मैपिंग सेट करें. फ़ंक्शंस मैपिंग सामान्य अवधारणाओं, फ़ंक्शंस, बुनियादी परिभाषाओं को सेट करता है
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ट्विटरपत्र-व्यवहारसमुच्चय A और B के बीच उनके कार्तीय गुणनफल का एक उपसमुच्चय है
दूसरे शब्दों में, जोड़े सेट ए = () और बी = () के बीच एक पत्राचार को परिभाषित करते हैं, यदि नियम आर निर्दिष्ट किया गया है, जिसके अनुसार सेट बी से एक तत्व सेट ए के एक तत्व के लिए चुना जाता है।
यदि कोई तत्व किसी तत्व से जुड़ा है, तो b कहा जाता है रास्तातत्व ए और इस प्रकार लिखा गया है: बी = आर (ए)। तब - प्रोटोटाइपतत्व, जिसमें विशिष्टता और पूर्णता के गुण हैं:
1. प्रत्येक प्रोटोटाइप एक एकल छवि से मेल खाता है;
2. छवि पूर्ण होनी चाहिए, जैसे प्रोटोटाइप पूर्ण होना चाहिए।
उदाहरण।यदि A परवलयों का एक समूह है, B एक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है, और R "परवलय का शीर्ष" है, तो R (a) एक बिंदु है जो परवलय a का शीर्ष है, और इसमें सभी शामिल हैं बिंदु b पर एक शीर्ष के साथ परवलय (चित्र 6)
पत्राचार आर के साथ सेट ए की छवि को कहा जाता है अर्थों का समुच्चयइस पत्राचार को आर (ए) द्वारा दर्शाया जाता है यदि आर (ए) में सेट ए के सभी तत्वों की छवियां शामिल हैं।
कुछ संगतता R के साथ समुच्चय B की व्युत्क्रम छवि कहलाती है परिभाषा का क्षेत्रइस पत्राचार को द्वारा निरूपित किया जाता है। बदले में है रिवर्सआर के लिए मिलान
इस प्रकार, समन्वय विमान के बिंदुओं द्वारा निर्दिष्ट आर के पत्राचार के लिए, परिभाषा का क्षेत्र एब्सिस्सा अक्ष के बिंदुओं का सेट है, और मूल्यों का सेट ऑर्डिनेट अक्ष पर बिंदुओं का प्रक्षेपण है (चित्र) .7). इसलिए, कुछ बिंदु के लिए
एम (एक्स, वाई) वाई एक छवि है, और एक्स कुछ पत्राचार आर के लिए एक उलटा छवि है: वाई = आर (एक्स), सेट एक्स के बीच पत्राचार कार्टेशियन समन्वय विधि का उपयोग करके एक विमान पर एक बिंदु के रूप में सुविधाजनक है।
मान लीजिए कि R और Y=R (X) के बीच पत्राचार दिया गया है। यह निर्देशांक (x; y) के साथ बिंदु M से मेल खाता है (चित्र 7)। फिर मैपिंग आर द्वारा अलग किए गए विमान के बिंदुओं का सेट होगा अनुसूची।
सेटों के बीच पत्राचार का वर्णन करने के लिए, एक सेट से दूसरे सेट की मैपिंग (फ़ंक्शन) की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।
डिस्प्ले सेट करने के लिए आपको निर्दिष्ट करना होगा:
1. वह सेट जिसे मैप किया गया है (किसी दिए गए मानचित्र की परिभाषा का डोमेन, जिसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है);
2. वह सेट जिसमें (पर) परिभाषा के किसी दिए गए डोमेन को मैप किया जाता है (इस मैपिंग के मानों का सेट अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है);
3. इन सेटों के बीच का कानून या पत्राचार, जिसके अनुसार दूसरे सेट के तत्वों (छवियों) को पहले सेट के तत्वों (प्रोटोटाइप, तर्क) के लिए चुना जाता है।
पदनाम: .
डिस्प्ले निर्दिष्ट करने की विधियाँ: विश्लेषणात्मक(सूत्रों के रूप में), तालिका का, ग्राफ़िक(आरेख या ग्राफ़)।
एकल-मूल्यवान मैपिंग (फ़ंक्शन) के दो मुख्य प्रकार हैं। शक्ति के आधार पर उन्हें विभाजित किया गया है विशेषणऔर इंजेक्शन.
1. एक पत्राचार जिसमें सेट ए का प्रत्येक तत्व सेट बी के एक तत्व द्वारा इंगित किया जाता है, और सेट बी के प्रत्येक तत्व को सेट ए के कम से कम एक तत्व द्वारा दर्शाया जा सकता है, सेट ए का मैपिंग कहा जाता है बी सेट करने के लिए(आक्षेप)।
2. एक पत्राचार जिसमें सेट ए का प्रत्येक तत्व सेट बी के एक तत्व से मेल खाता है, और बी का प्रत्येक तत्व ए से अधिकतम एक प्रीइमेज से मेल खाता है, सेट ए का मैपिंग कहा जाता है कई मेंबी (इंजेक्शन).
सेट ए से सेट बी तक की मैपिंग, जिसमें सेट बी का प्रत्येक तत्व सेट ए के एक तत्व से मेल खाता है, कहलाती है एक से एकदो सेटों के बीच पत्राचार, या द्विभाजन.इंजेक्शन और आपत्ति.
समुच्चय सिद्धांत के तत्व
सेट की अवधारणा
गणित में बहुत विविधताएं हैं सेट. हम एक बहुफलक के फलकों के समुच्चय, एक रेखा पर बिंदुओं, प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय आदि के बारे में बात कर सकते हैं। समुच्चय की अवधारणा प्राथमिक अवधारणाओं में से एक है जिसे अन्य, सरल अवधारणाओं के माध्यम से परिभाषित नहीं किया गया है। "सेट" शब्द के स्थान पर वे कभी-कभी "संग्रह", वस्तुओं का "संग्रह" आदि कहते हैं। वे वस्तुएं जो किसी दिए गए सेट को बनाती हैं, दिए गए सेट के तत्व कहलाती हैं।
सेट सिद्धांत मुख्य रूप से किसके अध्ययन के लिए समर्पित है अनंत सेट. लिखित परिमित समुच्चयकई बार बुलाना साहचर्य.
लेकिन समुच्चयों के सबसे सरल गुण, जिनके बारे में हम यहां केवल बात करेंगे, ज्यादातर मामलों में परिमित और अनंत दोनों समुच्चयों पर समान रूप से लागू होते हैं।
ध्यान दें कि गणित में एक ऐसे सेट को विचार के लिए अनुमति दी जाती है जिसमें तत्व नहीं होते - खाली सेट। अभिलेख एÎ X का मतलब है कि एसमुच्चय X का एक तत्व है।
परिभाषा।समुच्चय B को कहा जाता है सबसेटसेट ए यदि सेट बी का प्रत्येक तत्व एक ही समय में सेट ए का एक तत्व है।
सेट ए का प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व उस एक तत्व से मिलकर एक उपसमुच्चय बनाता है। इसके अलावा, खाली सेट हर सेट का एक उपसमुच्चय है।
समुच्चय A का एक उपसमुच्चय कहलाता है तुम्हारा अपना नहीं, यदि यह सेट ए के साथ मेल खाता है।
यदि समुच्चय B, समुच्चय A का एक उपसमुच्चय है, तो हम कहते हैं कि B, A में समाहित है और B Í A को निरूपित करते हैं। समुच्चय A का उपसमुच्चय B कहलाता है अपनाएक उपसमुच्चय यदि B खाली नहीं है और A से मेल नहीं खाता है (अर्थात्, समुच्चय A का एक तत्व है जो B में समाहित नहीं है)।
संचालन सेट करें
माना A और B मनमाना समुच्चय हैं।
परिभाषा।दो सेट ए और बी का मिलन एक सेट सी = एÈबी है, जिसमें सेट ए और बी में से कम से कम एक से संबंधित सभी तत्व शामिल हैं (चित्र 1 देखें)।
किसी भी (सीमित या अनंत) संख्या के सेट का संघ इसी तरह परिभाषित किया गया है: यदि ए मैंमनमाना सेट हैं, तो उनका संघ तत्वों का एक संग्रह है, जिनमें से प्रत्येक सेट ए में से कम से कम एक से संबंधित है मैं.
चित्र.1 चित्र.2
परिभाषा।सेट ए और बी का प्रतिच्छेदन सेट सी = एÇबी है, जिसमें ए और बी दोनों से संबंधित सभी तत्व शामिल हैं (चित्र 2 देखें)। समुच्चय A की किसी भी (परिमित या अनंत) संख्या का प्रतिच्छेदन मैंप्रत्येक समुच्चय A से संबंधित तत्वों का समुच्चय है मैं.
समुच्चयों के मिलन और प्रतिच्छेदन की संक्रियाएँ परिभाषा के अनुसार क्रमविनिमेय और साहचर्य हैं, अर्थात्।
AÈB = B È A, (A ÈB) ÈC = A È (B È C),
ए Ç बी = बी Ç ए, (ए Ç बी) Ç सी = ए Ç (बी Ç सी)।
इसके अलावा, वे परस्पर वितरणात्मक हैं:
(ए È बी) Ç सी = (ए Ç सी) È (बी Ç सी), (1)
(ए Ç बी) È सी = (ए È सी) Ç (बी È सी). (2)
परिभाषा। अंतर सेसेट ए और बी, ए से उन तत्वों का सेट है जो बी में शामिल नहीं हैं ( चावल। 3).
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कार्य की अवधारणा. सेट प्रदर्शित करना
मान लीजिए कि X और Y दो मनमाने समुच्चय हैं।
परिभाषा।वे कहते हैं कि एक फ़ंक्शन को X पर परिभाषित किया गया है एफ, यदि प्रत्येक तत्व Y से एक मान ले रहा है एक्सÎ X एक और केवल एक तत्व से जुड़ा है यО Y. इस स्थिति में, समुच्चय X कहा जाता है परिभाषा का क्षेत्रदिया गया फ़ंक्शन, और सेट Y इसका है मूल्यों की श्रृंखला.
मनमानी प्रकृति के सेट के लिए, "फ़ंक्शन" शब्द के बजाय, "मैपिंग" शब्द का उपयोग अक्सर किया जाता है, जो एक सेट से दूसरे सेट की मैपिंग के बारे में बोलता है।
अगर ए X से तत्व, फिर संगत तत्व बी = एफ(ए) से Y कहा जाता है रास्ता एप्रदर्शित होने पर एफ. उन सभी तत्वों की समग्रता ए X की, जिसकी छवि दिया गया तत्व है बीओह वाई, बुलाया प्रोटोटाइप(या अधिक सटीक रूप से एक पूर्ण प्रोटोटाइप) तत्व बीऔर नामित किया गया है एफ –1 (बी).
माना A, X से कुछ समुच्चय है; तय करना ( एफ (ए): एÎ ए) फॉर्म के सभी तत्व एफ (ए), कहाँ एÎ A, को A का प्रतिबिम्ब कहा जाता है तथा निरूपित किया जाता है एफ(ए)। बदले में, Y से प्रत्येक सेट B के लिए इसकी पूर्ण व्युत्क्रम छवि निर्धारित की जाती है एफ-1 (वी), अर्थात्: एफ-1 (बी) एक्स से उन सभी तत्वों का संग्रह है जिनकी छवियां बी से संबंधित हैं।
परिभाषा।चलिए ऐसा कहते हैं एफयदि सेट X से सेट Y तक मैपिंग है एफ(एक्स) = वाई; ऐसी मैपिंग कहलाती है आपत्ति. सामान्य मामले में, यानी कब एफ(एक्स) एम वाई, वे ऐसा कहते हैं एफ Y में एक मैपिंग है। यदि किन्हीं दो अलग-अलग तत्वों के लिए एक्स 1 और एक्सएक्स में से 2 उनकी छवियां य 1 = एफ (एक्स 1) और य 2 = एफ (एक्स 2) फिर भी भिन्न हैं एफबुलाया इंजेक्शन.प्रदर्शन एफ: X®Y, जो प्रक्षेपण और अंतःक्षेपण दोनों है, कहलाता है प्रत्येक से अलग पत्राचार X और Y के बीच.
आइए पत्राचार की सामान्य अवधारणा के एक और महत्वपूर्ण विशेष मामले पर विचार करें - सेटों का मानचित्रण। यदि आज्ञाकारी हो आरसेट के बीच एक्सऔर वाईतत्व छवि एएक्सखाली हो सकता है, या कई तत्व शामिल हो सकते हैं।
समुच्चयों के तत्वों के बीच संबंध एक्सऔर वाईबुलाया प्रदर्शन एक्सवीवाई , यदि प्रत्येक तत्व एक्सबहुतों से एक्ससेट का केवल एक तत्व मेल खाता है वाई. इस तत्व को कहा जाता है तत्व छविएक्सइस डिस्प्ले के साथ: एफ(एक्स).सेट के प्रत्येक बिंदु से ऐसे मानचित्रण के ग्राफ़ पर एक्सकेवल एक तीर निकलेगा (चित्र 29)।
निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें . होने देना एक्स- दर्शकों में कई छात्र, और वाई- एक ही सभागार में कई कुर्सियाँ। मिलान "छात्र" एक्सएक कुर्सी पर बैठे पर» सेट प्रदर्शन एक्सवीवाई. छात्र छवि एक्सएक कुर्सी है.
होने देना एक्स = वाई = एन- प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट. "किसी संख्या का दशमलव अंकन" का मिलान एक्सशामिल परअंक" प्रदर्शन निर्धारित करता है एनवी एन. इस डिस्प्ले के साथ, संख्या 39 संख्या 2 से मेल खाती है, और संख्या 45981 संख्या 5 से मेल खाती है (39 दो अंकों की संख्या है, 45981 पांच अंकों की संख्या है)।
होने देना एक्स- अनेक चतुर्भुज, वाई- कई वृत्त. "चतुर्भुज" से मेल एक्सएक वृत्त में अंकित पर» कोई प्रदर्शन नहीं है एक्सवी वाई, क्योंकि ऐसे चतुर्भुज हैं जिन्हें एक वृत्त में अंकित नहीं किया जा सकता है। लेकिन इस मामले में उनका कहना है कि परिणाम सेट से मैपिंग है एक्सभीड़ में वाई.
यदि प्रदर्शित करें एक्सवी वाईऐसा कि प्रत्येक तत्व यबहुतों से
वाईएक या अधिक तत्वों से मेल खाता है एक्सबहुतों से एक्स, तो ऐसी मैपिंग कहलाती है सेट का प्रदर्शन एक्सकई के लिएवाई.
गुच्छा एक्समानचित्रण की परिभाषा का क्षेत्र कहा जाता है एफ: XY,और बहुत कुछ वाई- इस मानचित्रण का आगमन क्षेत्र। सभी छवियों से युक्त आगमन क्षेत्र का भाग यबहुतों से हाँ,मैपिंग वैल्यू सेट कहा जाता है एफ।
अगर y=f(x),फिर x कहा जाता है तत्व y का प्रोटोटाइप प्रदर्शित होने पर एफ. किसी तत्व की सभी पूर्वछवियों का समुच्चय परवे इसे पूर्ण प्रोटोटाइप कहते हैं: एफ(य).
डिस्प्ले निम्न प्रकार के होते हैं: विशेषण, विशेषण और विशेषण।
यदि प्रत्येक तत्व का पूरा प्रोटोटाइप Y yइसमें अधिकतम एक तत्व होता है (खाली हो सकता है), तो ऐसी मैपिंग कहलाती है इंजेक्शन
प्रदर्शित करता है XYऐसा है कि एफ(एक्स)=वाई, मैपिंग कहलाते हैं एक्सपूरी भीड़ के लिए वाईया विशेषण(सेट के प्रत्येक बिंदु से एक्सएक तीर निकलता है, और सेट के प्रत्येक बिंदु पर दिशा बदलने के बाद एक्ससमाप्त) (चित्र 31)।
यदि कोई मानचित्रण क्रियाविशेषण और विशेषणात्मक हो तो उसे वन-टू-वन या विशेषणात्मक कहा जाता है।
प्रदर्शन सेट करें एक्ससमुच्चय कहलाता है द्विभाजित, यदि प्रत्येक तत्व एक्सएक्सएक तत्व से मेल खाता है Y y,और प्रत्येक तत्व Y yकेवल एक तत्व से मेल खाता है एक्सएक्स(चित्र 32) .
विशेषण मानचित्रण समान सेट उत्पन्न करते हैं : एक्स~वाई.
उदाहरण . होने देना - एक्सअलमारी में कई कोट, वाई- वहाँ बहुत सारे हुक हैं। आइए प्रत्येक कोट को उस हुक से मिलाएँ जिस पर वह लटका हुआ है। यह पत्राचार एक मानचित्रण है एक्स इनवाईयदि किसी हुक पर एक से अधिक कोट लटका हुआ नहीं है या कुछ हुक स्वतंत्र हैं तो यह इंजेक्शन है। यदि सभी हुक लगे हुए हैं या कुछ पर कई परतें लटकी हुई हैं तो यह मैपिंग विशेषणात्मक है। यदि प्रत्येक हुक पर केवल एक कोट लटका हुआ है तो यह विशेषण होगा।
आपत्ति, इंजेक्शन और आक्षेप
मैपिंग f: X (या फ़ंक्शन /) को परिभाषित करने वाला नियम पारंपरिक रूप से तीरों द्वारा दर्शाया जा सकता है (चित्र 2.1)। यदि सेट Y में कम से कम एक तत्व है जिसकी ओर कोई भी तीर इंगित नहीं करता है, तो यह इंगित करता है कि फ़ंक्शन f के मानों की सीमा संपूर्ण सेट Y को नहीं भरती है, अर्थात। एफ(एक्स) सी वाई।
यदि मानों की श्रेणी / Y के साथ मेल खाती है, अर्थात। f(X) = Y, तो ऐसे फ़ंक्शन को विशेषण कहा जाता है) या, संक्षेप में, अनुमान, और फ़ंक्शन / को सेट X को सेट Y पर मैप करने के लिए कहा जाता है (सेट X को मैप करने के सामान्य मामले के विपरीत) परिभाषा 2.1 के अनुसार सेट Y)। तो, / : X एक अनुमान है यदि Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y। इस मामले में, चित्र में, कम से कम एक तीर सेट Y के प्रत्येक तत्व की ओर जाता है (चित्र 2.2)। इस मामले में, कई तीर Y से कुछ तत्वों की ओर ले जा सकते हैं। यदि एक से अधिक तीर किसी तत्व y € Y की ओर नहीं ले जाता है, तो / को इंजेक्शन फ़ंक्शन या इंजेक्शन कहा जाता है। यह फ़ंक्शन आवश्यक रूप से विशेषणात्मक नहीं है, अर्थात तीर समुच्चय Y के सभी तत्वों तक नहीं ले जाते (चित्र 2.3)।
- तो, फ़ंक्शन /: आपत्ति, इंजेक्शन और आक्षेप। रिवर्स मैपिंग. मैपिंग की संरचना सेट का एक उत्पाद है। प्रदर्शन कार्यक्रम. मैपिंग /: Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.
किसी विशेष मामले में, समुच्चय X और Y संपाती हो सकते हैं (X = Y)। फिर विशेषण फ़ंक्शन सेट X को स्वयं पर मैप करेगा। किसी समुच्चय का स्वयं पर आक्षेपण भी परिवर्तन कहलाता है। 2.3. व्युत्क्रम मानचित्रण Let /: X -? Y एक निश्चित आक्षेप है और मान लीजिए y € Y. आइए हम एकमात्र तत्व x € X को /_1(y) से निरूपित करें जिससे कि /(r) = y हो। इस प्रकार हम कुछ मैपिंग 9 को परिभाषित करते हैं: Y Xу जो फिर से एक आक्षेप है। इसे व्युत्क्रम मानचित्रण, या / का व्युत्क्रम आक्षेप कहा जाता है। अक्सर इसे केवल व्युत्क्रम फलन भी कहा जाता है और इसे /"* से दर्शाया जाता है। चित्र 2.5 में, फलन d बिल्कुल / का व्युत्क्रम है, अर्थात d = f"1।
समस्याओं में समाधान के उदाहरण
मैपिंग (फ़ंक्शन) / और परस्पर विपरीत हैं। यह स्पष्ट है कि यदि कोई फलन आक्षेप नहीं है, तो उसका व्युत्क्रम फलन अस्तित्व में नहीं है। वास्तव में, यदि / इंजेक्शन नहीं है, तो कुछ तत्व y € Y सेट X से कई तत्वों x के अनुरूप हो सकते हैं, जो एक फ़ंक्शन की परिभाषा का खंडन करता है। यदि / विशेषण नहीं है, तो Y में ऐसे तत्व हैं जिनके लिए X में कोई पूर्वछवियाँ नहीं हैं, अर्थात। इन तत्वों के लिए व्युत्क्रम फलन परिभाषित नहीं है। उदाहरण 2.1. एक। मान लीजिए X = Y = R - वास्तविक संख्याओं का एक समुच्चय। फ़ंक्शन /, सूत्र y = For - 2, i,y € R द्वारा परिभाषित, एक आक्षेप है। व्युत्क्रम फलन x = (y + 2)/3 है। बी। वास्तविक चर x का वास्तविक फलन f(x) = x2 विशेषणात्मक नहीं है, क्योंकि Y = R से ऋणात्मक संख्याएँ X = K से तत्वों की छवियां नहीं हैं क्योंकि /: Γ -> Y. उदाहरण 2.2. मान लीजिए A" = R, और Y = R+ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। फलन f(x) = ax, a > 0, af 1, एक आक्षेप है। व्युत्क्रम फलन Z"1 (Y) = होगा 1°8a Y
- आपत्ति, इंजेक्शन और आक्षेप। रिवर्स मैपिंग. मैपिंग की संरचना सेट का एक उत्पाद है। प्रदर्शन कार्यक्रम. 2.4. मैपिंग की संरचना यदि f:X-*Y और g:Y-*Zy है तो मैपिंग (p:X -+Z, प्रत्येक a: 6 A" के लिए सूत्र = द्वारा परिभाषित, मैपिंग की संरचना (सुपरपोजिशन) कहलाती है (फ़ंक्शन) / और d> या एक जटिल फ़ंक्शन, और इसे rho/ नामित किया गया है (चित्र 2.6)।
- इस प्रकार, f से पहले एक जटिल फ़ंक्शन नियम लागू करता है: i Apply / पहले, और फिर di, यानी। संचालन की संरचना में “पहले / आपको ऑपरेशन शुरू करना होगा / दाईं ओर स्थित है। ध्यान दें कि रचना चित्र. 2.6 मैपिंग साहचर्य हैं, अर्थात यदि /: X -+Y, d: Y Z और h: Z-*H> तो (hog)of = = ho(gof)i जिसे ho से / के रूप में लिखना आसान है। आइए इसे इस प्रकार जांचें: किसी भी wK "oaicecmee X पर एक मैपिंग 1x -X यह हर चीज़ को उनके स्थान पर छोड़ देता है।
प्रत्येक बिंदु M को वास्तविक संख्याओं के एक जोड़े (i, y) से जोड़ा जा सकता है, जहां x, निर्देशांक अक्ष Ox पर बिंदु Mx का निर्देशांक है, और y, निर्देशांक अक्ष Oy पर बिंदु Mu का निर्देशांक है। बिंदु Mx और Mu क्रमशः Ox और Oy अक्षों पर बिंदु M से गिराए गए लंबों के आधार हैं। संख्या x और y को बिंदु M (चयनित समन्वय प्रणाली में) के निर्देशांक कहा जाता है, और x को बिंदु M का भुज कहा जाता है, और y इस बिंदु की कोटि है। यह स्पष्ट है कि वास्तविक संख्या a, 6 6R का प्रत्येक जोड़ा (a, b) समतल पर एक बिंदु M से मेल खाता है, जिसके निर्देशांक के रूप में ये संख्याएँ हैं। और इसके विपरीत, समतल का प्रत्येक बिंदु M वास्तविक संख्याओं a और 6 की एक जोड़ी (a, 6) से मेल खाता है। सामान्य स्थिति में, जोड़े (a, b) और (6, a) अलग-अलग बिंदुओं को परिभाषित करते हैं, अर्थात। यह महत्वपूर्ण है कि जोड़ी के पदनाम में ए और बी दोनों में से कौन सा नंबर पहले आता है। इस प्रकार, हम एक ऑर्डर किए गए जोड़े के बारे में बात कर रहे हैं। इस संबंध में, जोड़े (ए, 6) और (6, ए) को एक दूसरे के बराबर माना जाता है, और वे विमान पर एक ही बिंदु को परिभाषित करते हैं, यदि केवल ए = 6। प्रक्षेपण, इंजेक्शन और आपत्ति। रिवर्स मैपिंग.
मैपिंग की संरचना सेट का एक उत्पाद है। प्रदर्शन कार्यक्रम. वास्तविक संख्याओं के सभी युग्मों के समुच्चय, साथ ही समतल में बिंदुओं के समुच्चय को R2 द्वारा दर्शाया जाता है। यह पदनाम सेट के प्रत्यक्ष (या डेक-आर्टोव) उत्पाद के सेट सिद्धांत में महत्वपूर्ण अवधारणा से जुड़ा हुआ है (अक्सर वे केवल सेट के उत्पाद के बारे में बात करते हैं)। परिभाषा 2.2. सेट ए और बी का उत्पाद संभावित क्रमित जोड़े (एक्स, वाई) का सेट एक्स बी है, जहां पहला तत्व ए से लिया गया है और दूसरा बी से लिया गया है, ताकि दो जोड़े (एक्स, वाई) की समानता हो और (&", y") स्थितियाँ x = x" और y = y7 निर्धारित करती हैं। जोड़े (i, y) और (y, x) को xy होने पर भिन्न माना जाता है। यह विशेष रूप से ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है जब सेट A और बी संपाती है। इसलिए, सामान्य स्थिति में ए एक्स बी एफ बी एक्स ए, यानी मनमाना सेट का उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है, लेकिन यह संघ, प्रतिच्छेदन और सेट के अंतर के संबंध में वितरणात्मक है: जहां नामित तीन में से एक को दर्शाता है संचालन। सेट का उत्पाद दो सेटों पर संकेतित संचालन से काफी भिन्न होता है। इन कार्यों को करने का परिणाम एक सेट होता है जिसके तत्व (यदि यह खाली नहीं है) मूल सेट में से एक या दोनों से संबंधित होते हैं। के उत्पाद के तत्व सेट नए सेट से संबंधित हैं और मूल सेट के तत्वों की तुलना में एक अलग प्रकार की वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। परिभाषा 2.2 के समान
हम दो से अधिक सेटों के उत्पाद की अवधारणा पेश कर सकते हैं। सेट (ए एक्स बी) एक्स सी और ए * एक्स (बी एक्स सी) की पहचान की जाती है और बस ए एक्स बी एक्स सी को दर्शाया जाता है। आह औ आह आह आह आह आदि कार्य करता है। एक नियम के रूप में, A2, A3, आदि द्वारा निरूपित किया जाता है। जाहिर है, समतल R2 को वास्तविक संख्याओं के सेट की दो प्रतियों के उत्पाद R x R के रूप में माना जा सकता है (इसलिए संख्या रेखा पर बिंदुओं के दो सेटों के उत्पाद के रूप में विमान के बिंदुओं के सेट का पदनाम)। ज्यामितीय (त्रि-आयामी) स्थान में बिंदुओं का सेट संख्या रेखा पर बिंदुओं के सेट की तीन प्रतियों के उत्पाद R x R x R से मेल खाता है, जिसे R3 दर्शाया गया है।
- वास्तविक संख्याओं के n समुच्चय का गुणनफल Rn द्वारा निरूपित किया जाता है। यह सेट n वास्तविक संख्याओं X2) xn £ R के सभी संभावित संग्रह (xj,
- n मनमाना सेट का उत्पाद n (आम तौर पर विषम) तत्वों के क्रमबद्ध संग्रह का एक सेट है। ऐसे सेटों के लिए, टुपल या एन-का नाम का उपयोग किया जाता है (उच्चारण "एनका")। उदाहरण 2.3। मान लीजिए ए = (1, 2) और बी = (1, 2)। फिर सेट ए एक्स बी की पहचान की जा सकती है समतल R2 के चार बिंदु, जिनके निर्देशांक इस सेट के तत्वों को सूचीबद्ध करते समय इंगित किए जाते हैं। यदि C = (1,2) और D = (3,4), तो उदाहरण 2.4 मान लीजिए फिर सेट E की ज्यामितीय व्याख्या x F और F x E को चित्र 2.8 में प्रस्तुत किया गया है। # मैपिंग /: X के लिए, हम क्रमित जोड़े (r, y) का एक सेट बना सकते हैं, जो प्रत्यक्ष उत्पाद X x Y का एक सबसेट है।
- ऐसे सेट को मैपिंग f का ग्राफ़ (या फ़ंक्शन i*" का ग्राफ़ कहा जाता है - उदाहरण 2.5। XCR और Y = K के मामले में, प्रत्येक ऑर्डर किया गया जोड़ा विमान R2 पर एक बिंदु के निर्देशांक निर्दिष्ट करता है। यदि X, संख्या रेखा R का एक अंतराल है, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ कुछ रेखा का प्रतिनिधित्व कर सकता है (चित्र 2.9) उदाहरण 2.6 यह स्पष्ट है कि XCR2 और Y = R के साथ फ़ंक्शन का ग्राफ़ R3 में बिंदुओं का एक निश्चित सेट है , जो एक निश्चित सतह का प्रतिनिधित्व कर सकता है (चित्र 2.10)।
- जैविक विकास में कोशिका और पर्यावरण के बीच संबंध स्थापित होता है
- एंजाइमों की क्रिया का तंत्र (एंजाइम कोलिनेस्टरेज़ के उदाहरण का उपयोग करके) जैव रसायन पाठ्यपुस्तकों की सैद्धांतिक नींव
- फ़ंक्शंस मैपिंग सामान्य अवधारणाओं, फ़ंक्शंस, बुनियादी परिभाषाओं को सेट करता है
- एक परवलयज का क्षेत्रफल. घूर्णन का परवलयज. देखें अन्य शब्दकोशों में "अण्डाकार पैराबोलॉइड" क्या है
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- A से शुरू होने वाली अंग्रेजी कहावतें
- यह एक कुत्ते का जीवन है (ओलेग रज़ोरेनोव) ओलेग रज़ोरेनोव एक कुत्ते का जीवन है