Методи за определяне на остатъците. Метод на претегления остатък. Проблеми на теорията на полето

Председател на ЮНЕСКО за NIT, Rein T.S. Въведение Функцията се апроксимира чрез набор от функции: където - неизвестни параметри - линейно независими функции, принадлежащи на пълната последователност (3) Разгледайте функцията на грешката (остатъчно): (4) В този случай ще приемем, че: - набор от тегловни функции (5)

Председател на ЮНЕСКО за NIT, Rein T.S. Метод на колокация. Пример Разгледайте следното уравнение от втори ред за интервала: с гранични условия: Нека вземем апроксимиращата функция под формата на израз, който удовлетворява граничните условия за всяко: (6) (7) (8) за Точно решение (проверете ): Избираме като точки за колокация

Председател на ЮНЕСКО за NIT, Rein T.S. Метод на колокация и метод на най-малките квадрати Нека разширим метода на колокация до случая, когато броят на точките надвишава броя на неизвестните. В този случай неизвестните параметри се определят чрез минимизиране в средноквадратичен смисъл. се оценява на точки (), а функцията може да бъде записана във формата: Ние минимизираме (16), за тото уравнение получаваме: (15) (16) (17)

Председател на ЮНЕСКО за NIT, Rein T.S. Пример Разгледайте следното уравнение от втори ред на интервала: с гранични условия: и приближаваща функция под формата на израз, който удовлетворява граничните условия за всяко: за Точно решение (проверете): Изчислете несъответствието в три точки:

Председател на ЮНЕСКО за NIT, Rein T.S. Метод на моментите За дадена система от уравнения: Всеки набор от линейно независими функции от пълната последователност може да се използва като тегловни функции, например: Това гарантира, че остатъчните моменти от по-висок ред изчезват: (18) (17) (19)

Председател на ЮНЕСКО за NIT, Rein T.S. Пример Разгледайте следното уравнение от втори ред на интервала: с гранични условия: и апроксимираща функция под формата на израз, удовлетворяващ граничните условия за всяко: за Точно решение (проверка): Функцията на грешката е ортогонализирана по отношение на и:

След като изучихме един метод относително подробно, преминаваме към представяне на други методи в цели класове. Най-често срещаният клас са претеглени остатъчни методи. Те изхождат от предположението, че желаната функция може да бъде представена под формата на функционална серия, например това:

Обикновено се опитват да изберат функцията f 0 така, че да удовлетворява възможно най-точно началните и граничните условия. Апроксимиращите (тестови) функции f j се приемат за известни. Математиците излязоха с редица изисквания за такива функции, но ние няма да ги обсъждаме тук. Нека се ограничим до факта, че полиномите и тригонометричните функции отговарят на тези изисквания. Още няколко примера за набори от подобни функции ще бъдат разгледани при описанието на конкретни методи.

Коефициентите a j са предварително неизвестни и трябва да се определят от система от уравнения, получена от първоначалното уравнение. От безкрайна серия се вземат само определен краен брой членове.

В уравнението, което трябва да бъде решено, всички членове се пренаписват от лявата страна, оставяйки само нула от дясната страна. Така уравнението се свежда до формата

Ако приблизително решение (написано като краен сбор от предварително избрани функции) се замести в това уравнение, тогава то няма да бъде идентично удовлетворено. Следователно можем да пишем

където стойността R се нарича остатък. Като цяло, остатъкът е функция на x, y, z и t. Проблемът се свежда до намирането на такива коефициенти a j, че несъответствието да остане малко в цялата изчислителна област. Концепцията за „малък“ в тези методи означава, че интегралите върху изчислителната област на остатъка, умножени по някои тегловни функции, са равни на нула. Това е

След като посочихме краен брой тегловни функции, получаваме система от уравнения за намиране на неизвестни коефициенти. Чрез специфициране на различни пробни апроксимиращи (пробни) и различни тегловни функции, ние лесно получаваме цял клас методи, наречени претеглени остатъчни методи.

Ето няколко примера за най-простите методи от този клас.

Метод на подобласт.Изчислителният домейн е разделен на няколко поддомейна D m, които могат да се припокриват. Тегловата функция е посочена във формуляра

Това гарантира, че интегралът на остатъка върху всеки поддомейн е равен на нула. Методът послужи като основа за редица методи (един от тях ще бъде разгледан по-долу).

Метод на колокация.Делта функцията на Дирак се използва като тегловни функции

Където x=(x,y,z). Нека ви напомня, че функцията на Дирак е сложна функция, която е равна на нула навсякъде, освен в началото. Но в началото той приема стойност, неизвестна на науката, така че всеки интеграл върху региона, съдържащ началото на координатите, е равен на единица. Казано по-просто: задаваме определен брой точки (често наричани възли в този подход). Първоначалното уравнение ще бъде изпълнено в тези точки. Съществуват подходи за избиране на тези точки и пробни функции за постигане на максимална точност с ограничен брой възли. Но ние няма да ги обсъждаме тук.

Метод на най-малките квадрати.Методът се основава на минимизиране на стойността

Но не е трудно да се покаже, че той също принадлежи към класа на претеглените остатъчни методи. Функциите за тегло за него са функции на формата

Може би това е най-известният метод от този клас сред неспециалистите, но далеч не е най-популярният сред специалистите.

Метод Галеркин.При този метод апроксимиращите (пробни) функции се приемат като тегловни функции. Това е

Методът се използва широко в случаите, когато се иска да се намери решение под формата на непрекъсната (а не на мрежа) функция.

Нека разгледаме приложението на тези методи за изчисляване на деформацията на конзолна греда с дължина L. Нека отклонението от централната линия се описва с уравнението

Граничните условия са посочени във формуляра

Ще търсим решение във формата

Тогава несъответствието ще бъде записано във формуляра

За да намерим неизвестните коефициенти a и b, ще трябва да създадем система от две уравнения. Нека направим това, като използваме всички обсъдени методи.

Метод на колокация. Изберете две точки в краищата на гредата. Несъответствието в тях приравняваме на нула

Получаваме

Както можете да видите, методът на колокация е доста прост за изпълнение, но е по-нисък по точност от другите методи.

Метод на подобласт. Разделяме цялата дължина на лъча на два подрегиона. Във всеки от тях приравняваме интеграла на остатъка към нула.

Метод Галеркин. Взимаме интегралите на остатъка, умножени по тестовите функции.

Метод на най-малките квадрати.

Методът на най-малките квадрати изисква най-големи изчислителни усилия, но не осигурява забележимо увеличение на точността. Поради това рядко се използва при решаване на практически проблеми.

50. ЯВНИ И НЕЯВНИ РАЗЛИЧНИ СХЕМИ. МЕТОД НА ПРЕТЕГЛЕНИТЕ РЕЗИДЕНТИ. МЕТОД БУБНОВ-ГАЛЕРКИН.

Разликова схема- това е крайна система от алгебрични уравнения, поставена в съответствие с някаква диференциална задача, съдържаща диференциално уравнение и допълнителни условия (например гранични условия и/или начално разпределение). По този начин диференциалните схеми се използват за редуциране на диференциален проблем, който има непрекъснат характер, до крайна система от уравнения, чието числено решение е фундаментално възможно на компютри. Алгебрични уравнения, поставени в съответствие с диференциално уравнение, се получават с помощта на диференциалния метод, който отличава теорията на диференциалните схеми от други числени методи за решаване на диференциални проблеми (например проекционни методи, като метода на Галеркин).

Решението на диференциалната схема се нарича приближено решение на диференциалната задача.

Въпреки че формалната дефиниция не налага значителни ограничения върху типа алгебрични уравнения, на практика има смисъл да се разглеждат само тези схеми, които по някакъв начин съответстват на диференциалния проблем. Важни понятия в теорията на диференциалните схеми са понятията за конвергенция, апроксимация, стабилност и консерватизъм.

Изрични схеми

Изричните схеми изчисляват стойността на резултата чрез няколко съседни точки от данни. Пример за изрична схема за диференциране: (апроксимация от 2-ри ред). Явните схеми често се оказват нестабилни.

Тук V * – приблизително решение,
Е– функция, която удовлетворява граничните условия,
н m – тестови функции, които трябва да бъдат равни на нула на границата на региона,
А m – неизвестни коефициенти, които трябва да се намерят от условието за най-добро удовлетворение на диференциалния оператор,
М– брой пробни функции.

Ако заместим V* в оригиналния диференциален оператор, получаваме несъответствие, което приема различни стойности в различни точки на региона.

R = LV * +P

Тук У н– някои тегловни функции, в зависимост от избора на които се разграничават различни варианти на метода на претеглените остатъци,

С– област от пространството, в която се търси решение.

Когато избираме делта функции като тегловни функции, ще имаме метод, наречен точков метод на колокация, за частично постоянни функции - метод на колокация по поддомейни, но най-често срещаният е методът на Галеркин, при който тестовите функции се избират като тегловни функции н. В този случай, ако броят на тестовите функции е равен на броя на тегловните функции, след разширяване на определени интеграли стигаме до затворена система от алгебрични уравнения за коефициентите А.

KA + Q = 0

Където коефициентите на матрицата K и вектора Q се изчисляват по формулите:

След намиране на коефициентите Аи замествайки ги в (1), получаваме решение на първоначалния проблем.

Недостатъците на метода на претеглените остатъци са очевидни: тъй като решението се търси в цялата област наведнъж, броят на пробните и тегловните функции трябва да бъде значителен, за да се осигури приемлива точност, но това създава трудности при изчисляването на коефициентите К ijИ Q аз, особено при решаване на равнинни и обемни задачи, когато е необходимо да се изчислят двойни и тройни интеграли върху области с криволинейни граници. Следователно този метод не е бил използван на практика, докато не е изобретен методът на крайните елементи (FEM).

ПРОБЛЕМИ НА ТЕОРИЯ НА ПОЛЕТО

Методът на крайните елементи е числен метод и се основава на замяна на обект (структура или част от него) с набор от поддомейни (елементи), за всеки от които се намира приблизително решение на задачата за пренос на топлина. Това означава, че за всеки елемент е необходимо да се запише диференциалното транспортно уравнение и граничните условия, характеризиращи процесите на топлообмен на граничните повърхности на този конкретен елемент, и след това да се получи решение под една или друга форма. Комбинирането на „елементарни” решения по определено правило дава решение на проблема за обекта като цяло. Тази глава ще въведе основната концепция на FEM.

2.1 Претеглени остатъчни методи

Голяма група методи за приближено решение на диф

уравнения се основава на математическа формулировка, свързана с

интегрално представяне на претегления остатък. Тази група методи се нарича претеглени остатъчни методи .

Нека има диференциално уравнение и гранично условие за него:

,
, (2.1.1)

,
. (2.1.2)

Тук Л−диференциален оператор; х аз− пространствени координати; VИ С− обем и външна граница на изследваната територия; u 0 - точно решение.

Ще приемем, че някаква функция uсъщо е решение на уравнението и може да бъде апроксимирано чрез набор от функции
:

, (2.1.3)

докато коефициентите − неизвестни величини, които трябва да бъдат определени с помощта на някаква математическа процедура.

При остатъчните методи тази процедура се състои от две последователни стъпки. На първия етап, чрез заместване на приблизителното решение (2.1.3) в уравнение (2.1.1), намираме функцията
грешка, или остатъчен, което характеризира степен на разлика
от точенрешения :

Резултатът е алгебрично уравнение, съдържащо текущите координати И Мвсе още неизвестни коефициенти .

На втория етап се налагат изисквания към остатъчната функция (2.1.4), които минимизират или самия остатък (метод на колокация), или претегления остатък (метод на най-малките квадрати и метод на Галеркин).

При метода на колокацията се смята, че диференциалното уравнение се изпълнява само в някои избрани (произволно) точки - точки на колокация, чийто брой е равен на броя на неизвестните коефициенти . В тези Мточки, несъответствието трябва да е равно на нула, което води до системата Малгебрични уравнения за Мкоефициенти :

. (2.1.5)

При методите на претеглени остатъци първо се формира претеглен остатък чрез умножаването му по някои тегловни функции и след това го минимизирайте средно:

. (2.1.6)

При метода на най-малките квадрати - метода на Rayleigh-Ritz - като тегловна функция се избира самата грешка, т.е.
, като се изисква получената по този начин стойност (функционал) да е минимална:

. (2.1.7)

За да направите това, трябва да бъде изпълнено следното условие:

, (2.1.8)

което води до система от алгебрични уравнения за неизвестни коефициенти.

При метода на Галеркин самите функции се приемат като тегловни функции
, Наречен основен, и те са задължителни ортогоналност към остатъка :

. (2.1.9)

Ако е линеен оператор, то системата (2.1.9) преминава към система от алгебрични уравнения за коефициентите .

Нека разгледаме метода на Galerkin, използвайки конкретен пример. Дадено е уравнение на интервала
:

с гранични условия:
,
.

Нека вземем апроксимиращата функция в следната форма:

удовлетворяващи гранични условия (2.1.2) за всякакви . На първия етап откриваме несъответствието:

Нека изпълним процедурата от втория етап:

,
.

Интегрирането ще доведе до система от две уравнения:

,

чието решение ще бъдат следните стойности :
;
. Приблизителното решение има формата:.

В таблица 1 е дадено сравнение на приблизителните резултати, получени чрез различни методи, с точното решение.

маса 1

От таблица 1 става ясно, че при едни и същи апроксимиращи функции във всички методи, най-доброто приближение до точното решение се осигурява от метода на Галеркин. В допълнение, този метод е приложим за решаване на нелинейни проблеми, включително такива, за които не се изисква функционалност при използване на метода на Rayleigh-Ritz.