По количеству значимых факторов регрессию подразделяют на. Основы анализа данных. Определение понятия регрессии

6. Основным показателем, отражающим меру качества регрессионного анализа, является коэффициент детерминации (R 2).

Коэффициент детерминации показывает, какая доля зависимой переменной «у » учтена в анализе и вызвана влиянием на нее факторов, включенных в анализ.

Коэффициент детерминации (R 2) принимает значения в промежутке . Уравнение регрессии является качественным, если R 2 ≥0,8.

Коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, т.е.

Пример 6.1. По следующим данным построить и проанализировать уравнение регрессии:

Решение.

1) Вычислить коэффициент корреляции: . Связь между признаками прямая и умеренная.

2) Построить уравнение парной линейной регрессии.

2.1) Составить расчетную таблицу.

,

Уравнение парной линейной регрессии: у х =25,17+0,087х.

3) Найти теоретические значения «у x » путем подстановки в уравнение регрессии фактических значений «х ».

4) Построить графики фактических «у» и теоретических значений «у х » результативного признака (рисунок 6.1):r xy =0,47) и небольшим числом наблюдений.

7) Вычислить коэффициент детерминации: R 2 =(0,47) 2 =0,22. Построенное уравнение некачественное.

Т.к. вычисления при проведении регрессионного анализа достаточно объемные, рекомендуется пользоваться специальными программами («Statistica 10», SPSS и др.).

На рисунке 6.2 приведена таблица с результатами регрессионного анализа, проведенного с помощью программы «Statistica 10».

Рисунок 6.2. Результаты регрессионного анализа, проведенного с помощью программы «Statistica 10»

5. Литература:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.

2. Койчубеков Б.К. Биостатистика: Учебное пособие. - Алматы: Эверо, 2014. - 154 с.

3. Лобоцкая Н.Л. Высшая математика. / Н.Л. Лобоцкая, Ю.В. Морозов, А.А. Дунаев. - Мн.: Высшая школа, 1987. - 319 с.

4. Медик В.А., Токмачев М.С., Фишман Б.Б. Статистика в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах / Под ред. Ю.М. Комарова. Т. 1. Теоретическая статистика. - М.: Медицина, 2000. - 412 с.

5. Применение методов статистического анализа для изучения общественного здоровья и здравоохранения: учебное пособие / ред. Кучеренко В.З. - 4-е изд., перераб. и доп. – М.: ГЭОТАР - Медиа, 2011. - 256 с.

Регрессионный анализ - это метод установления аналитического выражения стохастической зависимости между исследуемыми признаками. Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется у при изменении любого из x i , и имеет вид:

где у - зависимая переменная (она всегда одна);

х i - независимые переменные (факторы) (их может быть несколько).

Если независимая переменная одна - это простой регрессионный анализ. Если же их несколько (п 2), то такой анализ называется многофакторным.

В ходе регрессионного анализа решаются две основные задачи:

построение уравнения регрессии, т.е. нахождение вида зависимости между результатным показателем и независимыми факторами x 1 , x 2 , …, x n .

оценка значимости полученного уравнения, т.е. определение того, насколько выбранные факторные признаки объясняют вариацию признака у.

Применяется регрессионный анализ главным образом для планирования, а также для разработки нормативной базы.

В отличие от корреляционного анализа, который только отвечает на вопрос, существует ли связь между анализируемыми признаками, регрессионный анализ дает и ее формализованное выражение. Кроме того, если корреляционный анализ изучает любую взаимосвязь факторов, то регрессионный - одностороннюю зависимость, т.е. связь, показывающую, каким образом изменение факторных признаков влияет на признак результативный.

Регрессионный анализ - один из наиболее разработанных методов математической статистики. Строго говоря, для реализации регрессионного анализа необходимо выполнение ряда специальных требований (в частности, x l ,x 2 ,...,x n ; y должны быть независимыми, нормально распределенными случайными величинами с постоянными дисперсиями). В реальной жизни строгое соответствие требованиям регрессионного и корреляционного анализа встречается очень редко, однако оба эти метода весьма распространены в экономических исследованиях. Зависимости в экономике могут быть не только прямыми, но и обратными и нелинейными. Регрессионная модель может быть построена при наличии любой зависимости, однако в многофакторном анализе используют только линейные модели вида:

Построение уравнения регрессии осуществляется, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений результатного признака от его расчетных значений, т.е.:

где т - число наблюдений;

j = a + b 1 x 1 j + b 2 x 2 j + ... + b n х n j - расчетное значение результатного фактора.

Коэффициенты регрессии рекомендуется определять с помощью аналитических пакетов для персонального компьютера или специального финансового калькулятора. В наиболее простом случае коэффициенты регрессии однофакторного линейного уравнения регрессии вида y = а + bх можно найти по формулам:

Кластерный анализ

Кластерный анализ - один из методов многомерного анализа, предназначенный для группировки (кластеризации) совокупности, элементы которой характеризуются многими признаками. Значения каждого из признаков служат координатами каждой единицы изучаемой совокупности в многомерном пространстве признаков. Каждое наблюдение, характеризующееся значениями нескольких показателей, можно представить как точку в пространстве этих показателей, значения которых рассматриваются как координаты в многомерном пространстве. Расстояние между точками р и q с k координатами определяется как:

Основным критерием кластеризации является то, что различия между кластерами должны быть более существенны, чем между наблюдениями, отнесенными к одному кластеру, т.е. в многомерном пространстве должно соблюдаться неравенство:

где r 1, 2 - расстояние между кластерами 1 и 2.

Так же как и процедуры регрессионного анализа, процедура кластеризации достаточно трудоемка, ее целесообразно выполнять на компьютере.

Что такое регрессия?

Рассмотрим две непрерывные переменные x=(x 1 , x 2 , .., x n), y=(y 1 , y 2 , ..., y n).

Разместим точки на двумерном графике рассеяния и скажем, что мы имеем линейное соотношение , если данные аппроксимируются прямой линией.

Если мы полагаем, что y зависит от x , причём изменения в y вызываются именно изменениями в x , мы можем определить линию регрессии (регрессия y на x ), которая лучше всего описывает прямолинейное соотношение между этими двумя переменными.

Статистическое использование слова "регрессия" исходит из явления, известного как регрессия к среднему, приписываемого сэру Френсису Гальтону (1889).

Он показал, что, хотя высокие отцы имеют тенденцию иметь высоких сыновей, средний рост сыновей меньше, чем у их высоких отцов. Средний рост сыновей "регрессировал" и "двигался вспять" к среднему росту всех отцов в популяции. Таким образом, в среднем высокие отцы имеют более низких (но всё-таки высоких) сыновей, а низкие отцы имеют сыновей более высоких (но всё-таки довольно низких).

Линия регрессии

Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

x называется независимой переменной или предиктором.

Y - зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x , т.е. это «предсказанное значение y »

• a - свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y , когда x=0 (Рис.1).
• b - угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
• a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b .

Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия .

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Метод наименьших квадратов

Мы выполняем регрессионный анализ, используя выборку наблюдений, где a и b - выборочные оценки истинных (генеральных) параметров, α и β , которые определяют линию линейной регрессии в популяции (генеральной совокупности).

Наиболее простым методом определения коэффициентов a и b является метод наименьших квадратов (МНК).

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y - предсказанный y , Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

Предположения линейной регрессии

Итак, для каждой наблюдаемой величины остаток равен разнице и соответствующего предсказанного Каждый остаток может быть положительным или отрицательным.

Можно использовать остатки для проверки следующих предположений, лежащих в основе линейной регрессии:

• Остатки нормально распределены с нулевым средним значением;

Если допущения линейности, нормальности и/или постоянной дисперсии сомнительны, мы можем преобразовать или и рассчитать новую линию регрессии, для которой эти допущения удовлетворяются (например, использовать логарифмическое преобразование или др.).

Аномальные значения (выбросы) и точки влияния

"Влиятельное" наблюдение, если оно опущено, изменяет одну или больше оценок параметров модели (т.е. угловой коэффициент или свободный член).

Выброс (наблюдение, которое противоречит большинству значений в наборе данных) может быть "влиятельным" наблюдением и может хорошо обнаруживаться визуально, при осмотре двумерной диаграммы рассеяния или графика остатков.

И для выбросов, и для "влиятельных" наблюдений (точек) используют модели, как с их включением, так и без них, обращают внимание на изменение оценки (коэффициентов регрессии).

При проведении анализа не стоит отбрасывать выбросы или точки влияния автоматически, поскольку простое игнорирование может повлиять на полученные результаты. Всегда изучайте причины появления этих выбросов и анализируйте их.

Гипотеза линейной регрессии

При построении линейной регрессии проверяется нулевая гипотеза о том, что генеральный угловой коэффициент линии регрессии β равен нулю.

Если угловой коэффициент линии равен нулю, между и нет линейного соотношения: изменение не влияет на

Для тестирования нулевой гипотезы о том, что истинный угловой коэффициент равен нулю можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Вычислить статистику критерия, равную отношению , которая подчиняется распределению с степенями свободы, где стандартная ошибка коэффициента

,

- оценка дисперсии остатков.

Обычно если достигнутый уровень значимости нулевая гипотеза отклоняется.

где процентная точка распределения со степенями свободы что дает вероятность двустороннего критерия

Это тот интервал, который содержит генеральный угловой коэффициент с вероятностью 95%.

Для больших выборок, скажем, мы можем аппроксимировать значением 1,96 (то есть статистика критерия будет стремиться к нормальному распределению)

Оценка качества линейной регрессии: коэффициент детерминации R 2

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется , и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.

Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.

Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации , обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.

Разность представляет собой процент дисперсии который нельзя объяснить регрессией.

Нет формального теста для оценки мы вынуждены положиться на субъективное суждение, чтобы определить качество подгонки линии регрессии.

Применение линии регрессии для прогноза

Можно применять регрессионную линию для прогнозирования значения по значению в пределе наблюдаемого диапазона (никогда не экстраполируйте вне этих пределов).

Мы предсказываем среднюю величину для наблюдаемых, которые имеют определенное значение путем подстановки этого значения в уравнение линии регрессии.

Итак, если прогнозируем как Используем эту предсказанную величину и ее стандартную ошибку, чтобы оценить доверительный интервал для истинной средней величины в популяции.

Повторение этой процедуры для различных величин позволяет построить доверительные границы для этой линии. Это полоса или область, которая содержит истинную линию, например, с 95% доверительной вероятностью.

Простые регрессионные планы

Простые регрессионные планы содержат один непрерывный предиктор. Если существует 3 наблюдения со значениями предиктора P , например, 7, 4 и 9, а план включает эффект первого порядка P , то матрица плана X будет иметь вид

а регрессионное уравнение с использованием P для X1 выглядит как

Y = b0 + b1 P

Если простой регрессионный план содержит эффект высшего порядка для P , например квадратичный эффект, то значения в столбце X1 в матрице плана будут возведены во вторую степень:

а уравнение примет вид

Y = b0 + b1 P2

Сигма -ограниченные и сверхпараметризованные методы кодирования не применяются по отношению к простым регрессионным планам и другим планам, содержащим только непрерывные предикторы (поскольку, просто не существует категориальных предикторов). Независимо от выбранного метода кодирования, значения непрерывных переменных увеличиваются в соответствующей степени и используются как значения для переменных X . При этом перекодировка не выполняется. Кроме того, при описании регрессионных планов можно опустить рассмотрение матрицы плана X , а работать только с регрессионным уравнением.

Пример: простой регрессионный анализ

Этот пример использует данные, представленные в таблице:

Рис. 3. Таблица исходных данных.

Данные составлены на основе сравнения переписей 1960 и 1970 в произвольно выбранных 30 округах. Названия округов представлены в виде имен наблюдений. Информация относительно каждой переменной представлена ниже:

Рис. 4. Таблица спецификаций переменных.

Задача исследования

Для этого примера будут анализироваться корреляция уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, которые находятся за чертой бедности. Следовательно мы будем трактовать переменную 3 (Pt_Poor ) как зависимую переменную.

Можно выдвинуть гипотезу: изменение численности населения и процент семей, которые находятся за чертой бедности, связаны между собой. Кажется разумным ожидать, что бедность ведет к оттоку населения, следовательно, здесь будет отрицательная корреляция между процентом людей за чертой бедности и изменением численности населения. Следовательно мы будем трактовать переменную 1 (Pop_Chng ) как переменную-предиктор.

Просмотр результатов

Коэффициенты регрессии

Рис. 5. Коэффициенты регрессии Pt_Poor на Pop_Chng.

На пересечении строки Pop_Chng и столбца Парам. не стандартизованный коэффициент для регрессии Pt_Poor на Pop_Chng равен -0.40374 . Это означает, что для каждого уменьшения численности населения на единицу, имеется увеличение уровня бедности на.40374. Верхний и нижний (по умолчанию) 95% доверительные пределы для этого не стандартизованного коэффициента не включают ноль, так что коэффициент регрессии значим на уровне p<.05 . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на.65.

Распределение переменных

Коэффициенты корреляции могут стать существенно завышены или занижены, если в данных присутствуют большие выбросы. Изучим распределение зависимой переменной Pt_Poor по округам. Для этого построим гистограмму переменной Pt_Poor .

Рис. 6. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Как вы можете заметить, распределение этой переменной заметно отличается от нормального распределения. Тем не менее, хотя даже два округа (два правых столбца) имеют высокий процент семей, которые находятся за чертой бедности, чем ожидалось в случае нормального распределения, кажется, что они находятся "внутри диапазона."

Рис. 7. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Это суждение в некоторой степени субъективно. Эмпирическое правило гласит, что выбросы необходимо учитывать, если наблюдение (или наблюдения) не попадают в интервал (среднее ± 3 умноженное на стандартное отклонение). В этом случае стоит повторить анализ с выбросами и без, чтобы убедиться, что они не оказывают серьезного эффекта на корреляцию между членами совокупности.

Диаграмма рассеяния

Если одна из гипотез априори о взаимосвязи между заданными переменными, то ее полезно проверить на графике соответствующей диаграммы рассеяния.

Рис. 8. Диаграмма рассеяния.

Диаграмма рассеяния показывает явную отрицательную корреляцию (-.65 ) между двумя переменными. На ней также показан 95% доверительный интервал для линии регрессии, т.е., с 95% вероятностью линия регрессии проходит между двумя пунктирными кривыми.

Критерии значимости

Рис. 9. Таблица, содержащая критерии значимости.

Критерий для коэффициента регрессии Pop_Chng подтверждает, что Pop_Chng сильно связано с Pt_Poor , p<.001 .

Итог

На этом примере было показано, как проанализировать простой регрессионный план. Была также представлена интерпретация не стандартизованных и стандартизованных коэффициентов регрессии. Обсуждена важность изучения распределения откликов зависимой переменной, продемонстрирована техника определения направления и силы взаимосвязи между предиктором и зависимой переменной.

В статистическом моделировании регрессионный анализ представляет собой исследования, применяемые с целью оценки взаимосвязи между переменными. Этот математический метод включает в себя множество других методов для моделирования и анализа нескольких переменных, когда основное внимание уделяется взаимосвязи между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми. Говоря более конкретно, регрессионный анализ помогает понять, как меняется типичное значение зависимой переменной, если одна из независимых переменных изменяется, в то время как другие независимые переменные остаются фиксированными.

Во всех случаях целевая оценка является функцией независимых переменных и называется функцией регрессии. В регрессионном анализе также представляет интерес характеристика изменения зависимой переменной как функции регрессии, которая может быть описана с помощью распределения вероятностей.

Задачи регрессионного анализа

Данный статистический метод исследования широко используется для прогнозирования, где его использование имеет существенное преимущество, но иногда это может приводить к иллюзии или ложным отношениям, поэтому рекомендуется аккуратно его использовать в указанном вопросе, поскольку, например, корреляция не означает причинно-следственной связи.

Разработано большое число методов для проведения регрессионного анализа, такие как линейная и обычная регрессии по методу наименьших квадратов, которые являются параметрическими. Их суть в том, что функция регрессии определяется в терминах конечного числа неизвестных параметров, которые оцениваются из данных. Непараметрическая регрессия позволяет ее функции лежать в определенном наборе функций, которые могут быть бесконечномерными.

Как статистический метод исследования, регрессионный анализ на практике зависит от формы процесса генерации данных и от того, как он относится к регрессионному подходу. Так как истинная форма процесса данных, генерирующих, как правило, неизвестное число, регрессионный анализ данных часто зависит в некоторой степени от предположений об этом процессе. Эти предположения иногда проверяемы, если имеется достаточное количество доступных данных. Регрессионные модели часто бывают полезны даже тогда, когда предположения умеренно нарушены, хотя они не могут работать с максимальной эффективностью.

В более узком смысле регрессия может относиться конкретно к оценке непрерывных переменных отклика, в отличие от дискретных переменных отклика, используемых в классификации. Случай непрерывной выходной переменной также называют метрической регрессией, чтобы отличить его от связанных с этим проблем.

История

Самая ранняя форма регрессии - это всем известный метод наименьших квадратов. Он был опубликован Лежандром в 1805 году и Гауссом в 1809. Лежандр и Гаусс применили метод к задаче определения из астрономических наблюдений орбиты тел вокруг Солнца (в основном кометы, но позже и вновь открытые малые планеты). Гаусс опубликовал дальнейшее развитие теории наименьших квадратов в 1821 году, включая вариант теоремы Гаусса-Маркова.

Термин «регресс» придумал Фрэнсис Гальтон в XIX веке, чтобы описать биологическое явление. Суть была в том, что рост потомков от роста предков, как правило, регрессирует вниз к нормальному среднему. Для Гальтона регрессия имела только этот биологический смысл, но позже его работа была продолжена Удни Йолей и Карлом Пирсоном и выведена к более общему статистическому контексту. В работе Йоля и Пирсона совместное распределение переменных отклика и пояснительных считается гауссовым. Это предположение было отвергнуто Фишером в работах 1922 и 1925 годов. Фишер предположил, что условное распределение переменной отклика является гауссовым, но совместное распределение не должны быть таковым. В связи с этим предположение Фишера ближе к формулировке Гаусса 1821 года. До 1970 года иногда уходило до 24 часов, чтобы получить результат регрессионного анализа.

Методы регрессионного анализа продолжают оставаться областью активных исследований. В последние десятилетия новые методы были разработаны для надежной регрессии; регрессии с участием коррелирующих откликов; методы регрессии, вмещающие различные типы недостающих данных; непараметрической регрессии; байесовские методов регрессии; регрессии, в которых переменные прогнозирующих измеряются с ошибкой; регрессии с большей частью предикторов, чем наблюдений, а также причинно-следственных умозаключений с регрессией.

Регрессионные модели

Модели регрессионного анализа включают следующие переменные:

• Неизвестные параметры, обозначенные как бета, которые могут представлять собой скаляр или вектор.
• Независимые переменные, X.
• Зависимые переменные, Y.

В различных областях науки, где осуществляется применение регрессионного анализа, используются различные термины вместо зависимых и независимых переменных, но во всех случаях регрессионная модель относит Y к функции X и β.

Приближение обычно оформляется в виде E (Y | X) = F (X, β). Для проведения регрессионного анализа должен быть определен вид функции f. Реже она основана на знаниях о взаимосвязи между Y и X, которые не полагаются на данные. Если такое знание недоступно, то выбрана гибкая или удобная форма F.

Зависимая переменная Y

Предположим теперь, что вектор неизвестных параметров β имеет длину k. Для выполнения регрессионного анализа пользователь должен предоставить информацию о зависимой переменной Y:

• Если наблюдаются точки N данных вида (Y, X), где N < k, большинство классических подходов к регрессионному анализу не могут быть выполнены, так как система уравнений, определяющих модель регрессии в качестве недоопределенной, не имеет достаточного количества данных, чтобы восстановить β.

• Если наблюдаются ровно N = K, а функция F является линейной, то уравнение Y = F (X, β) можно решить точно, а не приблизительно. Это сводится к решению набора N-уравнений с N-неизвестными (элементы β), который имеет единственное решение до тех пор, пока X линейно независим. Если F является нелинейным, решение может не существовать, или может существовать много решений.
• Наиболее распространенной является ситуация, где наблюдается N > точки к данным. В этом случае имеется достаточно информации в данных, чтобы оценить уникальное значение для β, которое наилучшим образом соответствует данным, и модель регрессии, когда применение к данным можно рассматривать как переопределенную систему в β.

В последнем случае регрессионный анализ предоставляет инструменты для:

• Поиска решения для неизвестных параметров β, которые будут, например, минимизировать расстояние между измеренным и предсказанным значением Y.
• При определенных статистических предположениях, регрессионный анализ использует избыток информации для предоставления статистической информации о неизвестных параметрах β и предсказанные значения зависимой переменной Y.

Необходимое количество независимых измерений

Рассмотрим модель регрессии, которая имеет три неизвестных параметра: β 0 , β 1 и β 2 . Предположим, что экспериментатор выполняет 10 измерений в одном и том же значении независимой переменной вектора X. В этом случае регрессионный анализ не дает уникальный набор значений. Лучшее, что можно сделать, оценить среднее значение и стандартное отклонение зависимой переменной Y. Аналогичным образом измеряя два различных значениях X, можно получить достаточно данных для регрессии с двумя неизвестными, но не для трех и более неизвестных.

Если измерения экспериментатора проводились при трех различных значениях независимой переменной вектора X, то регрессионный анализ обеспечит уникальный набор оценок для трех неизвестных параметров в β.

В случае общей линейной регрессии приведенное выше утверждение эквивалентно требованию, что матрица X Т X обратима.

Статистические допущения

Когда число измерений N больше, чем число неизвестных параметров k и погрешности измерений ε i , то, как правило, распространяется затем избыток информации, содержащейся в измерениях, и используется для статистических прогнозов относительно неизвестных параметров. Этот избыток информации называется степенью свободы регрессии.

Основополагающие допущения

Классические предположения для регрессионного анализа включают в себя:

• Выборка является представителем прогнозирования логического вывода.
• Ошибка является случайной величиной со средним значением нуля, который является условным на объясняющих переменных.
• Независимые переменные измеряются без ошибок.
• В качестве независимых переменных (предикторов) они линейно независимы, то есть не представляется возможным выразить любой предсказатель в виде линейной комбинации остальных.
• Ошибки являются некоррелированными, то есть ковариационная матрица ошибок диагоналей и каждый ненулевой элемент являются дисперсией ошибки.
• Дисперсия ошибки постоянна по наблюдениям (гомоскедастичности). Если нет, то можно использовать метод взвешенных наименьших квадратов или другие методы.

Эти достаточные условия для оценки наименьших квадратов обладают требуемыми свойствами, в частности эти предположения означают, что оценки параметров будут объективными, последовательными и эффективными, в особенности при их учете в классе линейных оценок. Важно отметить, что фактические данные редко удовлетворяют условиям. То есть метод используется, даже если предположения не верны. Вариация из предположений иногда может быть использована в качестве меры, показывающей, насколько эта модель является полезной. Многие из этих допущений могут быть смягчены в более продвинутых методах. Отчеты статистического анализа, как правило, включают в себя анализ тестов по данным выборки и методологии для полезности модели.

Кроме того, переменные в некоторых случаях ссылаются на значения, измеренные в точечных местах. Там могут быть пространственные тенденции и пространственные автокорреляции в переменных, нарушающие статистические предположения. Географическая взвешенная регрессия - единственный метод, который имеет дело с такими данными.

В линейной регрессии особенностью является то, что зависимая переменная, которой является Y i , представляет собой линейную комбинацию параметров. Например, в простой линейной регрессии для моделирования n-точек используется одна независимая переменная, x i , и два параметра, β 0 и β 1 .

При множественной линейной регрессии существует несколько независимых переменных или их функций.

При случайной выборке из популяции ее параметры позволяют получить образец модели линейной регрессии.

В данном аспекте популярнейшим является метод наименьших квадратов. С помощью него получают оценки параметров, которые минимизируют сумму квадратов остатков. Такого рода минимизация (что характерно именно линейной регрессии) этой функции приводит к набору нормальных уравнений и набору линейных уравнений с параметрами, которые решаются с получением оценок параметров.

При дальнейшем предположении, что ошибка популяции обычно распространяется, исследователь может использовать эти оценки стандартных ошибок для создания доверительных интервалов и проведения проверки гипотез о ее параметрах.

Нелинейный регрессионный анализ

Пример, когда функция не является линейной относительно параметров, указывает на то, что сумма квадратов должна быть сведена к минимуму с помощью итерационной процедуры. Это вносит много осложнений, которые определяют различия между линейными и нелинейными методами наименьших квадратов. Следовательно, и результаты регрессионного анализа при использовании нелинейного метода порой непредсказуемы.

Расчет мощности и объема выборки

Здесь, как правило, нет согласованных методов, касающихся числа наблюдений по сравнению с числом независимых переменных в модели. Первое правило было предложено Доброй и Хардином и выглядит как N = t^n, где N является размер выборки, n - число независимых переменных, а t есть числом наблюдений, необходимых для достижения желаемой точности, если модель имела только одну независимую переменную. Например, исследователь строит модель линейной регрессии с использованием набора данных, который содержит 1000 пациентов (N). Если исследователь решает, что необходимо пять наблюдений, чтобы точно определить прямую (м), то максимальное число независимых переменных, которые модель может поддерживать, равно 4.

Другие методы

Несмотря на то что параметры регрессионной модели, как правило, оцениваются с использованием метода наименьших квадратов, существуют и другие методы, которые используются гораздо реже. К примеру, это следующие методы:

• Байесовские методы (например, байесовский метод линейной регрессии).
• Процентная регрессия, использующаяся для ситуаций, когда снижение процентных ошибок считается более целесообразным.
• Наименьшие абсолютные отклонения, что является более устойчивым в присутствии выбросов, приводящих к квантильной регрессии.
• Непараметрическая регрессия, требующая большого количества наблюдений и вычислений.
• Расстояние метрики обучения, которая изучается в поисках значимого расстояния метрики в заданном входном пространстве.

Программное обеспечение

Все основные статистические пакеты программного обеспечения выполняются с помощью наименьших квадратов регрессионного анализа. Простая линейная регрессия и множественный регрессионный анализ могут быть использованы в некоторых приложениях электронных таблиц, а также на некоторых калькуляторах. Хотя многие статистические пакеты программного обеспечения могут выполнять различные типы непараметрической и надежной регрессии, эти методы менее стандартизированы; различные программные пакеты реализуют различные методы. Специализированное регрессионное программное обеспечение было разработано для использования в таких областях как анализ обследования и нейровизуализации.

Современная политическая наука исходит из положения о взаимосвязи всех явлений и процессов в обществе. Невозможно понимание событий и процессов, прогнозирование и управление явлениями политической жизни без изучения связей и зависимостей, существующих в политической сфере жизнедеятельности общества. Одна из наиболее распространенных задач политического исследования состоит в изучении связи между некоторыми наблюдаемыми переменными. Помогает решить эту задачу целый класс статистических приемов анализа, объединенных общим названием «регрессионный анализ» (или, как его еще называют, «корреляционно-регрессионный анализ»). Однако если корреляционный анализ позволяет оценить силу связи между двумя переменными, то с помощью регрессионного анализа можно определить вид этой связи, прогнозировать зависимость значения какой-либо переменной от значения другой переменной.

Для начала вспомним, что такое корреляция. Корреляционным называют важнейший частный случай статистической связи, состоящий в том, что равным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения признака х закономерным образом изменяется среднее значение признака у, в то время как в каждом отдельном случае значение признака у (с различными вероятностями) может принимать множество различных значений.

Появление в статистике термина «корреляция» (а политология привлекает для решения своих задач достижения статистики, которая, таким образом, является смежной политологии дисциплиной) связано с именем английского биолога и статистика Френсиса Галь- тона, предложившего в XIX в. теоретические основы корреляционно- регрессионного анализа. Термин «корреляция» в науке был известен и ранее. В частности, в палеонтологии еще в XVIII в. его применил французский ученый Жорж Кювье. Он ввел так называемый закон корреляции, при помощи которого по найденным в ходе раскопок останкам животных можно было восстановить их облик.

Известна история, связанная с именем этого ученого и его законом корреляции. Так, в дни университетского праздника студенты, решившие подшутить над известным профессором, натянули на одного студента козлиную шкуру с рогами и копытами. Тот залез в окно спальни Кювье и закричал: «Я тебя съем». Профессор проснулся, посмотрел на силуэт и ответил: «Если у тебя есть рога и копыта, то ты - травоядное животное и съесть меня не можешь. А за незнание закона корреляции получишь двойку». Повернулся на другой бок и уснул. Шутка шуткой, но на этом примере мы наблюдаем частный случай применения множественного корреляционно-регрессионного анализа. Здесь профессор, исходя из знания значений двух наблюдаемых признаков (наличие рогов и копыт), на основании закона корреляции вывел среднее значение третьего признака (класс, к которому относится данное животное - травоядное). В данном случае речь не идет о конкретном значении этой переменной (т.е. данное животное могло принимать различные значения по номинальной шкале - это мог быть и козел, и баран, и бык...).

Теперь перейдем к термину «регрессия». Собственно говоря, он не связан со смыслом тех статистических задач, которые решаются при помощи этого метода. Объяснение термину можно дать только исходя из знания истории развития методов изучения связей между признаками. Одним из первых примеров исследований такого рода была работа статистиков Ф. Гальтона и К. Пирсона, пытавшихся обнаружить закономерность между ростом отцов и их детей по двум наблюдаемым признакам (где X- рост отцов и У- рост детей). В ходе своего исследования они подтвердили начальную гипотезу о том, что в среднем у высоких отцов вырастают в среднем высокие дети. Этот же принцип действует в отношении низких отцов и детей. Однако если бы ученые на этом остановились, то их труды никогда не упоминались бы в учебниках по статистике. Исследователи обнаружили еще одну закономерность в рамках уже упоминавшейся подтвержденной гипотезы. Они доказали, что у очень высоких отцов рождаются в среднем высокие дети, но не сильно отличающиеся ростом от детей, чьи отцы хоть и выше среднего, но не сильно отличаются от средневысокого роста. То же и у отцов с очень маленьким ростом (отклоняющимся от средних показателей низкорослой группы) - их дети в среднем не отличались по росту от сверстников, чьи отцы были просто невысокими. Функцию, описывающую эту закономерность, они и назвали функцией регрессии. После этого исследования все уравнения, описывающие подобные функции и построенные сходным образом, стали именовать уравнениями регрессии.

Регрессионный анализ - один из методов многомерного статистического анализа данных, объединяющий совокупность статистических приемов, предназначенных для изучения или моделирования связей между одной зависимой и несколькими (или одной) независимыми переменными. Зависимая переменная по принятой в статистике традиции называется откликом и обозначается как V Независимые переменные называются предикторами и обозначаются как X. В ходе анализа некоторые переменные окажутся слабо связанными с откликом и будут в конечном счете исключены из анализа. Оставшиеся переменные, связанные с зависимой, могут именоваться еще факторами.

Регрессионный анализ дает возможность предсказать значения одной или нескольких переменных в зависимости от другой переменной (например, склонность к неконвенциональному политическому поведению в зависимости от уровня образования) или нескольких переменных. Рассчитывается он на PC. Для составления регрессионного уравнения, позволяющего измерить степень зависимости контролируемого признака от факторных, необходимо привлечь профессиональных математиков-программистов. Регрессионный анализ может оказать неоценимую услугу при построении прогностических моделей развития политической ситуации, оценке причин социальной напряженности, при проведении теоретических экспериментов. Регрессионный анализ активно используется для изучения влияния на электоральное поведение граждан ряда социально-демографических параметров: пола, возраста, профессии, места проживания, национальности, уровня и характера доходов.

Применительно к регрессионному анализу используют понятия независимой и зависимой переменных. Независимой называют переменную, которая объясняет или служит причиной изменения другой переменной. Зависимой называют переменную, значение которой объясняют воздействием первой переменной. Например, на президентских выборах в 2004 г. определяющими факторами, т.е. независимыми переменными, выступили такие показатели, как стабилизация материального положения населения страны, уровень известности кандидатов и фактор incumbency. В качестве зависимой переменной в данном случае можно считать процент голосов, поданных за кандидатов. Аналогично в паре переменных «возраст избирателя» и «уровень электоральной активности» независимой является первая, зависимой - вторая.

Регрессионный анализ позволяет решать следующие задачи:

• 1) установить сам факт наличия или отсутствия статистически значимой связи между Ки X;
• 2) построить наилучшие (в статистическом смысле) оценки функции регрессии;
• 3) по заданным значениям X построить прогноз для неизвестного У
• 4) оценить удельный вес влияния каждого фактора X на У и соответственно исключить из модели несущественные признаки;
• 5) посредством выявления причинных связей между переменными частично управлять значениями Рпутем регулирования величин объясняющих переменных X.

Регрессионный анализ связан с необходимостью выбора взаимно независимых переменных, влияющих на значение исследуемого показателя, определения формы уравнения регрессии, оценки параметров при помощи статистических методов обработки первичных социологических данных. В основе этого вида анализа лежит представление о форме, направлении и тесноте (плотности) взаимосвязи. Различают парную и множественную регрессию в зависимости от количества исследуемых признаков. На практике регрессионный анализ обычно выполняется совместно с корреляционным. Уравнение регрессии описывает числовое соотношение между величинами, выраженное в виде тенденции к возрастанию или убыванию одной переменной величины при возрастании или убывании другой. При этом ра зл и ч а ют л инейную и нелинейную регрессии. При описании политических процессов в равной степени обнаруживаются оба варианта регрессии.

Диаграмма рассеяния для распределения взаимозависимости интереса к статьям на политические темы (У) и образования респондентов (X) представляет собой линейную регрессию (рис. 30).

Рис. 30.

Диаграмма рассеяния для распределения уровня электоральной активности (У) и возраста респондента (А) (условный пример) представляет собой нелинейную регрессию (рис. 31).

Рис. 31.

Для описания взаимосвязи двух признаков (А"и У) в модели парной регрессии используют линейное уравнение

где а, - случайная величина погрешности уравнения при вариации признаков, т.е. отклонение уравнения от «линейности».

Для оценки коэффициентов а и b используют метод наименьших квадратов, предполагающий, что сумма квадратов отклонений каждой точки на диаграмме разброса от линии регрессии должна быть минимальной. Коэффициенты а ч Ь могут быть вычислены при помощи системы уравнений:

Метод оценки наименьших квадратов дает такие оценки коэффициентов а и Ь, при которых прямая проходит через точку с координатами х и у, т.е. имеет место соотношение у = ах + Ь. Графическое изображение уравнения регрессии называется теоретической линией регрессии. При линейной зависимости коэффициент регрессии представляет на графике тангенс угла наклона теоретической линии регрессии к оси абсцисс. Знак при коэффициенте показывает направление связи. Если он больше нуля, то связь прямая, если меньше - обратная.

В приведенном ниже примере из исследования «Политический Петербург-2006» (табл. 56) показана линейная взаимосвязь представлений граждан о степени удовлетворенности своей жизнью в настоящем и ожиданиями изменений качества жизни в будущем. Связь прямая, линейная (стандартизованный коэффициент регрессии равен 0,233, уровень значимости - 0,000). В данном случае коэффициент регрессии невысокий, однако он превышает нижнюю границу статистически значимого показателя (нижнюю границу квадрата статистически значимого показателя коэффициента Пирсона).

Таблица 56

Влияние качества жизни горожан в настоящем на ожидания

(Санкт-Петербург, 2006 г.)

* Зависимая переменная: «Как Вы думаете, как изменится Ваша жизнь в ближайшие 2-3 года?»

В политической жизни значение изучаемой переменной чаше всего одновременно зависит от нескольких признаков. Например, на уровень и характер политической активности одновременно оказывают влияние политический режим государства, политические традиции, особенности политического поведения людей данного района и социальная микрогруппа респондента, его возраст, образование, уровень дохода, политическая ориентация и т.д. В этом случае необходимо воспользоваться уравнением множественной регрессии , которое имеет следующий вид:

где коэффициент Ь. - частный коэффициент регрессии. Он показывает вклад каждой независимой переменной в определение значений независимой (результирующей) переменной. Если частный коэффициент регрессии близок к 0, то можно сделать вывод, что непосредственной связи между независимыми и зависимой переменными нет.

Расчет подобной модели можно выполнить на PC, прибегнув к помоши матричной алгебры. Множественная регрессия позволяет отразить многофакторность социальных связей и уточнить меру воздействия каждого фактора в отдельности и всех вместе на результирующий признак.

Коэффициент, обозначаемый Ь, называется коэффициентом линейной регрессии и показывает силу связи между вариацией факторного признака X и вариацией результативного признака Y Данный коэффициент измеряет силу связи в абсолютных единицах измерения признаков. Однако теснота корреляционной связи признаков может быть выражена и в долях среднего квадратического отклонения результативного признака (такой коэффициент называется коэффициентом корреляции). В отличие от коэффициента регрессии b коэффициент корреляции не зависит от принятых единиц измерения признаков, а стало быть, он сравним для любых признаков. Обычно считают связь сильной, если / > 0,7, средней тесноты - при 0,5 г 0,5.

Как известно, максимально тесная связь - это связь функциональная, когда каждое индивидуальное значение Y может быть однозначно поставлено в соответствие значению X. Таким образом, чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем ближе связь к функциональной. Уровень значимости для регрессионного анализа не должен превышать 0,001.

Коэффициент корреляции долгое время рассматривался как основной показатель тесноты связи признаков. Однако позднее таким показателем стал коэффициент детерминации. Смысл этого коэффициента в следующем - он отражает долю общей дисперсии результирующего признака У , объясняемую дисперсией признака X. Находится он простым возведением в квадрат коэффициента корреляции (изменяющегося от 0 до 1) и в свою очередь для линейной связи отражает долю от 0 (0%) до 1 (100%) значений признака Y, определяемую значениями признака X. Записывается он как I 2 , а в результирующих таблицах регрессионного анализа в пакете SPSS - без квадрата.

Обозначим основные проблемы построения уравнения множественной регрессии.

• 1. Выбор факторов, включаемых в уравнение регрессии. На этой стадии исследователь сначала составляет общий список основных причин, которые согласно теории обусловливают изучаемое явление. Затем он должен отобрать признаки в уравнение регрессии. Основное правило отбора: факторы, включаемые в анализ, должны как можно меньше коррелировать друг с другом; только в этом случае можно приписать количественную меру воздействия определенному фактору-признаку.
• 2. Выбор формы уравнения множественной регрессии (на практике чаще пользуются линейной или линейно-логарифмической). Итак, для использования множественной регрессии исследователь сначала должен построить гипотетическую модель влияния нескольких независимых переменных на результирующую. Чтобы полученные результаты были достоверны, необходимо, чтобы модель точно соответствовала реальному процессу, т.е. связь между переменными должна быть линейной, нельзя проигнорировать ни одну значимую независимую переменную, точно так же нельзя включать в анализ ни одну переменную, не имеющую прямого отношения к изучаемому процессу. Кроме того, все измерения переменных должны быть предельно точными.

Из приведенного описания вытекает ряд условий применения этого метода, без соблюдения которых нельзя приступить к самой процедуре множественого регрессионного анализа (МРА). Только соблюдение всех из нижеперечисленных пунктов позволяет корректно осуществлять регрессионный анализ.