.

Векторите илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е съпосочен с основния вектор, векторът е насочен срещуположно на основния вектор. За тези вектори една от координатите е равна на нула; можете педантично да го напишете така:


А базисните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая: , . Между другото, какво е векторно изваждане и защо не говорих за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. По този начин разширенията на векторите "de" и "e" лесно се записват като сума: , . Следвайте чертежа, за да видите колко ясно работи доброто старо добавяне на вектори според правилото на триъгълника в тези ситуации.

Разгледаното разлагане на формата понякога се нарича векторно разлагане в орт системата(т.е. в система от единични вектори). Но това не е единственият начин да напишете вектор; следната опция е често срещана:

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват по следния начин: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практически задачи се използват и трите варианта на нотация.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще го кажа: векторните координати не могат да бъдат пренареждани. Строго на първо мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор. Наистина и са два различни вектора.

Намерихме координатите на самолета. Сега нека да разгледаме векторите в триизмерното пространство, тук почти всичко е същото! Просто ще добави още една координата. Трудно е да се правят триизмерни рисунки, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отделя от началото:

Всякакви 3D космически вектор единствения начинразширяване върху ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в тази основа.

Пример от снимката: . Нека видим как работят векторните правила тук. Първо, умножете вектора по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (малинова стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко, в този случай три вектора: . Векторът на сумата започва от началната точка на изход (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).

Всички вектори на триизмерното пространство, естествено, също са свободни; опитайте се психически да отделите вектора от всяка друга точка и ще разберете, че неговото разлагане „ще остане с него“.

Подобно на плоския случай, в допълнение към писането широко се използват варианти със скоби: или .

Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, тогава на тяхно място се поставят нули. Примери:
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем.

Базисните вектори се записват, както следва:

Това може би са всички минимални теоретични познания, необходими за решаване на проблемите на аналитичната геометрия. Може да има много термини и определения, така че препоръчвам на чайниците да препрочетат и разберат тази информация отново. И ще бъде полезно за всеки читател да се обръща от време на време към основния урок, за да усвои по-добре материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторно разлагане - тези и други понятия ще бъдат често използвани в бъдеще. Отбелязвам, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичния тест или колоквиума по геометрия, тъй като аз внимателно криптирам всички теореми (и без доказателства) - в ущърб на научния стил на представяне, но плюс за вашето разбиране на предметът. За да получите подробна теоретична информация, моля да се поклоните на проф. Атанасян.

И преминаваме към практическата част:

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Силно препоръчително е да научите как да решавате задачите, които ще се разглеждат напълно автоматично, и формулите запаметявам, дори не е нужно да го помните нарочно, те сами ще го запомнят =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пешки . Няма нужда да закопчавате горните копчета на ризата си, много неща са ви познати от училище.

Поднасянето на материала ще следва паралелен ход – както за самолета, така и за космоса. Поради причината, че всички формули... ще видите сами.

Как да намерим вектор от две точки?

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава векторът има следните координати:

Това е, от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати началото на вектора.

Упражнение:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Дадени са две точки от равнината и . Намерете векторни координати

Решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следният запис:

Естетите ще решат това:

Лично аз съм свикнал с първия вариант на записа.

Отговор:

Според условието не беше необходимо да се изгражда чертеж (което е типично за проблемите на аналитичната геометрия), но за да изясня някои точки за манекени, няма да бъда мързелив:

Определено трябва да разберете разлика между координатите на точката и векторните координати:

Координати на точки– това са обикновени координати в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как се нанасят точки върху координатна равнина от 5-6 клас. Всяка точка има строго определено място в равнината и не може да бъде преместена никъде.

Координатите на вектора– това е разширяването му според основата, в случая. Всеки вектор е свободен, така че при желание или необходимост можем лесно да го отдалечим от някоя друга точка на равнината. Интересно е, че за векторите изобщо не е нужно да изграждате оси или правоъгълна координатна система; имате нужда само от основа, в този случай ортонормална основа на равнината.

Записите на координати на точки и координати на вектори изглеждат подобни: , и значение на координатитеабсолютно различен, и трябва да сте добре запознати с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за пространството.

Дами и господа, нека напълним ръцете си:

Пример 2

а) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
б) Дават се точки И . Намерете вектори и .
в) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Може би това е достатъчно. Това са примери, които можете да решите сами, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще ви се отплати ;-). Няма нужда да правите чертежи. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи по аналитична геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете майсторската грешка „две плюс две е равно на нула“. Веднага се извинявам, ако съм сбъркал някъде =)

Как да намерим дължината на сегмент?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя чертеж

Линеен сегмент - това не е вектор, и, разбира се, не можете да го преместите никъде. Освен това, ако рисувате в мащаб: 1 единица. = 1 см (две клетки от тетрадка), тогава полученият отговор може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на отсечката.

Да, решението е кратко, но в него има още няколко важни точки, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора поставяме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно, математически правилното решение би било общата формулировка: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим учебния материал, който е полезен не само за разглежданата задача:

обръщам внимание на важна техника – премахване на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията имаме резултат и добрият математически стил включва премахване на фактора под корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: . Разбира се, да оставим отговора такъв, какъвто е, няма да е грешка - но със сигурност би било недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често коренът произвежда доста голям брой, например . Какво да правим в такива случаи? С помощта на калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4: . Да, беше напълно разделено, така че: . Или може би числото отново може да се раздели на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно няма да работи. Нека се опитаме да разделим на девет: . Като резултат:
Готов.

Заключение:ако под корена получим число, което не може да бъде извлечено като цяло, тогава се опитваме да премахнем фактора от под корена - с помощта на калкулатор проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и др.

Когато решавате различни задачи, често се срещат корени; винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-ниска оценка и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения въз основа на коментарите на учителя.

Нека също повторим корени на квадрат и други степени:

Правилата за работа със степените в общ вид могат да бъдат намерени в училищен учебник по алгебра, но мисля, че от дадените примери всичко или почти всичко вече е ясно.

Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:

Пример 4

Дават се точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решението и отговорът са в края на урока.

Как да намерим дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.

Ако е даден пространствен вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата .

Определение

Скаларно количество- количество, което може да се характеризира с число. Например дължина, площ, маса, температура и др.

векторнаречен насочен сегмент $\overline(A B)$; точка $A$ е началото, точка $B$ е краят на вектора (фиг. 1).

Векторът се обозначава или с две главни букви - началото и края му: $\overline(A B)$ или с една малка буква: $\overline(a)$.

Определение

Ако началото и краят на вектора съвпадат, тогава такъв вектор се нарича нула. Най-често нулевият вектор се обозначава като $\overline(0)$.

Векторите се наричат колинеарен, ако лежат или на една права, или на успоредни прави (фиг. 2).

Определение

Извикват се два колинеарни вектора $\overline(a)$ и $\overline(b)$ съвместно режисиран, ако посоките им съвпадат: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (фиг. 3, а). Извикват се два колинеарни вектора $\overline(a)$ и $\overline(b)$ противоположно насочени, ако посоките им са противоположни: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (фиг. 3, b).

Определение

Векторите се наричат компланарен, ако са успоредни на една и съща равнина или лежат в една и съща равнина (фиг. 4).

Два вектора винаги са компланарни.

Определение

Дължина (модул)вектор $\overline(A B)$ е разстоянието между началото и края му: $|\overline(A B)|$

Подробна теория за дължината на вектора в линка.

Дължината на нулевия вектор е нула.

Определение

Нарича се вектор, чиято дължина е равна на единица единичен векторили ортом.

Векторите се наричат равен, ако лежат на една или успоредни прави; посоките им съвпадат и дължините им са равни.

Преди да преминем към темата на статията, нека си припомним основните понятия.

Определение 1

вектор– сегмент от права линия, характеризиращ се с числова стойност и посока. Векторът се обозначава с малка латинска буква със стрелка отгоре. Ако има конкретни гранични точки, обозначението на вектора изглежда като две главни латински букви (маркиращи границите на вектора) също със стрелка отгоре.

Определение 2

Нулев вектор– всяка точка от равнината, обозначена като нула със стрелка отгоре.

Определение 3

Дължина на вектора– стойност, равна или по-голяма от нула, която определя дължината на сегмента, съставляващ вектора.

Определение 4

Колинеарни вектори– лежащи на една права или на успоредни прави. Вектори, които не отговарят на това условие, се наричат ​​неколинеарни.

Определение 5

Вход: вектори а →И b →. За да се извърши операция на добавяне върху тях, е необходимо да се начертае вектор от произволна недефинирана точка A B →, равен на вектора а →; от получената точка undefined – вектор B C →, равен на вектора b →. Свързвайки точките undefined и C, получаваме сегмент (вектор) A C →, което ще бъде сумата от оригиналните данни. В противен случай се извиква описаната схема за добавяне на вектори правило на триъгълника.

Геометрично добавянето на вектори изглежда така:

За неколинеарни вектори:

За колинеарни (еднопосочни или противоположни) вектори:

Като вземем за основа описаната по-горе схема, получаваме възможността да извършим операцията за добавяне на вектори в количество, по-голямо от 2: добавяне на всеки следващ вектор на свой ред.

Определение 6

Вход: вектори а → , b → , c →, d → . От произволна точка А на равнината е необходимо да се начертае отсечка (вектор), равна на вектора а →; тогава от края на резултантния вектор се отлага вектор, равен на вектора b →; след това следващите вектори се излагат на същия принцип. Крайната точка на последния отложен вектор ще бъде точка B, а полученият сегмент (вектор) A B →– сумата от всички изходни данни. Описаната схема за добавяне на няколко вектора се нарича още правило на многоъгълника .

Геометрично изглежда така:

Определение 7

Отделна схема на действие за векторно изважданене, защото по същество векторна разлика а →И b →е сумата от вектори а →И - b → .

Определение 8

За да се извърши действието на умножаване на вектор с определено число k, трябва да се вземат предвид следните правила:
- ако k > 1, то това число ще доведе до разтягане на вектора k пъти;
- ако е 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k пъти;
- ако к< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- ако k = 1, тогава векторът остава същият;
- ако един от множителите е нулев вектор или число равно на нула, резултатът от умножението ще бъде нулев вектор.

Първоначални данни:
1) вектор а →и число k = 2;
2) вектор b →и числото k = - 1 3 .

Геометрично резултатът от умножението в съответствие с горните правила ще изглежда така:

Операциите върху вектори, описани по-горе, имат свойства, някои от които са очевидни, докато други могат да бъдат обосновани геометрично.

Вход: вектори а → , b → , c →и произволни реални числа λ и μ.

Свойствата комутативност и асоциативност правят възможно добавянето на вектори в произволен ред.

Изброените свойства на операциите ви позволяват да извършвате необходимите трансформации на векторно-числови изрази по начин, подобен на обичайните числови. Нека да разгледаме това с пример.

Пример 1

Задача:опростете израза a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Решение
- използвайки второто свойство на разпределение, получаваме: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- използваме асоциативното свойство на умножението, изразът ще приеме следната форма: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 a →
- използвайки свойството на комутативността, разменяме членовете: a → - 2 · b → - 6 · a → = a → - 6 · a → - 2 · b →
- тогава използвайки първото свойство на разпределение, получаваме: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → Кратка нотация на решението ще изглежда така: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Отговор: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter