La distancia del origen al plano es la fórmula. Distancia del origen al plano (la más corta). Ejemplos de encontrar la distancia de un punto a un plano

En este artículo, daremos una definición de la distancia de un punto a un plano y analizaremos el método de coordenadas que le permite encontrar la distancia de un punto dado a un plano dado en un espacio tridimensional. Después de la presentación de la teoría, analizaremos en detalle las soluciones de varios ejemplos y problemas típicos.

Navegación de página.

La distancia de un punto a un plano es una definición.

La distancia de un punto a un plano se determina a través de , uno de los cuales es un punto dado, y el otro es la proyección de un punto dado sobre un plano dado.

Sean dados un punto M 1 y un plano en el espacio tridimensional. Trazamos una recta a por el punto M 1, perpendicular al plano. Denotemos el punto de intersección de la línea a y el plano como H 1 . El segmento M 1 H 1 se llama perpendicular, bajado del punto M 1 al plano , y el punto H 1 - la base de la perpendicular.

Definición.

es la distancia de un punto dado a la base de una perpendicular trazada desde un punto dado a un plano dado.

La definición de la distancia de un punto a un plano es más común en la siguiente forma.

Definición.

Distancia del punto al plano es la longitud de la perpendicular que cae desde un punto dado a un plano dado.

Cabe señalar que la distancia desde el punto M 1 hasta el plano así definido es la menor de las distancias desde el punto M 1 dado hasta cualquier punto del plano. De hecho, deje que el punto H 2 esté en el plano y sea diferente del punto H 1 . Obviamente, el triángulo M 2 H 1 H 2 es rectangular, en él M 1 H 1 es un cateto, y M 1 H 2 es la hipotenusa, por lo tanto, . Por cierto, el segmento M 1 H 2 se llama oblicuo dibujada desde el punto M 1 hasta el plano. Así, la perpendicular que cae desde un punto dado a un plano dado es siempre menor que la inclinada que se dibuja desde el mismo punto a un plano dado.

Distancia de un punto a un plano - teoría, ejemplos, soluciones.

Algunos problemas geométricos en alguna etapa de la solución requieren encontrar la distancia de un punto a un plano. El método para esto se selecciona dependiendo de los datos de origen. Por lo general, el resultado es el uso del teorema de Pitágoras o los signos de igualdad y semejanza de los triángulos. Si necesita encontrar la distancia de un punto a un plano, que se dan en un espacio tridimensional, entonces el método de coordenadas viene al rescate. En este párrafo del artículo, solo lo analizaremos.

Primero, formulamos la condición del problema.

En un sistema de coordenadas rectangular Oxyz en un espacio tridimensional, se da un punto , plano y se requiere encontrar la distancia desde el punto M 1 al plano.

Veamos dos formas de resolver este problema. El primer método que le permite calcular la distancia de un punto a un plano se basa en encontrar las coordenadas del punto H 1 - la base de la perpendicular caída desde el punto M 1 al plano, y luego calcular la distancia entre el puntos M 1 y H 1 . La segunda forma de encontrar la distancia desde un punto dado a un plano dado implica usar la ecuación normal para un plano dado.

La primera forma de calcular la distancia desde un punto. al avión

Sea H 1 la base de la perpendicular trazada desde el punto M 1 al plano . Si determinamos las coordenadas del punto H 1, entonces la distancia requerida desde el punto M 1 al plano se puede calcular como la distancia entre los puntos y según la fórmula. Por lo tanto, queda por encontrar las coordenadas del punto H 1 .

Asi que, algoritmo para hallar la distancia desde un punto hasta el avión Siguiente:

El segundo método, adecuado para encontrar la distancia desde un punto. al avión

Dado que tenemos un plano en el sistema de coordenadas rectangulares Oxyz, podemos obtener la ecuación normal del plano en la forma. Entonces la distancia desde el punto al plano se calcula mediante la fórmula . La validez de esta fórmula para encontrar la distancia de un punto a un plano se establece mediante el siguiente teorema.

Teorema.

Sea fijo un sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio tridimensional, un punto y la ecuación normal del plano de la forma . La distancia del punto M 1 al plano es igual al valor absoluto del valor de la expresión del lado izquierdo de la ecuación normal del plano, calculado en , es decir, .

Prueba.

La prueba de este teorema es absolutamente similar a la prueba de un teorema similar dado en la sección Hallar la distancia de un punto a una línea.

Es fácil demostrar que la distancia del punto M 1 al plano es igual al módulo de la diferencia entre la proyección numérica M 1 y la distancia del origen al plano, es decir, , donde - vector normal del plano , es igual a uno, - a la dirección determinada por el vector .

y por definición es , pero en forma de coordenadas . Por tanto, y como obligación de probar.

Por lo tanto, distancia desde el punto al plano se puede calcular sustituyendo las coordenadas x 1 , y 1 y z 1 del punto M 1 en lugar de x, y y z en el lado izquierdo de la ecuación normal del plano y tomando el valor absoluto del valor obtenido .

Ejemplos de encontrar la distancia desde un punto al avión

Ejemplo.

Encontrar la distancia desde el punto al avión

Decisión.

Primera forma.

En la condición del problema, se nos da una ecuación general del plano de la forma , de la cual se puede ver que es el vector normal de este plano. Este vector puede tomarse como el vector director de la recta a perpendicular al plano dado. Entonces podemos escribir las ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio que pasa por el punto y tiene un vector de dirección con coordenadas , parecen .

Empecemos a encontrar las coordenadas del punto de intersección de la recta y aviones Lo denotaremos H 1 . Para ello, primero realizamos la transición de las ecuaciones canónicas de la recta a las ecuaciones de dos planos que se cortan:

Ahora resolvamos el sistema de ecuaciones (si es necesario, consulte el artículo). Usamos:

Por lo tanto, .

Queda por calcular la distancia requerida desde un punto dado a un plano dado como la distancia entre puntos y :
.

La segunda solución.

Obtengamos la ecuación normal del plano dado. Para hacer esto, necesitamos llevar la ecuación general del plano a su forma normal. Habiendo determinado el factor de normalización , obtenemos la ecuación normal del plano . Queda por calcular el valor del lado izquierdo de la ecuación resultante para y tome el módulo del valor obtenido; esto le dará la distancia deseada desde el punto calle superior:

Así que leí algo en esta página (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Punto(&vP1, &vNormal);

donde vP1 es un punto en el plano y vNormal es la normal al plano. Tengo curiosidad de cómo esto te da la distancia desde el comienzo del mundo ya que el resultado siempre será 0. Además, para ser claros (ya que todavía estoy un poco confuso en la parte D de la ecuación 2D), es d en la ecuación 2D la distancia desde la línea que pasa por el comienzo del mundo antes del comienzo del plano?

Matemáticas

3 respuestas

6

En general, la distancia entre un punto p y un plano se puede calcular usando la fórmula

donde -operación de producto escalar

= ax*bx + ay*by + az*bz

y donde p0 es un punto en el plano.

Si n tiene una unidad de longitud, entonces el producto punto entre el vector y es la longitud (con signo) de la proyección del vector en la Normal

La fórmula que reportas es solo un caso especial donde el punto p es el origen. En este caso

Distancia = = -

Esta igualdad es técnicamente incorrecta porque el producto punto se trata de vectores, no de puntos... pero aún se mantiene numéricamente. Al escribir una fórmula explícita, obtienes esto

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

es lo mismo que

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

El resultado no siempre es cero. El resultado será cero solo si el plano pasa por el origen. (Aquí, supongamos que el avión no pasa por el origen).

Básicamente, te dan una línea desde el origen hasta algún punto del plano. (Es decir, tiene un vector desde el origen hasta vP1). El problema con este vector es que lo más probable es que esté sesgado y se dirija a algún lugar distante del plano, en lugar del punto más cercano del plano. Entonces, si solo tomó la longitud vP1, obtendrá demasiada distancia.

Lo que debe hacer es obtener la proyección de vP1 en algún vector que sepa que es perpendicular al plano. Es, por supuesto, vNormal. Así que tome el producto escalar de vP1 y vNormal y divídalo por la longitud de vNormal y tendrá su respuesta. (Si tienen la amabilidad de darle un vNormal que ya es de magnitud uno, entonces no hay necesidad de dividir).

1

Puedes resolver este problema con multiplicadores de Lagrange:

Sabes que el punto más cercano en el plano debería verse así:

C=p+v

Donde c es el punto más cercano y v es un vector a lo largo del plano (que por lo tanto es ortogonal a la normal a n). Está tratando de encontrar c con la norma más pequeña (o norma al cuadrado). Entonces, está tratando de minimizar el punto (c, c) siempre que v sea ortogonal a n (por lo tanto, punto (v, n) = 0).

Así, establezca el Lagrangiano:

L = punto(c,c) + lambda * (punto(v,n)) L = punto(p+v,p+v) + lambda * (punto(v,n)) L = punto(p,p) + 2*punto(p,v) + punto(v,v) * lambda * (punto(v,n))

Y tome la derivada con respecto a v (y póngala a 0) para obtener:

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

Puede resolver la lambda en la ecuación anterior con puntos, produciendo ambos lados en n para obtener

2 * punto(p,n) + 2 * punto(v,n) + lambda * punto(n,n) = 0 2 * punto(p,n) + lambda = 0 lambda = - 2 * punto(p,n) ) )

Nótese de nuevo que punto(n,n) = 1 y punto(v,n) = 0 (ya que v está en el plano y n es ortogonal a él). El sustituto lambda luego regresa para obtener:

2 * p + 2 * v - 2 * punto (p, n) * n = 0

y resolver para v para obtener:

V = punto (p, n) * n - p

Luego vuelve a conectar eso en c = p + v para obtener:

C = punto (p, n) * n

La longitud de este vector es |dot(p,n)| , y el signo te dice si el punto está en la dirección del vector normal desde el origen, o en la dirección opuesta al origen.

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Este artículo habla sobre cómo determinar la distancia de un punto a un plano. analicemos el método de coordenadas, que nos permitirá encontrar la distancia desde un punto dado en el espacio tridimensional. Para consolidar, considere ejemplos de varias tareas.

La distancia de un punto a un plano se encuentra por medio de una distancia conocida de un punto a un punto, donde uno de ellos es dado, y el otro es una proyección sobre un plano dado.

Cuando se da en el espacio un punto M 1 con un plano χ, entonces se puede trazar una línea recta perpendicular al plano a través del punto. H 1 es un punto común de su intersección. De aquí obtenemos que el segmento M 1 H 1 es una perpendicular, que se trazó desde el punto M 1 hasta el plano χ, donde el punto H 1 es la base de la perpendicular.

Definición 1

Llaman a la distancia de un punto dado a la base de la perpendicular, que fue trazada de un punto dado a un plano dado.

La definición se puede escribir en diferentes formulaciones.

Definición 2

Distancia del punto al plano llamada la longitud de la perpendicular, que fue trazada desde un punto dado a un plano dado.

La distancia del punto M 1 al plano χ se define de la siguiente manera: la distancia del punto M 1 al plano χ será la menor desde un punto dado a cualquier punto del plano. Si el punto H 2 está ubicado en el plano χ y no es igual al punto H 2, entonces obtenemos un triángulo rectángulo de la forma M 2 H 1 H 2 , que es rectangular, donde hay un cateto M 2 H 1, M 2 H 2 - hipotenusa. Por lo tanto, esto implica que M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 se considera inclinado, que se dibuja desde el punto M 1 hasta el plano χ. Tenemos que la perpendicular trazada desde un punto dado a un plano es menor que la inclinada trazada desde un punto a un plano dado. Considere este caso en la siguiente figura.

Distancia de un punto a un plano - teoría, ejemplos, soluciones

Hay una serie de problemas geométricos cuyas soluciones deben contener la distancia de un punto a un plano. Las formas de detectar esto pueden ser diferentes. Para resolver, utiliza el teorema de Pitágoras o la semejanza de triángulos. Cuando, de acuerdo con la condición, es necesario calcular la distancia de un punto a un plano, dada en un sistema de coordenadas rectangulares del espacio tridimensional, resuelven utilizando el método de coordenadas. Este párrafo trata de este método.

De acuerdo a la condición del problema, tenemos que se da un punto en el espacio tridimensional con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) con el plano χ, es necesario determinar la distancia de M 1 a el plano x. Se utilizan varias soluciones para resolver.

primera forma

Este método se basa en encontrar la distancia de un punto a un plano utilizando las coordenadas del punto H 1, que son la base de la perpendicular del punto M 1 al plano χ. A continuación, debe calcular la distancia entre M 1 y H 1.

Para resolver el problema de la segunda manera, se utiliza la ecuación normal de un plano dado.

segunda forma

Por condición tenemos que H 1 es la base de la perpendicular, que fue bajada desde el punto M 1 al plano χ. Luego determinamos las coordenadas (x 2, y 2, z 2) del punto H 1. La distancia deseada desde M 1 al plano χ se encuentra mediante la fórmula M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, donde M 1 (x 1, y 1, z 1) y H 1 (x 2, y 2, z 2) . Para resolver, necesitas saber las coordenadas del punto H 1.

Tenemos que H 1 es el punto de intersección del plano χ con la recta a, que pasa por el punto M 1 situado perpendicular al plano χ. De ello se deduce que es necesario formular la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado perpendicular a un plano dado. Es entonces cuando podemos determinar las coordenadas del punto H 1 . Es necesario calcular las coordenadas del punto de intersección de la recta y el plano.

Algoritmo para encontrar la distancia desde un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) al plano χ:

Definición 3

• componer la ecuación de una recta a que pasa por el punto M 1 y al mismo tiempo
• perpendicular al plano χ;
• encontrar y calcular las coordenadas (x 2, y 2, z 2) del punto H 1, que son puntos
• intersección de la recta a con el plano χ ;
• calcule la distancia de M 1 a χ usando la fórmula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

tercera vía

En un sistema de coordenadas rectangular dado O x y z existe un plano χ, entonces obtenemos una ecuación normal del plano de la forma cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . De aquí obtenemos que la distancia M 1 H 1 con el punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) dibujado al plano χ, calculada por la fórmula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Esta fórmula es válida, ya que se establece gracias al teorema.

Teorema

Si se da un punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) en el espacio tridimensional, que tiene una ecuación normal del plano χ de la forma cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, luego calcular la distancia del punto al plano M 1 H 1 se deriva de la fórmula M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, ya que x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Prueba

La demostración del teorema se reduce a encontrar la distancia de un punto a una línea. De aquí obtenemos que la distancia de M 1 al plano χ es el módulo de la diferencia entre la proyección numérica del radio vector M 1 con la distancia del origen al plano χ. Entonces obtenemos la expresión METRO 1 H 1 = norte pags norte → O METRO → - pags . El vector normal del plano χ tiene la forma n → = cos α , cos β , cos γ , y su longitud es igual a uno, n p n → O M → es la proyección numérica del vector O M → = (x 1 , y 1 , z 1) en la dirección determinada por el vector n → .

Apliquemos la fórmula para calcular vectores escalares. Entonces obtenemos una expresión para encontrar un vector de la forma n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → , ya que n → = cos α , cos β , cos γ z y O METRO → = (X 1 , y 1 , z 1) . La forma de coordenadas de la notación tomará la forma n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, entonces M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - pag . El teorema ha sido probado.

De aquí obtenemos que la distancia desde el punto M 1 (x 1, y 1, z 1) al plano χ se calcula sustituyendo en el lado izquierdo de la ecuación normal del plano cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 en lugar de las coordenadas x, y, z x 1 , y 1 y z1 relativo al punto M 1 , tomando el valor absoluto del valor obtenido.

Considere ejemplos de cómo encontrar la distancia desde un punto con coordenadas a un plano dado.

Ejemplo 1

Calcular la distancia desde el punto de coordenadas M 1 (5 , - 3 , 10) al plano 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Decisión

Resolvamos el problema de dos maneras.

El primer método comenzará calculando el vector de dirección de la línea a. Por condición, tenemos que la ecuación dada 2 x - y + 5 z - 3 = 0 es una ecuación plana general, y n → = (2 , - 1 , 5) es el vector normal del plano dado. Se utiliza como vector director de la recta a, que es perpendicular al plano dado. Debes escribir la ecuación canónica de una línea recta en el espacio que pasa por M 1 (5, - 3, 10) con un vector director de coordenadas 2, - 1, 5.

La ecuación se verá como x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Deben definirse los puntos de intersección. Para hacer esto, combine suavemente las ecuaciones en un sistema para la transición de la canónica a las ecuaciones de dos líneas que se cruzan. Tomemos este punto como H 1 . eso lo conseguimos

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Entonces necesitas habilitar el sistema.

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Pasemos a la regla para resolver el sistema según Gauss:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Obtenemos que H 1 (1, - 1, 0) .

Calculamos la distancia de un punto dado a un plano. Tomamos los puntos M 1 (5, - 3, 10) y H 1 (1, - 1, 0) y obtenemos

METRO 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

La segunda solución es llevar primero la ecuación dada 2 x - y + 5 z - 3 = 0 a la forma normal. Determinamos el factor de normalización y obtenemos 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . De aquí derivamos la ecuación del plano 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . El lado izquierdo de la ecuación se calcula sustituyendo x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10, y debe tomar la distancia de M 1 (5, - 3, 10) a 2 x - y + 5 z - 3 = 0 módulo. Obtenemos la expresión:

METRO 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Respuesta: 2 30 .

Cuando el plano χ viene dado por uno de los métodos de la sección de métodos de definición de plano, primero debe obtener la ecuación del plano χ y calcular la distancia deseada usando cualquier método.

Ejemplo 2

Los puntos con coordenadas M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) se establecen en un espacio tridimensional. Calcula la distancia de M 1 al plano A B C.

Decisión

Primero debe escribir la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dados con coordenadas M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - uno) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

De ello se deduce que el problema tiene una solución similar al anterior. Por lo tanto, la distancia desde el punto M 1 al plano A B C es 2 30 .

Respuesta: 2 30 .

Encontrar la distancia desde un punto dado en un plano o hasta un plano al que son paralelos es más conveniente aplicando la fórmula M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . De aquí se obtiene que las ecuaciones normales de los planos se obtienen en varios pasos.

Ejemplo 3

Encuentra la distancia desde un punto dado con coordenadas M 1 (- 3 , 2 , - 7) al plano de coordenadas O x y z y el plano dado por la ecuación 2 y - 5 = 0 .

Decisión

El plano de coordenadas O y z corresponde a una ecuación de la forma x = 0. Para el plano O y z, es normal. Por lo tanto, es necesario sustituir los valores x \u003d - 3 en el lado izquierdo de la expresión y tomar el valor absoluto de la distancia desde el punto con coordenadas M 1 (- 3, 2, - 7) al plano . Obtenemos el valor igual a - 3 = 3 .

Después de la transformación, la ecuación normal del plano 2 y - 5 = 0 tomará la forma y - 5 2 = 0 . Luego puede encontrar la distancia requerida desde el punto con coordenadas M 1 (- 3 , 2 , - 7) al plano 2 y - 5 = 0 . Sustituyendo y calculando, obtenemos 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Responder: La distancia deseada de M 1 (- 3 , 2 , - 7) a O y z tiene un valor de 3 , y a 2 y - 5 = 0 tiene un valor de 5 2 - 2 .

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