मोंटे कार्लो विधि(मोंटे कार्लो मेथड्स, एमएमसी) एक स्टोकेस्टिक (यादृच्छिक) प्रक्रिया की बड़ी संख्या में प्राप्ति प्राप्त करने के आधार पर संख्यात्मक तरीकों के एक समूह का सामान्य नाम है, जो इस तरह से बनता है कि इसकी संभाव्य विशेषताएं समान मूल्यों के साथ मेल खाती हैं। समस्या का समाधान किया जा रहा है. भौतिकी, रसायन विज्ञान, गणित, अर्थशास्त्र, अनुकूलन, नियंत्रण सिद्धांत आदि के विभिन्न क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

कहानी

पाई निर्धारित करने के लिए बफ़न का एल्गोरिदम

काफी लंबे समय से विभिन्न लागू समस्याओं को हल करने के लिए यादृच्छिक चर का उपयोग किया जाता रहा है। एक उदाहरण पाई संख्या निर्धारित करने की विधि है, जिसे 1777 में बफ़न द्वारा प्रस्तावित किया गया था। विधि का सार सुई की लंबाई फेंकना था एलकी दूरी पर स्थित समानांतर रेखाओं द्वारा खींचे गए समतल पर आरएक दूसरे से (चित्र 1 देखें)।

चित्र 1।बफ़न की विधि

संभाव्यता (जैसा कि आगे के संदर्भ से देखा जा सकता है, हम संभाव्यता के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि एक प्रयोग में प्रतिच्छेदन की संख्या की गणितीय अपेक्षा के बारे में बात कर रहे हैं; यह केवल तभी संभाव्यता बन जाती है जब आर>एल) वह खंड जो रेखा को काटता है, संख्या पाई से संबंधित है:

, कहाँ

ए- सुई की शुरुआत से निकटतम सीधी रेखा तक की दूरी;

θ सीधी रेखाओं के सापेक्ष सुई का कोण है।

इस अभिन्न अंग को लेना आसान है: (बशर्ते कि आर>एल), इसलिए, प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के खंडों के अनुपात की गणना करके, हम लगभग इस संख्या को निर्धारित कर सकते हैं। जैसे-जैसे प्रयासों की संख्या बढ़ेगी, प्राप्त परिणाम की सटीकता भी बढ़ेगी।

1864 में, कैप्टन फॉक्स, एक चोट से उबरने के दौरान, किसी तरह खुद को व्यस्त रखने के लिए, सुई फेंकने पर एक प्रयोग किया। परिणाम निम्नलिखित तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं:

	थ्रो की संख्या	चौराहों की संख्या	सुई की लंबाई	लाइनों के बीच की दूरी	ROTATION	पाई मान
पहला प्रयास					अनुपस्थित
दूसरा प्रयास					उपस्थित
तीसरा प्रयास					उपस्थित

टिप्पणियाँ:

व्यवस्थित त्रुटि को कम करने के लिए प्लेन रोटेशन का उपयोग किया गया (और, जैसा कि परिणाम दिखाते हैं, सफलतापूर्वक)।

तीसरे प्रयास में, सुई की लंबाई रेखाओं के बीच की दूरी से अधिक थी, जिससे थ्रो की संख्या में वृद्धि किए बिना, घटनाओं की संख्या को प्रभावी ढंग से बढ़ाना और सटीकता में सुधार करना संभव हो गया।

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं और विभेदक समीकरणों के बीच संबंध

स्टोकेस्टिक विधियों के गणितीय तंत्र का निर्माण 19वीं शताब्दी के अंत में शुरू हुआ। 1899 में, लॉर्ड रेले ने दिखाया कि एक अनंत जाली पर एक-आयामी यादृच्छिक चलना एक परवलयिक अंतर समीकरण का अनुमानित समाधान दे सकता है। 1931 में आंद्रेई कोलमोगोरोव ने विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए स्टोकेस्टिक दृष्टिकोण के विकास को एक बड़ा प्रोत्साहन दिया, क्योंकि वह यह साबित करने में सक्षम थे कि मार्कोव श्रृंखलाएं कुछ पूर्णांक-विभेदक समीकरणों से संबंधित हैं। 1933 में, इवान पेत्रोव्स्की ने दिखाया कि मार्कोव श्रृंखला बनाने वाला यादृच्छिक चलना एक अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण के समाधान से असम्बद्ध रूप से संबंधित है। इन खोजों के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं को अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है और तदनुसार, उस समय इन समीकरणों को हल करने के लिए अच्छी तरह से विकसित गणितीय तरीकों का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है।

लॉस अलामोस में मोंटे कार्लो पद्धति का जन्म

सबसे पहले, 1930 के दशक में इटली में एनरिको फर्मी और फिर 1940 के दशक में लॉस एलामोस में जॉन वॉन न्यूमैन स्टैनिस्लाव उलम ने सुझाव दिया कि स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं और अंतर समीकरणों के बीच संबंध का उपयोग "विपरीत दिशा में" करना संभव था। उन्होंने विसोट्रोपिक माध्यम में न्यूट्रॉन गति की समस्या के संबंध में उत्पन्न होने वाले परिवहन समीकरणों में अनुमानित बहुआयामी इंटीग्रल्स के लिए एक स्टोकेस्टिक दृष्टिकोण का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा।

यह विचार उलम द्वारा विकसित किया गया था, जो, विडंबना यह है कि, फॉक्स की तरह, बीमारी से उबरने के दौरान जबरन आलस्य से जूझ रहा था, और सॉलिटेयर खेलते समय, सोच रहा था कि क्या संभावना है कि सॉलिटेयर गेम "काम करेगा"। वह इस विचार के साथ आए कि ऐसी समस्याओं के लिए कॉम्बिनेटरिक्स के सामान्य विचारों का उपयोग करने के बजाय, वह बड़ी संख्या में "प्रयोग" कर सकते हैं और इस प्रकार, सफल परिणामों की संख्या की गणना करके, उनकी संभावना का अनुमान लगा सकते हैं। उन्होंने मोंटे कार्लो गणना के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने का भी प्रस्ताव रखा।

पहले इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों के आगमन, जो उच्च गति पर छद्म यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न कर सकते थे, ने नाटकीय रूप से समस्याओं की सीमा का विस्तार किया जिसके लिए स्टोकेस्टिक दृष्टिकोण अन्य गणितीय तरीकों की तुलना में अधिक प्रभावी साबित हुआ। इसके बाद एक बड़ी सफलता मिली और कई समस्याओं में मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग किया गया, लेकिन दी गई सटीकता के साथ उत्तर प्राप्त करने के लिए बड़ी संख्या में गणनाओं की आवश्यकता के कारण इसका उपयोग हमेशा उचित नहीं था।

मोंटे कार्लो पद्धति का जन्म वर्ष 1949 माना जाता है, जब मेट्रोपोलिस और उलम का लेख "द मोंटे कार्लो मेथड" प्रकाशित हुआ था। विधि का नाम मोनाको की रियासत में शहर के नाम से आया है, जो व्यापक रूप से अपने कई कैसीनो के लिए जाना जाता है, क्योंकि रूलेट सबसे व्यापक रूप से ज्ञात यादृच्छिक संख्या जनरेटर में से एक है। स्टैनिस्लाव उलम ने अपनी आत्मकथा, एडवेंचर्स ऑफ अ मैथमेटिशियन में लिखा है कि यह नाम निकोलस मेट्रोपोलिस ने अपने चाचा, जो एक जुआरी थे, के सम्मान में सुझाया था।

यह पोस्ट आपको एक कठिन परिस्थिति से बाहर निकलने में मदद करेगी। मान लीजिए कि आप एक कमरे में बंद हैं, आपके पास धागे और एक सुई का एक गुच्छा है, और आपसे लगातार किसी संख्या के अनुमानित मूल्य की गणना करने के लिए कहा जाता है। अनुकरणीय, केवल इन वस्तुओं का उपयोग करके, कुछ भी हो सकता है, आप जानते हैं। तो, आज, पेंसिल्वेनिया विश्वविद्यालय में मटन पर एक पाठ्यक्रम सुनते समय, मुझे अचानक पता चला कि यह कैसे करना है। मैं उस संख्या की कल्पना भी नहीं कर सकता था अनुकरणीययहाँ भी छिपा है. यह पता चला कि इस प्रश्न की जड़ें 18 वीं शताब्दी में वापस चली गईं, जब जॉर्जेस-लुई लेक्लेर डी बफ़न ने खुद को निम्नलिखित कार्य निर्धारित किया: “मान लीजिए कि फर्श दो रंगों की लकड़ी की पट्टियों से बना है, वे वैकल्पिक हैं; इसकी क्या प्रायिकता है कि फेंकी गई सुई इस प्रकार गिरेगी कि वह उस रेखा को काट देगी जहाँ दोनों पट्टियाँ जुड़ती हैं?” इस प्रक्रिया का अनुकरण और प्रश्न का उत्तर कट के अंतर्गत पाया जा सकता है।

सिमुलेशन

साज़िश को ख़राब न करने के लिए, आइए एक प्रयोग से शुरुआत करें। तो, हमारे पास लंबाई की कई सुइयां हैं एलऔर हरे धागे की एक खाल। आइए हम सतह पर कुछ दूरी पर समान लंबाई के समानांतर खंडों की एक निश्चित संख्या लागू करें एलएक दूसरे से।

आइए इस मैदान पर 100 सुइयां फेंकें।

शायद पर्याप्त नहीं. आइए एक और 900 जोड़ें और उन सुइयों को लाल रंग से चिह्नित करें जो धागों को पार करती हैं।

मान लीजिए कि हमने सभी सुइयों को एक बार में नहीं, बल्कि एक बार में फेंक दिया, और प्रत्येक चरण में हमने धागों पर गिरी सुइयों की संख्या और फेंकी गई सुइयों की कुल संख्या का अनुपात दर्ज किया, जिससे अधिक से अधिक अनुमान प्राप्त हुआ। संभावना यह है कि सुई, गिरते हुए, धागे को पार कर जाएगी।

यदि आप 10,000 सुइयां फेंकेंगे तो चित्र अधिक सटीक आएगा।

आइए अब निम्नलिखित परिवर्तन करें: परिणामी श्रृंखला में प्रत्येक संख्या से दो को विभाजित करें।

10,000 सुइयों के लिए यह पहले से ही अधिक सटीक है।

यदि हम श्रृंखला के अंतिम पाँच हजार पदों का औसत ज्ञात करें तो हमें प्राप्त होता है 3.141685 , जबकि पाई बराबर है 3.141593 .

सामान्य तौर पर, यह अब किसी के लिए रहस्य नहीं है कि अंतिम श्रृंखला संख्या में परिवर्तित होती है अनुकरणीय. लेकिन ऐसा कैसे हो सकता है? मुझे इसके बारे में तब पता चला जब मैं 28 साल का था, उपरोक्त पाठ्यक्रम से। आइए मटन में गोता लगाएँ।

लिखित

हम सुई और दाहिनी ओर उसके निकटतम रेखा पर विचार करेंगे। आइए हम सुई के बाएँ सिरे से दूरी दर्शाते हैं एच, रेखा से विचलन का कोण - ए.

जाहिर है, कोण से विपरीत पैर की लंबाई एकोण की ज्या को कर्ण की लंबाई से गुणा करने के बराबर होगा। तब हम यह बता सकते हैं कि यदि एचकोण के विपरीत पैर से कम या उसके बराबर ए, फिर सुई धागे को पार करती है। आइए एक ग्राफ बनाएं:

यदि हम फेंकी गई प्रत्येक सुई की गिनती करें एचऔर एऔर इन बिंदुओं को पिछले ग्राफ़ पर चिह्नित करें, चित्र इस प्रकार होगा:

इस प्रकार, सुई के धागे को पार करने की प्रायिकता ग्राफ़ के नीचे आकृति के क्षेत्रफल और आयत के क्षेत्रफल के अनुपात के बराबर होगी, अर्थात अनुकरणीय, सुई की लंबाई से गुणा किया गया।

यहां से हमें संख्या का वांछित अनुमान प्राप्त होता है अनुकरणीय, जैसा कि पहले भाग में अनुभव से पता चला।

समतल समानांतर रेखाओं से पंक्तिबद्ध है। किन्हीं दो आसन्न सीधी रेखाओं के बीच की दूरी 1 के बराबर होती है। एक निश्चित लंबाई की सुई एक समतल पर गिरती है एल (एल ≤ 1).

खोजोवह प्रायिकता जिसके साथ सुई कम से कम एक रेखा को काटती है (अर्थात्, इसमें कम से कम एक रेखा के साथ उभयनिष्ठ बिंदु हैं)।
हम मानते हैं कि सुई की कोई मोटाई नहीं है (यह सिर्फ एक खंड है) और यह गिरती है और समतल पर सपाट पड़ी रहती है, और उसमें चिपकती नहीं है।

संकेत 1

किसी घटना की प्रायिकता से क्या तात्पर्य है?

1. सबसे पहले, आइए इस पर सहमत हों कि हमारा क्या मतलब है आयोजन. आइए हम समान प्रयोगों - परीक्षणों की एक श्रृंखला आयोजित करें, जिनमें से प्रत्येक में समान प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग किया जाता है और अगले परीक्षण का परिणाम किसी भी तरह से पिछले परीक्षण के परिणामों पर निर्भर नहीं करता है। पाठ्यपुस्तक के उदाहरण: एक "परफेक्ट" सिक्का उछालना, एक "परफेक्ट" पासा फेंकना। या, जैसा कि हमारी समस्या में है, एक पंक्तिबद्ध तल पर सुई फेंकना।

प्रत्येक परीक्षण अलग-अलग होता है प्रारंभिक परिणाम. उदाहरण के लिए, पासे के उदाहरण में किसी संख्या को 1 से 6 तक घुमाना। आयोजनप्रारंभिक परिणामों के समुच्चय के कुछ उपसमुच्चय को कहा जाता है। उदाहरण के लिए, "रोल 2"। या "एक विषम संख्या को रोल करना" (अर्थात, 1, 3, या 5 को रोल करना)। आप अधिक जटिल परीक्षणों पर विचार कर सकते हैं, जैसे पाँच सिक्के उछालना। यहां प्रारंभिक परिणाम होंगे: "पांच सिर गिरे", "चार सिर और एक पूंछ गिरी", इत्यादि। एक घटना के रूप में, उदाहरण के लिए, हम निम्नलिखित पर विचार कर सकते हैं: "कम से कम तीन सिर गिरे।"

हमारी समस्या में, एक परीक्षण एक सुई को फेंकना है, और जिस घटना की हमें आवश्यकता है वह कम से कम एक पंक्ति का प्रतिच्छेदन है।

2. अंतर्गत किसी घटना की संभावनाआप इस घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या और सभी संभावित परिणामों की संख्या के अनुपात को समझ सकते हैं (इसलिए यह पता चलता है कि संभावना हमेशा 0 से 1 तक की संख्या होती है)। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकने पर "विषम संख्या लुढ़कने" की घटना की संभावना 1/2 है, क्योंकि सभी संभावित परिणामों में से आधे मेल खाते हैं। 5 सिक्के फेंकने पर "कम से कम तीन चित" घटना की प्रायिकता भी 1/2 है।

संभाव्यता की यह परिभाषा तब अच्छी तरह से काम करती है जब संभावित परिणामों का सेट सीमित हो। लेकिन हमारी समस्या में अनंत रूप से कई परिणाम हैं - गिरी हुई सुई की स्थिति। और अनंत रूप से कई उपयुक्त परिणाम भी हैं। हो कैसे? आइए अपनी "परिभाषा" को थोड़ा समायोजित करें: किसी घटना की संभावना- यह वह हिस्सा है जो अनुकूल परिणाम सभी परिणामों के सेट में "कब्जा" करते हैं। इस "परिभाषा" के साथ समस्या में आवश्यक संभावना की गणना करना पहले से ही संभव है।

ईमानदारी से कहें तो, ऊपर कही गई हर बात एक "व्यावहारिक" व्याख्या है और इस पर पूरी गणितीय कठोरता के साथ विचार नहीं किया जा सकता है। लेकिन हमारे उद्देश्यों के लिए यह दृष्टिकोण काफी पर्याप्त है।

3. स्पष्टता के लिए बस एक और उदाहरण। आइए एक वर्ग पर विचार करें और दो आसन्न भुजाओं के मध्य बिंदुओं को एक खंड से जोड़ दें, इस प्रकार एक कोना कट जाएगा। इसके बाद, हम बेतरतीब ढंग से सुई को वर्ग में डाल देंगे। किस संभावना के साथ हम कोने के अंदर पहुंचेंगे? यहां, प्रत्येक परीक्षण का परिणाम वह है जहां सुई का अंत पड़ता है, यानी, वर्ग के अंदर एक बिंदु। यह स्पष्ट है कि अनंत रूप से कई परिणाम हैं और हमारे आयोजन के लिए उपयुक्त भी अनंत रूप से कई परिणाम हैं - कोने में आना। इसलिए, संभाव्यता की गणना के लिए परिणामों की संख्या के बारे में बात करना पहले से ही व्यर्थ है। लेकिन भिन्न की गणना की जा सकती है - यह केवल कोने और वर्ग के क्षेत्रफलों का अनुपात है। यह 1/8 के बराबर है. ध्यान दें कि आकृतियों की सीमाओं का क्षेत्रफल शून्य है, इसलिए आपको उनके बारे में सोचने की ज़रूरत नहीं है। विशेष रूप से, सुई उस खंड से टकराएगी जो संभावना 0 के साथ कोने को काटता है।

संकेत 2

पहले संकेत से अंतिम उदाहरण समस्या को हल करने के संभावित तरीके का संकेत दे सकता है। ऐसे पैरामीटर दर्ज करना आवश्यक है जो सुई की स्थिति निर्धारित करेंगे और हमें उन सभी मामलों का वर्णन करने की अनुमति देंगे जब यह रेखाओं को पार करता है। यहां दो पैरामीटर काफी हैं। इसके बाद, हमें यह समझने की आवश्यकता है कि ये पैरामीटर क्या मान ले सकते हैं और कौन से मान हमारी घटना का वर्णन करते हैं। यदि आप मापदंडों को अच्छी तरह से चुनते हैं, तो ये स्थितियाँ काफी सरल होंगी और आप उन्हें "चित्रित" भी कर सकते हैं: एक समन्वय विमान लें जिसकी धुरी मापदंडों के अनुरूप हो, और एक क्षेत्र बनाएं जिसके बिंदु प्राप्त शर्तों को पूरा करते हैं। इसके बाद, जो कुछ बचा है वह पूरे क्षेत्र के क्षेत्रफल और उसके उस हिस्से के क्षेत्रफल की गणना करना है जो सुई और रेखाओं के प्रतिच्छेदन से मेल खाता है। और फिर इन क्षेत्रों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समाधान

आइए हम सहमत हों कि स्थिति से सीधी रेखाएँ क्षैतिज रूप से जाती हैं। इसलिए हमने सुई को विमान पर फेंक दिया। इसके स्थान का वर्णन कैसे करें ताकि सीधी रेखाओं के साथ प्रतिच्छेदन को ध्यान में रखना सुविधाजनक हो? आइए एक अजीब समरूपता पर ध्यान दें: यह हमारे लिए इतना महत्वपूर्ण नहीं है कि सुई जिन सीधी रेखाओं पर पड़ेगी उनके बीच कौन सी धारियां (या कौन सी, यदि दो हैं) - धारियां सभी समान हैं। यह भी स्पष्ट है कि क्षैतिज बदलाव का भी कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। लेकिन वास्तव में जो महत्वपूर्ण है वह यह है कि सुई सीधी रेखाओं से कितनी "दूर" है और उनसे किस कोण पर झुकी हुई है। इसलिए, दूसरे संकेत से पैरामीटर के रूप में, आप सुई के झुकाव के कोण α को सीधी रेखाओं और दूरी तक ले सकते हैं डीसुई के मध्य से लेकर निकटतमसीधा (चित्र 1)। इस प्रकार, हम समस्या में उत्पन्न हुई एक और "समरूपता" का उपयोग करते हैं।

ये पैरामीटर क्या मान ले सकते हैं? कोण α का रेडियन माप 0 से π तक भिन्न होता है, और डी 0 से मान लेता है (यदि सुई का मध्य भाग एक सीधी रेखा पर है) से 1/2 (सुई का मध्य भाग एक सीधी रेखा से आगे नहीं हो सकता)। निर्देशांक वाले समतल पर (α, डी) ये प्रतिबंध एक आयत को परिभाषित करते हैं (चित्र 2)।

चित्र 3 से यह स्पष्ट है कि α और पर किन परिस्थितियों में डीसुई कम से कम एक सीधी रेखा को काटती है: सीधी रेखाओं की लंबवत दिशा में आधी सुई का प्रक्षेपण अधिक होना चाहिए डी. यानी असमानता को संतुष्ट किया जाना चाहिए।

तो हमारे पास उन सभी मामलों का विवरण है जब सुई कम से कम एक रेखा को काटती है (केवल दो रेखाओं के साथ एक चौराहा होगा यदि समानताएं α = π/2 और डी= 1/2, जो हमारे आयत में सिर्फ एक बिंदु दे सकता है - मापदंडों की एक जोड़ी के सभी संभावित मूल्यों का एक अनंत सेट)। यह साइनसॉइड ग्राफ के तहत क्षेत्र की गणना करने और इसे पूरे आयत के क्षेत्र से विभाजित करने के लिए बनी हुई है, जो π/2 (छवि 4) के बराबर है।

जैसा कि ज्ञात है, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र आवश्यक अंतराल पर इस फ़ंक्शन के एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है:।

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि वांछित संभाव्यता के बराबर है।

अंतभाषण

ऐसा माना जाता है कि इस समस्या को सबसे पहले 18वीं सदी के फ्रांसीसी वैज्ञानिक काउंट डी बफ़न ने उठाया था और इसका गहन अध्ययन किया था - जो कि बहुत व्यापक रुचियों वाला एक असाधारण व्यक्ति था, जिसने ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में बहुत सारे उपयोगी काम किए। इसलिए, इसे अक्सर बफ़न सुई समस्या कहा जाता है। जाहिर है, तथाकथित ज्यामितीय संभाव्यता पर यह पहली समस्या थी। जैसा कि हमने देखा है, इस दृष्टिकोण का सार एक ज्यामितीय आकृति के रूप में कुछ परीक्षणों के प्रारंभिक परिणामों के सेट का प्रतिनिधित्व करना है और उपयुक्त आंकड़ों के क्षेत्रों के अनुपात की गणना करने के लिए किसी विशेष घटना की संभावना खोजने के प्रश्न को कम करना है। . इस तरह, आप कई और काफी प्रसिद्ध समस्याओं को हल कर सकते हैं - शायद आप उनमें से कुछ से बाद में यहां "एलिमेंट्स" पर परिचित होंगे। इसलिए, हम अभ्यास के रूप में केवल एक और सरल कार्य प्रस्तुत करेंगे:

किस प्रायिकता से व्यास d का एक गोल सिक्का एक चेकर वाले विमान (इकाई वर्गों में विभाजित) पर फेंका जाता है, जो ग्रिड की किसी भी रेखा को कवर नहीं करता है, यानी पूरी तरह से एक वर्ग के अंदर समाप्त हो जाता है?

ध्यान दें कि बफ़न की समस्या को हल करते समय, कोई थोड़ा अलग तरीके से तर्क कर सकता है। इस तरह के निर्णय की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन किया गया है (यद्यपि अंग्रेजी में)।

अब हमें प्राप्त उत्तर के अर्थ के बारे में थोड़ा। पर एल = 1 उत्तर लगभग 0.6366197 है... यह संख्या वास्तव में क्या दर्शाती है? हमेशा की तरह, संभाव्यता सिद्धांत में इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए। मान लीजिए कि हमने परीक्षणों की एक बहुत लंबी श्रृंखला बनाई। मान लीजिए कि हमारे पास प्रत्येक परीक्षण में एक सुई को दस लाख बार फेंकने का धैर्य था और याद रखें कि यह एक विमान पर कितनी बार सीधी रेखाओं को पार करती थी। और हमने ऐसे लाखों परीक्षण भी किये। यह पता चला है कि उनमें से अधिकांश में (संभवतः, भारी संख्या में) चौराहों की संख्या 636,619 के करीब है। और हम जितने अधिक ऐसे परीक्षण करेंगे, सफल परिणामों का अनुपात उतना ही करीब होगा (जब सुई रेखा को पार कर जाती है) को। और वास्तव में, निश्चित रूप से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप परीक्षणों को श्रृंखला में कैसे विभाजित करते हैं - केवल कुल संख्या महत्वपूर्ण है। वास्तव में, परीक्षणों की इतनी लंबी श्रृंखला आयोजित करने के लिए पर्याप्त धैर्य नहीं है। लेकिन आप एक प्रोग्राम लिख सकते हैं (या इस जैसे मौजूदा प्रोग्राम का उपयोग कर सकते हैं) जो नियमित संचालन करेगा और बड़ी संख्या में थ्रो के लिए केवल चौराहों की संख्या देगा।

पिछले पैराग्राफ में जो कहा गया था वह संख्या π = 3.1415926 की सटीक गणना करने की महत्वपूर्ण समस्या के लिए एक असामान्य दृष्टिकोण देता है... आइए याद रखें कि इस संख्या को एक वृत्त की लंबाई और उसके व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है (सभी वृत्तों के लिए) यह अनुपात समान है)। संख्या π गणित और भौतिकी में मुख्य स्थिरांकों में से एक है। इसे आंशिक रूप से इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि वृत्त और दीर्घवृत्त गणित और भौतिकी में विभिन्न प्रकार की समस्याओं और मॉडलों में दिखाई देते हैं - विशुद्ध रूप से ज्यामितीय से लेकर व्यावहारिक समस्याओं जैसे कि ग्रहों और उपग्रहों की कक्षाओं की गणना तक। इसलिए, संख्या π के मान की सटीक गणना करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। यह ज्ञात है कि यह संख्या अपरिमेय है, अर्थात इसे एक परिमेय भिन्न (दो पूर्णांकों का अनुपात) के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसके निकट छोटे हर वाले भिन्न होते हैं। आर्किमिडीज़ को यह भी पता था कि भिन्न 22/7 = 3,(142,857) π को हजारवें हिस्से के भीतर अनुमानित करता है। लगभग 5वीं शताब्दी ई.पू. इ। सन्निकटन 355/113 = 3.14159292... पहले से ही ज्ञात था - त्रुटि दस लाखवें से कम है।

बफ़न की सुई का इससे क्या लेना-देना है? जैसा कि हम पहले से ही समझते हैं, परीक्षणों की एक लंबी श्रृंखला में, सुई फेंकने की कुल संख्या से चौराहों का अनुपात लगभग 2/π के बराबर होगा। इसलिए, हम अनुभवजन्य रूप से इस अंश को ढूंढ सकते हैं और अनुमानित मूल्य की गणना कर सकते हैं। जितना अधिक थ्रो होगा, अंश उतना अधिक सटीक होगा, और इसलिए π का ​​मान होगा। 19वीं शताब्दी में ऐसे नायक थे जो ऐसी गतिविधि पर कई शामें बिताने के लिए तैयार थे। उन्हें 3.14 के आसपास अलग-अलग मान मिले। आप अंग्रेज़ी विकिपीडिया पर इस पृष्ठ पर और अधिक पढ़ सकते हैं।

अब, निस्संदेह, कोई भी सुई नहीं फेंक रहा है, और संख्या π की गणना पहले ही 10 ट्रिलियन अंकों से कहीं अधिक की जा चुकी है। यह हास्यास्पद है कि व्यावहारिक गणनाओं के लिए ऐसी परिशुद्धता लगभग आवश्यक नहीं है - यह अनुमान लगाया गया है कि एक परमाणु के भीतर दृश्यमान ब्रह्मांड की मात्रा की सटीक गणना करने के लिए π को लगभग 40वें दशमलव स्थान तक जानना पर्याप्त है। इसलिए इतनी सटीकता के साथ π की गणना करना रिकॉर्ड की दौड़ और सुपर कंप्यूटरों के बीच प्रतिस्पर्धा है।

सटीक गणनाएँ विभिन्न सूत्रों पर आधारित होती हैं। मूल रूप से, π में परिवर्तित होने वाले अनुक्रम और श्रृंखला के योग का उपयोग किया जाता है; कई एल्गोरिदम विकिपीडिया पर पाए जा सकते हैं। यहां हम केवल एक अद्भुत फार्मूला प्रस्तुत कर रहे हैं

जो आपको शेष अंकों की गणना किए बिना π के किसी भी अंक की गणना करने की अनुमति देता है।