Методи за определяне на координатите на центъра на тежестта. Как да изчислим центъра на тежестта на плоска ограничена фигура, използвайки двоен интеграл? Определяне на центъра на тежестта на тела със сложна форма

Автор: Да вземем тяло с произволна форма. Възможно ли е да се окачи на конец, така че след окачване да запази позицията си (т.е. да не започне да се върти), когато всякаквиначална ориентация (фиг. 27.1)?

С други думи, има ли такава точка, спрямо която сумата от моментите на силите на гравитацията, действащи върху различни части на тялото, би била равна на нула при всякаквиориентация на тялото в пространството?

читател: Да, така мисля. Такава точка се нарича центъра на тежестта на тялото.

Доказателство.За простота, разгледайте тяло под формата на плоска плоча с произволна форма, произволно ориентирана в пространството (фиг. 27.2). Вземете координатната система х 0вс начало в центъра на масата - точка С, тогава х С = 0, при C = 0.

Представяме това тяло като съвкупност от голям брой точкови маси м и, позицията на всеки от които е дадена от радиус вектора .

По дефиниция на центъра на масата и координатата х С = .

Тъй като в нашата координатна система х С= 0, тогава . Нека умножим това уравнение по жи вземете

Както се вижда от фиг. 27.2, | x i| е рамото на силата. И ако x i> 0, тогава моментът на силата М и> 0 и ако x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x iмоментът на сила ще бъде M i = m i gx i .Тогава равенството (1) е еквивалентно на , където М ие моментът на тежестта. А това означава, че при произволна ориентация на тялото сумата от моментите на силите на тежестта, действащи върху тялото, ще бъде равна на нула спрямо неговия център на маса.

За да бъде тялото, което разглеждаме, да бъде в равновесие, е необходимо да се приложи към него в точка Ссила т = mgнасочена вертикално нагоре. Моментът на тази сила около точката Сравно на нула.

Тъй като нашите разсъждения не зависеха по никакъв начин от това как точно тялото е ориентирано в пространството, ние доказахме, че центърът на тежестта съвпада с центъра на масата, което трябваше да се докаже.

Проблем 27.1.Намерете центъра на тежестта на безтегловна пръчка с дължина л, в краищата на които са фиксирани две точкови маси т 1 и т 2 .

т 1 т 2 л	Решение. Ще търсим не центъра на тежестта, а центъра на масата (тъй като те са едно и също). Нека представим оста х(фиг. 27.3). Ориз. 27.3
x C =?

Отговор: далеч от масата т 1 .

СПРИ СЕ! Решете сами: B1-B3.

Изявление 1 . Ако едно хомогенно плоско тяло има ос на симетрия, центърът на тежестта е върху тази ос.

Наистина, за всяка точка маса м и, разположен вдясно от оста на симетрия, има същата точкова маса, разположена симетрично спрямо първата (фиг. 27.4). В този случай сумата от моментите на силите .

Тъй като цялото тяло може да бъде представено като разделено на подобни двойки точки, общият момент на тежестта спрямо която и да е точка, лежаща върху оста на симетрия, е нула, което означава, че центърът на тежестта на тялото също е разположен върху тази ос. Това води до важно заключение: ако тялото има няколко оси на симетрия, тогава центърът на тежестта лежи в пресечната точка на тези оси(фиг. 27.5).

Ориз. 27.5

Изявление 2. Ако две тела с маси т 1 и т 2 са свързани в едно, то центърът на тежестта на такова тяло ще лежи върху права линия, свързваща центровете на тежестта на първото и второто тяло (фиг. 27.6).

Ориз. 27.6 Ориз. 27.7

Доказателство.Нека подредим съставното тяло така, че сегментът, свързващ центровете на тежестта на телата, да е вертикален. След това сумата от моментите на тежестта на първото тяло спрямо точката С 1 е равно на нула, а сумата от моментите на тежестта на второто тяло около точката С 2 е нула (фиг. 27.7).

забележи това рамогравитация на всяка точка с маса t iсъщото по отношение на която и да е точка от сегмента С 1 С 2 , а оттам и момента на тежестта спрямо която и да е точка, лежаща на сегмента С 1 С 2 са еднакви. Следователно гравитацията на цялото тяло е нула по отношение на която и да е точка от сегмента С 1 С 2. По този начин центърът на тежестта на съставното тяло лежи върху сегмента С 1 С 2 .

Твърдение 2 предполага важно практическо заключение, което е ясно формулирано под формата на инструкции.

инструкция,

как да намерим центъра на тежестта на твърдо тяло, ако може да се счупи

на части, като позициите на центровете на тежестта на всяка от които са известни

1. Заменете всяка част с маса, разположена в центъра на тежестта на тази част.

2. Намерете център на тежестта(и това е същото като центъра на тежестта) на получената система от точкови маси, като се избере удобна координатна система х 0в, по формулите:

Наистина, нека позиционираме съставното тяло по такъв начин, че сегментът С 1 С 2 беше хоризонтално и ще го окачим на нишки в точки С 1 и С 2 (фиг. 27.8, а). Ясно е, че тялото ще бъде в равновесие. И този баланс няма да бъде нарушен, ако заменим всяко тяло с точкови маси т 1 и т 2 (фиг. 27.8, б).

Ориз. 27.8

СПРИ СЕ! Решете сами: C3.

Проблем 27.2.Топки с маса са поставени в два върха на равностранен триъгълник твсеки. Третият връх съдържа топка с маса 2 т(фиг. 27.9, а). Страна на триъгълник а. Определете центъра на тежестта на тази система.

т 2т а	Ориз. 27.9
х С = ? при C = ?

Решение. Представяме координатната система х 0в(фиг. 27.9, б). Тогава

,

.

Отговор: х С = а/2; ; центърът на тежестта е на половината от височината АД.

Въз основа на общите формули, получени по-горе, е възможно да се посочат конкретни методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на телата.

1. Ако едно хомогенно тяло има равнина, ос или център на симетрия, тогава неговият център на тежестта лежи съответно или в равнината на симетрия, или върху оста на симетрия, или в центъра на симетрия.

Да предположим, например, че едно хомогенно тяло има равнина на симетрия. След това от тази равнина тя се разделя на две такива части, чиито тегла и са равни една на друга, а центровете на тежестта са на равни разстояния от равнината на симетрия. Следователно центърът на тежестта на тялото като точка, през която минава резултатната от две равни и успоредни сили, наистина ще лежи в равнината на симетрия. Подобен резултат се получава в случаите, когато тялото има ос или център на симетрия.

От свойствата на симетрията следва, че центърът на тежестта на хомогенен кръгъл пръстен, кръгла или правоъгълна плоча, правоъгълен паралелепипед, топка и други хомогенни тела с център на симетрия се намира в геометричния център (центъра на симетрия) на тези тела.

2. Разделяне на дялове. Ако тялото може да бъде разделено на краен брой такива части, за всяка от които е известна позицията на центъра на тежестта, тогава координатите на центъра на тежестта на цялото тяло могат да бъдат директно изчислени с помощта на формули (59) - (62). В този случай броят на членовете във всеки от сборовете ще бъде равен на броя на частите, на които е разделено тялото.

Задача 45. Определете координатите на центъра на тежестта на хомогенната плоча, показана на фиг. 106. Всички измервания са в сантиметри.

Решение. Начертаваме осите x, y и разделяме плочата на три правоъгълника (разрезните линии са показани на фиг. 106). Изчисляваме координатите на центровете на тежестта на всеки от правоъгълниците и тяхната площ (виж таблицата).

Цяла площ на плочата

Замествайки изчислените количества във формули (61), получаваме:

Намереното положение на центъра на тежестта C е показано на чертежа; точка C е извън плочата.

3. Добавяне. Този метод е специален случай на метода на разделяне. Прилага се за тела с изрези, ако са известни центровете на тежестта на тялото без изреза и изреза.

Задача 46. Определете положението на центъра на тежестта на кръгла плоча с радиус R с радиус на разрез (фиг. 107). Разстоянието

Решение. Центърът на тежестта на плочата лежи върху линията, тъй като тази линия е оста на симетрия. Начертайте координатни оси. За да намерим координатата, допълваме площта на плочата до пълен кръг (част 1) и след това изваждаме площта на изрязания кръг от получената площ (част 2). В този случай площта на част 2, като се извади, трябва да се вземе със знак минус. Тогава

Замествайки намерените стойности във формули (61), получаваме:

Намереният център на тежестта C, както виждате, лежи вляво от точката

4. Интеграция. Ако тялото не може да бъде разделено на няколко крайни части, чиито центрове на тежестта са известни, тогава тялото първо се разделя на произволни малки обеми, за които формулите (60) приемат формата

където са координатите на дадена точка, лежаща вътре в обема. След това в равенства (63) те преминават до предела, като стремят всичко към нула, т.е. свиват тези обеми в точки. Тогава сумите в равенствата се превръщат в интеграли, разпространени по целия обем на тялото, а формулите (63) дават в предела:

По същия начин, за координатите на центровете на тежестта на областите и линиите, получаваме в границата от формули (61) и (62):

Пример за прилагане на тези формули за определяне на координатите на центъра на тежестта е разгледан в следващия параграф.

5. Експериментален метод. Центровете на тежестта на нехомогенни тела със сложна конфигурация (самолет, парен локомотив и др.) могат да бъдат определени експериментално. Един от възможните експериментални методи (метод на окачване) е, че тялото е окачено на нишка или кабел в различните му точки. Посоката на нишката, върху която е окачено тялото, всеки път ще дава посоката на гравитацията. Точката на пресичане на тези посоки определя центъра на тежестта на тялото. Друг възможен начин за експериментално определяне на центъра на тежестта е методът на претегляне. Идеята зад този метод е ясна от примера по-долу.

център на тежесттаТвърдо тяло е геометрична точка, която е неподвижно свързана с това тяло и е центърът на паралелните сили на тежестта, приложени към отделни елементарни частици на тялото (Фигура 1.6).

Радиус вектор на тази точка

Фигура 1.6

За еднородно тяло положението на центъра на тежестта на тялото не зависи от материала, а се определя от геометричната форма на тялото.

Ако специфичното тегло на еднородно тяло γ , теглото на елементарната частица на тялото

П k = γΔV к (П = γV ) заместете във формулата, за да определите r ° С , ние имаме

Откъдето, проектирайки върху осите и преминавайки до границата, получаваме координатите на центъра на тежестта на хомогенен обем

По същия начин, за координатите на центъра на тежестта на хомогенна повърхност с площ С (Фигура 1.7, а)

Фигура 1.7

За координатите на центъра на тежестта на хомогенна линия с дължина Л (Фигура 1.7, б)

Методи за определяне на координатите на центъра на тежестта

Въз основа на общите формули, получени по-рано, е възможно да се посочат методи за определяне на координатите на центровете на тежестта на твърди тела:

1 Аналитичен(чрез интеграция).

2 Метод на симетрия. Ако тялото има равнина, ос или център на симетрия, тогава неговият център на тежестта лежи съответно в равнината на симетрия, ос на симетрия или в центъра на симетрия.

3 Експериментално(метод за окачване на тялото).

4 разделяне. Тялото е разделено на краен брой части, за всяка от които позицията на центъра на тежестта ° С и площ С известен. Например проекцията на тяло върху равнина xOy (Фигура 1.8) може да се представи като две плоски фигури с области С 1 и С 2 (S=S 1 +S 2 ). Центровете на тежестта на тези фигури са в точките ° С 1 (х 1 ,y 1 ) и ° С 2 (х 2 ,y 2 ) . Тогава координатите на центъра на тежестта на тялото са

Фигура 1.8

5Добавяне(метод на отрицателните площи или обеми). Специален случай на метода на разделяне. Прилага се за тела с изрези, ако са известни центровете на тежестта на тялото без изреза и изреза. Например, трябва да намерите координатите на центъра на тежестта на плоска фигура (Фигура 1.9):

Фигура 1.9

Центрове на тежестта на най-простите фигури

Фигура 1.10

1 триъгълник

Центърът на тежестта на областта на триъгълника съвпада с пресечната точка на неговите медиани (фигура 1.10, а).

DM=MB , CM= (1/3)AM .

2 Дъга на окръжност

Дъгата има ос на симетрия (Фигура 1.10, б). Центърът на тежестта лежи върху тази ос, т.е. г ° С = 0 .

дл – дъгов елемент, дл = Rdφ , Р е радиусът на окръжността, x = Rcosφ , L= 2aR ,

следователно:

х ° С = R(sinα/α) .

3 Кръгов сектор

Радиус сектор Р с централен ъгъл 2 α има ос на симетрия вол , на който е разположен центърът на тежестта (Фигура 1.10, в).

Разделяме сектора на елементарни сектори, които могат да се считат за триъгълници. Центровете на тежестта на елементарните сектори са разположени върху дъгата на окръжност с радиус (2/3) Р .

Центърът на тежестта на сектора съвпада с центъра на тежестта на дъгата АБ :

14. Методи за уточняване на движението на точка.

При векторния метод за определяне на движение позицията на точка се определя от радиус вектора, изтеглен от фиксирана точка в избраната референтна система.

С координатния метод за определяне на движение, координатите на точка се задават като функция на времето:

Това са параметричните уравнения на траекторията на движеща се точка, в която времето играе ролята на параметър т . За да запишете уравнението му в ясен вид, е необходимо да изключите от тях т .

С естествения начин на уточняване на движението, траекторията на точката, началото на траекторията с посочване на положителната референтна посока се задава законът за промяна на координатата на дъгата: s=s(t) . Този метод е удобен за използване, ако траекторията на точката е известна предварително.

15. 1.2 Точкова скорост

Помислете за движението на точка за малък период от време Δt :

средна скорост на точка за определен период от време Дт . Скоростта на точка в даден момент

Точкова скоросте кинематична мярка за нейното движение, равна на производната по време на радиус вектора на тази точка в разглежданата отправна система. Векторът на скоростта е насочен тангенциално към траекторията на точката в посоката на движение.

Центърът на тежестта е точката, през която минава линията на действие на произтичащите елементарни сили на тежестта. Той има свойството на център на паралелни сили (Е. М. Никитин, § 42). Така формули за определяне на положението на центъра на тежестта на различни телаизглежда като:
x c = (∑ G i x i) / ∑ G i ;
(1) y c = (∑ G i y i) / ∑ G i ;
z c = (∑ G i z i) / ∑ G i .

Ако тялото, чийто център на тежестта трябва да се определи, може да бъде идентифицирано с фигура, съставена от линии (например затворен или отворен контур, направен от тел, както е на фиг. 173), тогава теглото G i на всеки сегмент l i може да се представи като продукт
G i \u003d l i d,
където d е теглото на единица дължина на материала, което е постоянно за цялата фигура.

След заместване във формули (1) вместо G i техните стойности l i d, постоянният коефициент d във всеки член на числителя и знаменателя може да бъде изваден от скоби (извън знака на сбора) и намален. По този начин, формули за определяне на координатите на центъра на тежестта на фигура, съставена от отсечки, ще приеме формата:
x c = (∑ l i x i) / ∑ l i ;
(2) y c = (∑ l i y i) / ∑ l i ;
z c = (∑ l i z i) / ∑ l i .

Ако тялото има формата на фигура, съставена от равнини или извити повърхности, разположени по различни начини (фиг. 174), тогава теглото на всяка равнина (повърхност) може да бъде представено, както следва:
G i = F i p,
където F i са площите на всяка повърхност, а p е теглото на единица площ на фигурата.

След заместване на тази стойност на G i във формули (1), получаваме формули за координатите на центъра на тежестта на фигура, съставена от области:
x c = (∑ F i x i) / ∑ F i ;
(3) y c = (∑ F i y i) / ∑ F i ;
z c = (∑ F i z i) / ∑ F i .

Ако едно хомогенно тяло може да бъде разделено на прости части с определена геометрична форма (фиг. 175), тогава теглото на всяка част
G i = V i γ,
където V i е обемът на всяка част, а γ е теглото на единица обем на тялото.

След заместване на стойностите на G i във формули (1), получаваме формули за определяне на координатите на центъра на тежестта на тяло, съставено от еднородни обеми:
x c = (∑ V i x i) / ∑ V i ;
(4) y c = (∑ V i y i) / ∑ V i ;
z c = (∑ V i z i) / ∑ V i .

При решаване на някои задачи за определяне на положението на центъра на тежестта на телата понякога е необходимо да се знае къде се намира центърът на тежестта на дъга на окръжност, кръгов сектор или триъгълник.

Ако радиусът на дъгата r и централният ъгъл 2α, свити от дъгата и изразени в радиани, са известни, тогава положението на центъра на тежестта C (фиг. 176, а) спрямо центъра на дъгата O е определя се по формулата:
(5) x c = (r sin α)/α.

Ако е дадена хорда AB=b на дъгата, тогава във формула (5) е възможно да се направи замяната
sinα = b/(2r)
и тогава
(5a) x c = b/(2α).

В специален случай за полукръг и двете формули ще имат формата (фиг. 176, б):
(5b) x c = OC = 2r/π = d/π.

Положението на центъра на тежестта на кръговия сектор, ако е даден радиусът му r (фиг. 176, в), се определя по формулата:
(6) x c = (2r sin α)/(3α).

Ако е даден акордът на сектора, тогава:
(6a) x c = b/(3α).

В специален случай за полукръг и двете последни формули ще имат формата (фиг. 176, d)
(6b) x c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Центърът на тежестта на площта на всеки триъгълник се намира от всяка страна на разстояние, равно на една трета от съответната височина.

В правоъгълен триъгълник центърът на тежестта е в пресечната точка на перпендикуляри, издигнати към катета от точки, разположени на разстояние една трета от дължината на катета, като се брои от върха на правия ъгъл (фиг. 177).

При решаване на задачи за определяне на положението на центъра на тежестта на всяко еднородно тяло, съставено или от тънки пръти (линии), или от плочи (площи), или от обеми, е препоръчително да се придържате към следния ред:

1) начертайте тяло, чието положение на центъра на тежестта трябва да се определи. Тъй като всички размери на тялото обикновено са известни, мащабът трябва да се спазва;

2) разбийте тялото на съставни части (отсечки или области, или обеми), чието положение на центровете на тежестта се определя въз основа на размера на тялото;

3) определят или дължините, или площите, или обемите на съставните части;

4) изберете местоположението на координатните оси;

5) определя координатите на центровете на тежестта на съставните части;

6) намерените стойности на дължините или площите, или обемите на отделни части, както и координатите на техните центрове на тежестта, заменете в съответните формули и изчислете координатите на центъра на тежестта на цялото тяло;

7) според намерените координати посочете на фигурата положението на центъра на тежестта на тялото.

§ 23. Определяне на положението на центъра на тежестта на тяло, съставено от тънки еднородни пръти

§ 24. Определяне положението на центъра на тежестта на фигури, съставени от плочи

В последния проблем, както и в задачите, дадени в предишния параграф, разделянето на фигурите на съставни части не създава особени затруднения. Но понякога фигурата има такава форма, която ви позволява да я разделите на съставните й части по няколко начина, например тънка правоъгълна плоча с триъгълен разрез (фиг. 183). Когато се определя положението на центъра на тежестта на такава плоча, нейната площ може да бъде разделена на четири правоъгълника (1, 2, 3 и 4) и един правоъгълен триъгълник 5 по няколко начина. Две опции са показани на фиг. 183, а и б.

Най-рационален е начинът за разделяне на фигурата на съставните й части, при който се образува най-малък брой от тях. Ако на фигурата има изрезки, те също могат да бъдат включени в броя на съставните части на фигурата, но площта на изрязаната част се счита за отрицателна. Следователно това разделение се нарича метод на отрицателните зони.

Табелата на фиг. 183, c се разделя по този метод само на две части: правоъгълник 1 с площта на цялата плоча, сякаш е цяла, и триъгълник 2 с площ, която считаме за отрицателна.

§ 26. Определяне положението на центъра на тежестта на тяло, съставено от части с проста геометрична форма

За решаване на задачи за определяне на положението на центъра на тежестта на тяло, съставено от части, които имат проста геометрична форма, е необходимо да имате умения за определяне на координатите на центъра на тежестта на фигури, съставени от линии или области .

Определянето на центъра на тежестта на произволно тяло чрез последователно сумиране на силите, действащи върху отделните му части, е трудна задача; улеснява се само за тела със сравнително проста форма.

Нека тялото се състои само от две тежести и са свързани с пръчка (фиг. 125). Ако масата на пръчката е малка в сравнение с масите и , тогава тя може да бъде пренебрегната. Всяка от масите се влияе от гравитацията, равна на и съответно; и двете са насочени вертикално надолу, тоест успоредно един на друг. Както знаем, резултатът от две успоредни сили се прилага в точката , която се определя от условието

Ориз. 125. Определяне на центъра на тежестта на тяло, състоящо се от два товара

Следователно центърът на тежестта разделя разстоянието между два товара в съотношение, обратно на съотношението на техните маси. Ако това тяло е окачено в точка, то ще остане в равновесие.

Тъй като две равни маси имат общ център на тежестта в точка, разделяща разстоянието между тези маси наполовина, веднага става ясно, че например центърът на тежестта на хомогенен прът лежи в средата на пръчката (фиг. 126 ).

Тъй като всеки диаметър на хомогенен кръгъл диск го разделя на две напълно еднакви симетрични части (фиг. 127), центърът на тежестта трябва да лежи върху всеки диаметър на диска, тоест в точката на пресичане на диаметрите - в геометричния център на диска. Разсъждавайки по подобен начин, можем да открием, че центърът на тежестта на хомогенна топка се намира в нейния геометричен център, центърът на тежестта на хомогенен правоъгълен паралелепипед лежи в пресечната точка на неговите диагонали и т.н. Центърът на тежестта на обръч или пръстен лежи в центъра му. Последният пример показва, че центърът на тежестта на тялото може да лежи извън тялото.

Ориз. 126. Центърът на тежестта на хомогенен прът се намира в средата му

Ориз. 127. Центърът на хомогенен диск се намира в неговия геометричен център

Ако тялото има неправилна форма или ако е нехомогенно (например има кухини), тогава изчисляването на позицията на центъра на тежестта често е трудно и тази позиция е по-удобна за намиране чрез опит. Нека например се изисква намирането на центъра на тежестта на парче шперплат. Нека го окачим на конец (фиг. 128). Очевидно е, че в равновесно положение центърът на тежестта на тялото трябва да лежи върху продължението на нишката, в противен случай силата на тежестта ще има момент спрямо точката на окачване, която ще започне да върти тялото. Следователно, начертавайки права линия върху нашето парче шперплат, представляваща продължение на нишката, можем да твърдим, че центърът на тежестта лежи върху тази права линия.

Наистина, като окачваме тялото в различни точки и начертаваме вертикални линии, ще се уверим, че всички те се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на тежестта на тялото (тъй като тя трябва да лежи едновременно върху всички такива линии). По подобен начин може да се определи положението на центъра на тежестта не само на плоска фигура, но и на по-сложно тяло. Положението на центъра на тежестта на самолета се определя чрез търкалянето му с колела върху платформата на скалата. Резултатът от силите на тежестта на всяко колело ще бъде насочен вертикално и можете да намерите линията, по която действа по закона за добавяне на успоредни сили.

Ориз. 128. Точката на пресичане на вертикални линии, проведени през точките на окачване, е центърът на тежестта на тялото

Когато се променят масите на отделните части на тялото или когато формата на тялото се променя, позицията на центъра на тежестта се променя. И така, центърът на тежестта на самолета се движи, когато се изразходва гориво от резервоарите, когато се натоварва багаж и т.н. За визуален експеримент, илюстриращ движението на центъра на тежестта при промяна на формата на тялото, е удобно да се вземе две еднакви пръти, свързани с панта (фиг. 129). В случай, че прътите образуват продължение една на друга, центърът на тежестта лежи върху оста на прътите. Ако прътите са огънати в пантата, тогава центърът на тежестта е извън прътите, върху ъглополовящата на ъгъла, който образуват. Ако се постави допълнителен товар върху една от прътите, тогава центърът на тежестта ще се премести към това натоварване.