Métodos para determinar los residuos. Método residual ponderado. Problemas de teoría de campos

Cátedra UNESCO de NIT, Rein T.S. Introducción La función se aproxima mediante un conjunto de funciones: Donde - parámetros desconocidos - funciones linealmente independientes que pertenecen a la secuencia completa (3) Considere la función de error (residual): (4) En este caso, asumiremos que: - conjunto de funciones de peso (5)

Cátedra UNESCO de NIT, Rein T.S. Método de colocación. Ejemplo Considere la siguiente ecuación de segundo orden en el intervalo: con condiciones de frontera: Tomemos la función de aproximación en forma de expresión que satisfaga las condiciones de frontera para cualquiera: (6) (7) (8) para Solución exacta (verifique ): Elegimos como puntos de colocación

Cátedra UNESCO de NIT, Rein T.S. Método de colocación y método de mínimos cuadrados Extendamos el método de colocación al caso en que el número de puntos excede el número de incógnitas. En este caso, los parámetros desconocidos se determinan mediante minimización en el sentido cuadrático medio. se estima en los puntos (), y la función se puede escribir en la forma: Minimizamos (16), para la enésima ecuación obtenemos: (15) (16) (17)

Cátedra UNESCO de NIT, Rein T.S. Ejemplo Considere la siguiente ecuación de segundo orden en el intervalo: con condiciones de contorno: y una función de aproximación en forma de expresión que satisface las condiciones de contorno para cualquiera: para Solución exacta (verificar): Calcule la discrepancia en tres puntos:

Cátedra UNESCO de NIT, Rein T.S. Método de momentos Para un sistema de ecuaciones dado: Cualquier conjunto de funciones linealmente independientes de la secuencia completa se puede utilizar como funciones de peso, por ejemplo: Esto asegura que los momentos residuales de orden superior desaparezcan: (18) (17) (19)

Cátedra UNESCO de NIT, Rein T.S. Ejemplo Considere la siguiente ecuación de segundo orden en el intervalo: con condiciones de contorno: y una función de aproximación en forma de expresión que satisface las condiciones de contorno para cualquiera: para Solución exacta (verificar): La función de error está ortogonalizada con respecto a y:

Habiendo estudiado un método con relativamente detalle, pasamos a presentar otros métodos en clases completas. La clase más común son los métodos residuales ponderados. Parten del supuesto de que la función deseada se puede representar en forma de una serie funcional, por ejemplo ésta:

Por lo general, intentan elegir la función f 0 de modo que satisfaga las condiciones iniciales y de frontera con la mayor precisión posible. Se supone que las funciones de aproximación (de prueba) f j son conocidas. Los matemáticos han propuesto una serie de requisitos para tales funciones, pero no los discutiremos aquí. Limitémonos al hecho de que los polinomios y las funciones trigonométricas satisfacen estos requisitos. Se considerarán varios ejemplos más de conjuntos de funciones similares al describir métodos específicos.

Los coeficientes a j se desconocen de antemano y deben determinarse a partir de un sistema de ecuaciones obtenido a partir de la ecuación original. De una serie infinita sólo se toma un número finito de términos.

En la ecuación que se supone debe resolverse, todos los términos se reescriben en el lado izquierdo, dejando solo cero en el lado derecho. Por tanto, la ecuación se reduce a la forma

Si se sustituye en esta ecuación una solución aproximada (escrita como una suma finita de funciones preseleccionadas), entonces no se satisfará de manera idéntica. Por lo tanto, podemos escribir

donde el valor R se llama residual. En general, el residual es función de x, y, z y t. El problema se reduce a encontrar tales coeficientes a j que la discrepancia siga siendo pequeña en todo el dominio computacional. El concepto de "pequeño" en estos métodos significa que las integrales sobre el dominio computacional del residuo multiplicado por algunas funciones de ponderación son iguales a cero. Eso es

Habiendo especificado un número finito de funciones de peso, obtenemos un sistema de ecuaciones para encontrar coeficientes desconocidos. Al especificar varias funciones de aproximación de prueba (prueba) y varias funciones de ponderación, obtenemos fácilmente una clase completa de métodos llamados métodos residuales ponderados.

A continuación se muestran algunos ejemplos de los métodos más simples de esta clase.

Método de subárea. El dominio computacional se divide en varios subdominios D m que pueden superponerse entre sí. La función de peso se especifica en la forma

Esto asegura que la integral del residual sobre cada subdominio sea igual a cero. El método sirvió de base para varios métodos (uno de ellos se analizará a continuación).

Método de colocación. La función delta de Dirac se utiliza como funciones de peso.

Dónde x=(x,y,z). Permítanme recordarles que la función de Dirac es una función complicada que es igual a cero en todas partes excepto en el origen. Pero al principio adquiere un valor desconocido para la ciencia, de modo que cualquier integral sobre la región que contiene el origen de coordenadas es igual a la unidad. En pocas palabras: establecemos una cierta cantidad de puntos (a menudo llamados nodos en este enfoque). La ecuación original se cumplirá en estos puntos. Existen enfoques para seleccionar estos puntos y funciones de prueba para maximizar la precisión con un número limitado de nodos. Pero no los discutiremos aquí.

Método de mínimos cuadrados. El método se basa en minimizar el valor.

Pero no es difícil demostrar que también pertenece a la clase de métodos residuales ponderados. Las funciones de peso para ello son funciones de la forma

Quizás este sea el método más famoso de esta clase entre los no especialistas, pero está lejos de ser el más popular entre los especialistas.

Método Galerkin. En este método, las funciones de aproximación (de prueba) se toman como funciones de peso. Eso es

El método se utiliza ampliamente en los casos en los que se desea encontrar una solución en forma de función continua (en lugar de cuadrícula).

Consideremos la aplicación de estos métodos al cálculo de la deformación de una viga en voladizo de longitud L. Describa la desviación de la línea central mediante la ecuación

Las condiciones de contorno se especifican en la forma

Buscaremos una solución en la forma.

Entonces la discrepancia se escribirá en la forma.

Para encontrar los coeficientes desconocidos a y b, necesitaremos crear un sistema de dos ecuaciones. Hagamos esto usando todos los métodos discutidos.

Método de colocación. Seleccione dos puntos en los extremos de la viga. Igualamos la discrepancia en ellos a cero.

Obtenemos

Como puede ver, el método de colocación es bastante sencillo de implementar, pero su precisión es inferior a otros métodos.

Método de subárea. Dividimos toda la longitud de la viga en dos subregiones. En cada uno de ellos igualamos la integral del residual a cero.

Método Galerkin. Tomamos las integrales del residual multiplicadas por las funciones de prueba.

Método de mínimos cuadrados.

El método de mínimos cuadrados requiere el mayor esfuerzo computacional, pero no proporciona una ganancia notable en precisión. Por lo tanto, rara vez se utiliza para resolver problemas prácticos.

50. ESQUEMAS DE DIFERENCIA EXPLICITA E IMPLICITA. MÉTODO DE RESIDENTES PONDERADOS. MÉTODO BUBNOV-GALERKIN.

Esquema de diferencia- este es un sistema finito de ecuaciones algebraicas, puesto en correspondencia con algún problema diferencial que contiene una ecuación diferencial y condiciones adicionales (por ejemplo, condiciones de frontera y/o distribución inicial). Así, los esquemas en diferencias se utilizan para reducir un problema diferencial, que tiene una naturaleza continua, a un sistema finito de ecuaciones, cuya solución numérica es fundamentalmente posible en computadoras. Las ecuaciones algebraicas puestas en correspondencia con una ecuación diferencial se obtienen mediante el método de diferencias, que distingue la teoría de esquemas en diferencias de otros métodos numéricos para resolver problemas diferenciales (por ejemplo, métodos de proyección, como el método de Galerkin).

La solución del esquema de diferencias se llama solución aproximada del problema diferencial.

Aunque la definición formal no impone restricciones significativas sobre el tipo de ecuaciones algebraicas, en la práctica tiene sentido considerar solo aquellos esquemas que de alguna manera corresponden al problema diferencial. Conceptos importantes en la teoría de los esquemas de diferencias son los conceptos de convergencia, aproximación, estabilidad y conservadurismo.

Esquemas explícitos

Los esquemas explícitos calculan el valor del resultado a través de varios puntos de datos vecinos. Ejemplo de un esquema explícito de diferenciación: (aproximación de segundo orden). Los esquemas explícitos a menudo resultan inestables.

Aquí V * – solución aproximada,
F– función que satisface las condiciones de contorno,
norte m – funciones de prueba, que deben ser iguales a cero en el límite de la región,
A m – coeficientes desconocidos que deben encontrarse a partir de la condición de mejor satisfacción del operador diferencial,
METRO– número de funciones de prueba.

si sustituimos V* en el operador diferencial original, obtenemos una discrepancia que toma diferentes valores en diferentes puntos de la región.

R = VI * +P

Aquí W. norte– algunas funciones de ponderación, según la elección de las cuales se distinguen diferentes variantes del método de residuos ponderados,

S– región del espacio en la que se busca una solución.

Al elegir funciones delta como funciones de peso, tendremos un método llamado método de colocación puntual, para funciones constantes por partes, el método de colocación por subdominios, pero el más común es el método de Galerkin, en el que se seleccionan funciones de prueba como funciones de peso. norte. En este caso, si el número de funciones de prueba es igual al número de funciones de peso, luego de desarrollar ciertas integrales llegamos a un sistema cerrado de ecuaciones algebraicas para los coeficientes A.

KA + Q = 0

Donde los coeficientes de la matriz K y el vector Q se calculan mediante las fórmulas:

Después de encontrar los coeficientes A y sustituyéndolos en (1), obtenemos una solución al problema original.

Las desventajas del método de residuos ponderados son obvias: dado que la solución se busca en todo el dominio a la vez, el número de funciones de prueba y ponderación debe ser significativo para garantizar una precisión aceptable, pero esto crea dificultades en el cálculo de los coeficientes. k yo Y q i, especialmente al resolver problemas planos y volumétricos, cuando es necesario calcular integrales dobles y triples sobre áreas con límites curvilíneos. Por lo tanto, este método no se utilizó en la práctica hasta que se inventó el método de los elementos finitos (MEF).

PROBLEMAS DE LA TEORÍA DE CAMPOS

El método de los elementos finitos es un método numérico y se basa en sustituir un objeto (estructura o parte de ella) por un conjunto de subdominios (elementos), para cada uno de los cuales se encuentra una solución aproximada al problema de transferencia de calor. Esto significa que para cada elemento es necesario escribir la ecuación de transporte diferencial y las condiciones límite que caracterizan los procesos de transferencia de calor en las superficies límite de este elemento en particular, y luego obtener una solución de una forma u otra. La combinación de soluciones "elementales" según una determinada regla proporciona una solución al problema del objeto en su conjunto. Este capítulo presentará el concepto básico de FEM.

2.1 Métodos residuales ponderados

Un gran grupo de métodos para la solución aproximada de diferenciales.

ecuaciones se basa en una formulación matemática relacionada con

representación integral del residual ponderado. Este grupo de métodos se llama métodos residuales ponderados .

Sea una ecuación diferencial y una condición de frontera para ella:

,
, (2.1.1)

,
. (2.1.2)

Aquí l−operador diferencial; X i− coordenadas espaciales; V Y S− volumen y límite exterior del área de estudio; tu 0 - solución exacta.

Supondremos que alguna función tu también es una solución de la ecuación y puede aproximarse mediante un conjunto de funciones
:

, (2.1.3)

mientras que los coeficientes − cantidades desconocidas que deben determinarse mediante algún procedimiento matemático.

En los métodos residuales, este procedimiento consta de dos etapas sucesivas. En la primera etapa, sustituyendo la solución aproximada (2.1.3) en la ecuación (2.1.1), encontramos la función
error, o residual, que caracteriza grado de diferencia
de preciso soluciones :

El resultado es una ecuación algebraica que contiene las coordenadas actuales. Y METRO coeficientes aún desconocidos .

En la segunda etapa, se imponen requisitos a la función residual (2.1.4) que minimizan el residuo en sí (método de colocación) o el residual ponderado (método de mínimos cuadrados y método de Galerkin).

En el método de colocación, se cree que la ecuación diferencial se satisface solo en algunos puntos seleccionados (arbitrariamente): puntos de colocación, cuyo número es igual al número de coeficientes desconocidos. . En estos METRO puntos, la discrepancia debe ser igual a cero, lo que lleva al sistema METRO ecuaciones algebraicas para METRO coeficientes :

. (2.1.5)

En los métodos residuales ponderados, primero se forma un residual ponderado multiplicándolo por algunas funciones de ponderación. y luego minimizarlo en promedio:

. (2.1.6)

En el método de mínimos cuadrados, el método de Rayleigh-Ritz, el error mismo se elige como función de peso, es decir
, y se requiere que el valor (funcional) obtenido de esta forma sea mínimo:

. (2.1.7)

Para ello se debe cumplir la siguiente condición:

, (2.1.8)

lo que lleva a un sistema de ecuaciones algebraicas para coeficientes desconocidos.

En el método Galerkin, las funciones mismas se toman como funciones de peso.
, llamado básico, y son requeridos ortogonalidad al residual :

. (2.1.9)

Si es un operador lineal, entonces el sistema (2.1.9) pasa a un sistema de ecuaciones algebraicas para los coeficientes .

Consideremos el método Galerkin usando un ejemplo específico. Dada una ecuación en el intervalo
:

con condiciones de contorno:
,
.

Tomemos la función de aproximación de la siguiente forma:

satisfacer las condiciones de contorno (2.1.2) para cualquier . En la primera etapa encontramos la discrepancia:

Realicemos el procedimiento de la segunda etapa:

,
.

La integración conducirá a un sistema de dos ecuaciones:

,

cuya solución serán los siguientes valores :
;
. Una solución aproximada tiene la forma :.

En la Tabla 1 se ofrece una comparación de los resultados aproximados obtenidos por varios métodos con la solución exacta.

tabla 1

De la Tabla 1 queda claro que con las mismas funciones de aproximación en todos los métodos, la mejor aproximación a la solución exacta la proporciona el método de Galerkin. Además, este método es aplicable para resolver problemas no lineales, incluidos aquellos para los que no se requiere ningún funcional cuando se utiliza el método de Rayleigh-Ritz.