Significado mecánico de la derivada de segundo orden. Ecuaciones de normal y tangente a la gráfica de una función.

Tarjeta de instrucciones No. 20

Takyryby/Sujeto: « La segunda derivada y su significado físico.».

Maksaty/ Propósito:

Ser capaz de encontrar la ecuación de la tangente, así como la tangente del ángulo de inclinación de la tangente al eje OX. Ser capaz de encontrar la tasa de cambio de una función, así como la aceleración.

Crear condiciones para la formación de habilidades para comparar y clasificar hechos y conceptos estudiados.

Fomentar una actitud responsable ante el trabajo educativo, voluntad y perseverancia para lograr resultados finales en la búsqueda de la ecuación tangente, así como en la búsqueda de la tasa de cambio de una función y la aceleración.

Material teórico:

(Significado geométrico derivado)

La ecuación tangente a la gráfica de una función es:

Ejemplo 1: Encontremos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función en el punto con obscenidad 2.

Respuesta: y = 4x-7

El coeficiente angular k de la tangente a la gráfica de la función en el punto con la abscisa x o es igual a f / (x o) (k= f / (x o)). El ángulo de inclinación de la tangente a la gráfica de la función en un punto dado es igual a

arctg k = arctg f / (x o), es decir k= f / (xo)= tg

Ejemplo 2: ¿En qué ángulo está la onda sinusoidal? intersecta al eje x en el origen?

El ángulo en el que la gráfica de una función dada interseca el eje x es igual a la pendiente a de la tangente trazada a la gráfica de la función f(x) en este punto. Encontremos la derivada: Teniendo en cuenta el significado geométrico de la derivada, tenemos: y a = 60°. Respuesta: =60 0 .

Si una función tiene una derivada en cada punto de su dominio de definición, entonces su derivada es una función de. La función, a su vez, puede tener una derivada, que se llama derivada de segundo orden funciones (o segunda derivada) y están designados por el símbolo .

Ejemplo 3: Encuentra la segunda derivada de la función: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Primero, encontremos la primera derivada de esta función f"(x)=(x 3 -4x 2 +2x-7)’=3x 2 -8x+2,

Luego, encontramos la segunda derivada de la primera derivada obtenida.

f""x)=(3x 2 -8x+2)’’=6x-8. Respuesta: f""x) = 6x-8.

(Significado mecánico de la segunda derivada)

Si un punto se mueve rectilíneamente y se da la ley de su movimiento, entonces la aceleración del punto es igual a la segunda derivada de la trayectoria con respecto al tiempo:

La velocidad de un cuerpo material es igual a la primera derivada de la trayectoria, es decir:

La aceleración de un cuerpo material es igual a la primera derivada de la velocidad, es decir:

Ejemplo 4: El cuerpo se mueve rectilíneamente según la ley s (t) = 3 + 2t + t 2 (m). Determine su rapidez y aceleración en el tiempo t = 3 s. (La distancia se mide en metros, el tiempo en segundos).
Solución
v (t) = s (t) =(3+2t+t 2)’= 2 + 2t
a (t) = v΄ (t) =(2+2t)’= 2 (m/s 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (m/s). Respuesta: 8 m/s; 2 m/s 2 .

Parte práctica:

1 opción	opcion 2	Opción 3	Opción 4	Opción 5
Encuentre la tangente del ángulo de inclinación al eje x de la tangente que pasa por el punto dado M gráfica de la función f.
f(x)=x 2 , M(-3;9)	f(x)=x 3 , M(-1;-1)
Escribe la ecuación de la tangente a la gráfica de la función f en el punto con la abscisa x 0.
f(x)=x 3 -1, x 0 =2	f(x)=x 2 +1, x 0 =1	f(x)= 2x-x 2, x 0 = -1	f(x)=3senx, x 0 =	f(x)= x 0 = -1
Encuentra la pendiente de la tangente a la función f en el punto con la abscisa x 0.
Encuentra la segunda derivada de la función:
			f(x)= 2cosx-x 2	f(x)= -2senx+x 3
El cuerpo se mueve rectilíneamente según la ley x (t). Determine su velocidad y aceleración en el momento. tiempo t. (El desplazamiento se mide en metros, el tiempo en segundos).
x(t)=t 2 -3t, t=4	x(t)=t 3 +2t, t=1	x(t)=2t 3 -t 2 , t=3	x(t)=t 3 -2t 2 +1,t=2	x(t)=t 4 -0.5t 2 =2, t=0.5

Preguntas de control:

¿Cuál consideras que es el significado físico de la derivada? ¿Es velocidad instantánea o velocidad promedio?

¿Cuál es la conexión entre una tangente trazada a la gráfica de una función que pasa por cualquier punto y el concepto de derivada?

¿Cuál es la definición de tangente a la gráfica de una función en el punto M(x 0 ;f(x 0))?

¿Cuál es el significado mecánico de la segunda derivada?

Derivado. Consideremos alguna función. y= F (X) en dos puntos X 0 y X 0 + : F(X 0) y F (X 0+). Aquí, a través denota un pequeño cambio en el argumento, llamado incremento de argumento; en consecuencia, la diferencia entre dos valores de función: F(X 0 + ) - F (X 0) llamado incremento de función. Derivado funciones y= F (X) en el punto X 0 se llama límite:

Si este límite existe, entonces la función F (X) se llama diferenciable en el punto X 0. Derivada de una función F (X) se denota de la siguiente manera:

Significado geométrico de derivada. Considere la gráfica de la función. y= F (X):

De la Fig. 1 está claro que para dos puntos cualesquiera A y B de la gráfica de la función:

¿Dónde está el ángulo de inclinación de la secante AB?

Por tanto, la razón de diferencias es igual a la pendiente de la secante. Si fijas el punto A y mueves el punto B hacia él, entonces disminuye sin límite y se acerca a 0, y la secante AB se acerca a la tangente AC. Por lo tanto, el límite de la razón de diferencia es igual a la pendiente de la tangente en el punto A. Se sigue: La derivada de una función en un punto es la pendiente de la tangente a la gráfica de esta función en ese punto. Esto es lo que significado geométrico derivado.

Ecuación tangente. Derivemos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función en el punto A ( X 0 , F (X 0)). En general, la ecuación de una recta con coeficiente de pendiente F ’(X 0) tiene la forma:

y = F ’(X 0) · x+b.

Encontrar b,aprovechamos que la tangente pasa por el punto A:

F (X 0) = F ’(X 0) · X 0 +b,

de aquí, b = F (X 0) – F ’(X 0) · X 0 , y sustituyendo esta expresión en su lugar b, obtendremos ecuación tangente:

y =F (X 0) + F ’(X 0) · ( x-x 0) .

Significado mecánico de derivada. Consideremos el caso más simple: el movimiento de un punto material a lo largo del eje de coordenadas, y se da la ley del movimiento: coordenada X punto en movimiento - función conocida X (t) tiempo t. Durante el intervalo de tiempo desde t 0 a t 0 + punto se mueve por distancia: X (t 0 + ) -X (t 0) = , y ella velocidad media es igual a: va = / . En 0, la velocidad promedio tiende a un cierto valor, que se llama velocidad instantánea v(t 0) punto material en el tiempo t 0. Pero por la definición de derivada tenemos:

de aquí, v(t 0)=x'(t 0), es decir la velocidad es la derivada de una coordenada con respecto al tiempo. Esto es lo que sentido mecánico derivado . Asimismo, La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.: a = v'(t).

Problemas de muestra

Tarea 1. Escribe una ecuación para la tangente común a las gráficas de las funciones y .

Una recta es tangente común a las gráficas de funciones y si toca tanto a una como a otra gráfica, pero no necesariamente en el mismo punto.

- ecuación de la tangente a la gráfica de la función y=x2 en el punto con la abscisa x0

- ecuación de la tangente a la gráfica de la función y=x3 en el punto con abscisa x1

Las rectas coinciden si sus pendientes y términos libres son iguales. De aquí

La solución al sistema será

Las ecuaciones tangentes generales son:

16. Reglas de diferenciación. Derivadas de funciones complejas, inversas e implícitas.
Reglas de diferenciación
Al derivar, una constante se puede derivar:

Regla para derivar la suma de funciones:

La regla para diferenciar la diferencia de funciones:

La regla para derivar un producto de funciones (regla de Leibniz):

La regla para diferenciar funciones cocientes:

La regla para derivar una función a la potencia de otra función:

Regla para derivar una función compleja:

La regla del logaritmo para derivar una función:

Derivada de una función compleja

Una función compleja de “dos capas” se escribe en la forma donde u = g(x) es la función interna, que, a su vez, es un argumento para la función externa f. Si f y g son funciones diferenciables, entonces la función compleja también es diferenciable con respecto a x y su derivada es Esta fórmula muestra que la derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de la función externa por la derivada de la función interna. ¡Es importante, sin embargo, que la derivada de la función interna se calcule en el punto x, y la derivada de la función externa se calcule en el punto u = g(x)! Esta fórmula se puede generalizar fácilmente al caso en que una función compleja consta de varias "capas" anidadas jerárquicamente unas dentro de otras. Veamos varios ejemplos que ilustran la regla para la derivada de una función compleja. Esta regla se usa ampliamente en muchos otros problemas de la sección de Diferenciación.

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de la función. Solución. Dado que , entonces por la regla de la derivada de una función compleja obtenemos

Una función es compleja si se puede representar como una función de la función y = f[φ(x)], donde y = f(u), аu = φ(x), donde u es un argumento intermedio. Cualquier función compleja se puede representar en forma de funciones elementales (simples), que son sus argumentos intermedios.

Ejemplos:

Funciones simples: Funciones complejas:

y= x 2 y = (x+1) 2 ;u= (x+1); y=u2;

y = senx; y =sen2x;u= 2x; y = seno;

y = e x y = e 2x;u= 2x; y = e tu;

y = lnx y = ln(x+2);u= x+2; y = lnu.

La regla general para derivar una función compleja viene dada por el teorema anterior sin demostración.

Si la función u=φ(x) tiene una derivada u" x =φ"(x) en el punto x, y la función y =f(u) tiene una derivada u" u =f " (u) en el punto correspondienteu, entonces la derivada de la función compleja y =f[φ(x)] en el punto x se encuentra mediante la fórmula: y" x =f " (u)u"(x).

A menudo se utiliza una formulación menos precisa pero más breve de este teorema. : la derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada con respecto a la variable intermedia y la derivada de la variable intermedia con respecto a la variable independiente.

Ejemplo: y = sen2x 2 ; tu= 2x 2 ; y = seno;

y" x = (sinu)" u · (2x 2)" x =cosu · 4x = 4x · cos2x 2.

3. Derivada de segundo orden. Significado mecánico de la segunda derivada.

La derivada de la función y =f(x) se llama derivada de primer orden o simplemente derivada primera de la función. Esta derivada es función de x y se puede diferenciar una segunda vez. La derivada de una derivada se llama derivada de segundo orden o derivada de segundo orden. Se designa: y" xx - (jugador dos golpes en x);f"(x) – ( ef dos tiempos en x);d 2 y/dх 2 – (de dos yrek en de x dos veces);d 2 f/dх 2 – (de dos ef en de x dos veces).

Basándonos en la definición de segunda derivada, podemos escribir:

y" xx = (y" x)" x; f" (x) = " x d 2 y/dx 2 = d/dx (dу/dx).

La segunda derivada, a su vez, es función de x y se puede derivar para obtener una derivada de tercer orden, etc.

Ejemplo: y = 2x 3 +x 2; y" xx = [(2x 3 +x 2)" x ]" x = (6x 2 +2x)" x = 12x+2;

El significado mecánico de la segunda derivada se explica sobre la base de la aceleración instantánea, que caracteriza el movimiento alterno.

Si S=f(t) es la ecuación de movimiento, entonces=S" t ; A Casarse =;

A instante =
A promedio =
="t; A instante = " t = (S" t)" t = S" tt .

Por tanto, la segunda derivada de la trayectoria con respecto al tiempo es igual a la aceleración instantánea del movimiento alterno. Este es el significado físico (mecánico) de la segunda derivada.

Ejemplo: Sea el movimiento rectilíneo de un punto material según la ley S = t 3 /3. La aceleración de un punto material se determinará como la segunda derivada S" tt: A= S" tt = (t 3 /3)" = 2t.

4. Función diferencial.

Estrechamente relacionado con el concepto de derivada está el concepto de diferencial de una función, que tiene importantes aplicaciones prácticas.

Función f( X) tiene una derivada
=f " (X);

Según el teorema (no consideramos el teorema) sobre la conexión entre la cantidad infinitesimal α(∆х)(
α(∆х)=0) con derivada: =f " (x)+ α (∆x), de donde ∆f = f " (x) ∆х+α(∆х) · ∆х.

De la última igualdad se deduce que el incremento de la función consta de una suma, cada término de la cual es un valor infinitesimal para ∆x→ 0.

Determinemos el orden de pequeñez de cada valor infinitesimal de esta suma con respecto al infinitesimal ∆x:

En consecuencia, infinitesimal f (x) ∆x y ∆x tienen el mismo orden de pequeñez.

En consecuencia, el valor infinitesimal α(∆x)∆x tiene un orden de pequeñez superior en relación con el valor infinitesimal ∆x. Esto significa que en las expresiones para ∆f, el segundo término α(∆х)∆х tiende a 0 más rápido cuando ∆х→0 que el primer término f " (x)∆x.

Este es el primer término f " (x)∆x se llama diferencial de la función en el punto x. esta designado dy (de igrek) o df (de ef). Entonces dy=df= f " (x)∆х ordy= f " (x)dx, porque el diferencial dх del argumento es igual a su incremento ∆х (si en la fórmula df = f " (x)dx suponemos que f(x)=x, entonces obtenemos df=dx=x" x ∆x, perox" x =1, es decir, dx=∆x). Entonces, el diferencial de una función es igual al producto de esta función por el diferencial del argumento.

El significado analítico del diferencial es que el diferencial de una función es la parte principal del incremento de la función ∆f, lineal con respecto al argumento ∆x. El diferencial de una función difiere del incremento de una función en un valor infinitesimal α(∆х)∆х de un orden de pequeñez superior a ∆x. De hecho ∆f=f " (x)∆x+α(∆x)∆x o ∆f=df+α(∆x)∆x; dondecedf= ∆f- α(∆х)∆х.

Ejemplo: y = 2x 3 +x 2;dу =?dу = y"dx = (2x 3 +x 2)" x dx= (6x 2 +2x)dx.

Despreciando el valor infinitesimal α(∆х)∆х de orden superior un poco más que ∆X, obtenemos df≈ ∆f≈f " (x)dх es decir El diferencial de una función se puede utilizar para aproximar el incremento de una función, ya que el diferencial suele ser más fácil de calcular. El diferencial también se puede aplicar al cálculo aproximado del valor de una función. Conozcamos la función y = f(x) y su derivada en el punto x. Es necesario encontrar el valor de la función f(x+∆x) en algún punto cercano (x+∆x). Para ello utilizaremos la igualdad aproximada ∆у ≈dyo ∆у ≈f " (x) ∆x. Considerando que ∆у=f(х+∆х)-f(х), obtenemosf(х+∆х)-f (х) ≈f " (x) dх , de dondef(x+∆x) = f(x)+f " (x) dx. La fórmula resultante resuelve el problema.

Derivado(funciones en un punto): el concepto básico de cálculo diferencial, que caracteriza la tasa de cambio de una función (en un punto dado). Se define como el límite de la relación entre el incremento de una función y el incremento de su argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero, si tal límite existe. Una función que tiene una derivada finita (en algún punto) se llama diferenciable (en ese punto).

Derivado. Consideremos alguna función. y = F (X ) en dos puntos X 0 y X 0 + : F (X 0) y F (X 0+). Aquí, a través denota un pequeño cambio en el argumento, llamado incremento de argumento; en consecuencia, la diferencia entre dos valores de función: F (X 0 + )  F (X 0 ) se llama incremento de función.Derivado funciones y = F (X ) en el punto X 0 llamado límite:

Si este límite existe, entonces la función F (X ) se llama diferenciable en el punto X 0. Derivada de una función F (X ) se denota de la siguiente manera:

Significado geométrico de derivada. Considere la gráfica de la función. y = F (X ):

De la Fig. 1 está claro que para dos puntos cualesquiera A y B de la gráfica de la función:

¿Dónde está el ángulo de inclinación de la secante AB?

Por tanto, la razón de diferencias es igual a la pendiente de la secante. Si fijas el punto A y mueves el punto B hacia él, entonces disminuye sin límite y se acerca a 0, y la secante AB se acerca a la tangente AC. Por lo tanto, el límite de la razón de diferencia es igual a la pendiente de la tangente en el punto A. Se sigue: La derivada de una función en un punto es la pendiente de la tangente a la gráfica de esta función en ese punto. Esto es lo que significado geométrico derivado.

Ecuación tangente. Derivemos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función en el punto A ( X 0 , F (X 0 )). En general, la ecuación de una recta con coeficiente de pendiente F ’(X 0 ) tiene la forma:

y = F ’(X 0 ) · x+b.

Encontrar b, Aprovechemos que la tangente pasa por el punto A:

F (X 0 ) = F ’(X 0 ) · X 0 +b ,

de aquí, b = F (X 0 ) – F ’(X 0 ) · X 0 , y sustituyendo esta expresión en su lugar b, obtendremos ecuación tangente:

y =F (X 0 ) + F ’(X 0 ) · ( x-x 0 ) .

Significado mecánico de derivada. Consideremos el caso más simple: el movimiento de un punto material a lo largo del eje de coordenadas, y se da la ley del movimiento: coordenada X punto en movimiento - función conocida X (t) tiempo t. Durante el intervalo de tiempo desde t 0 a t 0 + el punto se mueve una distancia: X (t 0 + )  X (t 0) = , y ella velocidad media es igual a: v a =  . En 0, la velocidad promedio tiende a un cierto valor, que se llama velocidad instantanea v ( t 0 ) momento material t 0. Pero por la definición de derivada tenemos:

de aquí, v (t 0 ) =x' (t 0 ) , es decir. la velocidad es la derivada de la coordenada Por tiempo. Esto es lo que sentido mecánico derivado . Asimismo, La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.: a = v' (t).

8. Tabla de derivadas y reglas de diferenciación.

Hablamos de qué es una derivada en el artículo "El significado geométrico de una derivada". Si una función está dada por una gráfica, su derivada en cada punto es igual a la tangente de la tangente a la gráfica de la función. Y si la función está dada por una fórmula, te ayudará la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación, es decir, las reglas para encontrar la derivada.

Derivado(funciones en un punto): el concepto básico de cálculo diferencial, que caracteriza la tasa de cambio de una función (en un punto dado). Se define como el límite de la relación entre el incremento de una función y el incremento de su argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero, si tal límite existe. Una función que tiene una derivada finita (en algún punto) se llama diferenciable (en ese punto).

Derivado. Consideremos alguna función. y = F (X ) en dos puntos X 0 y X 0 + : F (X 0) y F (X 0+). Aquí, a través denota un pequeño cambio en el argumento, llamado incremento de argumento; en consecuencia, la diferencia entre dos valores de función: F (X 0 + )  F (X 0 ) se llama incremento de función.Derivado funciones y = F (X ) en el punto X 0 llamado límite:

Si este límite existe, entonces la función F (X ) se llama diferenciable en el punto X 0. Derivada de una función F (X ) se denota de la siguiente manera:

Significado geométrico de derivada. Considere la gráfica de la función. y = F (X ):

De la Fig. 1 está claro que para dos puntos cualesquiera A y B de la gráfica de la función:

¿Dónde está el ángulo de inclinación de la secante AB?

Por tanto, la razón de diferencias es igual a la pendiente de la secante. Si fijas el punto A y mueves el punto B hacia él, entonces disminuye sin límite y se acerca a 0, y la secante AB se acerca a la tangente AC. Por lo tanto, el límite de la razón de diferencia es igual a la pendiente de la tangente en el punto A. Se sigue: La derivada de una función en un punto es la pendiente de la tangente a la gráfica de esta función en ese punto. Esto es lo que significado geométrico derivado.

Ecuación tangente. Derivemos la ecuación de la tangente a la gráfica de la función en el punto A ( X 0 , F (X 0 )). En general, la ecuación de una recta con coeficiente de pendiente F ’(X 0 ) tiene la forma:

y = F ’(X 0 ) · x+b.

Encontrar b, Aprovechemos que la tangente pasa por el punto A:

F (X 0 ) = F ’(X 0 ) · X 0 +b ,

de aquí, b = F (X 0 ) – F ’(X 0 ) · X 0 , y sustituyendo esta expresión en su lugar b, obtendremos ecuación tangente:

y =F (X 0 ) + F ’(X 0 ) · ( x-x 0 ) .

Significado mecánico de derivada. Consideremos el caso más simple: el movimiento de un punto material a lo largo del eje de coordenadas, y se da la ley del movimiento: coordenada X punto en movimiento - función conocida X (t) tiempo t. Durante el intervalo de tiempo desde t 0 a t 0 + el punto se mueve una distancia: X (t 0 + ) X (t 0) = , y ella velocidad media es igual a: v a =  . En 0, la velocidad promedio tiende a un cierto valor, que se llama velocidad instantanea v ( t 0 ) momento material t 0. Pero por la definición de derivada tenemos:

de aquí, v (t 0 ) =x' (t 0 ) , es decir. la velocidad es la derivada de la coordenada Por tiempo. Esto es lo que sentido mecánico derivado . Asimismo, La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.: a = v' (t).

8. Tabla de derivadas y reglas de diferenciación.

Hablamos de qué es una derivada en el artículo "El significado geométrico de una derivada". Si una función está dada por una gráfica, su derivada en cada punto es igual a la tangente de la tangente a la gráfica de la función. Y si la función está dada por una fórmula, te ayudará la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación, es decir, las reglas para encontrar la derivada.

§ 2. Definición de derivada.

Deja que la función y= F(X) definido en el intervalo ( a;b). Considere el valor del argumento.

(a;b) . Démosle un incremento al argumento. ∆ X 0, de modo que la condición ( X 0 +∆ X)

a;b). Denotemos los valores de función correspondientes por y 0 e y 1:

y 0 = F(X 0 ), y 1 = F(X 0 +∆ X). Al pasar de X 0 A X 0 +∆ X la función se incrementará

∆y = y 1 -y 0 = F(X 0 +∆ X) -F(X 0 ). Si mientras se esfuerza ∆ X a cero hay un límite en la relación del incremento de la función ∆y al incremento del argumento que lo causó ∆ X,

aquellos. hay un limite

=

,

entonces este límite se llama derivada de la función y= F(X) en el punto X 0 . Entonces, la derivada de la función y= F(X) en el punto X=X 0 es el límite de la relación entre el incremento de una función y el incremento del argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero. Derivada de una función y= F(X) en el punto X indicado por símbolos (X) o (X). También se utilizan notaciones , , ,. Las últimas tres notaciones enfatizan el hecho de que la derivada se toma con respecto a la variable X.

Si la función y= F(X) tiene una derivada en cada punto de un cierto intervalo, entonces en este intervalo la derivada ( X) es un argumento de función X.

§ 3. Significado mecánico y geométrico de la derivada.

Ecuaciones de normal y tangente a la gráfica de una función.

Como se mostró en el § 1, la velocidad instantánea de un punto es

v = .

Pero esto significa que la velocidad v es la derivada de la distancia recorrida S A tiempo t ,

v =. Así, si la función y= F(X) describe la ley del movimiento rectilíneo de un punto material, donde y es el camino recorrido por un punto material desde que comienza a moverse hasta el momento del tiempo X, entonces la derivada ( X) determina la velocidad instantánea de un punto a la vez X. Éste es el significado mecánico de la derivada.

En el § 1 también se encontró el coeficiente angular de la tangente a la gráfica de la función. y= F(X) k= tgα= . Esta relación significa que la pendiente de la tangente es igual a la derivada ( X). Más estrictamente hablando, la derivada ( X) funciones y= F(X) , calculado con el valor del argumento igual a X, es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de esta función en el punto cuya abscisa es igual a X. Este es el significado geométrico de la derivada.

dejar en X=X 0 función y= F(X) adquiere el valor y 0 =F(X 0 ) , y la gráfica de esta función tiene una tangente en el punto con coordenadas ( X 0 ;y 0). Entonces la pendiente de la tangente

k = ( X 0). Usando la ecuación de una línea que pasa por un punto dado en una dirección dada, conocida del curso de geometría analítica ( y-y 0 =k(X-X 0)), escribimos la ecuación tangente:

La recta que pasa por el punto tangente perpendicular a la tangente se llama normal a la curva. Como la normal es perpendicular a la tangente, su pendiente es k normas está relacionada con la pendiente de la tangente k conocido de la geometría analítica por la relación: k normas = ─, es decir para la normal que pasa por el punto con coordenadas ( X 0 ;y 0),k normales = ─ . Por tanto, la ecuación de esta normal tiene la forma:

(siempre que

).

§ 4. Ejemplos de cálculos de derivadas.

Para calcular la derivada de una función. y= F(X) en el punto X, necesario:

Argumento X dar un incremento ∆ X;

Encuentra el incremento correspondiente de la función ∆ y=F(X+∆X) -F(X);

hacer una relacion ;

Encuentre el límite de esta relación en ∆ X→0.

Ejemplo 4.1. Encuentra la derivada de una función. y=C=constante.

Argumento X dar un incremento ∆ X.

Lo que sea que es X, ∆y=0: ∆y=F(X+∆X) ─F(X)=С─С=0;

De aquí =0 y =0, es decir =0.

Ejemplo 4.2. Encuentra la derivada de una función. y=X.

∆ y=F(X+∆X) ─F(X)= X+∆X– X=∆ X;

1, =1, es decir =1.

Ejemplo 4.3. Encuentra la derivada de una función. y=X 2.

∆ y= (X+∆ X)2–X 2= 2 X∙∆ X+ (∆ X)2;

= 2 X+ ∆ X, = 2 X, es decir. =2 X.

Ejemplo 4.4. Encuentra la derivada de la función y=sin X.

∆ y=pecado( X+∆X) - pecado X= 2pecado porque( X+);

=

;

=



= porque X, es decir. = porque X.

Ejemplo 4.5. Encuentra la derivada de una función. y=

.

=

, es decir. = .

SENTIDO MECÁNICO DE DERIVADA

Se sabe por la física que la ley del movimiento uniforme tiene la forma s = v t, Dónde s– el camino recorrido hasta el momento del tiempo t, v– velocidad del movimiento uniforme.

Sin embargo, porque La mayoría de los movimientos que ocurren en la naturaleza son desiguales, entonces, en general, la velocidad y, en consecuencia, la distancia. s dependerá del tiempo t, es decir. será función del tiempo.

Entonces, dejemos que un punto material se mueva en línea recta en una dirección de acuerdo con la ley. s=s(t).

Marquemos un momento determinado en el tiempo. t 0. En este punto el punto ha pasado el camino. s=s(t 0 ). Determinemos la velocidad. v punto material en un momento en el tiempo t 0 .

Para hacer esto, consideremos algún otro momento. t 0 + Δ t. Corresponde al camino recorrido s =s(t 0 + Δ t). Luego, durante un período de tiempo Δ t el punto ha recorrido el camino Δs =s(t 0 + Δ t)–calle).

Consideremos la actitud. Se llama velocidad promedio en el intervalo de tiempo Δ t. La velocidad promedio no puede caracterizar con precisión la velocidad de movimiento de un punto en este momento. t 0 (porque el movimiento es desigual). Para expresar con mayor precisión esta velocidad real utilizando la velocidad promedio, es necesario tomar un período de tiempo más corto Δ t.

Entonces, la velocidad del movimiento en un momento dado. t 0 (velocidad instantánea) es el límite de la velocidad media en el intervalo desde t 0 a t 0 +Δ t, cuando Δ t→0:

,

aquellos. velocidad desigual esta es la derivada de la distancia recorrida con respecto al tiempo.

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DE DERIVADA

Primero introduzcamos la definición de tangente a una curva en un punto dado.

Tengamos una curva y un punto fijo en ella. m 0(ver figura) Consideremos otro punto METRO esta curva y dibuja una secante M 0 M. si el punto METRO comienza a moverse a lo largo de la curva, y el punto m 0 permanece inmóvil, entonces la secante cambia de posición. Si, con aproximación ilimitada del punto METRO a lo largo de una curva hasta un punto m 0 en cualquier lado la secante tiende a ocupar la posición de una determinada recta M 0 T, luego recto M 0 T llamada tangente a la curva en un punto dado m 0.

Eso., tangente a la curva en un punto dado m 0 llamada posición límite de la secante M 0 M cuando punto METRO tiende a lo largo de la curva hasta un punto m 0.

Consideremos ahora la función continua y=f(x) y la curva correspondiente a esta función. a algun valor X 0 función toma valor y 0 =f(x 0). Estos valores X 0 y y 0 en la curva corresponde a un punto METRO 0 (x 0; y 0). vamos a dar el argumento x0 incremento Δ X. El nuevo valor del argumento corresponde al valor incrementado de la función. y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ X). Entendemos el punto M(x 0+Δ X; y 0+Δ y). Dibujemos una secante M 0 M y denotamos por φ el ángulo formado por una secante con la dirección positiva del eje Buey. Creemos una relación y observemos eso.

Si ahora Δ X→0, entonces debido a la continuidad de la función Δ en→0, y por lo tanto el punto METRO, moviéndose a lo largo de una curva, se acerca al punto sin límite m 0. Entonces la secante M 0 M tenderá a tomar la posición de una tangente a la curva en el punto m 0, y el ángulo φ→α en Δ X→0, donde α denota el ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje Buey. Dado que la función tan φ depende continuamente de φ para φ≠π/2, entonces para φ→α tan φ → tan α y, por tanto, la pendiente de la tangente será:

aquellos. f "(x)= tgα.

Así, geométricamente y "(x 0) representa la pendiente de la tangente a la gráfica de esta función en el punto x0, es decir. para un valor de argumento dado X, la derivada es igual a la tangente del ángulo formado por la tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto apropiado M 0 (x; y) con dirección de eje positiva Buey.

Ejemplo. Encuentra la pendiente de la tangente a la curva. y = x 2 en el punto METRO(-1; 1).

Ya hemos visto anteriormente que ( X 2)" = 2X. Pero el coeficiente angular de la tangente a la curva es tan α = y"| x=-1 = – 2.

Significado geométrico, mecánico y económico del derivado.

Definición de derivada.

Conferencia No. 7-8

Bibliografía

1 Ukhobotov, V.I.Matemáticas: Libro de texto.- Chelyabinsk: Chelyab. estado univ., 2006.- 251 p.

2 Ermakov, V.I. Colección de problemas de matemáticas superiores. Tutorial. –M.: INFRA-M, 2006. – 575 p.

3 Ermakov, V.I. Curso general de matemáticas superiores. Libro de texto. –M.: INFRA-M, 2003. – 656 p.

Tema "Derivado"

Objetivo: explique el concepto de derivada, trace la relación entre continuidad y diferenciabilidad de una función, muestre la aplicabilidad del uso de derivadas con ejemplos.

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Este límite en economía se llama costo marginal de producción.

Definición de derivada. Significado geométrico y mecánico de la derivada, ecuación de una función tangente a la gráfica.

Necesita una respuesta corta (sin agua innecesaria)

nieve_blanca_muerta

Derivada es el concepto básico del cálculo diferencial, que caracteriza la tasa de cambio de una función.
¿Geométrico?
Tangente a una función en un punto... .
Condición para aumentar la función: f " (x) > 0.
Condición para que la función disminuya: f " (x)< 0.
Punto de inflexión (condición necesaria): f " " (x0) = 0.
Convexo hacia arriba: f " " (x) Convexo hacia abajo: f " " (x) >0
Ecuación normal: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
¿Mecánico?
la velocidad es una derivada con respecto a la distancia, la aceleración es una derivada con respecto a la velocidad y una segunda derivada con respecto a la distancia...
Ecuación de la tangente a la gráfica de la función f en el punto x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Usuario eliminado

Si hay un límite en la relación entre delta y y delta x entre el incremento de la función delta y y el incremento del argumento delta x que lo causó, cuando delta x tiende a cero, entonces este límite se llama derivada de la función y = f(x) en un punto dado x y se denota por y" o f "(x)
La velocidad v del movimiento rectilíneo es la derivada de la trayectoria s con respecto al tiempo t: v = ds/dt. Éste es el significado mecánico de la derivada.
El coeficiente angular de la tangente a la curva y = f(x) en el punto cuya abscisa x es cero es la derivada de f"(x es cero). Este es el significado geométrico de la derivada.
Una curva tangente en el punto M cero es una línea recta M cero T, cuyo coeficiente angular es igual al límite del coeficiente angular de la secante M cero M uno cuando delta x tiende a cero.
tg phi = lim tg alpha cuando delta x tiende a cero = lim (delta x / delta y) cuando delta x tiende a cero
Según el significado geométrico de la derivada, la ecuación tangente toma la forma:
y - y cero = f"(x cero)(x - x cero)