Уравнение на страна ab. Дадени са координатите на върховете на триъгълника

Проблем 1. Дадени са координатите на върховете на триъгълник ABC: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Намерете: 1) дължината на страната AB; 2) уравнения на страни AB и BC и техните ъглови коефициенти; 3) ъгъл B в радиани с точност до две цифри; 4) уравнение на височина CD и нейната дължина; 5) уравнението на медианата AE и координатите на точката K на пресечната точка на тази медиана с височината CD; 6) уравнението на права линия, минаваща през точка K, успоредна на страната AB; 7) координати на точка М, разположена симетрично на точка А спрямо права линия CD.

Решение:

1. Разстоянието d между точките A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) се определя по формулата

Прилагайки (1), намираме дължината на страната AB:

2. Уравнението на правата, минаваща през точките A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) има формата

(2)

Замествайки координатите на точките A и B в (2), получаваме уравнението на страната AB:

След като решихме последното уравнение за y, намираме уравнението на страната AB под формата на уравнение на права линия с ъглов коефициент:

където

Замествайки координатите на точки B и C в (2), получаваме уравнението на правата линия BC:

Или

3. Известно е, че тангенсът на ъгъла между две прави линии, чиито ъглови коефициенти са съответно равни, се изчислява по формулата

(3)

Желаният ъгъл B се образува от прави линии AB и BC, чиито ъглови коефициенти се намират: Прилагайки (3), получаваме

Или се радвам.

4. Уравнението на права линия, минаваща през дадена точка в дадена посока, има вида

(4)

Височината CD е перпендикулярна на страната AB. За да намерим наклона на височината CD, използваме условието за перпендикулярност на правите. От тогава Замествайки в (4) координатите на точка C и намерения ъглов коефициент на височина, получаваме

За да намерим дължината на височината CD, първо определяме координатите на точка D - пресечната точка на прави AB и CD. Решаване на системата заедно:

намираме т.е. D(8;0).

Използвайки формула (1), намираме дължината на височината CD:

5. За да намерим уравнението на медианата AE, първо определяме координатите на точка E, която е средата на страната BC, като използваме формулите за разделяне на отсечка на две равни части:

(5)

следователно

Замествайки координатите на точките A и E в (2), намираме уравнението за медианата:

За да намерим координатите на пресечната точка на височината CD и медианата AE, решаваме заедно системата от уравнения

Намираме.

6. Тъй като желаната права е успоредна на страната AB, нейният ъглов коефициент ще бъде равен на ъгловия коефициент на правата AB. Замествайки в (4) координатите на намерената точка K и ъгловия коефициент, получаваме

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Тъй като правата AB е перпендикулярна на правата CD, търсената точка M, разположена симетрично на точка A спрямо правата CD, лежи на правата AB. Освен това точка D е средата на отсечка AM. Използвайки формули (5), намираме координатите на желаната точка M:

Триъгълник ABC, височина CD, медиана AE, права KF и точка M са построени в координатната система xOy на фиг. 1.

Задача 2. Създайте уравнение за геометричното място на точки, чиито разстояния до дадена точка A(4; 0) и до дадена права x=1 са равни на 2.

Решение:

В координатната система xOy построяваме точката A(4;0) и правата x = 1. Нека M(x;y) е произволна точка от желаното геометрично местоположение на точките. Нека спуснем перпендикуляра MB към дадената права x = 1 и определим координатите на точка B. Тъй като точка B лежи на дадената права, нейната абциса е равна на 1. Ординатата на точка B е равна на ординатата на точка M Следователно, B(1;y) (фиг. 2).

Според условията на задачата |MA|: |MV| = 2. Разстояния |MA| и |MB| намираме от формула (1) на задача 1:

Получаваме на квадрат лявата и дясната страна

Полученото уравнение е хипербола, в която реалната полуос е a = 2, а въображаемата полуос е

Нека дефинираме фокусите на хипербола. За хипербола равенството е изпълнено. Следователно и – трикове с хипербола. Както можете да видите, дадената точка A(4;0) е десният фокус на хиперболата.

Нека определим ексцентричността на получената хипербола:

Уравненията на асимптотите на хиперболата имат формата и . Следователно, или и са асимптоти на хипербола. Преди да построим хипербола, изграждаме нейните асимптоти.

Проблем 3. Създайте уравнение за геометричното място на точки, равноотдалечени от точката A(4; 3) и правата линия y = 1. Редуцирайте полученото уравнение до най-простата му форма.

Решение:Нека M(x; y) е една от точките на желаното геометрично място от точки. Нека спуснем перпендикуляра MB от точка M към тази права y = 1 (фиг. 3). Нека определим координатите на точка B. Очевидно е, че абсцисата на точка B е равна на абсцисата на точка M, а ординатата на точка B е равна на 1, т.е. B(x; 1). Според условията на задачата |MA|=|MV|. Следователно, за всяка точка M(x;y), принадлежаща на желаното геометрично място от точки, е вярно следното равенство:

Полученото уравнение дефинира парабола с връх в точката. За да доведем уравнението на параболата до най-простата му форма, нека зададем и y + 2 = Y, тогава уравнението на параболата приема формата:

Пример за решаване на някои задачи от стандартната работа „Аналитична геометрия на равнина“

Дадени са върховете,
,
триъгълник ABC. Намирам:

Уравнения на всички страни на триъгълник;

Система от линейни неравенства, определящи триъгълник ABC;

Уравнения на надморска височина, медиана и ъглополовяща на триъгълник, изтеглени от върха А;

Пресечната точка на височините на триъгълника;

Пресечната точка на медианите на триъгълника;

Дължина на височината, спусната настрани AB;

Ъгъл А;

Направете рисунка.

Нека върховете на триъгълника имат координати: А (1; 4), IN (5; 3), СЪС(3; 6). Нека начертаем чертеж веднага:

1. За да напишем уравненията на всички страни на триъгълник, използваме уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки с координати ( х 0 , г 0 ) И ( х 1 , г 1 ):

=

По този начин, замествайки вместо ( х 0 , г 0 ) координати на точки А, и вместо ( х 1 , г 1 ) координати на точки IN, получаваме уравнението на правата AB:

Полученото уравнение ще бъде уравнението на правата линия AB, написана в общ вид. По същия начин намираме уравнението на правата линия AC:

А също и уравнението на правата линия слънце:

2. Забележете, че множеството от точки на триъгълника ABCпредставлява пресечната точка на три полуравнини и всяка полуравнина може да бъде дефинирана с помощта на линейно неравенство. Ако вземем уравнението на която и да е страна ∆ ABC, Например AB, тогава неравенствата

И

дефинирайте точки, лежащи от противоположните страни на линия AB. Трябва да изберем полуравнината, в която лежи точка C. Нека заместим нейните координати в двете неравенства:

Второто неравенство ще бъде правилно, което означава, че търсените точки се определят от неравенството

.

Правим същото с правата линия BC, нейното уравнение
. Използваме точка A (1, 1) като тестова точка:

Това означава, че търсеното неравенство има формата:

.

Ако проверим права линия AC (тестова точка B), получаваме:

Това означава, че търсеното неравенство ще има вида

Накрая получаваме система от неравенства:

Знаците „≤“, „≥“ означават, че точките, лежащи от страните на триъгълника, също са включени в набора от точки, съставляващи триъгълника ABC.

3. а) За да се намери уравнението за височината, паднала от върха Аот страната слънце, разгледайте уравнението на страната слънце:
. Вектор с координати
перпендикулярно на страната слънцеи следователно успоредно на височината. Нека напишем уравнението на права линия, минаваща през точка Ауспореден на вектора
:

Това е уравнението за височината, пропусната от t. Аот страната слънце.

б) Намерете координатите на средата на страната слънцепо формулите:

Тук
– това са координатите на t. IN, А
– координати t. СЪС. Нека заместим и получим:

Правата, минаваща през тази точка и точката Ае необходимата медиана:

в) Ще търсим уравнението на ъглополовящата въз основа на факта, че в равнобедрен триъгълник височината, медианата и ъглополовящата, спуснати от единия връх към основата на триъгълника, са равни. Нека намерим два вектора
И
и техните дължини:

След това векторът
има същата посока като вектора
, и неговата дължина
По същия начин, единичният вектор
съвпада по посока с вектора
Векторна сума

има вектор, който съвпада по посока с ъглополовящата на ъгъла А. Така уравнението на желаната ъглополовяща може да бъде написано като:

4) Вече сме съставили уравнението за една от височините. Нека съставим уравнение за друга височина, например от върха IN. отстрани ACдадено от уравнението
Значи векторът
перпендикулярен AC, и по този начин успоредно на желаната височина. Тогава уравнението на правата, минаваща през върха INпо посока на вектора
(т.е. перпендикулярно AC), има формата:

Известно е, че височините на триъгълник се пресичат в една точка. По-специално тази точка е пресечната точка на намерените височини, т.е. решаване на системата от уравнения:

- координати на тази точка.

5. Среден ABима координати
. Нека запишем уравнението на медианата отстрани AB.Тази линия минава през точки с координати (3, 2) и (3, 6), което означава, че нейното уравнение има формата:

Имайте предвид, че нула в знаменателя на дроб в уравнението на права линия означава, че тази права линия е успоредна на ординатната ос.

За да намерите пресечната точка на медианите, е достатъчно да решите системата от уравнения:

Пресечната точка на медианите на триъгълник има координати
.

6. Дължина на височина, спусната настрани AB,равно на разстоянието от точката СЪСкъм права линия ABс уравнение
и се намира по формулата:

7. Косинус на ъгъл Аможе да се намери с помощта на формулата за косинуса на ъгъла между векторите И , което е равно на отношението на скаларното произведение на тези вектори към произведението на техните дължини:

.

В задачи 1 - 20 са дадени върховете на триъгълник ABC.
Намерете: 1) дължината на страната AB; 2) уравнения на страни AB и AC и техните ъглови коефициенти; 3) Вътрешен ъгъл А в радиани с точност 0,01; 4) уравнение за височината на CD и нейната дължина; 5) уравнението на окръжност, за която височината CD е диаметърът; 6) система от линейни неравенства, определящи триъгълник ABC.

Дължина на страните на триъгълника:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|пр.н.е.| = 14,14
Разстояние d от точка M: d = 10
Дадени са координатите на върховете на триъгълника: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Дължина на страните на триъгълника
Разстоянието d между точките M 1 (x 1 ; y 1) и M 2 (x 2 ; y 2) се определя по формулата:

8) Уравнение на права
Права линия, минаваща през точки A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2), се представя от уравненията:

Уравнение на права AB


или

или
y = -3 / 4 x -7 / 4 или 4y + 3x +7 = 0
Уравнение на права AC
Канонично уравнение на правата:

или

или
y = 1 / 2 x + 9 / 2 или 2y -x - 9 = 0
Уравнение на права BC
Канонично уравнение на правата:

или

или
y = -7x + 42 или y + 7x - 42 = 0
3) Ъгъл между прави
Уравнение на права линия AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Уравнение на линията AC:y = 1/2 x + 9/2
Ъгълът φ между две прави линии, даден от уравнения с ъглови коефициенти y = k 1 x + b 1 и y 2 = k 2 x + b 2, се изчислява по формулата:

Наклоните на тези линии са -3/4 и 1/2. Нека използваме формулата и вземем нейната дясна страна по модул:

tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 или 1,107 rad.
9) Уравнение на височина през върха C
Правата линия, минаваща през точката N 0 (x 0 ; y 0) и перпендикулярна на правата линия Ax + By + C = 0, има насочващ вектор (A; B) и следователно се представя от уравненията:



Това уравнение може да се намери по друг начин. За да направите това, нека намерим наклона k 1 на правата линия AB.
Уравнение AB: y = -3 / 4 x -7 / 4, т.е. k 1 = -3 / 4
Нека намерим ъгловия коефициент k на перпендикуляра от условието за перпендикулярност на две прави линии: k 1 *k = -1.
Замествайки наклона на тази линия вместо k 1, получаваме:
-3/4 k = -1, откъдето k = 4/3
Тъй като перпендикулярът минава през точката C(5,7) и има k = 4 / 3, ще търсим уравнението му във формата: y-y 0 = k(x-x 0).
Замествайки x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7, получаваме:
y-7 = 4/3 (x-5)
или
y = 4 / 3 x + 1 / 3 или 3y -4x - 1 = 0
Нека намерим пресечната точка с правата AB:
Имаме система от две уравнения:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
От първото уравнение изразяваме y и го заместваме във второто уравнение.
Получаваме:
х = -1
y=-1
D(-1;-1)
9) Дължина на надморската височина на триъгълника, начертан от върха C
Разстоянието d от точката M 1 (x 1 ;y 1) до правата Ax + By + C = 0 е равно на абсолютната стойност на величината:

Намерете разстоянието между точка C(5;7) и правата AB (4y + 3x +7 = 0)


Дължината на височината може да се изчисли по друга формула, като разстоянието между точка C(5;7) и точка D(-1;-1).
Разстоянието между две точки се изразява в координати по формулата:

5) уравнението на окръжност, за която височината CD е диаметърът;
Уравнението на окръжност с радиус R с център в точка E(a;b) има формата:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Тъй като CD е диаметърът на желаната окръжност, нейният център E е средата на сегмента CD. Използвайки формулите за разделяне на сегмент наполовина, получаваме:


Следователно E(2;3) и R = CD / 2 = 5. Използвайки формулата, получаваме уравнението на желаната окръжност: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) система от линейни неравенства, определящи триъгълник ABC.
Уравнение на права AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Уравнение на правата AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Уравнение на права BC: y = -7x + 42