समस्या का समाधान:

252 = 242 + 72, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज समकोण है और इसका क्षेत्रफल इसके पैरों के आधे उत्पाद के बराबर है, अर्थात। S = hс * с: 2, जहां с कर्ण है, hс ​​कर्ण तक खींची गई ऊंचाई है, तो hс = = = 6.72 (सेमी)

उत्तर: 6.72 सेमी.

मंच का उद्देश्य:

स्लाइड नंबर 4

"4" - 1 गलत उत्तर

"3" - उत्तर गलत हैं।

मैं ऐसा करने का सुझाव देता हूं:

स्लाइड नंबर 5

मंच का उद्देश्य:

पाठ के अंत में:

निम्नलिखित वाक्यांश बोर्ड पर लिखे गए हैं:

पाठ उपयोगी है, सब कुछ स्पष्ट है।

आपको अभी भी कड़ी मेहनत करनी होगी.

हाँ, अध्ययन करना अभी भी कठिन है!

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"गणित पाठ परियोजना" पाइथागोरस प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय""

पाठ परियोजना "पाइथागोरस प्रमेय का व्युत्क्रम प्रमेय"

नए ज्ञान की "खोज" करने का एक पाठ

पाठ मकसद:

गतिविधि: छात्रों में रिफ्लेक्सिव स्व-संगठन की पद्धति के आधार पर स्वतंत्र रूप से कार्रवाई के नए तरीकों का निर्माण करने की क्षमता विकसित करना;

शैक्षिक: इसमें नए तत्वों को शामिल करके वैचारिक आधार का विस्तार।

सीखने की गतिविधियों के लिए प्रेरणा का चरण (5 मिनट)

शिक्षक और छात्रों का पारस्परिक अभिवादन, पाठ के लिए तैयारी की जाँच करना, ध्यान और आंतरिक तैयारी को व्यवस्थित करना, तैयार चित्रों का उपयोग करके समस्याओं को हल करके छात्रों को व्यावसायिक लय में त्वरित रूप से एकीकृत करना:

यदि ABCD एक समचतुर्भुज है तो BC ज्ञात कीजिए।

ABCD एक आयत है. एबी:एडी = 3:4. AD खोजें.

AD खोजें.

एबी खोजें.

सूरज को खोजो.

तैयार चित्रों के आधार पर समस्याओं के उत्तर:

1.बीसी = 3; 2.बीपी = 4 सेमी; 3.एबी = 3√2 सेमी.

नए ज्ञान और कार्रवाई के तरीकों की "खोज" का चरण (15 मिनट)

मंच का उद्देश्य:परिचयात्मक संवाद ("समस्या स्थिति" तकनीक) का उपयोग करके पाठ के विषय और लक्ष्यों का निरूपण।

डेटा के विपरीत कथन तैयार करें और पता लगाएं कि क्या वे सत्य हैं:स्लाइड नंबर 1

बाद वाले मामले में, छात्र एक ऐसा कथन बना सकते हैं जो दिए गए कथन के विपरीत हो।

पाइथागोरस प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय के प्रमाण का अध्ययन करने के लिए जोड़ियों में काम करने के निर्देश।

मैं छात्रों को गतिविधि की विधि, सामग्री के स्थान के बारे में निर्देश देता हूं।

जोड़ों के लिए असाइनमेंट: स्लाइड नंबर 2

पाइथागोरस प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय के प्रमाण का अध्ययन करने के लिए जोड़ियों में स्वतंत्र कार्य। साक्ष्य की सार्वजनिक सुरक्षा.

जोड़ियों में से एक प्रमेय बताते हुए अपनी प्रस्तुति शुरू करता है। प्रमाण की सक्रिय चर्चा होती है, जिसके दौरान शिक्षक और छात्रों के प्रश्नों की सहायता से किसी न किसी विकल्प को उचित ठहराया जाता है।

प्रमेय के प्रमाण की शिक्षक के प्रमाण से तुलना करना

शिक्षक ब्लैकबोर्ड पर काम करते हुए उन विद्यार्थियों को संबोधित करते हैं जो अपनी नोटबुक में काम कर रहे हैं।

दिया गया:एबीसी - त्रिकोण, एबी 2 = एसी 2 + बीसी 2

ज्ञात कीजिए कि क्या ABC आयताकार है। सबूत:

A 1 B 1 C 1 पर इस प्रकार विचार करें कि ˂C = 90 0, A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC। फिर, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, A 1 B 1 2 = A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2.

चूँकि A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, तो: A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2 = AC 2 + BC 2 = AB 2, इसलिए, AB 2 = A 1 B 1 2 और AB = ए 1 बी 1.

A 1 B 1 C 1 = तीन तरफ ABC, जहाँ से ˂C = ˂C 1 = 90 0, अर्थात् ABC आयताकार है। अतः, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है, तो त्रिभुज समकोण है।

इस कथन को कहा जाता है पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत एक प्रमेय।

पाइथागोरस त्रिकोण (तैयार जानकारी) के बारे में छात्रों में से एक द्वारा सार्वजनिक भाषण।

स्लाइड नंबर 3

जानकारी के बाद मैं विद्यार्थियों से कुछ प्रश्न पूछता हूं।

क्या निम्नलिखित त्रिभुज पाइथागोरस त्रिभुज हैं?

कर्ण 25 और पैर 15 के साथ;

पैरों 5 और 4 के साथ?

बाह्य भाषण में उच्चारण के साथ प्राथमिक समेकन का चरण (10 मिनट)

मंच का उद्देश्य:समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में पाइथागोरस प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय के अनुप्रयोग को प्रदर्शित करें।

मैं पाठ्यपुस्तक से समस्या संख्या 499 ए) को हल करने का प्रस्ताव करता हूं। छात्रों में से एक को बोर्ड में आमंत्रित किया जाता है, वह शिक्षक और छात्रों की मदद से समस्या का समाधान करता है, बाहरी भाषण में समाधान बताता है। अतिथि छात्र की प्रस्तुति के दौरान, मैं कई प्रश्न पूछता हूँ:

कैसे जांचें कि कोई त्रिभुज समकोण है?

त्रिभुज की छोटी ऊँचाई किस ओर खींची जाएगी?

त्रिभुज की ऊंचाई की गणना करने की कौन सी विधि ज्यामिति में अक्सर उपयोग की जाती है?

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करके वांछित ऊंचाई ज्ञात करें।

समस्या का समाधान:

25 2 = 24 2 + 7 2, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज समकोण है और इसका क्षेत्रफल इसके पैरों के आधे उत्पाद के बराबर है, अर्थात। एस = एच सी * सी: 2, जहां सी कर्ण है, एच सी कर्ण तक खींची गई ऊंचाई है, फिर एच सी = = = 6.72 (सेमी)

उत्तर: 6.72 सेमी.

मानक के अनुसार स्व-परीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य का चरण (10 मिनट)

मंच का उद्देश्य:स्व-परीक्षण करके कक्षा में स्वतंत्र गतिविधि में सुधार करें, गतिविधियों का मूल्यांकन करना, विश्लेषण करना और निष्कर्ष निकालना सीखें।

आपके काम का पर्याप्त मूल्यांकन करने और उचित रेटिंग देने के प्रस्ताव के साथ स्वतंत्र कार्य प्रस्तावित है।

स्लाइड नंबर 4

ग्रेडिंग मानदंड: "5" - सभी उत्तर सही हैं

"4" - 1 गलत उत्तर

"3" - उत्तर गलत हैं।

छात्रों को होमवर्क के बारे में सूचित करने का चरण, इसे पूरा करने के निर्देश (3 मिनट)।

मैं छात्रों को उनके होमवर्क के बारे में सूचित करता हूं, उसे पूरा करने का तरीका बताता हूं और काम की सामग्री के बारे में उनकी समझ की जांच करता हूं।

मैं ऐसा करने का सुझाव देता हूं:

स्लाइड नंबर 5

पाठ में शैक्षिक गतिविधियों का प्रतिबिंब चरण (2 मिनट)

मंच का उद्देश्य:छात्रों को अज्ञानता का पता लगाने, कठिनाइयों के कारणों का पता लगाने और उनकी गतिविधियों का परिणाम निर्धारित करने के लिए उनकी तत्परता का आकलन करना सिखाएं।

इस स्तर पर, मैं प्रत्येक छात्र को उन लोगों में से केवल एक को चुनने के लिए आमंत्रित करता हूं जिन्हें मैं उनके सहयोग के लिए धन्यवाद कहना चाहता हूं और यह बताना चाहता हूं कि वास्तव में यह सहयोग कैसे प्रकट हुआ।

शिक्षक का धन्यवाद शब्द अंतिम है। साथ ही, मैं उन्हें चुनता हूं जिन्हें सबसे कम तारीफें मिलीं।

पाठ के अंत में:

निम्नलिखित वाक्यांश बोर्ड पर लिखे गए हैं:

पाठ उपयोगी है, सब कुछ स्पष्ट है।

बस एक चीज़ है जो थोड़ी अस्पष्ट है।

आपको अभी भी कड़ी मेहनत करनी होगी.

हाँ, अध्ययन करना अभी भी कठिन है!

बच्चे आते हैं और पाठ के अंत में उन शब्दों के आगे एक चिन्ह (टिक) लगाते हैं जो उनके लिए सबसे उपयुक्त होते हैं।

वान डेर वेर्डन के अनुसार, यह बहुत संभव है कि सामान्य रूप में अनुपात 18वीं शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास बेबीलोन में जाना जाता था। इ।

लगभग 400 ई.पू. ईसा पूर्व, प्रोक्लस के अनुसार, प्लेटो ने बीजगणित और ज्यामिति को मिलाकर पायथागॉरियन त्रिक खोजने की एक विधि दी। लगभग 300 ई.पू. इ। पाइथागोरस प्रमेय का सबसे पुराना स्वयंसिद्ध प्रमाण यूक्लिड के तत्वों में दिखाई दिया।

योगों

मूल सूत्रीकरण में बीजगणितीय संक्रियाएं शामिल हैं - एक समकोण त्रिभुज में, जिसकी लंबाई बराबर होती है ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी), और कर्ण की लंबाई है सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी), निम्नलिखित संबंध संतुष्ट है:

.

किसी आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा का सहारा लेते हुए एक समतुल्य ज्यामितीय सूत्रीकरण भी संभव है: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल, कर्ण पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है पैर. यूक्लिड के तत्वों में प्रमेय को इस रूप में तैयार किया गया है।

पाइथागोरस प्रमेय का व्युत्क्रम- किसी भी त्रिभुज की आयताकारता के बारे में एक कथन, जिसकी भुजाओं की लंबाई संबंध से संबंधित है a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). परिणामस्वरूप, सकारात्मक संख्याओं के प्रत्येक त्रिक के लिए ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)और सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी), ऐसा है कि a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज है ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)और कर्ण सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी).

सबूत

वैज्ञानिक साहित्य में पाइथागोरस प्रमेय के कम से कम 400 प्रमाण दर्ज हैं, जिन्हें ज्यामिति के लिए इसके मौलिक महत्व और परिणाम की प्राथमिक प्रकृति दोनों द्वारा समझाया गया है। प्रमाणों की मुख्य दिशाएँ हैं: त्रिभुज के तत्वों के बीच संबंधों का बीजगणितीय उपयोग (उदाहरण के लिए, समानता की लोकप्रिय विधि), क्षेत्रों की विधि, विभिन्न विदेशी प्रमाण भी हैं (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों का उपयोग करके)।

समरूप त्रिभुजों के माध्यम से

यूक्लिड के शास्त्रीय प्रमाण का उद्देश्य पैरों के ऊपर के वर्गों के साथ समकोण की ऊंचाई द्वारा कर्ण के ऊपर के वर्ग को विच्छेदित करके बनाए गए आयतों के बीच क्षेत्रों की समानता स्थापित करना है।

प्रमाण के लिए प्रयुक्त निर्माण इस प्रकार है: समकोण वाले समकोण त्रिभुज के लिए सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी), पैरों के ऊपर वर्ग और कर्ण के ऊपर वर्ग ए बी आई के (\displaystyle ABIK)ऊंचाई का निर्माण किया जा रहा है चौधरीऔर वह किरण जो इसे जारी रखती है s (\डिस्प्लेस्टाइल s), कर्ण के ऊपर के वर्ग को दो आयतों में विभाजित करना और। प्रमाण का उद्देश्य आयत के क्षेत्रफलों की समानता स्थापित करना है ए एच जे के (\displaystyle एएचजेके)पैर के ऊपर एक वर्ग के साथ ए सी (\डिस्प्लेस्टाइल एसी); दूसरे आयत के क्षेत्रफलों की समानता, कर्ण के ऊपर का वर्ग और दूसरे पैर के ऊपर का आयत इसी तरह से स्थापित की जाती है।

एक आयत के क्षेत्रफलों की समानता ए एच जे के (\displaystyle एएचजेके)और ए सी ई डी (\displaystyle ACED)त्रिभुजों की सर्वांगसमता के माध्यम से स्थापित किया जाता है △ ए सी के (\displaystyle \त्रिकोण ACK)और △ ए बी डी (\displaystyle \त्रिकोण एबीडी), जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल वर्गों के आधे क्षेत्रफल के बराबर है ए एच जे के (\displaystyle एएचजेके)और ए सी ई डी (\displaystyle ACED)तदनुसार, निम्नलिखित संपत्ति के संबंध में: एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक आयत के आधे क्षेत्रफल के बराबर होता है यदि आकृतियों की एक भुजा उभयनिष्ठ है, और उभयनिष्ठ भुजा से त्रिभुज की ऊंचाई दूसरी भुजा के बराबर है आयत. त्रिभुजों की सर्वांगसमता दो भुजाओं (वर्गों की भुजाओं) की समानता और उनके बीच के कोण (एक समकोण और एक कोण से बनी) से होती है ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए).

इस प्रकार, प्रमाण स्थापित करता है कि कर्ण के ऊपर एक वर्ग का क्षेत्रफल, आयतों से बना है ए एच जे के (\displaystyle एएचजेके)और बी एच जे आई (\displaystyle भाजी), पैरों के ऊपर के वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

लियोनार्डो दा विंची का प्रमाण

क्षेत्र पद्धति में लियोनार्डो दा विंची द्वारा पाया गया प्रमाण भी शामिल है। मान लीजिए एक समकोण त्रिभुज दिया गया है △ ए बी सी (\displaystyle \त्रिकोण एबीसी)समकोण के साथ सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)और वर्ग ए सी ई डी (\displaystyle ACED), बी सी एफ जी (\डिस्प्लेस्टाइल बीसीएफजी)और ए बी एच जे (\displaystyle एबीएचजे)(तस्वीर देखने)। इस पक्ष में सबूत एचजे (\डिस्प्लेस्टाइल एचजे)उत्तरार्द्ध में, बाहरी तरफ सर्वांगसम एक त्रिभुज का निर्माण होता है △ ए बी सी (\displaystyle \त्रिकोण एबीसी)इसके अलावा, यह कर्ण के सापेक्ष और उसकी ऊंचाई के सापेक्ष दोनों प्रतिबिंबित होता है (अर्थात्, जे आई = बी सी (\displaystyle जेआई=बीसी)और एच आई = ए सी (\displaystyle एचआई=एसी)). सीधा सी आई (\डिस्प्लेस्टाइल सीआई)कर्ण पर बने वर्ग को त्रिभुज के रूप में दो बराबर भागों में विभाजित करता है △ ए बी सी (\displaystyle \त्रिकोण एबीसी)और △ जे एच आई (\displaystyle \त्रिकोण JHI)निर्माण में बराबर. प्रमाण चतुर्भुजों की सर्वांगसमता स्थापित करता है सी ए जे आई (\displaystyle CAJI)और डी ए बी जी (\डिस्प्लेस्टाइल डीएबीजी), जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल, एक ओर, पैरों पर वर्गों के आधे क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है, दूसरी ओर, आधा कर्ण पर वर्ग का क्षेत्रफल और मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल। कुल मिलाकर, पैरों के ऊपर के वर्गों के क्षेत्रफल का आधा योग कर्ण के ऊपर के वर्ग के आधे क्षेत्रफल के बराबर है, जो पाइथागोरस प्रमेय के ज्यामितीय सूत्रीकरण के बराबर है।

अनन्तिमल विधि से प्रमाण

अवकल समीकरणों की तकनीक का उपयोग करते हुए कई प्रमाण मौजूद हैं। विशेष रूप से, हार्डी को पैरों की अत्यंत छोटी वृद्धि का उपयोग करके प्रमाण देने का श्रेय दिया जाता है ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)और कर्ण सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी), और मूल आयत के साथ समानता को संरक्षित करना, अर्थात निम्नलिखित अंतर संबंधों की पूर्ति सुनिश्चित करना:

d a d c = c a (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), d b d c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

चरों को अलग करने की विधि का प्रयोग करके उनसे एक अवकल समीकरण प्राप्त किया जाता है c d c = a d a + b d b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), जिसका एकीकरण संबंध देता है c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). प्रारंभिक शर्तों का अनुप्रयोग a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0)स्थिरांक को 0 के रूप में परिभाषित करता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रमेय का कथन प्राप्त होता है।

अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता त्रिभुज की भुजाओं और वेतन वृद्धि के बीच रैखिक आनुपातिकता के कारण प्रकट होती है, जबकि योग विभिन्न पैरों की वृद्धि से स्वतंत्र योगदान से जुड़ा होता है।

विविधताएं और सामान्यीकरण

तीन तरफ समान ज्यामितीय आकृतियाँ

पाइथागोरस प्रमेय का एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय सामान्यीकरण यूक्लिड द्वारा एलिमेंट्स में दिया गया था, जो किनारों पर वर्गों के क्षेत्रों से मनमाने ढंग से समान ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रों की ओर बढ़ता है: पैरों पर बनी ऐसी आकृतियों के क्षेत्रों का योग बराबर होगा कर्ण पर बनी समान आकृति का क्षेत्रफल।

इस सामान्यीकरण का मुख्य विचार यह है कि ऐसी ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल उसके किसी भी रैखिक आयाम के वर्ग और विशेष रूप से, किसी भी भुजा की लंबाई के वर्ग के समानुपाती होता है। इसलिए, क्षेत्रफल वाले समान आंकड़ों के लिए ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)और सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी), लंबाई के साथ पैरों पर बनाया गया ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)और कर्ण सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)तदनुसार, निम्नलिखित संबंध कायम है:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\राइटएरो \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

चूँकि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार a 2 + b 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), फिर किया।

इसके अलावा, यदि पाइथागोरस प्रमेय को लागू किए बिना यह साबित करना संभव है कि एक समकोण त्रिभुज के किनारों पर तीन समान ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्र संबंध को संतुष्ट करते हैं ए + बी = सी (\डिस्प्लेस्टाइल ए+बी=सी), फिर यूक्लिड के सामान्यीकरण के प्रमाण के विपरीत का उपयोग करके, कोई पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम कर्ण पर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जो किसी क्षेत्रफल वाले प्रारंभिक त्रिभुज के सर्वांगसम होता है सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी), और किनारों पर - क्षेत्रफल वाले दो समान समकोण त्रिभुज ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी), तो यह पता चलता है कि भुजाओं पर त्रिभुज प्रारंभिक त्रिभुज को उसकी ऊँचाई से विभाजित करने के परिणामस्वरूप बनते हैं, अर्थात त्रिभुज के दो छोटे क्षेत्रफलों का योग तीसरे के क्षेत्रफल के बराबर होता है, इस प्रकार ए + बी = सी (\डिस्प्लेस्टाइल ए+बी=सी)और, समान आकृतियों के लिए संबंध को लागू करते हुए, पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त किया जाता है।

कोसाइन प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय अधिक सामान्य कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला है, जो एक मनमाना त्रिभुज में भुजाओं की लंबाई से संबंधित है:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

भुजाओं के बीच का कोण कहाँ है ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी). यदि कोण 90° है, तो cos ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), और सूत्र सामान्य पायथागॉरियन प्रमेय को सरल बनाता है।

मुक्त त्रिभुज

एक मनमाना त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का एक सामान्यीकरण है, जो पूरी तरह से पक्षों की लंबाई के अनुपात पर काम करता है, ऐसा माना जाता है कि इसे सबसे पहले सबियन खगोलशास्त्री थाबिट इब्न कुर्रा द्वारा स्थापित किया गया था। इसमें, भुजाओं वाले एक मनमाने त्रिभुज के लिए, किनारे पर आधार वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज इसमें फिट बैठता है सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी), शीर्ष भुजा के विपरीत, मूल त्रिभुज के शीर्ष के साथ मेल खाता है सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)और आधार पर बने कोण कोण के बराबर होते हैं θ (\displaystyle \थीटा ), विपरीत दिशा सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी). परिणामस्वरूप, मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुज बनते हैं: पहला - भुजाओं वाला ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए), अंकित समद्विबाहु त्रिभुज की सबसे दूर की भुजा, और आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)- पार्श्व भाग सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी); दूसरा - पक्ष से सममित रूप से बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)पक्ष के साथ s (\डिस्प्लेस्टाइल s)- पक्ष का संगत भाग सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी). परिणामस्वरूप, निम्नलिखित संबंध संतुष्ट होता है:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

पाइथागोरस प्रमेय में पतन θ = π / 2 (\displaystyle \थीटा =\pi /2). यह संबंध निर्मित त्रिभुजों की समानता का परिणाम है:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (बी))=(\frac (b)(s))\,\राइटएरो \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

क्षेत्रफलों पर पप्पस का प्रमेय

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति

पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों से लिया गया है और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए मान्य नहीं है - पाइथागोरस प्रमेय की पूर्ति यूक्लिडियन समानता के अभिधारणा के बराबर है।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच का संबंध आवश्यक रूप से पाइथागोरस प्रमेय से भिन्न रूप में होगा। उदाहरण के लिए, गोलाकार ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाएँ, जो इकाई गोले के अष्टक को बांधती हैं, की लंबाई होती है π / 2 (\displaystyle \pi /2), जो पाइथागोरस प्रमेय का खंडन करता है।

इसके अलावा, पाइथागोरस प्रमेय अतिशयोक्तिपूर्ण और अण्डाकार ज्यामिति में मान्य है यदि त्रिभुज के आयताकार होने की आवश्यकता को इस शर्त से प्रतिस्थापित किया जाता है कि त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे के बराबर होना चाहिए।

गोलाकार ज्यामिति

त्रिज्या वाले गोले पर किसी समकोण त्रिभुज के लिए आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)(उदाहरण के लिए, यदि किसी त्रिभुज में कोण समकोण है) भुजाओं के साथ ए , बी , सी (\डिस्प्लेस्टाइल ए,बी,सी)पक्षों के बीच संबंध है:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

इस समानता को गोलाकार कोसाइन प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जो सभी गोलाकार त्रिकोणों के लिए मान्य है:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + पाप ⁡ (a R) ⋅ पाप ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ पाप \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \गामा ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

कहाँ ch (\displaystyle \ऑपरेटरनाम (ch) )- हाइपरबोलिक कोसाइन. यह सूत्र हाइपरबोलिक कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला है, जो सभी त्रिकोणों के लिए मान्य है:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b - sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \operatorname (sh) b\cdot \cos \गामा ),

कहाँ γ (\displaystyle \गामा )- वह कोण जिसका शीर्ष भुजा के विपरीत हो सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी).

हाइपरबोलिक कोसाइन के लिए टेलर श्रृंखला का उपयोग करना ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \ऑपरेटरनाम (ch) x\लगभग 1+x^(2)/2)) यह दिखाया जा सकता है कि यदि एक अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिभुज घटता है (अर्थात्, जब ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए), बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)और सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं), फिर एक समकोण त्रिभुज में अतिशयोक्तिपूर्ण संबंध शास्त्रीय पाइथागोरस प्रमेय के संबंध तक पहुंचते हैं।

आवेदन

द्वि-आयामी आयताकार प्रणालियों में दूरी

पाइथागोरस प्रमेय का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करना है: दूरी s (\डिस्प्लेस्टाइल s)निर्देशांक वाले बिंदुओं के बीच (ए , बी) (\डिस्प्लेस्टाइल (ए,बी))और (सी, डी) (\डिस्प्लेस्टाइल (सी,डी))बराबर:

s = (a - c) 2 + (b - d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

जटिल संख्याओं के लिए, पाइथागोरस प्रमेय एक जटिल संख्या के मापांक को खोजने के लिए एक प्राकृतिक सूत्र देता है - के लिए z = x + y i (\displaystyle z=x+yi)यह लंबाई के बराबर है

यह उल्लेखनीय है कि पाइथागोरस प्रमेय में निर्दिष्ट गुण समकोण त्रिभुज का एक विशिष्ट गुण है। यह प्रमेय के व्युत्क्रम से पाइथागोरस प्रमेय तक चलता है।

प्रमेय: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है, तो त्रिभुज समकोण है।

बगुला का सूत्र

आइए हम एक त्रिभुज के तल को उसकी भुजाओं की लंबाई के संदर्भ में व्यक्त करने वाला एक सूत्र प्राप्त करें। यह सूत्र अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन के नाम से जुड़ा है - एक प्राचीन यूनानी गणितज्ञ और मैकेनिक जो संभवतः पहली शताब्दी ईस्वी में रहते थे। हेरॉन ने ज्यामिति के व्यावहारिक अनुप्रयोगों पर बहुत ध्यान दिया।

प्रमेय. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल S जिसकी भुजाएँ a, b, c के बराबर हैं, सूत्र S= द्वारा गणना की जाती है, जहाँ p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है।

सबूत।

दिया गया है: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b. कोण A और B न्यूनकोण हैं। सीएच - ऊंचाई।

सिद्ध करना:

सबूत:

त्रिभुज ABC पर विचार करें, जिसमें AB=c, BC=a, AC=b है। प्रत्येक त्रिभुज में कम से कम दो न्यूनकोण होते हैं। माना A और B त्रिभुज ABC के न्यूनकोण हैं। फिर त्रिभुज की ऊंचाई CH का आधार H भुजा AB पर स्थित है। आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: CH = h, AH=y, HB=x। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, जहाँ से

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, या (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, और चूँकि y + x = c, तो y- x = (b2 - a2)।

अंतिम दो समानताएँ जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:

2y = +c, कहाँ से

y=, और, इसलिए, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

विषय: यह प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत है।

पाठ मकसद: 1) पाइथागोरस प्रमेय के विपरीत प्रमेय पर विचार करें; समस्या समाधान की प्रक्रिया में इसका अनुप्रयोग; पाइथागोरस प्रमेय को समेकित करना और इसके अनुप्रयोग के लिए समस्या समाधान कौशल में सुधार करना;

2) तार्किक सोच, रचनात्मक खोज, संज्ञानात्मक रुचि विकसित करना;

3) छात्रों में सीखने के प्रति एक जिम्मेदार रवैया और गणितीय भाषण की संस्कृति विकसित करना।

पाठ का प्रकार. नया ज्ञान सीखने का एक पाठ.

कक्षाओं के दौरान

І. आयोजन का समय

ІІ. अद्यतन ज्ञान

मेरे लिए सबकचाहेंगेमैं चाहता थाएक चौपाई से शुरू करें।

हाँ, ज्ञान का मार्ग सुगम नहीं है

लेकिन हम अपने स्कूल के वर्षों से जानते हैं,

उत्तर से अधिक रहस्य हैं,

और खोज की कोई सीमा नहीं है!

तो, पिछले पाठ में आपने पाइथागोरस प्रमेय सीखा। प्रशन:

पाइथागोरस प्रमेय किस आकृति के लिए सत्य है?

किस त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है?

पाइथागोरस प्रमेय बताएं।

प्रत्येक त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय कैसे लिखा जा सकता है?

कौन से त्रिभुज समान कहलाते हैं?

त्रिभुजों की समानता के मानदंड बनाइये?

आइए अब थोड़ा स्वतंत्र कार्य करें:

चित्रों का उपयोग करके समस्याओं का समाधान करना।

№1

(1 बी) खोजें: एबी।

№2

(1 बी.) खोजें: वी.एस.

№3

( 2 बी।)खोजें: ए.सी

№4

(1 अंक)खोजें: ए.सी

№5 द्वारा दिया गया: एबीसीडीविषमकोण

(2 बी.) एबी = 13 सेमी

एसी = 10 सेमी

में देखोडी

स्व-परीक्षण क्रमांक 1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. पढ़ना नया सामग्री।

प्राचीन मिस्रवासियों ने जमीन पर समकोण इस प्रकार बनाए: उन्होंने रस्सी को गांठों से 12 बराबर भागों में विभाजित किया, उसके सिरों को बांध दिया, जिसके बाद रस्सी को जमीन पर फैलाया गया ताकि 3, 4 और 3 की भुजाओं वाला एक त्रिकोण बन जाए। 5 प्रभाग. 5 विभाजनों वाली भुजा के विपरीत स्थित त्रिभुज का कोण समकोण था।

क्या आप इस निर्णय की सत्यता बता सकते हैं?

प्रश्न का उत्तर खोजने के परिणामस्वरूप, छात्रों को यह समझना चाहिए कि गणितीय दृष्टिकोण से प्रश्न पूछा गया है: क्या त्रिभुज समकोण होगा?

हमारे सामने एक समस्या है: माप किए बिना यह कैसे निर्धारित किया जाए कि दी गई भुजाओं वाला त्रिभुज आयताकार होगा या नहीं। इस समस्या को हल करना पाठ का लक्ष्य है।

पाठ का विषय लिखिए.

प्रमेय. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर हो, तो त्रिभुज समकोण होता है।

प्रमेय को स्वतंत्र रूप से सिद्ध करें (पाठ्यपुस्तक का उपयोग करके एक प्रमाण योजना बनाएं)।

इस प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि 3, 4, 5 भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण (मिस्र) होता है।

सामान्य तौर पर, वे संख्याएँ जिनके लिए समानता होती है , पायथागॉरियन त्रिक कहलाते हैं। और वे त्रिभुज जिनकी भुजाओं की लंबाई पायथागॉरियन त्रिक (6, 8, 10) द्वारा व्यक्त की जाती है, पायथागॉरियन त्रिभुज हैं।

समेकन।

क्योंकि , तो 12, 13, 5 भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण नहीं है।

क्योंकि , तो 1, 5, 6 भुजाओं वाला एक त्रिभुज समकोण है।

№ 430 (ए, बी, सी)

( - क्या नहीं है)

पाइथागोरस प्रमेय- यूक्लिडियन ज्यामिति के मौलिक प्रमेयों में से एक, संबंध स्थापित करना

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच.

ऐसा माना जाता है कि इसे यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस ने सिद्ध किया था, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया।

पाइथागोरस प्रमेय का ज्यामितीय सूत्रीकरण।

प्रमेय मूल रूप से इस प्रकार तैयार किया गया था:

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है,

पैरों पर बनाया गया.

पाइथागोरस प्रमेय का बीजगणितीय सूत्रीकरण।

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है।

अर्थात् त्रिभुज के कर्ण की लंबाई को इससे निरूपित करना सी, और पैरों की लंबाई के माध्यम से एऔर बी:

दोनों सूत्रीकरण पाइथागोरस प्रमेयसमतुल्य हैं, लेकिन दूसरा सूत्रीकरण अधिक प्राथमिक है, ऐसा नहीं है

क्षेत्रफल की अवधारणा की आवश्यकता है। अर्थात् दूसरे कथन को क्षेत्र के बारे में कुछ भी जाने बिना सत्यापित किया जा सकता है

एक समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई मापकर।

पाइथागोरस प्रमेय का व्युत्क्रम।

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो

सही त्रिकोण।

या, दूसरे शब्दों में:

धनात्मक संख्याओं के प्रत्येक त्रिक के लिए ए, बीऔर सी, ऐसा है कि

पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज है एऔर बीऔर कर्ण सी.

समद्विबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

एक समबाहु त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण.

वर्तमान में, इस प्रमेय के 367 प्रमाण वैज्ञानिक साहित्य में दर्ज किए गए हैं। संभवतः प्रमेय

पाइथागोरस एकमात्र प्रमेय है जिसके प्रमाणों की इतनी प्रभावशाली संख्या है। इतनी विविधता

ज्यामिति के लिए प्रमेय के मूलभूत महत्व द्वारा ही समझाया जा सकता है।

बेशक, वैचारिक रूप से उन सभी को कम संख्या में वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। उनमें से सबसे प्रसिद्ध:

सबूत क्षेत्र विधि, सिद्धऔर विदेशी साक्ष्य(उदाहरण के लिए,

का उपयोग करके विभेदक समीकरण).

1. समान त्रिभुजों का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

बीजीय सूत्रीकरण का निम्नलिखित प्रमाण निर्मित प्रमाणों में सबसे सरल है

सीधे स्वयंसिद्धों से। विशेष रूप से, यह किसी आकृति के क्षेत्रफल की अवधारणा का उपयोग नहीं करता है।

होने देना एबीसीसमकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है सी. आइए ऊंचाई खींचते हैं सीऔर निरूपित करें

इसकी नींव के माध्यम से एच.

त्रिकोण आकएक त्रिकोण के समान अबदो कोनों पर सी. इसी तरह, त्रिकोण सीबीएचसमान एबीसी.

संकेतन का परिचय देकर:

हम पाते हैं:

,

जो मेल खाता है -

मुड़ा हुआ ए 2 और बी 2, हमें मिलता है:

या, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

2. क्षेत्र विधि का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

नीचे दिए गए प्रमाण, अपनी स्पष्ट सरलता के बावजूद, बिल्कुल भी इतने सरल नहीं हैं। उन सभी को

क्षेत्रफल के गुणों का उपयोग करें, जिनके प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण से भी अधिक जटिल हैं।

• समपूरकता के माध्यम से प्रमाण।

आइए चार समान आयताकारों की व्यवस्था करें

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है

दायी ओर।

भुजाओं वाला चतुर्भुज सी- वर्ग,

चूँकि दो न्यून कोणों का योग 90° होता है, और

खुला कोण - 180°.

संपूर्ण आकृति का क्षेत्रफल एक ओर बराबर है,

भुजा वाले एक वर्ग का क्षेत्रफल ( ए+बी), और दूसरी ओर, चार त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग और

क्यू.ई.डी.

3. इनफिनिटसिमल विधि द्वारा पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण।

​

चित्र में दिखाए गए चित्र को देखते हुए और

पक्ष बदलते हुए देखनाए, हम कर सकते हैं

अपरिमित के लिए निम्नलिखित संबंध लिखिए

छोटा पार्श्व वृद्धिसाथऔर ए(समानता का उपयोग करते हुए

त्रिभुज):

परिवर्तनीय पृथक्करण विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

दोनों तरफ वृद्धि के मामले में कर्ण में परिवर्तन के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति:

इस समीकरण को एकीकृत करने और प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार हम वांछित उत्तर पर पहुँचते हैं:

जैसा कि देखना आसान है, अंतिम सूत्र में द्विघात निर्भरता रैखिक के कारण प्रकट होती है

त्रिभुज की भुजाओं और वृद्धि के बीच आनुपातिकता, जबकि योग स्वतंत्र से संबंधित है

विभिन्न पैरों की वृद्धि से योगदान.

एक सरल प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम मान लें कि पैरों में से किसी एक में वृद्धि का अनुभव नहीं होता है

(इस मामले में पैर बी). फिर एकीकरण स्थिरांक के लिए हमें प्राप्त होता है: