गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के तरीके। डबल इंटीग्रल का उपयोग करके एक फ्लैट बाउंड फिगर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गणना कैसे करें? जटिल आकार के पिंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का निर्धारण

लेखक: चलो एक मनमाना आकार का शरीर लेते हैं। क्या इसे एक धागे पर लटकाना संभव है ताकि लटकने के बाद यह अपनी स्थिति बनाए रखे (यानी मुड़ना शुरू न हो) जब कोई भीप्रारंभिक अभिविन्यास (अंजीर। 27.1)?

दूसरे शब्दों में, क्या कोई ऐसा बिंदु है, जिसके सापेक्ष शरीर के विभिन्न भागों पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के क्षणों का योग शून्य के बराबर होगा। कोई भीअंतरिक्ष में शरीर का उन्मुखीकरण?

रीडर: हां मुझे ऐसा लगता है। ऐसा बिंदु कहा जाता है शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र।

प्रमाण।सादगी के लिए, अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से उन्मुख मनमाने आकार की एक सपाट प्लेट के रूप में एक शरीर पर विचार करें (चित्र। 27.2)। समन्वय प्रणाली लें एक्स 0परद्रव्यमान के केंद्र में मूल के साथ - एक बिंदु साथ में, तब एक्स सी = 0, सी पर = 0.

हम इस निकाय को बड़ी संख्या में बिंदु द्रव्यमानों के संग्रह के रूप में प्रस्तुत करते हैं मैं मैं, जिनमें से प्रत्येक की स्थिति त्रिज्या वेक्टर द्वारा दी गई है।

द्रव्यमान के केंद्र की परिभाषा के अनुसार, और निर्देशांक एक्स सी = .

चूंकि हमारे समन्वय प्रणाली में एक्स सी= 0, फिर। आइए इस समीकरण को से गुणा करें जीऔर पाओ

जैसे कि चित्र से देखा जा सकता है। 27.2, | एक्स मैं| ताकत का कंधा है। और अगर एक्स मैं> 0, फिर बल का क्षण एम आई> 0, और अगर एक्स जे < 0, то एमजेओ < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого एक्स मैंबल का क्षण होगा एम मैं = एम मैं जीएक्स मैं।तब समानता (1) के बराबर है, जहां एम आईगुरुत्वाकर्षण का क्षण है। और इसका मतलब यह है कि शरीर के मनमाने ढंग से अभिविन्यास के साथ, शरीर पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के क्षणों का योग उसके द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष शून्य के बराबर होगा।

शरीर के लिए हम संतुलन में होने पर विचार कर रहे हैं, इसे एक बिंदु पर लागू करना आवश्यक है साथ मेंताकत टी = मिलीग्रामलंबवत ऊपर की ओर इशारा करते हुए। बिंदु के बारे में इस बल का क्षण साथ मेंशून्य के बराबर।

चूँकि हमारा तर्क किसी भी तरह से इस बात पर निर्भर नहीं करता था कि शरीर अंतरिक्ष में कैसे उन्मुख है, इसलिए हमने साबित कर दिया कि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र द्रव्यमान के केंद्र के साथ मेल खाता है, जिसे साबित करना आवश्यक था।

समस्या 27.1.लम्बाई की भारहीन छड़ का गुरुत्व केन्द्र ज्ञात कीजिए मैं, जिसके सिरों पर दो बिंदु द्रव्यमान स्थिर होते हैं टी 1 और टी 2 .

टी 1 टी 2 मैं	फेसला। हम गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के लिए नहीं, बल्कि द्रव्यमान के केंद्र की तलाश करेंगे (क्योंकि वे एक ही हैं)। आइए अक्ष का परिचय दें एक्स(चित्र 27.3)। चावल। 27.3
एक्स सी =?

जवाब: मास से दूर टी 1 .

रुकना! अपने लिए निर्णय लें: B1-B3।

कथन 1 . यदि एक समरूप समतल पिंड में समरूपता की धुरी है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस अक्ष पर होता है।

दरअसल, किसी भी बिंदु द्रव्यमान के लिए मैं मैंसमरूपता के अक्ष के दाईं ओर स्थित, पहले के सापेक्ष सममित रूप से समान बिंदु द्रव्यमान स्थित है (चित्र 27.4)। इस मामले में, बलों के क्षणों का योग।

चूंकि पूरे शरीर को समान बिंदुओं के जोड़े में विभाजित किया जा सकता है, समरूपता के अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण का कुल क्षण शून्य है, जिसका अर्थ है कि शरीर का गुरुत्वाकर्षण केंद्र भी इसी अक्ष पर स्थित है। इससे एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है: यदि शरीर में समरूपता के कई अक्ष हैं, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इन अक्षों के चौराहे पर स्थित है(चित्र 27.5)।

चावल। 27.5

वक्तव्य 2. यदि द्रव्यमान वाले दो पिंड टी 1 और टी 2 एक में जुड़े हुए हैं, तो ऐसे पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र पहले और दूसरे पिंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा पर होगा (चित्र। 27.6)।

चावल। 27.6 चावल। 27.7

प्रमाण।आइए हम समग्र निकाय को व्यवस्थित करें ताकि पिंडों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों को जोड़ने वाला खंड लंबवत हो। फिर बिंदु के संबंध में पहले शरीर के गुरुत्वाकर्षण के क्षणों का योग साथ में 1 शून्य के बराबर है, और बिंदु के बारे में दूसरे शरीर के गुरुत्वाकर्षण के क्षणों का योग साथ में 2 शून्य है (चित्र 27.7)।

नोटिस जो कंधाकिसी भी बिंदु द्रव्यमान का गुरुत्वाकर्षण मैंखंड पर किसी भी बिंदु के संबंध में वही साथ में 1 साथ में 2 , और इसलिए खंड पर पड़े किसी भी बिंदु के सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण का क्षण साथ में 1 साथ में 2 समान हैं। इसलिए, खंड के किसी भी बिंदु के संबंध में पूरे शरीर का गुरुत्वाकर्षण शून्य है साथ में 1 साथ में 2. इस प्रकार, समग्र शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र खंड पर स्थित है साथ में 1 साथ में 2 .

कथन 2 का तात्पर्य एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक निष्कर्ष से है, जो निर्देशों के रूप में स्पष्ट रूप से तैयार किया गया है।

निर्देश,

यदि किसी कठोर पिंड को तोड़ा जा सकता है तो उसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का पता कैसे लगाएं

भागों में, जिनमें से प्रत्येक के गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों की स्थिति ज्ञात है

1. प्रत्येक भाग को उस भाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र में स्थित द्रव्यमान से बदलें।

2. खोजें ग्रैविटी केंद्र(और यह गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के समान है) बिंदु द्रव्यमान की परिणामी प्रणाली का, एक सुविधाजनक समन्वय प्रणाली का चयन एक्स 0पर, सूत्रों के अनुसार:

दरअसल, आइए हम यौगिक शरीर को इस तरह से रखें कि खंड साथ में 1 साथ में 2 क्षैतिज था, और हम इसे बिंदुओं पर धागों पर लटकाएंगे साथ में 1 और साथ में 2 (चित्र 27.8, ए) यह स्पष्ट है कि शरीर संतुलन में होगा। और यह संतुलन नहीं बिगड़ेगा यदि हम प्रत्येक पिंड को बिंदु द्रव्यमान से बदल दें टी 1 और टी 2 (चित्र 27.8, बी).

चावल। 27.8

रुकना! अपने लिए निर्णय लें: C3.

समस्या 27.2.द्रव्यमान के गोले एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्षों पर रखे जाते हैं टीहर कोई। तीसरे शीर्ष में 2 . द्रव्यमान की एक गेंद है टी(चित्र 27.9, ए) त्रिभुज पक्ष ए. इस निकाय का गुरुत्व केंद्र ज्ञात कीजिए।

टी 2टी ए	चावल। 27.9
एक्स सी = ? सी पर = ?

फेसला. हम समन्वय प्रणाली का परिचय देते हैं एक्स 0पर(चित्र 27.9, बी) फिर

,

.

जवाब: एक्स सी = ए/2; ; गुरुत्वाकर्षण का केंद्र आधी ऊंचाई पर स्थित है विज्ञापन.

ऊपर प्राप्त सामान्य सूत्रों के आधार पर, निकायों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए विशिष्ट तरीकों को इंगित करना संभव है।

1. यदि किसी समांगी पिंड का समतल, अक्ष या सममिति का केंद्र है, तो उसका गुरुत्व केंद्र या तो समरूपता के तल में, या सममिति के अक्ष पर, या सममिति के केंद्र में होता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक सजातीय शरीर में समरूपता का एक तल है। फिर, इस तल द्वारा, इसे दो ऐसे भागों में विभाजित किया जाता है, जिनके भार और एक दूसरे के बराबर होते हैं, और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र समरूपता के विमान से समान दूरी पर होते हैं। नतीजतन, एक बिंदु के रूप में शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र जिसके माध्यम से दो समान और समानांतर बलों का परिणाम गुजरता है, वास्तव में समरूपता के विमान में स्थित होगा। एक समान परिणाम उन मामलों में प्राप्त होता है जहां शरीर में एक अक्ष या समरूपता का केंद्र होता है।

यह समरूपता के गुणों से इस प्रकार है कि एक समरूप गोल वलय, एक गोल या आयताकार प्लेट, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज, एक गेंद और समरूपता के केंद्र के साथ अन्य सजातीय पिंडों के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र ज्यामितीय केंद्र (समरूपता का केंद्र) में स्थित है। इन निकायों।

2. विभाजन। यदि शरीर को ऐसे भागों की एक सीमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति ज्ञात है, तो पूरे शरीर के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक की गणना सीधे सूत्रों (59) का उपयोग करके की जा सकती है - (62)। इस मामले में, प्रत्येक राशि में पदों की संख्या शरीर को विभाजित करने वाले भागों की संख्या के बराबर होगी।

समस्या 45. अंजीर में दिखाए गए सजातीय प्लेट के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करें। 106. सभी माप सेंटीमीटर में हैं।

फेसला। हम x, y कुल्हाड़ियों को खींचते हैं और प्लेट को तीन आयतों में विभाजित करते हैं (कट रेखाएँ चित्र 106 में दिखाई गई हैं)। हम प्रत्येक आयत और उनके क्षेत्र के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक की गणना करते हैं (तालिका देखें)।

संपूर्ण प्लेट क्षेत्र

गणना की गई मात्राओं को सूत्रों (61) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति सी को ड्राइंग में दिखाया गया है; बिंदु C प्लेट के बाहर है।

3. जोड़। यह विधि विभाजन विधि का एक विशेष मामला है। यह कटआउट वाले निकायों पर लागू होता है यदि कटआउट और कटआउट के बिना शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र ज्ञात हों।

समस्या 46. त्रिज्या कट वाली एक गोल प्लेट के गुरुत्व केंद्र की स्थिति ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या कटी हुई है (चित्र 107)। दूरी

फेसला। प्लेट का गुरुत्व केंद्र रेखा पर होता है, क्योंकि यह रेखा सममिति की धुरी है। निर्देशांक अक्षों को ड्रा करें। निर्देशांक खोजने के लिए, हम प्लेट के क्षेत्र को एक पूर्ण सर्कल (भाग 1) में पूरक करते हैं, और फिर कट सर्कल के क्षेत्र को परिणामी क्षेत्र (भाग 2) से घटाते हैं। इस मामले में, घटाए गए भाग 2 के क्षेत्र को ऋण चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए। फिर

प्राप्त मूल्यों को सूत्रों (61) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

गुरुत्वाकर्षण C का पाया गया केंद्र, जैसा कि आप देख सकते हैं, बिंदु के बाईं ओर स्थित है

4. एकीकरण। यदि शरीर को कई परिमित भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिनमें से गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों की स्थिति ज्ञात है, तो शरीर को पहले मनमाने छोटे खंडों में विभाजित किया जाता है जिसके लिए सूत्र (60) रूप लेते हैं

आयतन के भीतर किसी बिंदु के निर्देशांक कहाँ हैं। फिर, समानता (63) में, वे सीमा तक जाते हैं, सब कुछ शून्य पर ले जाते हैं, अर्थात, इन खंडों को बिंदुओं में संकुचित करते हैं। फिर समानता में योग शरीर के पूरे आयतन में विस्तारित इंटीग्रल में बदल जाता है, और सूत्र (63) सीमा में देते हैं:

इसी तरह, क्षेत्रों और रेखाओं के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक के लिए, हम सूत्रों (61) और (62) से सीमा में प्राप्त करते हैं:

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए इन सूत्रों को लागू करने का एक उदाहरण अगले पैराग्राफ में माना जाता है।

5. प्रायोगिक विधि। जटिल विन्यास (विमान, भाप इंजन, आदि) के अमानवीय निकायों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। संभावित प्रयोगात्मक विधियों (निलंबन विधि) में से एक यह है कि शरीर को उसके विभिन्न बिंदुओं पर एक धागे या केबल पर निलंबित कर दिया जाता है। धागे की दिशा जिस पर पिंड लटका हुआ है, हर बार गुरुत्वाकर्षण की दिशा देगा। इन दिशाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करता है। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित करने का एक अन्य संभावित तरीका वजन विधि है। इस पद्धति के पीछे का विचार नीचे दिए गए उदाहरण से स्पष्ट है।

ग्रैविटी केंद्रएक कठोर पिंड एक ज्यामितीय बिंदु है जो इस पिंड से कठोरता से जुड़ा होता है और शरीर के अलग-अलग प्राथमिक कणों पर लागू समानांतर गुरुत्वाकर्षण बलों का केंद्र होता है (चित्र 1.6)।

इस बिंदु का त्रिज्या वेक्टर

चित्र 1.6

एक सजातीय शरीर के लिए, शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति सामग्री पर निर्भर नहीं करती है, बल्कि शरीर के ज्यामितीय आकार से निर्धारित होती है।

यदि एक सजातीय पिंड का विशिष्ट गुरुत्व γ , शरीर के प्राथमिक कण का भार

पी कश्मीर = वी क (पी = वी ) निर्धारित करने के लिए सूत्र में स्थानापन्न करें आर सी , अपने पास

जहां से, अक्षों पर प्रक्षेपित करने और सीमा तक जाने पर, हम एक सजातीय आयतन के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक प्राप्त करते हैं

इसी तरह, एक सजातीय सतह के एक क्षेत्र के साथ गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक के लिए एस (चित्र 1.7, क)

चित्र 1.7

लंबाई की एक सजातीय रेखा के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक के लिए ली (चित्र 1.7, ख)

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के तरीके

पहले प्राप्त सामान्य सूत्रों के आधार पर, ठोस निकायों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करने के तरीकों को इंगित करना संभव है:

1 विश्लेषणात्मक(एकीकरण द्वारा)।

2 समरूपता विधि. यदि पिंड में समतल, अक्ष या सममिति का केंद्र है, तो इसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र क्रमशः समरूपता के तल, सममिति के अक्ष या समरूपता के केंद्र में होता है।

3 प्रयोगात्मक(शरीर निलंबन विधि)।

4 बंटवारे. शरीर को भागों की एक सीमित संख्या में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति सी और क्षेत्र एस ज्ञात। उदाहरण के लिए, किसी पिंड को समतल पर प्रक्षेपित करना xOy (चित्र 1.8) को क्षेत्रों के साथ दो समतल आकृतियों के रूप में दर्शाया जा सकता है एस 1 और एस 2 (एस = एस 1 + एस 2 ) इन आकृतियों के गुरुत्व केन्द्र बिन्दुओं पर हैं सी 1 (एक्स 1 , यू 1 ) और सी 2 (एक्स 2 , यू 2 ) . तब पिंड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक हैं

चित्र 1.8

5योग(नकारात्मक क्षेत्रों या मात्राओं की विधि)। विभाजन विधि का एक विशेष मामला। यह कटआउट वाले निकायों पर लागू होता है यदि कटआउट और कटआउट के बिना शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र ज्ञात हों। उदाहरण के लिए, आपको एक सपाट आकृति के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक खोजने होंगे (चित्र 1.9):

चित्र 1.9

सरलतम आंकड़ों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र

चित्र 1.10

1 त्रिकोण

त्रिभुज क्षेत्र का गुरुत्व केंद्र उसकी माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाता है (चित्र 1.10, क)।

डीएम = एमबी , मुख्यमंत्री = (1/3)हूँ .

2 एक वृत्त का चाप

चाप में सममिति का अक्ष होता है (चित्र 1.10, ख)। गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस अक्ष पर स्थित है, अर्थात। आप सी = 0 .

डेली - चाप तत्व, डेली = रोड , आर वृत्त की त्रिज्या है, एक्स = आरसीओएसφ , एल = 2एआर ,

इसलिये:

एक्स सी = आर (sinα/α) .

3 परिपत्र क्षेत्र

त्रिज्या क्षेत्र आर केंद्रीय कोण 2 . के साथ α समरूपता की धुरी है बैल , जिस पर गुरुत्वाकर्षण का केंद्र स्थित है (चित्र 1.10, c)।

हम क्षेत्र को प्राथमिक क्षेत्रों में विभाजित करते हैं, जिन्हें त्रिकोण माना जा सकता है। प्राथमिक क्षेत्रों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र त्रिज्या (2/3) के एक वृत्त के चाप पर स्थित होते हैं आर .

त्रिज्यखंड का गुरुत्व केंद्र चाप के गुरुत्व केंद्र के साथ मेल खाता है अब :

14. एक बिंदु की गति को निर्दिष्ट करने के तरीके।

गति निर्दिष्ट करने की सदिश विधि के साथ, एक बिंदु की स्थिति चयनित संदर्भ प्रणाली में एक निश्चित बिंदु से खींचे गए त्रिज्या वेक्टर द्वारा निर्धारित की जाती है।

गति को निर्दिष्ट करने की समन्वय विधि के साथ, एक बिंदु के निर्देशांक समय के कार्य के रूप में निर्दिष्ट होते हैं:

ये एक गतिमान बिंदु के प्रक्षेपवक्र के पैरामीट्रिक समीकरण हैं, जिसमें समय एक पैरामीटर की भूमिका निभाता है टी . इसके समीकरण को एक स्पष्ट रूप में लिखने के लिए, उनसे बाहर करना आवश्यक है टी .

आंदोलन को निर्दिष्ट करने के प्राकृतिक तरीके से, बिंदु के प्रक्षेपवक्र, संदर्भ की सकारात्मक दिशा के संकेत के साथ प्रक्षेपवक्र पर उत्पत्ति, चाप समन्वय के परिवर्तन का कानून निर्धारित किया जाता है: एस = एस (टी) . यदि बिंदु का प्रक्षेप पथ पहले से ज्ञात हो तो इस पद्धति का उपयोग करना सुविधाजनक है।

15. 1.2 बिंदु गति

एक छोटी अवधि में एक बिंदु की गति पर विचार करें t :

समय की अवधि में एक बिंदु की औसत गति डीटी . एक निश्चित समय पर एक बिंदु की गति

बिंदु गतिइसकी गति का एक गतिज माप है, जो विचाराधीन संदर्भ फ्रेम में इस बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के समय व्युत्पन्न के बराबर है। वेग वेक्टर गति की दिशा में बिंदु के प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है।

गुरुत्वाकर्षण का केंद्र वह बिंदु है जिसके माध्यम से गुरुत्वाकर्षण के परिणामी प्राथमिक बलों की क्रिया की रेखा गुजरती है। इसमें समानांतर बलों के केंद्र की संपत्ति है (ई। एम। निकितिन, 42)। इसलिए विभिन्न निकायों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए सूत्रहमशक्ल:
एक्स सी = (∑ जी आई एक्स आई) / ∑ जी मैं;
(1) y c = (∑ G i y i) / G i ;
जेड सी = (∑ जी आई जेड आई) / ∑ जी आई।

यदि शरीर जिसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को निर्धारित करने की आवश्यकता है, उसे रेखाओं से बनी आकृति से पहचाना जा सकता है (उदाहरण के लिए, तार से बना एक बंद या खुला समोच्च, जैसा कि चित्र 173 में है), तो प्रत्येक खंड का वजन G i i एक उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है
जी मैं \u003d एल मैं घ,
जहाँ d सामग्री की एक इकाई लंबाई का भार है जो संपूर्ण आकृति के लिए स्थिर है।

सूत्रों में प्रतिस्थापित करने के बाद (1) G के बजाय उनके मान l i d, अंश और हर के प्रत्येक पद में स्थिर कारक d को कोष्ठक से (योग के चिह्न के बाहर) निकाला जा सकता है और घटाया जा सकता है। इस प्रकार, रेखा खंडों से बनी एक आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए सूत्र, फॉर्म लेगा:
एक्स सी = (∑ एल आई एक्स आई) / ∑ एल मैं;
(2) y c = (∑ l i y i) / l i ;
z c = (∑ l i z i) / l i ।

यदि शरीर में विभिन्न तरीकों से स्थित विमानों या घुमावदार सतहों से बनी आकृति का रूप है (चित्र 174), तो प्रत्येक विमान (सतह) के वजन को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
जी मैं = एफ मैं पी,
जहां एफ मैं प्रत्येक सतह के क्षेत्र हैं, और पी आकृति के प्रति इकाई क्षेत्र का वजन है।

G के इस मान को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं क्षेत्रों से बनी एक आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक के लिए सूत्र:
एक्स सी = (∑ एफ आई एक्स आई) / ∑ एफ मैं;
(3) y c = (∑ F i y i) / F i ;
z c = (∑ F i z i) / F i ।

यदि एक सजातीय शरीर को एक निश्चित ज्यामितीय आकार के सरल भागों में विभाजित किया जा सकता है (चित्र 175), तो प्रत्येक भाग का भार
जी मैं = वी मैं ,
जहाँ V i प्रत्येक भाग का आयतन है, और शरीर के प्रति इकाई आयतन का भार है।

G के मानों को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं सजातीय आयतन से बने पिंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए सूत्र:
एक्स सी = (∑ वी आई एक्स आई) / ∑ वी मैं;
(4) y c = (∑ V i y i) / V i ;
जेड सी = (∑ वी आई जेड आई) / ∑ वी मैं।

पिंडों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए कुछ समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी यह जानना आवश्यक होता है कि एक वृत्त, एक वृत्ताकार क्षेत्र या एक त्रिभुज के चाप का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहाँ स्थित है।

यदि चाप r की त्रिज्या और केंद्रीय कोण 2α, चाप द्वारा संकुचित और रेडियन में व्यक्त किया जाता है, तो चाप O के केंद्र के सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण C (चित्र 176, a) के केंद्र की स्थिति ज्ञात है सूत्र द्वारा निर्धारित:
(5) एक्स सी = (आर पाप α)/α।

यदि चाप की जीवा AB=b दी गई है, तो सूत्र (5) में प्रतिस्थापन करना संभव है
sinα = b/(2r)
और फिर
(5ए) एक्स सी = बी/(2α)।

अर्धवृत्त के लिए एक विशेष मामले में, दोनों सूत्र रूप लेंगे (चित्र। 176, बी):
(5बी) एक्स सी = ओसी = 2आर/π = डी/π।

वृत्तीय त्रिज्यखंड के गुरुत्व केंद्र की स्थिति, यदि इसकी त्रिज्या r दी गई है (चित्र 176, c), सूत्र का उपयोग करके निर्धारित की जाती है:
(6) एक्स सी = (2आर पाप α)/(3α)।

यदि त्रिज्यखंड की जीवा दी हो, तो:
(6ए) एक्स सी = बी/(3α)।

अर्धवृत्त के लिए एक विशेष स्थिति में, दोनों अंतिम सूत्र रूप लेंगे (चित्र 176, डी)
(6बी) एक्स सी = ओसी = 4आर/(3π) = 2डी/(3π)।

किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल का गुरुत्वाकर्षण केंद्र किसी भी तरफ से संबंधित ऊंचाई के एक तिहाई के बराबर दूरी पर स्थित होता है।

एक समकोण त्रिभुज में, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र पैरों की लंबाई के एक तिहाई की दूरी पर स्थित बिंदुओं से पैरों तक उठाए गए लंबवत के चौराहे पर होता है, जो समकोण के ऊपर से गिना जाता है (चित्र 177)।

किसी भी सजातीय शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने के लिए समस्याओं को हल करते समय, या तो पतली छड़ (रेखाओं), या प्लेटों (क्षेत्रों), या मात्राओं से बना होता है, निम्नलिखित क्रम का पालन करने की सलाह दी जाती है:

1) एक पिंड खींचना, जिसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने की आवश्यकता है। चूंकि शरीर के सभी आयामों को आमतौर पर जाना जाता है, इसलिए पैमाने का अवलोकन किया जाना चाहिए;

2) शरीर को घटक भागों (लाइन सेगमेंट या क्षेत्रों, या वॉल्यूम) में तोड़ दें, गुरुत्वाकर्षण के केंद्रों की स्थिति शरीर के आकार के आधार पर निर्धारित की जाती है;

3) या तो लंबाई, या क्षेत्र, या घटक भागों की मात्रा निर्धारित करें;

4) समन्वय अक्षों का स्थान चुनें;

5) घटक भागों के गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक निर्धारित करें;

6) अलग-अलग हिस्सों की लंबाई या क्षेत्रों या आयतन के मूल्यों के साथ-साथ उनके गुरुत्वाकर्षण केंद्रों के निर्देशांक को उपयुक्त सूत्रों में बदलें और पूरे शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक की गणना करें;

7) पाए गए निर्देशांक के अनुसार, आकृति में शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति को इंगित करें।

§ 23. पतली सजातीय छड़ों से बने पिंड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति का निर्धारण

24. प्लेटों से बनी आकृतियों के गुरुत्व केंद्र की स्थिति का निर्धारण

पिछली समस्या में, साथ ही पिछले पैराग्राफ में दी गई समस्याओं में, आंकड़ों को घटक भागों में विभाजित करने से अधिक कठिनाई नहीं होती है। लेकिन कभी-कभी आकृति का ऐसा रूप होता है जो आपको इसे इसके घटक भागों में कई तरीकों से विभाजित करने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय कट के साथ एक पतली आयताकार प्लेट (चित्र। 183)। ऐसी प्लेट के गुरुत्वाकर्षण केंद्र की स्थिति का निर्धारण करते समय, इसके क्षेत्रफल को चार आयतों (1, 2, 3 और 4) और एक समकोण त्रिभुज 5 में कई तरह से विभाजित किया जा सकता है। अंजीर में दो विकल्प दिखाए गए हैं। 183, ए और बी।

सबसे तर्कसंगत वह तरीका है जिसमें आकृति को उसके घटक भागों में विभाजित किया जाता है, जिसमें उनमें से सबसे छोटी संख्या बनती है। यदि आकृति में कटआउट हैं, तो उन्हें आकृति के घटक भागों की संख्या में भी शामिल किया जा सकता है, लेकिन कटे हुए भाग का क्षेत्र नकारात्मक माना जाता है। इसलिए, इस विभाजन को नकारात्मक क्षेत्रों की विधि कहा जाता है।

अंजीर में प्लेट। 183, c को इस पद्धति का उपयोग करके केवल दो भागों में विभाजित किया गया है: आयत 1 पूरी प्लेट के क्षेत्रफल के साथ, मानो वह पूरी हो, और त्रिभुज 2 उस क्षेत्र के साथ जिसे हम नकारात्मक मानते हैं।

§ 26. एक साधारण ज्यामितीय आकार वाले भागों से बने शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति का निर्धारण

सरल ज्यामितीय आकार वाले भागों से बने शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति निर्धारित करने की समस्याओं को हल करने के लिए, रेखाओं या क्षेत्रों से बने आंकड़ों के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के निर्देशांक निर्धारित करने का कौशल होना आवश्यक है। .

एक मनमाना शरीर के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को उसके अलग-अलग हिस्सों पर अभिनय करने वाले बलों को क्रमिक रूप से जोड़कर निर्धारित करना एक कठिन काम है; यह केवल तुलनात्मक रूप से सरल रूप के निकायों के लिए सुविधाजनक है।

मान लें कि पिंड केवल दो भारों का द्रव्यमान है और एक छड़ से जुड़ा हुआ है (चित्र 125)। यदि छड़ का द्रव्यमान द्रव्यमान की तुलना में छोटा है और, तो इसे उपेक्षित किया जा सकता है। प्रत्येक द्रव्यमान क्रमशः और के बराबर गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित होता है; उन दोनों को लंबवत रूप से नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है, अर्थात एक दूसरे के समानांतर। जैसा कि हम जानते हैं, दो समानांतर बलों के परिणाम को बिंदु पर लागू किया जाता है, जो कि शर्त से निर्धारित होता है

चावल। 125. दो भार वाले पिंड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र का निर्धारण

इसलिए, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र दो भारों के बीच की दूरी को उनके द्रव्यमान के अनुपात के विपरीत अनुपात में विभाजित करता है। यदि यह पिंड किसी बिंदु पर लटका दिया जाए, तो यह संतुलन में बना रहेगा।

चूँकि दो समान द्रव्यमानों के बीच की दूरी को आधे में विभाजित करने वाले बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण का एक सामान्य केंद्र होता है, इसलिए यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि, उदाहरण के लिए, एक सजातीय छड़ का गुरुत्वाकर्षण केंद्र छड़ के बीच में होता है (चित्र 126)। )

चूंकि एक सजातीय गोल डिस्क का कोई भी व्यास इसे दो पूरी तरह से समान सममित भागों (चित्र। 127) में विभाजित करता है, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र प्रत्येक डिस्क व्यास पर होना चाहिए, अर्थात व्यास के चौराहे के बिंदु पर - के ज्यामितीय केंद्र में डिस्क। इसी तरह से तर्क करते हुए, हम पा सकते हैं कि एक सजातीय गेंद का गुरुत्वाकर्षण केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र में होता है, एक समरूप आयताकार समानांतर चतुर्भुज का गुरुत्वाकर्षण केंद्र इसके विकर्णों के चौराहे पर स्थित होता है, आदि। एक घेरा के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र या वलय इसके केंद्र में स्थित है। अंतिम उदाहरण से पता चलता है कि किसी पिंड का गुरुत्वाकर्षण केंद्र शरीर के बाहर स्थित हो सकता है।

चावल। 126. एक समांगी छड़ का गुरुत्व केंद्र उसके मध्य में होता है

चावल। 127. एक समांगी डिस्क का केंद्र इसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है

यदि शरीर का आकार अनियमित है या यदि यह अमानवीय है (उदाहरण के लिए, इसमें रिक्तियां हैं), तो गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति की गणना अक्सर मुश्किल होती है और यह स्थिति अनुभव के माध्यम से खोजने में अधिक सुविधाजनक होती है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, प्लाईवुड के एक टुकड़े के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने की आवश्यकता है। आइए इसे एक धागे पर लटका दें (चित्र 128)। जाहिर है, संतुलन की स्थिति में, शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र धागे की निरंतरता पर होना चाहिए, अन्यथा गुरुत्वाकर्षण बल का निलंबन बिंदु के सापेक्ष एक क्षण होगा, जो शरीर को घुमाना शुरू कर देगा। इसलिए, हमारे प्लाईवुड के टुकड़े पर एक सीधी रेखा खींचते हुए, धागे की निरंतरता का प्रतिनिधित्व करते हुए, हम दावा कर सकते हैं कि गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस सीधी रेखा पर स्थित है।

वास्तव में, पिंड को विभिन्न बिंदुओं पर लटकाकर और लंबवत रेखाएँ खींचकर, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि वे सभी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें। यह बिंदु शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है (क्योंकि यह ऐसी सभी रेखाओं पर एक साथ होना चाहिए)। इसी तरह, कोई न केवल एक सपाट आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति का निर्धारण कर सकता है, बल्कि एक अधिक जटिल शरीर का भी निर्धारण कर सकता है। विमान के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति को स्केल प्लेटफॉर्म पर पहियों के साथ घुमाकर निर्धारित किया जाता है। प्रत्येक पहिये पर भार बलों के परिणाम को लंबवत रूप से निर्देशित किया जाएगा, और आप उस रेखा को पा सकते हैं जिसके साथ यह समानांतर बलों के योग के नियम द्वारा कार्य करता है।

चावल। 128. निलंबन के बिंदुओं के माध्यम से खींची गई लंबवत रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु शरीर के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है

जब शरीर के अलग-अलग हिस्सों का द्रव्यमान बदलता है या जब शरीर का आकार बदलता है, तो गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की स्थिति बदल जाती है। इसलिए, जब टैंक से ईंधन की खपत होती है, जब सामान लोड होता है, आदि एक विमान के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र चलता है। शरीर के आकार में परिवर्तन होने पर गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गति को दर्शाने वाले एक दृश्य प्रयोग के लिए, इसे लेना सुविधाजनक है। एक काज से जुड़ी दो समान छड़ें (चित्र। 129)। मामले में जब बार एक दूसरे की निरंतरता बनाते हैं, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र सलाखों के अक्ष पर स्थित होता है। यदि सलाखों को टिका पर झुकाया जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र सलाखों के बाहर होता है, कोण के द्विभाजक पर वे बनते हैं। यदि किसी एक छड़ पर अतिरिक्त भार डाला जाता है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र इस भार की ओर बढ़ जाएगा।