Razón del quinto número de una progresión geométrica. Progresión geométrica - Hipermercado del conocimiento. Secuencia monótona y constante.

Las matemáticas son lo quela gente controla la naturaleza y a sí mismos.

El matemático y académico soviético A.N. Kolmogórov

Progresión geométrica.

Además de los problemas sobre progresiones aritméticas, los problemas relacionados con el concepto de progresión geométrica también son habituales en los exámenes de acceso a matemáticas. Para resolver con éxito este tipo de problemas, es necesario conocer las propiedades de las progresiones geométricas y tener buenas habilidades para utilizarlas.

Este artículo está dedicado a la presentación de las propiedades básicas de la progresión geométrica. Aquí también se proporcionan ejemplos de resolución de problemas típicos., tomado de las tareas de los exámenes de ingreso en matemáticas.

Primero observemos las propiedades básicas de la progresión geométrica y recordemos las fórmulas y declaraciones más importantes., relacionado con este concepto.

Definición. Una secuencia numérica se llama progresión geométrica si cada número, comenzando por el segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. El número se llama denominador de una progresión geométrica.

Para progresión geométricalas formulas son validas

, (1)

Dónde . La fórmula (1) se denomina fórmula del término general de una progresión geométrica, y la fórmula (2) representa la propiedad principal de una progresión geométrica: cada término de la progresión coincide con la media geométrica de sus términos vecinos y .

Nota, que es precisamente por esta propiedad que la progresión en cuestión se llama “geométrica”.

Las fórmulas anteriores (1) y (2) se generalizan de la siguiente manera:

, (3)

Para calcular la cantidad primero miembros de una progresión geométricase aplica la fórmula

Si denotamos , entonces

Dónde . Dado que , la fórmula (6) es una generalización de la fórmula (5).

En el caso cuando y progresión geométricaes infinitamente decreciente. Para calcular la cantidadde todos los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente, se utiliza la fórmula

. (7)

Por ejemplo , usando la fórmula (7) podemos demostrar, Qué

Dónde . Estas igualdades se obtienen a partir de la fórmula (7) bajo la condición de que , (primera igualdad) y , (segunda igualdad).

Teorema. Si entonces

Prueba. Si entonces

El teorema ha sido demostrado.

Pasemos a considerar ejemplos de resolución de problemas sobre el tema "Progresión geométrica".

Ejemplo 1. Dado: , y . Encontrar .

Solución. Si aplicamos la fórmula (5), entonces

Respuesta: .

Ejemplo 2. Déjalo ser. Encontrar .

Solución. Desde y , usamos las fórmulas (5), (6) y obtenemos un sistema de ecuaciones

Si la segunda ecuación del sistema (9) se divide por la primera, entonces o . De esto se desprende que . Consideremos dos casos.

1. Si, entonces de la primera ecuación del sistema (9) tenemos.

2. Si, entonces.

Ejemplo 3. Deja , y . Encontrar .

Solución. De la fórmula (2) se deduce que o . Desde entonces o .

Por condición. Sin embargo, por lo tanto. Desde y entonces aquí tenemos un sistema de ecuaciones

Si la segunda ecuación del sistema se divide por la primera, entonces o .

Desde entonces, la ecuación tiene una única raíz adecuada. En este caso, se desprende de la primera ecuación del sistema.

Teniendo en cuenta la fórmula (7), obtenemos.

Respuesta: .

Ejemplo 4. Dado: y . Encontrar .

Solución. Desde entonces.

Desde entonces o

Según la fórmula (2) tenemos. En este sentido, de la igualdad (10) obtenemos o .

Sin embargo, por condición, por tanto.

Ejemplo 5. Se sabe que . Encontrar .

Solución. Según el teorema, tenemos dos igualdades.

Desde entonces o . Porque entonces .

Respuesta: .

Ejemplo 6. Dado: y . Encontrar .

Solución. Teniendo en cuenta la fórmula (5), obtenemos

Desde entonces. Desde, y, entonces.

Ejemplo 7. Déjalo ser. Encontrar .

Solución. Según la fórmula (1) podemos escribir

Por lo tanto, tenemos o . Se sabe que y , por lo tanto y .

Respuesta: .

Ejemplo 8. Encuentra el denominador de una progresión geométrica decreciente infinita si

Y .

Solución. De la fórmula (7) se deduce Y . De aquí y de las condiciones del problema obtenemos un sistema de ecuaciones

Si la primera ecuación del sistema es al cuadrado, y luego dividir la ecuación resultante por la segunda ecuación, entonces obtenemos

O .

Respuesta: .

Ejemplo 9. Encuentra todos los valores para los cuales la secuencia , , es una progresión geométrica.

Solución. Deja , y . Según la fórmula (2), que define la propiedad principal de una progresión geométrica, podemos escribir o .

De aquí obtenemos la ecuación cuadrática., cuyas raíces son Y .

Comprobemos: si, entonces y ; si , entonces y .

En el primer caso tenemos y , y en el segundo – y .

Respuesta: , .

Ejemplo 10.Resuelve la ecuación

, (11)

dónde y .

Solución. El lado izquierdo de la ecuación (11) es la suma de una progresión geométrica infinita decreciente, en la que y , sujeto a: y .

De la fórmula (7) se deduce, Qué . En este sentido, la ecuación (11) toma la forma o . raíz adecuada la ecuación cuadrática es

Respuesta: .

Ejemplo 11. PAG secuencia de numeros positivosforma una progresión aritmética, A - progresión geométrica, ¿qué tiene que ver con ? Encontrar .

Solución. Porque secuencia aritmética, Eso (la propiedad principal de la progresión aritmética). Porque el, entonces o . Esto implica , que la progresión geométrica tiene la forma. Según la fórmula (2), luego lo anotamos .

Desde y entonces . En este caso, la expresión toma la forma o . Por condición, entonces de la ecuación.Obtenemos una solución única al problema bajo consideración., es decir. .

Respuesta: .

Ejemplo 12. Calcular suma

. (12)

Solución. Multiplica ambos lados de la igualdad (12) por 5 y obtienes

Si restamos (12) de la expresión resultante, Eso

o .

Para calcular, sustituimos los valores en la fórmula (7) y obtenemos. Desde entonces.

Respuesta: .

Los ejemplos de resolución de problemas que se ofrecen aquí serán útiles para los solicitantes cuando se preparen para los exámenes de ingreso. Para un estudio más profundo de los métodos de resolución de problemas., relacionado con la progresión geométrica, Puede utilizar tutoriales de la lista de literatura recomendada.

1. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Mir y la Educación, 2013. – 608 p.

2. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: secciones adicionales del plan de estudios escolar. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Un curso completo de matemáticas elementales en problemas y ejercicios. Libro 2: Secuencias numéricas y progresiones. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

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Progresiones aritméticas y geométricas.

Información teórica

Información teórica

	Progresión aritmética	Progresión geométrica
Definición	Progresión aritmética un es una secuencia en la que cada miembro, comenzando por el segundo, es igual al miembro anterior sumado al mismo número d (d- diferencia de progresión)	Progresión geométrica bn es una secuencia de números distintos de cero, cada término del cual, a partir del segundo, es igual al término anterior multiplicado por el mismo número q (q- denominador de progresión)
Fórmula de recurrencia	Para cualquier natural norte un norte + 1 = un norte + re	Para cualquier natural norte segundo norte + 1 = segundo norte ∙ q, segundo norte ≠ 0
Fórmula enésimo término	un norte = un 1 + re (norte – 1)	segundo norte = segundo 1 ∙ q norte - 1 , segundo norte ≠ 0
Propiedad característica
Suma de los primeros n términos

Ejemplos de tareas con comentarios.

Ejercicio 1

En progresión aritmética ( un) un 1 = -6, un 2

Según la fórmula del enésimo término:

un 22 = un 1+ d (22 - 1) = un 1+ 21 días

Por condición:

un 1= -6, entonces un 22= -6 + 21 re .

Es necesario encontrar la diferencia de progresiones:

re = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Respuesta : un 22 = -48.

Tarea 2

Encuentra el quinto término de la progresión geométrica: -3; 6;....

1er método (usando la fórmula de n términos)

Según la fórmula del enésimo término de una progresión geométrica:

segundo 5 = segundo 1 ∙ q 5 - 1 = segundo 1 ∙ q 4.

Porque segundo 1 = -3,

Segundo método (usando fórmula recurrente)

Como el denominador de la progresión es -2 (q = -2), entonces:

segundo 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

segundo 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

segundo 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Respuesta : segundo 5 = -48.

Tarea 3

En progresión aritmética ( un n ) un 74 = 34; un 76= 156. Encuentra el término septuagésimo quinto de esta progresión.

Para una progresión aritmética, la propiedad característica tiene la forma .

Por lo tanto:

.

Sustituyamos los datos en la fórmula:

Respuesta: 95.

Tarea 4

En progresión aritmética ( un norte ) un norte= 3n - 4. Encuentra la suma de los primeros diecisiete términos.

Para encontrar la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se utilizan dos fórmulas:

.

¿Cuál de ellos es más conveniente de utilizar en este caso?

Por condición, se conoce la fórmula para el enésimo término de la progresión original ( un) un= 3n - 4. Puedes encontrar inmediatamente y un 1, Y un 16 sin encontrar d. Por tanto, utilizaremos la primera fórmula.

Respuesta: 368.

Tarea 5

En progresión aritmética ( un) un 1 = -6; un 2= -8. Encuentra el vigésimo segundo término de la progresión.

Según la fórmula del enésimo término:

un 22 = un 1 + d (22 – 1) = un 1+ 21 peniques.

Por condición, si un 1= -6, entonces un 22= -6 + 21d . Es necesario encontrar la diferencia de progresiones:

re = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Respuesta : un 22 = -48.

Tarea 6

Se escriben varios términos consecutivos de la progresión geométrica:

Encuentra el término de la progresión indicada por x.

Al resolver, usaremos la fórmula para el enésimo término. segundo norte = segundo 1 ∙ q norte - 1 para progresiones geométricas. El primer término de la progresión. Para encontrar el denominador de la progresión q, debes tomar cualquiera de los términos dados de la progresión y dividirlo por el anterior. En nuestro ejemplo, podemos tomar y dividir por. Obtenemos que q = 3. En lugar de n, sustituimos 3 en la fórmula, ya que es necesario encontrar el tercer término de una progresión geométrica dada.

Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula, obtenemos:

.

Respuesta : .

Tarea 7

De las progresiones aritméticas dadas por la fórmula del enésimo término, seleccione aquella para la cual se cumple la condición un 27 > 9:

Dado que la condición dada debe cumplirse para el término 27 de la progresión, sustituimos 27 en lugar de n en cada una de las cuatro progresiones. En la cuarta progresión obtenemos:

.

Respuesta: 4.

Tarea 8

En progresión aritmética un 1= 3, d = -1,5. Especifique el valor más grande de n para el cual se cumple la desigualdad. un > -6.

Una progresión geométrica es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero y cada término posterior es igual al término anterior multiplicado por el mismo número distinto de cero.

La progresión geométrica se denota. b1,b2,b3, …, bn, … .

La razón de cualquier término del error geométrico a su término anterior es igual al mismo número, es decir, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Esto se deriva directamente de la definición de progresión aritmética. Este número se llama denominador de una progresión geométrica. Normalmente el denominador de una progresión geométrica se denota con la letra q.

Secuencia monótona y constante.

Una de las formas de especificar una progresión geométrica es especificar su primer término b1 y el denominador del error geométrico q. Por ejemplo, b1=4, q=-2. Estas dos condiciones definen la progresión geométrica 4, -8, 16, -32,….

Si q>0 (q no es igual a 1), entonces la progresión es secuencia monótona. Por ejemplo, la secuencia, 2, 4,8,16,32, ... es una secuencia monótonamente creciente (b1=2, q=2).

Si el denominador del error geométrico es q=1, entonces todos los términos de la progresión geométrica serán iguales entre sí. En tales casos dicen que la progresión es secuencia constante.

Fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica

Para que una secuencia numérica (bn) sea una progresión geométrica, es necesario que cada uno de sus miembros, comenzando por el segundo, sea la media geométrica de los miembros vecinos. Es decir, es necesario cumplir la siguiente ecuación
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), para cualquier n>0, donde n pertenece al conjunto de números naturales N.

La fórmula para el enésimo término de la progresión geométrica es:

bn=b1*q^(n-1),

donde n pertenece al conjunto de los números naturales N.

Fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

La fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica tiene la forma:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), donde q no es igual a 1.

Veamos un ejemplo sencillo:

En progresión geométrica b1=6, q=3, n=8 encuentre Sn.

Para encontrar S8, usamos la fórmula para la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19,680.

La progresión geométrica es un nuevo tipo de secuencia numérica con el que estamos a punto de familiarizarnos. Para tener una cita exitosa, no está de más al menos saber y comprender. Entonces no habrá problemas con la progresión geométrica.)

¿Qué es la progresión geométrica? El concepto de progresión geométrica.

Empezamos el recorrido, como es habitual, con lo básico. Escribo una secuencia de números inacabada:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

¿Puedes detectar el patrón y decir qué números vendrán después? La pimienta está clara, luego seguirán los números 100.000, 1.000.000 y así sucesivamente. Incluso sin mucho esfuerzo mental, todo está claro, ¿verdad?)

DE ACUERDO. Otro ejemplo. Escribo esta secuencia:

1, 2, 4, 8, 16, …

¿Puedes decir qué números vendrán a continuación, después del número 16, y el nombre? octavo miembro de la secuencia? Si descubriste que sería el número 128, entonces muy bien. Entonces, la mitad de la batalla está en comprender sentido Y puntos clave La progresión geométrica ya se ha realizado. Puedes crecer más.)

Y ahora pasamos de nuevo de las sensaciones a las matemáticas estrictas.

Puntos clave de la progresión geométrica.

Punto clave #1

La progresión geométrica es secuencia de números. También lo es la progresión. Nada sofisticado. Sólo esta secuencia está dispuesta diferentemente. De ahí que naturalmente tenga otro nombre, sí...

Punto clave #2

Con el segundo punto clave, la cuestión será más complicada. Retrocedamos un poco y recordemos la propiedad clave de la progresión aritmética. Aquí lo tienes: cada miembro es diferente al anterior por la misma cantidad.

¿Es posible formular una propiedad clave similar para una progresión geométrica? Piensa un poco... Mire más de cerca los ejemplos dados. ¿Lo adivinaste? ¡Sí! En progresión geométrica (¡cualquiera!) cada uno de sus miembros se diferencia del anterior el mismo número de veces.¡Siempre!

En el primer ejemplo, este número es diez. Cualquiera que sea el miembro de la secuencia que tomes, es mayor que el anterior. diez veces.

En el segundo ejemplo es un dos: cada término es mayor que el anterior dos veces.

Es en este punto clave en el que la progresión geométrica se diferencia de la progresión aritmética. En una progresión aritmética, cada término subsiguiente se obtiene añadiendo el mismo valor que el término anterior. Y aquí - multiplicación el plazo anterior por la misma cantidad. Esa es toda la diferencia.)

Punto clave #3

Este punto clave es completamente idéntico al de una progresión aritmética. A saber: Cada miembro de una progresión geométrica ocupa su lugar. Todo es exactamente igual que en la progresión aritmética y los comentarios, creo, son innecesarios. Está el primer término, está el centésimo primero, etc. Intercambiemos al menos dos términos: el patrón (y con él la progresión geométrica) desaparecerá. Lo que quedará será sólo una secuencia de números sin ninguna lógica.

Eso es todo. Ese es el objetivo de la progresión geométrica.

Términos y designaciones.

Pero ahora, habiendo comprendido el significado y los puntos clave de la progresión geométrica, podemos pasar a la teoría. De lo contrario, ¿qué es una teoría sin entender el significado, verdad?

¿Cómo denotar la progresión geométrica?

¿Cómo se escribe la progresión geométrica en forma general? ¡Ningún problema! Cada término de la progresión también se escribe como una letra. Sólo para progresión aritmética, normalmente se utiliza la letra. "A", para geométrico – letra "b". Número de miembro, como de costumbre, está indicado índice en la parte inferior derecha. Simplemente enumeramos los miembros de la progresión, separados por comas o punto y coma.

Como esto:

segundo 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Brevemente, esta progresión se escribe así: (bn) .

O así, para progresiones finitas:

segundo 1, segundo 2, segundo 3, segundo 4, segundo 5, segundo 6.

segundo 1, segundo 2,…, segundo 29, segundo 30.

O, en resumen:

(bn), norte=30 .

Esa, de hecho, es toda la designación. Todo es igual, solo la letra es diferente, sí.) Y ahora pasamos directamente a la definición.

Definición de progresión geométrica.

Una progresión geométrica es una secuencia numérica en la que el primer término es distinto de cero y cada término posterior es igual al término anterior multiplicado por el mismo número distinto de cero.

Esa es toda la definición. La mayoría de las palabras y frases le resultan claras y familiares. A menos, por supuesto, que comprenda el significado de la progresión geométrica "con los dedos" y en general. Pero también hay algunas frases nuevas a las que me gustaría prestar especial atención.

Primero, las palabras: "el primer miembro del cual distinto de cero".

Esta restricción al primer mandato no se introdujo por casualidad. ¿Qué crees que pasará si el primer miembro b 1 será igual a cero? ¿A qué será igual el segundo término si cada término es mayor que el anterior? la misma cantidad de veces?¿Digamos tres veces? Veamos... Multiplicamos el primer término (es decir, 0) por 3 y obtenemos... ¡cero! ¿Qué pasa con el tercer miembro? ¡También cero! ¡Y el cuarto término también es cero! Etcétera…

Solo obtenemos una bolsa de bagels, una secuencia de ceros:

0, 0, 0, 0, …

Por supuesto, tal secuencia tiene derecho a la vida, pero no tiene ningún interés práctico. Todo está claro. Cualquier miembro de él es cero. La suma de cualquier número de términos también es cero... ¿Qué cosas interesantes puedes hacer con él? Nada…

Las siguientes palabras clave: "multiplicado por el mismo número distinto de cero".

Este mismo número también tiene su propio nombre especial: denominador de progresión geométrica. Empecemos a familiarizarnos.)

Denominador de una progresión geométrica.

Todo es tan sencillo como pelar peras.

El denominador de una progresión geométrica es un número (o cantidad) distinto de cero que indica cuantas vecescada término de la progresión más que el anterior.

Nuevamente, similar a la progresión aritmética, la palabra clave a buscar en esta definición es la palabra "más". Significa que cada término de la progresión geométrica se obtiene multiplicación a este mismo denominador miembro anterior.

Dejame explicar.

Para calcular, digamos segundo polla, necesito tomar primero miembro y multiplicar al denominador. Para el cálculo décimo polla, necesito tomar noveno miembro y multiplicar al denominador.

El denominador de la progresión geométrica en sí puede ser cualquier cosa. ¡Absolutamente cualquiera! Total, fraccional, positivo, negativo, irracional: todo. Excepto cero. Esto es lo que nos dice la palabra "distinto de cero" en la definición. Por qué se necesita esta palabra aquí; hablaremos de eso más adelante.

Denominador de progresión geométrica más a menudo indicado por la letra q.

como encontrarlo q? ¡Ningún problema! Debemos tomar cualquier término de la progresión y dividir por el término anterior. La división es fracción. De ahí el nombre - "denominador de progresión". El denominador, suele estar en una fracción, sí...) Aunque, lógicamente, el valor q debería ser llamado privado progresión geométrica, similar a diferencia para progresión aritmética. Pero acordamos llamar denominador. Y tampoco reinventaremos la rueda).

Definamos, por ejemplo, la cantidad q para esta progresión geométrica:

2, 6, 18, 54, …

Todo es elemental. Vamos a tomarlo cualquier secuencia de números. Tomamos lo que queramos. Excepto el primero. Por ejemplo, 18. Y dividir por numero anterior. Es decir, a las 6.

Obtenemos:

q = 18/6 = 3

Eso es todo. Esta es la respuesta correcta. Para esta progresión geométrica, el denominador es tres.

Ahora encontremos el denominador. q para otra progresión geométrica. Por ejemplo, este:

1, -2, 4, -8, 16, …

Todos iguales. No importa qué signos tengan los propios miembros, todavía tomamos cualquier número de la secuencia (por ejemplo, 16) y dividir por numero anterior(es decir, -8).

Obtenemos:

d = 16/(-8) = -2

Y eso es todo.) Esta vez el denominador de la progresión resultó ser negativo. Menos dos. sucede.)

Tomemos ahora esta progresión:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

Y nuevamente, independientemente del tipo de números en la secuencia (ya sean enteros, pares fraccionarios, incluso negativos, incluso irracionales), tomamos cualquier número (por ejemplo, 1/9) y lo dividimos por el número anterior (1/3). Por supuesto, según las reglas para trabajar con fracciones.

Obtenemos:

Eso es todo.) Aquí el denominador resultó ser fraccionario: q = 1/3.

¿Qué opinas de esta “progresión”?

3, 3, 3, 3, 3, …

obviamente aqui q = 1 . Formalmente, esto también es una progresión geométrica, sólo que con miembros idénticos.) Pero tales progresiones no son interesantes para el estudio y la aplicación práctica. Lo mismo que las progresiones con ceros sólidos. Por tanto, no los consideraremos.

Como puede ver, el denominador de la progresión puede ser cualquier cosa: entero, fraccionario, positivo, negativo, ¡cualquier cosa! No puede ser simplemente cero. ¿No puedo adivinar por qué?

Bueno, usemos algún ejemplo específico para ver qué pasará si tomamos como denominador q cero.) Tengamos, por ejemplo, b 1 = 2 , A q = 0 . ¿A qué será entonces igual el segundo término?

Nosotros contamos:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

¿Qué pasa con el tercer miembro?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Tipos y comportamiento de progresiones geométricas.

Todo estaba más o menos claro: si la diferencia de progresión d es positivo, entonces la progresión aumenta. Si la diferencia es negativa, entonces la progresión disminuye. Sólo hay dos opciones. No hay un tercero.)

¡Pero con el comportamiento de la progresión geométrica, todo será mucho más interesante y variado!)

No importa cómo se comporten los términos aquí: aumentan y disminuyen, y se acercan indefinidamente a cero, e incluso cambian de signo, ¡lanzándose alternativamente a “más” y luego a “menos”! Y en toda esta diversidad hay que poder entender bien, sí...

¿Vamos a resolverlo?) Comencemos con el caso más simple.

El denominador es positivo ( q >0)

Con un denominador positivo, en primer lugar, los términos de la progresión geométrica pueden entrar en más infinito(es decir, aumentar sin límite) y puede entrar en menos infinito(es decir, disminuir sin límite). Ya estamos acostumbrados a este comportamiento de las progresiones.

Por ejemplo:

(bn): 1, 2, 4, 8, 16, …

Aquí todo es sencillo. Se obtiene cada término de la progresión. más que el anterior. Además, cada término resulta multiplicación miembro anterior en positivo número +2 (es decir q = 2 ). El comportamiento de tal progresión es obvio: todos los miembros de la progresión crecen sin límite, yendo al espacio. Más infinito...

Y ahora aquí está la progresión:

(bn): -1, -2, -4, -8, -16, …

Aquí también se obtiene cada término de la progresión. multiplicación miembro anterior en positivo número +2. Pero el comportamiento de tal progresión es exactamente el contrario: cada término de la progresión se obtiene menos que el anterior, y todos sus términos disminuyen sin límite, llegando a menos infinito.

Ahora pensemos: ¿qué tienen en común estas dos progresiones? ¡Así es, denominador! Aquí y allá q = +2 . Numero positivo. Dos. Y aquí comportamiento¡Estas dos progresiones son fundamentalmente diferentes! ¿No puedo adivinar por qué? ¡Sí! Se trata de primer miembro! Es él, como suele decirse, quien marca la pauta). Compruébelo usted mismo.

En el primer caso, el primer término de la progresión. positivo(+1) y, por tanto, todos los términos posteriores obtenidos multiplicando por positivo denominador q = +2 , también será positivo.

Pero en el segundo caso, el primer término negativo(-1). Por lo tanto, todos los términos subsiguientes de la progresión, obtenidos multiplicando por positivo q = +2 , también se obtendrá negativo. Porque “menos” a “más” siempre da “menos”, sí.)

Como puede ver, a diferencia de una progresión aritmética, una progresión geométrica puede comportarse de manera completamente diferente no solo dependiendo del denominadorq, pero también dependiendo del primer miembro, Sí.)

Recuerde: el comportamiento de una progresión geométrica está determinado únicamente por su primer término b 1 y denominadorq .

¡Y ahora comenzamos a analizar casos menos familiares, pero mucho más interesantes!

Tomemos, por ejemplo, esta secuencia:

(bn): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

¡Esta secuencia también es una progresión geométrica! Cada término de esta progresión también resulta multiplicación el miembro anterior, por el mismo número. Es sólo un número - fraccionario: q = +1/2 . O +0,5 . Además (¡importante!) el número menos que uno:q = 1/2<1.

¿Por qué es interesante esta progresión geométrica? ¿Hacia dónde se dirigen sus miembros? Echemos un vistazo:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

¿Qué cosas interesantes puedes notar aquí? En primer lugar, se nota inmediatamente la disminución en términos de progresión: cada uno de sus miembros menos el anterior exactamente 2 veces. O, según la definición de progresión geométrica, cada término más anterior 1/2 veces, porque denominador de progresión q = 1/2 . Y al multiplicarlo por un número positivo menor que uno, el resultado suele disminuir, eso sí...

Qué más¿Se puede ver en el comportamiento de esta progresión? ¿Están disminuyendo sus miembros? ilimitado, yendo a menos infinito? ¡No! Desaparecen de forma especial. Al principio disminuyen con bastante rapidez y luego cada vez más lentamente. Y sin dejar de permanecer todo el tiempo positivo. Aunque sea muy, muy pequeño. ¿Y por qué se esfuerzan ellos mismos? ¿No lo adivinaste? ¡Sí! ¡Se esfuerzan por llegar a cero!) Además, presten atención, los miembros de nuestra progresión son de cero. ¡Nunca alcances! Solo acercándose a él infinitamente cerca. Es muy importante.)

Una situación similar ocurrirá en la siguiente progresión:

(bn): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Aquí b 1 = -1 , A q = 1/2 . Todo sigue igual, solo que ahora los términos se acercarán a cero por el otro lado, desde abajo. Quedarse todo el tiempo negativo.)

Tal progresión geométrica, cuyos términos acercarse a cero sin límite(no importa del lado positivo o negativo), en matemáticas tiene un nombre especial: Progresión geométrica infinitamente decreciente. Esta progresión es tan interesante e inusual que incluso será discutida. lección separada .)

Entonces, hemos considerado todos los posibles. positivo los denominadores son tanto grandes como más pequeños. No consideramos la unidad en sí como denominador por las razones expuestas anteriormente (recordemos el ejemplo con una secuencia de tripletes...)

Resumamos:

positivoY más de uno (q>1), entonces los términos de la progresión:

a) aumentar sin límite (sib 1 >0);

b) disminuir sin límite (sib 1 <0).

Si el denominador de la progresión geométrica positivo Y menos que uno (0< q<1), то члены прогрессии:

a) infinitamente cerca de cero arriba(Sib 1 >0);

b) acercarse infinitamente a cero desde abajo(Sib 1 <0).

Queda ahora por considerar el caso denominador negativo.

El denominador es negativo ( q <0)

No iremos muy lejos para dar un ejemplo. ¡¿Por qué, exactamente, abuela peluda?!) Sea, por ejemplo, el primer término de la progresión b 1 = 1 , y tomemos el denominador q = -2.

Obtenemos la siguiente secuencia:

(bn): 1, -2, 4, -8, 16, …

Y así sucesivamente.) Cada término de la progresión se obtiene multiplicación miembro anterior en un numero negativo-2. En este caso, todos los miembros que se encuentren en lugares impares (primero, tercero, quinto, etc.) serán positivo, y en lugares pares (segundo, cuarto, etc.) – negativo. Los signos se alternan estrictamente. Más-menos-más-menos... Esta progresión geométrica se llama - signo creciente alterno.

¿Hacia dónde se dirigen sus miembros? Pero en ninguna parte.) Sí, en valor absoluto (es decir, módulo) los miembros de nuestra progresión aumentan sin límite (de ahí el nombre de “creciente”). Pero al mismo tiempo, cada miembro de la progresión te arroja alternativamente al calor y luego al frío. Ya sea "más" o "menos". Nuestra progresión vacila... Además, el alcance de las fluctuaciones crece rápidamente con cada paso, sí.) Por lo tanto, las aspiraciones de los miembros de la progresión van hacia alguna parte. específicamente Aquí No. Ni más infinito, ni menos infinito, ni cero, en ninguna parte.

Consideremos ahora algún denominador fraccionario entre cero y menos uno.

Por ejemplo, que sea b 1 = 1 , A q = -1/2.

Luego obtenemos la progresión:

(bn): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

¡Y nuevamente tenemos una alternancia de signos! Pero, a diferencia del ejemplo anterior, aquí ya existe una clara tendencia a que los términos se acerquen a cero). Solo que esta vez nuestros términos se aproximan a cero no estrictamente desde arriba o desde abajo, sino nuevamente dudando. Tomando alternativamente valores positivos y negativos. Pero al mismo tiempo ellos módulos se acercan cada vez más al preciado cero.)

Esta progresión geométrica se llama signo infinitamente decreciente, alterno.

¿Por qué son interesantes estos dos ejemplos? Y el hecho de que en ambos casos se produzca alternancia de signos! Este truco es típico solo para progresiones con denominador negativo, sí.) Por tanto, si en alguna tarea ves una progresión geométrica con términos alternos, ya sabrás con seguridad que su denominador es 100% negativo y no te equivocarás. en el cartel.)

Por cierto, en el caso de un denominador negativo, el signo del primer término no afecta en absoluto el comportamiento de la progresión en sí. Independientemente del signo del primer término de la progresión, en todo caso se observará el signo de los términos. La única pregunta es, en que lugares(par o impar) habrá miembros con signos específicos.

Recordar:

Si el denominador de la progresión geométrica negativo , entonces los signos de los términos de la progresión son siempre alterno.

Al mismo tiempo, los propios miembros:

a) aumentar sin límitemódulo, Siq<-1;

b) acercarse a cero infinitamente si -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Eso es todo. Se han analizado todos los casos típicos.)

En el proceso de analizar una variedad de ejemplos de progresiones geométricas, periódicamente usé las palabras: "tiende a cero", "tiende a más infinito", "tiende a menos infinito"... Está bien.) Estas figuras retóricas (y ejemplos específicos) son sólo una introducción inicial a comportamiento una variedad de secuencias numéricas. Usando el ejemplo de la progresión geométrica.

¿Por qué necesitamos siquiera conocer el comportamiento de la progresión? ¿Qué importa adónde vaya? Hacia cero, hacia más infinito, hacia menos infinito... ¿Qué nos hace eso?

El caso es que ya en la universidad, en un curso de matemáticas superiores, necesitarás la capacidad de trabajar con una amplia variedad de secuencias numéricas (¡cualquiera, no solo progresiones!) y la capacidad de imaginar exactamente cómo esta o aquella secuencia se comporta: si aumenta, si disminuye ilimitadamente, si tiende a un número específico (y no necesariamente a cero), o incluso no tiende a nada en absoluto... A este tema se dedica una sección completa en el curso de matemáticas análisis - Teoría de los límites. Y un poco más concretamente: el concepto. límite de la secuencia numérica.¡Un tema muy interesante! Tiene sentido ir a la universidad y resolverlo).

Algunos ejemplos de esta sección (secuencias que tienen un límite) y, en particular, progresión geométrica infinitamente decreciente Empiezan a acostumbrarse en la escuela. Nos estamos acostumbrando).

Además, la capacidad de estudiar bien el comportamiento de las secuencias te beneficiará enormemente en el futuro y te resultará muy útil en investigación de funciones. Los más diversos. ¡Pero la capacidad de trabajar de manera competente con funciones (calcular derivadas, estudiarlas en su totalidad, construir sus gráficas) ya aumenta dramáticamente su nivel matemático! ¿Tienes alguna duda? No hay necesidad. Recuerda también mis palabras.)

¿Veamos la progresión geométrica en la vida?

En la vida que nos rodea, nos encontramos con una progresión geométrica muy, muy a menudo. Incluso sin siquiera saberlo).

Por ejemplo, varios microorganismos que nos rodean en todas partes en grandes cantidades y que ni siquiera podemos ver sin un microscopio se multiplican precisamente en progresión geométrica.

Digamos que una bacteria se reproduce dividiéndose por la mitad, dando descendencia en 2 bacterias. A su vez, cada una de ellas, al multiplicarse, también se divide por la mitad, dando una descendencia común de 4 bacterias. La próxima generación producirá 8 bacterias, luego 16 bacterias, 32, 64 y así sucesivamente. Con cada generación posterior, la cantidad de bacterias se duplica. Un ejemplo típico de progresión geométrica.)

Además, algunos insectos (pulgones y moscas) se multiplican exponencialmente. Y a veces también conejos, por cierto.)

Otro ejemplo de progresión geométrica, más cercano a la vida cotidiana, es el llamado interés compuesto. Este interesante fenómeno se encuentra a menudo en los depósitos bancarios y se llama capitalización de intereses.¿Lo que es?

Por supuesto, usted todavía es joven. Estudias en la escuela, no vas a los bancos. Pero tus padres ya son adultos y personas independientes. Van a trabajar, ganan dinero para el pan de cada día y ponen parte del dinero en el banco, ahorrando).

Digamos que tu padre quiere ahorrar una cierta cantidad de dinero para unas vacaciones familiares en Turquía y pone 50.000 rublos en el banco al 10% anual durante un período de tres años. con capitalización de intereses anual. Además, durante todo este periodo no se podrá hacer nada con el depósito. No puede reponer el depósito ni retirar dinero de la cuenta. ¿Cuánta ganancia obtendrá después de estos tres años?

Bueno, antes que nada, debemos averiguar qué es el 10% anual. Esto significa que en un año El banco agregará un 10% al monto del depósito inicial. ¿De qué? Por supuesto, desde monto del depósito inicial.

Calculamos el tamaño de la cuenta después de un año. Si el monto del depósito inicial fue de 50.000 rublos (es decir, 100%), después de un año, ¿cuántos intereses habrá en la cuenta? Así es, ¡110%! Desde 50.000 rublos.

Entonces calculamos el 110% de 50.000 rublos:

50.000·1,1 = 55.000 rublos.

Espero que entiendas que encontrar el 110% de un valor significa multiplicar ese valor por el número 1,1. Si no entiendes por qué esto es así, recuerda los grados quinto y sexto. A saber – conexión entre porcentajes y fracciones y partes.)

Por tanto, el aumento durante el primer año será de 5.000 rublos.

¿Cuánto dinero habrá en la cuenta dentro de dos años? ¿60.000 rublos? Lamentablemente (o mejor dicho, afortunadamente), no todo es tan sencillo. El truco de la capitalización de intereses es que con cada nueva acumulación de intereses, estos mismos intereses ya se considerarán de la nueva cantidad! De aquel que ya esta en la cuenta En este momento.¡Y el interés acumulado durante el período anterior se suma al monto del depósito original y, por lo tanto, participa en el cálculo del nuevo interés! Es decir, se convierten en parte integral de la cuenta global. o generales capital. De ahí el nombre - capitalización de intereses.

Está en economía. Y en matemáticas esos porcentajes se llaman interés compuesto. O porcentaje de interés.) Su truco es que al calcular secuencialmente, los porcentajes se calculan cada vez del nuevo valor. Y no del original...

Por lo tanto, para calcular el importe mediante dos años, necesitamos calcular el 110% del monto que estará en la cuenta en un año. Es decir, ya desde 55.000 rublos.

Contamos el 110% de 55.000 rublos:

55.000·1,1 = 60.500 rublos.

Esto significa que el aumento porcentual para el segundo año será de 5.500 rublos y para los dos años, de 10.500 rublos.

Ahora ya podemos adivinar que después de tres años la cantidad en la cuenta será del 110% de 60.500 rublos. Eso es nuevamente 110% del anterior (el año pasado) cantidades.

Aquí pensamos:

60500·1,1 = 66550 rublos.

Ahora organizamos nuestras cantidades monetarias por año en secuencia:

50000;

55.000 = 50.000 1,1;

60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

¿Entonces, cómo es eso? ¿Por qué no una progresión geométrica? Primer miembro b 1 = 50000 , y el denominador q = 1,1 . Cada término es estrictamente 1,1 veces mayor que el anterior. Todo está estrictamente de acuerdo con la definición).

¿Y cuántas bonificaciones de intereses adicionales “acumulará” su padre mientras sus 50.000 rublos hayan estado en su cuenta bancaria durante tres años?

Nosotros contamos:

66550 – 50000 = 16550 rublos

No mucho, por supuesto. Pero esto es así si el monto del depósito inicial es pequeño. ¿Y si hay más? Digamos, ¿no 50, sino 200 mil rublos? Entonces el aumento en tres años será de 66.200 rublos (si hacemos los cálculos). Lo cual ya es muy bueno.) ¿Qué pasa si la contribución es aún mayor? Eso es todo...

Conclusión: cuanto mayor sea el depósito inicial, más rentable será la capitalización de intereses. Es por eso que los bancos proporcionan depósitos con capitalización de intereses durante largos períodos. Digamos durante cinco años.

Además, a todo tipo de enfermedades graves como la gripe, el sarampión y enfermedades aún más terribles (el mismo SARS de principios de la década de 2000 o la peste de la Edad Media) les gusta propagarse exponencialmente. De ahí la magnitud de las epidemias, sí...) Y todo por el hecho de que la progresión geométrica con denominador positivo entero (q>1) – ¡una cosa que crece muy rápidamente! Recuerde la reproducción de las bacterias: de una bacteria se obtienen dos, de dos - cuatro, de cuatro - ocho, y así sucesivamente... Lo mismo ocurre con la propagación de cualquier infección.)

Los problemas más simples de progresión geométrica.

Empecemos, como siempre, con un problema sencillo. Puramente para entender el significado.

1. Se sabe que el segundo término de la progresión geométrica es 6 y el denominador es -0,5. Encuentra los términos primero, tercero y cuarto.

Entonces se nos da sin fin progresión geométrica, pero conocida segundo período esta progresión:

segundo 2 = 6

Además, también sabemos denominador de progresión:

q = -0,5

Y necesitas encontrar primero, tercero Y cuatro miembros de esta progresión.

Entonces actuamos. Anotamos la secuencia según las condiciones del problema. Directamente en forma general, donde el segundo término es seis:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

Ahora comencemos a buscar. Empezamos, como siempre, por lo más sencillo. Puedes calcular, por ejemplo, el tercer término. segundo 3? ¡Poder! Tú y yo ya sabemos (directamente en el sentido de progresión geométrica) que el tercer término (b 3) mas que el segundo (b 2 ) V "q"¡una vez!

Entonces escribimos:

segundo 3 =b 2 · q

Sustituimos seis en esta expresión en lugar de segundo 2 y -0,5 en su lugar q y contamos. Y, por supuesto, tampoco ignoramos los puntos negativos...

b3 = 6·(-0,5) = -3

Como esto. El tercer término resultó negativo. No es de extrañar: nuestro denominador q- negativo. Y multiplicar un más por un menos dará, por supuesto, un menos).

Ahora contamos el siguiente cuarto término de la progresión:

segundo 4 =b 3 · q

b4 = -3·(-0,5) = 1,5

El cuarto trimestre vuelve a tener un plus. El quinto término volverá a ser menos, el sexto será más, y así sucesivamente. ¡Las señales se alternan!

Entonces, se encontraron los términos tercero y cuarto. El resultado es la siguiente secuencia:

b1; 6; -3; 1,5; ...

Ahora sólo queda encontrar el primer término. segundo 1 según el conocido segundo. Para ello damos un paso en la otra dirección, hacia la izquierda. Esto significa que en este caso no necesitamos multiplicar el segundo término de la progresión por el denominador, sino dividir.

Dividimos y obtenemos:

Eso es todo.) La respuesta al problema será la siguiente:

-12; 6; -3; 1,5; …

Como puede ver, el principio de solución es el mismo que en . Sabemos cualquier miembro y denominador Progresión geométrica: podemos encontrar cualquier otro miembro de ella. Encontraremos el que queremos). La única diferencia es que la suma/resta se reemplaza por la multiplicación/división.

Recuerde: si conocemos al menos un miembro y un denominador de una progresión geométrica, siempre podremos encontrar cualquier otro miembro de esta progresión.

El siguiente problema, según la tradición, proviene de una versión real de la OGE:

2.

...; 150; X; 6; 1.2; ...

¿Entonces, cómo es eso? Esta vez no hay primer término, ni denominador. q, solo se da una secuencia de números... Algo que ya te resulta familiar, ¿verdad? ¡Sí! ¡Ya se ha resuelto un problema similar en progresión aritmética!

Entonces no tenemos miedo. Todos iguales. Volvamos la cabeza y recordemos el significado elemental de la progresión geométrica. Observamos detenidamente nuestra secuencia y averiguamos qué parámetros de la progresión geométrica de los tres principales (primer término, denominador, número de término) están ocultos en ella.

¿Números de miembros? No hay números de socio, sí... Pero hay cuatro consecutivo números. No veo ningún sentido en explicar lo que significa esta palabra en este momento.) ¿Hay dos ¿Números vecinos conocidos?¡Comer! Estos son 6 y 1.2. Entonces podemos encontrar denominador de progresión. Entonces tomamos el número 1,2 y lo dividimos. al número anterior. A las seis.

Obtenemos:

Obtenemos:

X= 150·0,2 = 30

Respuesta: X = 30 .

Como puedes ver, todo es bastante sencillo. La principal dificultad está sólo en los cálculos. Es especialmente difícil en el caso de denominadores negativos y fraccionarios. ¡Así que aquellos que tengan problemas, repitan la aritmética! Cómo trabajar con fracciones, cómo trabajar con números negativos, etc.... De lo contrario, aquí reducirás la velocidad sin piedad.

Ahora modifiquemos un poco el problema. ¡Ahora se pondrá interesante! Eliminemos el último número 1.2. Ahora resolvamos este problema:

3. Se escriben varios términos consecutivos de la progresión geométrica:

...; 150; X; 6; ...

Encuentra el término de la progresión indicada por la letra x.

Todo es igual, solo dos adyacentes. famoso Ahora no tenemos miembros de la progresión. Este es el principal problema. porque la magnitud q a través de dos términos vecinos podemos determinar fácilmente no podemos.¿Tenemos la oportunidad de hacer frente a la tarea? ¡Ciertamente!

Anotemos el término desconocido " X"¡directamente en el sentido de progresión geométrica! En términos generales.

¡Sí Sí! ¡Justo con denominador desconocido!

Por un lado, para X podemos escribir la siguiente relación:

X= 150·q

Por otra parte, tenemos todo el derecho de describir este mismo X mediante próximo miembro, hasta el seis! Divide seis por el denominador.

Como esto:

X = 6/ q

Obviamente, ahora podemos igualar ambas razones. Ya que estamos expresando lo mismo magnitud (x), pero dos diferentes caminos.

Obtenemos la ecuación:

Multiplicando todo por q, simplificando y acortando, obtenemos la ecuación:

q2 = 1/25

Resolvemos y obtenemos:

q = ±1/5 = ±0,2

¡Ups! ¡El denominador resultó ser doble! +0,2 y -0,2. ¿Y cuál deberías elegir? ¿Callejón sin salida?

¡Calma! Sí, el problema realmente tiene ¡Dos soluciones! Nada de malo con eso. Sucede.) ¿No te sorprende que, por ejemplo, al resolver un problema habitual obtengas dos raíces? Es la misma historia aquí.)

Para q = +0,2 obtendremos:

X = 150 0,2 = 30

Y para q = -0,2 voluntad:

X = 150·(-0,2) = -30

Obtenemos una doble respuesta: X = 30; X = -30.

¿Qué significa este hecho interesante? y lo que existe dos progresiones, satisfaciendo las condiciones del problema!

Como estos:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Ambos son adecuados.) ¿Por qué crees que tuvimos una división en las respuestas? Simplemente por la eliminación de un miembro concreto de la progresión (1,2), que venía después del seis. Y conociendo sólo los términos anterior (n-1)ésimo y posterior (n+1)ésimo de la progresión geométrica, ya no podemos decir nada inequívocamente sobre el enésimo término que se interpone entre ellos. Hay dos opciones: con un plus y con un menos.

Pero no hay problema. Como regla general, en las tareas de progresión geométrica hay información adicional que da una respuesta inequívoca. Digamos las palabras: "progresión alterna" o "progresión con denominador positivo" y así sucesivamente... Son estas palabras las que deberían servir como pista sobre qué signo, más o menos, se debe elegir a la hora de preparar la respuesta final. Si no existe tal información, entonces sí, la tarea tendrá dos soluciones.)

Ahora decidimos por nosotros mismos.

4. Determina si el número 20 es miembro de una progresión geométrica:

4 ; 6; 9; …

5. El signo de una progresión geométrica alterna está dado:

…; 5; X ; 45; …

Encuentra el término de la progresión indicada por la letra. X .

6. Encuentra el cuarto término positivo de la progresión geométrica:

625; -250; 100; …

7. El segundo término de la progresión geométrica es igual a -360 y su quinto término es igual a 23,04. Encuentra el primer término de esta progresión.

Respuestas (en desorden): -15; 900; No; 2.56.

¡Felicitaciones si todo salió bien!

¿Algo no encaja? ¿En algún lugar hubo una doble respuesta? ¡Lea atentamente los términos del encargo!

¿El último problema no funciona? No hay nada complicado ahí.) Trabajamos directamente según el significado de progresión geométrica. Bueno, puedes hacer un dibujo. Ayuda.)

Como puedes ver, todo es elemental. Si la progresión es corta. ¿Y si es largo? ¿O el número de miembros requeridos es muy grande? Me gustaría, por analogía con la progresión aritmética, obtener de alguna manera una fórmula conveniente que facilite encontrar cualquier término de cualquier progresión geométrica por su número. Sin multiplicar muchas, muchas veces por q. ¡Y existe tal fórmula!) Los detalles se encuentran en la siguiente lección.

Entonces, sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:

Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, los hay). No importa cuántos números escribamos, siempre podremos saber cuál es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:

secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.

Por ejemplo, para nuestra secuencia:

El número asignado es específico de un solo número de la secuencia. En otras palabras, no hay tres segundos números en la secuencia. El segundo número (como el décimo número) es siempre el mismo.

El número con el número se llama el enésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

En nuestro caso:

Los tipos de progresión más comunes son la aritmética y la geométrica. En este tema hablaremos del segundo tipo: progresión geométrica.

¿Por qué es necesaria la progresión geométrica y su historia?

Ya en la antigüedad, el monje matemático italiano Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci) se ocupaba de las necesidades prácticas del comercio. El monje se enfrentó a la tarea de determinar ¿cuál es el menor número de pesas que se pueden utilizar para pesar un producto? Fibonacci demuestra en sus obras que este sistema de pesos es óptimo: esta es una de las primeras situaciones en las que la gente tuvo que lidiar con una progresión geométrica, de la que probablemente ya habrá oído hablar y de la que al menos tendrá una comprensión general. Una vez que comprenda completamente el tema, piense por qué un sistema de este tipo es óptimo.

Actualmente, en la práctica de la vida, la progresión geométrica se manifiesta al invertir dinero en un banco, cuando se acumulan intereses sobre el monto acumulado en la cuenta durante el período anterior. En otras palabras, si deposita dinero en un depósito a plazo en una caja de ahorros, después de un año el depósito aumentará en la cantidad original, es decir, el nuevo monto será igual al aporte multiplicado por. En un año más, esta cantidad aumentará, es decir, la cantidad obtenida en ese momento se volverá a multiplicar por y así sucesivamente. Una situación similar se describe en los problemas de cálculo de los llamados interés compuesto– el porcentaje se deduce cada vez del importe que está en la cuenta, teniendo en cuenta los intereses anteriores. Hablaremos de estas tareas un poco más adelante.

Hay muchos más casos simples en los que se aplica la progresión geométrica. Por ejemplo, la propagación de la gripe: una persona infectó a otra, ella, a su vez, infectó a otra persona y, por tanto, la segunda ola de infección es una persona, y ella, a su vez, infectó a otra... y así sucesivamente. .

Por cierto, una pirámide financiera, el mismo MMM, es un cálculo simple y seco basado en las propiedades de una progresión geométrica. ¿Interesante? Vamos a resolverlo.

Progresión geométrica.

Digamos que tenemos una secuencia numérica:

Inmediatamente responderás que esto es fácil y que el nombre de dicha secuencia es con la diferencia de sus miembros. Qué tal esto:

Si restas el número anterior del siguiente, verás que cada vez obtienes una nueva diferencia (y así sucesivamente), pero la secuencia definitivamente existe y es fácil de notar: ¡cada número posterior es veces mayor que el anterior!

Este tipo de secuencia numérica se llama progresión geométrica y es designado.

La progresión geométrica () es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior, multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica.

Las restricciones de que el primer término ( ) no es igual y no son aleatorias. Supongamos que no hay ninguno, y el primer término sigue siendo igual, y q es igual a, hmm... déjalo así, entonces resulta:

Acepte que esto ya no es una progresión.

Como comprenderá, obtendremos los mismos resultados si hay cualquier número distinto de cero, a. En estos casos, simplemente no habrá progresión, ya que toda la serie numérica será todo ceros o un número y el resto serán ceros.

Ahora hablemos con más detalle sobre el denominador de la progresión geométrica, es decir, o.

Repitamos: - este es el número ¿Cuántas veces cambia cada término subsiguiente? progresión geométrica.

¿Qué crees que podría ser? Así es, positivo y negativo, pero no cero (hablamos de esto un poco más arriba).

Supongamos que el nuestro es positivo. Sea en nuestro caso, a. ¿Cuál es el valor del segundo término y? Puedes responder fácilmente a eso:

Así es. En consecuencia, si todos los términos posteriores de la progresión tienen el mismo signo: son positivos.

¿Y si es negativo? Por ejemplo, un. ¿Cuál es el valor del segundo término y?

Esta es una historia completamente diferente.

Intenta contar los términos de esta progresión. ¿Cuanto conseguiste? Tengo. Por tanto, si, entonces se alternan los signos de los términos de la progresión geométrica. Es decir, si ves una progresión con signos alternos para sus miembros, entonces su denominador es negativo. Este conocimiento puede ayudarle a ponerse a prueba al resolver problemas sobre este tema.

Ahora practiquemos un poco: intentemos determinar qué secuencias numéricas son una progresión geométrica y cuáles son una progresión aritmética:

¿Entiendo? Comparemos nuestras respuestas:

• Progresión geométrica – 3, 6.
• Progresión aritmética – 2, 4.
• No es una progresión aritmética ni geométrica: 1, 5, 7.

Volvamos a nuestra última progresión e intentemos encontrar su miembro, como en la aritmética. Como habrás adivinado, hay dos formas de encontrarlo.

Multiplicamos sucesivamente cada término por.

Entonces, el término de la progresión geométrica descrita es igual a.

Como ya habrás adivinado, ahora tú mismo obtendrás una fórmula que te ayudará a encontrar cualquier miembro de la progresión geométrica. ¿O ya lo ha desarrollado usted mismo y describe cómo encontrar el decimoésimo miembro paso a paso? Si es así, compruebe la exactitud de su razonamiento.

Ilustremos esto con el ejemplo de encontrar el décimo término de esta progresión:

En otras palabras:

Encuentra tú mismo el valor del término de la progresión geométrica dada.

¿Sucedió? Comparemos nuestras respuestas:

Tenga en cuenta que obtuvo exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando multiplicamos secuencialmente por cada término anterior de la progresión geométrica.
Intentemos "despersonalizar" esta fórmula; pongámosla en forma general y obtengamos:

La fórmula derivada es válida para todos los valores, tanto positivos como negativos. Compruébalo tú mismo calculando los términos de la progresión geométrica con las siguientes condiciones: , a.

¿Contaste? Comparemos los resultados:

Esté de acuerdo en que sería posible encontrar un término de progresión de la misma manera que un término, sin embargo, existe la posibilidad de calcular incorrectamente. Y si ya hemos encontrado el enésimo término de la progresión geométrica, entonces, ¿qué podría ser más sencillo que utilizar la parte “truncada” de la fórmula?

Progresión geométrica infinitamente decreciente.

Más recientemente hablamos de que puede ser mayor o menor que cero, sin embargo, existen valores especiales para los que se llama progresión geométrica. infinitamente decreciente.

¿Por qué crees que se le da este nombre?
Primero, escribamos una progresión geométrica que consta de términos.
Digamos entonces:

Vemos que cada término posterior es menor que el anterior por un factor, pero ¿habrá algún número? Inmediatamente responderás “no”. Por eso es infinitamente decreciente: disminuye y disminuye, pero nunca llega a ser cero.

Para entender claramente cómo se ve esto visualmente, intentemos dibujar un gráfico de nuestra progresión. Entonces, para nuestro caso, la fórmula toma la siguiente forma:

En gráficos estamos acostumbrados a representar la dependencia, por lo tanto:

La esencia de la expresión no ha cambiado: en la primera entrada mostramos la dependencia del valor de un miembro de una progresión geométrica de su número ordinal, y en la segunda entrada simplemente tomamos el valor de un miembro de una progresión geométrica como , y designó el número ordinal no como, sino como. Todo lo que queda por hacer es construir un gráfico.
Veamos que tienes. Aquí está el gráfico que se me ocurrió:

¿Lo ves? La función decrece, tiende a cero, pero nunca lo cruza, por lo que es infinitamente decreciente. Marquemos nuestros puntos en la gráfica, y al mismo tiempo lo que significa la coordenada y:

Intente representar esquemáticamente la gráfica de una progresión geométrica si su primer término también es igual. Analiza ¿cuál es la diferencia con nuestra gráfica anterior?

¿Lograste? Aquí está el gráfico que se me ocurrió:

Ahora que has entendido completamente los conceptos básicos del tema de la progresión geométrica: sabes qué es, sabes cómo encontrar su término y también sabes qué es una progresión geométrica infinitamente decreciente, pasemos a su propiedad principal.

Propiedad de la progresión geométrica.

¿Recuerdas la propiedad de los términos de una progresión aritmética? Sí, sí, cómo encontrar el valor de un determinado número de una progresión cuando existen valores anteriores y posteriores de los términos de esta progresión. ¿Te acuerdas? Este:

Ahora nos enfrentamos exactamente a la misma pregunta para los términos de una progresión geométrica. Para derivar dicha fórmula, comencemos a dibujar y razonar. Ya verás que es muy fácil y si se te olvida lo puedes sacar tú mismo.

Tomemos otra progresión geométrica simple, en la que conocemos y. ¿Como encontrar? Con la progresión aritmética es fácil y sencillo, pero ¿y aquí? De hecho, tampoco hay nada complicado en geometría: solo necesita anotar cada valor que se nos da de acuerdo con la fórmula.

Quizás te preguntes, ¿qué debemos hacer al respecto ahora? Sí, muy sencillo. Primero, representemos estas fórmulas en una imagen e intentemos hacer varias manipulaciones con ellas para llegar al valor.

Hagamos abstracción de los números que se nos dan, centrémonos solo en su expresión a través de la fórmula. Necesitamos encontrar el valor resaltado en naranja, conociendo los términos adyacentes a él. Intentemos realizar varias acciones con ellos, como resultado de lo cual podemos obtenerlo.

Suma.
Intentemos sumar dos expresiones y obtenemos:

A partir de esta expresión, como puede ver, no podemos expresarla de ninguna manera, por lo tanto, probaremos con otra opción: la resta.

Sustracción.

Como puedes ver, esto tampoco lo podemos expresar, así que intentemos multiplicar estas expresiones entre sí.

Multiplicación.

Ahora mire detenidamente lo que tenemos al multiplicar los términos de la progresión geométrica que se nos da en comparación con lo que hay que encontrar:

¿Adivina de qué estoy hablando? Correctamente, para encontrarlo necesitamos tomar la raíz cuadrada de los números de progresión geométrica adyacentes al deseado multiplicados entre sí:

Aquí tienes. Usted mismo dedujo la propiedad de la progresión geométrica. Intente escribir esta fórmula en forma general. ¿Sucedió?

¿Olvidaste la condición? Piense por qué es importante, por ejemplo, intente calcularlo usted mismo. ¿Qué pasará en este caso? Así es, una completa tontería porque la fórmula se ve así:

En consecuencia, no olvide esta limitación.

Ahora calculemos a qué equivale.

Respuesta correcta - ! Si no olvidó el segundo valor posible durante el cálculo, entonces está bien y puede pasar inmediatamente al entrenamiento, y si lo olvidó, lea lo que se analiza a continuación y preste atención a por qué ambas raíces deben escribirse en el respuesta.

Dibujemos nuestras dos progresiones geométricas, una con un valor y la otra con un valor, y comprobemos si ambas tienen derecho a existir:

Para comprobar si tal progresión geométrica existe o no, es necesario ver si todos sus términos dados son iguales. Calcule q para el primer y segundo caso.

¿Ves por qué tenemos que escribir dos respuestas? ¡Porque el signo del término que buscas depende de si es positivo o negativo! Y como no sabemos qué es, debemos escribir ambas respuestas con un más y un menos.

Ahora que domina los puntos principales y ha obtenido la fórmula de la propiedad de la progresión geométrica, encuentre, conozca y

Compara tus respuestas con las correctas:

¿Qué piensas, si no nos dieran los valores de los términos de la progresión geométrica adyacentes al número deseado, sino equidistantes de él? Por ejemplo, necesitamos encontrar, y dado y. ¿Podemos usar la fórmula que derivamos en este caso? Intente confirmar o refutar esta posibilidad de la misma manera, describiendo en qué consiste cada valor, como lo hizo cuando derivó originalmente la fórmula, en.
¿Qué obtuviste?

Ahora mira con atención de nuevo.
y correspondientemente:

De esto podemos concluir que la fórmula funciona. no sólo con los vecinos con los términos deseados de la progresión geométrica, pero también con equidistante de lo que buscan los miembros.

Así, nuestra fórmula inicial toma la forma:

Es decir, si en el primer caso decíamos eso, ahora decimos que puede ser igual a cualquier número natural que sea menor. Lo principal es que es igual para ambos números dados.

Practica con ejemplos específicos, ¡solo ten mucho cuidado!

1. , . Encontrar.
2. , . Encontrar.
3. , . Encontrar.

¿Decidido? Espero que hayas estado extremadamente atento y hayas notado un pequeño problema.

Comparemos los resultados.

En los dos primeros casos aplicamos tranquilamente la fórmula anterior y obtenemos los siguientes valores:

En el tercer caso, tras examinar detenidamente los números de serie de los números que nos han proporcionado, entendemos que no son equidistantes del número que buscamos: es el número anterior, pero está eliminado en una posición, por lo que es No es posible aplicar la fórmula.

¿Cómo resolverlo? ¡En realidad no es tan difícil como parece! Anotamos en qué consiste cada número que nos dan y el número que buscamos.

Entonces tenemos y. ¿Veamos qué podemos hacer con ellos? Sugiero dividir por. Obtenemos:

Sustituimos nuestros datos en la fórmula:

El siguiente paso que podemos encontrar es: para ello necesitamos sacar la raíz cúbica del número resultante.

Ahora echemos un vistazo nuevamente a lo que tenemos. Lo tenemos, pero necesitamos encontrarlo y, a su vez, es igual a:

Encontramos todos los datos necesarios para el cálculo. Sustituir en la fórmula:

Nuestra respuesta: .

Intente resolver usted mismo otro problema similar:
Dado: ,
Encontrar:

¿Cuanto conseguiste? Tengo - .

Como puedes ver, esencialmente necesitas recuerda solo una fórmula- . El resto lo podrás retirar tú mismo sin ninguna dificultad en cualquier momento. Para ello, simplemente escribe en una hoja de papel la progresión geométrica más sencilla y anota a qué equivale cada uno de sus números, según la fórmula descrita anteriormente.

La suma de los términos de una progresión geométrica.

Ahora veamos fórmulas que nos permiten calcular rápidamente la suma de los términos de una progresión geométrica en un intervalo dado:

Para derivar la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica finita, multiplica todas las partes de la ecuación anterior por. Obtenemos:

Mire con atención: ¿qué tienen en común las dos últimas fórmulas? Así es, miembros comunes, por ejemplo, y así sucesivamente, excepto el primer y el último miembro. Intentemos restar la primera de la segunda ecuación. ¿Qué obtuviste?

Ahora expresa el término de la progresión geométrica mediante la fórmula y sustituye la expresión resultante en nuestra última fórmula:

Agrupa la expresión. Deberías obtener:

Todo lo que queda por hacer es expresar:

En consecuencia, en este caso.

¿Y si? ¿Qué fórmula funciona entonces? Imagine una progresión geométrica en. ¿Cómo es ella? Una serie de números idénticos es correcta, por lo que la fórmula se verá así:

Existen muchas leyendas sobre la progresión tanto aritmética como geométrica. Una de ellas es la leyenda de Set, el creador del ajedrez.

Mucha gente sabe que el juego de ajedrez se inventó en la India. Cuando el rey hindú la conoció, quedó encantado con su ingenio y la variedad de posiciones posibles en ella. Al enterarse de que fue inventado por uno de sus súbditos, el rey decidió recompensarlo personalmente. Llamó al inventor y le ordenó que le pidiera todo lo que quisiera, prometiendo cumplir hasta el deseo más hábil.

Seta pidió tiempo para pensar, y cuando al día siguiente Seta se presentó ante el rey, lo sorprendió con la modestia sin precedentes de su petición. Pidió que le dieran un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, un grano de trigo por la segunda, un grano de trigo por la tercera, una cuarta, etc.

El rey se enojó y echó a Set, diciendo que la petición del sirviente no era digna de la generosidad del rey, pero prometió que el sirviente recibiría sus granos por todas las casillas del tablero.

Y ahora la pregunta: usando la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica, ¿calcula cuántos granos debería recibir Seth?

Empecemos a razonar. Dado que, según la condición, Set pidió un grano de trigo para la primera casilla del tablero de ajedrez, para la segunda, para la tercera, para la cuarta, etc., entonces vemos que el problema se trata de una progresión geométrica. ¿A qué equivale en este caso?
Bien.

Casillas totales del tablero de ajedrez. Respectivamente, . Tenemos todos los datos, solo queda introducirlos en la fórmula y calcular.

Para imaginar al menos aproximadamente la “escala” de un número dado, transformamos usando las propiedades de grado:

Por supuesto, si quieres, puedes coger una calculadora y calcular con qué número terminas, y si no, tendrás que confiar en mi palabra: el valor final de la expresión será.
Eso es:

quintillones de billones de billones de millones de miles.

Uf) Si quieres imaginar la enormidad de este número, entonces estima el tamaño que se necesitaría para un granero para albergar toda la cantidad de grano.
Si el granero tiene m de alto y m de ancho, su longitud debería extenderse por km, es decir el doble de distancia que la que hay entre la Tierra y el Sol.

Si el rey fuera fuerte en matemáticas, podría haber invitado al propio científico a contar los granos, porque para contar un millón de granos necesitaría al menos un día de conteo incansable, y dado que es necesario contar quintillones, los granos Habría que contarlo a lo largo de su vida.

Ahora resolvamos un problema simple que involucra la suma de términos de una progresión geométrica.
Vasya, estudiante de la clase 5A, enfermó de gripe, pero continúa yendo a la escuela. Cada día Vasya infecta a dos personas, quienes, a su vez, infectan a dos personas más, y así sucesivamente. Sólo hay personas en la clase. ¿En cuántos días toda la clase estará enferma de gripe?

Entonces, el primer término de la progresión geométrica es Vasya, es decir, una persona. El décimo término de la progresión geométrica son las dos personas que infectó el primer día de su llegada. La suma total de los términos de progresión es igual al número de estudiantes 5A. En consecuencia, hablamos de una progresión en la que:

Sustituyamos nuestros datos en la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica:

Toda la clase se enfermará en unos días. ¿No crees en fórmulas y números? Intente retratar usted mismo la "infección" de los estudiantes. ¿Sucedió? Mira como me parece:

Calcula tú mismo cuántos días tardarían los alumnos en enfermarse de gripe si cada uno contagiara a una persona, y solo hubiera una persona en la clase.

¿Qué valor obtuviste? Resultó que todos empezaron a enfermarse después de un día.

Como puede ver, esta tarea y su dibujo se asemejan a una pirámide, en la que cada una de ellas "trae" nuevas personas. Sin embargo, tarde o temprano llega un momento en el que este último no puede atraer a nadie. En nuestro caso, si imaginamos que la clase está aislada, la persona de cierra la cadena (). Por lo tanto, si una persona estuviera involucrada en una pirámide financiera en la que se entregara dinero si trajera a otros dos participantes, entonces esa persona (o en general) no traería a nadie y, en consecuencia, perdería todo lo que invirtió en esta estafa financiera.

Todo lo dicho anteriormente se refiere a una progresión geométrica decreciente o creciente, pero, como recordarás, tenemos un tipo especial: una progresión geométrica infinitamente decreciente. ¿Cómo calcular la suma de sus miembros? ¿Y por qué este tipo de progresión tiene ciertas características? Resolvámoslo juntos.

Entonces, primero, veamos nuevamente este dibujo de una progresión geométrica infinitamente decreciente de nuestro ejemplo:

Ahora veamos la fórmula para la suma de una progresión geométrica, derivada un poco antes:
o

¿Por qué nos esforzamos? Así es, la gráfica muestra que tiende a cero. Es decir, en, será casi igual, respectivamente, al calcular la expresión obtendremos casi. En este sentido, creemos que al calcular la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente, este paréntesis se puede descuidar, ya que será igual.

- La fórmula es la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente.

¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que necesitamos encontrar la suma infinito número de miembros.

Si se especifica un número específico n, entonces usamos la fórmula para la suma de n términos, incluso si o.

Ahora practiquemos.

1. Encuentra la suma de los primeros términos de la progresión geométrica con y.
2. Encuentra la suma de los términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente con y.

Espero que hayas sido extremadamente cuidadoso. Comparemos nuestras respuestas:

Ahora ya sabes todo sobre la progresión geométrica y es hora de pasar de la teoría a la práctica. Los problemas de progresión geométrica más comunes que se encuentran en el examen son los problemas de cálculo del interés compuesto. Estos son de los que hablaremos.

Problemas al calcular el interés compuesto.

Probablemente hayas oído hablar de la llamada fórmula del interés compuesto. ¿Entiendes lo que significa? Si no, averigüémoslo, porque una vez que comprendas el proceso en sí, comprenderás inmediatamente qué tiene que ver la progresión geométrica con él.

Todos vamos al banco y sabemos que existen diferentes condiciones para los depósitos: esto incluye plazo, servicios adicionales e intereses con dos formas diferentes de calcularlo: simple y compleja.

CON interés simple Todo está más o menos claro: los intereses se devengan una vez al final del plazo del depósito. Es decir, si decimos que depositamos 100 rublos durante un año, se acreditarán solo al final del año. En consecuencia, al final del depósito recibiremos rublos.

Interés compuesto- esta es una opción en la que sucede capitalización de intereses, es decir. su adición al monto del depósito y el cálculo posterior de los ingresos no del monto del depósito inicial, sino del acumulado. La capitalización no ocurre constantemente, sino con cierta frecuencia. Como regla general, estos períodos son iguales y la mayoría de las veces los bancos utilizan un mes, trimestre o año.

Supongamos que depositamos los mismos rublos anualmente, pero con capitalización mensual del depósito. ¿Que estamos haciendo?

¿Entiendes todo aquí? Si no, averigüémoslo paso a paso.

Llevamos rublos al banco. Al final del mes, deberíamos tener en nuestra cuenta una cantidad compuesta por nuestros rublos más los intereses sobre ellos, es decir:

¿Aceptar?

Podemos quitarlo de paréntesis y luego obtenemos:

De acuerdo, esta fórmula ya se parece más a lo que escribimos al principio. Todo lo que queda es calcular los porcentajes.

En el planteamiento del problema se nos habla de tasas anuales. Como sabes, no multiplicamos, convertimos porcentajes a fracciones decimales, es decir:

¿Bien? Ahora te preguntarás, ¿de dónde salió el número? ¡Muy simple!
Repito: el enunciado del problema dice acerca de ANUAL interés que se acumula MENSUAL. Como sabes, en un año de meses, respectivamente, el banco nos cobrará una parte del interés anual por mes:

¿Se dio cuenta? Ahora intenta escribir cómo se vería esta parte de la fórmula si dijera que el interés se calcula diariamente.
¿Lograste? Comparemos los resultados:

¡Bien hecho! Volvamos a nuestra tarea: escribir cuánto se acreditará en nuestra cuenta en el segundo mes, teniendo en cuenta que se devengan intereses sobre el monto del depósito acumulado.
Esto es lo que obtuve:

O, en otras palabras:

Creo que ya has notado un patrón y has visto una progresión geométrica en todo esto. Escribe a qué será igual su miembro, o, en otras palabras, qué cantidad de dinero recibiremos a final de mes.
¿Hizo? ¡Vamos a revisar!

Como puede ver, si deposita dinero en el banco durante un año a una tasa de interés simple, recibirá rublos, y si a una tasa de interés compuesta, recibirá rublos. El beneficio es pequeño, pero esto ocurre solo durante el décimo año, pero durante un período más largo la capitalización es mucho más rentable:

Veamos otro tipo de problema que involucra interés compuesto. Después de lo que hayas descubierto, será elemental para ti. Entonces, la tarea:

La empresa Zvezda empezó a invertir en el sector en el año 2000, con capital en dólares. Cada año desde 2001 ha obtenido un beneficio igual al capital del año anterior. ¿Cuántos beneficios obtendrá la empresa "Zvezda" a finales de 2003 si no se retiran de la circulación?

Capital de la empresa Zvezda en 2000.
- capital de la empresa Zvezda en 2001.
- capital de la empresa Zvezda en 2002.
- capital de la empresa Zvezda en 2003.

O podemos escribir brevemente:

Para nuestro caso:

2000, 2001, 2002 y 2003.

Respectivamente:
rublos
Tenga en cuenta que en este problema no tenemos división ni por ni por, ya que el porcentaje se da ANUALMENTE y se calcula ANUALMENTE. Es decir, al leer un problema de interés compuesto, preste atención a qué porcentaje se da y en qué período se calcula, y solo entonces proceda a los cálculos.
Ahora ya sabes todo sobre la progresión geométrica.

Capacitación.

1. Encuentre el término de la progresión geométrica si se sabe que, y
2. Encuentre la suma de los primeros términos de la progresión geométrica si se sabe que, y
3. La empresa MDM Capital comenzó a invertir en la industria en 2003, con capital en dólares. Cada año desde 2004 ha obtenido un beneficio equivalente al capital del año anterior. La empresa MSK Cash Flows comenzó a invertir en la industria en 2005 por un monto de $10,000, comenzando a obtener ganancias en 2006 por un monto de. ¿En cuántos dólares es mayor el capital de una empresa que el de otra a finales de 2007, si los beneficios no se retiran de la circulación?

Respuestas:

1. Dado que el planteamiento del problema no dice que la progresión sea infinita y se requiere encontrar la suma de un número específico de sus términos, el cálculo se realiza de acuerdo con la fórmula:
2. 
   Compañía de capital MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - aumenta en un 100%, es decir, 2 veces.
   Respectivamente:
   rublos
   Compañía de flujos de efectivo MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - aumenta en, es decir, en tiempos.
   Respectivamente:
   rublos
   rublos

Resumamos.

1) La progresión geométrica ( ) es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. Este número se llama denominador de una progresión geométrica.

2) La ecuación de los términos de la progresión geométrica es.

3) puede tomar cualquier valor excepto y.

• si, entonces todos los términos subsiguientes de la progresión tienen el mismo signo: son positivos;
• si, entonces todos los términos subsiguientes de la progresión signos alternativos;
• cuando – la progresión se llama infinitamente decreciente.

4) , en – propiedad de la progresión geométrica (términos adyacentes)

o
, en (términos equidistantes)

Cuando lo encuentres, no lo olvides. debe haber dos respuestas.

Por ejemplo,

5) La suma de los términos de la progresión geométrica se calcula mediante la fórmula:
o

o

¡IMPORTANTE! Usamos la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica infinitamente decreciente solo si la condición establece explícitamente que necesitamos encontrar la suma de un número infinito de términos.

6) Los problemas de interés compuesto también se calculan utilizando la fórmula del décimo término de una progresión geométrica, siempre que los fondos no hayan sido retirados de la circulación:

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Progresión geométrica( ) es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero, y cada término, a partir del segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número. este numero se llama denominador de una progresión geométrica.

Denominador de progresión geométrica puede tomar cualquier valor excepto y.

• Si entonces todos los términos subsiguientes de la progresión tienen el mismo signo, son positivos;
• si, entonces todos los miembros posteriores de la progresión alternan signos;
• cuando – la progresión se llama infinitamente decreciente.

Ecuación de términos de progresión geométrica. - .

Suma de términos de una progresión geométrica. calculado por la fórmula:
o

Si la progresión es infinitamente decreciente, entonces:

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