Преход от корени към правомощия и обратно, примери, решения. Формули за степен и корен Степен и квадратен корен

Често трансформирането и опростяването на математически изрази изисква преминаване от корени към степени и обратно. Тази статия говори за това как да конвертирате корен в степен и обратно. Разглеждат се теория, практически примери и най-честите грешки.

Преход от степени с дробни показатели към корени

Да кажем, че имаме число със степенна степен под формата на обикновена дроб - a m n. Как да напиша такъв израз като корен?

Отговорът следва от самото определение за степен!

Определение

Положително число a на степен m n е корен n от числото a m.

В този случай трябва да бъде изпълнено следното условие:

а > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

Дробната степен на нула се определя по подобен начин, но в този случай числото m се приема не като цяло число, а като естествено число, така че да не се получава деление на 0:

0 m n = 0 m n = 0 .

В съответствие с определението, степента a m n може да бъде представена като корен a m n .

Например: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.

Въпреки това, както вече беше споменато, не трябва да забравяме за условията: a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

По този начин изразът - 8 1 3 не може да бъде представен във формата - 8 1 3, тъй като нотацията - 8 1 3 просто няма смисъл - степента на отрицателните числа не е определена Освен това самият корен - 8 1 3 има смисъл.

Преходът от степени с изрази в основата и дробни експоненти се извършва по подобен начин в целия диапазон от допустими стойности (наричани по-нататък VA) на оригиналните изрази в основата на степента.

Например изразът x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 може да бъде записан като корен квадратен от x 2 + 2 x + 1 - 4. Изразът на степен x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 става изразът x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 за всички x, y, z от ODZ на този израз.

Възможна е и обратна замяна на корени със степен, когато вместо израз с корен се пишат изрази със степен. Просто обръщаме равенството от предходния параграф и получаваме:

Отново преходът е очевиден за положителни числа a. Например 7 6 4 = 7 6 4 или 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.

За отрицателно a корените имат смисъл. Например - 4 2 6, - 2 3. Невъзможно е обаче тези корени да се представят под формата на степени - 4 2 6 и - 2 1 3.

Възможно ли е дори да се преобразуват такива изрази със степени? Да, ако направите някои предварителни промени. Нека да разгледаме кои.

Използвайки свойствата на степените, можете да преобразувате израза - 4 2 6 .

4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .

Тъй като 4 > 0, можем да напишем:

В случай на нечетен корен от отрицателно число, можем да запишем:

A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .

Тогава изразът - 2 3 ще приеме формата:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

Нека сега разберем как корените, под които се съдържат изразите, се заменят със степени, съдържащи тези изрази в основата.

Нека означим с буквата А някакъв израз. Ние обаче няма да бързаме да представим A m n във формата A m n . Нека обясним какво се има предвид тук. Например изразът x - 3 2 3, базиран на равенството от първия параграф, бих искал да представя във формата x - 3 2 3. Такава замяна е възможна само за x - 3 ≥ 0, а за останалите x от ODZ не е подходяща, тъй като за отрицателно a формулата a m n = a m n няма смисъл.

Така в разглеждания пример трансформация от формата A m n = A m n е трансформация, която стеснява ODZ и поради неточното прилагане на формулата A m n = A m n често възникват грешки.

За да преминете правилно от корена A m n към степента A m n, трябва да се спазват няколко точки:

• Ако числото m е цяло и нечетно, а n е естествено и четно, тогава формулата A m n = A m n е валидна за цялата ODZ от променливи.
• Ако m е цяло число и нечетно, а n е естествено и нечетно число, тогава изразът A m n може да бъде заменен:
  - на A m n за всички стойности на променливи, за които A ≥ 0;
  - on - - A m n за за всички стойности на променливи, за които A< 0 ;
• Ако m е цяло и четно число и n е произволно естествено число, тогава A m n може да бъде заменено с A m n.

Нека обобщим всички тези правила в таблица и да дадем няколко примера за тяхното използване.

Нека се върнем към израза x - 3 2 3. Тук m = 2 е цяло и четно число, а n = 3 е естествено число. Това означава, че изразът x - 3 2 3 ще бъде правилно записан във формата:

x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .

Нека дадем друг пример с корени и мощности.

Пример. Преобразуване на корен в степен

x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5, x > - 5 - - x - 5 - 3 5, x< - 5

Нека обосновем резултатите, представени в таблицата. Ако числото m е цяло и нечетно, а n е естествено и четно, за всички променливи от ODZ в израза A m n стойността на A е положителна или неотрицателна (при m > 0). Ето защо A m n = A m n .

Във втория вариант, когато m е цяло число, положително и нечетно, а n е естествено и нечетно, стойностите на A m n са разделени. За променливи от ODZ, за които A е неотрицателно, A m n = A m n = A m n . За променливи, за които A е отрицателно, получаваме A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .

Нека по подобен начин разгледаме следния случай, когато m е цяло и четно число, а n е всяко естествено число. Ако стойността на A е положителна или неотрицателна, тогава за такива стойности на променливи от ODZ A m n = A m n = A m n . За отрицателно A получаваме A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .

Така в третия случай за всички променливи от ОДЗ можем да запишем A m n = A m n .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Номер ° Се н-та степен на число аКога:

Операции със степени.

1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:

a m·a n = a m + n .

2. При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните експоненти:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:

(a/b) n = a n /b n.

5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:

(a m) n = a m n.

Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:

4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нта степен е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютната стойност на неположителния показател:

Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.

Диплома с нулев индекс.Степента на всяко число, което не е равно на нула с нулев показател, е равна на едно.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.Да се ​​вдигне реално число Адо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.

Поздравления: днес ще разгледаме корените - една от най-умопомрачителните теми в 8 клас. :)

Много хора се объркват относно корените, не защото са сложни (какво му е толкова сложното - няколко дефиниции и още няколко свойства), а защото в повечето училищни учебници корените се дефинират през такава джунгла, че само авторите на учебниците сами могат да разберат това писане. И то само с бутилка хубаво уиски. :)

Затова сега ще дам най-правилното и най-компетентно определение за корен - единственото, което наистина трябва да запомните. И тогава ще обясня: защо е необходимо всичко това и как да го приложим на практика.

Но първо запомнете една важна точка, която много компилатори на учебници по някаква причина „забравят“:

Корените могат да бъдат с четна степен (нашият любим $\sqrt(a)$, както и всички видове $\sqrt(a)$ и четни $\sqrt(a)$) и нечетна степен (всички видове $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ и т.н.). И дефиницията на корен от нечетна степен е малко по-различна от четната.

Вероятно 95% от всички грешки и недоразумения, свързани с корените, са скрити в това шибано „донякъде различно“. Така че нека изясним терминологията веднъж завинаги:

Определение. Дори корен нот числото $a$ е всяко неотрицателничислото $b$ е такова, че $((b)^(n))=a$. А нечетният корен на същото число $a$ обикновено е всяко число $b$, за което важи същото равенство: $((b)^(n))=a$.

Във всеки случай коренът се обозначава така:

\(a)\]

Числото $n$ в такава нотация се нарича степен на корен, а числото $a$ се нарича радикален израз. По-конкретно, за $n=2$ получаваме нашия „любим” квадратен корен (между другото, това е корен от четна степен), а за $n=3$ получаваме кубичен корен (нечетна степен), което е също често се среща в задачи и уравнения.

Примери. Класически примери за квадратни корени:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \край (подравняване)\]

Между другото, $\sqrt(0)=0$ и $\sqrt(1)=1$. Това е съвсем логично, тъй като $((0)^(2))=0$ и $((1)^(2))=1$.

Кубичните корени също са често срещани - няма нужда да се страхувате от тях:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \край (подравняване)\]

Е, няколко „екзотични примера“:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \край (подравняване)\]

Ако не разбирате каква е разликата между четна и нечетна степен, прочетете отново определението. Много е важно!

Междувременно ще разгледаме една неприятна особеност на корените, поради която трябваше да въведем отделна дефиниция за четни и нечетни показатели.

Защо изобщо са необходими корени?

След като прочетат определението, много ученици ще попитат: „Какво са пушили математиците, когато са измислили това?“ И наистина: защо изобщо са необходими всички тези корени?

За да отговорим на този въпрос, нека се върнем за момент в началното училище. Помнете: в онези далечни времена, когато дърветата бяха по-зелени и кнедлите по-вкусни, основната ни грижа беше да умножим числата правилно. Е, нещо като "пет по пет - двадесет и пет", това е всичко. Но можете да умножавате числа не по двойки, а по тройки, четворки и като цяло цели набори:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Не това обаче е важното. Номерът е друг: математиците са мързеливи хора, така че им е било трудно да запишат умножението на десет петици по този начин:

Затова са измислили дипломи. Защо не напишете броя на факторите като горен индекс вместо дълъг низ? Нещо като това:

Много е удобно! Всички изчисления са значително намалени и не е нужно да губите куп листове пергамент и тетрадки, за да запишете около 5183. Този запис беше наречен степен на число, в него бяха открити куп свойства, но щастието се оказа краткотрайно.

След грандиозно пиянство, организирано само за „откриването“ на градусите, някакъв особено упорит математик изведнъж попита: „Ами ако знаем степента на едно число, но самото число е неизвестно?“ Сега, наистина, ако знаем, че определено число $b$, да речем, на 5-та степен дава 243, тогава как можем да познаем на какво е равно самото число $b$?

Този проблем се оказа много по-глобален, отколкото може да изглежда на пръв поглед. Защото се оказа, че за повечето „готови“ мощности няма такива „първоначални“ числа. Преценете сами:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Стрелка надясно b=4\cdot 4\cdot 4\Стрелка надясно b=4. \\ \край (подравняване)\]

Ами ако $((b)^(3))=50$? Оказва се, че трябва да намерим определено число, което, умножено по себе си три пъти, ще ни даде 50. Но какво е това число? Очевидно е по-голямо от 3, тъй като 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Това е това число е някъде между три и четири, но няма да разберете на какво е равно.

Точно затова математиците излязоха с $n$-ти корени. Точно затова беше въведен радикалният символ $\sqrt(*)$. Да обозначим самото число $b$, което в посочената степен ще ни даде предварително известна стойност

\[\sqrt[n](a)=b\Дясна стрелка ((b)^(n))=a\]

Не споря: често тези корени се изчисляват лесно - видяхме няколко такива примера по-горе. Но все пак, в повечето случаи, ако мислите за произволно число и след това се опитате да извлечете корен от произволна степен от него, ще бъдете в ужасна беда.

Какво има там! Дори най-простият и познат $\sqrt(2)$ не може да бъде представен в нашата обичайна форма - като цяло число или дроб. И ако въведете това число в калкулатора, ще видите това:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Както можете да видите, след десетичната запетая има безкрайна последователност от числа, които не се подчиняват на никаква логика. Можете, разбира се, да закръглите това число, за да го сравните бързо с други числа. Например:

\[\sqrt(2)=1,4142...\приблизително 1,4 \lt 1,5\]

Или ето друг пример:

\[\sqrt(3)=1,73205...\приблизително 1,7 \gt 1,5\]

Но всички тези закръгляния, първо, са доста груби; и второ, вие също трябва да можете да работите с приблизителни стойности, в противен случай можете да хванете куп неочевидни грешки (между другото, умението за сравнение и закръгляване е необходимо да се тества на профилния Единен държавен изпит).

Следователно в сериозната математика не можете да правите без корени - те са едни и същи равни представители на множеството от всички реални числа $\mathbb(R)$, точно като дробите и целите числа, които отдавна са ни познати.

Невъзможността да се представи корен като дроб от формата $\frac(p)(q)$ означава, че този корен не е рационално число. Такива числа се наричат ​​ирационални и не могат да бъдат точно представени, освен с помощта на радикал или други конструкции, специално предназначени за това (логаритми, степени, граници и т.н.). Но за това друг път.

Нека разгледаме няколко примера, при които след всички изчисления в отговора все още ще останат ирационални числа.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\приблизително 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\приблизително -1,2599... \\ \end(align)\]

Естествено, от външния вид на корена е почти невъзможно да се познае какви числа ще дойдат след десетичната запетая. Въпреки това можете да разчитате на калкулатор, но дори и най-модерният калкулатор за дата ни дава само първите няколко цифри от ирационално число. Затова е много по-правилно да напишете отговорите във формата $\sqrt(5)$ и $\sqrt(-2)$.

Точно за това са измислени. За удобно записване на отговорите.

Защо са необходими две определения?

Внимателният читател вероятно вече е забелязал, че всички квадратни корени, дадени в примерите, са взети от положителни числа. Е, поне от нулата. Но кубични корени могат спокойно да бъдат извлечени от абсолютно всяко число - било то положително или отрицателно.

Защо се случва това? Погледнете графиката на функцията $y=((x)^(2))$:

Графиката на квадратична функция дава два корена: положителен и отрицателен

Нека се опитаме да изчислим $\sqrt(4)$ с помощта на тази графика. За да направите това, върху графиката се начертава хоризонтална линия $y=4$ (маркирана в червено), която се пресича с параболата в две точки: $((x)_(1))=2$ и $((x )_(2)) =-2$. Това е съвсем логично, тъй като

С първото число всичко е ясно - то е положително, значи е коренът:

Но тогава какво да правим с втората точка? Както четири има два корена едновременно? В края на краищата, ако повдигнем на квадрат числото −2, също получаваме 4. Защо тогава не напишем $\sqrt(4)=-2$? И защо учителите гледат такива публикации, сякаш искат да те изядат? :)

Проблемът е, че ако не наложите никакви допълнителни условия, тогава квадратът ще има два квадратни корена - положителен и отрицателен. И всяко положително число също ще има две от тях. Но отрицателните числа изобщо няма да имат корени - това може да се види от същата графика, тъй като параболата никога не пада под оста г, т.е. не приема отрицателни стойности.

Подобен проблем възниква за всички корени с четен показател:

1. Строго погледнато, всяко положително число ще има два корена с четен показател $n$;
2. От отрицателни числа коренът с четни $n$ изобщо не се извлича.

Ето защо в дефиницията на корен от четна степен $n$ изрично е посочено, че отговорът трябва да бъде неотрицателно число. Така се освобождаваме от двусмислието.

Но за нечетни $n$ няма такъв проблем. За да видите това, нека погледнем графиката на функцията $y=((x)^(3))$:

Кубичната парабола може да приеме всякаква стойност, така че кубичният корен може да бъде взет от произволно число

От тази графика могат да се направят два извода:

1. Клоните на кубична парабола, за разлика от обикновената, отиват до безкрайност и в двете посоки - и нагоре, и надолу. Следователно, без значение на каква височина нарисуваме хоризонтална линия, тази линия със сигурност ще се пресича с нашата графика. Следователно, кубичният корен винаги може да бъде извлечен от абсолютно всяко число;
2. В допълнение, такова пресичане винаги ще бъде уникално, така че не е нужно да мислите кое число се счита за „правилен“ корен и кое да игнорирате. Ето защо определянето на корени за нечетна степен е по-лесно, отколкото за четна степен (няма изискване за неотрицателност).

Жалко, че тези елементарни неща не се обясняват в повечето учебници. Вместо това мозъците ни започват да се извисяват с всякакви аритметични корени и техните свойства.

Да, не споря: вие също трябва да знаете какво е аритметичен корен. И ще говоря за това подробно в отделен урок. Днес ще говорим и за него, защото без него всички мисли за корени от $n$-та кратност биха били непълни.

Но първо трябва ясно да разберете определението, което дадох по-горе. В противен случай, поради изобилието от термини, в главата ви ще започне такава бъркотия, че в крайна сметка няма да разберете нищо.

Всичко, което трябва да направите, е да разберете разликата между четни и нечетни индикатори. Затова нека отново да съберем всичко, което наистина трябва да знаете за корените:

1. Корен от четна степен съществува само от неотрицателно число и сам по себе си винаги е неотрицателно число. За отрицателни числа такъв корен е недефиниран.
2. Но коренът на нечетна степен съществува от всяко число и сам по себе си може да бъде всяко число: за положителни числа той е положителен, а за отрицателни числа, както подсказва капачката, е отрицателен.

Трудно е? Не, не е трудно. Ясно е? Да, напълно е очевидно! Така че сега ще се упражняваме малко с изчисленията.

Основни свойства и ограничения

Корените имат много странни свойства и ограничения - това ще бъде обсъдено в отделен урок. Затова сега ще разгледаме само най-важния „трик“, който се прилага само за корени с четен индекс. Нека запишем това свойство като формула:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\надясно|\]

С други думи, ако повдигнем число на четна степен и след това извлечем корена на същата степен, няма да получим оригиналното число, а неговия модул. Това е проста теорема, която може лесно да бъде доказана (достатъчно е да разгледаме отделно неотрицателните $x$ и след това отделно отрицателните). Учителите непрекъснато говорят за това, има го във всеки учебник. Но щом се стигне до решаване на ирационални уравнения (т.е. уравнения, съдържащи радикален знак), учениците единодушно забравят тази формула.

За да разберем проблема в детайли, нека забравим всички формули за минута и се опитаме да изчислим две числа направо напред:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Това са много прости примери. Повечето хора ще решат първия пример, но много хора се забиват на втория. За да разрешите подобни глупости без проблеми, винаги обмисляйте процедурата:

1. Първо, числото се повишава на четвърта степен. Е, някак си е лесно. Ще получите ново число, което може да се намери дори в таблицата за умножение;
2. И сега от това ново число е необходимо да извлечем четвъртия корен. Тези. не се случва „намаляване“ на корени и правомощия - това са последователни действия.

Нека да разгледаме първия израз: $\sqrt(((3)^(4)))$. Очевидно първо трябва да изчислите израза под корена:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

След това извличаме четвъртия корен от числото 81:

Сега нека направим същото с втория израз. Първо, повдигаме числото −3 на четвърта степен, което изисква умножаването му по себе си 4 пъти:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ляво(-3 \дясно)=81\]

Получихме положително число, тъй като общият брой на минусите в продукта е 4 и всички те ще се компенсират взаимно (в края на краищата минус за минус дава плюс). След това отново извличаме корена:

По принцип този ред не би могъл да бъде написан, тъй като няма смисъл отговорът да е същият. Тези. четен корен със същата четна мощност „изгаря“ минусите и в този смисъл резултатът е неразличим от обикновения модул:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \край (подравняване)\]

Тези изчисления са в добро съгласие с дефиницията на корен от четна степен: резултатът винаги е неотрицателен и радикалният знак също винаги съдържа неотрицателно число. В противен случай коренът е недефиниран.

Забележка относно процедурата

1. Нотацията $\sqrt(((a)^(2)))$ означава, че първо възвеждаме на квадрат числото $a$ и след това вземаме корен квадратен от получената стойност. Следователно можем да сме сигурни, че винаги има неотрицателно число под знака за корен, тъй като $((a)^(2))\ge 0$ във всеки случай;
2. Но нотацията $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, напротив, означава, че първо вземаме корен от определено число $a$ и едва след това повдигаме резултата на квадрат. Следователно числото $a$ в никакъв случай не може да бъде отрицателно - това е задължително изискване, включено в дефиницията.

По този начин в никакъв случай не трябва безразсъдно да намалявате корени и степени, като по този начин уж „опростявате“ оригиналния израз. Защото, ако коренът има отрицателно число и неговият показател е четен, получаваме куп проблеми.

Всички тези проблеми обаче са от значение само за четни индикатори.

Премахване на знака минус под знака за корен

Естествено, корените с нечетни показатели също имат своя особеност, която по принцип не съществува при четните. а именно:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Накратко, можете да премахнете минуса под знака на корени от нечетни степени. Това е много полезно свойство, което ви позволява да „изхвърлите“ всички недостатъци:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \край (подравняване)\]

Това просто свойство значително опростява много изчисления. Сега не е нужно да се притеснявате: какво ще стане, ако под корена е скрит отрицателен израз, но степента в корена се оказа четна? Достатъчно е просто да „изхвърлите“ всички минуси извън корените, след което те могат да бъдат умножени един по друг, разделени и изобщо да направят много подозрителни неща, които в случай на „класически“ корени гарантирано ще ни доведат до грешка.

И тук на сцената излиза друго определение – същото, с което в повечето училища започват изучаването на ирационални изрази. И без които нашите разсъждения биха били непълни. Среща!

Аритметичен корен

Нека приемем за момент, че под знака за корен може да има само положителни числа или в краен случай нула. Да забравим за показателите четно/нечетно, да забравим за всички определения по-горе – ще работим само с неотрицателни числа. Какво тогава?

И тогава ще получим аритметичен корен - той частично се припокрива с нашите „стандартни“ дефиниции, но все пак се различава от тях.

Определение. Аритметичен корен от $n$-та степен на неотрицателно число $a$ е неотрицателно число $b$, така че $((b)^(n))=a$.

Както виждаме, паритетът вече не ни интересува. Вместо това се появи ново ограничение: радикалният израз вече винаги е неотрицателен, а самият корен също е неотрицателен.

За да разберете по-добре как аритметичният корен се различава от обичайния, разгледайте вече познатите ни графики на квадратната и кубичната парабола:

Област за търсене на аритметичен корен - неотрицателни числа

Както можете да видите, отсега нататък се интересуваме само от онези части от графиките, които се намират в първата координатна четвърт - където координатите $x$ и $y$ са положителни (или поне нула). Вече не е необходимо да гледате индикатора, за да разберете дали имаме право да поставим отрицателно число под корена или не. Защото отрицателните числа вече не се разглеждат по принцип.

Може да попитате: „Е, защо имаме нужда от такова кастрирано определение?“ Или: „Защо не можем да се справим със стандартната дефиниция, дадена по-горе?“

Е, ще дам само едно свойство, поради което новата дефиниция става подходяща. Например правилото за степенуване:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Моля, обърнете внимание: можем да повдигнем радикалния израз на произволна степен и в същото време да умножим коренния показател по същата степен - и резултатът ще бъде същото число! Ето примери:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

И така, каква е голямата работа? Защо не можахме да направим това преди? Ето защо. Нека разгледаме един прост израз: $\sqrt(-2)$ - това число е съвсем нормално в нашето класическо разбиране, но е абсолютно неприемливо от гледна точка на аритметичния корен. Нека се опитаме да го конвертираме:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Както можете да видите, в първия случай премахнахме минуса под радикала (имаме пълното право, тъй като показателят е нечетен), а във втория случай използвахме горната формула. Тези. От математическа гледна точка всичко е направено по правилата.

WTF?! Как може едно и също число да бъде едновременно положително и отрицателно? Няма начин. Просто формулата за степенуване, която работи чудесно за положителни числа и нула, започва да произвежда пълна ерес в случай на отрицателни числа.

Именно за да се отървем от такава неяснота, бяха изобретени аритметичните корени. На тях е посветен отделен голям урок, в който подробно разглеждаме всичките им свойства. Така че няма да се спираме на тях сега - урокът вече се оказа твърде дълъг.

Алгебричен корен: за тези, които искат да знаят повече

Дълго мислих дали да сложа тази тема в отделен параграф или не. В крайна сметка реших да го оставя тук. Този материал е предназначен за тези, които искат да разберат още по-добре корените - вече не на средното „училищно“ ниво, а на ниво, близко до нивото на олимпиадата.

И така: в допълнение към „класическата“ дефиниция на $n$-тия корен на числото и свързаното с нея деление на четни и нечетни показатели, има по-„възрастна“ дефиниция, която изобщо не зависи от паритета и други тънкости. Това се нарича алгебричен корен.

Определение. Алгебричният $n$-ти корен на всяко $a$ е множеството от всички числа $b$, така че $((b)^(n))=a$. Няма установено обозначение за такива корени, така че просто ще поставим тире отгоре:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Основната разлика от стандартната дефиниция, дадена в началото на урока, е, че алгебричният корен не е конкретно число, а набор. И тъй като работим с реални числа, този набор се предлага само в три вида:

1. Празен комплект. Възниква, когато трябва да намерите алгебричен корен от четна степен от отрицателно число;
2. Комплект, състоящ се от един единствен елемент. Всички корени на нечетни степени, както и корени на четни степени на нула, попадат в тази категория;
3. И накрая, наборът може да включва две числа - същите $((x)_(1))$ и $((x)_(2))=-((x)_(1))$, които видяхме на графика на квадратична функция. Съответно, такова подреждане е възможно само при извличане на корена на четна степен от положително число.

Последният случай заслужава по-подробно разглеждане. Нека преброим няколко примера, за да разберем разликата.

Пример. Оценете изразите:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Решение. Първият израз е прост:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Това са две числа, които са част от комплекта. Защото всеки от тях на квадрат дава четворка.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Тук виждаме набор, състоящ се само от едно число. Това е съвсем логично, тъй като коренният показател е нечетен.

И накрая, последният израз:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Получихме празен комплект. Защото няма нито едно реално число, което, когато бъде повдигнато на четвърта (т.е. четна!) степен, да ни даде отрицателното число −16.

Последна бележка. Обърнете внимание: не случайно отбелязах навсякъде, че работим с реални числа. Защото има и комплексни числа - там е напълно възможно да се изчисли $\sqrt(-16)$ и много други странни неща.

Комплексните числа обаче почти никога не се появяват в съвременните училищни курсове по математика. Те са премахнати от повечето учебници, защото нашите служители смятат, че темата е „твърде трудна за разбиране“.

Това е всичко. В следващия урок ще разгледаме всички ключови свойства на корените и накрая ще научим как да опростяваме ирационални изрази. :)

Операции с мощности и корени. Степен с минус ,

нула и дробна индикатор. За изрази, които нямат смисъл.

Операции със степени.

1. При умножаване на степени с една и съща основа техните показатели се събират:

a m · a n = a m + n.

2. При деление на степени с еднаква основа техните показатели се приспадат .

3. Степента на произведението на два или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори.

(абв… ) n = a n· b n · c n…

4. Степента на отношение (фракция) е равна на съотношението на степените на дивидента (числител) и делителя (знаменател):

(а/б ) n = a n / b n.

5. При повишаване на степен на степен техните показатели се умножават:

(a m ) n = a m n .

Всички горни формули се четат и изпълняват в двете посоки отляво надясно и обратно.

ПРИМЕР (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корени. Във всички формули по-долу символът означава аритметичен корен(радикалният израз е положителен).

1. Коренът от произведението на няколко фактора е равен на произведението корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на корените на дивидента и делителя:

3. При повдигане на корен на степен е достатъчно да се повдигне на тази степен радикално число:

4. Ако увеличим степента на корена вм повишаване нам степента th е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалим степента на корена вм извлечете корена веднъж и по едно и също времем та степен на радикално число, тогава стойността на корена не еще се промени:

Разширяване на понятието степен. Досега разглеждахме степени само с естествени показатели;но действия с степени и корени също могат да доведат до отрицателен, нулаИ дробенпоказатели. Всички тези експоненти изискват допълнително определение.

Степен с отрицателен показател. Степен на някакво число c отрицателна (цяло число) експонента се дефинира като едно разделено на степен на същото число с показател, равен на абсолютната стойностотрицателен показател:

Tсега формулата a m: a n= a m - н може да се използва не само зам, повече от н, но и с м, по-малко от н .

ПРИМЕР а 4 :а 7 =а 4 - 7 =а - 3 .

Ако искаме формулатаa m : a n= a m - нбеше справедливо, когатоm = n, имаме нужда от дефиниция на степен нула.

Диплома с нулев индекс. Степента на всяко ненулево число с показател нула е 1.

ПРИМЕРИ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степен с дробен показател. Да се ​​вдигне реално числои на степен m/n , трябва да извлечете корена n-та степен на m -та степен на това число A:

За изрази, които нямат смисъл. Има няколко такива израза.произволен брой.

Всъщност, ако приемем, че този израз е равен на някакво число х, то според дефиницията на операцията деление имаме: 0 = 0 · х. Но това равенство възниква, когато всяко число x, което трябваше да се докаже.

Случай 3.

0 0 - произволен брой.

Наистина ли,

Решение Нека разгледаме три основни случая:

1) х = 0 – тази стойност не удовлетворява това уравнение

(Защо?).

2) когато х> 0 получаваме: х/х = 1, т.е. 1 = 1, което означава

Какво х– произволен брой; но като се има предвид, че в

В нашия случай х> 0, отговорът ех > 0 ;

3) кога х < 0 получаем: – х/х= 1, т.е . –1 = 1, следователно,

В този случай няма решение.

По този начин, х > 0.

Пак погледнах табелата... И, да тръгваме!

Да започнем с нещо просто:

Само минутка. това, което означава, че можем да го напишем така:

Схванах го? Ето следващия за вас:

Корените на получените числа не са ли точно извлечени? Няма проблем – ето няколко примера:

Ами ако има не два, а повече множители? Същото! Формулата за умножение на корени работи с произволен брой фактори:

Вече напълно сам:

Отговори:Много добре! Съгласете се, всичко е много лесно, основното е да знаете таблицата за умножение!

Коренно деление

Подредихме умножението на корените, сега нека преминем към свойството на делението.

Нека ви напомня, че общата формула изглежда така:

Което означава, че коренът на частното е равен на частното на корените.

Е, нека да разгледаме някои примери:

Това е цялата наука. Ето един пример:

Всичко не е толкова гладко, колкото в първия пример, но, както можете да видите, няма нищо сложно.

Ами ако срещнете този израз:

Просто трябва да приложите формулата в обратна посока:

И ето един пример:

Може да срещнете и този израз:

Всичко е същото, само тук трябва да запомните как да превеждате дроби (ако не си спомняте, погледнете темата и се върнете!). Помниш ли? Сега да решим!

Сигурен съм, че сте се справили с всичко, сега нека се опитаме да вдигнем корените до степен.

степенуване

Какво се случва, ако квадратният корен се повдигне на квадрат? Просто е, запомнете значението на корен квадратен от число – това е число, чийто корен квадратен е равен на.

И така, ако повдигнем на квадрат число, чийто квадратен корен е равен, какво получаваме?

Добре, разбира се, !

Нека да разгледаме примери:

Просто е, нали? Ами ако коренът е на различна степен? Всичко е наред!

Следвайте същата логика и запомнете свойствата и възможните действия със степени.

Прочетете теорията по темата "" и всичко ще ви стане пределно ясно.

Например, ето един израз:

В този пример степента е четна, но какво ще стане, ако е нечетна? Отново приложете свойствата на експонентите и факторизирайте всичко:

Всичко изглежда ясно с това, но как да извлечете корена на число на степен? Ето например това:

Доста просто, нали? Ами ако степента е по-голяма от две? Следваме същата логика, използвайки свойствата на степените:

Е, всичко ясно ли е? След това решете сами примерите:

А ето и отговорите:

Влизане под знака на корена

Какво ли не се научихме да правим с корените! Остава само да се упражнявате да въвеждате числото под корена!

Наистина е лесно!

Да кажем, че имаме записано число

Какво можем да направим с него? Е, разбира се, скрийте тройката под корена, като помните, че тройката е корен квадратен от!

Защо имаме нужда от това? Да, само за да разширим нашите възможности при решаване на примери:

Как ви харесва това свойство на корените? Прави ли живота много по-лесен? За мен е точно така! само Трябва да помним, че можем да въвеждаме само положителни числа под знака за квадратен корен.

Решете този пример сами -
успяхте ли Да видим какво трябва да получите:

Много добре! Успяхте да въведете номера под корен! Нека да преминем към нещо също толкова важно - нека да разгледаме как да сравняваме числа, съдържащи квадратен корен!

Сравнение на корените

Защо трябва да се научим да сравняваме числа, които съдържат квадратен корен?

Много просто. Често в големи и дълги изрази, срещани на изпита, получаваме ирационален отговор (помните ли какво е това? Вече говорихме за това днес!)

Трябва да поставим получените отговори на координатната линия, например, за да определим кой интервал е подходящ за решаване на уравнението. И тук възниква проблемът: в изпита няма калкулатор, а без него как можете да си представите кое число е по-голямо и кое по-малко? Това е!

Например, определете кое е по-голямо: или?

Не можете да кажете веднага. Добре, нека използваме разглобеното свойство за въвеждане на число под знака за корен?

Тогава продължете напред:

Е, очевидно, колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен!

Тези. ако, тогава,.

От това твърдо заключаваме, че. И никой няма да ни убеди в обратното!

Извличане на корени от големи числа

Преди това въведохме множител под знака на корена, но как да го премахнем? Просто трябва да го разделите на фактори и да извлечете това, което извлечете!

Възможно е да се поеме по различен път и да се разшири в други фактори:

Не е лошо, нали? Всеки от тези подходи е правилен, решете както желаете.

Факторингът е много полезен при решаването на такива нестандартни проблеми като този:

Да не се страхуваме, а да действаме! Нека разложим всеки фактор под корена на отделни фактори:

Сега опитайте сами (без калкулатор! Няма да бъде на изпита):

това ли е краят Нека не спираме на половината път!

Това е всичко, не е толкова страшно, нали?

Се случи? Браво, точно така!

Сега опитайте този пример:

Но примерът е труден за разбиване, така че не можете веднага да разберете как да подходите към него. Но, разбира се, можем да се справим.

Е, да започнем факторизирането? Нека веднага да отбележим, че можете да разделите число на (помнете знаците за делимост):

Сега опитайте сами (отново без калкулатор!):

Е, проработи ли? Браво, точно така!

Нека обобщим

1. Корен квадратен (аритметичен корен квадратен) от неотрицателно число е неотрицателно число, чийто квадрат е равен на.
   .
2. Ако просто вземем корен квадратен от нещо, винаги получаваме един неотрицателен резултат.
3. Свойства на аритметичен корен:
4. Когато сравнявате квадратни корени, трябва да запомните, че колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен.

Как е квадратният корен? Всичко е ясно?

Опитахме се да ви обясним без никакви проблеми всичко, което трябва да знаете на изпита за корен квадратен.

Твой ред е. Пишете ни дали тази тема е трудна за вас или не.

Научихте ли нещо ново или вече всичко беше ясно?

Пишете в коментарите и успех на изпитите!