मूल से तल तक की दूरी सूत्र है। मूल से समतल की दूरी (सबसे छोटी)। एक बिंदु से एक समतल की दूरी ज्ञात करने के उदाहरण

इस लेख में, हम एक बिंदु से एक विमान की दूरी की परिभाषा देंगे और समन्वय विधि का विश्लेषण करेंगे जो आपको किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान तक की दूरी को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में खोजने की अनुमति देता है। सिद्धांत की प्रस्तुति के बाद, हम कई विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

एक बिंदु से एक विमान की दूरी एक परिभाषा है।

एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी के माध्यम से निर्धारित किया जाता है, जिनमें से एक दिया गया बिंदु है, और दूसरा किसी दिए गए विमान पर दिए गए बिंदु का प्रक्षेपण है।

मान लीजिए कि एक बिंदु एम 1 और एक विमान त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिया गया है। आइए बिंदु M 1 से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं, जो समतल पर लंबवत है। आइए रेखा a और समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु को H 1 के रूप में निरूपित करें। खंड एम 1 एच 1 कहा जाता है सीधा, बिंदु M 1 से समतल पर उतारा गया, और बिंदु H 1 - लंबवत का आधार.

परिभाषा।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान पर खींचे गए लंबवत के आधार की दूरी है।

एक बिंदु से एक तल तक की दूरी की परिभाषा निम्नलिखित रूप में अधिक सामान्य है।

परिभाषा।

बिंदु से विमान की दूरीकिसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान पर गिराए गए लंबवत की लंबाई है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस तरह से निर्धारित बिंदु एम 1 से विमान तक की दूरी, दिए गए बिंदु एम 1 से विमान के किसी भी बिंदु तक की दूरी में सबसे छोटी है। वास्तव में, मान लीजिए कि बिंदु H 2 समतल में स्थित है और बिंदु H 1 से भिन्न है। जाहिर है, त्रिभुज एम 2 एच 1 एच 2 आयताकार है, इसमें एम 1 एच 1 एक पैर है, और एम 1 एच 2 कर्ण है, इसलिए, . वैसे, खंड एम 1 एच 2 कहा जाता है परोक्षबिंदु M 1 से समतल की ओर खींचा गया। इसलिए, किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान पर गिराया गया लंब हमेशा उसी बिंदु से किसी दिए गए विमान पर खींचे गए झुकाव से कम होता है।

एक बिंदु से एक विमान की दूरी - सिद्धांत, उदाहरण, समाधान।

समाधान के किसी चरण में कुछ ज्यामितीय समस्याओं के लिए एक बिंदु से एक तल तक की दूरी ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। इसके लिए विधि का चयन स्रोत डेटा के आधार पर किया जाता है। आमतौर पर, परिणाम या तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग होता है, या समानता और त्रिभुजों की समानता के संकेत होते हैं। यदि आपको किसी बिंदु से विमान तक की दूरी ज्ञात करने की आवश्यकता है, जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दी गई है, तो समन्वय विधि बचाव के लिए आती है। लेख के इस पैराग्राफ में, हम इसका विश्लेषण करेंगे।

सबसे पहले, हम समस्या की स्थिति तैयार करते हैं।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में ऑक्सीज़ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक बिंदु दिया जाता है , समतल है और बिंदु M 1 से तल तक की दूरी ज्ञात करना आवश्यक है।

आइए इस समस्या को हल करने के दो तरीकों को देखें। पहली विधि जो आपको एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी की गणना करने की अनुमति देती है, बिंदु एच 1 के निर्देशांक खोजने पर आधारित है - बिंदु एम 1 से विमान तक गिराए गए लंबवत का आधार, और फिर बीच की दूरी की गणना करना अंक एम 1 और एच 1। किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान की दूरी ज्ञात करने का दूसरा तरीका किसी दिए गए विमान के लिए सामान्य समीकरण का उपयोग करना शामिल है।

एक बिंदु से दूरी की गणना करने का पहला तरीका विमान को।

मान लीजिए H 1 बिंदु M 1 से तल पर खींचे गए लंब का आधार है। यदि हम बिंदु एच 1 के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, तो बिंदु एम 1 से विमान तक आवश्यक दूरी की गणना बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में की जा सकती है। और सूत्र के अनुसार। इस प्रकार, यह बिंदु एच 1 के निर्देशांक खोजने के लिए बनी हुई है।

इसलिए, एक बिंदु से दूरी खोजने के लिए एल्गोरिथ्म विमान तकअगला:

एक बिंदु से दूरी खोजने के लिए उपयुक्त दूसरी विधि विमान को।

चूंकि हमें आयताकार निर्देशांक प्रणाली ऑक्सीज में एक विमान दिया गया है, हम विमान के सामान्य समीकरण को रूप में प्राप्त कर सकते हैं। तब बिंदु से दूरी विमान की गणना सूत्र द्वारा की जाती है। एक बिंदु से एक समतल की दूरी ज्ञात करने के लिए इस सूत्र की वैधता निम्नलिखित प्रमेय द्वारा स्थापित की जाती है।

प्रमेय।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सीज को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में तय करने दें, एक बिंदु और रूप के तल का सामान्य समीकरण। बिंदु एम 1 से विमान तक की दूरी विमान के सामान्य समीकरण के बाईं ओर अभिव्यक्ति के मूल्य के पूर्ण मूल्य के बराबर है, जिसकी गणना की जाती है, यानी।

प्रमाण।

इस प्रमेय का प्रमाण एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी का पता लगाने वाले खंड में दिए गए समान प्रमेय के प्रमाण के समान है।

यह दिखाना आसान है कि बिंदु एम 1 से विमान की दूरी संख्यात्मक प्रक्षेपण एम 1 और मूल से विमान की दूरी के बीच के अंतर के मापांक के बराबर है, अर्थात, , कहाँ पे - समतल का सामान्य सदिश , एक के बराबर होता है, - वेक्टर द्वारा निर्धारित दिशा में।

और परिभाषा के अनुसार है, लेकिन समन्वय के रूप में। इसलिए, और जैसा कि साबित करने के लिए आवश्यक है।

इस प्रकार, बिंदु से दूरी विमान के सामान्य समीकरण के बाईं ओर x, y और z के बजाय बिंदु M 1 के निर्देशांक x 1, y 1 और z 1 को प्रतिस्थापित करके और प्राप्त मूल्य का निरपेक्ष मान लेकर विमान की गणना की जा सकती है .

एक बिंदु से दूरी खोजने के उदाहरण विमान को।

उदाहरण।

बिंदु से दूरी का पता लगाएं विमान को।

फेसला।

पहला तरीका।

समस्या की स्थिति में, हमें रूप के तल का एक सामान्य समीकरण दिया जाता है, जिससे यह देखा जा सकता है कि इस विमान का सामान्य वेक्टर है। इस वेक्टर को दिए गए विमान के लंबवत सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के रूप में लिया जा सकता है। तब हम बिंदु से गुजरने वाली अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण लिख सकते हैं और निर्देशांक के साथ एक दिशा वेक्टर है, वे जैसे दिखते हैं।

आइए रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना प्रारंभ करें और विमान। आइए इसे एच 1 निरूपित करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले सीधी रेखा के विहित समीकरणों से दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों में संक्रमण करते हैं:

आइए अब समीकरणों के सिस्टम को हल करते हैं (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें)। हम प्रयोग करते हैं:

इस प्रकार, ।

यह किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान के लिए आवश्यक दूरी की गणना बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में करना बाकी है और :
.

दूसरा उपाय।

आइए दिए गए विमान का सामान्य समीकरण प्राप्त करें। ऐसा करने के लिए, हमें विमान के सामान्य समीकरण को सामान्य रूप में लाना होगा। सामान्यीकरण कारक निर्धारित करने के बाद , हम विमान का सामान्य समीकरण प्राप्त करते हैं . यह परिणामी समीकरण के बाईं ओर के मूल्य की गणना करने के लिए बनी हुई है और प्राप्त मूल्य का मॉड्यूल लें - यह बिंदु से वांछित दूरी देगा शीर्ष लेन:

इसलिए मैंने इस पेज पर कुछ पढ़ा (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

डी = - डी3डीएक्सवीईसी3डॉट(&vP1, &vNormal);

जहाँ vP1 समतल पर एक बिंदु है और vNormal समतल का अभिलम्ब है। मैं उत्सुक हूं कि यह आपको दुनिया की शुरुआत से दूरी कैसे देता है क्योंकि परिणाम हमेशा 0 होगा। इसके अलावा, स्पष्ट होने के लिए (चूंकि मैं अभी भी 2 डी समीकरण के डी भाग पर थोड़ा धुंधला हूं), डी है 2डी समीकरण में विमान की शुरुआत से पहले दुनिया की शुरुआत के माध्यम से रेखा से दूरी?

गणित

3 उत्तर

6

सामान्य तौर पर, एक बिंदु p और एक समतल के बीच की दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

कहाँ पे -डॉट उत्पाद संचालन

= ax*bx + ay*by + az*bz

और जहाँ p0 समतल में एक बिंदु है।

यदि n की इकाई लंबाई है, तो वेक्टर के बीच डॉट उत्पाद और यह सामान्य पर वेक्टर के प्रक्षेपण की (हस्ताक्षरित) लंबाई है

आपके द्वारा रिपोर्ट किया गया सूत्र केवल एक विशेष मामला है जहां बिंदु p मूल बिंदु है। इस मामले में

दूरी = = -

यह समानता तकनीकी रूप से गलत है क्योंकि डॉट उत्पाद वैक्टर के बारे में है, अंक नहीं ... लेकिन फिर भी संख्यात्मक रूप से धारण करता है। एक स्पष्ट सूत्र लिखकर, आपको यह मिलता है

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

यह वैसा ही है जैसा

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

परिणाम हमेशा शून्य नहीं होता है। परिणाम शून्य तभी होगा जब विमान मूल बिंदु से होकर गुजरेगा। (यहाँ, मान लेते हैं कि विमान मूल स्थान से नहीं गुजरता है।)

मूल रूप से, आपको विमान के मूल बिंदु से किसी बिंदु तक एक रेखा दी जाती है। (यानी आपके पास मूल से vP1 तक एक वेक्टर है)। इस वेक्टर के साथ समस्या यह है कि यह सबसे अधिक तिरछा है और विमान के निकटतम बिंदु के बजाय विमान पर किसी दूर के स्थान पर जा रहा है। इसलिए यदि आपने अभी-अभी vP1 की लंबाई ली है, तो आपको बहुत अधिक दूरी मिल जाएगी।

आपको जो करने की ज़रूरत है वह कुछ वेक्टर पर वीपी 1 का प्रक्षेपण प्राप्त करना है जिसे आप जानते हैं कि विमान के लंबवत है। यह, निश्चित रूप से, vNormal है। तो vP1 और vNormal का डॉट उत्पाद लें और इसे vNormal की लंबाई से विभाजित करें और आपके पास आपका उत्तर है। (यदि वे आपको एक vNormal देने के लिए पर्याप्त हैं जो पहले से ही एक परिमाण है, तो विभाजित करने की कोई आवश्यकता नहीं है।)

1

आप इस समस्या को लैग्रेंज मल्टीप्लायरों से हल कर सकते हैं:

आप जानते हैं कि विमान का निकटतम बिंदु इस तरह दिखना चाहिए:

सी = पी + वी

जहाँ c निकटतम बिंदु है और v समतल के अनुदिश एक सदिश है (जो इस प्रकार n के अभिलंब से लंबकोणीय है)। आप c को सबसे छोटे मानदंड (या चुकता मानदंड) के साथ खोजने का प्रयास कर रहे हैं। तो आप डॉट (सी, सी) को तब तक कम करने की कोशिश कर रहे हैं जब तक वी ऑर्थोगोनल से एन (इस प्रकार डॉट (वी, एन) = 0) है।

इस प्रकार, लग्रांगियन सेट करें:

एल = डॉट (सी, सी) + लैम्ब्डा * (डॉट (वी, एन)) एल = डॉट (पी + वी, पी + वी) + लैम्ब्डा * (डॉट (वी, एन)) एल = डॉट (पी, पी) + 2 * डॉट (पी, वी) + डॉट (वी, वी) * लैम्ब्डा * (डॉट (वी, एन))

और प्राप्त करने के लिए v (और सेट 0) के संबंध में व्युत्पन्न लें:

2 * पी + 2 * वी + लैम्ब्डा * एन = 0

आप लैम्ब्डा के लिए उपरोक्त समीकरण में बिंदीदार द्वारा हल कर सकते हैं, दोनों पक्षों को n पर प्राप्त करने के लिए उत्पादन कर सकते हैं

2 * डॉट (पी, एन) + 2 * डॉट (वी, एन) + लैम्ब्डा * डॉट (एन, एन) = 0 2 * डॉट (पी, एन) + लैम्ब्डा = 0 लैम्ब्डा = - 2 * डॉट (पी, एन ) )

फिर से ध्यान दें कि dot(n,n) = 1 और dot(v,n) = 0 (चूंकि v समतल में है और n इसके लिए ओर्थोगोनल है)। स्थानापन्न लैम्ब्डा फिर प्राप्त करने के लिए वापस आता है:

2 * पी + 2 * वी - 2 * डॉट (पी, एन) * एन = 0

और v प्राप्त करने के लिए हल करें:

वी = डॉट (पी, एन) * एन - पी

फिर इसे वापस पाने के लिए c = p + v में प्लग करें:

सी = डॉट (पी, एन) * एन

इस वेक्टर की लंबाई है |dot(p,n)| , और चिन्ह आपको बताता है कि बिंदु मूल से सामान्य सदिश की दिशा में है, या मूल से विपरीत दिशा में है।

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यह लेख एक बिंदु से एक विमान की दूरी निर्धारित करने के बारे में बात करता है। आइए समन्वय विधि का विश्लेषण करें, जो हमें त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु से दूरी खोजने की अनुमति देगा। समेकित करने के लिए, कई कार्यों के उदाहरणों पर विचार करें।

एक बिंदु से एक विमान की दूरी एक बिंदु से एक बिंदु तक ज्ञात दूरी के माध्यम से पाई जाती है, जहां उनमें से एक दिया जाता है, और दूसरा किसी दिए गए विमान पर प्रक्षेपण होता है।

जब समतल वाला एक बिंदु M 1 अंतरिक्ष में दिया जाता है, तो बिंदु से होकर समतल पर लंबवत एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। एच 1 उनके चौराहे का एक सामान्य बिंदु है। यहां से हम पाते हैं कि खंड एम 1 एच 1 एक लंबवत है, जो बिंदु एम 1 से विमान χ तक खींचा गया था, जहां बिंदु एच 1 लंबवत का आधार है।

परिभाषा 1

वे किसी दिए गए बिंदु से उस लंब के आधार तक की दूरी कहते हैं, जो किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान तक खींची गई थी।

परिभाषा को विभिन्न योगों में लिखा जा सकता है।

परिभाषा 2

बिंदु से विमान की दूरीलंब की लंबाई कहलाती है, जो किसी दिए गए बिंदु से दिए गए तल पर खींची गई थी।

बिंदु M 1 से समतल तक की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: बिंदु M 1 से समतल तक की दूरी किसी दिए गए बिंदु से विमान के किसी भी बिंदु तक सबसे छोटी होगी। यदि बिंदु H 2 तल में स्थित है और बिंदु H 2 के बराबर नहीं है, तो हमें M 2 H 1 H 2 के रूप का एक समकोण त्रिभुज प्राप्त होता है। , जो आयताकार है, जहां एक पैर एम 2 एच 1, एम 2 एच 2 . है - कर्ण। इसलिए, इसका मतलब है कि एम 1 एच 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 झुका हुआ माना जाता है, जो बिंदु M 1 से समतल तक खींचा जाता है। हमारे पास यह है कि किसी दिए गए बिंदु से एक विमान पर खींचा गया लंबवत एक बिंदु से दिए गए विमान पर खींचे गए झुकाव से कम होता है। नीचे दिए गए चित्र में इस मामले पर विचार करें।

एक बिंदु से एक समतल की दूरी - सिद्धांत, उदाहरण, समाधान

कई ज्यामितीय समस्याएं हैं जिनके समाधान में एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी होनी चाहिए। इसका पता लगाने के तरीके अलग हो सकते हैं। हल करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय या त्रिभुजों की समानता का उपयोग करें। जब, शर्त के अनुसार, त्रि-आयामी अंतरिक्ष के आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए बिंदु से विमान तक की दूरी की गणना करना आवश्यक होता है, तो वे समन्वय विधि का उपयोग करके हल करते हैं। यह पैराग्राफ इस पद्धति से संबंधित है।

समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास त्रि-आयामी अंतरिक्ष में निर्देशांक एम 1 (x 1, y 1, z 1) के साथ विमान χ के साथ दिया गया है, एम 1 से दूरी निर्धारित करना आवश्यक है विमान . हल करने के लिए कई समाधानों का उपयोग किया जाता है।

पहला तरीका

यह विधि बिंदु H 1 के निर्देशांक का उपयोग करके एक बिंदु से एक विमान की दूरी खोजने पर आधारित है, जो बिंदु M 1 से विमान के लंबवत का आधार है। अगला, आपको एम 1 और एच 1 के बीच की दूरी की गणना करने की आवश्यकता है।

समस्या को दूसरे तरीके से हल करने के लिए, किसी दिए गए विमान के सामान्य समीकरण का उपयोग किया जाता है।

दूसरा रास्ता

शर्त के अनुसार, हमारे पास एच 1 लंबवत का आधार है, जिसे बिंदु एम 1 से विमान χ तक कम किया गया था। फिर हम बिंदु H 1 के निर्देशांक (x 2, y 2, z 2) निर्धारित करते हैं। एम 1 से विमान तक की वांछित दूरी सूत्र एम 1 एच 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 द्वारा पाई जाती है, जहाँ M 1 (x 1, y 1, z 1) और H 1 (x 2 , y 2 , z 2) । हल करने के लिए, आपको बिंदु एच 1 के निर्देशांक जानने की जरूरत है।

हमारे पास यह है कि H 1 रेखा a के साथ समतल χ का प्रतिच्छेदन बिंदु है, जो समतल के लंबवत स्थित बिंदु M 1 से होकर जाता है। यह इस प्रकार है कि किसी दिए गए विमान के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण बनाना आवश्यक है। यह तब है कि हम बिंदु H 1 के निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं। रेखा और विमान के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक की गणना करना आवश्यक है।

निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) वाले बिंदु से तल तक की दूरी ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम:

परिभाषा 3

• एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें जो बिंदु M 1 से होकर गुजरती है और उसी समय
• तल के लंबवत;
• बिंदु H 1 के निर्देशांक (x 2, y 2, z 2) खोजें और परिकलित करें, जो बिंदु हैं
• समतल के साथ रेखा a का प्रतिच्छेदन;
• एम 1 से तक की दूरी की गणना सूत्र एम 1 एच 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 का उपयोग करके करें।

तीसरा रास्ता

दिए गए आयताकार निर्देशांक प्रणाली में O x y z एक समतल है, तो हमें cos α · x + cos β · y + cos · z - p = 0 के रूप के तल का एक सामान्य समीकरण प्राप्त होता है। यहाँ से हम पाते हैं कि बिंदु M 1 (x 1 , y 1 , z 1) के साथ दूरी M 1 H 1 विमान तक खींची गई है, जिसकी गणना सूत्र M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos द्वारा की जाती है। जेड-पी। यह सूत्र मान्य है, क्योंकि यह प्रमेय के लिए धन्यवाद स्थापित किया गया है।

प्रमेय

यदि एक बिंदु M 1 (x 1 , y 1, z 1) त्रि-आयामी स्थान में दिया गया है, जिसमें cos α x + cos β y + cos z - p = 0 के रूप के तल का एक सामान्य समीकरण है, फिर बिंदु से समतल M 1 H 1 तक की दूरी की गणना सूत्र M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p से की जाती है, क्योंकि x = x 1 , y = y 1 , जेड = जेड 1।

प्रमाण

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात करने के लिए प्रमेय का प्रमाण घटाया जाता है। यहां से हम पाते हैं कि एम 1 से विमान की दूरी त्रिज्या वेक्टर एम 1 के संख्यात्मक प्रक्षेपण के बीच मूल से χ विमान की दूरी के बीच अंतर का मापांक है। तब हमें व्यंजक M 1 H 1 = n p n → O M → - p प्राप्त होता है। समतल χ के सामान्य सदिश का रूप n → = cos α , cos β , cos होता है, और इसकी लंबाई एक के बराबर होती है, n p n → O M → वेक्टर O M → = (x 1 , y 1 का संख्यात्मक प्रक्षेपण है। , z 1) वेक्टर n → द्वारा निर्धारित दिशा में।

आइए अदिश सदिशों की गणना के लिए सूत्र लागू करें। तब हम n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → के रूप का एक सदिश ज्ञात करने के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं, क्योंकि n → = cos α , cos β , cos z और ओ एम → = (एक्स 1 , वाई 1 , जेड 1)। संकेतन का निर्देशांक रूप n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos z 1 का रूप लेगा, फिर M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos · z 1 - p। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

यहाँ से हम पाते हैं कि बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) से समतल χ तक की दूरी की गणना समतल cos α x + cos β y + cos के सामान्य समीकरण के बाईं ओर रखकर की जाती है। z - p = 0 के बजाय x, y, z निर्देशांक x 1 , y 1 और जेड 1बिंदु एम 1 से संबंधित, प्राप्त मूल्य का पूर्ण मूल्य लेना।

किसी दिए गए विमान के निर्देशांक के साथ एक बिंदु से दूरी खोजने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

निर्देशांक M 1 (5 , - 3 , 10) से समतल 2 x - y + 5 z - 3 = 0 तक बिंदु से दूरी की गणना करें।

फेसला

आइए समस्या को दो तरीकों से हल करें।

पहली विधि ए लाइन के दिशा वेक्टर की गणना करके शुरू होगी। शर्त के अनुसार, हमारे पास दिया गया समीकरण 2 x - y + 5 z - 3 = 0 एक सामान्य समतल समीकरण है, और n → = (2 , - 1, 5) दिए गए तल का सामान्य सदिश है। इसका उपयोग सीधी रेखा a के लिए एक निर्देशन वेक्टर के रूप में किया जाता है, जो दिए गए विमान के लंबवत है। आपको निर्देशांक 2, - 1, 5 के साथ दिशा सदिश के साथ M 1 (5, - 3, 10) से गुजरने वाली अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का विहित समीकरण लिखना चाहिए।

समीकरण x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 जैसा दिखेगा।

चौराहे के बिंदुओं को परिभाषित किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, विहित से दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समीकरणों में संक्रमण के लिए समीकरणों को धीरे से एक प्रणाली में संयोजित करें। आइए इस बिंदु को H 1 के रूप में लें। हमें वह मिलता है

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

फिर आपको सिस्टम को सक्षम करने की आवश्यकता है

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

आइए हम गॉस के अनुसार प्रणाली को हल करने के नियम की ओर मुड़ें:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

हमें वह H 1 (1, - 1, 0) प्राप्त होता है।

हम किसी दिए गए बिंदु से विमान तक की दूरी की गणना करते हैं। हम अंक M 1 (5, - 3, 10) और H 1 (1, - 1, 0) लेते हैं और प्राप्त करते हैं

एम 1 एच 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

दूसरा उपाय यह है कि पहले दिए गए समीकरण 2 x - y + 5 z - 3 = 0 को सामान्य रूप में लाया जाए। हम सामान्यीकरण कारक निर्धारित करते हैं और 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 प्राप्त करते हैं। यहाँ से हम समतल 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 का समीकरण प्राप्त करते हैं। समीकरण के बाईं ओर x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 को प्रतिस्थापित करके गणना की जाती है, और आपको M 1 (5, - 3, 10) से 2 x - y + तक की दूरी तय करने की आवश्यकता होती है। 5 z - 3 = 0 मोडुलो। हमें अभिव्यक्ति मिलती है:

एम 1 एच 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

उत्तर: 2 30.

जब प्लेन को प्लेन डेफिनिशन मेथड्स सेक्शन में से किसी एक मेथड द्वारा दिया जाता है, तो आपको सबसे पहले प्लेन का इक्वेशन प्राप्त करना होगा और किसी भी मेथड का उपयोग करके वांछित दूरी की गणना करनी होगी।

उदाहरण 2

निर्देशांक एम 1 (5, - 3, 10), ए (0, 2, 1), बी (2, 6, 1), सी (4, 0, -1) के साथ बिंदु त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सेट हैं। एम 1 से विमान ए बी सी की दूरी की गणना करें।

फेसला

सबसे पहले आपको दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के समीकरण को निर्देशांक M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4 , 0 , - एक)।

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 2x - y + 5z - 3 = 0

यह इस प्रकार है कि समस्या का समाधान पिछले एक के समान है। अत: बिंदु M 1 से समतल A B C की दूरी 2 30 है।

उत्तर: 2 30.

किसी समतल या समतल पर दिए गए बिंदु से दूरी ज्ञात करना, जिसके वे समानांतर हैं, सूत्र M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p को लागू करके अधिक सुविधाजनक है। . यहाँ से हम पाते हैं कि तलों के अभिलंब समीकरण कई चरणों में प्राप्त होते हैं।

उदाहरण 3

निर्देशांक M 1 (-3, 2, - 7) वाले किसी दिए गए बिंदु से निर्देशांक तल O x y z और समीकरण 2 y-5 = 0 द्वारा दिए गए तल की दूरी ज्ञात कीजिए।

फेसला

निर्देशांक तल O y z, x = 0 के रूप के समीकरण के संगत है। O yz तल के लिए, यह सामान्य है। इसलिए, मान x \u003d - 3 को अभिव्यक्ति के बाईं ओर स्थानापन्न करना आवश्यक है और बिंदु से दूरी का निरपेक्ष मान निर्देशांक M 1 (- 3, 2, - 7) से विमान तक ले जाना आवश्यक है। . हमें - 3 = 3 के बराबर मान मिलता है।

परिवर्तन के बाद, समतल 2 y - 5 = 0 का सामान्य समीकरण y - 5 2 = 0 का रूप ले लेगा। तब आप निर्देशांक M 1 (- 3 , 2 , - 7) वाले बिंदु से समतल 2 y - 5 = 0 तक आवश्यक दूरी ज्ञात कर सकते हैं। प्रतिस्थापित करने और परिकलित करने पर हमें 2 - 5 2 = 5 2 - 2 प्राप्त होता है।

जवाब: M 1 (- 3 , 2 , - 7) से O y z तक की वांछित दूरी का मान 3 है, और 2 y - 5 = 0 का मान 5 2 - 2 है।

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