Това, което се нарича неопределен интеграл. Първопроизводен и неопределен интеграл, техните свойства. Основни техники за интегриране

Определение за антипроизводно.

Първоизводна на функция f(x) на интервала (a; b) е функция F(x), така че равенството е в сила за всеки x от дадения интервал.

Ако вземем предвид факта, че производната на константата C е равна на нула, тогава равенството е вярно . По този начин функцията f(x) има набор от първоизводни F(x)+C за произволна константа C и тези антипроизводни се различават една от друга с произволна постоянна стойност.

Дефиниция на неопределен интеграл.

Цялото множество от първоизводни на функцията f(x) се нарича неопределен интеграл на тази функция и се означава .

Изразът се нарича интегранти f(x) – интегрална функция. Интегралната функция представлява диференциала на функцията f(x) .

Действието за намиране на неизвестна функция при даден неин диференциал се нарича несигуренинтегриране, защото резултатът от интегрирането не е една функция F(x), а набор от нейните първоизводни F(x)+C.

Въз основа на свойствата на производната може да се формулира и докаже свойства на неопределения интеграл(свойства на антипроизводно).

За пояснение са дадени междинни равенства на първо и второ свойство на неопределения интеграл.

За доказване на третото и четвъртото свойство е достатъчно да се намерят производните на десните части на равенствата:

Тези производни са равни на интеграндите, което е доказателство поради първото свойство. Използва се и при последните преходи.

По този начин проблемът с интеграцията е обратен на проблема с диференциацията и има много тясна връзка между тези проблеми:

• първото свойство позволява да се провери интеграцията. За да проверите правилността на извършеното интегриране, е достатъчно да изчислите производната на получения резултат. Ако получената в резултат на диференцирането функция се окаже равна на интегранта, това ще означава, че интегрирането е извършено правилно;
• второто свойство на неопределения интеграл позволява да се намери неговата антипроизводна от известен диференциал на функция. Прякото изчисляване на неопределени интеграли се основава на това свойство.

Нека разгледаме един пример.

Пример.

Намерете първоизводната на функцията, чиято стойност е равна на единица при x = 1.

Решение.

Знаем това от диференциалното смятане (просто погледнете таблицата с производни на основни елементарни функции). По този начин, . До втория имот . Тоест имаме много антипроизводни. За x = 1 получаваме стойността . Съгласно условието тази стойност трябва да е равна на единица, следователно C = 1. Желаната антипроизводна ще приеме формата.

Пример.

Намерете неопределения интеграл и проверете резултата чрез диференциране.

Решение.

Използване на формулата за синус на двоен ъгъл от тригонометрията , Ето защо

Концепцията за неопределен интеграл.диференцирането е действието, чрез което при дадена функция се намира нейната производна или диференциал. Например, ако F(x) = x 10, тогава F" (x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.

Интеграция -Това е обратното на диференциацията. Използвайки интегриране върху дадена производна или диференциал на функция, се намира самата функция. Например, ако F" (x) = 7x 6, тогава F (x) == x 7, тъй като (x 7)" = 7x 6.

Диференцируема функция F(x), xЄ]a; b[ се извиква антипроизводноза функцията f (x) на интервала ]а; b[, ако F" (x) = f (x) за всяко xЄ]a; b[.

Така за функцията f(x) = 1/cos 3 x първоизводната е функцията F(x)= tan x, тъй като (tg x)"= 1/cos 2 x.

Множеството от всички първообразни функции f(x) на интервала ]а; b[ се извиква неопределен интегралот функцията f(x) на този интервал и напишете f (x)dx = F(x) + C. Тук f(x)dx е интегрантът;

F(x)-интегрална функция; x-променлива на интегриране: C е произволна константа.

Например, 5x 4 dx = x 5 + C, тъй като (x 3 + C)" = 5x 4.

Да дадем основни свойства на неопределения интеграл. 1. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта:

D f(x)dx=f(x)dx.

2. Неопределеният интеграл на диференциала на функция е равен на тази функция, добавена към произволна константа, т.е.

3. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл:

af(x)dx = a f(x)dx

4. Неопределеният интеграл на алгебричната сума от функции е равен на алгебричната сума на неопределените интеграли на всяка функция:

(f 1 (x) ±f 2 (x))dx = f 1 (x)dx ± f 2 (x)dx.

Основни формули за интегриране

(таблични интеграли).

6.

Пример 1.намирам

Решение. Нека направим заместването 2 - 3x 2 = t, след това -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. След това получаваме

Пример 3.намирам

Решение. Нека поставим 10x = t; тогава 10dx = dt, откъдето dx=(1/10)dt.

3.

Така че, когато намирате sinl0xdx, можете да използвате формулата sinkxdx = - (1/k) cos kx+C, където k=10.

Тогава sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Въпроси и упражнения за самопроверка

1. Какво действие се нарича интегриране?

2. Коя функция се нарича първоизводна за функцията f(x)?

3. Дефиниране на неопределен интеграл.

4. Избройте основните свойства на неопределения интеграл.

5. Как можете да проверите интеграцията?

6. Напишете основните формули за интегриране (таблични интеграли).

7. Намерете интегралите: а) б) в)

където a е долната граница, b е горната граница, F (x) е някаква антипроизводна на функцията f (x).

От тази формула може да се види процедурата за изчисляване на определен интеграл: 1) намира се една от първоизводните F (x) на дадена функция; 2) намерете стойността на F (x) за x = a и x = b; 3) изчислете разликата F (b) - F (a).

Пример 1.Изчислете интеграл

Решение. Нека използваме дефиницията на степен с дробен и отрицателен показател и изчислим определения интеграл:

2. Интеграционният сегмент може да бъде разделен на части:

3. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

4. Интегралът на сумата от функции е равен на сумата от интегралите на всички членове:

2) Нека определим границите на интегриране на променливата t. За x=1 получаваме tn =1 3 +2=3, за x=2 получаваме tb =2 3 +2=10.

Пример 3.Изчислете интеграл

Решение. 1) поставете cos x=t; тогава – sinxdx =dt и

sinxdx = -dt. 2) Нека определим границите на интегриране за променливата t: t n =cos0=1:t in =cos (π/2)=0.

3) Изразявайки интегранта по отношение на t и dt и преминавайки към нови граници, получаваме

Нека изчислим всеки интеграл поотделно:

Пример 5.Изчислете площта на фигурата, ограничена от параболата y = x 2, правите линии x = - 1, x = 2 и абсцисната ос (фиг. 47).

Решение. Прилагайки формула (1), получаваме

тези. S=3 кв. единици

Площта на фигурата ABCD (фиг. 48), ограничена от графиките на непрекъснатите функции y = f 1 (x) и y f 2 = (x), където x Є[a, b], сегменти x = a и x = b, се изчислява по формула

		Обемът на тяло, образувано от въртене около оста Oy на криволинеен трапец aAB, ограничен от непрекъсната крива x=f(y), където Є [a, b], сегмент [a, b] от оста Oy, права сегменти y = a и y = b ( Фиг. 53), изчислени по формулата Пътят, изминат от точка. Ако точка се движи праволинейно и нейната скорост v=f(t) е известна функция на времето t, тогава пътят, изминат от точката за период от време, се изчислява по формулата Въпроси за самопроверка 1. Дайте дефиницията на определен интеграл. 2. Избройте основните свойства на определения интеграл. 3. Какъв е геометричният смисъл на определен интеграл? 4. Напишете формули за определяне на площта на равнинна фигура с помощта на определен интеграл. 5. Какви формули се използват за намиране на обема на ротационно тяло? 6. Напишете формула за изчисляване на изминатото разстояние от тялото. 7. Напишете формула за изчисляване на работата, извършена от променлива сила. 8. Каква формула се използва за изчисляване на силата на налягането на течността върху плоча?

Извиква се функция, която може да бъде възстановена от нейната производна или диференциал антипроизводно.

Определение.функция F(x)Наречен антипроизводноза функция

f(x)на някакъв интервал, ако във всяка точка от този интервал

F"(x) = f(x)

или, което също е,

dF(x) = f(x)dx

Например, F(x) = sin xе противопроизводно на f(x) = cos xна цялата числова ос Ох, защото

(sin x)" = cos x

Ако функцията Е(х) има антипроизводно за функцията f(х) На [ а; b], след това функцията Е(х) + C, Където ° Свсяко реално число също е противопроизводно за f(х) на всякаква стойност ° С. Наистина ли ( Е(х) + ° С)" = Е"(х) + ° С" = f(х).

Пример.

Определение.Ако F(x)една от антипроизводните на функцията f(x)На [ а; b], след това изразът F(x) + C, Където ° Спроизволна константа, наречена неопределен интегралот функция f(x)и се обозначава със символа ʃ f(х)dx(да се чете: неопределен интеграл от f(x)На dx). Така,

ʃ f (х ) dx = F (х ) +C ,

Където f(x)наречена интегрална функция, f(x)dx- интегрален израз, хе променливата на интегрирането, а символът ʃ е знакът на неопределения интеграл.

Свойства на неопределения интеграл и неговите геометрични свойства.

От дефиницията на неопределения интеграл следва, че:

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта:

Наистина ли, F"(х) = f(х) и ʃ f(х)dx = F(х)+C. Тогава

2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта

Наистина ли,

3. Неопределеният интеграл на производната е равен на самата функция плюс произволна константа:

Наистина ли, F"(х) = f(х). Тогава,

4. Неопределеният интеграл на диференциала е равен на диференцируемата функция плюс произволна константа:

Наистина ли, . Тогава,

5. Постоянен множител к(к≠ 0) може да се извади като знак на неопределения интеграл:

6. Неопределеният интеграл на алгебричната сума на краен брой функции е равен на алгебричната сума на интегралите на тези функции:

Нека наречем графиката антипроизводна F(x) на интегралната крива. Графика на всяка друга антипроизводна F(x) + Cполучена чрез успоредно пренасяне на интегралната крива F(x)по оста ой.

Пример.

Таблица на основните интеграли

Основни техники за интегриране

1. Директно (таблично) интегриране.

Директното (таблично) интегриране е редуцирането на интеграла до таблична форма с помощта на основните свойства и формули на елементарната математика.

Пример 1.

Решение:

Пример2 .

Решение:

Пример3 .

Решение:

2. Метод за подвеждане под диференциала.

Пример 1.

Решение:

Пример2 .

Решение:

Пример3 .

Решение:

Пример4 .

Решение:

Пример5 .

Решение:

Пример6 .

Решение:

Пример7 .

Решение:

Пример8 .

Решение:

Пример9 .

Решение:

Пример10 .

Решение:

3. Вторият метод за свързване към диференциала.

Пример 1.

Решение:

Пример2 .

Решение:

4. Метод на заместване (заместване) на променливи.

Пример.

Решение:

5. Метод на интегриране по части.

Използвайки тази формула, се вземат следните видове интеграли:

1 вид

, се прилага формулата н- веднъж, останалите дв.

2 Тип.

, Формулата се прилага еднократно.

Пример1 .

Решение:

Пример 2.

Решение:

Пример3 .

Решение:

Пример4 .

Решение:

ИНТЕГРИРАНЕ НА РАЦИОНАЛНИ ДРОБИ.

Рационална дроб е отношението на два полинома - степени м и - градуси н,

Възможни са следните случаи:

1. Ако , тогава използвайте метода на разделяне на ъгъл, за да елиминирате цялата част.

2. Ако знаменателят също има квадратен тричлен, тогава се използва методът на добавяне към перфектен квадрат.

Пример 1.

Решение:

Пример2 .

Решение:

3. Методът на неопределените коефициенти при разлагане на правилна рационална дроб в сбор от прости дроби.

Всяка правилна рационална дроб, където, може да бъде представена като сбор от прости дроби:

Където A, B, C, D, E, F, M, N,…‒ несигурни коефициенти.

За да се намерят несигурните коефициенти, дясната страна трябва да се сведе до общ знаменател. Тъй като знаменателят съвпада със знаменателя на дробта от дясната страна, те могат да бъдат изхвърлени и числителите могат да бъдат приравнени. След това приравняване на коефициентите при същите градуси х от лявата и дясната страна, получаваме система от линейни уравнения с н- неизвестен. След като решихме тази система, намираме необходимите коефициенти А, б, ° С, ди така нататък. И следователно ще разложим правилна рационална дроб на по-прости дроби.

Нека разгледаме възможните опции, като използваме примери:

1. Ако факторите на знаменателя са линейни и различни:

2. Ако сред факторите на знаменателя има къси фактори:

3. Ако сред множителите на знаменателя има квадратен тричлен, който не може да бъде разложен на множители:

Примери:Разложете рационална дроб на сумата от най-простите. Интегрирайте.

Пример 1.

Тъй като знаменателите на дробите са равни, числителите също трябва да са равни, т.е.

Пример 2.

Пример3 .

Урок 2. Интегрално смятане

Неопределеният интеграл и неговият геометричен смисъл. Основни свойства на неопределения интеграл.

Основни методи за интегриране на неопределен интеграл.

Определен интеграл и неговия геометричен смисъл.

Формула на Нютон-Лайбниц. Методи за изчисляване на определен интеграл.

Познавайки производната или диференциала на функция, можете да намерите самата функция (възстановите функцията). Това действие, обратното на диференциацията, се нарича интеграция.

Антипроизводна функцияпо отношение на дадена функция се извиква следната функция
, чиято производна е равна на дадената функция, т.е.

За тази функция Има безкраен брой антипроизводни функции, защото някоя от функциите
, също е антипроизводно на .

Съвкупността от всички първоизводни за дадена функция се нарича нейна неопределен интегралсе обозначава със символа:

, Където

наречен интегранд, функцията
- интегрална функция.

Геометричен смисъл на неопределения интеграл.Геометрично, неопределеният интеграл е семейство от интегрални криви в равнина, получени чрез паралелно прехвърляне на графиката на функция
по ординатната ос (фиг. 3).

Основни свойства на неопределения интеграл

Свойство 1. Производната на неопределения интеграл е равна на подинтегралната функция:

Свойство 2. Диференциалът на неопределен интеграл е равен на интегранта:

Свойство 3. Интегралът на диференциала на функция е равен на тази функция плюс const:

Свойство 4. Линейност на интеграла.

Таблица на основните интеграли

	Интеграл
мощност
показателен
тригонометричен
обратен тригонометричен

Основни методи за интегриране

Метод на интегриране по частие метод, който включва използването на формулата:

.

Този метод се използва, ако интегралът
е по-лесно за решаване от
. По правило този метод решава интеграли на формата
, Където
е полином и е една от следните функции:
,
,
, , ,
,
.

Нека разгледаме някаква функция
, определени на интервала
, ориз. 4. Да извършим 5 операции.

1. Нека разделим интервала с точки по произволен начин на части. Нека обозначим
, а най-голямата от дължините на тези частични секции ще бъде означена с , ще го наречем смазващ ранг.

2. На всеки частичен парцел
нека вземем произволна точка и изчислете стойността на функцията в него
.

3. Да съчиним произведение

4. Да направим сума
. Тази сума се нарича интегрална сума или риманова сума.

5. Чрез намаляване на смачкването (чрез увеличаване на броя на точките на смачкване) и в същото време насочване на степента на смачкване до нула (
) т.е. (като увеличаваме броя на точките на смачкване, ние гарантираме, че дължината на всички частични секции намалява и клони към нула
), ще намерим границата на редицата от интегрални суми

Ако тази граница съществува и не зависи от метода на разделяне и избор на точки, тогава тя се извиква определен интегралот функция върху интервал и се означава по следния начин:
.

Геометричен смисъл на определен интеграл.Да приемем, че функцията е непрекъсната и положителна на интервала. Помислете за извит трапец ABCD(фиг. 4). Кумулативна сума
ни дава сумата от площите на правоъгълници с основи
и височини
. Може да се приеме като приблизителна стойност на площта на извит трапец ABCD , т.е.

,

Освен това това равенство ще бъде толкова по-точно, колкото по-фино е раздробяването и в границите на н→+∞ И λ → 0 ще получим:

.

Това е геометричният смисъл на определения интеграл.

Основни свойства на определения интеграл

Свойство 1. Определен интеграл с равни граници е равен на нула.

Свойство 2. При размяна на границите на интегриране, определеният интеграл променя знака на противоположния.

Свойство 3. Линейност на интеграла.

Свойство 4. Каквито и да са числата, ако функцията
интегрируеми на всеки интервал
,
,
(фиг. 5), тогава:

Теорема.Ако една функция е непрекъсната на интервала, тогава определеният интеграл на тази функция върху интервала е равен на разликата в стойностите на всяка антипроизводна на тази функция при горната и долната граница на интегриране, т.е.

(формула на Нютон-Лайбниц) .

Тази формула свежда намирането на определени интеграли до намиране на неопределени интеграли. Разлика
се нарича нарастване на първоизводната и се обозначава
.

Нека разгледаме основните начини за изчисляване на определен интеграл: промяна на променливи (заместване) и интегриране по части.

Заместване (промяна на променлива) в определен интеграл -трябва да направите следното:

И
;

Коментирайте.Когато се изчисляват определени интеграли чрез заместване, няма нужда да се връщате към първоначалния аргумент.

2. Интегриране по части в определен интегралсе свежда до използването на формулата:

.

Примери за решаване на проблеми

Упражнение 1.Намерете неопределения интеграл чрез директно интегриране.

1.
. Използвайки свойството на неопределения интеграл, вземаме постоянен множител зад знака на интеграла. След това, извършвайки елементарни математически трансформации, редуцираме функцията интегранд до степенна форма:

.

Задача 2.Намерете неопределения интеграл, като използвате метода на промяната на променливата.

1.
. Нека направим промяна на променлива
, Тогава . Оригиналният интеграл ще приеме формата:

Така получихме неопределен интеграл в таблична форма: степенна функция. Използвайки правилото за намиране на неопределен интеграл на степенна функция, намираме:

След като направихме обратното заместване, получаваме крайния отговор:

Задача 3.Намерете неопределения интеграл, като използвате метода на интегриране по части.

1.
. Нека въведем следната нотация: значение ... основенконцепция интегрална смятане– концепция несигурен интегрална ... несигурен интегрална Основен Имоти несигурен интегралнаИзползвайте таблица основен несигурен ...

Работна програма на учебната дисциплина Цикъл "висша математика".

Работна програма

... основензакони... Интеграл смятанефункции на една променлива Производна. Несигурно интегралнаИ неговият Имоти ... интегралнаИ неговият геометричен значение. Интеграл... координати. Несигурно интегралнаи... и практичен класове". Петрушко I.M., ...

Интегралът е важна част от диференциалното смятане. Интегралите могат да бъдат двойни, тройни и т.н. За намиране на повърхността и обема на геометричните тела се използват различни видове интеграли.

Неопределеният интеграл има формата: \(∫f (x)\, dx\), а определеният интеграл има формата: \(\int_a^b \! f (x)\, dx\)

Областта на равнината, ограничена от графиката на определения интеграл:

Операциите на интегриране са обратни на диференцирането. Поради тази причина трябва да запомним първоизводната, функцията, таблицата на производните.

Функцията \(F (x) = x^2\) е първоизводна на функцията \(f (x) = 2x\) . Функциите \(f (x) = x^2+2\) и \(f (x) = x^2+7\) също са противопроизводни на функцията \(f (x) = 2x\). \(2\) и \(7-\) са константи, чиито производни са равни на нула, така че можем да ги заместваме колкото желаем, стойността на първоизводната няма да се промени. За да напишете неопределен интеграл, използвайте знака \(∫\) . Неопределен интеграле множеството от всички първоизводни на функцията \(f (x) = 2x\). Операциите на интегриране са обратни на диференцирането. \(∫2x = x^2+C\) , където \(C\) е константата на интегриране, т.е. ако изчислим производната \(x^2\) , получаваме \(2x\) и това е \ (∫2x\) . Лесно, нали? Ако не разбирате, тогава трябва да повторите производната на функцията. Сега можем да изведем формулата, по която ще изчислим интеграла: \(∫u^ndu=\frac(u^n+1) (n+1), n ​​​​≠ -1\). извадихме 1, сега добавяме 1, n не може да бъде равно на 0. Има и други правила за интегриране за други основни функции, които трябва да се научат:

Решаването на неопределен интеграл е обратният процес на намиране на първоизводни на диференциално уравнение. Намираме функция, чиято производна е интеграл и не забравяйте да добавите "+ C" в края.

Принципите на интегралното смятане са формулирани независимо от Исак Нютон и Готфрид Лайбниц в края на 17 век. Бернхард Риман дава строга математическа дефиниция на интегралите. Първият документиран систематичен метод, способен да определя интеграли, е методът на смятането на древногръцкия астроном Евдокс, който се опитва да намери площи и обеми, като ги раздели на безкраен брой известни площи и обеми. Този метод е доразвит и използван от Архимед през 3 век пр.н.е. д. и се използва за изчисляване на площите на параболите и приблизително площта на кръг.

Подобен метод е разработен независимо в Китай около 3-ти век от новата ера от Лиу Хуей, който го използва, за да намери площта на кръг. Този метод по-късно е използван през 5-ти век от китайските баща и син математици ZU Chongzhi и ZU Geng, за да намерят обема на сфера.

Следващият значителен напредък в интегралното смятане се появява едва през 17 век. През това време работата на Кавалиери и Ферма започва да полага основите на съвременното смятане.

По-специално, фундаменталната теорема на интегралното смятане ни позволява да решаваме много по-широк клас проблеми. Също толкова важна е сложната математическа рамка, разработена от Нютон и Лайбниц. Тази структура на интегралите е взета директно от работата на Лайбниц и се превърна в модерно интегрално смятане.Изчислението беше модифицирано от Риман, използвайки граници. Впоследствие бяха разгледани по-общи функции, особено в контекста на анализа на Фурие, към който определението на Риман не се прилага. Лебег формулира друга дефиниция на интеграла, основана на теорията на мярката (подполе на реалния анализ).

Съвременната нотация за неопределения интеграл е въведена от Готфрид Лайбниц през 1675 г.

Интегралите се използват широко в много области на математиката. Например в теорията на вероятностите интегралите се използват за определяне на вероятността някаква случайна променлива да попадне в определен диапазон.

Интегралите могат да се използват за изчисляване на площта на двуизмерна област, която има извита граница, както и за изчисляване на обема на триизмерен обект, който има извита граница.

Интегралите се използват във физиката, в области като кинематиката, за намиране на преместване, време и скорост.