La solución del problema:

252 = 242 + 72, lo que significa que el triángulo es rectángulo y su área es igual a la mitad del producto de sus catetos, es decir S = hс * с: 2, donde с es la hipotenusa, hс ​​es la altura dibujada hasta la hipotenusa, luego hс = = = 6,72 (cm)

Respuesta: 6,72 cm.

Objeto de la etapa:

Diapositiva número 4

“4” - 1 respuesta incorrecta

“3” - las respuestas son incorrectas.

Sugiero hacer:

Diapositiva número 5

Objeto de la etapa:

Al final de la lección:

En la pizarra están escritas las siguientes frases:

La lección es útil, todo está claro.

Todavía tienes que trabajar duro.

¡Sí, todavía es difícil estudiar!

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"Proyecto de lección de matemáticas "Teorema inverso al teorema de Pitágoras""

Proyecto de lección “Teorema inverso al teorema de Pitágoras”

Una lección sobre cómo “descubrir” nuevos conocimientos

Objetivos de la lección:

actividad: desarrollar en los estudiantes la capacidad de construir de forma independiente nuevos métodos de acción basados ​​​​en el método de autoorganización reflexiva;

educativo: Ampliación de la base conceptual mediante la inclusión de nuevos elementos en la misma.

Etapa de motivación para las actividades de aprendizaje (5 min)

Saludo mutuo del profesor y de los alumnos, comprobar la preparación para la lección, organizar la atención y la preparación interna, integrar rápidamente a los alumnos en el ritmo empresarial resolviendo problemas utilizando dibujos ya preparados:

Encuentra BC si ABCD es un rombo.

ABCD es un rectángulo. AB:AD = 3:4. Encuentra anuncio.

Encuentra anuncio.

Encuentre AB.

Encuentra el sol.

Respuestas a problemas basados ​​​​en dibujos ya hechos:

1.BC = 3; 2.BP = 4 cm; 3.AB = 3√2cm.

Etapa de “descubrimiento” de nuevos conocimientos y métodos de acción (15 min)

Objeto de la etapa: formulación del tema y los objetivos de la lección mediante el diálogo introductorio (la técnica de la “situación problemática”).

Formule afirmaciones inversas a los datos y averigüe si son verdaderas:diapositiva numero 1

En el último caso, los estudiantes pueden formular una afirmación que sea opuesta a la dada.

Instrucciones para trabajar en parejas para estudiar la demostración del teorema inverso al teorema de Pitágoras.

Instruyo a los estudiantes sobre el método de actividad, sobre la ubicación del material.

Tarea para parejas: diapositiva numero 2

Trabajo independiente por parejas para estudiar la demostración del teorema inverso al teorema de Pitágoras. Protección pública de la prueba.

Una de las parejas comienza su presentación enunciando el teorema. Hay una discusión activa de la prueba, durante la cual se justifica una u otra opción con la ayuda de preguntas del profesor y de los alumnos.

Comparar la prueba del teorema con la prueba del profesor.

La profesora trabaja en la pizarra, dirigiéndose a los alumnos que están trabajando en sus cuadernos.

Dado: ABC – triángulo, AB 2 = AC 2 + BC 2

Descubra si ABC es rectangular. Prueba:

Considere A 1 B 1 C 1 tal que ˂C = 90 0, A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC. Entonces, según el teorema de Pitágoras, A 1 B 1 2 = A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2.

Dado que A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, entonces: A 1 C 1 2 + B 1 C 1 2 = AC 2 + BC 2 = AB 2, por lo tanto, AB 2 = A 1 B 1 2 y AB = A 1 B 1.

A 1 B 1 C 1 = ABC en tres lados, de donde ˂C = ˂C 1 = 90 0, es decir, ABC es rectangular. Entonces, si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo.

Esta declaración se llama un teorema inverso al teorema de Pitágoras.

Discurso público de uno de los alumnos sobre los triángulos pitagóricos (información preparada).

Diapositiva número 3

Después de la información, les hago algunas preguntas a los estudiantes.

¿Los siguientes triángulos son triángulos pitagóricos?

con hipotenusa 25 y cateto 15;

con las patas 5 y 4?

Etapa de consolidación primaria con pronunciación en el habla externa (10 min)

Objeto de la etapa: demostrar la aplicación del teorema inverso al teorema de Pitágoras en el proceso de resolución de problemas.

Propongo resolver el problema No. 499 a) del libro de texto. Uno de los alumnos es invitado a la pizarra, resuelve el problema con la ayuda del profesor y los alumnos, pronunciando la solución en un discurso externo. Durante la presentación del estudiante invitado, hago varias preguntas:

¿Cómo comprobar si un triángulo tiene un ángulo recto?

¿Hacia qué lado se trazará la altura más corta del triángulo?

¿Qué método para calcular la altura de un triángulo se utiliza habitualmente en geometría?

Usando la fórmula para calcular el área de un triángulo, encuentre la altura deseada.

La solución del problema:

25 2 = 24 2 + 7 2, lo que significa que el triángulo es rectángulo y su área es igual a la mitad del producto de sus catetos, es decir S = h с * с: 2, donde с es la hipotenusa, h с es la altura dibujada hasta la hipotenusa, luego h с = = = 6,72 (cm)

Respuesta: 6,72 cm.

Etapa de trabajo independiente con autotest según norma (10 min)

Objeto de la etapa: mejorar la actividad independiente en el aula mediante la realización de autoevaluaciones, aprender a evaluar actividades, analizar y sacar conclusiones.

Se propone trabajo independiente con una propuesta para evaluar adecuadamente su trabajo y darle una calificación adecuada.

Diapositiva número 4

Criterios de calificación: “5”: todas las respuestas son correctas

“4” - 1 respuesta incorrecta

“3” - las respuestas son incorrectas.

La etapa de informar a los estudiantes sobre la tarea, instrucciones sobre cómo completarla (3 min).

Les informo a los estudiantes sobre sus tareas, les explico cómo completarlas y compruebo su comprensión del contenido del trabajo.

Sugiero hacer:

Diapositiva número 5

Etapa de reflexión de las actividades educativas en la lección (2 min)

Objeto de la etapa: Enseñar a los estudiantes a evaluar su disposición para detectar la ignorancia, encontrar las causas de las dificultades y determinar el resultado de sus actividades.

En esta etapa, invito a cada estudiante a elegir solo uno de los chicos a quienes me gustaría agradecerles por su cooperación y explicarles cómo se manifestó exactamente esta cooperación.

La palabra de agradecimiento del profesor es definitiva. Al mismo tiempo, elijo a los que recibieron menos elogios.

Al final de la lección:

En la pizarra están escritas las siguientes frases:

La lección es útil, todo está claro.

Sólo hay una cosa que no está clara.

Todavía tienes que trabajar duro.

¡Sí, todavía es difícil estudiar!

Los niños se acercan y al final de la lección ponen un cartel (marca de verificación) junto a las palabras que más les convienen.

Según Van der Waerden, es muy probable que la proporción en forma general fuera conocida en Babilonia alrededor del siglo XVIII a.C. mi.

Alrededor del 400 a.C. Antes de Cristo, según Proclo, Platón dio un método para encontrar tripletes pitagóricos, combinando álgebra y geometría. Alrededor del 300 a.C. mi. La prueba axiomática más antigua del teorema de Pitágoras apareció en los Elementos de Euclides.

Formulaciones

La formulación básica contiene operaciones algebraicas: en un triángulo rectángulo cuyas longitudes son iguales un (displaystyle a) Y segundo (\displaystyle b), y la longitud de la hipotenusa es c (displaystyle c), se cumple la siguiente relación:

.

También es posible una formulación geométrica equivalente, recurriendo al concepto de área de una figura: en un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre la piernas. El teorema está formulado de esta forma en los Elementos de Euclides.

Teorema de Pitágoras inverso- una afirmación sobre la rectangularidad de cualquier triángulo, cuyas longitudes de los lados están relacionadas por la relación a 2 + segundo 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). En consecuencia, por cada triple de números positivos un (displaystyle a), segundo (\displaystyle b) Y c (displaystyle c), tal que a 2 + segundo 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), hay un triángulo rectángulo con catetos un (displaystyle a) Y segundo (\displaystyle b) y hipotenusa c (displaystyle c).

Prueba

En la literatura científica existen al menos 400 demostraciones del teorema de Pitágoras, lo que se explica tanto por su importancia fundamental para la geometría como por la naturaleza elemental del resultado. Las principales direcciones de las pruebas son: el uso algebraico de las relaciones entre los elementos de un triángulo (por ejemplo, el método popular de similitud), el método de áreas, también hay varias pruebas exóticas (por ejemplo, usando ecuaciones diferenciales).

A través de triángulos semejantes

La prueba clásica de Euclides tiene como objetivo establecer la igualdad de áreas entre rectángulos formados al diseccionar el cuadrado encima de la hipotenusa por la altura del ángulo recto con los cuadrados encima de los catetos.

La construcción utilizada para la prueba es la siguiente: para un triángulo rectángulo con un ángulo recto C (\displaystyle C), cuadrados sobre los catetos y cuadrados sobre la hipotenusa A B I K (\ Displaystyle ABIK) se esta construyendo la altura CH y el rayo que lo continúa s (\displaystyle s), dividiendo el cuadrado sobre la hipotenusa en dos rectángulos y . La prueba tiene como objetivo establecer la igualdad de las áreas del rectángulo. A H J K (\ Displaystyle AHJK) con un cuadrado sobre la pierna A C (\displaystyle CA); de manera similar se establece la igualdad de las áreas del segundo rectángulo, que constituye el cuadrado encima de la hipotenusa, y el rectángulo encima del otro cateto.

Igualdad de áreas de un rectángulo. A H J K (\ Displaystyle AHJK) Y A C E D (\ Displaystyle ACED) se establece a través de la congruencia de triángulos △ A C K ​​​​(\displaystyle \triangle ACK) Y △ A B D (\displaystyle \triangle ABD), el área de cada uno de los cuales es igual a la mitad del área de los cuadrados A H J K (\ Displaystyle AHJK) Y A C E D (\ Displaystyle ACED) en consecuencia, en relación con la siguiente propiedad: el área de un triángulo es igual a la mitad del área de un rectángulo si las figuras tienen un lado común, y la altura del triángulo al lado común es el otro lado de el rectángulo. La congruencia de triángulos se deriva de la igualdad de dos lados (lados de cuadrados) y el ángulo entre ellos (compuesto por un ángulo recto y un ángulo en A (\displaystyle A).

Así, la prueba establece que el área de un cuadrado encima de la hipotenusa, compuesto por rectángulos A H J K (\ Displaystyle AHJK) Y B H J I (\ Displaystyle BHJI), es igual a la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos.

Prueba de Leonardo da Vinci

El método del área también incluye una prueba encontrada por Leonardo da Vinci. Sea un triángulo rectángulo △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) con ángulo recto C (\displaystyle C) y cuadrados A C E D (\ Displaystyle ACED), B C F G (\ Displaystyle BCFG) Y A B H J (\ Displaystyle ABHJ)(ver imagen). En esta prueba al lado HJ (\displaystyle HJ) de este último, se construye un triángulo en el lado exterior, congruente △ A B C (\displaystyle \triangle ABC), además, reflejado tanto en relación con la hipotenusa como en relación con su altura (es decir, J I = B C (\ Displaystyle JI = BC) Y H I = A C (\ Displaystyle HI = AC)). Derecho C I (\displaystyle CI) divide el cuadrado construido sobre la hipotenusa en dos partes iguales, ya que los triángulos △ A B C (\displaystyle \triangle ABC) Y △ J H I (\displaystyle \triangle JHI) igual en construcción. La prueba establece la congruencia de cuadriláteros. C A J I (\ Displaystyle CAJI) Y D A B G (\ Displaystyle DABG), el área de cada uno de los cuales resulta, por un lado, igual a la suma de la mitad de las áreas de los cuadrados de los catetos y el área del triángulo original, por otro lado, la mitad del área del cuadrado sobre la hipotenusa más el área del triángulo original. En total, la mitad de la suma de las áreas de los cuadrados sobre los catetos es igual a la mitad del área del cuadrado sobre la hipotenusa, lo que equivale a la formulación geométrica del teorema de Pitágoras.

Prueba por el método infinitesimal

Existen varias demostraciones utilizando la técnica de ecuaciones diferenciales. En particular, a Hardy se le atribuye una prueba que utiliza incrementos infinitesimales de catetos. un (displaystyle a) Y segundo (\displaystyle b) y hipotenusa c (displaystyle c), y preservando la similitud con el rectángulo original, es decir, asegurando el cumplimiento de las siguientes relaciones diferenciales:

re una re c = c una (\displaystyle (\frac (da)(dc))=(\frac (c)(a))), re b re c = c b (\displaystyle (\frac (db)(dc))=(\frac (c)(b))).

Utilizando el método de separación de variables, a partir de ellas se deriva una ecuación diferencial. c re c = a re a + b re b (\displaystyle c\ dc=a\,da+b\,db), cuya integración da la relación c 2 = a 2 + b 2 + C o n s t (\displaystyle c^(2)=a^(2)+b^(2)+\mathrm (Const) ). Aplicación de condiciones iniciales. a = b = c = 0 (\displaystyle a=b=c=0) define la constante como 0, lo que da como resultado el enunciado del teorema.

La dependencia cuadrática en la fórmula final aparece debido a la proporcionalidad lineal entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma está asociada a contribuciones independientes del incremento de diferentes catetos.

Variaciones y generalizaciones.

Formas geométricas similares en tres lados.

Euclides dio una importante generalización geométrica del teorema de Pitágoras en los Elementos, pasando de las áreas de los cuadrados en los lados a las áreas de figuras geométricas arbitrarias similares: la suma de las áreas de tales figuras construidas sobre los catetos será igual a el área de una figura similar construida sobre la hipotenusa.

La idea principal de esta generalización es que el área de tal figura geométrica es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales y, en particular, al cuadrado de la longitud de cualquier lado. Por lo tanto, para figuras similares con áreas A (\displaystyle A), B (\displaystyle B) Y C (\displaystyle C), construido sobre patas con longitudes un (displaystyle a) Y segundo (\displaystyle b) y hipotenusa c (displaystyle c) En consecuencia, se cumple la siguiente relación:

A a 2 = B b 2 = C c 2 ⇒ A + B = a 2 c 2 C + b 2 c 2 C (\displaystyle (\frac (A)(a^(2)))=(\frac (B )(b^(2)))=(\frac (C)(c^(2)))\,\Rightarrow \,A+B=(\frac (a^(2))(c^(2) ))C+(\frac (b^(2))(c^(2)))C).

Ya que según el teorema de Pitágoras a 2 + segundo 2 = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)), entonces listo.

Además, si es posible demostrar sin invocar el teorema de Pitágoras que las áreas de tres figuras geométricas semejantes en los lados de un triángulo rectángulo satisfacen la relación A + B = C (\displaystyle A+B=C), luego, utilizando el reverso de la prueba de la generalización de Euclides, se puede derivar una prueba del teorema de Pitágoras. Por ejemplo, si sobre la hipotenusa construimos un triángulo rectángulo congruente con el inicial de área C (\displaystyle C), y en los lados, dos triángulos rectángulos similares con áreas A (\displaystyle A) Y B (\displaystyle B), entonces resulta que los triángulos de los lados se forman como resultado de dividir el triángulo inicial por su altura, es decir, la suma de las dos áreas más pequeñas de los triángulos es igual al área del tercero, así A + B = C (\displaystyle A+B=C) y, aplicando la relación para figuras similares, se deriva el teorema de Pitágoras.

Teorema del coseno

El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema más general del coseno, que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo arbitrario:

a 2 + b 2 − 2 a b porque ⁡ θ = c 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)-2ab\cos (\theta )=c^(2)),

¿Dónde está el ángulo entre los lados? un (displaystyle a) Y segundo (\displaystyle b). Si el ángulo es de 90°, entonces porque ⁡ θ = 0 (\displaystyle \cos \theta =0), y la fórmula se simplifica al teorema de Pitágoras habitual.

Triángulo libre

Existe una generalización del teorema de Pitágoras a un triángulo arbitrario, que opera únicamente sobre la relación de las longitudes de los lados; se cree que fue establecida por primera vez por el astrónomo sabiano Thabit ibn Qurra. En él, para un triángulo arbitrario con lados, cabe un triángulo isósceles con una base en el lado. c (displaystyle c), coincidiendo el vértice con el vértice del triángulo original, opuesto al lado c (displaystyle c) y ángulos en la base iguales al ángulo θ (\displaystyle \theta ), lado opuesto c (displaystyle c). Como resultado, se forman dos triángulos similares al original: el primero, con lados un (displaystyle a), el lado más alejado de él del triángulo isósceles inscrito, y r (\displaystyle r)- partes laterales c (displaystyle c); el segundo - simétricamente desde un lado segundo (\displaystyle b) con el lado s (\displaystyle s)- la parte correspondiente del lado c (displaystyle c). Como resultado se cumple la siguiente relación:

a 2 + b 2 = c (r + s) (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c(r+s)),

degenerando en el teorema de Pitágoras en θ = π / 2 (\displaystyle \theta =\pi /2). La relación es consecuencia de la similitud de los triángulos formados:

c a = a r , c b = b s ⇒ c r + c s = a 2 + b 2 (\displaystyle (\frac (c)(a))=(\frac (a)(r)),\,(\frac (c) (b))=(\frac (b)(s))\,\Rightarrow \,cr+cs=a^(2)+b^(2)).

Teorema de Pappus sobre áreas

Geometría no euclidiana

El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana y no es válido para la geometría no euclidiana; el cumplimiento del teorema de Pitágoras equivale al postulado del paralelismo euclidiano.

En geometría no euclidiana, la relación entre los lados de un triángulo rectángulo necesariamente tendrá una forma diferente a la del teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en geometría esférica, los tres lados de un triángulo rectángulo, que unen el octante de la esfera unitaria, tienen una longitud π / 2 (\displaystyle \pi /2), lo que contradice el teorema de Pitágoras.

Además, el teorema de Pitágoras es válido en geometría hiperbólica y elíptica si el requisito de que el triángulo sea rectangular se reemplaza por la condición de que la suma de dos ángulos del triángulo debe ser igual al tercero.

Geometría esférica

Para cualquier triángulo rectángulo en una esfera con radio R (\displaystyle R)(por ejemplo, si el ángulo en un triángulo es recto) con lados a, b, c (\displaystyle a,b,c) la relación entre los lados es:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) (\displaystyle \cos \left((\frac (c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)).

Esta igualdad se puede derivar como un caso especial del teorema del coseno esférico, que es válido para todos los triángulos esféricos:

cos ⁡ (c R) = cos ⁡ (a R) ⋅ cos ⁡ (b R) + sin ⁡ (a R) ⋅ sin ⁡ (b R) ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \cos \left((\frac ( c)(R))\right)=\cos \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \cos \left((\frac (b)(R))\right)+\ sin \left((\frac (a)(R))\right)\cdot \sin \left((\frac (b)(R))\right)\cdot \cos \gamma ). ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b),

Dónde ch (\displaystyle \operatorname (ch) )- coseno hiperbólico. Esta fórmula es un caso especial del teorema del coseno hiperbólico, que es válido para todos los triángulos:

ch ⁡ c = ch ⁡ a ⋅ ch ⁡ b − sh ⁡ a ⋅ sh ⁡ b ⋅ cos ⁡ γ (\displaystyle \operatorname (ch) c=\operatorname (ch) a\cdot \operatorname (ch) b-\operatorname (sh) a\cdot \nombre del operador (sh) b\cdot \cos \gamma ),

Dónde γ (\displaystyle \gamma )- un ángulo cuyo vértice es opuesto al lado c (displaystyle c).

Usando la serie de Taylor para el coseno hiperbólico ( ch ⁡ x ≈ 1 + x 2 / 2 (\displaystyle \operatorname (ch) x\approx 1+x^(2)/2)) se puede demostrar que si un triángulo hiperbólico disminuye (es decir, cuando un (displaystyle a), segundo (\displaystyle b) Y c (displaystyle c) tienden a cero), entonces las relaciones hiperbólicas en un triángulo rectángulo se acercan a la relación del teorema de Pitágoras clásico.

Solicitud

Distancia en sistemas rectangulares bidimensionales.

La aplicación más importante del teorema de Pitágoras es determinar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas rectangulares: distancia s (\displaystyle s) entre puntos con coordenadas (a, b) (\displaystyle (a,b)) Y (c , d) (\displaystyle (c,d)) es igual a:

s = (a − c) 2 + (b − d) 2 (\displaystyle s=(\sqrt ((a-c)^(2)+(b-d)^(2)))).

Para números complejos, el teorema de Pitágoras da una fórmula natural para encontrar el módulo de un número complejo, por z = x + y yo (\displaystyle z=x+yi) es igual a la longitud

Es notable que la propiedad especificada en el teorema de Pitágoras sea una propiedad característica de un triángulo rectángulo. Esto se desprende del teorema inverso al teorema de Pitágoras.

Teorema: Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo.

la fórmula de garza

Derivemos una fórmula que exprese el plano de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados. Esta fórmula está asociada con el nombre de Garza de Alejandría, un antiguo matemático y mecánico griego que probablemente vivió en el siglo I d.C. Heron prestó mucha atención a las aplicaciones prácticas de la geometría.

Teorema. El área S de un triángulo cuyos lados son iguales a a, b, c se calcula mediante la fórmula S=, donde p es el semiperímetro del triángulo.

Prueba.

Dado: ?ABC, AB= c, BC= a, AC= b. Los ángulos A y B son agudos. CH - altura.

Probar:

Prueba:

Considere el triángulo ABC, en el que AB=c, BC=a, AC=b. Todo triángulo tiene al menos dos ángulos agudos. Sean A y B ángulos agudos del triángulo ABC. Entonces la base H de la altura CH del triángulo está en el lado AB. Introduzcamos la siguiente notación: CH = h, AH=y, HB=x. por el teorema de Pitágoras a 2 - x 2 = h 2 =b 2 -y 2, de donde

Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, o (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, y dado que y + x = c, entonces y- x = (b2 - a2).

Sumando las dos últimas igualdades obtenemos:

2y = +c, de donde

y=, y, por lo tanto, h 2 = b 2 -y 2 =(b - y)(b+y)=

Sujeto: El teorema es inverso al teorema de Pitágoras.

Objetivos de la lección: 1) considere el teorema inverso al teorema de Pitágoras; su aplicación en el proceso de resolución de problemas; consolidar el teorema de Pitágoras y mejorar las habilidades de resolución de problemas para su aplicación;

2) desarrollar el pensamiento lógico, la búsqueda creativa, el interés cognitivo;

3) cultivar en los estudiantes una actitud responsable ante el aprendizaje y una cultura del habla matemática.

Tipo de lección. Una lección para aprender nuevos conocimientos.

durante las clases

І. Organizar el tiempo

ІІ. Actualizar conocimiento

Lección para miharíaquiseComience con una cuarteta.

Sí, el camino del conocimiento no es fácil.

Pero sabemos por nuestros años escolares,

Hay más misterios que respuestas,

¡Y no hay límite para la búsqueda!

Entonces, en la última lección aprendiste el teorema de Pitágoras. Preguntas:

¿Para qué figura es válido el teorema de Pitágoras?

¿Qué triángulo se llama triángulo rectángulo?

Enuncie el teorema de Pitágoras.

¿Cómo se puede escribir el teorema de Pitágoras para cada triángulo?

¿Qué triángulos se llaman iguales?

¿Formular los criterios para la igualdad de triángulos?

Ahora hagamos un poco de trabajo independiente:

Resolver problemas mediante dibujos.

№1

(1 b.) Hallar: AB.

№2

(1 b.) Encontrar: VS.

№3

( 2 b.)Encontrar: aire acondicionado

№4

(1 punto)Encontrar: aire acondicionado

№5 Dado por: ABCDrombo

(2 b.) AB = 13 cm

CA = 10 cm

Encontrar enD

Autoprueba nº 1. 5

№2. 5

№3. 16

№4. 13

№5. 24

ІІІ. Estudiando nuevo material.

Los antiguos egipcios construyeron ángulos rectos en el suelo de esta manera: dividieron la cuerda en 12 partes iguales con nudos, ataron sus extremos, después de lo cual la cuerda se estiró en el suelo de modo que se formó un triángulo con lados de 3, 4 y 5 divisiones. El ángulo del triángulo opuesto al lado de 5 divisiones era recto.

¿Puede usted explicar la exactitud de esta sentencia?

Como resultado de buscar una respuesta a la pregunta, los estudiantes deben comprender que desde un punto de vista matemático se plantea la pregunta: ¿será el triángulo rectángulo?

Nos planteamos un problema: cómo determinar, sin realizar mediciones, si un triángulo con unos lados dados será rectangular. Resolver este problema es el objetivo de la lección.

Escriba el tema de la lección.

Teorema. Si la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado del tercer lado, entonces el triángulo es rectángulo.

Demuestre el teorema de forma independiente (haga un plan de demostración utilizando el libro de texto).

De este teorema se deduce que un triángulo con lados 3, 4, 5 es rectángulo (egipcio).

En general, los números para los cuales se cumple la igualdad , se llaman trillizos pitagóricos. Y los triángulos cuyas longitudes de lados se expresan mediante tripletes pitagóricos (6, 8, 10) son triángulos pitagóricos.

Consolidación.

Porque , entonces un triángulo con lados 12, 13, 5 no es rectángulo.

Porque , entonces un triángulo con lados 1, 5, 6 es rectángulo.

№ 430 (a, b, c)

( - no es)

Teorema de pitágoras- uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación

entre los lados de un triángulo rectángulo.

Se cree que fue demostrado por el matemático griego Pitágoras, de quien recibió su nombre.

Formulación geométrica del teorema de Pitágoras.

El teorema se formuló originalmente de la siguiente manera:

En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados,

construido sobre piernas.

Formulación algebraica del teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Es decir, denotar la longitud de la hipotenusa del triángulo por C, y las longitudes de las piernas a través de a Y b:

Ambas formulaciones Teorema de pitágoras son equivalentes, pero la segunda formulación es más elemental, no

Requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede verificar sin saber nada sobre el área y

midiendo sólo las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras inverso.

Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces

triángulo rectángulo.

O, en otras palabras:

Por cada triple de números positivos a, b Y C, tal que

hay un triangulo rectángulo con catetos a Y b y hipotenusa C.

Teorema de Pitágoras para un triángulo isósceles.

Teorema de Pitágoras para un triángulo equilátero.

Pruebas del teorema de Pitágoras.

Actualmente, se han registrado en la literatura científica 367 demostraciones de este teorema. Probablemente el teorema

Pitágoras es el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Tal diversidad

Sólo puede explicarse por el significado fundamental del teorema para la geometría.

Por supuesto, conceptualmente todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. El más famoso de ellos:

prueba método de área, axiomático Y evidencia exótica(Por ejemplo,

mediante el uso ecuaciones diferenciales).

1. Demostración del teorema de Pitágoras utilizando triángulos semejantes.

La siguiente prueba de la formulación algebraica es la más simple de las pruebas construidas.

directamente de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de una figura.

Dejar A B C hay un triangulo rectángulo con un ángulo recto C. Dibujemos la altura de C y denotar

su fundación a través de h.

Triángulo ACH similar a un triangulo AB C en dos esquinas. Asimismo, el triángulo CBH similar A B C.

Introduciendo la notación:

obtenemos:

,

que corresponde a -

Doblada a 2 y b 2, obtenemos:

o , que es lo que había que demostrar.

2. Demostración del teorema de Pitágoras mediante el método del área.

Las pruebas siguientes, a pesar de su aparente simplicidad, no lo son en absoluto. Todos ellos

Utilice propiedades del área, cuyas pruebas son más complejas que la prueba del propio teorema de Pitágoras.

• Prueba por equicomplementariedad.

Organicemos cuatro rectangulares iguales.

triangulo como se muestra en la figura

a la derecha.

Cuadrilátero con lados C- cuadrado,

ya que la suma de dos ángulos agudos es 90°, y

ángulo desplegado - 180°.

El área de toda la figura es igual, por un lado,

área de un cuadrado con lado ( a+b), y por otro lado, la suma de las áreas de cuatro triángulos y

Q.E.D.

3. Demostración del teorema de Pitágoras por el método infinitesimal.

​

Mirando el dibujo que se muestra en la figura y

viendo el cambio de ladoa, podemos

escribe la siguiente relación para infinitamente

pequeño incrementos lateralesCon Y a(usando similitud

triangulos):

Usando el método de separación de variables, encontramos:

Una expresión más general para el cambio en la hipotenusa en el caso de incrementos en ambos lados:

Integrando esta ecuación y usando las condiciones iniciales, obtenemos:

Así llegamos a la respuesta deseada:

Como es fácil de ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final aparece debido a la relación lineal

proporcionalidad entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma está relacionada con los independientes

contribuciones del incremento de diferentes tramos.

Se puede obtener una prueba más sencilla si asumimos que una de las piernas no experimenta un aumento.

(en este caso la pierna b). Entonces para la constante de integración obtenemos: