La lección de informática está diseñada para estudiantes de décimo grado de una escuela de educación general, cuyo plan de estudios incluye la sección "Álgebra de la lógica". Este tema es muy difícil para los estudiantes, por eso yo, como profesor, quería interesarles en el estudio de las leyes de la lógica, simplificando expresiones lógicas y abordando con interés la resolución de problemas lógicos. En la forma habitual, dar lecciones sobre este tema es tedioso y problemático, y algunas de las definiciones no siempre son claras para los niños. En relación con la provisión de espacio de información, tuve la oportunidad de publicar mis lecciones en el shell de "aprendizaje". Los estudiantes, una vez registrados en él, pueden asistir a este curso en su tiempo libre y releer lo que no quedó claro en clase. Algunos estudiantes, que han perdido lecciones debido a una enfermedad, recuperan el tema perdido en casa o en la escuela y siempre están listos para la siguiente lección. Esta forma de enseñanza les convenía mucho a muchos niños, y aquellas leyes que les resultaban incomprensibles ahora se aprenden en formato informático de forma mucho más fácil y rápida. Ofrezco una de estas lecciones de informática, que se lleva a cabo de forma integradora con las TIC.

Plan de estudios

1. Explicar material nuevo usando una computadora: 25 minutos.
2. Conceptos básicos y definiciones publicados en “aprendizaje” - 10 minutos.
3. Material para curiosos – 5 minutos.
4. Tarea – 5 minutos.

1. Explicación del nuevo material.

Leyes de la lógica formal.

Las conexiones verdaderas más simples y necesarias entre pensamientos se expresan en las leyes básicas de la lógica formal. Éstas son las leyes de identidad, no contradicción, tercero excluido, razón suficiente.

Estas leyes son fundamentales porque en lógica juegan un papel particularmente importante y son las más generales. Le permiten simplificar expresiones lógicas y sacar conclusiones y pruebas. Las tres primeras leyes anteriores fueron identificadas y formuladas por Aristóteles, y la ley de la razón suficiente, por G. Leibniz.

Ley de identidad: en el proceso de determinado razonamiento, todo concepto y juicio debe ser idéntico a sí mismo.

Ley de no contradicción: es imposible que un mismo ojo sea y no sea inherente a la misma cosa en el mismo aspecto y al mismo tiempo. Es decir, es imposible afirmar y negar algo al mismo tiempo.

Ley del tercero excluido: de dos proposiciones contradictorias, una es verdadera, la otra es falsa y la tercera no está dada.

Ley de la Razón Suficiente: Todo pensamiento verdadero debe estar suficientemente justificado.

La última ley dice que la prueba de algo presupone la fundamentación precisa y única de pensamientos verdaderos. Los pensamientos falsos no se pueden probar. Hay un buen proverbio latino: "Cometer errores es común a todas las personas, pero insistir en un error es común sólo a un tonto". No existe fórmula para esta ley, ya que sólo es de naturaleza sustantiva. Juicios verdaderos, material fáctico, datos estadísticos, leyes de la ciencia, axiomas y teoremas probados se pueden utilizar como argumentos para confirmar un pensamiento verdadero.

Leyes del álgebra proposicional

El álgebra proposicional (álgebra de la lógica) es una sección de la lógica matemática que estudia operaciones lógicas en enunciados y reglas para transformar enunciados complejos.

Al resolver muchos problemas lógicos, a menudo es necesario simplificar las fórmulas obtenidas formalizando sus condiciones. La simplificación de fórmulas en álgebra proposicional se lleva a cabo sobre la base de transformaciones equivalentes basadas en leyes lógicas básicas.

Las leyes del álgebra proposicional (álgebra de la lógica) son tautologías.

A veces estas leyes se llaman teoremas.

En álgebra proposicional, las leyes lógicas se expresan en forma de igualdad de fórmulas equivalentes. Entre las leyes destacan aquellas que contienen una variable.

Las primeras cuatro leyes siguientes son las leyes básicas del álgebra proposicional.

Ley de identidad:

Cada concepto y juicio es idéntico a sí mismo.

La ley de identidad significa que en el proceso de razonamiento no se puede sustituir un pensamiento por otro, un concepto por otro. Si se viola esta ley, es posible que se produzcan errores lógicos.

Por ejemplo, el razonamiento Dicen con razón que la lengua te llevará a Kiev, pero ayer compré lengua ahumada, lo que significa que ahora puedo ir a Kiev con seguridad. es incorrecto, ya que la primera y segunda palabra "lenguaje" significan conceptos diferentes.

En razonamiento: El movimiento es eterno. Caminar a la escuela es movimiento. Por eso, ir a la escuela es para siempre. La palabra "movimiento" se usa en dos sentidos diferentes (el primero, en el sentido filosófico, como un atributo de la materia, el segundo, en el sentido cotidiano, como la acción de moverse en el espacio), lo que lleva a una conclusión falsa.

Ley de no contradicción:

Una proposición y su negación no pueden ser verdaderas al mismo tiempo. Es decir, si la declaración A- es cierto, entonces su negación No un debe ser falso (y viceversa). Entonces su trabajo siempre será falso.

Es esta igualdad la que se utiliza a menudo al simplificar expresiones lógicas complejas.

A veces esta ley se formula de la siguiente manera: dos afirmaciones contradictorias no pueden ser simultáneamente verdaderas. Ejemplos de incumplimiento de la ley de no contradicción:

1. Hay vida en Marte y no hay vida en Marte.

2. Olya se graduó de la escuela secundaria y está en el grado X.

Ley del tercero excluido:

Al mismo tiempo, una afirmación puede ser verdadera o falsa, no existe una tercera opción. Cierto tampoco A, o No un. Ejemplos de implementación de la ley del tercero excluido:

1. El número 12345 es par o impar, no existe una tercera opción.

2. La empresa opera con pérdidas o en equilibrio.

3. Este líquido puede ser o no un ácido.

La ley del tercero excluido no es una ley reconocida por todos los lógicos como ley universal de la lógica. Esta ley se aplica cuando la cognición se ocupa de una situación rígida: “o bien”, “verdadero-falso”. Cuando existe incertidumbre (por ejemplo, al razonar sobre el futuro), a menudo no se puede aplicar la ley del tercero excluido.

Considere la siguiente afirmación: Esta frase es falsa. No puede ser verdad porque afirma que es falso. Pero tampoco puede ser falso, porque entonces sería verdadero. Esta afirmación no es ni verdadera ni falsa y, por tanto, viola la ley del tercero excluido.

Paradoja(Paradojas griegas - inesperado, extraño) en este ejemplo surge debido al hecho de que la oración se refiere a sí misma. Otra paradoja muy conocida es el problema del peluquero: En una ciudad, un barbero corta el pelo de todos los residentes, excepto de aquellos que se cortan el pelo ellos mismos. ¿Quién le corta el pelo al barbero? En lógica, debido a su formalidad, no es posible obtener la forma de tal enunciado autorreferente. Esto confirma una vez más la idea de que con la ayuda del álgebra lógica es imposible expresar todos los pensamientos y argumentos posibles. Demostremos cómo, a partir de la definición de equivalencia proposicional, se pueden obtener las leyes restantes del álgebra proposicional.

Por ejemplo, determinemos qué es equivalente (equivalente a) A(dos veces no A, es decir, negación de la negación A). Para hacer esto, construyamos una tabla de verdad:

Por definición de equivalencia, debemos encontrar la columna cuyos valores coinciden con los valores de la columna. A. esta sera la columna A.

Así podemos formular ley del doblenegativos:

Si niega una afirmación dos veces, el resultado es la afirmación original. Por ejemplo, la declaración A= Matroskin- gato es equivalente a la declaración R = No es cierto que Matroskin no sea un gato.

De manera similar, se pueden derivar y verificar las siguientes leyes:

Propiedades de las constantes:

Leyes de idempotencia:

No importa cuantas veces repitamos: el televisor está encendido o el televisor está encendido o el televisor está encendido... el significado de la declaración no cambiará. Similar por repetición Hace calor afuera, hace calor afuera... No hará ni un grado más de calor.

Leyes de conmutatividad:

A contra B = B contra A

A y B = B y A

Operandos A Y EN En operaciones, se pueden intercambiar disyunción y conjunción.

Leyes de asociatividad:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A y (B y C) = (A y B) y C.

Si la expresión usa solo la operación de disyunción o solo la operación de conjunción, entonces puedes ignorar los paréntesis u ordenarlos arbitrariamente.

Leyes distributivas:

A v (B y C) = (A v B) y (A v C)

(distributividad de la disyunción
relativo a la conjunción)

A y (B contra C) = (A y B) contra (A y C)

(distributividad de la conjunción
respecto a la disyunción)

La ley distributiva de una conjunción relativa a una disyunción es similar a la ley distributiva en álgebra, pero la ley distributiva de una disyunción relativa a una conjunción no tiene análogo; sólo es válida en lógica. Por tanto es necesario demostrarlo. La demostración se realiza de forma más cómoda utilizando una tabla de verdad:

Leyes de absorción:

A v (A y B) = A

A y (A contra B) = A

Pruebe usted mismo las leyes de la absorción.

Leyes de De Morgan:

Formulaciones verbales de las leyes de De Morgan:

Regla mnemotécnica: en el lado izquierdo de la identidad, la operación de negación se sitúa sobre toda la declaración. Del lado derecho parece romperse y la negación se sitúa sobre cada uno de los enunciados simples, pero al mismo tiempo cambia la operación: disyunción a conjunción y viceversa.

Ejemplos de implementación de la ley de De Morgan:

1) Declaración No es cierto que sepa árabe o chino. idéntico a una declaración No sé árabe ni chino.

2) Declaración No es cierto que aprendí la lección y obtuve una D. idéntico a una declaración O no aprendí la lección o no obtuve una D.

Reemplazo de las operaciones de implicación y equivalencia.

Las operaciones de implicación y equivalencia a veces no se encuentran entre las operaciones lógicas de una computadora o traductor en particular de un lenguaje de programación. Sin embargo, para resolver muchos problemas estas operaciones son necesarias. Existen reglas para reemplazar estas operaciones con secuencias de operaciones de negación, disyunción y conjunción.

Entonces, reemplace la operación. trascendencia posible según la siguiente regla:

Para reemplazar la operación equivalencia hay dos reglas:

Es fácil verificar la validez de estas fórmulas construyendo tablas de verdad para los lados derecho e izquierdo de ambas identidades.

El conocimiento de las reglas para reemplazar las operaciones de implicación y equivalencia ayuda, por ejemplo, a construir correctamente la negación de implicación.

Considere el siguiente ejemplo.

Dejemos que se dé la declaración:

E = No es cierto que si gano el concurso recibiré un premio.

Dejar A= ganaré la competencia

B = Recibiré un premio.

Por tanto, E = ganaré el concurso, pero no recibiré premio.

También son de interés las siguientes reglas:

Su validez también se puede demostrar mediante tablas de verdad.

Es interesante su expresión en lenguaje natural.

Por ejemplo, la frase

Si Winnie the Pooh comió miel, entonces está lleno

idéntica a la frase

Si Winnie the Pooh no está lleno, entonces no ha comido miel.

Ejercicio: Piensa en frases de ejemplo basadas en estas reglas.

2. Conceptos básicos y definiciones en el Apéndice 1

3. Material para curiosos en el Apéndice 2

4. Tarea

1) Aprenda las leyes de la lógica utilizando el curso "Álgebra de la lógica", ubicado en el espacio de información (www.learning.9151394.ru).

2) Verifique la prueba de las leyes de De Morgan en una PC construyendo una tabla de verdad.

Aplicaciones

1. Conceptos básicos y definiciones (Apéndice 1).
2. Material para curiosos (Anexo 2).

1.3.1. DECLARACIÓN
1.3.2. OPERACIONES LÓGICAS
1.3.3. CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE VERDAD PARA EXPRESIONES LÓGICAS
1.3.4. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES LÓGICAS
1.3.5. RESOLVER PROBLEMAS LÓGICOS
1.3.6. ELEMENTOS LÓGICOS

1. Lea los materiales de presentación del párrafo contenidos en el apéndice electrónico del libro de texto. ¿La presentación complementa la información contenida en el texto del párrafo?

2. Explique por qué las siguientes oraciones no son declaraciones.
1) ¿De qué color es esta casa?
2) El número X no excede de uno.
3) 4X+3.
4) Mira por la ventana.
5) ¡Bebe jugo de tomate!
6) Este tema es aburrido.
7) Ricky Martin es el cantante más popular.
8) ¿Has estado en el teatro?

3. Dé un ejemplo de afirmaciones verdaderas y falsas de biología, geografía, informática, historia, matemáticas y literatura.

4. En los siguientes enunciados, resalte los enunciados simples, indicando cada uno de ellos con una letra; Escriba cada declaración compuesta usando letras y signos de operaciones lógicas.
1) El número 376 es par y tiene tres cifras.
2) En invierno, los niños van a patinar sobre hielo o a esquiar.
3) Celebraremos el Año Nuevo en la casa de campo o en la Plaza Roja.
4) No es cierto que el Sol se mueva alrededor de la Tierra.
5) La Tierra tiene forma de bola, que parece azul desde el espacio.
6) Durante una lección de matemáticas, los estudiantes de secundaria respondieron las preguntas del maestro y también escribieron trabajos independientes.

5. Construya las negaciones de las siguientes afirmaciones.

6. Sea A = “A Anya le gustan las lecciones de matemáticas” y B = “A Anya le gustan las lecciones de química”. Expresa las siguientes fórmulas en lenguaje ordinario:

7. Un determinado segmento de Internet consta de 1000 sitios. El servidor de búsqueda compiló automáticamente una tabla de palabras clave para los sitios de este segmento. Aquí está su fragmento:

920; 80.

8. Construya tablas de verdad para las siguientes expresiones lógicas:

9. Proporcione pruebas de las leyes lógicas analizadas en el párrafo utilizando tablas de verdad.

10. En el sistema numérico decimal se dan tres números: A=23, B=19, C=26. Convierta A, B y C al sistema numérico binario y realice operaciones lógicas bit a bit (A v B) y C. Dé la respuesta en el sistema numérico decimal.

11. Encuentra los significados de las expresiones:

12. Encuentra el valor de la expresión lógica (x
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
1) 0. 2) 0. 3) 1. 4) 1.

13. Sea A = “La primera letra del nombre es una vocal”, B = “La cuarta letra del nombre es una consonante”. Encuentre el valor de la expresión lógica A v B para los siguientes nombres:
1) ELENA 2) VADIM 3) ANTÓN 4) FEDOR
1) 1. 2) 1. 3) 0. 4) 1.

14. Se está examinando el caso de John, Brown y Smith. Se sabe que uno de ellos encontró y escondió el tesoro. Durante la investigación, cada uno de los sospechosos hizo dos declaraciones:
Smith: “Yo no lo hice. Brown lo hizo."
John: Brown no es culpable. Smith lo hizo".
Marrón: “Yo no lo hice. Juan no lo hizo."
El tribunal determinó que uno de ellos mintió dos veces, el otro dijo la verdad dos veces y el tercero mintió una vez y dijo la verdad una vez. ¿Qué sospechoso debería ser absuelto?
Respuesta: Smith y Juan.

15. Alyosha, Borya y Grisha encontraron un viejo recipiente en el suelo. Al examinar el sorprendente hallazgo, cada uno hizo dos suposiciones:
1) Alyosha: “Esta es una vasija griega y fue hecha en el siglo V”.
2) Borya: “Esta es una vasija fenicia y fue fabricada en el siglo III”.
3) Grisha: “Esta vasija no es griega y fue hecha en el siglo IV”.
El profesor de historia les dijo a los niños que cada uno de ellos tenía razón en sólo una de dos suposiciones. ¿Dónde y en qué siglo se fabricó la vasija?
Respuesta: Vasija fenicia, realizada en el siglo V.

16. Descubra qué señal debe haber en la salida del circuito electrónico para cada posible conjunto de señales en las entradas. Haz una tabla de cómo funciona el circuito. ¿Qué expresión lógica describe el circuito?

Construcción de tablas de verdad para expresiones lógicas.

Examen operaciones lógicas básicas.

53. La tabla muestra las consultas y el número de páginas encontradas usándolas para un determinado segmento de Internet.

Pedido	Páginas encontradas (en miles)
CHOCOLATE | CEFIRO	15 000
CHOCOLATE Y CEFIR	8 000
CEFIRO	12 000

¿Cuántas páginas (en miles) se encontrarán para la consulta CHOCOLATE? Resuelve el problema usando círculos de Euler:

54. La tabla muestra las consultas y el número de páginas encontradas usándolas para un determinado segmento de Internet.

Pedido	Páginas encontradas (en miles)
BISONTE Y TOUR	5 000
BISONTE	18 000
RECORRIDO	12 000

¿Cuántas páginas (en miles) se encontrarán para la consulta ZUBR | ¿RECORRIDO?Resuelve el problema usando círculos de Euler:

55. La tabla muestra las consultas y el número de páginas encontradas usándolas para un determinado segmento de Internet.

Pedido	Páginas encontradas (en miles)
FÚTBOL | HOCKEY	20 000
FÚTBOL AMERICANO	14 000
HOCKEY	16 000

¿Cuántas páginas (en miles) se encontrarán para la consulta FÚTBOL Y HOCKEY? Resuelve el problema usando círculos de Euler:

Tareas.

1. Explique por qué las siguientes oraciones no son declaraciones.

1) ¿De qué color es esta casa?

2) El número X no excede de uno.

4) Mira por la ventana.

5) ¡Bebe jugo de tomate!

6) Este tema es aburrido.

7) Ricky Martin es el cantante más popular.

8) ¿Has estado en el teatro?

3. En los siguientes enunciados, resalte los enunciados simples, indicando cada uno de ellos con una letra; Escriba cada declaración compuesta usando letras y signos de operaciones lógicas.

1)El número 376 es par y tiene tres cifras.

2) En invierno, los niños van a patinar sobre hielo o a esquiar.

3) Celebraremos el Año Nuevo en la casa de campo o en la Plaza Roja.

4) No es cierto que el Sol se mueva alrededor de la Tierra.

5) La Tierra tiene forma de bola, que desde el espacio parece azul.

6) Durante una lección de matemáticas, los estudiantes de secundaria respondieron las preguntas del maestro y también escribieron trabajos independientes.

4.Construya las negaciones de las siguientes afirmaciones.

1)Hoy se representa en el teatro la ópera “Eugene Onegin”.

2) Todo cazador quiere saber dónde está sentado el faisán.

3) El número 1 es un número primo.

4) Los números naturales terminados en O no son números primos.

5) No es cierto que el número 3 no sea divisor del número 198.

6) Kolya resolvió todas las tareas de la prueba.

7) En todas las escuelas, algunos estudiantes están interesados ​​en los deportes.

8) Algunos mamíferos no viven en la tierra.

5. Sea A = " A Anya le gustan las lecciones de matemáticas.", y B = " Pero noMe gustan las clases de química." Expresa las siguientes fórmulas en lenguaje ordinario:

6. Considere los circuitos eléctricos que se muestran en la figura:

Representan las conexiones en paralelo y en serie de interruptores que conoces de tu curso de física. En el primer caso, es necesario encender ambos interruptores para que se encienda la luz. En el segundo caso, basta con que uno de los interruptores esté encendido. Intente establecer usted mismo una analogía entre los elementos de los circuitos eléctricos y los objetos y operaciones del álgebra lógica:

Diagrama eléctrico	álgebra de la lógica
Cambiar
Encender
Apagar
Conexión en serie de interruptores.
Conexión en paralelo de interruptores.

7. Un determinado segmento de Internet consta de 1000 sitios. El servidor de búsqueda compiló automáticamente una tabla de palabras clave para los sitios de este segmento. Aquí está su fragmento:

Palabra clave	Número de sitios para los que esta palabra es una palabra clave
bagre	250
colas de espada	200
guppy	500

Bajo pedido bagre y guppies Se encontraron 0 sitios para su solicitud bagre y cola de espada- 20 sitios, y bajo petición. colas de espada y guppies- 10 sitios.¿Cuántos sitios se encontrarán mediante solicitud? bagre | colas de espada | guppy?
¿Para cuántos sitios del segmento considerado es falsa la afirmación?“Bagre - la palabra clave del sitio O colas de espada -palabra clave del sitio O guppy - palabra clave del sitio”?
8. Construya tablas de verdad para las siguientes expresiones lógicas:

9. Demuestre la lógica discutida en el párrafo. leyes usando tablas de verdad.

Dados tres números en el sistema numérico decimal: A = 23, B = 19, C = 26. Convierta A, B y C al sistema numérico binario y realice operaciones lógicas bit a bit (A v B) y C. Dé la respuesta en el sistema numérico decimal.
11. Encuentra el significado de las expresiones:
1) (1 contra 1) contra (1 contra 0);
2) ((1 v 0) v 1) v 1);
3) (0 & 1) & 1;
4) 1 & (1 & 1) & 1;
5) ((1 contra 0) y (1 y 1)) y (0 contra 1);
6) ((1 y 1) contra 0) y (0 contra 1);
7) ((0 y 0) contra 0) y (1 contra 1);
8) (A v 1) v (B v 0);
9) ((1 y A) v (B y 0)) v 1;
10) 1 v A y 0.
12. Encuentra el valor de una expresión booleana.

Para valores especificados del número X: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Fórmulas y leyes de la lógica.

Durante la lección introductoria sobre fundamentos de la lógica matemática, nos familiarizamos con los conceptos básicos de esta rama de las matemáticas y ahora el tema tiene una continuación natural. Además del nuevo material teórico, o mejor dicho, ni siquiera teórico, sino educativo general, nos esperan tareas prácticas y, por lo tanto, si llegó a esta página desde un motor de búsqueda y/o no conoce bien el material, siga el enlace anterior. y empezar desde el artículo anterior. Además, para la práctica necesitaremos 5 tablas de verdad operaciones lógicas cual yo altamente recomendado reescribir a mano.

NO lo recuerdes, NO lo imprimas, sino compréndelo nuevamente y reescríbelo en papel con tu propia mano, para que estén ante tus ojos:

– tabla NO;
- tabla I;
– tabla O;
– cuadro de implicaciones;
– tabla de equivalencia.

Es muy importante. En principio sería conveniente numerarlos “Tabla 1”, “Tabla 2”, etc., pero he enfatizado repetidamente el defecto de este enfoque: como dicen, en una fuente la tabla será la primera, y en otra, ciento primero. Por tanto, utilizaremos nombres “naturales”. Continuemos:

De hecho, ya estás familiarizado con el concepto de fórmula lógica. Te daré un estándar, pero bastante ingenioso. definición: fórmulas Las álgebras proposicionales se llaman:

1) cualquier declaración elemental (simple);

2) si y son fórmulas, entonces las fórmulas también son expresiones de la forma
.

No hay otras fórmulas.

En particular, una fórmula es cualquier operación lógica, como la multiplicación lógica. Preste atención al segundo punto: permite recursivo manera de “crear” una fórmula arbitrariamente larga. Porque el - fórmulas, entonces - también una fórmula; ya que y son fórmulas, entonces – también una fórmula, etc. Cualquier declaración elemental (nuevamente según la definición) se puede incluir en la fórmula más de una vez.

Fórmula No es, por ejemplo, una notación, y aquí hay una analogía obvia con la "basura algebraica", de la cual no está claro si es necesario sumar o multiplicar números.

La fórmula lógica se puede considerar como función lógica. Escribamos la misma conjunción en forma funcional:

Los enunciados elementales en este caso también desempeñan el papel de argumentos (variables independientes), que en la lógica clásica pueden adquirir 2 significados: verdadero o mentir. A continuación, por conveniencia, a veces llamaré declaraciones simples variables.

Una tabla que describe una fórmula lógica (función) se llama, como ya se ha dicho, mesa de la verdad. Por favor – una imagen familiar:

El principio de formar una tabla de verdad es el siguiente: "en la entrada" es necesario enumerar todas las combinaciones posibles verdades y mentiras, que pueden tomar enunciados elementales (argumentos). En este caso, la fórmula incluye dos declaraciones y es fácil descubrir que existen cuatro combinaciones de este tipo. "En la salida" obtenemos los valores lógicos correspondientes de toda la fórmula (función).

Hay que decir que la “salida” aquí resultó ser “en un solo paso”, pero en general la fórmula lógica es más compleja. Y en tales "casos difíciles" hay que cumplir orden de ejecución de operaciones lógicas:

– primero se realiza la negación;
– en segundo lugar – conjunción;
– entonces – disyunción;
– entonces implicación;
– y finalmente, la equivalencia tiene la prioridad más baja.

Entonces, por ejemplo, la entrada implica que primero debe realizar una multiplicación lógica y luego una suma lógica: . Al igual que en el álgebra "ordinaria": "primero multiplicamos y luego sumamos".

El orden de las acciones se puede cambiar de la forma habitual, entre paréntesis:
– aquí se realiza primero la disyunción y sólo después una operación “más fuerte”.

Probablemente todo el mundo lo entienda, pero por si acaso, bombero.: y esto dos diferentes fórmulas! (tanto formal como sustantivamente)

Creemos una tabla de verdad para la fórmula. Esta fórmula incluye dos declaraciones elementales y "en la entrada" debemos enumerar todas las combinaciones posibles de unos y ceros. Para evitar confusiones y discrepancias, acordaremos enumerar las combinaciones. estrictamente en ese orden (que en realidad uso de facto desde el principio):

La fórmula incluye dos operaciones lógicas y, según su prioridad, primero debe realizar negación declaraciones. Bueno, neguemos la columna “pe”: convertimos unos en ceros y ceros en unos:

En el segundo paso, miramos las columnas y les aplicamos. O operación. Mirando un poco hacia adelante diré que la disyunción es conmutativa (y son lo mismo) y, por lo tanto, las columnas se pueden analizar en el orden habitual: de izquierda a derecha. Al realizar una suma lógica, es conveniente utilizar el siguiente razonamiento aplicado: “Si hay dos ceros, ponemos un cero, si hay al menos un uno, ponemos uno”.:

Se ha construido la tabla de verdad. Ahora recordemos la vieja implicación:

...con cuidado, con cuidado... mirando las columnas de totales... En álgebra proposicional estas fórmulas se denominan equivalente o idéntico:

(tres líneas horizontales son un ícono de identidad)

En la primera parte de la lección, prometí expresar la implicación mediante operaciones lógicas básicas, ¡y el cumplimiento de la promesa no se hizo esperar! Aquellos que lo deseen pueden darle un significado significativo a la implicación. (por ejemplo, “Si está lloviendo, afuera hay humedad”) y analizar de forma independiente la declaración equivalente.

formulemos definición general: las dos fórmulas se llaman equivalente (idéntico), si toman los mismos valores para cualquier conjunto de valores incluidos en estas fórmulas de variables (declaraciones elementales). También se dice que “las fórmulas son equivalentes si sus tablas de verdad coinciden”, pero no me gusta mucho esta frase.

Ejercicio 1

Crea una tabla de verdad para la fórmula y asegúrate de que la identidad con la que estás familiarizado sea correcta.

Repitamos una vez más el orden de resolución del problema:

1) Dado que la fórmula incluye dos variables, habrá un total de 4 conjuntos posibles de ceros y unos. Los anotamos en el orden especificado anteriormente.

2) Las implicaciones son “más débiles” que las conjunciones, pero se colocan entre paréntesis. Completamos la columna y conviene utilizar el siguiente razonamiento aplicado: “Si de uno se sigue un cero, entonces ponemos cero, en todos los demás casos, uno”. A continuación, completamos la columna de implicaciones y, al mismo tiempo, ¡atención!– ¡Las columnas deben analizarse “de derecha a izquierda”!

3) Y en la etapa final, complete la columna final. Y aquí conviene pensar así: “si en las columnas hay dos unidades, entonces ponemos una, en todos los demás casos, cero”.

Y finalmente comprobamos la tabla de verdad. equivalencia .

Equivalencias básicas del álgebra proposicional

Acabamos de conocer a dos de ellos, pero el asunto, por supuesto, no se limita a ellos. Hay bastantes identidades y enumeraré las más importantes y famosas de ellas:

Conmutatividad de conjunción y conmutatividad de disyunción.

Conmutatividad- esto es conmutabilidad:

Reglas familiares desde 1er grado: “El producto (suma) no cambia al reordenar los factores (sumas)”. Pero a pesar de la aparente naturaleza elemental de esta propiedad, no siempre es cierta; en particular, es no conmutativa. multiplicación de matrices (en general, no se pueden reorganizar), A producto vectorial de vectores– anticonmutativo (la reordenación de vectores implica un cambio de signo).

Y, además, aquí quiero enfatizar nuevamente el formalismo de la lógica matemática. Así, por ejemplo, las frases “El alumno aprobó el examen y bebió” Y “El alumno bebió y aprobó el examen” diferente desde el punto de vista del contenido, pero indistinguible desde el punto de vista de la verdad formal. ...Cada uno de nosotros conoce a estos estudiantes y por razones éticas no daremos nombres específicos =)

Asociatividad de multiplicación y suma lógica.

O, si es “al estilo de la escuela”, una propiedad coordinadora:

Propiedades distributivas

Tenga en cuenta que en el segundo caso sería incorrecto hablar de "abrir los paréntesis"; en cierto sentido, esto es una "ficción"; después de todo, se pueden eliminar por completo: , porque la multiplicación es una operación más fuerte.

Y nuevamente, estas propiedades aparentemente "banales" no se cumplen en todos los sistemas algebraicos y, además, requieren prueba (del cual hablaremos muy pronto). Por cierto, la segunda ley distributiva no es válida ni siquiera en nuestra álgebra "ordinaria". Y de hecho:

Ley de Idempotencia

Qué hacer, latín...

Solo algún principio de una psique sana: “Yo y yo soy yo”, “Yo o yo también soy yo” =)

Y aquí hay varias identidades similares:

...hmm, estoy un poco estancado... así que quizás mañana me despierte con un doctorado =)

Ley de la doble negación

Bueno, aquí se sugiere un ejemplo con el idioma ruso: todos saben perfectamente que dos partículas "no" significan "sí". Y para realzar la connotación emocional de la negación, se suelen utilizar tres “no”:
– ¡Incluso con una pequeña evidencia funcionó!

Leyes de absorción

- “¿Había un niño?” =)

En la identidad correcta, se pueden omitir los paréntesis.

Las leyes de De Morgan

Supongamos que el maestro estricto (cuyo nombre también conoces :)) da un examen si - El estudiante respondió la primera pregunta. Y – El estudiante respondió la segunda pregunta.. Luego una declaración que dice que Alumno No Pasó el exámen, será equivalente a la declaración – Alumno No respondió la primera pregunta o a la segunda pregunta.

Como se señaló anteriormente, las equivalencias están sujetas a prueba, que generalmente se realiza mediante tablas de verdad. De hecho, ya hemos demostrado las equivalencias que expresan implicación y equivalencia, y ahora es el momento de consolidar la técnica para resolver este problema.

Probemos la identidad. Dado que incluye una única declaración, sólo hay dos opciones posibles en la entrada: uno o cero. A continuación, asignamos una sola columna y les aplicamos gobierno yo:

Como resultado, el resultado es una fórmula cuya verdad coincide con la verdad del enunciado. Se ha demostrado la equivalencia.

Sí, esta prueba es primitiva. (y algunos dirán “estúpidos”), pero un típico profesor de matemáticas se estremecerá por él. Por lo tanto, incluso cosas tan simples no deben tratarse con desdén.

Ahora verifiquemos, por ejemplo, la validez de la ley de Morgan.

Primero, creemos una tabla de verdad para el lado izquierdo. Como la disyunción está entre paréntesis, la realizamos primero y luego negamos la columna:

A continuación, creemos una tabla de verdad para el lado derecho. Aquí también todo es transparente: primero llevamos a cabo negaciones "más fuertes" y luego las aplicamos a las columnas. gobierno yo:

Los resultados coincidieron, por lo que se demostró la identidad.

Cualquier equivalencia se puede representar en la forma idéntica a la verdadera fórmula. Esto significa que PARA CUALQUIER conjunto inicial de ceros y unos El “resultado” es estrictamente uno. Y hay una explicación muy simple para esto: dado que las tablas de verdad coinciden, entonces, por supuesto, son equivalentes. Conectemos, por ejemplo, los lados izquierdo y derecho de la identidad de Morgan recién demostrada por equivalencia:

O, de manera más compacta:

Tarea 2

Demuestre las siguientes equivalencias:

b)

Una breve solución al final de la lección. ¡No seamos perezosos! Intente no sólo crear tablas de verdad, sino también claramente formular conclusiones. Como señalé recientemente, ¡descuidar cosas simples puede resultar muy, muy caro!

¡Seguimos familiarizándonos con las leyes de la lógica!

Sí, es totalmente cierto, ya estamos trabajando duro con ellos:

Verdadero en , llamado idéntica a la verdadera fórmula o ley de la lógica.

Debido a la transición previamente justificada de la equivalencia a una fórmula idénticamente verdadera, todas las identidades enumeradas anteriormente representan leyes de la lógica.

Fórmula que toma valor Mentir en cualquier conjunto de valores de las variables incluidas en él, llamado fórmula idénticamente falsa o contradicción.

Un ejemplo característico de una contradicción de los antiguos griegos:
- Ninguna afirmación puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.

La prueba es trivial:

La “salida” contiene sólo ceros, por lo tanto la fórmula es realmente idéntico falso.

Sin embargo, cualquier contradicción es también una ley de la lógica, en particular:

Es imposible abarcar un tema tan amplio en un solo artículo, por lo que me limitaré a algunas leyes más:

Ley del medio excluido

– en lógica clásica, cualquier afirmación es verdadera o falsa y no existe una tercera opción. “Ser o no ser”: esa es la cuestión.

Haga usted mismo una señal de verdad y asegúrese de que así sea. idénticamente cierto fórmula.

Ley de contraposición

Esta ley se discutió activamente cuando discutimos la esencia. condición necesaria, recordamos: "Si afuera está húmedo cuando llueve, entonces si afuera está seco, entonces definitivamente no ha llovido"..

También se desprende de esta ley que si lo justo es derecho teorema, entonces la declaración, que a veces se llama opuesto teorema.

Si es verdad contrarrestar teorema, entonces en virtud de la ley de contraposición, el teorema también es válido, lo contrario de lo contrario:

Y nuevamente volvamos a nuestros ejemplos significativos: para declaraciones – el número es divisible por 4, – el número es divisible por 2 justo derecho Y opuesto teoremas, pero falso contrarrestar Y lo contrario de lo contrario teoremas Para la formulación “adulta” del teorema de Pitágoras, las 4 “direcciones” son verdaderas.

Ley del silogismo

También un clásico del género: “Todos los robles son árboles, todos los árboles son plantas, por lo tanto todos los robles son plantas”..

Bueno, aquí nuevamente me gustaría señalar el formalismo de la lógica matemática: si nuestro estricto Maestro piensa que cierto Estudiante es un roble, entonces desde un punto de vista formal este Estudiante es ciertamente una planta =) ... aunque, si si lo piensas bien, quizás también desde un punto de vista informal =)

Creemos una tabla de verdad para la fórmula. De acuerdo con la prioridad de las operaciones lógicas, nos adherimos al siguiente algoritmo:

1) llevamos a cabo las implicaciones y . En general, puedes realizar inmediatamente la tercera implicación, pero es más conveniente (¡y aceptable!) descúbrelo un poco más tarde;

2) aplicar a columnas gobierno yo;

3) ahora ejecutamos;

4) y en el paso final aplicamos la implicación a las columnas Y .

Siéntete libre de controlar el proceso con los dedos índice y medio :))


De la última columna creo que todo queda claro sin comentarios:
, que era lo que había que demostrar.

Tarea 3

Descubra si la siguiente fórmula es una ley de la lógica:

Una breve solución al final de la lección. Ah, y casi lo olvido: acordemos enumerar los conjuntos originales de ceros y unos exactamente en el mismo orden que cuando probamos la ley del silogismo. Por supuesto, las líneas se pueden reorganizar, pero esto hará que sea muy difícil compararlas con mi solución.

Convertir fórmulas lógicas

Además de su propósito “lógico”, las equivalencias se utilizan ampliamente para transformar y simplificar fórmulas. En términos generales, una parte de la identidad se puede intercambiar por otra. Entonces, por ejemplo, si en una fórmula lógica te encuentras con un fragmento, entonces, de acuerdo con la ley de idempotencia, en lugar de él puedes (y debes) escribir simplemente . Si ve, entonces, de acuerdo con la ley de absorción, simplifique la notación a. Etcétera.

Además, hay una cosa más importante: las identidades son válidas no sólo para enunciados elementales, sino también para fórmulas arbitrarias. Por ejemplo:

, donde – cualquiera (tan complejo como quieras) fórmulas.

Transformemos, por ejemplo, la compleja implicación (primera identidad):

A continuación aplicamos la ley de Morgan “compleja” al paréntesis y, por la prioridad de las operaciones, es la ley donde :

Los paréntesis se pueden eliminar, porque en el interior hay una conjunción “más fuerte”:

Bueno, con la conmutatividad en general todo es simple: ni siquiera es necesario designar nada... algo sobre la ley del silogismo se ha hundido en mi alma :))

Por tanto, la ley puede reescribirse de una forma más compleja:

Di en voz alta la cadena lógica “con un roble, un árbol, una planta”, y entenderás que el significado sustantivo de la ley no ha cambiado en absoluto al reordenar las implicaciones. Excepto que la redacción se ha vuelto más original.

Como ejercicio, simplifiquemos la fórmula.

¿Dónde empezar? En primer lugar, comprenda el orden de las acciones: aquí la negación se aplica a todo un paréntesis, que está "sujeto" al enunciado mediante una conjunción "un poco más débil". Básicamente, tenemos ante nosotros el producto lógico de dos factores: . De las dos operaciones restantes, la implicación tiene la prioridad más baja y, por lo tanto, toda la fórmula tiene la siguiente estructura: .

Normalmente, el primer paso es deshacerse de la equivalencia y la implicación. (si ellos estan) y reducir la fórmula a tres operaciones lógicas básicas. Qué puedo decir... Lógico.

(1) Usamos la identidad . Y en nuestro caso.

Esto suele ir seguido de "enfrentamientos" entre paréntesis. Primero la solución completa, luego los comentarios. Para evitar “mantequilla y mantequilla”, usaré símbolos de igualdad “normales”:

(2) Aplicamos la ley de De Morgan a los paréntesis exteriores, donde .

§ 1.3. Elementos de la lógica del álgebra.

Elementos del álgebra de la lógica. Preguntas y tareas

1. Lea los materiales de presentación del párrafo contenidos en el apéndice electrónico del libro de texto. ¿La presentación complementa la información contenida en el texto del párrafo?

2. Explique por qué las siguientes oraciones no son declaraciones.

1) ¿De qué color es esta casa?
2) El número X no excede de uno.
3) 4X + 3.
4) Mira por la ventana.
5) ¡Bebe jugo de tomate!
6) Este tema es aburrido.
7) Ricky Martin es el cantante más popular.
8) ¿Has estado en el teatro?

3. Dé un ejemplo de afirmaciones verdaderas y falsas de biología, geografía, informática, historia, matemáticas y literatura.

4. En los siguientes enunciados, resalte los enunciados simples, indicando cada uno de ellos con una letra; Escriba cada declaración compuesta usando letras y signos de operaciones lógicas.

1) El número 376 es par y tiene tres cifras.
2) En invierno, los niños van a patinar sobre hielo o a esquiar.
3) Celebraremos el Año Nuevo en la casa de campo o en la Plaza Roja.
4) No es cierto que el Sol se mueva alrededor de la Tierra.
5) La Tierra tiene forma de bola, que parece azul desde el espacio.
6) Durante una lección de matemáticas, los estudiantes de secundaria respondieron las preguntas del maestro y también escribieron trabajos independientes.

5. Construya las negaciones de las siguientes afirmaciones.

1) Hoy se representa en el teatro la ópera “Eugene Onegin”.
2) Todo cazador quiere saber dónde está sentado el faisán.
3) El número 1 es un número primo.
4) Los números naturales terminados en 0 no son números primos.
5) No es cierto que el número 3 no sea divisor del número 198.
6) Kolya resolvió todas las tareas de la prueba.
7) En todas las escuelas, algunos estudiantes están interesados ​​en los deportes.
8) Algunos mamíferos no viven en la tierra.

6. Sea A = "A Anya le gustan las lecciones de matemáticas" y B = "A Anya le gustan las lecciones de química". Expresa las siguientes fórmulas en lenguaje ordinario:

7. Un determinado segmento de Internet consta de 1000 sitios. El servidor de búsqueda compiló automáticamente una tabla de palabras clave para los sitios de este segmento. Aquí está su fragmento:

Bajo pedido bagre y guppies Se encontraron 0 sitios para su solicitud bagre y cola de espada- 20 sitios, y bajo petición. colas de espada y guppies- 10 sitios.

¿Cuántos sitios se encontrarán mediante solicitud? bagre | colas de espada | guppy?

¿Para cuántos sitios del segmento considerado es falsa la afirmación? “¿Bagre es la palabra clave del sitio O colas de espada es la palabra clave del sitio O guppies es la palabra clave del sitio”?

8. Construya tablas de verdad para las siguientes expresiones lógicas:

9. Realice una prueba de las leyes lógicas analizadas en el párrafo utilizando tablas de verdad.