विश्वास अंतराल। सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण नमूना माध्य के लिए विश्वास अंतराल

आइए विचरण के ज्ञात मान के मामले में वितरण के माध्य मान का अनुमान लगाने के लिए MS EXCEL में एक विश्वास अंतराल बनाएँ।

बेशक चुनाव भरोसे का स्तरपूरी तरह से हाथ में काम पर निर्भर करता है। इस प्रकार, विमान की विश्वसनीयता में हवाई यात्री के विश्वास की डिग्री, निश्चित रूप से, प्रकाश बल्ब की विश्वसनीयता में खरीदार के विश्वास की डिग्री से अधिक होनी चाहिए।

कार्य निरूपण

आइए मान लें कि . से आबादीले लिया नमूनाआकार एन. यह मान लिया है कि मानक विचलनयह वितरण ज्ञात है। इसके आधार पर आवश्यक नमूनेअज्ञात का मूल्यांकन करें वितरण माध्य(μ, ) और संगत का निर्माण करें द्विपक्षीय विश्वास अंतराल.

बिंदु अनुमान

जैसा कि से जाना जाता है आंकड़े(चलो इसे कहते हैं एक्स सीएफ) एक माध्य का निष्पक्ष अनुमानयह आबादीऔर वितरण N(μ;σ 2 /n) है।

टिप्पणी: क्या होगा अगर आपको निर्माण करने की आवश्यकता है विश्वास अंतरालवितरण के मामले में, जो क्या नहीं है सामान्य?इस मामले में, बचाव के लिए आता है, जो कहता है कि पर्याप्त रूप से बड़े आकार के साथ नमूने n वितरण से न सामान्य, आँकड़ों का नमूना वितरण avमर्जी लगभगअनुरूप सामान्य वितरणपैरामीटर एन (μ; σ 2 / एन) के साथ।

इसलिए, बिंदु लागत मध्य वितरण मूल्यहमारे पास है नमूना माध्य, अर्थात। एक्स सीएफ. चलो अब व्यस्त हो जाओ विश्वास अंतराल।

एक विश्वास अंतराल का निर्माण

आमतौर पर, वितरण और उसके मापदंडों को जानकर, हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि एक यादृच्छिक चर हमारे द्वारा निर्दिष्ट अंतराल से एक मान लेगा। अब इसके विपरीत करते हैं: वह अंतराल ज्ञात करें जिसमें यादृच्छिक चर किसी दी गई संभावना के साथ आता है। उदाहरण के लिए, गुणों से सामान्य वितरणयह ज्ञात है कि 95% की संभावना के साथ, एक यादृच्छिक चर वितरित किया जाता है सामान्य कानून, अंतराल के भीतर लगभग +/- 2 से . के भीतर आ जाएगा औसत मूल्य(के बारे में लेख देखें)। यह अंतराल हमारे प्रोटोटाइप के रूप में काम करेगा विश्वास अंतराल.

अब देखते हैं कि क्या हम वितरण जानते हैं , इस अंतराल की गणना करने के लिए? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें वितरण के रूप और उसके मापदंडों को निर्दिष्ट करना होगा।

हम जानते हैं कि वितरण का रूप है सामान्य वितरण(याद रखें कि हम बात कर रहे हैं नमूने का वितरण आंकड़े एक्स सीएफ).

पैरामीटर μ हमारे लिए अज्ञात है (इसे केवल उपयोग करके अनुमान लगाने की आवश्यकता है विश्वास अंतराल), लेकिन हमारे पास इसका अनुमान है एक्स सीएफ,गणना के आधार पर नमूना,जिसका उपयोग किया जा सकता है।

दूसरा पैरामीटर है नमूना माध्य मानक विचलन जाना जाएगा, यह /√n के बराबर है।

क्योंकि हम μ नहीं जानते हैं, तो हम अंतराल +/- 2 . का निर्माण करेंगे मानक विचलनइससे नहीं औसत मूल्य, लेकिन इसके ज्ञात अनुमान से एक्स सीएफ. वे। गणना करते समय विश्वास अंतरालहम यह नहीं मानेंगे कि एक्स सीएफअंतराल +/- 2 . के भीतर गिर जाएगा मानक विचलनμ से 95% की संभावना के साथ, और हम मान लेंगे कि अंतराल +/- 2 . है मानक विचलनसे एक्स सीएफ 95% की संभावना के साथ μ . को कवर करेगा - सामान्य जनसंख्या का औसत,किस से नमूना. ये दो कथन समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा कथन हमें निर्माण करने की अनुमति देता है विश्वास अंतराल.

इसके अलावा, हम अंतराल को परिष्कृत करते हैं: एक यादृच्छिक चर वितरित किया जाता है सामान्य कानून, 95% संभावना के साथ अंतराल +/- 1.960 . के भीतर आता है मानक विचलन,नहीं +/- 2 मानक विचलन. इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है \u003d NORM.ST.OBR ((1 + 0.95) / 2), से। मी। नमूना फ़ाइल शीट रिक्ति.

अब हम एक संभाव्य कथन बना सकते हैं जो हमें बनाने में मदद करेगा विश्वास अंतराल:
"संभावना है कि आबादी मतलबसे स्थित नमूना औसत 1.960 के भीतर" नमूना माध्य के मानक विचलन", 95% के बराबर है।

कथन में उल्लिखित प्रायिकता मान का एक विशेष नाम है , जो के साथ जुड़ा हुआ हैमहत्व स्तर α (अल्फा) एक साधारण अभिव्यक्ति द्वारा विश्वास स्तर =1 -α . हमारे मामले में महत्वपूर्ण स्तर α =1-0,95=0,05 .

अब, इस संभाव्य कथन के आधार पर, हम गणना करने के लिए एक व्यंजक लिखते हैं विश्वास अंतराल:

जहां Zα/2 – मानक सामान्य वितरण(यादृच्छिक चर का ऐसा मान जेड, क्या पी(जेड>=Zα/2 )=α/2).

टिप्पणी: ऊपरी α/2-क्वांटाइलचौड़ाई को परिभाषित करता है विश्वास अंतरालमें मानक विचलन नमूना माध्य। ऊपरी α/2-क्वांटाइल मानक सामान्य वितरणहमेशा 0 से बड़ा होता है, जो बहुत सुविधाजनक है।

हमारे मामले में, α=0.05 पर, ऊपरी α/2-क्वांटाइल 1.960 के बराबर है। अन्य महत्व स्तरों के लिए α (10%; 1%) ऊपरी α/2-क्वांटाइल Zα/2 सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है \u003d NORM.ST.OBR (1-α / 2) या, यदि ज्ञात हो विश्वास स्तर, =NORM.ST.OBR((1+विश्वास स्तर)/2).

आम तौर पर निर्माण करते समय माध्य का अनुमान लगाने के लिए विश्वास अंतरालकेवल उपयोग ऊपरी α/2-मात्राऔर उपयोग न करें निचला α/2-मात्रा. यह संभव है क्योंकि मानक सामान्य वितरणएक्स-अक्ष के बारे में सममित ( इसके वितरण का घनत्वसममित के बारे में औसत, यानी). इसलिए, गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है निचला α/2-क्वांटाइल(इसे बस α . कहा जाता है /2-क्वांटाइल), क्योंकि यह बराबर है ऊपरी α/2-मात्रामाइनस साइन के साथ।

याद रखें कि, x के वितरण के आकार के बावजूद, संगत यादृच्छिक चर एक्स सीएफवितरित लगभग अच्छाएन(μ;σ 2 /n) (के बारे में लेख देखें)। इसलिए, सामान्य तौर पर, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए विश्वास अंतरालकेवल अनुमानित है। यदि x को अधिक वितरित किया जाता है सामान्य कानून N(μ;σ 2 /n), फिर के लिए व्यंजक विश्वास अंतरालसही है।

MS EXCEL में कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना

आइए समस्या का समाधान करें।
एक इनपुट सिग्नल के लिए एक इलेक्ट्रॉनिक घटक का प्रतिक्रिया समय एक उपकरण की एक महत्वपूर्ण विशेषता है। एक इंजीनियर औसत प्रतिक्रिया समय के लिए 95% के विश्वास स्तर पर एक विश्वास अंतराल की साजिश करना चाहता है। पिछले अनुभव से, इंजीनियर जानता है कि प्रतिक्रिया समय का मानक विचलन 8 एमएस है। यह ज्ञात है कि इंजीनियर ने प्रतिक्रिया समय का अनुमान लगाने के लिए 25 माप किए, औसत मूल्य 78 एमएस था।

फेसला: एक इंजीनियर इलेक्ट्रॉनिक उपकरण का प्रतिक्रिया समय जानना चाहता है, लेकिन वह समझता है कि प्रतिक्रिया समय निश्चित नहीं है, बल्कि एक यादृच्छिक चर है जिसका अपना वितरण है। इसलिए वह इस वितरण के मापदंडों और आकार को निर्धारित करने के लिए सबसे अच्छी उम्मीद कर सकता है।

दुर्भाग्य से, समस्या की स्थिति से, हम प्रतिक्रिया समय के वितरण के रूप को नहीं जानते हैं (यह होना आवश्यक नहीं है) सामान्य) , यह वितरण भी अज्ञात है। केवल वही जाना जाता है मानक विचलन= 8। इसलिए, जबकि हम संभावनाओं की गणना नहीं कर सकते हैं और निर्माण कर सकते हैं विश्वास अंतराल.

हालाँकि, हालांकि हम वितरण को नहीं जानते हैं समय अलग प्रतिक्रिया, हम जानते हैं कि के अनुसार सीपीटी, नमूने का वितरण औसत प्रतिक्रिया समयलगभग है सामान्य(हम मान लेंगे कि शर्तें सीपीटीकिया जाता है, क्योंकि आकार नमूनेकाफी बड़ा (एन = 25)) .

आगे, औसतयह वितरण बराबर है औसत मूल्यइकाई प्रतिक्रिया वितरण, अर्थात्। μ. लेकिन मानक विचलनइस वितरण का (σ/√n) सूत्र =8/ROOT(25) का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

यह भी ज्ञात है कि इंजीनियर ने प्राप्त किया बिंदु लागतपैरामीटर μ 78 ms (X cf) के बराबर। इसलिए, अब हम प्रायिकताओं की गणना कर सकते हैं, क्योंकि हम वितरण प्रपत्र जानते हैं ( सामान्य) और इसके पैरामीटर (Х ср और σ/√n)।

इंजीनियर जानना चाहता है अपेक्षित मूल्यप्रतिक्रिया समय वितरण का μ। जैसा कि ऊपर कहा गया है, यह μ बराबर है औसत प्रतिक्रिया समय के नमूना वितरण की अपेक्षा. अगर हम उपयोग करते हैं सामान्य वितरणएन (एक्स सीएफ; σ/√n), तो वांछित μ लगभग 95% की संभावना के साथ +/-2*σ/√n की सीमा में होगा।

महत्वपूर्ण स्तर 1-0.95 = 0.05 के बराबर।

अंत में, बाएँ और दाएँ बॉर्डर खोजें विश्वास अंतराल.
बाईं सीमा: \u003d 78-NORM.ST.INR (1-0.05 / 2) * 8 / रूट (25) = 74,864
दाहिनी सीमा: \u003d 78 + नॉर्म। एसटी। ओबीआर (1-0.05 / 2) * 8 / रूट (25) \u003d 81.136

बाईं सीमा: =NORM.INV(0.05/2, 78, 8/SQRT(25))
दाहिनी सीमा: =NORM.INV(1-0.05/2, 78, 8/SQRT(25))

जवाब: विश्वास अंतरालपर 95% आत्मविश्वास का स्तर और=8एमएसईसीबराबरी 78+/-3.136ms

पर शीट सिग्मा पर उदाहरण फ़ाइलज्ञात गणना और निर्माण के लिए एक प्रपत्र बनाया द्विपक्षीय विश्वास अंतरालमनमानी के लिए नमूनेदिए गए और . के साथ महत्वपूर्ण स्तर.

CONFIDENCE.NORM () फ़ंक्शन

यदि मान नमूनेदायरे में हैं बी20:बी79 , ए महत्वपूर्ण स्तर 0.05 के बराबर; फिर एमएस एक्सेल फॉर्मूला:
=औसत(B20:B79)-कॉन्फिडेंस(0.05,σ, COUNT(B20:B79))
बाईं सीमा लौटाएगा विश्वास अंतराल.

सूत्र का उपयोग करके समान सीमा की गणना की जा सकती है:
=औसत(बी20:बी79)-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*σ/SQRT(COUNT(B20:B79))

टिप्पणी: TRUST.NORM () फ़ंक्शन MS EXCEL 2010 में दिखाई दिया। MS EXCEL के पुराने संस्करणों में TRUST () फ़ंक्शन का उपयोग किया गया था।

आंकड़ों के क्षेत्र से हमारे पास कॉन्फिडेंस इंटरवल आया। यह एक परिभाषित सीमा है जो उच्च स्तर की विश्वसनीयता के साथ एक अज्ञात पैरामीटर का अनुमान लगाने का कार्य करती है। इसे समझाने का सबसे आसान तरीका एक उदाहरण है।

मान लीजिए कि आपको कुछ यादृच्छिक चर की जांच करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, क्लाइंट अनुरोध के लिए सर्वर की प्रतिक्रिया की गति। हर बार जब कोई उपयोगकर्ता किसी विशेष साइट के पते में टाइप करता है, तो सर्वर एक अलग दर से प्रतिक्रिया करता है। इस प्रकार, जांच की गई प्रतिक्रिया समय में एक यादृच्छिक चरित्र होता है। तो, विश्वास अंतराल आपको इस पैरामीटर की सीमाओं को निर्धारित करने की अनुमति देता है, और फिर यह दावा करना संभव होगा कि 95% की संभावना के साथ सर्वर हमारे द्वारा गणना की गई सीमा में होगा।

या आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि कंपनी के ब्रांड के बारे में कितने लोग जानते हैं। जब विश्वास अंतराल की गणना की जाती है, तो यह संभव होगा, उदाहरण के लिए, यह कहना कि 95% संभावना के साथ उपभोक्ताओं की हिस्सेदारी 27% से 34% के बीच है।

इस शब्द से निकटता से संबंधित एक ऐसा मूल्य है जो आत्मविश्वास का स्तर है। यह इस संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि वांछित पैरामीटर विश्वास अंतराल में शामिल है। यह मान निर्धारित करता है कि हमारी वांछित सीमा कितनी बड़ी होगी। यह जितना बड़ा मान लेता है, विश्वास अंतराल उतना ही संकीर्ण होता जाता है, और इसके विपरीत। आमतौर पर यह 90%, 95% या 99% पर सेट होता है। 95% का मान सबसे लोकप्रिय है।

यह सूचक प्रेक्षणों के विचरण से भी प्रभावित होता है और इसकी परिभाषा इस धारणा पर आधारित है कि अध्ययन के तहत विशेषता का पालन होता है। इस कथन को गॉस के नियम के रूप में भी जाना जाता है। उनके अनुसार, एक सतत यादृच्छिक चर की सभी संभावनाओं के इस तरह के वितरण को सामान्य कहा जाता है, जिसे संभाव्यता घनत्व द्वारा वर्णित किया जा सकता है। यदि सामान्य वितरण की धारणा गलत निकली, तो अनुमान गलत हो सकता है।

सबसे पहले, आइए जानें कि यहां के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल की गणना कैसे करें, दो मामले संभव हैं। फैलाव (यादृच्छिक चर के प्रसार की डिग्री) ज्ञात हो भी सकता है और नहीं भी। यदि यह ज्ञात है, तो हमारे विश्वास अंतराल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

एक्सएसआर - टी * σ / (वर्ग (एन))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где

α - चिह्न,

टी लाप्लास वितरण तालिका से एक पैरामीटर है,

परिक्षेपण का वर्गमूल है।

यदि विचरण अज्ञात है, तो इसकी गणना की जा सकती है यदि हम वांछित विशेषता के सभी मूल्यों को जानते हैं। इसके लिए निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:

2 = х2ср - (хр)2, जहां

х2ср - अध्ययन के तहत विशेषता के वर्गों का औसत मूल्य,

(xsr)2 इस विशेषता का वर्ग है।

इस मामले में जिस सूत्र द्वारा विश्वास अंतराल की गणना की जाती है वह थोड़ा बदल जाता है:

एक्सएसआर - टी * एस / (वर्ग (एन))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где

xsr - नमूना माध्य,

α - चिह्न,

t एक पैरामीटर है जो छात्र की वितरण तालिका t \u003d t (ɣ; n-1) का उपयोग करके पाया जाता है,

sqrt(n) कुल नमूना आकार का वर्गमूल है,

s विचरण का वर्गमूल है।

इस उदाहरण पर विचार करें। मान लें कि, 7 मापों के परिणामों के आधार पर, अध्ययन के तहत विशेषता 30 और नमूना भिन्नता 36 के बराबर निर्धारित की गई थी। 99% की संभावना के साथ एक आत्मविश्वास अंतराल खोजना आवश्यक है जिसमें मापा का सही मूल्य होता है पैरामीटर।

सबसे पहले, आइए निर्धारित करें कि t किसके बराबर है: t \u003d t (0.99; 7-1) \u003d 3.71। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एक्सएसआर - टी * एस / (वर्ग (एन))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))

30 - 3.71*36 / (वर्ग(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))

21.587 <= α <= 38.413

विचरण के लिए विश्वास अंतराल की गणना ज्ञात माध्य के मामले में की जाती है और जब गणितीय अपेक्षा पर कोई डेटा नहीं होता है, और केवल विचरण के निष्पक्ष बिंदु अनुमान का मूल्य ज्ञात होता है। हम यहां इसकी गणना के लिए सूत्र नहीं देंगे, क्योंकि वे काफी जटिल हैं और यदि वांछित है, तो वे हमेशा नेट पर पाए जा सकते हैं।

हम केवल यह नोट करते हैं कि एक्सेल प्रोग्राम या नेटवर्क सेवा का उपयोग करके आत्मविश्वास अंतराल निर्धारित करना सुविधाजनक है, जिसे ऐसा कहा जाता है।

कार्य लिखिए।उदाहरण के लिए: एबीसी विश्वविद्यालय में एक पुरुष छात्र का औसत वजन 90 किलो . है. आप दिए गए आत्मविश्वास अंतराल के भीतर एबीसी विश्वविद्यालय में पुरुष छात्रों के वजन की भविष्यवाणी सटीकता का परीक्षण करेंगे।

एक उपयुक्त नमूना बनाओ।आप इसका उपयोग परिकल्पना परीक्षण के लिए डेटा एकत्र करने के लिए करेंगे। मान लीजिए कि आपने पहले ही बेतरतीब ढंग से 1000 पुरुष छात्रों का चयन कर लिया है।

इस नमूने के माध्य और मानक विचलन की गणना करें।उन आंकड़ों का चयन करें (उदाहरण के लिए, माध्य और मानक विचलन) जिनका उपयोग आप अपने नमूने का विश्लेषण करने के लिए करना चाहते हैं। यहाँ माध्य और मानक विचलन की गणना करने का तरीका बताया गया है:

• नमूना माध्य की गणना करने के लिए, 1,000 नमूने लिए गए पुरुषों के वजन को जोड़ें और परिणाम को 1,000 (पुरुषों की संख्या) से विभाजित करें। मान लीजिए कि हमारा औसत वजन 93 किलो है।
• नमूने के मानक विचलन की गणना करने के लिए, आपको औसत मान ज्ञात करना होगा। फिर आपको डेटा के विचरण, या माध्य से वर्ग अंतर के माध्य की गणना करने की आवश्यकता है। एक बार जब आपको वह संख्या मिल जाए, तो उसका वर्गमूल निकाल लें। मान लें कि हमारे उदाहरण में मानक विचलन 15 किलो है (ध्यान दें कि कभी-कभी यह जानकारी सांख्यिकीय समस्या की स्थिति के साथ दी जा सकती है)।

गणितीय अपेक्षा के लिए विश्वास अंतराल - यह एक ऐसा अंतराल है जिसकी गणना डेटा से की जाती है, जिसमें एक ज्ञात संभावना के साथ सामान्य जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा होती है। गणितीय अपेक्षा के लिए प्राकृतिक अनुमान इसके देखे गए मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है। इसलिए, आगे पाठ के दौरान हम "औसत", "औसत मूल्य" शब्दों का प्रयोग करेंगे। आत्मविश्वास अंतराल की गणना की समस्याओं में, सबसे अधिक बार आवश्यक उत्तर है "औसत संख्या का विश्वास अंतराल [एक विशिष्ट समस्या में मूल्य] [निम्न मूल्य] से [उच्च मूल्य] तक है"। विश्वास अंतराल की सहायता से, न केवल औसत मूल्यों का मूल्यांकन करना संभव है, बल्कि सामान्य जनसंख्या की एक या दूसरी विशेषता का हिस्सा भी है। माध्य मान, विचरण, मानक विचलन और त्रुटि, जिसके माध्यम से हम नई परिभाषाओं और सूत्रों पर आएंगे, का पाठ में विश्लेषण किया गया है नमूना और जनसंख्या लक्षण .

माध्य के बिंदु और अंतराल अनुमान

यदि सामान्य जनसंख्या के माध्य मान का अनुमान किसी संख्या (बिंदु) से लगाया जाता है, तो प्रेक्षणों के नमूने से परिकलित विशिष्ट माध्य को सामान्य जनसंख्या के अज्ञात माध्य के अनुमान के रूप में लिया जाता है। इस मामले में, नमूना माध्य का मान - एक यादृच्छिक चर - सामान्य जनसंख्या के माध्य मान से मेल नहीं खाता है। इसलिए, नमूने के औसत मूल्य को इंगित करते समय, उसी समय नमूना त्रुटि को इंगित करना भी आवश्यक है। मानक त्रुटि का उपयोग नमूना त्रुटि के माप के रूप में किया जाता है, जिसे समान इकाइयों में माध्य के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, निम्नलिखित संकेतन अक्सर प्रयोग किया जाता है:।

यदि माध्य के अनुमान को एक निश्चित संभाव्यता के साथ जोड़ा जाना आवश्यक है, तो ब्याज की सामान्य आबादी के पैरामीटर का अनुमान एक संख्या से नहीं, बल्कि एक अंतराल से होना चाहिए। एक विश्वास अंतराल एक अंतराल है जिसमें एक निश्चित संभावना के साथ, पीसामान्य जनसंख्या के अनुमानित संकेतक का मूल्य पाया जाता है। कॉन्फिडेंस इंटरवल जिसमें प्रायिकता के साथ पी = 1 - α एक यादृच्छिक चर है, इसकी गणना निम्नानुसार की जाती है:

,

α = 1 - पी, जो आँकड़ों पर लगभग किसी भी पुस्तक के परिशिष्ट में पाया जा सकता है।

व्यवहार में, जनसंख्या माध्य और विचरण ज्ञात नहीं हैं, इसलिए जनसंख्या विचरण को नमूना विचरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और जनसंख्या माध्य नमूना माध्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इस प्रकार, ज्यादातर मामलों में विश्वास अंतराल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

.

विश्वास अंतराल सूत्र का उपयोग जनसंख्या माध्य का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है यदि

• सामान्य जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात है;
• या जनसंख्या का मानक विचलन ज्ञात नहीं है, लेकिन नमूना आकार 30 से अधिक है।

नमूना माध्य जनसंख्या माध्य का एक निष्पक्ष अनुमान है। बदले में, नमूना विचरण जनसंख्या भिन्नता का निष्पक्ष अनुमान नहीं है। नमूना विचरण सूत्र में जनसंख्या विचरण का एक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए, नमूना आकार है एनके साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए एन-1.

उदाहरण 1एक निश्चित शहर में बेतरतीब ढंग से चुने गए 100 कैफे से जानकारी एकत्र की जाती है कि उनमें कर्मचारियों की औसत संख्या 4.6 के मानक विचलन के साथ 10.5 है। कैफे कर्मचारियों की संख्या का 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें।

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

इस प्रकार, कैफे कर्मचारियों की औसत संख्या के लिए 95% विश्वास अंतराल 9.6 और 11.4 के बीच था।

उदाहरण 2 64 अवलोकनों की सामान्य आबादी से एक यादृच्छिक नमूने के लिए, निम्नलिखित कुल मूल्यों की गणना की गई:

प्रेक्षणों में मूल्यों का योग,

माध्य से मानों के वर्ग विचलन का योग .

अपेक्षित मूल्य के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें।

मानक विचलन की गणना करें:

,

औसत मूल्य की गणना करें:

.

विश्वास अंतराल के लिए व्यंजक में मानों को प्रतिस्थापित करें:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

इस प्रकार, इस नमूने की गणितीय अपेक्षा के लिए 95% विश्वास अंतराल 7.484 से 11.266 तक था।

उदाहरण 3 100 प्रेक्षणों की सामान्य जनसंख्या से एक यादृच्छिक नमूने के लिए 15.2 के माध्य मान और 3.2 के मानक विचलन की गणना की गई। अपेक्षित मान के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करें, फिर 99% विश्वास अंतराल की गणना करें। यदि नमूना शक्ति और इसकी भिन्नता समान रहती है, लेकिन विश्वास कारक बढ़ता है, तो क्या विश्वास अंतराल संकीर्ण या चौड़ा होगा?

हम इन मूल्यों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,05 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के औसत के लिए 95% विश्वास अंतराल 14.57 से 15.82 तक था।

फिर से, हम इन मूल्यों को विश्वास अंतराल के लिए अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं:

महत्व स्तर के लिए मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य कहां है α = 0,01 .

हम पाते हैं:

.

इस प्रकार, इस नमूने के औसत के लिए 99% विश्वास अंतराल 14.37 से 16.02 तक था।

जैसा कि आप देख सकते हैं, जैसे-जैसे आत्मविश्वास कारक बढ़ता है, मानक सामान्य वितरण का महत्वपूर्ण मूल्य भी बढ़ता है, और इसलिए, अंतराल के प्रारंभ और अंत बिंदु माध्य से आगे स्थित होते हैं, और इस प्रकार गणितीय अपेक्षा के लिए आत्मविश्वास अंतराल बढ़ती है।

विशिष्ट गुरुत्व के बिंदु और अंतराल अनुमान

नमूने की कुछ विशेषताओं के हिस्से की व्याख्या शेयर के बिंदु अनुमान के रूप में की जा सकती है पीसामान्य आबादी में एक ही विशेषता। यदि इस मान को किसी प्रायिकता से संबद्ध करने की आवश्यकता है, तो विशिष्ट गुरुत्व के विश्वास अंतराल की गणना की जानी चाहिए पीसंभावना के साथ सामान्य आबादी में विशेषता पी = 1 - α :

.

उदाहरण 4एक निश्चित शहर में दो उम्मीदवार हैं एऔर बीमहापौर के लिए चल रहा है। शहर के 200 निवासियों को बेतरतीब ढंग से मतदान किया गया, जिनमें से 46% ने उत्तर दिया कि वे उम्मीदवार को वोट देंगे ए, 26% - उम्मीदवार के लिए बीऔर 28% को नहीं पता कि वे किसे वोट देंगे। उम्मीदवार का समर्थन करने वाले शहर के निवासियों के अनुपात के लिए 95% विश्वास अंतराल निर्धारित करें ए.

कोई भी नमूना सामान्य जनसंख्या का केवल एक अनुमानित विचार देता है, और सभी नमूना सांख्यिकीय विशेषताओं (माध्य, मोड, विचरण ...) सामान्य जनसंख्या की दुर्गमता (चित्र 20)।

चित्र 20. नमूनाकरण त्रुटि

लेकिन आप उस अंतराल को निर्दिष्ट कर सकते हैं जिसमें, एक निश्चित डिग्री की संभावना के साथ, सांख्यिकीय विशेषता का सही (सामान्य) मान निहित है। इस अंतराल को कहा जाता है डी आत्मविश्वास अंतराल (सीआई)।

तो 95% की संभावना के साथ सामान्य औसत के भीतर है

से, (20)

कहाँ पे टी - छात्र के मानदंड का सारणीबद्ध मूल्य α = 0.05 और एफ= एन-1

पाया जा सकता है और 99% सीआई, इस मामले में टी के लिए चुना गया α =0,01.

विश्वास अंतराल का व्यावहारिक महत्व क्या है?

एक विस्तृत विश्वास अंतराल इंगित करता है कि नमूना माध्य जनसंख्या माध्य को सटीक रूप से नहीं दर्शाता है। यह आमतौर पर अपर्याप्त नमूना आकार, या इसकी विविधता के कारण होता है, अर्थात। बड़ा फैलाव। दोनों माध्य में एक बड़ी त्रुटि देते हैं और, तदनुसार, एक व्यापक CI। और यही कारण है कि अनुसंधान योजना चरण में लौटने का।

ऊपरी और निचली सीआई सीमाएं यह आकलन करती हैं कि क्या परिणाम चिकित्सकीय रूप से महत्वपूर्ण होंगे

आइए हम समूह गुणों के अध्ययन के परिणामों के सांख्यिकीय और नैदानिक ​​​​महत्व के प्रश्न पर अधिक विस्तार से ध्यान दें। याद रखें कि आँकड़ों का कार्य नमूना डेटा के आधार पर सामान्य आबादी में कम से कम कुछ अंतरों का पता लगाना है। ऐसे (कोई नहीं) अंतर को खोजना चिकित्सक का कार्य है जो निदान या उपचार में मदद करेगा। और हमेशा सांख्यिकीय निष्कर्ष नैदानिक ​​​​निष्कर्षों का आधार नहीं होते हैं। इस प्रकार, हीमोग्लोबिन में 3 ग्राम/ली की सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण कमी चिंता का कारण नहीं है। और, इसके विपरीत, यदि मानव शरीर में किसी समस्या का संपूर्ण जनसंख्या के स्तर पर जन चरित्र नहीं है, तो यह इस समस्या से निपटने का कोई कारण नहीं है।