Sea un sistema de coordenadas rectangular cartesiano Oxy y alguna línea L en el plano .

Definición. La ecuacion F(x;y)=0 (1) llamado ecuación de líneal(en relación con un sistema de coordenadas dado), si esta ecuación se satisface con las coordenadas xey de cualquier punto que se encuentre en la línea L, y no por las coordenadas xey de cualquier punto que no se encuentre en la línea L.

Eso. línea en un avión es el lugar geométrico de los puntos (M(x;y)) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación (1).

La ecuación (1) define la línea L.

Ejemplo. Ecuación de un círculo.

Círculo– un conjunto de puntos equidistantes de un punto dado M 0 (x 0,y 0).

Punto M 0 (x 0,y 0) – centro del circulo.

Para cualquier punto M(x;y) que se encuentre en el círculo, la distancia MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(ooh 0 ) 2 =R 2 –(2) – ecuación de un círculo de radio R con centro en el punto M 0 (x 0,y 0).

Ecuación paramétrica de una recta.

Sean expresadas las coordenadas xey de los puntos de la recta L utilizando el parámetro t:

(3) – ecuación paramétrica de la línea en DSC

donde las funciones (t) y (t) son continuas con respecto al parámetro t (en un cierto rango de variación de este parámetro).

Excluyendo el parámetro t de la ecuación (3), obtenemos la ecuación (1).

Consideremos la línea L como el camino recorrido por un punto material que se mueve continuamente según una determinada ley. Sea la variable t el tiempo contado desde algún momento inicial. Entonces, la especificación de la ley del movimiento representa la especificación de las coordenadas xey del punto en movimiento como algunas funciones continuas x=(t) e y=(t) del tiempo t.

Ejemplo. Derivemos una ecuación paramétrica para un círculo de radio r>0 con centro en el origen. Sea M(x,y) un punto arbitrario de este círculo, y t sea el ángulo entre el vector de radio y el eje Ox, contado en sentido antihorario.

Entonces x=r cos x y=r sen t. (4)

Las ecuaciones (4) son ecuaciones paramétricas del círculo considerado. El parámetro t puede tomar cualquier valor, pero para que el punto M(x,y) dé la vuelta al círculo una vez, el rango de cambio del parámetro se limita al medio segmento 0t2.

Al elevar al cuadrado y sumar las ecuaciones (4), obtenemos la ecuación general de un círculo (2).

2. Sistema de coordenadas polares (psc).

Elijamos el eje L ( eje polar) y determinar el punto de este eje O ( polo). Cualquier punto en el plano está definido únicamente por las coordenadas polares ρ y φ, donde

ρ – radio polar, igual a la distancia del punto M al polo O (ρ≥0);

φ – esquina entre la dirección del vector om y eje L ( ángulo polar). METRO(ρ ; φ )

Ecuación lineal en UCS puede ser escrito:

ρ=f(φ) (5) ecuación explícita de la recta en el UCS

F=(ρ; φ) (6) ecuación lineal implícita en el UCS

Relación entre coordenadas cartesianas y polares de un punto.

(x;y) (ρ ; φ ) Del triángulo OMA:

tan φ=(restauración del ánguloφ según lo conocidose produce la tangenteteniendo en cuenta en qué cuadrante se encuentra el punto M).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsenφ

Ejemplo . Encuentre las coordenadas polares de los puntos M(3;4) y P(1;-1).

Para M:=5, φ=arctg (4/3). Para P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Clasificación de líneas planas.

Definición 1. La línea se llama algebraico, si en algún sistema de coordenadas rectangular cartesiano, si está definido por la ecuación F(x;y)=0 (1), en la cual la función F(x;y) es un polinomio algebraico.

Definición 2. Toda recta no algebraica se llama trascendental.

Definición 3. La recta algebraica se llama línea de ordennorte, si en algún sistema de coordenadas rectangular cartesiano esta recta está determinada por la ecuación (1), en la que la función F(x;y) es un polinomio algebraico de enésimo grado.

Por tanto, una recta de enésimo orden es una recta definida en algún sistema rectangular cartesiano mediante una ecuación algebraica de grado n con dos incógnitas.

El siguiente teorema contribuye a establecer la exactitud de las definiciones 1,2,3.

Teorema(documento en la pág. 107). Si una recta en algún sistema de coordenadas rectangular cartesiano está determinada por una ecuación algebraica de grado n, entonces esta recta en cualquier otro sistema de coordenadas rectangular cartesiano está determinada por una ecuación algebraica del mismo grado n.

Ecuación de una recta como lugar geométrico de puntos. Diferentes tipos de ecuaciones en línea recta. Estudio de la ecuación general de la recta. Construir una recta usando su ecuación

Ecuación lineal llamada ecuación con variables X Y y, que se satisface con las coordenadas de cualquier punto de esta recta y solo con ellas.

Variables incluidas en la ecuación lineal. X Y y se llaman coordenadas actuales y las constantes literales se llaman parámetros.

Para crear una ecuación de una recta como lugar geométrico de puntos que tienen la misma propiedad, necesitas:

1) tomar un punto arbitrario (actual) METRO(X, y) líneas;
2) escriba la igualdad de la propiedad general de todos los puntos METRO líneas;
3) expresar los segmentos (y ángulos) incluidos en esta igualdad a través de las coordenadas actuales del punto METRO(X, y) y a través de los datos de la tarea.

En coordenadas rectangulares, la ecuación de una línea recta en un plano se especifica en una de las siguientes formas:

1. Ecuación de una recta con pendiente

y = kx + b, (1)

Dónde k- el coeficiente angular de la recta, es decir, la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje Buey, y este ángulo se mide desde el eje Buey a una línea recta en sentido antihorario, b- el tamaño del segmento cortado por una línea recta en el eje de ordenadas. En b= 0 la ecuación (1) tiene la forma y = kx y la recta correspondiente pasa por el origen.

La ecuación (1) se puede utilizar para definir cualquier línea recta en el plano que no sea perpendicular al eje. Buey.

La ecuación de una recta con pendiente se resuelve con respecto a la coordenada actual y.

2. Ecuación general de una recta

Hacha + Por + C = 0. (2)

Casos especiales de la ecuación general de una recta.

1. Ecuación de una recta en un plano

Como sabes, cualquier punto del plano está determinado por dos coordenadas en algún sistema de coordenadas. Los sistemas de coordenadas pueden ser diferentes según la elección de la base y el origen.

Definición. La ecuación de una recta es la relación y = f (x) entre las coordenadas de los puntos que forman esta recta.

Nótese que la ecuación de una recta se puede expresar de forma paramétrica, es decir, cada coordenada de cada punto se expresa a través de algún parámetro independiente t. Un ejemplo típico es la trayectoria de un punto en movimiento. En este caso, el papel del parámetro lo desempeña el tiempo.

2. Ecuación de una recta en un plano

Definición. Cualquier línea recta en el plano se puede especificar mediante una ecuación de primer orden Ax + By + C = 0, y las constantes A, B no son iguales a cero al mismo tiempo, es decir

A 2 + B 2 ≠ 0. Esta ecuación de primer orden se llama ecuación general de la recta.

EN Dependiendo de los valores de las constantes A, B y C, son posibles los siguientes casos especiales:

– una línea recta pasa por el origen de coordenadas

C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0( By + C = 0) - línea recta paralela al eje Ox

B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0( Ax + C = 0) – línea recta paralela al eje Oy

B = C = 0, A ≠ 0 – la línea recta coincide con el eje Oy

A = C = 0, B ≠ 0 – la línea recta coincide con el eje Ox

La ecuación de una línea recta se puede presentar de diferentes formas dependiendo de las condiciones iniciales dadas.

3. Ecuación de una recta desde un punto y un vector normal

Definición. En un sistema de coordenadas rectangular cartesiano, un vector con componentes (A, B) es perpendicular a la recta dada por la ecuación

Hacha + Por + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,2) perpendicular al vector n (3, − 1).

Con A=3 y B=-1, compongamos la ecuación de la recta: 3x − y + C = 0. Para encontrar el coeficiente

Sustituyamos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante y obtenemos: 3 − 2 + C = 0, por lo tanto C = -1.

Total: la ecuación requerida: 3x − y − 1 = 0.

4. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dos puntos M1 (x1, y1, z1) y M2 (x2, y2, z2) en el espacio, entonces la ecuación de la recta es

pasando por estos puntos:	x-x1				y-y1				z − z1
			−x				− y				−z

Si alguno de los denominadores es cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero.

En el plano, la ecuación de la recta escrita arriba se simplifica: y − y 1 = y 2 − y 1 (x − x 1 ) si x 2 − x 1

x 1 ≠ x 2 y x = x 1 si x 1 = x 2 .

La fracción y 2 − y 1 = k se llama pendiente de la recta. x2-x1

5. Ecuación de una recta usando un punto y una pendiente.

Si la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 se reduce a la forma:

se llama ecuación de una recta con pendiente k.

6. Ecuación de una recta desde un punto y un vector director

Por analogía con el punto, considerando la ecuación de una línea recta que pasa por un vector normal, se puede ingresar la definición de una línea recta que pasa por un punto y el vector director de la línea recta.

Definición. Cada vector distinto de cero a (α 1 ,α 2 ) cuyos componentes satisfacen la condición A α 1 + B α 2 = 0 se llama vector director de la recta

Hacha + Por + C = 0 .

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta con un vector director a (1,-1) y que pasa por el punto A(1,2).

Buscaremos la ecuación de la recta deseada en la forma: Ax + By + C = 0. De acuerdo con la definición, los coeficientes deben cumplir las condiciones: 1A + (− 1) B = 0, es decir A = B. Entonces la ecuación de la recta tiene la forma: Ax + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0. para x=1, y=2 obtenemos C/A=-3, es decir ecuación requerida: x + y − 3 = 0

7. Ecuación de una recta en segmentos

Si en la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0, C ≠ 0, entonces, dividiendo por –C,

obtenemos: -

x-

y = 1 o

1, donde a = −

b = -

El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección de la línea con el eje Ox, y b es la coordenada del punto de intersección de la línea con el eje Oy.

8. Ecuación normal de una recta

se llama factor de normalización, entonces obtenemos x cosϕ + y sinϕ − p = 0 – la ecuación normal de la recta.

El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que μ C< 0 .

p es la longitud de la perpendicular que cae desde el origen hasta la recta, y ϕ es el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Ox

9. Ángulo entre líneas rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos rectas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, entonces el ángulo agudo entre

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2. Dos rectas son perpendiculares si k 1 = − 1/ k 2 .

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada

Definición. Una recta que pasa por el punto M1 (x1,y1) y es perpendicular a la recta y = kx + b está representada por la ecuación:

y − y = −

(x-x)

10. Distancia de un punto a una recta

Si se da un punto M(x0, y0), entonces la distancia a la recta Ax + By + C = 0

se define como d =

Ax0 + By0 + C

Ejemplo. Determina el ángulo entre las líneas: y = − 3x + 7, y = 2x + 1.

k = - 3, k

2 tan ϕ =

2 − (− 3)

1;ϕ = π / 4.

1− (− 3)2

Ejemplo. Espectáculo,

que las rectas 3 x − 5 y + 7 = 0 y 10 x + 6 y − 3 = 0

perpendicular.

Encontramos: k 1 = 3/ 5, k 2 = − 5 / 3, k 1 k 2 = − 1, por lo tanto, las rectas son perpendiculares.

Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B (6; 5), C (1 2; - 1).

Encuentra la ecuación de la altura extraída del vértice C.
Encuentra la ecuación del lado AB:	x-0		y-1					y-1		; 4x = 6 y − 6
	6 − 0		5 − 1

2 x − 3 y + 3 = 0; y = 2 3 x + 1.

La ecuación de altura requerida tiene la forma: Ax + By + C = 0 o y = kx + bk = − 3 2 Entonces

y = − 3 2 x + segundo . Porque la altura pasa por el punto C, entonces sus coordenadas satisfacen esta ecuación: − 1 = − 3 2 12 + b, de donde b=17. Total: y = − 3 2 x + 17.

Respuesta: 3x + 2 y − 34 = 0.

Objetivo: Considere el concepto de línea recta en un plano, dé ejemplos. Con base en la definición de recta, introduzca el concepto de ecuación de una recta en un plano. Considere los tipos de líneas rectas, dé ejemplos y métodos para definir una línea recta. Fortalecer la capacidad de traducir la ecuación de una línea recta de una forma general a una ecuación de una línea recta “en segmentos”, con un coeficiente angular.

1. Ecuación de una recta en un plano.
2. Ecuación de una recta en un plano. Tipos de ecuaciones.
3. Métodos para especificar una línea recta.

1. Sean xey dos variables arbitrarias.

Definición: Una relación de la forma F(x,y)=0 se llama ecuación , si no es cierto para ningún par de números xey.

Ejemplo: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Si la igualdad F(x,y)=0 se cumple para cualquier x, y, entonces, por lo tanto, F(x,y) = 0 es una identidad.

Ejemplo: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Dicen que los numeros x son 0 e y son 0 satisfacer la ecuación , si al sustituirlos en esta ecuación se convierte en una verdadera igualdad.

El concepto más importante de la geometría analítica es el concepto de ecuación de una línea.

Definición: La ecuación de una recta dada es la ecuación F(x,y)=0, que se satisface con las coordenadas de todos los puntos que se encuentran en esta recta, y no se satisface con las coordenadas de cualquiera de los puntos que no se encuentran en esta recta.

La recta definida por la ecuación y = f(x) se llama gráfica de f(x). Las variables xey se llaman coordenadas actuales porque son las coordenadas de un punto variable.

Alguno ejemplos definiciones de línea.

1) x – y = 0 => x = y. Esta ecuación define una línea recta:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => los puntos deben satisfacer la ecuación x - y = 0, o la ecuación x + y = 0, que corresponde en el plano a un par de líneas rectas que se cruzan y que son bisectrices de ángulos coordenados:

3) x 2 + y 2 = 0. Esta ecuación se satisface con un solo punto O(0,0).

2. Definición: Cualquier línea recta en el plano se puede especificar mediante una ecuación de primer orden.

Hacha + Wu + C = 0,

Además, las constantes A y B no son iguales a cero al mismo tiempo, es decir A 2 + B 2 ¹ 0. Esta ecuación de primer orden se llama ecuación general de una recta.

Dependiendo de los valores de las constantes A, B y C, son posibles los siguientes casos especiales:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – la línea recta pasa por el origen

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - línea recta paralela al eje Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – línea recta paralela al eje Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – la línea recta coincide con el eje Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – la línea recta coincide con el eje Ox

La ecuación de una línea recta se puede presentar de diferentes formas dependiendo de las condiciones iniciales dadas.

Ecuación de una recta con coeficiente angular.

Si la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 se reduce a la forma:

y denotamos , entonces la ecuación resultante se llama ecuación de una recta con pendiente k.

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la recta Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, entonces, dividiendo por –С, obtenemos: o , donde

El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente A es la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje Ox, y b– la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje Oy.

Ecuación normal de una recta.

Si ambos lados de la ecuación Ax + By + C = 0 se dividen por un número llamado factor de normalización, entonces obtenemos

xcosj + ysinj - p = 0 – ecuación normal de una línea recta.

El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que m×С< 0.

p es la longitud de la perpendicular que cae desde el origen hasta la recta, y j es el ángulo que forma esta perpendicular con la dirección positiva del eje Ox.

3. Ecuación de una recta utilizando un punto y una pendiente.

Sea el coeficiente angular de la recta igual a k, la recta pasa por el punto M(x 0, y 0). Entonces la ecuación de la línea recta se encuentra mediante la fórmula: y – y 0 = k(x – x 0)

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dos puntos M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2) en el espacio, entonces la ecuación de la recta que pasa por estos puntos es:

Si alguno de los denominadores es cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero.

En el plano, la ecuación de la recta escrita arriba se simplifica:

si x 1 ¹ x 2 y x = x 1, si x 1 = x 2.

La fracción = k se llama pendiente derecho.

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GEOMETRÍA ANALÍTICA

Conferencia No. 7. Tema 1 : Rectas en un plano y sus ecuaciones

1.1. Rectas y sus ecuaciones en el sistema de coordenadas cartesiano.

En geometría analítica, las líneas en un plano se consideran el lugar geométrico de los puntos (g.m.t.) que tienen la misma propiedad común a todos los puntos de la línea.

Definición. Ecuación lineal
es una ecuación con dos variablesX Y en, que se satisface con las coordenadas de cualquier punto de la recta y no se satisface con las coordenadas de ningún otro punto que no se encuentre en esta recta.

Lo contrario también es cierto, es decir cualquier ecuaciónen

forma, en términos generales, en cartesiano

El sistema de coordenadas (DSC) define la línea.

como g.m.t., cuyas coordenadas satisfacen

esta ecuación. ACERCA DE X

Nota 1. No todas las ecuaciones de la forma definen una recta. Por ejemplo, para la ecuación
no hay puntos cuyas coordenadas satisfagan esta ecuación. No consideraremos más estos casos.Este es el caso de las llamadas líneas imaginarias.

PAG Ejemplo 1.Escribe una ecuación para un círculo con radio.R centrado en un punto
.

Por cualquier punto mentirenMETRO

en un círculo, por definiciónR

círculos como g.m.t., equidistantes

desde el punto obtenemos la ecuaciónX

1.2. Ecuaciones paramétricas de rectas.

Hay otra forma de definir una recta en un plano usando ecuaciones llamadasparamétrico:

Ejemplo 1. La recta está dada por ecuaciones paramétricas.

Se requiere obtener la ecuación de esta recta en DSC.

Excluyamos el parámetro.t . Para hacer esto, elevamos al cuadrado ambos lados de estas ecuaciones y sumamos

Ejemplo 2. La recta está dada por ecuaciones paramétricas.

A

Se requiere obtener la ecuación.

esta línea en DSK. —un un

Hagamos lo mismo, luego obtenemos

— A

Nota 2. Cabe señalar que el parámetrot En mecánica es el tiempo.

1.3. Ecuación de una recta en un sistema de coordenadas polares

DSC no es la única forma de determinar la posición de un punto y, por tanto, especificar la ecuación de una recta. En un avión suele ser aconsejable utilizar el llamado sistema de coordenadas polares (PCS).

PAG El CS se determinará si especificas un punto. O – poste y viga O que emana de este punto, que se llama eje polar. Entonces la posición de cualquier punto está determinada por dos números: el radio polar
y ángulo polar – ángulo entre

eje polar y radio polar.

Dirección de referencia positiva

ángulo polar desde el eje polar

contado en sentido antihorario.

Para todos los puntos del avión.
, O

y para la falta de ambigüedad del ángulo polar se considera
.

Si el comienzo de DSC se combina con

polo y el eje O X enviado por

eje polar, es fácil de verificaren

en conexión entre polar y

Coordenadas cartesianas:

ACERCA DE X R

Atrás,

(1)

Si la ecuación de una recta en DSC tiene la forma , entonces en PSC - Entonces de esta ecuación podemos obtener una ecuación en la forma

Ejemplo 3. Escribe una ecuación para un círculo en UCS si el centro del círculo está en el polo.

Usando las fórmulas de transición (1) de DSC a PSC, obtenemos

PAG ejemplo 4.Escribe la ecuación de un círculo,

si el polo está en el círculo y el eje polaren

pasa por el diámetro.

hagamos lo mismo

o 2 R X

R

Esta ecuación se puede obtener también

a partir de conceptos geométricos (ver figura).

PAG ejemplo 5.Trazar una línea

Pasemos al PSK. La ecuacion

tomará la forma
ACERCA DE

Construyamos un gráfico lineal conA

teniendo en cuenta su simetría y ODZ

Características:

Esta línea se llamalemniscata de Bernoulli.

1.4. Transformación del sistema de coordenadas.

Ecuación de una recta en el nuevo sistema de coordenadas

1. Transferencia paralela de DSC.en

Consideremos dos DSC que tienenMETRO

la misma dirección de los ejes, pero

diferentes orígenes.

en el sistema de coordenadas ACERCA DE xy punto

relativo al sistema
ACERCA DE X

tiene coordenadas
. Entonces nosotros tenemos

Y

En forma de coordenadas, la igualdad vectorial resultante tiene la forma

o
. (2)

Las fórmulas (2) son fórmulas para la transición del sistema de coordenadas "antiguo" ACERCA DE xyal “nuevo” sistema de coordenadas y viceversa.

Ejemplo 5. Obtener la ecuación de un círculo realizando una traslación paralela del sistema de coordenadas.al centro del círculo.

Y las fórmulas (2) implican
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