एक ज्यामितीय प्रगति की पांचवीं संख्या का अनुपात. ज्यामितीय प्रगति - ज्ञान हाइपरमार्केट। नीरस और निरंतर क्रम

गणित क्या हैलोग प्रकृति और स्वयं को नियंत्रित करते हैं।

सोवियत गणितज्ञ, शिक्षाविद ए.एन. Kolmogorov

ज्यामितीय अनुक्रम।

अंकगणितीय प्रगति पर समस्याओं के साथ-साथ, ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा से संबंधित समस्याएं भी गणित में प्रवेश परीक्षाओं में आम हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको ज्यामितीय प्रगति के गुणों को जानना होगा और उनका उपयोग करने में अच्छा कौशल होना चाहिए।

यह लेख ज्यामितीय प्रगति के मूल गुणों की प्रस्तुति के लिए समर्पित है। विशिष्ट समस्याओं को हल करने के उदाहरण भी यहां दिए गए हैं।, गणित में प्रवेश परीक्षाओं के कार्यों से उधार लिया गया।

आइए पहले हम ज्यामितीय प्रगति के मूल गुणों पर ध्यान दें और सबसे महत्वपूर्ण सूत्रों और कथनों को याद करें, इस अवधारणा से संबंधित.

परिभाषा।एक संख्या अनुक्रम को ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है यदि प्रत्येक संख्या, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा करने पर पिछली संख्या के बराबर होती है। संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।

ज्यामितीय प्रगति के लिएसूत्र मान्य हैं

, (1)

कहाँ । सूत्र (1) को ज्यामितीय प्रगति के सामान्य पद का सूत्र कहा जाता है, और सूत्र (2) ज्यामितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति का प्रतिनिधित्व करता है: प्रगति का प्रत्येक पद उसके पड़ोसी पदों के ज्यामितीय माध्य के साथ मेल खाता है।

टिप्पणी, यह ठीक इसी गुण के कारण है कि प्रश्नगत प्रगति को "ज्यामितीय" कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र (1) और (2) को इस प्रकार सामान्यीकृत किया गया है:

, (3)

राशि की गणना करने के लिएपहला एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यफार्मूला लागू होता है

यदि हम निरूपित करें, तो

कहाँ । चूँकि, सूत्र (6) सूत्र (5) का सामान्यीकरण है।

मामले में जब और ज्यामितीय अनुक्रमअसीम रूप से घट रहा है. राशि की गणना करने के लिएअनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के सभी पदों के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है

. (7)

उदाहरण के लिए , सूत्र (7) का उपयोग करके हम दिखा सकते हैं, क्या

कहाँ । ये समानताएं सूत्र (7) से इस शर्त के तहत प्राप्त की जाती हैं कि, (पहली समानता) और, (दूसरी समानता)।

प्रमेय.तो अगर

सबूत। तो अगर

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

आइए "ज्यामितीय प्रगति" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1।दिया गया: , और . खोजो ।

समाधान।यदि हम सूत्र (5) लागू करें, तो

उत्तर: ।

उदाहरण 2.जाने भी दो। खोजो ।

समाधान।चूँकि और, हम सूत्र (5), (6) का उपयोग करते हैं और समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

यदि सिस्टम का दूसरा समीकरण (9) पहले से विभाजित है, फिर या . इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि . आइए दो मामलों पर विचार करें।

1. यदि, फिर सिस्टम के पहले समीकरण (9) से हमारे पास है.

2. यदि , तो .

उदाहरण 3.चलो , और . खोजो ।

समाधान।सूत्र (2) से यह इस प्रकार है कि या . चूँकि , तब या .

शर्त के अनुसार. मगर इसलिए। चूँकि और तो यहाँ हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

यदि सिस्टम का दूसरा समीकरण पहले से विभाजित है, तो या।

चूँकि, समीकरण का एक अद्वितीय उपयुक्त मूल है। इस मामले में, यह सिस्टम के पहले समीकरण से अनुसरण करता है।

सूत्र (7) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

उत्तर: ।

उदाहरण 4.दिया गया: और . खोजो ।

समाधान।के बाद से।

तब से, तब से या

सूत्र (2) के अनुसार हमारे पास है। इस संबंध में, समानता (10) से हम या प्राप्त करते हैं।

हालाँकि, शर्त के अनुसार, इसलिए।

उदाहरण 5.ह ज्ञात है कि । खोजो ।

समाधान। प्रमेय के अनुसार, हमारे पास दो समानताएँ हैं

चूँकि , तब या . क्योंकि तब ।

उत्तर: ।

उदाहरण 6.दिया गया: और . खोजो ।

समाधान।सूत्र (5) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

के बाद से। चूँकि , और , तब .

उदाहरण 7.जाने भी दो। खोजो ।

समाधान।सूत्र (1) के अनुसार हम लिख सकते हैं

इसलिए, हमारे पास या है। यह ज्ञात है कि और , इसलिए और .

उत्तर: ।

उदाहरण 8.एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का हर ज्ञात करें यदि

और ।

समाधान। सूत्र (7) से यह निम्नानुसार हैऔर . यहां से और समस्या की स्थितियों से हमें समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है

यदि सिस्टम का पहला समीकरण वर्गित है, और फिर परिणामी समीकरण को दूसरे समीकरण से विभाजित करें, तो हमें मिलता है

या ।

उत्तर: ।

उदाहरण 9.वे सभी मान ज्ञात करें जिनके लिए अनुक्रम, एक ज्यामितीय प्रगति है।

समाधान।चलो , और . सूत्र (2) के अनुसार, जो ज्यामितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति को परिभाषित करता है, हम लिख सकते हैं या।

यहाँ से हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है, जिनकी जड़ें हैंऔर ।

आइए जाँच करें: यदि, फिर , और ; यदि , तब , तथा .

पहले मामले में हमारे पास हैतथा , तथा दूसरे में – तथा .

उत्तर: , ।

उदाहरण 10.प्रश्न हल करें

, (11)

और कहां ।

समाधान। समीकरण (11) का बाईं ओर एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का योग है, जिसमें और, के अधीन: और।

सूत्र (7) से यह निम्नानुसार है, क्या . इस संबंध में, समीकरण (11) रूप लेता हैया . उपयुक्त जड़ द्विघात समीकरण है

उत्तर: ।

उदाहरण 11.पी सकारात्मक संख्याओं का क्रमएक अंकगणितीय प्रगति बनाता है, ए - ज्यामितीय अनुक्रम, इसका इससे क्या लेना-देना है . खोजो ।

समाधान।क्योंकि अंकगणित क्रम, वह (अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति)। क्योंकि, फिर या . यह संकेत करता है , कि ज्यामितीय प्रगति का रूप है. सूत्र के अनुसार (2), फिर हम उसे लिख लेते हैं .

तब से और , तब से . इस मामले में, अभिव्यक्तिया का रूप ले लेता है। शर्त से, तो Eq से.हमें विचाराधीन समस्या का एक अनूठा समाधान मिलता है, अर्थात। .

उत्तर: ।

उदाहरण 12.योग की गणना करें

. (12)

समाधान। समानता (12) के दोनों पक्षों को 5 से गुणा करें और प्राप्त करें

यदि हम परिणामी अभिव्यक्ति से (12) घटा दें, वह

या ।

गणना करने के लिए, हम मानों को सूत्र (7) में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं। के बाद से।

उत्तर: ।

यहां दिए गए समस्या समाधान के उदाहरण प्रवेश परीक्षाओं की तैयारी करते समय आवेदकों के लिए उपयोगी होंगे। समस्या समाधान विधियों के गहन अध्ययन के लिए, ज्यामितीय प्रगति से संबंधित, आप अनुशंसित साहित्य की सूची से ट्यूटोरियल का उपयोग कर सकते हैं।

1. कॉलेजों/एड के आवेदकों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी. - एम.: मीर और शिक्षा, 2013. - 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: स्कूल पाठ्यक्रम के अतिरिक्त खंड। - एम.: लेनानंद/यूआरएसएस, 2014. - 216 पी।

3. मेडिंस्की एम.एम. समस्याओं और अभ्यासों में प्रारंभिक गणित का संपूर्ण पाठ्यक्रम। पुस्तक 2: संख्या अनुक्रम और प्रगति। - एम.: एडिटस, 2015. - 208 पी।

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अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति

सैद्धांतिक जानकारी

सैद्धांतिक जानकारी

	अंकगणितीय प्रगति	ज्यामितीय अनुक्रम
परिभाषा	अंकगणितीय प्रगति एकएक अनुक्रम है जिसमें प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले सदस्य के बराबर होता है डी (डी- प्रगति अंतर)	ज्यामितीय अनुक्रम बी एनगैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद को उसी संख्या से गुणा करने के बराबर होता है क्यू (क्यू- प्रगति का भाजक)
पुनरावृत्ति सूत्र	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन ए एन + 1 = ए एन + डी	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन बी एन + 1 = बी एन ∙ क्यू, बी एन ≠ 0
सूत्र nवाँ पद	ए एन = ए 1 + डी (एन - 1)	बी एन = बी 1 ∙ क्यू एन - 1 , बी एन ≠ 0
विशेषता संपत्ति
प्रथम n पदों का योग

टिप्पणियों के साथ कार्यों के उदाहरण

अभ्यास 1

अंकगणितीय प्रगति में ( एक) एक 1 = -6, एक 2

nवें पद के सूत्र के अनुसार:

एक 22 = एक 1+ डी (22 - 1) = एक 1+ 21 डी

शर्त के अनुसार:

एक 1= -6, फिर एक 22= -6 + 21 दिन .

प्रगति का अंतर ज्ञात करना आवश्यक है:

डी = ए 2 – ए 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

उत्तर : एक 22 = -48.

कार्य 2

गुणोत्तर श्रेणी का पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए: -3; 6;....

पहली विधि (एन-टर्म फॉर्मूला का उपयोग करके)

ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र के अनुसार:

बी 5 = बी 1 ∙ क्यू 5 - 1 = बी 1 ∙ क्यू 4.

क्योंकि बी 1 = -3,

दूसरी विधि (आवर्ती सूत्र का उपयोग करके)

चूँकि प्रगति का हर -2 (q = -2) है, तो:

बी 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

बी 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ख 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

उत्तर : ख 5 = -48.

कार्य 3

अंकगणितीय प्रगति में ( ए एन ) ए 74 = 34; एक 76= 156. इस प्रगति का पचहत्तरवाँ पद ज्ञात कीजिए।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, विशेषता गुण का रूप होता है .

इसलिए:

.

आइए डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

उत्तर: 95.

कार्य 4

अंकगणितीय प्रगति में ( ए एन ) ए एन= 3n - 4. पहले सत्रह पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए, दो सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

.

इस मामले में उनमें से किसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है?

शर्त के अनुसार, मूल प्रगति के nवें पद का सूत्र ज्ञात होता है ( एक) एक= 3एन - 4. आप तुरंत और पा सकते हैं एक 1, और एक 16बिना खोजे डी. इसलिए, हम पहले सूत्र का उपयोग करेंगे।

उत्तर: 368.

कार्य 5

अंकगणितीय प्रगति में( एक) एक 1 = -6; एक 2= -8. प्रगति का बाईसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

nवें पद के सूत्र के अनुसार:

ए 22 = ए 1 + डी (22 – 1) = एक 1+ 21 दिन.

शर्त के अनुसार, यदि एक 1= -6, फिर एक 22= -6 + 21 दिन। प्रगति का अंतर ज्ञात करना आवश्यक है:

डी = ए 2 – ए 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

उत्तर : एक 22 = -48.

कार्य 6

ज्यामितीय प्रगति के कई लगातार पद लिखे गए हैं:

x द्वारा इंगित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए।

हल करते समय, हम nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करेंगे बी एन = बी 1 ∙ क्यू एन - 1ज्यामितीय प्रगति के लिए. प्रगति का पहला पद. प्रगति q का हर ज्ञात करने के लिए, आपको प्रगति के दिए गए पदों में से कोई एक लेना होगा और पिछले एक से विभाजित करना होगा। हमारे उदाहरण में, हम ले सकते हैं और विभाजित कर सकते हैं। हम पाते हैं कि q = 3. n के बजाय, हम सूत्र में 3 प्रतिस्थापित करते हैं, क्योंकि किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति का तीसरा पद ज्ञात करना आवश्यक है।

पाए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

.

उत्तर : ।

कार्य 7

nवें पद के सूत्र द्वारा दी गई अंकगणितीय प्रगति से, वह चुनें जिसके लिए शर्त संतुष्ट हो एक 27 > 9:

चूँकि दी गई शर्त प्रगति के 27वें पद के लिए पूरी होनी चाहिए, हम चार प्रगतियों में से प्रत्येक में n के स्थान पर 27 प्रतिस्थापित करते हैं। चौथी प्रगति में हमें मिलता है:

.

उत्तर - 4।

कार्य 8

अंकगणितीय प्रगति में एक 1= 3, डी = -1.5. n का सबसे बड़ा मान निर्दिष्ट करें जिसके लिए असमानता कायम है एक > -6.

ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद गैर-शून्य है, और प्रत्येक बाद का पद उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर है।

ज्यामितीय प्रगति को दर्शाया गया हैबी1,बी2,बी3, …, बीएन,…।

ज्यामितीय त्रुटि के किसी भी पद का उसके पिछले पद से अनुपात उसी संख्या के बराबर होता है, अर्थात, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn =… . यह सीधे अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा से अनुसरण करता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है। आमतौर पर ज्यामितीय प्रगति के हर को अक्षर q द्वारा दर्शाया जाता है।

नीरस और निरंतर क्रम

ज्यामितीय प्रगति को निर्दिष्ट करने के तरीकों में से एक इसका पहला पद b1 और ज्यामितीय त्रुटि q का हर निर्दिष्ट करना है। उदाहरण के लिए, b1=4, q=-2. ये दो स्थितियाँ ज्यामितीय प्रगति 4, -8, 16, -32, ... को परिभाषित करती हैं।

यदि q>0 (q 1 के बराबर नहीं है), तो प्रगति है नीरस क्रम.उदाहरण के लिए, अनुक्रम, 2, 4,8,16,32, ... एक नीरस रूप से बढ़ता क्रम है (b1=2, q=2)।

यदि ज्यामितीय त्रुटि में हर q=1 है, तो ज्यामितीय प्रगति के सभी पद एक दूसरे के बराबर होंगे। ऐसे में वे कहते हैं कि प्रगति है निरंतर क्रम.

ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र

किसी संख्या अनुक्रम (बीएन) के लिए एक ज्यामितीय प्रगति होने के लिए, यह आवश्यक है कि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पड़ोसी सदस्यों का ज्यामितीय माध्य हो। अर्थात् निम्नलिखित समीकरण को पूरा करना आवश्यक है
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), किसी भी n>0 के लिए, जहां n प्राकृतिक संख्या N के सेट से संबंधित है।

ज्यामितीय प्रगति के nवें पद का सूत्र है:

bn=b1*q^(n-1),

जहाँ n प्राकृत संख्याओं N के समुच्चय से संबंधित है।

ज्यामितीय प्रगति के प्रथम n पदों के योग का सूत्र

ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों के योग का सूत्र इस प्रकार है:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), जहां q 1 के बराबर नहीं है।

आइए एक सरल उदाहरण देखें:

ज्यामितीय प्रगति में b1=6, q=3, n=8 Sn खोजें।

S8 को खोजने के लिए, हम ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं।

एस8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19,680।

ज्यामितीय प्रगति एक नए प्रकार का संख्या अनुक्रम है जिससे हम परिचित होने वाले हैं। सफल डेटिंग के लिए, कम से कम जानने और समझने में कोई हर्ज नहीं है। तब ज्यामितीय प्रगति में कोई समस्या नहीं होगी।)

ज्यामितीय प्रगति क्या है? ज्यामितीय प्रगति की अवधारणा.

हम हमेशा की तरह, बुनियादी बातों के साथ दौरे की शुरुआत करते हैं। मैं संख्याओं का अधूरा क्रम लिखता हूँ:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

क्या आप पैटर्न देख सकते हैं और बता सकते हैं कि आगे कौन से नंबर आएंगे? काली मिर्च स्पष्ट है, फिर 100,000, 1,000,000 इत्यादि संख्याएँ आएँगी। बहुत अधिक मानसिक प्रयास के बिना भी, सब कुछ स्पष्ट है, है ना?)

ठीक है। एक और उदाहरण। मैं यह क्रम लिखता हूँ:

1, 2, 4, 8, 16, …

क्या आप बता सकते हैं कि 16 नंबर और नाम के बाद अगला कौन सा नंबर आएगा आठवाँअनुक्रम सदस्य? यदि आपने यह पता लगा लिया कि यह संख्या 128 होगी, तो बहुत अच्छा है। तो, आधी लड़ाई समझ में है समझऔर प्रमुख बिंदुज्यामितीय प्रगति पहले ही हो चुकी है। आप और आगे बढ़ सकते हैं।)

और अब हम फिर से संवेदनाओं से सख्त गणित की ओर बढ़ते हैं।

ज्यामितीय प्रगति के मुख्य बिंदु.

मुख्य बिंदु #1

ज्यामितीय प्रगति है संख्याओं का क्रम.तो प्रगति भी है. कुछ भी काल्पनिक नहीं। बस यही क्रम व्यवस्थित है अलग ढंग से.इसलिए, स्वाभाविक रूप से, इसका एक अलग नाम है, हाँ...

मुख्य बिंदु #2

दूसरे मुख्य बिंदु के साथ, प्रश्न अधिक पेचीदा हो जाएगा। आइए थोड़ा पीछे जाएं और अंकगणितीय प्रगति के प्रमुख गुण को याद करें। यह रहा: प्रत्येक सदस्य पिछले सदस्य से भिन्न है उसी राशि से.

क्या ज्यामितीय प्रगति के लिए समान कुंजी गुण तैयार करना संभव है? थोड़ा सोचो... दिए गए उदाहरणों पर गौर से देखो. क्या आपने इसका अनुमान लगाया? हाँ! ज्यामितीय क्रम में (कोई भी!) इसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक से भिन्न होता है समान संख्या में बार.हमेशा!

पहले उदाहरण में यह संख्या दस है. आप अनुक्रम का जो भी सदस्य लें, वह पिछले वाले से बड़ा है दस गुना।

दूसरे उदाहरण में यह दो है: प्रत्येक पद पिछले से बड़ा है दो बार।

यह मुख्य बिंदु है कि ज्यामितीय प्रगति अंकगणितीय प्रगति से भिन्न होती है। अंकगणितीय प्रगति में, प्रत्येक अगला पद प्राप्त होता है जोड़करपिछले कार्यकाल के समान मूल्य. और यहां - गुणापिछला कार्यकाल उसी राशि से। यही पूरा अंतर है।)

मुख्य बिंदु #3

यह मुख्य बिंदु अंकगणितीय प्रगति के लिए पूरी तरह से समान है। अर्थात्: ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य अपने स्थान पर खड़ा होता है।अंकगणितीय प्रगति में सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है और टिप्पणियाँ, मुझे लगता है, अनावश्यक हैं। वहाँ पहला पद है, वहाँ सौ और पहला है, आदि। आइए हम कम से कम दो शब्दों की अदला-बदली करें - पैटर्न (और इसके साथ ज्यामितीय प्रगति) गायब हो जाएगा। जो बचेगा वह बिना किसी तर्क के संख्याओं का एक क्रम मात्र है।

बस इतना ही। ज्यामितीय प्रगति का संपूर्ण बिंदु यही है।

शर्तें और पदनाम.

लेकिन अब, ज्यामितीय प्रगति के अर्थ और मुख्य बिंदुओं को समझने के बाद, हम सिद्धांत पर आगे बढ़ सकते हैं। अन्यथा, अर्थ समझे बिना कोई सिद्धांत क्या है, है ना?

ज्यामितीय प्रगति को कैसे निरूपित करें?

ज्यामितीय प्रगति को सामान्य रूप में कैसे लिखा जाता है? कोई बात नहीं! प्रगति के प्रत्येक पद को एक अक्षर के रूप में भी लिखा जाता है। केवल अंकगणितीय प्रगति के लिए, आमतौर पर अक्षर का उपयोग किया जाता है "ए", ज्यामितीय के लिए - अक्षर "बी"। सदस्य संख्या, हमेशा की तरह, संकेत दिया गया है नीचे दाईं ओर सूचकांक. हम केवल प्रगति के सदस्यों को अल्पविराम या अर्धविराम से अलग करके सूचीबद्ध करते हैं।

इस कदर:

बी 1,बी 2 , बी 3 , बी 4 , बी 5 , बी 6 , …

संक्षेप में यह प्रगति इस प्रकार लिखी गई है: (बी एन) .

या इस तरह, सीमित प्रगति के लिए:

बी 1, बी 2, बी 3, बी 4, बी 5, बी 6।

बी 1, बी 2, …, बी 29, बी 30।

या, संक्षेप में:

(बी एन), एन=30 .

वास्तव में, यही सभी पदनाम हैं। सब कुछ वही है, केवल अक्षर अलग है, हां।) और अब हम सीधे परिभाषा पर आते हैं।

ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा.

ज्यामितीय प्रगति एक संख्या अनुक्रम है जिसमें पहला पद गैर-शून्य होता है, और प्रत्येक बाद का पद उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर होता है।

यही पूरी परिभाषा है. अधिकांश शब्द और वाक्यांश आपके लिए स्पष्ट और परिचित हैं। यदि, निश्चित रूप से, आप "अपनी उंगलियों पर" और सामान्य रूप से ज्यामितीय प्रगति का अर्थ समझते हैं। लेकिन कुछ नए वाक्यांश भी हैं जिन पर मैं विशेष ध्यान देना चाहूंगा।

सबसे पहले, शब्द: "जिसका पहला सदस्य शून्येतर".

पहले कार्यकाल पर यह प्रतिबंध संयोग से नहीं लगाया गया था। आपको क्या लगता है अगर पहला सदस्य होगा तो क्या होगा बी 1 शून्य के बराबर होगा? यदि प्रत्येक पद पिछले पद से बड़ा है तो दूसरा पद किसके बराबर होगा? समान संख्या में बार?मान लीजिए तीन बार? आइए देखें... पहले पद (अर्थात 0) को 3 से गुणा करें और प्राप्त करें... शून्य! तीसरे सदस्य के बारे में क्या? वह भी शून्य! और चौथा पद भी शून्य है! और इसी तरह…

हमें बस बैगल्स का एक बैग मिलता है, शून्य का एक क्रम:

0, 0, 0, 0, …

बेशक, इस तरह के क्रम को जीवन का अधिकार है, लेकिन इसका कोई व्यावहारिक हित नहीं है। सबकुछ स्पष्ट है। इसका कोई भी सदस्य शून्य है. किसी भी संख्या में पदों का योग भी शून्य होता है... आप इसके साथ क्या दिलचस्प चीजें कर सकते हैं? कुछ नहीं…

निम्नलिखित कीवर्ड: "उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किया गया।"

इसी अंक का अपना एक विशेष नाम भी है - ज्यामितीय प्रगति का भाजक. आइए परिचित होना शुरू करें।)

ज्यामितीय प्रगति का हर.

सब कुछ नाशपाती के छिलके जितना सरल है।

ज्यामितीय प्रगति का हर एक गैर-शून्य संख्या (या मात्रा) दर्शाता हैकितनी बारप्रगति का प्रत्येक पद पिछले वाले से अधिक.

पुनः, अंकगणितीय प्रगति के समान, इस परिभाषा में देखने योग्य मुख्य शब्द शब्द है "अधिक". इसका मतलब है कि ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणाइसी भाजक को पिछला सदस्य.

मुझे समझाने दो।

गणना करने के लिए, मान लीजिए दूसराडिक, लेने की जरूरत है पहलासदस्य और गुणायह हर के लिए. गणना के लिए दसवांडिक, लेने की जरूरत है नौवांसदस्य और गुणायह हर के लिए.

ज्यामितीय प्रगति का हर स्वयं कुछ भी हो सकता है। बिल्कुल कोई भी! संपूर्ण, भिन्नात्मक, सकारात्मक, नकारात्मक, तर्कहीन - सब कुछ। शून्य को छोड़कर. परिभाषा में "गैर-शून्य" शब्द हमें यही बताता है। इस शब्द की यहाँ आवश्यकता क्यों है - उस पर बाद में और अधिक।

ज्यामितीय प्रगति का भाजकप्रायः पत्र द्वारा दर्शाया जाता है क्यू.

इसे कैसे खोजें क्यू? कोई बात नहीं! हमें प्रगति का कोई भी पद लेना चाहिए और पिछले पद से विभाजित करें. प्रभाग है अंश. इसलिए नाम - "प्रगति विभाजक"। हर, यह आमतौर पर भिन्न में बैठता है, हाँ...) हालांकि, तार्किक रूप से, मूल्य क्यूबुलाया जाना चाहिए निजीज्यामितीय प्रगति, के समान अंतरअंकगणितीय प्रगति के लिए. लेकिन हम कॉल करने के लिए तैयार हो गए भाजक. और हम पहिए का दोबारा आविष्कार भी नहीं करेंगे।)

आइए, उदाहरण के लिए, मात्रा को परिभाषित करें क्यूइस ज्यामितीय प्रगति के लिए:

2, 6, 18, 54, …

सब कुछ प्राथमिक है. चलिए इसे लेते हैं कोईअनुक्रम संख्या। हमें जो चाहिए वो ले लेते हैं. पहले वाले को छोड़कर. उदाहरण के लिए, 18. और से विभाजित करें पिछला नंबर. यानी 6 बजे.

हम पाते हैं:

क्यू = 18/6 = 3

बस इतना ही। यह सही जवाब है। इस ज्यामितीय प्रगति के लिए, हर तीन है।

आइए अब हर ज्ञात करें क्यूएक और ज्यामितीय प्रगति के लिए. उदाहरण के लिए, यह वाला:

1, -2, 4, -8, 16, …

सब एक जैसे। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सदस्यों के पास स्वयं क्या संकेत हैं, हम फिर भी लेते हैं कोईअनुक्रम की संख्या (उदाहरण के लिए, 16) और से विभाजित करें पिछला नंबर(अर्थात -8).

हम पाते हैं:

डी = 16/(-8) = -2

और बस इतना ही।) इस बार प्रगति का हर नकारात्मक निकला। शून्य से दो. ह ाेती है।)

आइए अब इस प्रगति को लें:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

और फिर, अनुक्रम में संख्याओं के प्रकार की परवाह किए बिना (चाहे पूर्णांक, सम भिन्न, यहां तक ​​कि ऋणात्मक, यहां तक ​​कि अपरिमेय), हम कोई भी संख्या लेते हैं (उदाहरण के लिए, 1/9) और पिछली संख्या (1/3) से विभाजित करते हैं। बेशक, भिन्नों के साथ काम करने के नियमों के अनुसार।

हम पाते हैं:

बस इतना ही।) यहां हर भिन्नात्मक निकला: क्यू = 1/3.

आप इस "प्रगति" के बारे में क्या सोचते हैं?

3, 3, 3, 3, 3, …

जाहिर है यहाँ क्यू = 1 . औपचारिक रूप से, यह भी एक ज्यामितीय प्रगति है, केवल साथ समान सदस्य.) लेकिन ऐसी प्रगति अध्ययन और व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए दिलचस्प नहीं है। ठोस शून्य के साथ प्रगति के समान। इसलिए, हम उन पर विचार नहीं करेंगे.

जैसा कि आप देख सकते हैं, प्रगति का हर कुछ भी हो सकता है - पूर्णांक, भिन्नात्मक, सकारात्मक, नकारात्मक - कुछ भी! यह सिर्फ शून्य नहीं हो सकता. अंदाज़ा नहीं लगा सकते क्यों?

खैर, आइए यह देखने के लिए कुछ विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करें कि यदि हम हर को मान लें तो क्या होगा क्यूशून्य।) आइए, उदाहरण के लिए, हमारे पास है बी 1 = 2 , ए क्यू = 0 . तो फिर दूसरा पद किसके बराबर होगा?

हम गिनते है:

बी 2 = बी 1 · क्यू= 2 0 = 0

तीसरे सदस्य के बारे में क्या?

बी 3 = बी 2 · क्यू= 0 0 = 0

ज्यामितीय प्रगति के प्रकार और व्यवहार।

सब कुछ कमोबेश स्पष्ट था: यदि प्रगति में अंतर है डीसकारात्मक है, तो प्रगति बढ़ जाती है। यदि अंतर नकारात्मक है, तो प्रगति कम हो जाती है। केवल दो ही विकल्प हैं. कोई तीसरा नहीं है।)

लेकिन ज्यामितीय प्रगति के व्यवहार के साथ, सब कुछ बहुत अधिक रोचक और विविध होगा!)

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यहां शब्द कैसे व्यवहार करते हैं: वे बढ़ते हैं, और घटते हैं, और अनिश्चित काल तक शून्य तक पहुंचते हैं, और यहां तक ​​कि संकेत भी बदलते हैं, बारी-बारी से खुद को "प्लस" और फिर "माइनस" में फेंक देते हैं! और इस सारी विविधता को आपको अच्छी तरह से समझने में सक्षम होना चाहिए, हाँ...

आइए इसका पता लगाएं?) आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें।

हर धनात्मक है ( क्यू >0)

एक सकारात्मक हर के साथ, सबसे पहले, ज्यामितीय प्रगति की शर्तों में जा सकते हैं प्लस अनंत(अर्थात् बिना सीमा के वृद्धि) और में जा सकते हैं शून्य से अनंत(यानी, बिना किसी सीमा के कमी)। हम पहले से ही प्रगति के इस व्यवहार के आदी हैं।

उदाहरण के लिए:

(बी एन): 1, 2, 4, 8, 16, …

यहां सब कुछ सरल है. प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है पिछले से अधिक. इसके अलावा, प्रत्येक पद निकलता है गुणापिछले सदस्य पर सकारात्मकसंख्या +2 (अर्थात् क्यू = 2 ). इस तरह की प्रगति का व्यवहार स्पष्ट है: प्रगति के सभी सदस्य अंतरिक्ष में जाकर, बिना किसी सीमा के बढ़ते हैं। साथ ही अनंत...

और अब यहाँ प्रगति है:

(बी एन): -1, -2, -4, -8, -16, …

यहाँ भी, प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणापिछले सदस्य पर सकारात्मकसंख्या +2. लेकिन ऐसी प्रगति का व्यवहार बिल्कुल विपरीत है: प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है पिछले से कम, और इसके सभी पद बिना किसी सीमा के घटते-बढ़ते शून्य से अनंत तक चले जाते हैं।

अब आइए सोचें: इन दोनों प्रगतियों में क्या समानता है? यह सही है, भाजक! इधर - उधर क्यू = +2 . सकारात्मक संख्या।दो। और यहां व्यवहारये दोनों प्रगतियाँ मौलिक रूप से भिन्न हैं! अंदाज़ा नहीं लगा सकते क्यों? हाँ! यह इस बारे में है प्रथम सदस्य!जैसा कि वे कहते हैं, यह वह है जो धुन बजाता है।) आप स्वयं देखें।

पहले मामले में, प्रगति का पहला पद सकारात्मक(+1) और, इसलिए, सभी बाद के पदों को गुणा करके प्राप्त किया जाता है सकारात्मकभाजक क्यू = +2 , यह भी होगा सकारात्मक।

लेकिन दूसरे मामले में, पहला पद नकारात्मक(-1). इसलिए, प्रगति के सभी बाद के पदों को गुणा करके प्राप्त किया जाता है सकारात्मक क्यू = +2 , भी प्राप्त किया जाएगा नकारात्मक।क्योंकि "माइनस" से "प्लस" हमेशा "माइनस" देता है, हाँ।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंकगणितीय प्रगति के विपरीत, एक ज्यामितीय प्रगति न केवल निर्भर होकर पूरी तरह से अलग व्यवहार कर सकती है हर सेक्यू, लेकिन निर्भर भी प्रथम सदस्य से, हाँ।)

याद रखें: एक ज्यामितीय प्रगति का व्यवहार विशिष्ट रूप से उसके पहले पद से निर्धारित होता है बी 1 और हरक्यू .

और अब हम कम परिचित, लेकिन बहुत अधिक दिलचस्प मामलों का विश्लेषण करना शुरू करते हैं!

आइए, उदाहरण के लिए, यह क्रम लें:

(बी एन): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

यह क्रम भी एक ज्यामितीय प्रगति है! इस प्रगति का प्रत्येक पद भी निकलता है गुणापिछला सदस्य, उसी संख्या से। यह सिर्फ एक संख्या है - आंशिक: क्यू = +1/2 . या +0,5 . इसके अलावा (महत्वपूर्ण!) संख्या एक से कम:क्यू = 1/2<1.

यह ज्यामितीय प्रगति दिलचस्प क्यों है? इसके सदस्य कहां जा रहे हैं? आइए एक नजर डालते हैं:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

आप यहां कौन सी दिलचस्प बातें देख सकते हैं? सबसे पहले, प्रगति के संदर्भ में कमी तुरंत ध्यान देने योग्य है: इसके प्रत्येक सदस्य कमबिल्कुल पिछला वाला 2 बार।या, ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक पद अधिकपहले का 1/2 बार, क्योंकि प्रगति विभाजक क्यू = 1/2 . और जब एक से कम धनात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो परिणाम आमतौर पर घट जाता है, हाँ...

क्या अधिकइस प्रगति के व्यवहार में देखा जा सकता है? क्या इसके सदस्य कम हो रहे हैं? असीमित, शून्य से अनंत तक जा रहे हैं? नहीं! वे एक विशेष तरीके से गायब हो जाते हैं। पहले तो वे बहुत तेजी से घटते हैं, और फिर धीरे-धीरे कम होते जाते हैं। और हर समय शेष रहते हुए सकारात्मक. यद्यपि बहुत, बहुत छोटा। और वे स्वयं किसके लिए प्रयास करते हैं? क्या आपने अनुमान नहीं लगाया? हाँ! वे शून्य की ओर प्रयास करते हैं!) इसके अलावा, ध्यान दें, हमारी प्रगति के सदस्य शून्य से हैं कभी न पहुंचें!केवल उसके असीम करीब आ रहा है. बहुत जरुरी है।)

ऐसी ही स्थिति निम्नलिखित प्रगति में घटित होगी:

(बी एन): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

यहाँ बी 1 = -1 , ए क्यू = 1/2 . सब कुछ वैसा ही है, केवल अब शर्तें दूसरी तरफ से, नीचे से शून्य के करीब पहुंच जाएंगी। हर समय रहना नकारात्मक.)

ऐसी ज्यामितीय प्रगति, जिसकी शर्तें बिना किसी सीमा के शून्य तक पहुंचें(सकारात्मक या नकारात्मक पक्ष से कोई फर्क नहीं पड़ता), गणित में इसका एक विशेष नाम है - असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।यह प्रगति इतनी दिलचस्प और असामान्य है कि इसकी चर्चा भी की जाएगी अलग पाठ .)

इसलिए, हमने सभी संभव पर विचार किया है सकारात्मकहर बड़े और छोटे दोनों होते हैं। ऊपर बताए गए कारणों से हम इकाई को ही हर नहीं मानते हैं (तीनों के अनुक्रम वाला उदाहरण याद रखें...)

आइए संक्षेप में बताएं:

सकारात्मकऔर एक से अधिक (क्यू>1), फिर प्रगति की शर्तें:

ए) बिना किसी सीमा के वृद्धि (यदिबी 1 >0);

बी) बिना किसी सीमा के कमी (यदिबी 1 <0).

यदि ज्यामितीय प्रगति का हर सकारात्मक और एक से भी कम (0< क्यू<1), то члены прогрессии:

ए) असीम रूप से शून्य के करीब ऊपर(अगरबी 1 >0);

बी) शून्य के असीम करीब पहुंचना नीचे की ओर से(अगरबी 1 <0).

अब मामले पर विचार करना बाकी है नकारात्मक विभाजक.

हर ऋणात्मक है ( क्यू <0)

उदाहरण के लिए हम ज्यादा दूर नहीं जाएंगे। क्यों, बिल्कुल, झबरा दादी?!) मान लीजिए, उदाहरण के लिए, प्रगति का पहला पद है बी 1 = 1 , और आइए हर को लें क्यू = -2.

हमें निम्नलिखित क्रम मिलता है:

(बी एन): 1, -2, 4, -8, 16, …

और इसी तरह।) प्रगति का प्रत्येक पद प्राप्त होता है गुणापिछले सदस्य पर एक ऋणात्मक संख्या-2. इस स्थिति में, सभी सदस्य विषम स्थानों (पहले, तीसरे, पांचवें, आदि) पर खड़े होंगे सकारात्मक, और सम स्थानों में (दूसरा, चौथा, आदि) - नकारात्मक।संकेत सख्ती से वैकल्पिक होते हैं। प्लस-माइनस-प्लस-माइनस... इस ज्यामितीय प्रगति को कहा जाता है - बढ़ते हुए संकेत बारी-बारी से।

इसके सदस्य कहां जा रहे हैं? लेकिन कहीं नहीं।) हाँ, निरपेक्ष मान में (अर्थात् मॉड्यूलो)हमारी प्रगति के सदस्य बिना किसी सीमा के बढ़ते हैं (इसलिए नाम "बढ़ रहा है")। लेकिन साथ ही, प्रगति का प्रत्येक सदस्य बारी-बारी से आपको गर्मी में, फिर ठंड में फेंकता है। या तो "प्लस" या "माइनस"। हमारी प्रगति डगमगा रही है... इसके अलावा, उतार-चढ़ाव का दायरा हर कदम के साथ तेजी से बढ़ रहा है, हाँ।) इसलिए, प्रगति के सदस्यों की आकांक्षाएँ कहीं जा रही हैं विशेष रूप सेयहाँ नहीं।न प्लस इनफिनिटी, न माइनस इनफिनिटी, न शून्य - कहीं नहीं।

आइए अब शून्य और ऋण एक के बीच कुछ भिन्नात्मक हर पर विचार करें।

उदाहरण के लिए, रहने दो बी 1 = 1 , ए क्यू = -1/2.

तब हमें प्रगति मिलती है:

(बी एन): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

और फिर से हमारे पास संकेतों का एक विकल्प है! लेकिन, पिछले उदाहरण के विपरीत, यहां पहले से ही पदों के शून्य तक पहुंचने की स्पष्ट प्रवृत्ति है।) केवल इस बार हमारे पद सख्ती से ऊपर या नीचे से नहीं, बल्कि फिर से शून्य तक पहुंचते हैं। झिझक. बारी-बारी से सकारात्मक और नकारात्मक मान लेना। लेकिन साथ ही वे मॉड्यूलपोषित शून्य के करीब और करीब आ रहे हैं।)

इस ज्यामितीय प्रगति को कहा जाता है अनंत रूप से घटता हुआ चिन्ह, बारी-बारी से।

ये दो उदाहरण दिलचस्प क्यों हैं? और तथ्य यह है कि दोनों ही मामलों में ऐसा होता है संकेतों का पर्याय!यह युक्ति केवल नकारात्मक हर वाली प्रगति के लिए विशिष्ट है, हां।) इसलिए, यदि किसी कार्य में आप वैकल्पिक पदों के साथ एक ज्यामितीय प्रगति देखते हैं, तो आपको पहले से ही पता चल जाएगा कि इसका हर 100% नकारात्मक है और आप कोई गलती नहीं करेंगे संकेत में.)

वैसे, एक नकारात्मक हर के मामले में, पहले पद का चिह्न प्रगति के व्यवहार को बिल्कुल भी प्रभावित नहीं करता है। प्रगति के पहले पद के चिह्न के बावजूद, किसी भी स्थिति में पदों का चिह्न देखा जाएगा। एकमात्र प्रश्न यह है, किन जगहों पर(सम या विषम) विशिष्ट चिह्न वाले सदस्य होंगे।

याद करना:

यदि ज्यामितीय प्रगति का हर नकारात्मक , तो प्रगति की शर्तों के संकेत हमेशा होते हैं वैकल्पिक।

साथ ही, सदस्य स्वयं:

ए) बिना किसी सीमा के वृद्धिसापेक्ष, अगरक्यू<-1;

बी) यदि -1 हो तो अनंत तक शून्य की ओर बढ़ें< क्यू<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

बस इतना ही। सभी विशिष्ट मामलों का विश्लेषण किया गया है।)

ज्यामितीय प्रगति के विभिन्न उदाहरणों का विश्लेषण करने की प्रक्रिया में, मैंने समय-समय पर शब्दों का प्रयोग किया: "शून्य हो जाता है", "प्लस अनंत तक जाता है", "शून्य से अनन्त तक जाता है"... यह ठीक है।) भाषण के ये अलंकार (और विशिष्ट उदाहरण) केवल प्रारंभिक परिचय हैं व्यवहारविभिन्न प्रकार के संख्या क्रम। ज्यामितीय प्रगति के उदाहरण का उपयोग करना।

हमें प्रगति के व्यवहार को जानने की आवश्यकता क्यों है? वह कहां जाती है इससे क्या फर्क पड़ता है? शून्य की ओर, प्लस इनफिनिटी की ओर, माइनस इनफिनिटी की ओर... इससे हमारा क्या होता है?

बात यह है कि पहले से ही विश्वविद्यालय में, उच्च गणित के पाठ्यक्रम में, आपको विभिन्न प्रकार के संख्यात्मक अनुक्रमों के साथ काम करने की क्षमता की आवश्यकता होगी (किसी के साथ, न कि केवल प्रगति के साथ!) और कल्पना करने की क्षमता कि यह या वह अनुक्रम कैसा है व्यवहार करता है - चाहे वह बढ़ता हो, चाहे वह असीमित रूप से घटता हो, चाहे वह किसी विशिष्ट संख्या की ओर जाता हो (और जरूरी नहीं कि वह शून्य की ओर जाता हो), या फिर किसी भी चीज की ओर प्रवृत्त नहीं होता... गणितीय पाठ्यक्रम में इस विषय पर एक पूरा खंड समर्पित है विश्लेषण - सीमा का सिद्धांत.और थोड़ा और विशेष रूप से - अवधारणा संख्या क्रम की सीमा.बहुत ही रोचक विषय! कॉलेज जाकर इसका पता लगाना समझदारी है।)

इस खंड से कुछ उदाहरण (सीमा वाले अनुक्रम) और विशेष रूप से, असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगतिउन्हें स्कूल में इसकी आदत पड़ने लगती है। हमें इसकी आदत हो रही है।)

इसके अलावा, अनुक्रमों के व्यवहार का अच्छी तरह से अध्ययन करने की क्षमता आपको भविष्य में बहुत लाभान्वित करेगी और इसमें बहुत उपयोगी होगी कार्य अनुसंधान.सबसे विविध. लेकिन फ़ंक्शंस के साथ सक्षम रूप से काम करने की क्षमता (डेरिवेटिव की गणना करें, उनका पूरा अध्ययन करें, उनके ग्राफ़ बनाएं) पहले से ही आपके गणितीय स्तर को नाटकीय रूप से बढ़ा देता है! क्या आपको कोई संदेह है? कोई ज़रुरत नहीं है। मेरी बातें भी याद रखें.)

आइए जीवन में ज्यामितीय प्रगति को देखें?

अपने आस-पास के जीवन में, हम अक्सर ज्यामितीय प्रगति का सामना करते हैं। यहां तक ​​कि इसे जाने बिना भी।)

उदाहरण के लिए, विभिन्न सूक्ष्मजीव जो हमें हर जगह भारी मात्रा में घेरते हैं और जिन्हें हम माइक्रोस्कोप के बिना देख भी नहीं सकते हैं, ज्यामितीय प्रगति में सटीक रूप से गुणा करते हैं।

मान लीजिए कि एक जीवाणु आधे-आधे में विभाजित होकर प्रजनन करता है और दो जीवाणुओं में संतान देता है। बदले में, उनमें से प्रत्येक, गुणा करते समय, आधे में भी विभाजित हो जाता है, जिससे 4 बैक्टीरिया की एक सामान्य संतान होती है। अगली पीढ़ी 8 बैक्टीरिया पैदा करेगी, फिर 16 बैक्टीरिया, 32, 64 और इसी तरह। प्रत्येक अगली पीढ़ी के साथ, जीवाणुओं की संख्या दोगुनी हो जाती है। ज्यामितीय प्रगति का एक विशिष्ट उदाहरण।)

इसके अलावा, कुछ कीड़े - एफिड्स और मक्खियाँ - तेजी से बढ़ती हैं। और कभी-कभी खरगोश भी, वैसे।)

ज्यामितीय प्रगति का एक और उदाहरण, रोजमर्रा की जिंदगी के करीब, तथाकथित है चक्रवृद्धि ब्याज।यह दिलचस्प घटना अक्सर बैंक जमाओं में पाई जाती है और इसे कहा जाता है ब्याज का पूंजीकरण.यह क्या है?

निःसंदेह, आप स्वयं अभी भी युवा हैं। आप स्कूल में पढ़ते हैं, आप बैंकों में नहीं जाते। लेकिन आपके माता-पिता पहले से ही वयस्क और स्वतंत्र लोग हैं। वे काम पर जाते हैं, अपनी रोज़ी रोटी के लिए पैसे कमाते हैं, और पैसे का कुछ हिस्सा बचत करते हुए बैंक में डालते हैं।)

मान लीजिए कि आपके पिता तुर्की में पारिवारिक छुट्टियों के लिए एक निश्चित राशि बचाना चाहते हैं और तीन साल की अवधि के लिए 10% प्रति वर्ष की दर से बैंक में 50,000 रूबल डालते हैं। वार्षिक ब्याज पूंजीकरण के साथ.इसके अलावा इस पूरी अवधि के दौरान जमा राशि से कुछ भी नहीं किया जा सकेगा. आप न तो जमा की भरपाई कर सकते हैं और न ही खाते से पैसे निकाल सकते हैं। इन तीन वर्षों के बाद उसे कितना लाभ होगा?

खैर, सबसे पहले, हमें यह पता लगाना होगा कि 10% प्रति वर्ष क्या है। यह मतलब है कि एक वर्ष मेंबैंक प्रारंभिक जमा राशि में 10% जोड़ देगा। से क्या? बेशक, से प्रारंभिक जमा राशि.

हम एक वर्ष के बाद खाते के आकार की गणना करते हैं। यदि प्रारंभिक जमा राशि 50,000 रूबल (अर्थात 100%) थी, तो एक वर्ष के बाद खाते पर कितना ब्याज होगा? यह सही है, 110%! 50,000 रूबल से।

तो हम 50,000 रूबल के 110% की गणना करते हैं:

50000·1.1 = 55000 रूबल।

मुझे आशा है कि आप समझ गए होंगे कि किसी मान का 110% ज्ञात करने का अर्थ उस मान को 1.1 से गुणा करना है? यदि आप नहीं समझते कि ऐसा क्यों है, तो पाँचवीं और छठी कक्षा को याद करें। यानी - प्रतिशत और भिन्न और भागों के बीच संबंध।)

इस प्रकार, पहले वर्ष के लिए वृद्धि 5,000 रूबल होगी।

दो साल में खाते में आएंगे कितने पैसे? 60,000 रूबल? दुर्भाग्य से (या यों कहें, सौभाग्य से), सब कुछ इतना सरल नहीं है। ब्याज पूंजीकरण की पूरी चाल यह है कि प्रत्येक नए ब्याज संचय के साथ, इन्हीं हितों पर पहले से ही विचार किया जाएगा नई राशि से!उससे जो पहले सेखाते पर है इस समय।और पिछली अवधि के लिए अर्जित ब्याज मूल जमा राशि में जोड़ दिया जाता है और इस प्रकार, नए ब्याज की गणना में स्वयं भाग लेता है! यानी वे समग्र खाते का पूरा हिस्सा बन जाते हैं. या सामान्य पूंजी।इसके कारण नाम - ब्याज का पूंजीकरण.

यह अर्थशास्त्र में है. और गणित में ऐसे प्रतिशत कहलाते हैं चक्रवृद्धि ब्याज।या ब्याज का प्रतिशत.) उनकी युक्ति यह है कि क्रमिक रूप से गणना करते समय, हर बार प्रतिशत की गणना की जाती है नये मूल्य से.और मूल से नहीं...

इसलिए, राशि की गणना करने के लिए दो साल, हमें उस राशि का 110% की गणना करने की आवश्यकता है जो खाते में होगी एक वर्ष में।यानी पहले से ही 55,000 रूबल से।

हम 55,000 रूबल का 110% गिनते हैं:

55000·1.1 = 60500 रूबल।

इसका मतलब है कि दूसरे वर्ष के लिए प्रतिशत वृद्धि 5,500 रूबल होगी, और दो वर्षों के लिए - 10,500 रूबल।

अब आप पहले से ही अनुमान लगा सकते हैं कि तीन साल बाद खाते में राशि 60,500 रूबल का 110% होगी। वह फिर 110% है पिछले (पिछले वर्ष) सेरकम.

यहाँ हम सोचते हैं:

60500·1.1 = 66550 रूबल।

अब हम अपनी मौद्रिक राशियों को वर्ष के अनुसार क्रम से व्यवस्थित करते हैं:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

तो यह कैसे होता है? ज्यामितीय प्रगति क्यों नहीं? प्रथम सदस्य बी 1 = 50000 , और हर क्यू = 1,1 . प्रत्येक पद पिछले एक से सख्ती से 1.1 गुना बड़ा है। सब कुछ परिभाषा के अनुरूप है।)

और आपके पिता कितने अतिरिक्त ब्याज बोनस "जमा" करेंगे जबकि उनके 50,000 रूबल तीन साल से उनके बैंक खाते में पड़े हैं?

हम गिनते है:

66550 - 50000 = 16550 रूबल

बेशक, ज़्यादा नहीं। लेकिन ऐसा तब है जब प्रारंभिक जमा राशि छोटी हो। अगर और भी हो तो क्या होगा? मान लीजिए, 50 नहीं, बल्कि 200 हजार रूबल? फिर तीन वर्षों में वृद्धि 66,200 रूबल होगी (यदि आप गणित करें)। जो पहले से ही बहुत अच्छा है।) यदि योगदान और भी अधिक हो तो क्या होगा? इतना ही...

निष्कर्ष: प्रारंभिक जमा राशि जितनी अधिक होगी, ब्याज पूंजीकरण उतना ही अधिक लाभदायक होगा। इसीलिए बैंकों द्वारा लंबी अवधि के लिए ब्याज पूंजीकरण वाली जमाराशियाँ प्रदान की जाती हैं। मान लीजिए पांच साल के लिए.

इसके अलावा, सभी प्रकार की बुरी बीमारियाँ जैसे इन्फ्लूएंजा, खसरा और इससे भी अधिक भयानक बीमारियाँ (2000 के दशक की शुरुआत में वही सार्स या मध्य युग में प्लेग) तेजी से फैलना पसंद करती हैं। इसलिए महामारी का पैमाना, हाँ...) और यह सब इस तथ्य के कारण है कि ज्यामितीय प्रगति के साथ संपूर्ण सकारात्मक भाजक (क्यू>1) - एक ऐसी चीज़ जो बहुत तेज़ी से बढ़ती है! बैक्टीरिया के प्रजनन को याद रखें: एक बैक्टीरिया से दो प्राप्त होते हैं, दो से चार, चार से आठ, और इसी तरह... किसी भी संक्रमण के फैलने के साथ भी ऐसा ही होता है।)

ज्यामितीय प्रगति पर सबसे सरल समस्याएँ।

आइए, हमेशा की तरह, एक साधारण समस्या से शुरुआत करें। विशुद्ध रूप से अर्थ समझने के लिए.

1. यह ज्ञात है कि ज्यामितीय प्रगति का दूसरा पद 6 के बराबर है, और हर -0.5 के बराबर है। पहला, तीसरा और चौथा पद ज्ञात कीजिए।

तो हमें दिया गया है अनंतज्यामितीय प्रगति, लेकिन ज्ञात दूसरी अवधियह प्रगति:

बी 2 = 6

इसके अलावा हम यह भी जानते हैं प्रगति विभाजक:

क्यू = -0.5

और आपको खोजने की जरूरत है पहला, तीसराऔर चौथीइस प्रगति के सदस्य.

तो हम कार्य करते हैं. हम समस्या की स्थितियों के अनुसार क्रम लिखते हैं। सीधे सामान्य रूप में, जहां दूसरा पद छह है:

बी 1, 6,बी 3 , बी 4 , …

अब चलिए खोजना शुरू करते हैं. हम, हमेशा की तरह, सबसे सरल से शुरुआत करते हैं। उदाहरण के लिए, आप तीसरे पद की गणना कर सकते हैं बी 3? कर सकना! आप और मैं पहले से ही जानते हैं (सीधे ज्यामितीय प्रगति के अर्थ में) कि तीसरा पद (बी 3)दूसरे से भी ज्यादा (बी 2 ) वी "क्यू"एक बार!

तो हम लिखते हैं:

बी 3 =बी 2 · क्यू

हम इस अभिव्यक्ति में इसके स्थान पर छह प्रतिस्थापित करते हैं बी 2और इसके बजाय -0.5 क्यूऔर हम गिनते हैं. और बेशक, हम माइनस को भी नज़रअंदाज नहीं करते...

बी 3 = 6·(-0.5) = -3

इस कदर। तीसरा पद नकारात्मक निकला. कोई आश्चर्य नहीं: हमारा भाजक क्यू- नकारात्मक। और प्लस को माइनस से गुणा करने पर, निस्संदेह, माइनस होगा।)

अब हम प्रगति का अगला, चौथा पद गिनते हैं:

बी 4 =बी 3 · क्यू

बी 4 = -3·(-0.5) = 1.5

चौथा पद फिर से प्लस के साथ है। पाँचवाँ पद पुनः ऋणात्मक होगा, छठा पद धन होगा, इत्यादि। संकेत वैकल्पिक!

तो, तीसरा और चौथा पद पाया गया। परिणाम निम्नलिखित क्रम है:

बी 1 ; 6; -3; 1.5; ...

अब जो कुछ बचा है वह पहला पद खोजना है बी 1प्रसिद्ध दूसरे के अनुसार. ऐसा करने के लिए, हम दूसरी दिशा में, बाईं ओर कदम बढ़ाते हैं। इसका मतलब यह है कि इस मामले में हमें प्रगति के दूसरे पद को हर से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन विभाजित करना।

हम विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

बस इतना ही।) समस्या का उत्तर इस प्रकार होगा:

-12; 6; -3; 1,5; …

जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान सिद्धांत वैसा ही है। हम जानते हैं कोईसदस्य और भाजकज्यामितीय प्रगति - हम इसका कोई अन्य सदस्य ढूंढ सकते हैं। हम जो चाहते हैं उसे ढूंढ लेंगे।) एकमात्र अंतर यह है कि जोड़/घटाव को गुणा/भाग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

याद रखें: यदि हम ज्यामितीय प्रगति के कम से कम एक सदस्य और हर को जानते हैं, तो हम हमेशा इस प्रगति के किसी अन्य सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

परंपरा के अनुसार, निम्नलिखित समस्या OGE के वास्तविक संस्करण से है:

2.

...; 150; एक्स; 6; 1.2; ...

तो यह कैसे होता है? इस बार कोई प्रथम पद, कोई हर नहीं है क्यू, बस संख्याओं का एक क्रम दिया गया है... कुछ पहले से ही परिचित है, है ना? हाँ! अंकगणितीय प्रगति में एक समान समस्या पहले ही हल हो चुकी है!

इसलिए हम डरने वाले नहीं हैं. सब एक जैसे। आइए अपना सिर घुमाएं और ज्यामितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को याद रखें। हम अपने अनुक्रम को ध्यान से देखते हैं और पता लगाते हैं कि इसमें तीन मुख्य (पहला पद, हर, पद संख्या) की ज्यामितीय प्रगति के कौन से पैरामीटर छिपे हैं।

सदस्य संख्या? कोई सदस्यता संख्या नहीं है, हाँ... लेकिन चार हैं लगातारनंबर. मुझे इस स्तर पर यह समझाने का कोई मतलब नहीं दिखता कि इस शब्द का क्या अर्थ है।) क्या ये दो हैं पड़ोसी ज्ञात संख्याएँ?खाओ! ये 6 और 1.2 हैं. तो हम पा सकते हैं प्रगति विभाजक.तो हम संख्या 1.2 लेते हैं और विभाजित करते हैं पिछले नंबर पर.छह तक.

हम पाते हैं:

हम पाते हैं:

एक्स= 150·0.2 = 30

उत्तर: एक्स = 30 .

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी सरल है। मुख्य कठिनाई गणना में ही है. ऋणात्मक और भिन्नात्मक हर के मामले में यह विशेष रूप से कठिन है। तो जिनको दिक्कत है वो अंकगणित दोहराएँ! भिन्नों के साथ कैसे काम करें, ऋणात्मक संख्याओं के साथ कैसे काम करें, इत्यादि... अन्यथा, आप यहां बेरहमी से धीमे हो जाएंगे।

अब समस्या को थोड़ा संशोधित करते हैं। अब यह दिलचस्प होने वाला है! आइए इसमें से आखिरी नंबर 1.2 हटा दें। आइए अब इस समस्या का समाधान करें:

3. ज्यामितीय प्रगति के कई लगातार शब्द लिखे गए हैं:

...; 150; एक्स; 6; ...

अक्षर x द्वारा इंगित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए।

सब कुछ वैसा ही है, केवल दो निकटवर्ती हैं प्रसिद्धअब हमारे पास प्रगति का कोई सदस्य नहीं है। यही मुख्य समस्या है. क्योंकि परिमाण क्यूदो पड़ोसी पदों के माध्यम से हम आसानी से निर्धारित कर सकते हैं हम नहीं कर सकते.क्या हमारे पास कार्य से निपटने का मौका है? निश्चित रूप से!

आइए अज्ञात शब्द लिखें " एक्स"सीधे ज्यामितीय प्रगति के अर्थ में! सामान्य शब्दों में।

हां हां! एक अज्ञात हर के साथ सही!

एक ओर, X के लिए हम निम्नलिखित अनुपात लिख सकते हैं:

एक्स= 150·क्यू

दूसरी ओर, हमें इसी एक्स का वर्णन करने का पूरा अधिकार है अगलासदस्य, छह के माध्यम से! छह को हर से विभाजित करें.

इस कदर:

एक्स = 6/ क्यू

जाहिर है, अब हम इन दोनों अनुपातों को बराबर कर सकते हैं। चूंकि हम व्यक्त कर रहे हैं जो उसीपरिमाण (x), लेकिन दो विभिन्न तरीके।

हमें समीकरण मिलता है:

हर चीज़ को गुणा करना क्यू, सरलीकरण और छोटा करने पर, हमें समीकरण मिलता है:

क्यू2 = 1/25

हम हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

क्यू = ±1/5 = ±0.2

उफ़! हर दोगुना निकला! +0.2 और -0.2. और आपको किसे चुनना चाहिए? गतिरोध?

शांत! हाँ, समस्या वास्तव में है दो समाधान!उसमें कोी बुराई नहीं है। ऐसा होता है।) आपको आश्चर्य नहीं होता जब, उदाहरण के लिए, सामान्य समस्या को हल करते समय आपको दो जड़ें मिलती हैं? यहां भी यही कहानी है।)

के लिए क्यू = +0.2हमें मिल जाएगा:

एक्स = 150 0.2 = 30

और के लिए क्यू = -0,2 इच्छा:

एक्स = 150·(-0.2) = -30

हमें दोहरा उत्तर मिलता है: एक्स = 30; एक्स = -30.

इस रोचक तथ्य का क्या मतलब है? और क्या मौजूद है दो प्रगति, समस्या की शर्तों को संतुष्ट करना!

इनकी तरह:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

दोनों उपयुक्त हैं।) आपको क्यों लगता है कि हमारे उत्तरों में विभाजन था? केवल छह के बाद आने वाली प्रगति (1,2) के एक विशिष्ट सदस्य के उन्मूलन के कारण। और ज्यामितीय प्रगति के केवल पिछले (n-1)वें और बाद के (n+1)वें पदों को जानते हुए, हम अब उनके बीच खड़े nवें पद के बारे में स्पष्ट रूप से कुछ नहीं कह सकते हैं। दो विकल्प हैं - प्लस के साथ और माइनस के साथ।

लेकिन कोई समस्या नहीं। एक नियम के रूप में, ज्यामितीय प्रगति कार्यों में अतिरिक्त जानकारी होती है जो एक स्पष्ट उत्तर देती है। आइए शब्द कहें: "वैकल्पिक प्रगति"या "सकारात्मक हर के साथ प्रगति"और इसी तरह... ये शब्द ही एक सुराग के रूप में काम करने चाहिए कि अंतिम उत्तर तैयार करते समय प्लस या माइनस का कौन सा चिह्न चुना जाना चाहिए। यदि ऐसी कोई जानकारी नहीं है, तो हाँ, कार्य होगा दो समाधान.)

अब हम स्वयं निर्णय लेते हैं।

4. निर्धारित करें कि क्या संख्या 20 ज्यामितीय प्रगति का सदस्य है:

4 ; 6; 9; …

5. एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति का संकेत दिया गया है:

…; 5; एक्स ; 45; …

पत्र द्वारा इंगित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए एक्स .

6. गुणोत्तर श्रेणी का चौथा सकारात्मक पद ज्ञात कीजिए:

625; -250; 100; …

7. गुणोत्तर अनुक्रम का दूसरा पद -360 के बराबर है, और इसका पाँचवाँ पद 23.04 के बराबर है। इस प्रगति का पहला पद ज्ञात कीजिए।

उत्तर (अव्यवस्था में):-15; 900; नहीं; 2.56.

अगर सब कुछ ठीक रहा तो बधाई हो!

कुछ फिट नहीं है? कहीं दोहरा जवाब तो नहीं था? असाइनमेंट की शर्तों को ध्यान से पढ़ें!

आखिरी समस्या हल नहीं होती? वहां कुछ भी जटिल नहीं है।) हम सीधे ज्यामितीय प्रगति के अर्थ के अनुसार काम करते हैं। खैर, आप एक चित्र बना सकते हैं. यह मदद करता है।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ प्राथमिक है। यदि प्रगति कम है. यदि यह लंबा है तो क्या होगा? या फिर आवश्यक सदस्य की संख्या बहुत बड़ी है? मैं चाहूंगा कि, अंकगणितीय प्रगति के अनुरूप, किसी तरह एक सुविधाजनक सूत्र प्राप्त किया जाए जिससे इसे ढूंढना आसान हो जाए कोईकिसी भी ज्यामितीय प्रगति की अवधि उसके नंबर से.बिना अनेक, अनेक गुना गुणा किये क्यू. और ऐसा एक सूत्र है!) विवरण अगले पाठ में हैं।

तो, आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं (हमारे मामले में, वे हैं)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा बता सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्या क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (वें संख्या की तरह) हमेशा समान होती है।

संख्या वाले अंक को अनुक्रम का nवाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।

हमारे मामले में:

प्रगति के सबसे सामान्य प्रकार अंकगणितीय और ज्यामितीय हैं। इस विषय में हम दूसरे प्रकार के बारे में बात करेंगे - ज्यामितीय अनुक्रम.

ज्यामितीय प्रगति की आवश्यकता क्यों है और इसका इतिहास क्या है?

प्राचीन काल में भी, पीसा के इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो (जिन्हें फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है) व्यापार की व्यावहारिक आवश्यकताओं से निपटते थे। भिक्षु को यह निर्धारित करने के कार्य का सामना करना पड़ा कि किसी उत्पाद को तौलने के लिए उपयोग किए जा सकने वाले वजन की सबसे छोटी संख्या क्या है? अपने कार्यों में, फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की ऐसी प्रणाली इष्टतम है: यह पहली स्थितियों में से एक है जिसमें लोगों को ज्यामितीय प्रगति से निपटना पड़ा, जिसके बारे में आपने शायद पहले ही सुना होगा और कम से कम इसकी सामान्य समझ होगी। एक बार जब आप विषय को पूरी तरह से समझ लें, तो सोचें कि ऐसी प्रणाली इष्टतम क्यों है?

वर्तमान में, जीवन अभ्यास में, बैंक में पैसा निवेश करते समय ज्यामितीय प्रगति स्वयं प्रकट होती है, जब पिछली अवधि के लिए खाते में जमा राशि पर ब्याज की राशि अर्जित होती है। दूसरे शब्दों में, यदि आप बचत बैंक में सावधि जमा पर पैसा लगाते हैं, तो एक वर्ष के बाद जमा मूल राशि से बढ़ जाएगी, अर्थात। नई राशि योगदान के गुणा के बराबर होगी। एक और वर्ष में, यह राशि बढ़ जाएगी, अर्थात। उस समय प्राप्त राशि को फिर से और इसी तरह से गुणा किया जाएगा। तथाकथित गणना की समस्याओं में एक समान स्थिति का वर्णन किया गया है चक्रवृद्धि ब्याज- पिछले ब्याज को ध्यान में रखते हुए, खाते में मौजूद राशि से हर बार प्रतिशत लिया जाता है। हम इन कार्यों के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

ऐसे और भी कई सरल मामले हैं जहां ज्यामितीय प्रगति लागू होती है। उदाहरण के लिए, इन्फ्लूएंजा का प्रसार: एक व्यक्ति ने दूसरे व्यक्ति को संक्रमित किया, उन्होंने, बदले में, दूसरे व्यक्ति को संक्रमित किया, और इस प्रकार संक्रमण की दूसरी लहर एक व्यक्ति है, और उन्होंने, बदले में, दूसरे को संक्रमित किया... इत्यादि.. .

वैसे, एक वित्तीय पिरामिड, वही एमएमएम, ज्यामितीय प्रगति के गुणों पर आधारित एक सरल और शुष्क गणना है। दिलचस्प? आइए इसका पता लगाएं।

ज्यामितीय अनुक्रम।

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या क्रम है:

आप तुरंत उत्तर देंगे कि यह आसान है और ऐसे अनुक्रम का नाम इसके सदस्यों के अंतर के साथ है। इस बारे में कैसा है:

यदि आप पिछली संख्या को अगली संख्या से घटाते हैं, तो आप देखेंगे कि हर बार आपको एक नया अंतर मिलता है (और इसी तरह), लेकिन अनुक्रम निश्चित रूप से मौजूद है और नोटिस करना आसान है - प्रत्येक बाद की संख्या पिछले एक से कई गुना बड़ी है!

इस प्रकार का संख्या क्रम कहलाता है ज्यामितीय अनुक्रमऔर नामित किया गया है.

ज्यामितीय प्रगति () एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न होता है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।

प्रतिबंध कि पहला पद ( ) समान नहीं है और यादृच्छिक नहीं है। आइए मान लें कि कोई नहीं है, और पहला पद अभी भी बराबर है, और q बराबर है, हम्म.. रहने दो, फिर यह पता चलता है:

सहमत हूँ कि यह अब कोई प्रगति नहीं है।

जैसा कि आप समझते हैं, शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या होने पर भी हमें वही परिणाम मिलेंगे। इन मामलों में, कोई प्रगति नहीं होगी, क्योंकि पूरी संख्या श्रृंखला या तो सभी शून्य होगी, या एक संख्या होगी, और बाकी सभी शून्य होंगे।

आइए अब ज्यामितीय प्रगति के हर के बारे में अधिक विस्तार से बात करते हैं, यानी ओ।

आइए दोहराएँ:- यह संख्या है प्रत्येक आगामी पद कितनी बार बदलता है?ज्यामितीय अनुक्रम।

आपके विचार से ये क्या हो सकता है? यह सही है, सकारात्मक और नकारात्मक, लेकिन शून्य नहीं (हमने इसके बारे में थोड़ा ऊपर बात की)।

चलिए मान लेते हैं कि हमारा सकारात्मक है. आइए हमारे मामले में, ए. दूसरे पद का मान क्या है और? आप इसका उत्तर आसानी से दे सकते हैं:

यह सही है। तदनुसार, यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का एक ही चिह्न है - वे सकारात्मक हैं.

यदि यह नकारात्मक है तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, ए. दूसरे पद का मान क्या है और?

यह बिल्कुल अलग कहानी है

इस प्रगति की शर्तों को गिनने का प्रयास करें। आपको कितना मिला? मेरे पास है। इस प्रकार, यदि, तो ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के संकेत वैकल्पिक होते हैं। अर्थात्, यदि आप इसके सदस्यों के लिए वैकल्पिक संकेतों के साथ प्रगति देखते हैं, तो इसका हर नकारात्मक है। इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय यह ज्ञान आपको स्वयं को परखने में मदद कर सकता है।

आइए अब थोड़ा अभ्यास करें: यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम एक ज्यामितीय प्रगति हैं और कौन से एक अंकगणितीय प्रगति हैं:

समझ गया? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

• ज्यामितीय प्रगति - 3, 6.
• अंकगणितीय प्रगति - 2, 4.
• यह न तो अंकगणित है और न ही ज्यामितीय प्रगति - 1, 5, 7।

आइए अपनी अंतिम प्रगति पर लौटें और अंकगणित की तरह ही इसके सदस्य को खोजने का प्रयास करें। जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, इसे खोजने के दो तरीके हैं।

हम प्रत्येक पद को क्रमिक रूप से गुणा करते हैं।

तो, वर्णित ज्यामितीय प्रगति का वां पद बराबर है।

जैसा कि आपने पहले ही अनुमान लगाया था, अब आप स्वयं एक सूत्र प्राप्त करेंगे जो आपको ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को खोजने में मदद करेगा। या क्या आपने पहले ही इसे अपने लिए विकसित कर लिया है, जिसमें बताया गया है कि चरण दर चरण वें सदस्य को कैसे खोजा जाए? यदि हां, तो अपने तर्क की सत्यता की जांच करें।

आइए हम इसे इस प्रगति का वां पद खोजने के उदाहरण से स्पष्ट करें:

दूसरे शब्दों में:

दी गई गुणोत्तर श्रेणी के पद का मान स्वयं ज्ञात कीजिए।

घटित? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

कृपया ध्यान दें कि जब हमने ज्यामितीय प्रगति के प्रत्येक पिछले पद को क्रमिक रूप से गुणा किया था, तो आपको पिछली पद्धति के समान ही संख्या प्राप्त हुई थी।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें - आइए इसे सामान्य रूप में रखें और प्राप्त करें:

व्युत्पन्न सूत्र सभी मूल्यों के लिए सत्य है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। निम्नलिखित शर्तों के साथ ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना करके इसे स्वयं जांचें: , ए।

क्या आपने गिनती की? आइए परिणामों की तुलना करें:

सहमत हूं कि किसी पद की तरह ही प्रगति का एक पद खोजना संभव होगा, हालांकि, गलत तरीके से गणना करने की संभावना है। और यदि हमने पहले ही ज्यामितीय प्रगति का वां पद पा लिया है, तो सूत्र के "काटे गए" भाग का उपयोग करने से अधिक सरल क्या हो सकता है।

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।

हाल ही में, हमने इस तथ्य के बारे में बात की कि यह या तो शून्य से अधिक या कम हो सकता है, हालांकि, ऐसे विशेष मूल्य हैं जिनके लिए ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है असीम रूप से घट रहा है.

आपको क्या लगता है यह नाम क्यों दिया गया है?
सबसे पहले, आइए पदों से युक्त कुछ ज्यामितीय प्रगति लिखें।
तो फिर मान लीजिए:

हम देखते हैं कि प्रत्येक आगामी पद पिछले पद से एक गुणनखंड से कम है, लेकिन क्या कोई संख्या होगी? आप तुरंत जवाब देंगे "नहीं"। इसीलिए यह अनंत रूप से घट रहा है - यह घटता और घटता रहता है, लेकिन कभी शून्य नहीं होता।

यह स्पष्ट रूप से समझने के लिए कि यह देखने में कैसा दिखता है, आइए अपनी प्रगति का एक ग्राफ़ बनाने का प्रयास करें। तो, हमारे मामले के लिए, सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:

ग्राफ़ पर हम निर्भरता की साजिश रचने के आदी हैं, इसलिए:

अभिव्यक्ति का सार नहीं बदला है: पहली प्रविष्टि में हमने एक ज्यामितीय प्रगति के एक सदस्य के मूल्य की उसकी क्रमिक संख्या पर निर्भरता दिखाई, और दूसरी प्रविष्टि में हमने बस एक ज्यामितीय प्रगति के एक सदस्य के मूल्य को इस प्रकार लिया , और क्रमसूचक संख्या को इस रूप में नहीं, बल्कि इस रूप में निर्दिष्ट किया गया है। बस एक ग्राफ बनाना बाकी है।
हम देखते हैं तुम्हें क्या मिला। यह वह ग्राफ है जिसके साथ मैं आया हूं:

क्या आप देखते हैं? फ़ंक्शन घटता है, शून्य की ओर जाता है, लेकिन इसे कभी पार नहीं करता है, इसलिए यह असीम रूप से घट रहा है। आइए ग्राफ़ पर अपने बिंदुओं को चिह्नित करें, और साथ ही निर्देशांक और इसका मतलब क्या है:

यदि किसी ज्यामितीय प्रगति का पहला पद भी बराबर है तो उसके ग्राफ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करने का प्रयास करें। विश्लेषण करें कि हमारे पिछले ग्राफ़ से क्या अंतर है?

क्या आप संभाल पाओगे? यह वह ग्राफ है जिसके साथ मैं आया हूं:

अब जब आप ज्यामितीय प्रगति के विषय की मूल बातें पूरी तरह से समझ गए हैं: आप जानते हैं कि यह क्या है, आप जानते हैं कि इसका पद कैसे ज्ञात किया जाता है, और आप यह भी जानते हैं कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति क्या है, तो आइए इसके मुख्य गुण पर चलते हैं।

ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति.

क्या आपको अंकगणितीय प्रगति के पदों का गुण याद है? हाँ, हाँ, किसी प्रगति की एक निश्चित संख्या का मान कैसे ज्ञात करें जब इस प्रगति की शर्तों के पिछले और बाद के मान हों। तुम्हे याद है? यह:

अब हम ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के लिए बिल्कुल उसी प्रश्न का सामना कर रहे हैं। ऐसा सूत्र प्राप्त करने के लिए, आइए चित्र बनाना और तर्क करना शुरू करें। आप देखेंगे, यह बहुत आसान है, और यदि आप भूल जाते हैं, तो आप इसे स्वयं निकाल सकते हैं।

आइए एक और सरल ज्यामितीय प्रगति लें, जिसमें हम जानते हैं और। कैसे ढूंढें? अंकगणितीय प्रगति के साथ यह आसान और सरल है, लेकिन यहां क्या? वास्तव में, ज्यामितीय में कुछ भी जटिल नहीं है - आपको बस सूत्र के अनुसार हमें दिए गए प्रत्येक मान को लिखना होगा।

आप पूछ सकते हैं कि अब हमें इसके बारे में क्या करना चाहिए? हाँ, बहुत सरल. सबसे पहले, आइए इन सूत्रों को एक चित्र में चित्रित करें और एक मूल्य पर पहुंचने के लिए उनके साथ विभिन्न जोड़-तोड़ करने का प्रयास करें।

आइए उन संख्याओं का सार निकालें जो हमें दी गई हैं, आइए केवल सूत्र के माध्यम से उनकी अभिव्यक्ति पर ध्यान केंद्रित करें। हमें नारंगी रंग में हाइलाइट किए गए मान को ढूंढना होगा, उसके निकटवर्ती शब्दों को जानना होगा। आइए उनके साथ विभिन्न क्रियाएं करने का प्रयास करें, जिसके परिणाम हमें मिल सकते हैं।

जोड़ना।
आइए दो अभिव्यक्तियाँ जोड़ने का प्रयास करें और हमें प्राप्त होता है:

इस अभिव्यक्ति से, जैसा कि आप देख सकते हैं, हम इसे किसी भी तरह से व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए, हम एक और विकल्प - घटाव का प्रयास करेंगे।

घटाव.

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम इसे व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए आइए इन अभिव्यक्तियों को एक-दूसरे से गुणा करने का प्रयास करें।

गुणन.

अब ध्यान से देखें कि हमें दिए गए ज्यामितीय प्रगति के पदों को जो पाना है उसकी तुलना में गुणा करके हमारे पास क्या है:

सोचो मैं किस बारे में बात कर रहा हूँ? सही ढंग से, खोजने के लिए हमें वांछित संख्या से सटे ज्यामितीय प्रगति संख्याओं के वर्गमूल को एक दूसरे से गुणा करने की आवश्यकता है:

हेयर यू गो। आपने स्वयं ज्यामितीय प्रगति का गुण प्राप्त किया है। इस सूत्र को सामान्य रूप में लिखने का प्रयास करें। घटित?

के लिए शर्त भूल गए? इस बारे में सोचें कि यह क्यों महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, इसकी गणना स्वयं करने का प्रयास करें। इस मामले में क्या होगा? यह सही है, पूरी तरह बकवास है क्योंकि सूत्र इस तरह दिखता है:

तदनुसार, इस सीमा को मत भूलना.

अब आइए गणना करें कि यह किसके बराबर है

सही जवाब - ! यदि आप गणना के दौरान दूसरा संभावित मान नहीं भूले हैं, तो आप महान हैं और तुरंत प्रशिक्षण के लिए आगे बढ़ सकते हैं, और यदि आप भूल गए हैं, तो नीचे चर्चा की गई बातों को पढ़ें और इस बात पर ध्यान दें कि दोनों जड़ों को नीचे क्यों लिखा जाना चाहिए उत्तर।

आइए हमारी दोनों ज्यामितीय प्रगति बनाएं - एक मूल्य के साथ और दूसरा मूल्य के साथ और जांचें कि क्या उन दोनों को अस्तित्व का अधिकार है:

यह जांचने के लिए कि ऐसी ज्यामितीय प्रगति मौजूद है या नहीं, यह देखना आवश्यक है कि क्या इसके दिए गए सभी पद समान हैं? पहले और दूसरे मामले के लिए q की गणना करें।

देखिये हमें दो उत्तर क्यों लिखने पड़ते हैं? क्योंकि जिस शब्द को आप खोज रहे हैं उसका चिन्ह इस बात पर निर्भर करता है कि वह सकारात्मक है या नकारात्मक! और चूँकि हम नहीं जानते कि यह क्या है, हमें प्लस और माइनस दोनों उत्तर लिखने होंगे।

अब जब आपने मुख्य बिंदुओं पर महारत हासिल कर ली है और ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति के लिए सूत्र प्राप्त कर लिया है, तो खोजें, जानें और

अपने उत्तरों की सही उत्तरों से तुलना करें:

आप क्या सोचते हैं, क्या होगा यदि हमें वांछित संख्या के निकट ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के मान नहीं दिए गए, बल्कि उससे समान दूरी पर दिए गए। उदाहरण के लिए, हमें खोजने की जरूरत है, और दिया गया है। क्या हम इस मामले में प्राप्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं? इस संभावना की उसी तरह पुष्टि या खंडन करने का प्रयास करें, जिसमें प्रत्येक मान में क्या शामिल है, इसका वर्णन किया गया हो, जैसा आपने तब किया था जब आपने मूल रूप से सूत्र निकाला था।
तुम्हें क्या मिला?

अब दोबारा ध्यान से देखिए.
और तदनुसार:

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सूत्र काम करता है सिर्फ पड़ोसी के साथ नहींज्यामितीय प्रगति की वांछित शर्तों के साथ, लेकिन साथ भी समान दूरीसदस्य क्या खोज रहे हैं।

इस प्रकार, हमारा प्रारंभिक सूत्र यह रूप लेता है:

अर्थात्, यदि पहले मामले में हमने ऐसा कहा था, तो अब हम कहते हैं कि यह किसी भी छोटी प्राकृतिक संख्या के बराबर हो सकता है। मुख्य बात यह है कि यह दिए गए दोनों नंबरों के लिए समान है।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ अभ्यास करें, बस बेहद सावधान रहें!

1. , . खोजो।
2. , . खोजो।
3. , . खोजो।

फैसला किया? मुझे आशा है कि आप बेहद चौकस थे और एक छोटी सी कैच पर ध्यान दिया होगा।

आइए परिणामों की तुलना करें।

पहले दो मामलों में, हम शांतिपूर्वक उपरोक्त सूत्र को लागू करते हैं और निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:

तीसरे मामले में, जब हम हमें दी गई संख्याओं की क्रम संख्या की सावधानीपूर्वक जांच करते हैं, तो हम समझते हैं कि वे उस संख्या से समान दूरी पर नहीं हैं जिसे हम ढूंढ रहे हैं: यह पिछली संख्या है, लेकिन एक स्थिति में हटा दी गई है, इसलिए यह है फार्मूला लागू करना संभव नहीं

इसे कैसे हल करें? यह वास्तव में उतना कठिन नहीं है जितना लगता है! आइए हम लिखें कि हमें दी गई प्रत्येक संख्या और हम जिस संख्या की तलाश कर रहे हैं उसमें क्या शामिल है।

तो हमारे पास और है। आइए देखें कि हम उनके साथ क्या कर सकते हैं? मैं विभाजित करने का सुझाव देता हूं। हम पाते हैं:

हम अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

अगला चरण जो हम पा सकते हैं वह है - इसके लिए हमें परिणामी संख्या का घनमूल निकालना होगा।

अब आइए फिर से देखें कि हमारे पास क्या है। यह हमारे पास है, लेकिन हमें इसे खोजने की जरूरत है, और यह, बदले में, इसके बराबर है:

हमें गणना के लिए सभी आवश्यक डेटा मिल गए। सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

हमारा उत्तर: .

इसी तरह की एक अन्य समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें:
दिया गया: ,
खोजो:

आपको कितना मिला? मेरे पास है - ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, अनिवार्य रूप से आपको इसकी आवश्यकता है बस एक सूत्र याद रखें- . बाकी सारा पैसा आप खुद ही बिना किसी परेशानी के कभी भी निकाल सकते हैं. ऐसा करने के लिए, बस कागज के एक टुकड़े पर सबसे सरल ज्यामितीय प्रगति लिखें और ऊपर वर्णित सूत्र के अनुसार लिखें कि इसकी प्रत्येक संख्या किसके बराबर है।

ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग.

आइए अब उन सूत्रों को देखें जो हमें किसी दिए गए अंतराल में ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग की शीघ्र गणना करने की अनुमति देते हैं:

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग का सूत्र प्राप्त करने के लिए, हम उपरोक्त समीकरण के सभी भागों को इससे गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

ध्यान से देखें: अंतिम दो सूत्रों में क्या समानता है? यह सही है, उदाहरण के लिए, सामान्य सदस्य, इत्यादि, पहले और अंतिम सदस्य को छोड़कर। आइए दूसरे समीकरण से पहले को घटाने का प्रयास करें। तुम्हें क्या मिला?

अब ज्यामितीय प्रगति के पद को सूत्र के माध्यम से व्यक्त करें और परिणामी अभिव्यक्ति को हमारे अंतिम सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

अभिव्यक्ति को समूहित करें. आपको मिलना चाहिये:

जो कुछ करना बाकी है वह व्यक्त करना है:

तदनुसार, इस मामले में.

क्या हो अगर? तो फिर कौन सा फॉर्मूला काम करता है? एक ज्यामितीय प्रगति की कल्पना करें। वह किसके जैसी है? समान संख्याओं की एक श्रृंखला सही है, इसलिए सूत्र इस तरह दिखेगा:

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति दोनों के बारे में कई किंवदंतियाँ हैं। उनमें से एक शतरंज के निर्माता सेट की किंवदंती है।

बहुत से लोग जानते हैं कि शतरंज के खेल का आविष्कार भारत में हुआ था। जब हिंदू राजा उससे मिले, तो वह उसकी बुद्धि और उसमें संभावित विभिन्न पदों से प्रसन्न हुआ। यह जानने पर कि इसका आविष्कार उसकी प्रजा में से एक ने किया था, राजा ने उसे व्यक्तिगत रूप से पुरस्कृत करने का निर्णय लिया। उसने आविष्कारक को अपने पास बुलाया और उससे वह सब कुछ माँगने का आदेश दिया जो वह चाहता था, यहाँ तक कि सबसे कुशल इच्छा को भी पूरा करने का वादा किया।

सेता ने सोचने के लिए समय मांगा, और जब अगले दिन सेता राजा के सामने उपस्थित हुआ, तो उसने अपने अनुरोध की अभूतपूर्व विनम्रता से राजा को आश्चर्यचकित कर दिया। उन्होंने शतरंज की बिसात के पहले खाने के लिए गेहूं का एक दाना, दूसरे के लिए गेहूं का एक दाना, तीसरे, चौथे के लिए गेहूं का एक दाना आदि देने को कहा।

राजा क्रोधित हो गया और उसने सेठ को यह कहते हुए भगा दिया कि नौकर का अनुरोध राजा की उदारता के योग्य नहीं था, लेकिन उसने वादा किया कि नौकर को बोर्ड के सभी वर्गों के लिए अपना अनाज मिलेगा।

और अब प्रश्न: ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के सूत्र का उपयोग करके, गणना करें कि सेठ को कितने अनाज प्राप्त होने चाहिए?

आइए तर्क करना शुरू करें। चूंकि, शर्त के अनुसार, सेठ ने शतरंज की बिसात के पहले वर्ग के लिए, दूसरे के लिए, तीसरे के लिए, चौथे के लिए, आदि के लिए गेहूं का एक दाना मांगा, तो हम देखते हैं कि समस्या एक ज्यामितीय प्रगति के बारे में है। इस मामले में यह क्या बराबर है?
सही।

शतरंज की बिसात के कुल वर्ग. क्रमश, । हमारे पास सारा डेटा है, जो कुछ बचा है उसे सूत्र में प्लग करना और गणना करना है।

किसी दी गई संख्या के कम से कम "पैमाने" की कल्पना करने के लिए, हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके रूपांतरित करते हैं:

निःसंदेह, यदि आप चाहें, तो आप एक कैलकुलेटर ले सकते हैं और गणना कर सकते हैं कि अंत में आपको कौन सी संख्या मिलेगी, और यदि नहीं, तो आपको मेरी बात माननी होगी: अभिव्यक्ति का अंतिम मूल्य होगा।
वह है:

क्विंटिलियन क्वाड्रिलियन ट्रिलियन बिलियन मिलियन हजार।

ओफ़्फ़) यदि आप इस संख्या की विशालता की कल्पना करना चाहते हैं, तो अनुमान लगाएं कि अनाज की पूरी मात्रा को समायोजित करने के लिए कितने बड़े खलिहान की आवश्यकता होगी।
यदि खलिहान मीटर ऊंचा और मीटर चौड़ा है, तो इसकी लंबाई किमी तक बढ़नी होगी, यानी। पृथ्वी से सूर्य तक दुगुनी दूरी।

यदि राजा गणित में मजबूत होता, तो वह वैज्ञानिक को स्वयं अनाज गिनने के लिए आमंत्रित कर सकता था, क्योंकि दस लाख अनाज गिनने के लिए, उसे कम से कम एक दिन के अथक प्रयास की आवश्यकता होती, और यह देखते हुए कि क्विंटल अनाज गिनना आवश्यक है, अनाज जीवन भर गिनना होगा।

आइए अब ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग से जुड़ी एक सरल समस्या को हल करें।
कक्षा 5ए का एक छात्र वास्या फ्लू से बीमार पड़ गया, लेकिन उसने स्कूल जाना जारी रखा। वास्या हर दिन दो लोगों को संक्रमित करती है, जो बदले में दो और लोगों को संक्रमित करते हैं, इत्यादि। कक्षा में केवल लोग हैं। कितने दिनों में पूरी कक्षा फ्लू से बीमार हो जाएगी?

तो, ज्यामितीय प्रगति का पहला पद वस्या है, अर्थात एक व्यक्ति। ज्यामितीय प्रगति का वां पद वे दो लोग हैं जिन्हें उसने अपने आगमन के पहले दिन संक्रमित किया था। प्रगति पदों का कुल योग 5ए छात्रों की संख्या के बराबर है। तदनुसार, हम एक प्रगति के बारे में बात करते हैं जिसमें:

आइए ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

कुछ ही दिनों में पूरी कक्षा बीमार हो जाएगी। सूत्रों और संख्याओं पर विश्वास नहीं करते? छात्रों के "संक्रमण" को स्वयं चित्रित करने का प्रयास करें। घटित? देखो यह मेरे लिए कैसा दिखता है:

स्वयं गणना करें कि छात्रों को फ्लू से बीमार होने में कितने दिन लगेंगे यदि प्रत्येक छात्र ने एक व्यक्ति को संक्रमित किया हो, और कक्षा में केवल एक व्यक्ति हो।

आपको क्या मूल्य मिला? पता चला कि एक दिन बाद सभी लोग बीमार पड़ने लगे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसा कार्य और उसके लिए चित्र एक पिरामिड जैसा दिखता है, जिसमें प्रत्येक बाद वाला नए लोगों को "लाता है"। हालाँकि, देर-सबेर एक क्षण ऐसा आता है जब उत्तरार्द्ध किसी को आकर्षित नहीं कर पाता। हमारे मामले में, यदि हम कल्पना करते हैं कि वर्ग अलग-थलग है, तो व्यक्ति श्रृंखला को बंद कर देता है ()। इस प्रकार, यदि कोई व्यक्ति एक वित्तीय पिरामिड में शामिल था जिसमें पैसा दिया गया था यदि आप दो अन्य प्रतिभागियों को लाते हैं, तो व्यक्ति (या सामान्य रूप से) किसी को नहीं लाएगा, तदनुसार, इस वित्तीय घोटाले में उन्होंने जो कुछ भी निवेश किया है उसे खो देगा।

ऊपर जो कुछ भी कहा गया वह घटती या बढ़ती ज्यामितीय प्रगति को संदर्भित करता है, लेकिन, जैसा कि आपको याद है, हमारे पास एक विशेष प्रकार है - एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति। इसके सदस्यों के योग की गणना कैसे करें? और इस प्रकार की प्रगति में कुछ विशेषताएं क्यों होती हैं? आइए इसे एक साथ समझें।

तो, सबसे पहले, आइए अपने उदाहरण से अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के इस चित्र को फिर से देखें:

अब आइए ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र पर नजर डालें, जो थोड़ा पहले निकाला गया था:
या

हम किसके लिए प्रयास कर रहे हैं? यह सही है, ग्राफ़ दिखाता है कि यह शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। अर्थात्, क्रमशः लगभग बराबर होगा, गणना करते समय हमें जो व्यंजक मिलेगा वह लगभग होगा। इस संबंध में, हमारा मानना ​​है कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग की गणना करते समय, इस ब्रैकेट की उपेक्षा की जा सकती है, क्योंकि यह बराबर होगा।

- सूत्र एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग है।

महत्वपूर्ण!हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब शर्त स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें योग ज्ञात करने की आवश्यकता है अनंतसदस्यों की संख्या.

यदि एक विशिष्ट संख्या n निर्दिष्ट है, तो हम n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं, भले ही या।

अब चलो अभ्यास करें.

1. और के साथ ज्यामितीय प्रगति के पहले पदों का योग ज्ञात कीजिए।
2. और के साथ एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग ज्ञात कीजिए।

मुझे आशा है कि आप बेहद सावधान थे। आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं, और यह सिद्धांत से अभ्यास की ओर बढ़ने का समय है। परीक्षा में आने वाली सबसे आम ज्यामितीय प्रगति समस्याएं चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करने में समस्याएं हैं। ये वे हैं जिनके बारे में हम बात करेंगे।

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना में समस्याएँ.

आपने संभवतः तथाकथित चक्रवृद्धि ब्याज फार्मूले के बारे में सुना होगा। क्या आप समझते हैं इसका मतलब क्या है? यदि नहीं, तो आइए इसका पता लगाएं, क्योंकि एक बार जब आप इस प्रक्रिया को समझ लेंगे, तो आप तुरंत समझ जाएंगे कि ज्यामितीय प्रगति का इससे क्या लेना-देना है।

हम सभी बैंक जाते हैं और जानते हैं कि जमा के लिए अलग-अलग शर्तें हैं: इसमें एक अवधि, अतिरिक्त सेवाएं और ब्याज शामिल हैं, इसकी गणना के दो अलग-अलग तरीके हैं - सरल और जटिल।

साथ साधारण ब्याजसब कुछ कमोबेश स्पष्ट है: ब्याज जमा अवधि के अंत में एक बार अर्जित होता है। अर्थात्, यदि हम कहें कि हम एक वर्ष के लिए 100 रूबल जमा करते हैं, तो वे वर्ष के अंत में ही जमा किये जायेंगे। तदनुसार, जमा के अंत तक हमें रूबल प्राप्त होंगे।

चक्रवृद्धि ब्याज- यह एक विकल्प है जिसमें ऐसा होता है ब्याज पूंजीकरण, अर्थात। जमा राशि में उनका जोड़ और बाद में आय की गणना प्रारंभिक से नहीं, बल्कि संचित जमा राशि से की जाती है। पूंजीकरण लगातार नहीं होता है, बल्कि कुछ आवृत्ति के साथ होता है। एक नियम के रूप में, ऐसी अवधि समान होती है और अक्सर बैंक एक महीने, तिमाही या वर्ष का उपयोग करते हैं।

आइए मान लें कि हम सालाना समान रूबल जमा करते हैं, लेकिन जमा राशि के मासिक पूंजीकरण के साथ। हम क्या कर रहे हैं?

क्या आप यहाँ सब कुछ समझते हैं? यदि नहीं, तो आइए इसे चरण दर चरण समझें।

हम बैंक में रूबल लाए। महीने के अंत तक, हमारे खाते में हमारे रूबल और उन पर ब्याज सहित एक राशि होनी चाहिए, जो है:

सहमत होना?

हम इसे कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं और फिर हमें मिलता है:

सहमत हूं, यह फॉर्मूला पहले से ही वैसा ही है जैसा हमने शुरुआत में लिखा था। जो कुछ बचा है वह प्रतिशत का पता लगाना है

समस्या विवरण में हमें वार्षिक दरों के बारे में बताया गया है। जैसा कि आप जानते हैं, हम गुणा नहीं करते - हम प्रतिशत को दशमलव भिन्न में बदलते हैं, अर्थात:

सही? अब आप पूछ सकते हैं कि यह नंबर कहां से आया? बहुत सरल!
मैं दोहराता हूं: समस्या कथन के बारे में कहता है वार्षिकब्याज जो अर्जित होता है महीने के. जैसा कि आप जानते हैं, वर्ष के महीनों में, तदनुसार, बैंक हमसे प्रति माह वार्षिक ब्याज का एक हिस्सा वसूल करेगा:

इसका एहसास हुआ? अब यह लिखने का प्रयास करें कि सूत्र का यह भाग कैसा दिखेगा यदि मैं कहूं कि ब्याज की गणना प्रतिदिन की जाती है।
क्या आप संभाल पाओगे? आइए परिणामों की तुलना करें:

बहुत अच्छा! आइए अपने कार्य पर लौटते हैं: लिखें कि दूसरे महीने में हमारे खाते में कितना जमा किया जाएगा, यह ध्यान में रखते हुए कि संचित जमा राशि पर ब्याज अर्जित होता है।
यहाँ मुझे क्या मिला:

या, दूसरे शब्दों में:

मुझे लगता है कि आप पहले ही एक पैटर्न देख चुके हैं और इस सब में एक ज्यामितीय प्रगति देख चुके हैं। लिखें कि इसका सदस्य कितना होगा, या दूसरे शब्दों में, महीने के अंत में हमें कितनी धनराशि प्राप्त होगी।
किया? की जाँच करें!

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आप साधारण ब्याज दर पर एक वर्ष के लिए बैंक में पैसा डालते हैं, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे, और यदि चक्रवृद्धि ब्याज दर पर, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे। लाभ छोटा है, लेकिन यह केवल वें वर्ष के दौरान होता है, लेकिन लंबी अवधि के लिए पूंजीकरण अधिक लाभदायक होता है:

आइए चक्रवृद्धि ब्याज से जुड़ी एक अन्य प्रकार की समस्या पर नजर डालें। आपने जो समझ लिया है उसके बाद यह आपके लिए प्राथमिक होगा। तो, कार्य:

ज़्वेज़्दा कंपनी ने 2000 में डॉलर में पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया। 2001 के बाद से हर साल इसे पिछले साल की पूंजी के बराबर मुनाफ़ा मिला है। यदि लाभ को संचलन से वापस नहीं लिया गया तो 2003 के अंत में ज़्वेज़्दा कंपनी को कितना लाभ प्राप्त होगा?

2000 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2001 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2002 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2003 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।

या हम संक्षेप में लिख सकते हैं:

हमारे मामले के लिए:

2000, 2001, 2002 और 2003.

क्रमश:
रूबल
कृपया ध्यान दें कि इस समस्या में हमारे पास या तो द्वारा या द्वारा कोई विभाजन नहीं है, क्योंकि प्रतिशत वार्षिक रूप से दिया जाता है और इसकी गणना वार्षिक रूप से की जाती है। अर्थात्, चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई समस्या पढ़ते समय इस बात पर ध्यान दें कि कितना प्रतिशत दिया गया है और इसकी गणना किस अवधि में की गई है, और उसके बाद ही गणना के लिए आगे बढ़ें।
अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं।

प्रशिक्षण।

1. यदि यह ज्ञात हो कि, और, तो ज्यामितीय प्रगति का पद ज्ञात कीजिए
2. यदि यह ज्ञात हो कि, और, तो ज्यामितीय प्रगति के प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए
3. एमडीएम कैपिटल कंपनी ने 2003 में डॉलर में पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया। 2004 के बाद से हर साल इसे पिछले साल की पूंजी के बराबर मुनाफ़ा मिला है। MSK कैश फ्लो कंपनी ने 2005 में उद्योग में $10,000 की राशि से निवेश करना शुरू किया और 2006 में इस राशि से लाभ कमाना शुरू किया। 2007 के अंत में एक कंपनी की पूंजी दूसरे की तुलना में कितने डॉलर अधिक है, यदि लाभ को संचलन से वापस नहीं लिया गया था?

उत्तर:

1. चूँकि समस्या कथन यह नहीं कहता है कि प्रगति अनंत है और इसके पदों की एक विशिष्ट संख्या का योग ज्ञात करना आवश्यक है, गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
2. 
   एमडीएम कैपिटल कंपनी:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100% यानी 2 गुना बढ़ जाता है।
   क्रमश:
   रूबल
   एमएसके कैश फ्लो कंपनी:

   2005, 2006, 2007.
   - यानी कई गुना बढ़ जाता है।
   क्रमश:
   रूबल
   रूबल

आइए संक्षेप करें।

1) ज्यामितीय प्रगति ( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न है, और दूसरे से शुरू होने वाला प्रत्येक पद, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।

2) ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का समीकरण है।

3) और को छोड़कर कोई भी मान ले सकते हैं।

• यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का चिह्न एक ही है - वे सकारात्मक हैं;
• यदि, तो प्रगति की सभी बाद की शर्तें वैकल्पिक संकेत;
• जब - प्रगति को अपरिमित रूप से घटना कहा जाता है।

4) , पर - ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति (आसन्न पद)

या
, (समदूरस्थ शर्तों पर)

जब तुम्हें यह मिल जाए, तो उसे मत भूलना दो उत्तर होने चाहिए.

उदाहरण के लिए,

5) ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
या

या

महत्वपूर्ण!हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब शर्त स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें अनंत पदों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है।

6) चक्रवृद्धि ब्याज पर समस्याओं की गणना ज्यामितीय प्रगति के वें पद के सूत्र का उपयोग करके भी की जाती है, बशर्ते कि धन संचलन से वापस नहीं लिया गया हो:

ज्यामितीय अनुक्रम। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

ज्यामितीय अनुक्रम( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर है। इस नंबर पर कॉल किया जाता है ज्यामितीय प्रगति का हर.

ज्यामितीय प्रगति का भाजकऔर को छोड़कर कोई भी मूल्य ले सकता है।

• यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का चिह्न एक ही है - वे सकारात्मक हैं;
• यदि, तो प्रगति के सभी बाद के सदस्य वैकल्पिक संकेत देते हैं;
• जब - प्रगति को अपरिमित रूप से घटना कहा जाता है।

ज्यामितीय प्रगति के पदों का समीकरण - .

ज्यामितीय प्रगति के पदों का योगसूत्र द्वारा गणना:
या

यदि प्रगति अपरिमित रूप से घट रही है, तो:

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