Решаване на уравнения по метода на заместването училищни знания. Решаване на системи от уравнения по метода на заместване. Решаване на система от линейни уравнения чрез събиране

Обикновено уравненията на системата се записват в колона едно под друго и се комбинират с фигурна скоба

Система от уравнения от този тип, където a, b, c- числа и x, y- извикват се променливи система от линейни уравнения.

При решаване на система от уравнения се използват свойства, които са валидни за решаване на уравнения.

Решаване на система от линейни уравнения чрез метода на заместване

Нека разгледаме един пример

1) Изразете променливата в едно от уравненията. Например, нека изразим гв първото уравнение получаваме системата:

2) Заместете във второто уравнение на системата вместо гизразяване 3x-7:

3) Решете полученото второ уравнение:

4) Заместваме полученото решение в първото уравнение на системата:

Система от уравнения има уникално решение: двойка числа x=1, y=-4. Отговор: (1; -4) , изписано в скоби, на първа позиция стойността х, на втория - г.

Решаване на система от линейни уравнения чрез събиране

Нека решим системата от уравнения от предишния пример метод на добавяне.

1) Трансформирайте системата така, че коефициентите за една от променливите да станат противоположни. Нека умножим първото уравнение на системата по "3".

2) Добавете уравненията на системата член по член. Преписваме второто уравнение на системата (всяко) без промени.

3) Заместваме полученото решение в първото уравнение на системата:

Графично решаване на система от линейни уравнения

Графичното решение на система от уравнения с две променливи се свежда до намиране на координатите на общите точки на графиките на уравненията.

Графиката на линейна функция е права линия. Две прави в една равнина могат да се пресичат в една точка, да са успоредни или да съвпадат. Съответно система от уравнения може: а) да има единствено решение; б) нямат решения; в) имат безкраен брой решения.

2) Решението на системата от уравнения е точката (ако уравненията са линейни) на пресечната точка на графиките.

Графично решение на системата

Метод за въвеждане на нови променливи

Промяната на променливите може да доведе до решаване на по-проста система от уравнения от първоначалната.

Разгледайте решението на системата

Тогава нека въведем замяната

Нека да преминем към първоначалните променливи

Особени случаи

Без да решавате система от линейни уравнения, можете да определите броя на нейните решения от коефициентите на съответните променливи.

Системите от уравнения се използват широко в икономическия сектор за математическо моделиране на различни процеси. Например при решаване на проблеми с управлението и планирането на производството, логистични маршрути (транспортен проблем) или разполагане на оборудване.

Системите от уравнения се използват не само в математиката, но и във физиката, химията и биологията при решаване на задачи за намиране на размера на популацията.

Система от линейни уравнения е две или повече уравнения с няколко променливи, за които е необходимо да се намери общо решение. Такава последователност от числа, за която всички уравнения стават истински равенства или доказват, че последователността не съществува.

Линейно уравнение

Уравнения от вида ax+by=c се наричат ​​линейни. Означенията x, y са неизвестните, чиято стойност трябва да се намери, b, a са коефициентите на променливите, c е свободният член на уравнението.
Решаването на уравнение чрез начертаването му ще изглежда като права линия, всички точки на която са решения на полинома.

Видове системи линейни уравнения

Най-простите примери се считат за системи от линейни уравнения с две променливи X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, където F1,2 са функции и (x, y) са функционални променливи.

Решете система от уравнения - това означава намиране на стойности (x, y), при които системата се превръща в истинско равенство или установяване, че подходящи стойности на x и y не съществуват.

Двойка стойности (x, y), записана като координати на точка, се нарича решение на система от линейни уравнения.

Ако системите имат едно общо решение или не съществува решение, те се наричат ​​еквивалентни.

Хомогенни системи от линейни уравнения са системи, чиято дясна страна е равна на нула. Ако дясната част след знака за равенство има стойност или е изразена чрез функция, такава система е разнородна.

Броят на променливите може да бъде много повече от две, тогава трябва да говорим за пример на система от линейни уравнения с три или повече променливи.

Когато се сблъскват със системи, учениците приемат, че броят на уравненията трябва задължително да съвпада с броя на неизвестните, но това не е така. Броят на уравненията в системата не зависи от променливите, те могат да бъдат колкото желаете.

Прости и сложни методи за решаване на системи от уравнения

Няма общ аналитичен метод за решаване на такива системи; всички методи се основават на числени решения. Училищният курс по математика описва подробно такива методи като пермутация, алгебрично добавяне, заместване, както и графични и матрични методи, решение по метода на Гаус.

Основната задача при преподаване на методи за решаване е да се научи как правилно да се анализира системата и да се намери оптималният алгоритъм за решение за всеки пример. Основното нещо е да не запомните система от правила и действия за всеки метод, а да разберете принципите на използване на конкретен метод

Решаването на примери за системи от линейни уравнения в общообразователната програма за 7. клас е съвсем просто и обяснено много подробно. Във всеки учебник по математика на този раздел се отделя достатъчно внимание. Решаването на примери на системи от линейни уравнения по метода на Гаус и Крамер се изучава по-подробно в първите години на висшето образование.

Решаване на системи чрез метода на заместване

Действията на метода на заместване са насочени към изразяване на стойността на една променлива по отношение на втората. Изразът се замества в останалото уравнение, след което се редуцира до форма с една променлива. Действието се повтаря в зависимост от броя на неизвестните в системата

Нека дадем решение на пример за система от линейни уравнения от клас 7, използвайки метода на заместване:

Както може да се види от примера, променливата x беше изразена чрез F(X) = 7 + Y. Полученият израз, заместен във второто уравнение на системата на мястото на X, помогна да се получи една променлива Y във второто уравнение . Решаването на този пример е лесно и ви позволява да получите стойността на Y. Последната стъпка е да проверите получените стойности.

Не винаги е възможно да се реши пример на система от линейни уравнения чрез заместване. Уравненията могат да бъдат сложни и изразяването на променливата по отношение на второто неизвестно ще бъде твърде тромаво за по-нататъшни изчисления. Когато в системата има повече от 3 неизвестни, решаването чрез заместване също е неподходящо.

Решение на пример на система от линейни нехомогенни уравнения:

Решение чрез алгебрично събиране

Когато се търсят решения на системи, използващи метода на добавяне, уравненията се добавят член по член и се умножават по различни числа. Крайната цел на математическите операции е уравнение в една променлива.

Прилагането на този метод изисква практика и наблюдение. Решаването на система от линейни уравнения чрез метода на добавяне, когато има 3 или повече променливи, не е лесно. Алгебричното добавяне е удобно за използване, когато уравненията съдържат дроби и десетични знаци.

Алгоритъм за решение:

1. Умножете двете страни на уравнението по определено число. В резултат на аритметичната операция един от коефициентите на променливата трябва да стане равен на 1.
2. Съберете получения израз член по член и намерете едно от неизвестните.
3. Заместете получената стойност във второто уравнение на системата, за да намерите оставащата променлива.

Метод на решение чрез въвеждане на нова променлива

Може да се въведе нова променлива, ако системата изисква намиране на решение за не повече от две уравнения; броят на неизвестните също трябва да бъде не повече от две.

Методът се използва за опростяване на едно от уравненията чрез въвеждане на нова променлива. Новото уравнение се решава за въведеното неизвестно и получената стойност се използва за определяне на оригиналната променлива.

Примерът показва, че чрез въвеждане на нова променлива t е възможно да се намали първото уравнение на системата до стандартен квадратен трином. Можете да разрешите полином, като намерите дискриминанта.

Необходимо е да се намери стойността на дискриминанта, като се използва добре известната формула: D = b2 - 4*a*c, където D е желаният дискриминант, b, a, c са факторите на полинома. В дадения пример a=1, b=16, c=39, следователно D=100. Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава има две решения: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантът е по-малък от нула, тогава има едно решение: x = -b / 2*a.

Решението за получените системи се намира по метода на добавяне.

Визуален метод за решаване на системи

Подходящ за 3 системи от уравнения. Методът се състои в построяването на графики на всяко уравнение, включено в системата, върху координатната ос. Координатите на пресечните точки на кривите ще бъдат общото решение на системата.

Графичният метод има редица нюанси. Нека да разгледаме няколко примера за решаване на системи от линейни уравнения по визуален начин.

Както може да се види от примера, за всяка линия са конструирани две точки, стойностите на променливата x са избрани произволно: 0 и 3. Въз основа на стойностите на x са намерени стойностите за y: 3 и 0. На графиката са отбелязани точки с координати (0, 3) и (3, 0) и свързани с линия.

Стъпките трябва да се повторят за второто уравнение. Пресечната точка на правите е решението на системата.

Следният пример изисква намиране на графично решение на система от линейни уравнения: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Както се вижда от примера, системата няма решение, тъй като графиките са успоредни и не се пресичат по цялата си дължина.

Системите от примери 2 и 3 са сходни, но при конструирането става очевидно, че техните решения са различни. Трябва да се помни, че не винаги е възможно да се каже дали дадена система има решение или не; винаги е необходимо да се построи графика.

Матрицата и нейните разновидности

Матриците се използват за кратко записване на система от линейни уравнения. Матрицата е специален вид таблица, пълна с числа. n*m има n - редове и m - колони.

Матрицата е квадратна, когато броят на колоните и редовете е равен. Матрица-вектор е матрица от една колона с безкраен възможен брой редове. Матрица с единици по един от диагоналите и други нулеви елементи се нарича идентичност.

Обратната матрица е матрица, когато се умножи, по която оригиналната се превръща в единична матрица; такава матрица съществува само за оригиналната квадратна.

Правила за преобразуване на система от уравнения в матрица

По отношение на системите от уравнения коефициентите и свободните членове на уравненията се записват като матрични числа; едно уравнение е един ред от матрицата.

За матричен ред се казва, че е ненулев, ако поне един елемент от реда не е нула. Следователно, ако в някое от уравненията броят на променливите е различен, тогава е необходимо да въведете нула на мястото на липсващото неизвестно.

Колоните на матрицата трябва стриктно да съответстват на променливите. Това означава, че коефициентите на променливата x могат да бъдат записани само в една колона, например първата, коефициентът на неизвестното y - само във втората.

При умножаване на матрица всички елементи на матрицата се умножават последователно по число.

Опции за намиране на обратната матрица

Формулата за намиране на обратната матрица е доста проста: K -1 = 1 / |K|, където K -1 е обратната матрица и |K| е детерминантата на матрицата. |K| не трябва да е равно на нула, тогава системата има решение.

Детерминантата се изчислява лесно за матрица две по две; просто трябва да умножите диагоналните елементи един по друг. За опцията „три по три“ има формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да използвате формулата или можете да запомните, че трябва да вземете по един елемент от всеки ред и всяка колона, така че номерата на колоните и редовете на елементите да не се повтарят в работата.

Решаване на примери на системи от линейни уравнения по матричния метод

Матричният метод за намиране на решение ви позволява да намалите тромавите записи при решаване на системи с голям брой променливи и уравнения.

В примера a nm са коефициентите на уравненията, матрицата е вектор, x n са променливи, а b n са свободни членове.

Решаване на системи по метода на Гаус

Във висшата математика методът на Гаус се изучава заедно с метода на Крамер, а процесът на намиране на решения на системи се нарича метод на решение на Гаус-Крамер. Тези методи се използват за намиране на променливи на системи с голям брой линейни уравнения.

Методът на Гаус е много подобен на решения чрез заместване и алгебрично събиране, но е по-систематичен. В училищния курс се използва решението по метода на Гаус за системи от 3 и 4 уравнения. Целта на метода е да намали системата до формата на обърнат трапец. Чрез алгебрични трансформации и замествания се намира стойността на една променлива в едно от уравненията на системата. Второто уравнение е израз с 2 неизвестни, докато 3 и 4 са съответно с 3 и 4 променливи.

След привеждане на системата до описания вид, по-нататъшното решение се свежда до последователно заместване на известни променливи в уравненията на системата.

В училищните учебници за 7 клас е описан пример за решение по метода на Гаус, както следва:

Както може да се види от примера, на стъпка (3) са получени две уравнения: 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решаването на някое от уравненията ще ви позволи да откриете една от променливите x n.

Теорема 5, която се споменава в текста, гласи, че ако едно от уравненията на системата се замени с еквивалентно, то получената система също ще бъде еквивалентна на оригиналната.

Методът на Гаус е труден за разбиране от учениците в средното училище, но е един от най-интересните начини за развиване на изобретателността на децата, записани в програми за напреднали в часовете по математика и физика.

За по-лесно записване изчисленията обикновено се извършват, както следва:

Коефициентите на уравненията и свободните членове са записани под формата на матрица, където всеки ред от матрицата съответства на едно от уравненията на системата. разделя лявата страна на уравнението от дясната. Римските цифри показват номерата на уравненията в системата.

Първо, запишете матрицата, с която ще работите, след това всички действия, извършени с един от редовете. Получената матрица се записва след знака "стрелка" и необходимите алгебрични операции продължават до постигане на резултата.

Резултатът трябва да бъде матрица, в която един от диагоналите е равен на 1, а всички други коефициенти са равни на нула, т.е. матрицата се редуцира до единична форма. Не трябва да забравяме да извършваме изчисления с числа от двете страни на уравнението.

Този метод на запис е по-малко тромав и ви позволява да не се разсейвате с изброяване на множество неизвестни.

Безплатното използване на всеки метод на решение ще изисква внимание и известен опит. Не всички методи са с приложен характер. Някои методи за намиране на решения са по-предпочитани в определена област на човешката дейност, докато други съществуват за образователни цели.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

В този случай е удобно да изразите x чрез y от второто уравнение на системата и да замените получения израз вместо x в първото уравнение:

Първото уравнение е уравнение с една променлива y. Нека го решим:

5(7-3y)-2y = -16

Заместваме получената стойност y в израза за x:

Отговор: (-2; 3).

В тази система е по-лесно да изразите y чрез x от първото уравнение и да замените получения израз вместо y във второто уравнение:

Второто уравнение е уравнение с една променлива x. Нека го решим:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

В израза за y, вместо x, заместваме x=1 и намираме y:

Отговор: (1; -5).

Тук е по-удобно да изразите y чрез x от второто уравнение (тъй като разделянето на 10 е по-лесно от деленето на 4, -9 или 3):

Нека решим първото уравнение:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

Заместете x=2 и намерете y:

Отговор: (2; 1).

Преди да се приложи методът на заместване, тази система трябва да бъде опростена. И двете страни на първото уравнение могат да бъдат умножени по най-малкия общ знаменател, във второто уравнение отваряме скобите и представяме подобни членове:

Получихме система от линейни уравнения с две променливи. Сега нека приложим замяната. Удобно е да изразите a до b от второто уравнение:

Решаваме първото уравнение на системата:

3(21,5 + 2,5b) – 7b = 63

Остава да се намери стойността на a:

Съгласно правилата за форматиране, записваме отговора в скоби, разделени с точка и запетая по азбучен ред.

Отговор: (14; -3).

Когато изразявате една променлива чрез друга, понякога е по-удобно да я оставите с определен коефициент.

Нека анализираме два вида решения на системи от уравнения:

1. Решаване на системата чрез метода на заместване.
2. Решаване на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата.

За да се реши системата от уравнения по метода на заместванетрябва да следвате прост алгоритъм:
1. Експрес. От всяко уравнение изразяваме една променлива.
2. Заместник. Заместваме получената стойност в друго уравнение вместо изразената променлива.
3. Решете полученото уравнение с една променлива. Ние намираме решение на системата.

Разрешавам система по член по член метод на събиране (изваждане).трябва да:
1. Изберете променлива, за която ще направим еднакви коефициенти.
2. Събираме или изваждаме уравнения, което води до уравнение с една променлива.
3. Решете полученото линейно уравнение. Ние намираме решение на системата.

Решението на системата са пресечните точки на графиките на функциите.

Нека разгледаме подробно решението на системите, използвайки примери.

Пример #1:

Нека решим по метода на заместване

Решаване на система от уравнения чрез метода на заместване

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2-ро уравнение)

1. Експрес
Вижда се, че във второто уравнение има променлива x с коефициент 1, което означава, че е най-лесно да изразим променливата x от второто уравнение.
x=3+10y

2. След като сме го изразили, заместваме 3+10y в първото уравнение вместо променливата x.
2(3+10y)+5y=1

3. Решете полученото уравнение с една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворете скобите)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решението на системата от уравнения са пресечните точки на графиките, следователно трябва да намерим x и y, тъй като пресечната точка се състои от x и y. Нека намерим x, в първата точка, където сме го изразили, заместваме y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Обичайно е да пишем точки на първо място пишем променливата x, а на второ място променливата y.
Отговор: (1; -0,2)

Пример #2:

Нека решим с помощта на метода на събиране (изваждане) член по член.

Решаване на система от уравнения чрез метода на събиране

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2-ро уравнение)

1. Избираме променлива, да кажем, че избираме x. В първото уравнение променливата x има коефициент 3, във второто - 2. Трябва да направим коефициентите еднакви, за това имаме право да умножаваме уравненията или да разделяме на произволно число. Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по 3 и получаваме общ коефициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Извадете второто от първото уравнение, за да се отървете от променливата x. Решете линейното уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Намерете x. Заместваме намереното y във всяко от уравненията, да кажем в първото уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
х=4,6

Пресечната точка ще бъде x=4.6; y=6,4
Отговор: (4,6; 6,4)

Искате ли да се подготвите за изпити безплатно? Учител онлайн безплатно. Без майтап.