अवशेषों के निर्धारण की विधियाँ। भारित अवशिष्ट विधि. क्षेत्र सिद्धांत समस्याएं

एनआईटी के लिए यूनेस्को अध्यक्ष, रीन टी.एस. परिचय फ़ंक्शन को फ़ंक्शन के एक सेट द्वारा अनुमानित किया जाता है: जहां - अज्ञात पैरामीटर - पूर्ण अनुक्रम से संबंधित रैखिक रूप से स्वतंत्र फ़ंक्शन (3) त्रुटि फ़ंक्शन (अवशिष्ट) पर विचार करें: (4) इस मामले में, हम मान लेंगे कि: - का सेट भारोत्तोलन कार्य (5)

एनआईटी के लिए यूनेस्को अध्यक्ष, रीन टी.एस. सहसंयोजन विधि. उदाहरण अंतराल पर निम्नलिखित दूसरे क्रम के समीकरण पर विचार करें: सीमा शर्तों के साथ: आइए अनुमानित फ़ंक्शन को एक अभिव्यक्ति के रूप में लें जो किसी के लिए सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है: (6) (7) (8) सटीक समाधान के लिए (जांचें) ): सहसंयोजन बिंदुओं के रूप में हम चुनते हैं

एनआईटी के लिए यूनेस्को अध्यक्ष, रीन टी.एस. संयोजन विधि और न्यूनतम वर्ग विधि आइए हम संयोजन विधि को उस स्थिति तक विस्तारित करें जब अंकों की संख्या अज्ञात की संख्या से अधिक हो। इस मामले में, अज्ञात मापदंडों को मूल माध्य वर्ग अर्थ में न्यूनतमकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। अंक () पर अनुमानित है, और फ़ंक्शन को इस रूप में लिखा जा सकता है: हम (16) को छोटा करते हैं, वें समीकरण के लिए हमें प्राप्त होता है: (15) (16) (17)

एनआईटी के लिए यूनेस्को अध्यक्ष, रीन टी.एस. उदाहरण अंतराल पर निम्नलिखित दूसरे क्रम के समीकरण पर विचार करें: सीमा शर्तों के साथ: और एक अभिव्यक्ति के रूप में एक अनुमानित फ़ंक्शन जो किसी के लिए सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है: सटीक समाधान के लिए (जांचें): तीन बिंदुओं पर विसंगति की गणना करें:

एनआईटी के लिए यूनेस्को अध्यक्ष, रीन टी.एस. समीकरणों की दी गई प्रणाली के लिए क्षणों की विधि: पूर्ण अनुक्रम से रैखिक रूप से स्वतंत्र कार्यों के किसी भी सेट को वजन कार्यों के रूप में उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: यह सुनिश्चित करता है कि उच्च क्रम के अवशिष्ट क्षण गायब हो जाएं: (18) (17) (19)

एनआईटी के लिए यूनेस्को अध्यक्ष, रीन टी.एस. उदाहरण अंतराल पर निम्नलिखित दूसरे क्रम के समीकरण पर विचार करें: सीमा शर्तों के साथ: और किसी के लिए सीमा शर्तों को संतुष्ट करने वाली अभिव्यक्ति के रूप में एक अनुमानित फ़ंक्शन: सटीक समाधान (चेक) के लिए: त्रुटि फ़ंक्शन को और के संबंध में ऑर्थोगोनलाइज़ किया गया है:

एक विधि का अपेक्षाकृत विस्तार से अध्ययन करने के बाद, हम संपूर्ण कक्षाओं में अन्य विधियों को प्रस्तुत करने के लिए आगे बढ़ते हैं। सबसे सामान्य वर्ग भारित अवशिष्ट विधियाँ हैं। वे इस धारणा से आगे बढ़ते हैं कि वांछित फ़ंक्शन को कार्यात्मक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए यह:

वे आमतौर पर फ़ंक्शन f 0 को चुनने का प्रयास करते हैं ताकि यह प्रारंभिक और सीमा स्थितियों को यथासंभव सटीक रूप से संतुष्ट कर सके। अनुमानित (परीक्षण) फ़ंक्शन f j को ज्ञात माना जाता है। गणितज्ञों ने ऐसे कार्यों के लिए कई आवश्यकताएं प्रस्तुत की हैं, लेकिन हम यहां उन पर चर्चा नहीं करेंगे। आइए हम स्वयं को इस तथ्य तक सीमित रखें कि बहुपद और त्रिकोणमितीय फलन इन आवश्यकताओं को पूरा करते हैं। विशिष्ट विधियों का वर्णन करते समय समान कार्यों के सेट के कई और उदाहरणों पर विचार किया जाएगा।

गुणांक a j पहले से अज्ञात हैं, और उन्हें मूल समीकरण से प्राप्त समीकरणों की प्रणाली से निर्धारित किया जाना चाहिए। एक अनंत श्रृंखला से, केवल एक निश्चित सीमित संख्या में पद लिए जाते हैं।

जिस समीकरण को हल किया जाना है, उसमें सभी पदों को बायीं ओर फिर से लिखा जाता है, दायीं ओर केवल शून्य छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार, समीकरण निम्न रूप में सिमट जाता है

यदि इस समीकरण में एक अनुमानित समाधान (पूर्व-चयनित कार्यों के सीमित योग के रूप में लिखा गया) प्रतिस्थापित किया जाता है, तो यह समान रूप से संतुष्ट नहीं होगा। इसलिए, हम लिख सकते हैं

जहाँ मान R को अवशिष्ट कहा जाता है। सामान्य तौर पर, अवशिष्ट x, y, z और t का एक फलन है। समस्या ऐसे गुणांकों को खोजने में आती है कि विसंगति पूरे कम्प्यूटेशनल डोमेन में छोटी बनी रहे। इन विधियों में "छोटे" की अवधारणा का अर्थ है कि कुछ भार कार्यों द्वारा गुणा किए गए अवशिष्ट के कम्प्यूटेशनल डोमेन पर अभिन्न शून्य के बराबर हैं। वह है

वजन कार्यों की एक सीमित संख्या निर्दिष्ट करने के बाद, हम अज्ञात गुणांक खोजने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। विभिन्न परीक्षण सन्निकटन (परीक्षण) और विभिन्न भार कार्यों को निर्दिष्ट करके, हम आसानी से विधियों की एक पूरी श्रेणी प्राप्त करते हैं जिन्हें भारित अवशिष्ट विधियाँ कहा जाता है।

इस वर्ग की सबसे सरल विधियों के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं।

उपक्षेत्र विधि.कम्प्यूटेशनल डोमेन को कई उपडोमेन D m में विभाजित किया गया है जो एक दूसरे को ओवरलैप कर सकते हैं। वज़न फ़ंक्शन प्रपत्र में निर्दिष्ट है

यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक उपडोमेन पर अवशिष्ट का अभिन्न अंग शून्य के बराबर है। यह विधि कई विधियों के आधार के रूप में कार्य करती है (उनमें से एक पर नीचे चर्चा की जाएगी)।

सहस्थान विधि.डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का उपयोग वजन फ़ंक्शन के रूप में किया जाता है

कहाँ एक्स=(एक्स,वाई,जेड). मैं आपको याद दिला दूं कि डिराक फ़ंक्शन एक पेचीदा फ़ंक्शन है जो मूल को छोड़कर हर जगह शून्य के बराबर है। लेकिन शुरुआत में यह विज्ञान के लिए अज्ञात मान लेता है जैसे कि निर्देशांक की उत्पत्ति वाले क्षेत्र पर कोई भी अभिन्न अंग एकता के बराबर होता है। इसे सीधे शब्दों में कहें तो: हम एक निश्चित संख्या में अंक निर्धारित करते हैं (इस दृष्टिकोण में इसे अक्सर नोड्स कहा जाता है)। मूल समीकरण इन बिंदुओं पर संतुष्ट होगा। सीमित संख्या में नोड्स के साथ सटीकता को अधिकतम करने के लिए इन बिंदुओं और परीक्षण कार्यों को चुनने के दृष्टिकोण हैं। लेकिन हम यहां उनकी चर्चा नहीं करेंगे.

न्यूनतम वर्ग विधि.यह विधि मूल्य को न्यूनतम करने पर आधारित है

लेकिन यह दिखाना मुश्किल नहीं है कि यह भी भारित अवशिष्ट तरीकों के वर्ग से संबंधित है। इसके लिए वज़न फ़ंक्शन फॉर्म के फ़ंक्शन हैं

शायद गैर-विशेषज्ञों के बीच इस वर्ग की यह सबसे प्रसिद्ध विधि है, लेकिन विशेषज्ञों के बीच यह सबसे लोकप्रिय नहीं है।

गैलेर्किन विधि.इस विधि में, अनुमानित (परीक्षण) कार्यों को वजन कार्यों के रूप में लिया जाता है। वह है

यह विधि उन मामलों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है जहां कोई निरंतर (ग्रिड के बजाय) फ़ंक्शन के रूप में समाधान ढूंढना चाहता है।

आइए हम लंबाई L के ब्रैकट बीम के विरूपण की गणना के लिए इन विधियों के अनुप्रयोग पर विचार करें। मान लीजिए कि केंद्र रेखा से विचलन को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है

सीमा की शर्तें प्रपत्र में निर्दिष्ट हैं

हम फॉर्म में समाधान तलाशेंगे

फिर फार्म में विसंगति लिखी जाएगी

अज्ञात गुणांक ए और बी को खोजने के लिए, हमें दो समीकरणों की एक प्रणाली बनाने की आवश्यकता होगी। आइए चर्चा की गई सभी विधियों का उपयोग करके ऐसा करें।

सहस्थान विधि. बीम के सिरों पर दो बिंदु चुनें। हम उनमें विसंगति को शून्य के बराबर करते हैं

हम पाते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, संयोजन विधि लागू करना काफी सरल है, लेकिन सटीकता में अन्य विधियों से कमतर है।

उपक्षेत्र विधि. हम बीम की पूरी लंबाई को दो उपक्षेत्रों में विभाजित करते हैं। उनमें से प्रत्येक में, हम अवशिष्ट के अभिन्न अंग को शून्य के बराबर करते हैं।

गैलेर्किन विधि. हम परीक्षण कार्यों द्वारा गुणा किए गए अवशिष्ट के अभिन्न अंग लेते हैं।

न्यूनतम वर्ग विधि.

न्यूनतम वर्ग विधि के लिए सबसे बड़े कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है, लेकिन यह सटीकता में उल्लेखनीय लाभ प्रदान नहीं करती है। इसलिए, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में इसका उपयोग कम ही किया जाता है।

50. स्पष्ट और निहित अंतर योजनाएं। भारित निवासी विधि. बुब्नोव-गैलेरकिन विधि।

अंतर योजना- यह बीजगणितीय समीकरणों की एक सीमित प्रणाली है, जो कुछ अंतर समस्या के अनुरूप होती है जिसमें एक अंतर समीकरण और अतिरिक्त शर्तें (उदाहरण के लिए, सीमा स्थितियां और/या प्रारंभिक वितरण) शामिल होती हैं। इस प्रकार, अंतर योजनाओं का उपयोग एक अंतर समस्या को कम करने के लिए किया जाता है, जिसकी प्रकृति निरंतर होती है, समीकरणों की एक सीमित प्रणाली में, जिसका संख्यात्मक समाधान कंप्यूटर पर मौलिक रूप से संभव है। अंतर समीकरण के साथ पत्राचार में रखे गए बीजगणितीय समीकरण अंतर विधि का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं, जो अंतर योजनाओं के सिद्धांत को अंतर समस्याओं को हल करने के लिए अन्य संख्यात्मक तरीकों से अलग करता है (उदाहरण के लिए, प्रक्षेपण विधियां, जैसे गैलेरकिन विधि)।

अंतर योजना के समाधान को अंतर समस्या का अनुमानित समाधान कहा जाता है।

यद्यपि औपचारिक परिभाषा बीजगणितीय समीकरणों के प्रकार पर महत्वपूर्ण प्रतिबंध नहीं लगाती है, व्यवहार में केवल उन योजनाओं पर विचार करना समझ में आता है जो किसी तरह से अंतर समस्या के अनुरूप हैं। अंतर योजनाओं के सिद्धांत में महत्वपूर्ण अवधारणाएँ अभिसरण, सन्निकटन, स्थिरता और रूढ़िवाद की अवधारणाएँ हैं।

स्पष्ट स्कीमा

स्पष्ट योजनाएं कई पड़ोसी डेटा बिंदुओं के माध्यम से परिणाम के मूल्य की गणना करती हैं। विभेदन के लिए एक स्पष्ट योजना का उदाहरण: (द्वितीय क्रम सन्निकटन)। स्पष्ट योजनाएँ अक्सर अस्थिर हो जाती हैं।

यहाँ वी * – अनुमानित समाधान,
एफ- फ़ंक्शन जो सीमा शर्तों को पूरा करता है,
एनएम - परीक्षण कार्य, जो क्षेत्र की सीमा पर शून्य के बराबर होना चाहिए,
एएम - अज्ञात गुणांक जिन्हें अंतर ऑपरेटर की सर्वोत्तम संतुष्टि की स्थिति से पाया जाना आवश्यक है,
एम- परीक्षण कार्यों की संख्या.

यदि हम स्थानापन्न करें वी* मूल अंतर ऑपरेटर में, हमें एक विसंगति प्राप्त होती है जो क्षेत्र के विभिन्न बिंदुओं पर अलग-अलग मान लेती है।

आर = एल.वी * +पी

यहाँ डब्ल्यू एन- कुछ भार कार्य, जिनकी पसंद के आधार पर भारित अवशेष विधि के विभिन्न प्रकारों को प्रतिष्ठित किया जाता है,

एस- अंतरिक्ष का क्षेत्र जिसमें समाधान खोजा गया है।

डेल्टा फ़ंक्शंस को वेट फ़ंक्शंस के रूप में चुनते समय, हमारे पास पॉइंटवाइज़ कॉलोकेशन विधि नामक एक विधि होगी, टुकड़े-टुकड़े स्थिर फ़ंक्शंस के लिए - उपडोमेन द्वारा कॉलोकेशन की विधि, लेकिन सबसे आम गैलेर्किन विधि है, जिसमें परीक्षण फ़ंक्शंस को वेट फ़ंक्शंस के रूप में चुना जाता है एन. इस मामले में, यदि परीक्षण कार्यों की संख्या वजन कार्यों की संख्या के बराबर है, तो कुछ अभिन्नों का विस्तार करने के बाद हम गुणांक के लिए बीजगणितीय समीकरणों की एक बंद प्रणाली पर पहुंचते हैं ए.

केए + क्यू = 0

जहां मैट्रिक्स K और वेक्टर Q के गुणांकों की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

गुणांक ज्ञात करने के बाद एऔर उन्हें (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मूल समस्या का समाधान प्राप्त होता है।

भारित अवशिष्ट विधि के नुकसान स्पष्ट हैं: चूंकि समाधान एक ही बार में पूरे डोमेन पर खोजा जाता है, स्वीकार्य सटीकता सुनिश्चित करने के लिए परीक्षण और वजन कार्यों की संख्या महत्वपूर्ण होनी चाहिए, लेकिन इससे गुणांक की गणना करने में कठिनाइयां पैदा होती हैं क आईजेऔर क्यू मैं, विशेष रूप से समतल और आयतनात्मक समस्याओं को हल करते समय, जब वक्ररेखीय सीमाओं वाले क्षेत्रों पर दोहरे और तिहरे समाकलन की गणना करना आवश्यक होता है। इसलिए, परिमित तत्व विधि (एफईएम) का आविष्कार होने तक इस विधि का अभ्यास में उपयोग नहीं किया गया था।

क्षेत्र सिद्धांत की समस्याएं

परिमित तत्व विधि एक संख्यात्मक विधि है और यह किसी वस्तु (संरचना या उसके भाग) को उपडोमेन (तत्वों) के एक सेट के साथ बदलने पर आधारित है, जिनमें से प्रत्येक के लिए गर्मी हस्तांतरण समस्या का अनुमानित समाधान पाया जाता है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक तत्व के लिए इस विशेष तत्व की सीमा सतहों पर गर्मी हस्तांतरण प्रक्रियाओं की विशेषता वाले अंतर परिवहन समीकरण और सीमा स्थितियों को लिखना आवश्यक है, और फिर एक या दूसरे रूप में समाधान प्राप्त करना आवश्यक है। एक निश्चित नियम के अनुसार "मौलिक" समाधानों का संयोजन समग्र रूप से वस्तु के लिए समस्या का समाधान प्रदान करता है। यह अध्याय FEM की मूल अवधारणा का परिचय देगा।

2.1 भारित अवशिष्ट विधियाँ

अंतर के अनुमानित समाधान के लिए विधियों का एक बड़ा समूह

समीकरण से संबंधित गणितीय सूत्रीकरण पर आधारित है

भारित अवशेषों का अभिन्न प्रतिनिधित्व। विधियों के इस समूह को कहा जाता है भारित अवशिष्ट विधियाँ .

मान लीजिए कि इसके लिए एक विभेदक समीकरण और एक सीमा शर्त है:

,
, (2.1.1)

,
. (2.1.2)

यहाँ एल−डिफरेंशियल ऑपरेटर; एक्स मैं− स्थानिक निर्देशांक; वीऔर एस− अध्ययन क्षेत्र का आयतन और बाहरी सीमा; यू 0 - सटीक समाधान.

हम मान लेंगे कि कुछ कार्य यूयह समीकरण का एक समाधान भी है, और इसे कार्यों के एक सेट द्वारा अनुमानित किया जा सकता है
:

, (2.1.3)

जबकि गुणांक − अज्ञात मात्राएँ जिन्हें कुछ गणितीय प्रक्रिया का उपयोग करके निर्धारित किया जाना चाहिए।

अवशिष्ट विधियों में, इस प्रक्रिया में दो क्रमिक चरण होते हैं। पहले चरण में, अनुमानित समाधान (2.1.3) को समीकरण (2.1.1) में प्रतिस्थापित करके, हम फ़ंक्शन पाते हैं
गलती, या अवशिष्ट, जो विशेषता देता है अंतर की डिग्री
से शुद्धसमाधान :

परिणाम एक बीजगणितीय समीकरण है जिसमें वर्तमान निर्देशांक शामिल हैं और एमअभी भी अज्ञात गुणांक .

दूसरे चरण में, अवशिष्ट फ़ंक्शन (2.1.4) पर आवश्यकताएं लगाई जाती हैं जो या तो अवशिष्ट को कम करती हैं (सहसंयोजन विधि) या भारित अवशिष्ट (न्यूनतम वर्ग विधि और गैलेर्किन विधि)।

सहसंयोजन विधि में, यह माना जाता है कि अंतर समीकरण केवल कुछ चयनित (मनमाने ढंग से) बिंदुओं पर ही संतुष्ट होता है - सहसंयोजन बिंदु, जिनकी संख्या अज्ञात गुणांकों की संख्या के बराबर होती है . इन मे एमअंक, विसंगति शून्य के बराबर होनी चाहिए, जो सिस्टम की ओर ले जाती है एमबीजगणितीय समीकरण के लिए एमगुणांकों :

. (2.1.5)

भारित अवशिष्ट विधियों में, एक भारित अवशिष्ट को पहले कुछ भार कार्यों द्वारा गुणा करके बनाया जाता है , और फिर इसे औसतन न्यूनतम करें:

. (2.1.6)

न्यूनतम वर्ग विधि में - रेले-रिट्ज़ विधि - त्रुटि को ही भार फ़ंक्शन के रूप में चुना जाता है, अर्थात।
, और यह आवश्यक है कि इस तरह से प्राप्त मूल्य (कार्यात्मक) न्यूनतम हो:

. (2.1.7)

ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित शर्त पूरी होनी चाहिए:

, (2.1.8)

अज्ञात गुणांकों के लिए बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली की ओर अग्रसर।

गैलेरकिन विधि में, कार्यों को स्वयं वजन कार्यों के रूप में लिया जाता है
, बुलाया बुनियादी, और वे आवश्यक हैं अवशिष्ट के लिए रूढ़िवादिता :

. (2.1.9)

अगर एक रैखिक संचालिका है, तो सिस्टम (2.1.9) गुणांकों के लिए बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली पर चला जाता है .

आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके गैलेर्किन विधि पर विचार करें। अंतराल पर एक समीकरण दिया गया है
:

सीमा शर्तों के साथ:
,
.

आइए अनुमानित फ़ंक्शन को निम्नलिखित रूप में लें:

किसी के लिए संतोषजनक सीमा शर्तें (2.1.2)। . पहले चरण में हमें विसंगति मिलती है:

आइए दूसरे चरण की प्रक्रिया निष्पादित करें:

,
.

एकीकरण से दो समीकरणों की एक प्रणाली बनेगी:

,

जिसका समाधान निम्नलिखित मान होंगे :
;
. एक अनुमानित समाधान का रूप है:.

सटीक समाधान के साथ विभिन्न तरीकों से प्राप्त अनुमानित परिणामों की तुलना तालिका 1 में दी गई है।

तालिका नंबर एक

तालिका 1 से यह स्पष्ट है कि सभी विधियों में समान अनुमानित कार्यों के साथ, गैलेर्किन विधि द्वारा सटीक समाधान का सबसे अच्छा अनुमान प्रदान किया जाता है। इसके अलावा, यह विधि गैर-रेखीय समस्याओं को हल करने के लिए लागू होती है, जिसमें वे समस्याएं भी शामिल हैं जिनके लिए रेले-रिट्ज विधि का उपयोग करते समय किसी कार्यात्मकता की आवश्यकता नहीं होती है।