Задаване на съпоставяния. Картографирането на функции задава общи понятия функции основни дефиниции

Кореспонденциямежду множества A и B е подмножество на техния декартов продукт

С други думи, двойките определят съответствие между множества A=( ​​) и B=( ), ако е посочено правило R, според което елемент от множество B се избира за елемент от множество A.

Ако даден елемент е свързан с някакъв елемент, b се извиква начинелемент a и се записва по следния начин: b = R (a). Тогава - прототипелемент, който има свойствата на уникалност и пълнота:

1. Всеки прототип отговаря на едно изображение;

2. Изображението трябва да е завършено, както прототипът трябва да е завършен.

Пример.Ако A е набор от параболи, B е набор от точки в равнина и R е съответствието „върх на парабола“, тогава R (a) е точка, която е върха на парабола a и се състои от всички параболи с връх в точка b (фиг. 6)

Образът на множеството A със съответствие R се нарича набор от значенияТова съответствие се означава с R (A), ако R (A) се състои от образите на всички елементи на множеството A.

Прообразът на множеството B с някакво съответствие R се нарича област на дефинициятова съответствие се означава с . На свой ред е обратенсъвпадение на R.

По този начин, за съответствието на R, определено от точките на координатната равнина, домейнът на дефиниция е наборът от точки на абсцисната ос, а наборът от стойности е проекцията на точките върху ординатната ос (фиг. 7). Следователно, до известна степен

M (x, y) y е изображение, а x е обратно изображение за някакво съответствие R: Y = R (x), Съответствието между множествата X е удобно под формата на точка в равнина, използвайки метода на декартовите координати.

Нека е дадено съответствието между R и Y=R (X). Съответства на точки M с координати (x; y) (фиг. 7). Тогава множеството от точки на равнината, разграничени от преобразуването R ще бъде график.

За описание на съответствията между множествата се използва концепцията за преобразуване (функция) на едно множество в друго.

За да настроите дисплея, трябва да посочите:

1. Наборът, който е картографиран (домейнът на дефиниция на дадена карта, често означаван с );

2. Наборът, в (върху) който дадена област на дефиниция е картографирана (множеството от стойности на това картографиране често се означава с);

3. Законът или съответствието между тези множества, според които елементи (изображения) от второто множество се избират за елементите на първото множество (прототипи, аргументи).

Обозначения: .

Методи за определяне на дисплеи: аналитичен(под формата на формули), табличен, графика(диаграми или графики).

Има два основни типа еднозначни съпоставяния (функции). По сила те се делят на сюрективноИ инжективен.

1. Съответствие, в което всеки елемент от набор A е обозначен с един елемент от набор B и всеки елемент от набор B може да бъде указан поне един елемент от набор A, се нарича преобразуване на набор A за да зададете B(суръекция).

2. Съответствие, при което всеки елемент от множество A съответства на един елемент от множество B и всеки елемент от B съответства на най-много един предобраз от A, се нарича преобразуване на множество A в много B (инжекция).

Преобразуване от множество A към множество B, при което всеки елемент от множество B съответства на един елемент от множество A, се нарича едно към едносъответствие между две множества, или биекция.инжекция и суръекция.

Елементи на теорията на множествата

Понятие за множество

В математиката има голямо разнообразие от комплекти. Можем да говорим за набор от лица на многостен, точки на права, набор от естествени числа и т.н. Понятието множество е едно от основните понятия, които не се дефинират чрез други, по-прости. Вместо думата „набор” понякога се казва „колекция”, „колекция” от предмети и т.н. Обектите, които съставят дадено множество, се наричат ​​елементи на даденото множество.

Теорията на множествата е посветена главно на изучаването на безкрайни множества. Теория крайни множествапонякога се нарича комбинаторика.

Но най-простите свойства на множествата, тези, за които ще говорим само тук, в повечето случаи се прилагат еднакво както за крайни, така и за безкрайни множества.

Обърнете внимание, че в математиката е разрешено за разглеждане множество, което не съдържа елементи - празното множество. Записвайте АÎ X означава това Ае елемент от множеството X.

Определение.Множеството B се нарича подмножествомножество A, ако всеки елемент от множество B е същевременно елемент от множество A.

Всеки отделен елемент от множество A образува подмножество, състоящо се от този един елемент. Освен това празното множество е подмножество на всяко множество.

Извиква се подмножество на множество A не твоя собствена, ако съвпада с множество А.

Ако множеството B е подмножество на множеството A, тогава казваме, че B се съдържа в A и обозначаваме B Í A. Подмножеството B на множеството A се нарича собственподмножество, ако B не е празно и не съвпада с A (т.е. има елемент от множеството A, който не се съдържа в B).

Задайте операции

Нека A и B са произволни множества.

Определение.Обединението на две множества A и B е множество C = AÈB, състоящо се от всички елементи, принадлежащи на поне едно от множествата A и B (виж фиг. 1).

Обединението на всеки (краен или безкраен) брой множества се определя по подобен начин: ако A азса произволни множества, тогава тяхното обединение е колекция от елементи, всеки от които принадлежи на поне едно от множествата A аз.

Фиг.1 Фиг.2

Определение.Пресечната точка на множествата A и B е множеството C = AÇB, състоящо се от всички елементи, принадлежащи както на A, така и на B (виж фиг. 2). Пресечната точка на всеки (краен или безкраен) брой множества A азе множеството от елементи, принадлежащи на всяко от множествата A аз.

Операциите на обединение и пресичане на множества са по дефиниция комутативни и асоциативни, т.е.

AÈB = B È A, (A ÈB) ÈC = A È (B È C),

A Ç B = B Ç A, (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C).

Освен това те се разпределят взаимно:

(A È B) Ç C = (A Ç C) È (B Ç C), (1)

(A Ç B) È C = (A È C) Ç (B È C). (2)

Определение. По разликамножества A и B е множеството от онези елементи от A, които не се съдържат в B ( ориз. 3).

Понятието функция. Показване на комплекти

Нека X и Y са две произволни множества.

Определение.Те казват, че функция е дефинирана на X f, като взема стойност от Y, ако всеки елемент хÎ X е свързан с един и само един елемент гО Y. В този случай се нарича множеството X област на дефинициядадена функция, а множеството Y е нейно диапазон от стойности.

За множества от произволен характер, вместо термина „функция“, често се използва терминът „преобразуване“, като се говори за преобразуване на едно множество в друго.

Ако Аелемент от X, след това съответния елемент b = f(А) от Y се извиква начин акогато се покаже f. Съвкупността от всички тези елементи Ана X, чийто образ е дадения елемент bО Y, наречен прототип(или по-точно пълен прототип) елемент bи е обозначен f –1 (b).

Нека A е някакво множество от X; комплект ( f (А): АÎ А) всички елементи на формата f (А), Където АÎ A, се нарича образ на A и се обозначава f(А). От своя страна за всяко множество B от Y се определя неговият пълен прообраз f–1 (V), а именно: f–1 (B) е колекцията от всички онези елементи от X, чиито изображения принадлежат на B.

Определение.Да кажем това fе преобразуване от набор X към набор Y, ако f(X) = Y; такова картографиране се нарича суръекция. В общия случай, т.е. Кога f(X) М Y, така казват fима преобразуване в Y. Ако за всеки два различни елемента х 1 и х 2 от X техните изображения г 1 = f (х 1) и г 2 = f (х 2) също са различни, тогава fНаречен инжекция.Дисплей f: X®Y, което е едновременно сюрекция и инжекция, се нарича кореспонденция едно към едномежду X и Y.

Нека разгледаме друг важен частен случай от общата концепция за съответствие - картографиране на множества. Ако отговаря на изискванията Рмежду сериите хИ Yизображение на елемент Ахможе да е празен или може да съдържа няколко елемента.

Връзка между елементи на множества хИ YНаречен дисплей х VY , ако всеки елемент хот много хсамо един елемент от набора съвпада Y. Този елемент се нарича изображение на елементхс този дисплей: f(x).На графика на такова преобразуване от всяка точка на множеството хЩе излезе само една стрелка (фиг. 29).

Помислете за следния пример . Позволявам х- много студенти в публиката и Y- много столове в една и съща аудитория. Съвпадение на "студент" хседнал на стол при» комплекти дисплей х VY. Студентско изображение хе стол.

Позволявам X = Y = N- набор от естествени числа. Съвпадение на "десетичен запис на число" хвключва прицифри" определя дисплея н V н. При този дисплей числото 39 съответства на числото 2, а числото 45981 съответства на числото 5 (39 е двуцифрено число, 45981 е петцифрено число).

Позволявам х- много четириъгълници, Y- много кръгове. Съвпадение на "четириъгълник" хвписан в кръг при» не е дисплей х V Y, тъй като има четириъгълници, които не могат да бъдат вписани в окръжност. Но в този случай те казват, че резултатът е картографиране от множеството хв множеството Y.

Ако дисплей х V Yтака че всеки елемент гот много
Yсъответства на един или повече елементи хот много х, тогава такова преобразуване се нарича показване на комплекта хза многоY.

Няколко хсе нарича област на дефиниция на преобразуването f: XY,и много Y- региона на пристигане на това картографиране. Част от зоната на пристигане, състояща се от всички изображения гот много Y,наречен набор от стойности за картографиране f.

Ако y=f(x),тогава x се извиква прототип на елемент y когато се покаже f. Наборът от всички прообрази на елемент прите го наричат ​​пълен прототип: f(y).

Дисплеите са от следните видове: инективни, сюрективни и биективни.

Ако пълният прототип на всеки елемент yYсъдържа най-много един елемент (може да е празен), тогава такива преобразувания се извикват инжективен.

Дисплеи XYтакова, че f(X)=Y, се наричат ​​преобразувания хза цялото множество Yили сюрективно(от всяка точка на комплекта хизлиза стрелка и след смяна на посоката във всяка точка от комплекта хзавършва) (фиг. 31).

Ако преобразуването е инъективно и сюрективно, тогава то се нарича едно към едно или биективно.

Задайте дисплей хсе нарича набор биективен, ако всеки елемент ххсъвпада с един елемент yY,и всеки елемент yYсъвпада само с един елемент хх(фиг. 32) .

Биективните преобразувания генерират равни множества : X~Y.

Пример . Позволявам - хмного палта в гардероба, Y- много куки там. Нека свържем всяко палто с куката, на която виси. Това съответствие е картографиране X вY.Той е инжективен, ако на никоя кука не виси повече от едно палто или някои куки са свободни. Това картографиране е сюрективно, ако всички куки са заети или на някои висят няколко палта. Биективно ще бъде, ако на всяка кука виси само едно палто.

Сюрекция, инжекция и биекция

Правилото, определящо преобразуването f: X (или функцията /), може условно да бъде представено със стрелки (фиг. 2.1). Ако в множеството Y има поне един елемент, към който никоя от стрелките не сочи, това означава, че диапазонът от стойности на функцията f не запълва целия набор Y, т.е. f(X) C Y.

Ако диапазонът от стойности / съвпада с Y, т.е. f(X) = Y, тогава такава функция се нарича сюръективна) или накратко сюръекция и се казва, че функцията / преобразува множеството X върху множеството Y (за разлика от общия случай на преобразуване на множеството X в множеството Y съгласно дефиниция 2.1). И така, / : X е сюрекция, ако Vy 6 Y 3x € X: /(x) = y. В този случай на фигурата поне една стрелка води към всеки елемент от множеството Y (фиг. 2.2). В този случай няколко стрелки могат да водят до някои елементи от Y. Ако не повече от една стрелка води до всеки елемент y € Y, тогава / се нарича инжективна функция или инжекция. Тази функция не е непременно сюръективна, т.е. стрелките не водят до всички елементи от множеството Y (фиг. 2.3).

• И така, функцията /: X -Y Y е инжекция, ако всеки два различни елемента от X имат като образи при картографиране на / два различни елемента от Y, или Vy £ f(X) C Y 3xeX: f(x) = y. Сюрекция, инжекция и биекция. Обратно картографиране. Композицията на съпоставянията е продукт на множества. Показване на график. Преобразуването /: X->Y се нарича биективно, или двуекционно, ако всеки елемент от y 6 Y е образ на някакъв и единствен елемент от X, т.е. Vy € f(X) = Y E!x € X: f(x) = y.

Всъщност функцията / в този случай установява взаимно еднозначно съответствие между множествата X и Y и затова често се нарича функция едно към едно. Очевидно функция / е биективна тогава и само ако е едновременно инективна и сюрективна. В този случай стрелките (фиг. 2.4) свързват по двойки всеки елемент от X с всеки елемент от Y. Освен това два елемента от X не могат да бъдат свързани със стрелка към един и същ елемент от Y, тъй като / е инективен и два елемента от Y не могат да бъдат свързани със стрелки към един и същ елемент от X поради изискването за уникалност на изображението в дефиниция 2.1 на картографирането. Всеки елемент от X участва в двойна връзка, тъй като X е домейнът на функцията /. И накрая, всеки елемент от Y също участва в една от двойките, тъй като / е сюрективно. Ролите на X и Y в този случай изглеждат напълно идентични и ако върнем всички стрелки назад (фиг. 2.5), получаваме различно преобразуване или различна функция d), която също е инективна и сюрективна. Съпоставянията (функции), които позволяват такава инверсия, ще играят важна роля в това, което следва.

В конкретен случай множествата X и Y могат да съвпадат (X = Y). Тогава биективната функция ще нанесе множеството X върху себе си. Биекцията на едно множество върху себе си също се нарича трансформация. 2.3. Обратно картографиране Нека /: X -? Y е определена биекция и нека y € Y. Нека означим с /_1(y) единствения елемент x € X такъв, че /(r) = y. Така дефинираме някакво преобразуване 9: Y Xу, което отново е биекция. Нарича се обратно преобразуване или обратна биекция на /. Често тя се нарича просто обратна функция и се обозначава /"*. На фиг. 2.5 функцията d е точно обратната на /, т.е. d = f"1.

Примери за решения на задачи

Преобразуванията (функциите) / и са взаимно обратни. Ясно е, че ако една функция не е биекция, тогава нейната обратна функция не съществува. Действително, ако / не е инъективно, то някой елемент y € Y може да съответства на няколко елемента x от множеството X, което противоречи на дефиницията на функция. Ако / не е сюръективен, тогава има елементи в Y, за които няма прообрази в X, т.е. за тези елементи обратната функция не е дефинирана. Пример 2.1. А. Нека X = Y = R - набор от реални числа. Функцията /, дефинирана с формулата y = For - 2, i,y € R, е биекция. Обратната функция е x = (y + 2)/3. b. Реалната функция f(x) = x2 на реална променлива x не е сюрективна, тъй като отрицателните числа от Y = R не са изображения на елементи от X = K като /: Γ -> Y. Пример 2.2. Нека A" = R и Y = R+ е множеството от положителни реални числа. Функцията f(x) = ax, a > 0, af 1, е биекция. Обратната функция ще бъде Z"1 (Y) = 1°8a Ю

• Сюрекция, инжекция и биекция. Обратно картографиране. Композицията на съпоставянията е продукт на множества. Показване на график. 2.4. Композиция на съпоставяния Ако f:X-*Y и g:Y-*Zy, тогава съпоставянето (p:X -+Z, дефинирано за всяко a: 6 A" по формулата =, се нарича композиция (суперпозиция) на съпоставяния (функции) / и d> или сложна функция и се обозначава с rho/ (фиг. 2.6).
• По този начин сложна функция преди f прилага правилото: първо i Приложи / и след това di, т.е. в състава на операциите “преди / трябва да започнете с операцията /, разположена вдясно. Имайте предвид, че композицията Фиг. 2.6 съпоставянията са асоциативни, т.е. ако /: X -+Y, d: Y Z и h: Z-*H> тогава (hog)of = = ho(gof)i, което е по-лесно да се напише във формата ho към /. Нека проверим това по следния начин: На ​​всяко wK "oaicecmee X има дефинирано преобразуване 1x -X X, наречено идентично, често също означавано с idx и дадено с формулата Ix(x) = x Vx € A". Неговото -действие е, че оставя всичко по местата си.

Така, ако е биекция, обратна на биекцията /: X - + Y, тогава /"1o/ = /x, и /o/-1 = /y, където и /y са идентични карти на множествата X и Y, Обратно, ако съпоставянията f: X ->Y и p: Y A" са такива, че gof = Ix и fog = /y, тогава функцията / е биекция, а y е нейната обратна биекция. Очевидно, ако / е биекция на A" върху Y и $ е биекция на Y върху Z, тогава gof е биекция на X върху Z и ще бъде обратната биекция по отношение на него. 2.5. Произведение на множества. Картографска графика Припомнете си, че две взаимно перпендикулярни координатни оси с мащаб, който е еднакъв за двете оси, определят правоъгълна декартова координатна система в равнината (фиг. 2.7). Точката O на пресичането на координатните оси се нарича начало* на координати.

Всяка точка M може да бъде свързана с двойка (i, y) реални числа, където x е координатата на точката Mx на координатната ос Ox, а y е координатата на точката Mu на координатната ос Oy. Точките Mx и Mu са основите на перпендикуляри, пуснати от точка M съответно на осите Ox и Oy. Числата x и y се наричат ​​координати на точка M (в избраната координатна система), а x се нарича абциса на точка M, а y е ордината на тази точка. Очевидно е, че всяка двойка (a, b) реални числа a, 6 6R съответства на точка M от равнината, която има тези числа като свои координати. И обратно, всяка точка M от равнината съответства на двойка (a, 6) реални числа a и 6. В общия случай двойките (a, b) и (6, a) определят различни точки, т.е. Важно е кое от двете числа a и b е първо в обозначението на двойката. По този начин говорим за подредена двойка. В тази връзка двойките (a, 6) и (6, a) се считат за равни една на друга и те определят една и съща точка на равнината, ако само a = 6. Сюръекция, инжекция и биекция. Обратно картографиране.

Композицията на съпоставянията е продукт на множества. Показване на график. Множеството от всички двойки реални числа, както и множеството от точки в равнината, се означава с R2. Това обозначение е свързано с важната концепция в теорията на множествата за пряк (или dek-artov) продукт на множества (често те просто говорят за продукт на множества). Определение 2.2. Продуктът на множествата A и B е множеството Ax B от възможни подредени двойки (x, y), където първият елемент е взет от A, а вторият от B, така че равенството на две двойки (x, y) и (&", y") е определено условие x = x" и y = y7. Двойките (i, y) и (y, x) се считат за различни, ако xy. Това е особено важно да се има предвид, когато множествата A и съвпадат B. Следователно в общия случай A x B f B x A, т. е. произведението на произволни множества не е комутативно, но е разпределително по отношение на обединението, пресичането и разликата на множества: където означава едно от трите посочени операции.Произведението на множествата се различава значително от посочените операции върху две множества.Резултатът от извършването на тези операции е множество, чиито елементи (ако не е празно) принадлежат към едното или и двете от оригиналните множества.Елементите на произведението на множествата принадлежат към новото множество и представляват обекти от различен вид в сравнение с елементите на оригиналните множества Подобно на дефиниция 2.2

Можем да въведем концепцията за продукт от повече от два комплекта. Наборите (A x B) x C и A*x (B x C) са идентифицирани и просто обозначени с A x B x C, така че. Работи Ah Au Ah Ah Ah Ah и т.н. означавани, като правило, с A2, A3 и т.н. Очевидно равнината R2 може да се разглежда като произведението R x R на две копия на множеството от реални числа (оттук и обозначението на множеството точки на равнината като произведение на две множества точки на числовата права). Наборът от точки в геометричното (триизмерно) пространство съответства на произведението R x R x R от три копия на набора от точки на числовата права, означено с R3.

• Произведението на n набора от реални числа се означава с Rn. Това множество представлява всички възможни колекции (xj, X2, xn) от n реални числа X2) xn £ R и всяка точка x* от Rn е такава колекция (xj, x, x*) от реални числа xn £ K*
• Продуктът от n произволни набора е набор от подредени колекции от n (като цяло разнородни) елемента. За такива множества се използват имената кортеж или n-ka (произнася се „енка“). Пример 2.3. Нека A = (1, 2) и B = (1, 2). Тогава множеството A x B може да се идентифицира с четири точки от равнината R2, чиито координати са посочени при изброяването на елементите на това множество.Ако C = ( 1,2) и D = (3,4), тогава Пример 2.4 Нека тогава Геометричната интерпретация на множествата E x F и F x E е представено на Фиг.
• Такова множество се нарича графика на преобразуването f (или графика на функцията i*" - Пример 2.5. В случай на XCR и Y = K, всяка подредена двойка задава координатите на точка в равнината R2. Ако X е интервал от числовата права R, тогава графиката на функцията може да представлява някаква права (фиг. 2.9) Пример 2.6 Ясно е, че с XCR2 и Y = R графиката на функцията е определен набор от точки в R3 , които могат да представляват определена повърхност (фиг. 2.10).

Ако X C R и Y = R2, тогава графиката на функцията също е набор от точки в R3, които могат да представляват определена линия, пресечена от равнината x = const само в една точка M с три координати x) yi, y2 ( Фиг. 2.11). # Всички споменати примери за функционални графики са най-важните обекти на математическия анализ и в бъдеще ще бъдат обсъдени подробно.