Отображения множеств. Функции Отображение множеств общие понятия функции основные определения

Соответствие между множествами А и В называется подмножество их декартова произведения

Иными словами, пары задают соответствие между множествами А={ } и В={ }, если указано правило R, по которому для элемента множества А выбирается элемент из множества В.

Если элементу поставлен в соответствие некоторый элемент , b называется образом элемента а и записывается так: b= R (a). Тогда - прообраз элемента , который обладает свойствами единственности и полноты:

1. Каждому прообразу соответствует единственный образ;

2. Образ должен быть полным, так же как полным должен быть и прообраз.

Пример. Если А – множество парабол, В – множество точек плоскости, а R – соответствие “вершина параболы”, то R (а) – точка, являющая вершиной параболы a, а состоит из всех парабол с вершиной в точке b (рис. 6)

Образ множества А при соответствии R называется множеством значений этого соответствия и обозначается R (A), если R (A) состоит из образов всех элементов множества А.

Прообраз множества В при некотором соответствии R называют областью определения этого соответствия и обозначают . В свою очередь является обратным соответствием для R.

Так, для соответствия R, заданного точками координатной плоскости, областью определения является множество точек оси абсцисс, а множеством значений – проекции точек на ось ординат (рис.7). Поэтому для некоторой точки

М (х, у) у является образом, а х – прообразом при некотором соответствии R: У=R (x), Соответствие между множествами Х, удобно в виде точки на плоскости с помощью метода декартовых координат.

Пусть задано соответствие R и Y=R (X). Ему соответствуют точки М с координатами (х; у) (рис. 7). Тогда множество точек плоскости, выделяемое отображением R, будет графиком.

Для описания соответствий между множествами используют понятие отображение (функции) одного множества на другое.

Для задания отображения необходимо указать:

1. Множество, которое отображается (область определения данного отображения, часто обозначаются );

2. Множество, в (на) которое отображается данная область определения (множество значений этого отображения, часто обозначается );

3. Закон или соответствие между этими множествами, по которому для элементов первого множества (прообразов, аргументов) выбраны элементы (образы) из второго множества.

Обозначения: .

Способы задания отображений: аналитический (в виде формул), табличный , графический (диаграммы или графы).

Различают два основных вида однозначных отображений (функций). По мощности они делятся на сюръективные и инъективные .

1. Соответствие, при котором каждому элементу множества А указан единственный элемент множества В, а каждому элементу множества В можно указать хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества А на множество В (сюръекция).

2. Соответствие, при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, а каждому элементу В соответствует не более одного прообраза из А, называется отображением множества А во множество В (инъекция).

Отображение множества А на множество В, при котором каждому элементу множества В соответствует единственный элемент множества А, называется взаимно – однозначным соответствием между двумя множествами, или биекцией .инъекцией и сюръекцией .

Элементы теории множеств

Понятие множества

В математике встречаются самые разнообразные множества . Можно говорить о множестве граней многогранника, точек на прямой, множестве натуральных чисел и т.д. Понятие множества относится к числу первоначальных понятий, которые не определяются через другие, более простые. Вместо слова ""множество"" иногда говорят ""совокупность"", ""собрание"" предметов и т.д. Предметы, составляющие данное множество, называются элементами данного множества.

Теория множеств посвящена в основном изучению именно бесконечных множеств . Теория конечных множеств называется иногда комбинаторикой .

Но простейшие свойства множеств, те, о которых мы только и будем здесь говорить, в большинстве случаев в равной мере относятся как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Заметим, что в математике допускается к рассмотрению множество, не содержащее элементов – пустое множество. Запись а Î Х означает, что а есть элемент множества Х.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А.

Каждый отдельный элемент множества А образует подмножество, состоящего из этого одного элемента. Кроме того, пустое множество является подмножеством всякого множества.

Подмножество множества А называется несобственным , если оно совпадает с множеством А.

Если множество В есть подмножество множества А, то говорим, что В содержится в А и обозначаем В Í А. Подмножество В множества А называется собственным подмножеством, если В не пусто и не совпадает с А (т.е. имеется элемент множества А, не содержащийся в В).

Операции над множествами

Пусть А и В – произвольные множества.

Определение. Объединением двух множеств А и В называется множество С = АÈВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. (см. рис. 1).

Аналогично определяется объединение любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если А i – произвольные множества, то их объединение есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А i .

Рис.1 Рис.2

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С = АÇВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В (см. рис. 2). Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств А i называется множество элементов, принадлежащих каждому из множеств А i .

Операции объединения и пересечения множеств по определению коммутативны и ассоциативны, т.е.

АÈВ = В È А, (А ÈВ) ÈС = А È (В È С),

А Ç В = В Ç А, (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С).

Кроме того, они взаимно дистрибутивны:

(А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С), (1)

(А Ç В) È С = (А È С) Ç (В È С). (2)

Определение. Разностью множеств А и В называется множество тех элементов из А, которые не содержатся в В (рис. 3 ).

Понятие функции. Отображение множеств

Пусть X и Y – два произвольных множества.

Определение. Говорят, что на X определена функция f , принимающая значение из Y, если каждому элементу x Î X поставлен в соответствие один и только один элемент y Î Y. При этом множество X называется областью определения данной функции, а множество Y – её областью значений .

Для множеств произвольной природы вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое.

Если а элемент из X, то соответствующий ему элемент b = f (а ) из Y называется образом а при отображении f . Совокупность всех тех элементов а из X, образом которых является данный элемент b Î Y, называется прообразом (или точнее полным прообразом ) элемента b и обозначается f –1 (b ).

Пусть А – некоторое множество из X; совокупность {f (а ): а Î А} всех элементов вида f (а ), где а Î А, называется образом А и обозначается f (А). В свою очередь для каждого множества В из Y определяется его полный прообраз f –1 (В), а именно: f –1 (В) есть совокупность всех тех элементов из X, образы которых принадлежат В.

Определение. Будем говорить, что f есть отображение множества X на множество Y, если f (X) = Y; такое отображение называют сюръекцией . В общем случае, т.е. когда f (X) Ì Y, говорят, что f есть отображение в Y. Если для любых двух различных элементов х 1 и х 2 из X их образы y 1 = f (x 1) и y 2 = f (x 2) также различны, то f называется инъекцией. Отображение f : X®Y, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется взаимно однозначным соответствием междуX и Y.

Рассмотрим еще один важный частный случай общего понятия соответствия - отображения множеств. При соответствии R между множествами Х и Y образ элемента а Х может оказаться пустым, а может содержать и несколько элементов.

Отношение между элементами множеств Х и Y называется отображением Х в Y , если каждому элементу х из множества Х соответствует только один элемент множества Y . Этот элемент называют образом элемента х при данном отображении: f(x). На графе такого отображения из каждой точки множества Х будет выходить только одна стрелка (рис. 29).

Рассмотрим следующий пример. Пусть Х - множество студентов в аудитории, а Y - множество стульев в той же аудитории. Соответствие «студент х сидит на стуле у » задает отображение Х в Y . Образом студента х является стул.

Пусть Х = Y = N - множество натуральных чисел. Соответствие «десятичная запись числа х состоит из у цифр» определяет отображение N в N . При этом отображении числу 39 соответствует число 2, а числу 45981 - число 5(39 - двузначное число, 45981 - пятизначное).

Пусть Х - множество четырехугольников, Y - множество окружностей. Соответствие «четырехугольник х вписан в окружность у » не является отображением Х в Y , так как есть четырехугольники, которые нельзя вписать в окружность. Но в этом случае говорят, что получилось отображение из множества Х в множество Y .

Если отображение Х в Y таково, что каждый элемент y из множества
Y соответствует одному или нескольким элементам х из множества Х , то такое отображение называют отображением множества Х на множество Y .

Множество Х называют областью определения отображения f: XY, а множество Y - областью прибытия этого отображения. Часть области прибытия, состоящая из всех образов y из множества Y, называется множеством значений отображения f.

Если y=f(x), то х называют прообразом элемента у при отображении f . Множество всех прообразов элемента у называют его полным прообразом: f (y).

Отображения бывают следующих видов: инъективными, сюръективными и биективными.

Если полный прообраз каждого элемента yY содержит не более одного элемента (может быть и пустым), то такие отображения называют инъективными.

Отображения XY такие, что f(X)=Y , называют отображениями Х на все множество Y или сюръективными (из каждой точки множества Х выходит стрелка, а после изменения направления в каждой точке множества Х заканчивается) (рис. 31).

Если отображение инъективно и сюръективно, то его называют взаимно однозначным или биективным.

Отображение множества Х на множество называется биективным , если каждому элементу х Х соответствует единственный элемент yY, а каждый элемент yY соответствует только одному элементу х Х (рис. 32).

Биективные отображения порождают равномощные (эквивалентные) множества: X~Y.

Пример . Пусть - Х множество пальто в гардеробе, Y - множество крючков там же. Поставим в соответствие каждому пальто крючок, на котором оно висит. Это соответствие является отображением Х в Y. Оно инъективно, если ни на одном крючке не висит более одного пальто или некоторые крючки свободны. Данное отображение сюръективно, если все крючки заняты или на некоторых висят несколько пальто. Оно будет биективным, если на каждом крючке висит только одно пальто.

Сюръекция, инъекция и биекция

Правило, задающее отображение f: X (или функцию /), можно условно изобразить стрелками (рис. 2.1). Бели в множестве У есть хотя бы один элемент) на который не указывает ни одна из стрелок, то это свидетельствует о том, что область значений функции f не заполняет все множество У, т.е. f(X) С У.

Если же область значений / совпадает с У, т.е. f{X) = У, то такую функцию называют сюръективной} или короче - сюръекцией, и говорят, что функция / отображает множество X на множество У (в отличие от общего случая отображения множества X в множество У согласно определению 2.1). Итак, / : X есть сюръекция, если Vy 6 У Зх € X: /(х) = у. На рисунке в таком случае к каждому элементу множества У ведет хотя бы одна стрелка (рис. 2.2). При этом к некоторым элементам из У могут вести несколько стрелок. Если к любому элементу у € У ведет не более одной стрелки, то / называют инъективной функцией, или инъекцией. Эта функция не обязательно сюръективна, т.е. стрелки ведут не ко всем элементам множества У (рис. 2.3).

• Итак, функция /: X -У У представляет собой инъекцию, если два любых различных элемента из X имеют своими образами при отображении / два различных элемента из У, или Vy £ f{X) С У 3хеХ: f{x) = y. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Отображение /: X->У именуют биективным, или би-екцией, если каждый элемент у 6 У является образом некоторого и призом единственного элемента из X, т.е. Vy € f(X) = У Э!х € X: f(x) = у.

По сути, функция / в этом случае устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X и У, и потому ее часто называют взаимно однозначной функцией. Очевидно, что функция / биективна тогда и только тогда, когда она одновременно инъективна и сюръективна. В этом случае стрелки (рис. 2.4) соединяют попарно каждый элемент из X с каждым элементом из У. При этом никакие два элемента из X не могут быть соединены стрелкой с одним и тем же элементом из У, ибо / инъективна, и никакие два элемента из У не могут быть соединены стрелками с одним и тем же элементом из X из-за требования единственности образа в определении 2.1 отображения. Каждый элемент из X участвует в попарном соединении, поскольку X - область определения функции /. Наконец, каждый элемент из У тоже участвует в одной из пар, ибо / сюръективна. Роли X и У в этом случае как бы совершенно одинаковы, и если повернуть все стрелки вспять (рис. 2.5), то получим иное отображение или иную функцию д), которое тоже и инъективно, в сюръективно. Отображения (функции), допускающие такое обращение, будут играть большую роль в дальнейшем.

В частном случае множества X и У могут совпадать (X = У). Тогда биективная функция будет осуществлять отображение множества X на себл. Биекцию множества на себя называют также пре-образов анием. 2.3. Обратное отображение Пусть /: X -? У - некоторая биекция и пусть у € У. Обозначим через /_1(у) единственный элемент х€Х, такой, что /(г) = у. Тем самым мы определим некоторое отображение 9: Y Xу которое является снова биекцией. Ее называют обратным отображением, или обратной биекцией к /. Часто ее также называют просто обратной функцией и обозначают /"*. На рис. 2.5 функция д как раз и является обратной к /, т.е. д = f"1.

Примеры решения в задачах

Отображения (функции) / и являются взаимно обратными. Ясно, что>если функция не является биекцией, то обратной к ней функции не существует. Действительно, если / не инъек-тивна, то некоторому элементу у € У могут соответствовать несколько элементов х из множества X, что противоречит определению функции. Если же / не сюръективна, то в У найдутся элементы, для которых в X нет прообразов, т.е. для этих элементов обратная функция не определена. Пример 2.1. а. Пусть X = У = R - ^комсество действительных чисел. Функция /, определяемая формулой у = За - 2, я,у € R, является биекцией. Обратной функцией будет х = (у + 2)/3. б. Действительная функция f(x) = х2 действительного переменного х не является сюръективной, поскольку отрицаг тельные числа из У = R не являются образами элементов из Х=К при /: ЛГ->У. Пример 2.2. Пусть Л" = R, а У = R+ - множество положительных действительных чисел. Функция f(x) = ах, а > 0, аф 1, является биекцией. Обратной функцией будет Z"1 (У) = 1°8а У

• Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение. Композиция отображений произведение множеств. График отображения. 2.4. Композиция отображений Если f:X-*Y и g:Y-*Zy то отображение (р:Х -+Z, заданное для каждого а: 6 А" формулой =, именуют композицией (суперпозицией) отображений (функций) / и д> или сложной функцией, и обозначают ро/ (рис. 2.6).
• Таким образом, сложная функция до f реализует правило: я Применяй сначала /, а затем ди, т.е. в композиции операций «до/ надо начинать с операции /, расположенной справа. Отметим, что композиция Рис. 2.6 отображений ассоциативна, т.е.если /: X -+Y , д: Y Z и h: Z-*H> то тогда (hog)of = = ho(gof)i что проще записывают в виде ho до /. Проверим это следующим образом: На любом wK«oaicecmee X определено отображение 1х -X X, называемое тождественным, обозначаемое часто также idx и задаваемое формулой Ix(x) = x Vx € А". Его -действие состоит в том, что оно оставляет все на своих местах.

Так, если является биекцией, обратной к биекции /: Х-+У, то /"1о/ = /х, а /о/-1 = /у, где и /у - тождественные отображения множеств X и У соответственно. Обратно, если отображения f: X ->Y и р: У Л" таковы, что gof = Ix и fog = /у, то функция / является биекцией, а у - ее обратной биекцией. Очевидно, что если / - биекция Л" на У, а $ - биекция У на Z, то gof является биекцией X на Z, а будет по отношению к ней обратной биекцией. 2.5. Произведение множеств. График отображения Напомним, что две взаимно перпендикулярные координатные оси с масштабом, одинаковым для обеих осей, задают на плоскости прямоугольную декартову систему координат (рис. 2.7). Точку О пересечения координатных осей называют начало* координат.

Каждой точке М можно поставить в соответствие пару (я, у) действительных чисел где х - координата точки Мх на ко-ординатной оси Ох, а у - координата точки Му на координатной оси Оу. Точки Мх и Му являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки М соответственно на оси Ох и Оу. Числа х и у называют координатами точки М (в выбранной системе координат), причем х называют абсциссой точки М, а у - ординатой этой точки. Очевидно, что каждой паре (а, Ь) действительных чисел а, 6 6R соответствует на плоскости точка М, имеющая эти числа своими координатами. И обратно, каждой точке М плоскости соответствует пара (а, 6) действительных чисел а и 6. В общем случае пары (а, Ь) и (6, а) определяют разные точки, т.е. существенно, какое из двух чисел а и b стоит в обозначении пары на первом месте. Таким образом, речь идет об упорядоченной паре. В связи с этим пары (а, 6) и (6, а) считают равными между собой, и они определяют одну и ту же точку на плоскости, если только а = 6. Сюръекция, инъекция и биекция. Обратное отображение.

Композиция отображений произведение множеств. График отображения. Множество всех пар действительных чисел, а также множество точек плоскости обозначают R2. Это обозначение связано с важным в теории множеств понятием прямого (или дек ар-това) произведения множеств (часто говорят просто о произведении множеств). Определение 2.2. Произведением множеств А и В называют множество Ах В возможных упорядоченных пар (ж, у), где первый элемент взят из А, а второй - из В, так что Равенство двух пар (х, у) и (&", у") определяют условиями х = х" и у = у7. Пары (я, у) и (у, х) считают различными, если хфу. Это особенно важно иметь в виду, когда множества А и В совпадают. Поэтому в общем случае А х В ф В х Л, т.е. произведение произвольных множеств не коммутативно, но оно дистрибутивно по отношению к объединению, пересечению и разности множеств: где обозначает одну из трех названных операций. Произведение множеств существенно отличается от указанных операций над двумя множествами. Результатом выполнения этих операций является множество, элементы которого (если оно не пустое) принадлежат одному или обоим исходным множествам. Элементы же произведения множеств принадлежат новому множеству и представляют собой объекты иного рода по сравнению с элементами исходных множеств. Аналогично определению 2.2

Можно ввести понятие произведения более чем двух множеств. Множества (А х В) х С и А*х (В х С) отождествляют и обозначают просто А х В х С, так что. Произведения Ах Ау Ах Ах А и т.д. обозначают, как правило, через А2 , А3 и т.д. Очевидно, плоскость R2 можно рассматривать как произведение R х R двух экземпляров множества действительных чисел (отсюда и происходит обозначение множества точек плоскости как произведения двух множеств точек числовой прямой). Множеству точек геометрического (трехмерного) пространства соответствует произведение R х R х R трех экземпляров множества точек числовой прямой, обозначаемое R3.

• Произведение п множеств действительных чисел обозначают Rn. Это множество представляет собой всевозможные наборы (xj, Х2, хп) из п действительных чисел Х2) хп £ R, а любая точка х* из Rn есть такой набор (xj, х, х*) действительных чисел хп € К*
• Произведение п произвольных множеств есть множество упорядоченных наборов из п (в общем случае разнородных) элементов. Для таких наборов употребляют названия кортеж или n-ка (произносят „энка"). Пример 2.3. Пусть А = { 1, 2} и В = {1, 2}. Тогда, и множество А х В можно отождествить с четырьмя точками плоскости R2, координаты которых указаны при перечислении элементов этого множества. Если С={ 1,2} и D={3,4}, то. Пример 2.4. Пусть Тогда Геометрическая интерпретация множеств Е х F и F х Е представлена на рис. 2.8. # Для отображения /: X можно составить множество упорядоченных пар (г, у), которое является подмножеством прямого произведения X х У.
• Такое множество называют графиком отображения f (или графиком функции я*»- Пример 2.5. В случае XCR и Y = К каждая упорядоченная пара задает координаты точки на плоскости R2. Если при этом X является промежутком числовой прямой R, то график функции может представлять некоторую линию (рис. 2.9). Пример 2.6. Ясно, что при XCR2 и У = R график функции есть некоторое множество точек в R3, которое может представлять некоторую поверхность (рис. 2.10).

Если же X С R, а У = R2, то график функции также есть множество точек в R3, которое может представлять некоторую линию, пересекаемую плоскостью х = const лишь в одной точке М с тремя координатами х} yi, у2 (рис. 2.11). # Все упомянутые примеры графиков функции являются важнейшими объектами математического анализа, и в дальнейшем они будут подробно рассмотрены.