Основные характеристики статистических данных. Точечные оценки параметров распределения. Числовые характеристики статистического ряда Определить статистические характеристики

Одна из основных задач статистики состоит в надлежащей обработке информации. Конечно, у статистики есть много других задач: получение и хранение информации, выработка различных прогнозов, оценка их достоверности и т. д. Но ни одна из этих целей не достижима без обработки данных. Поэтому, сперва необходимо выделить основные характеристики статистических данных.

Электронные таблицы Excel имеют огромный набор средств для анализа статистических данных. Наиболее часто используемые статистические функции встроены в основное ядро программы, то есть эти функции доступны с момента запуска программы. Другие более специализированные функции входят в дополнительную подпрограмму, называемую пакетом анализа. Команды и функции пакета анализа называют Инструментами анализа.

Рассмотрим основные характеристики выборочных данных.

Среднее значение.

С помощью среднего значения вычисляют выборочное (или генеральное) среднее, то есть среднее арифметическое значение признака выборочной (или генеральной) совокупности. В Excel среднее значение вычисляется так: =СУММ(F4:F60)/СЧЁТ(F4:F60). Также в Excel существует функция для его вычисления: СРЗНАЧ. Аргументом функции является набор чисел, как правило, задаваемый в виде интервала ячеек, например: =СРЗНАЧ (А3:А201).

Выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочной дисперсией значений случайной величины Х называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений этой величины от их среднего арифметического:

Дисперсия характеризует отклонение от средней в квадратных единицах измерения признака, поэтому используют такой показатель, как среднее квадратичное отклонение, который измеряется в тех же единицах, что и изучаемый признак.

Выборочное среднее квадратичное отклонение определяется формулой:

Excel имеются функции, отдельно вычисляющие выборочную дисперсию Dв стандартное отклонение в и генеральные дисперсию D г и стандартное отклонение г. Поэтому, прежде чем вычислять дисперсию и стандартное отклонение, следует четко определиться, являются ли ваши данные генеральной совокупностью или выборочной. В зависимости от этого нужно использовать для расчета D г и г, Dв и в .

Вычисление выборочной дисперсии Dв и выборочного стандартного отклонения в производится с помощью функций: = СУММ((4: 60 ? 28)^2)/ (СЧЁТ(4: 60)) и = КОРЕНЬ(29).

В Excel имеются функции ДИСП (или VAR) и СТАНДОТКЛОН (или STDEV).

Аргументом этих функций является набор чисел, как правило, заданный диапазоном ячеек, например, =ДИСП (В1:В48).

Для вычисления генеральной дисперсии D г и генерального стандартного отклонения г имеются функции ДИСПР (или VARP) и СТАНДОТКЛОНП (или STDEVP), соответственно.

Аргументы этих функций такие же, как и для выборочной дисперсии.

Объем совокупности.

Объем совокупности выборочной или генеральной - это число элементов совокупности. Функция СЧЕТ (или COUNT) определяет количество ячеек в заданном диапазоне, которые содержат числовые данные. Пустые ячейки или ячейки, содержащие текст, функция СЧЕТ пропускает. Аргументом функции СЧЕТ является интервал ячеек, например: =СЧЕТ (С2:С16).

Для определения количества непустых ячеек, независимо от их содержимого, используется функция СЧЕТ3. Ее аргументом является интервал ячеек.

Мода и медиана.

Мода (?) - это значение признака, которое чаще других встречается в совокупности данных. Она вычисляется функцией МОДА (или MODE). Ее аргументом является интервал ячеек с данными. Мода не вычисляется при исследовании НСВ.

Медиана (?) - это значение признака, которое разделяет совокупность на две равные по числу элементов части. Для вариационного ряда с нечётным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с чётным числом членов - полусумме двух серединных вариантов. Она вычисляется функцией МЕДИАНА (или MEDIAN). Ее аргументом является интервал ячеек.

Размах варьирования. Наибольшее и наименьшее значения.

Размах варьирования R - это разность между наибольшим x max и наименьшим xmin значениями признака совокупности (генеральной или выборочной): R =x max-x min.

Для нахождения наибольшего значения x max имеется функция МАКС (или MAX), а для наименьшего x min - функция МИН (или MIN). Их аргументом является интервал ячеек. Для того, чтобы вычислить размах варьирования данных в интервале ячеек, например, от А1 до А100, следует ввести формулу: =МАКС (А1:А100)-МИН (А1:А100).

Коэффициент вариации. Вычисляется как процентное соотношение выборочного среднего квадратичного отклонения к средней арифметической.

Если коэффициент вариации высок (более 35%), то выборочная совокупность считается неоднородной. Следовательно, использование среднего для её характеристики является неверным. В этом случае используют моду или медиану.

Для оценки отклонения распределения данных эксперимента от нормального распределения используются такие характеристики как асимметрия А и эксцесс Е .

Для нормального распределения А =0 и Е =0.

Асимметрия показывает, на сколько распределение данных несимметрично относительно нормального распределения: если А >0, то большая часть данных имеет значения, превышающие среднее; если А <0, то большая часть данных имеет значения, меньшие среднего. Асимметрия вычисляется функцией СКОС. Ее аргументом является интервал ячеек с данными, например, =СКОС (А1:А100).

Эксцесс оценивает «крутость», т.е. величину большего или меньшего подъема максимума распределения экспериментальных данных по сравнению с максимумом нормального распределения. Если Е >0, то максимум экспериментального распределения выше нормального; если Е <0, то максимум экспериментального распределения ниже нормального. Эксцесс вычисляется функцией ЭКСЦЕСС, аргументом которой являются числовые данные, заданные, как правило, в виде интервала ячеек, например: =ЭКСЦЕСС (А1:А100). [см. 5]

Получаем следующие вычисления (рисунок 14).

Рисунок 14 Вычисление основных характеристик

Получили следующие значения (рисунок 15).

Рисунок 15 Значения основных характеристик

Так как значение коэффициента вариации значительно превышает 35%, выборка является неоднородной и в качестве среднего значения используется медиана.

Лабораторная работа №9

Статистический анализ данных

Цель работы: научиться обрабатывать статистические данные в электронных таблицах с помощью встроенных функций; изучить возможности Пакета анализа в MS Excel 2010 и его некоторые инструменты: Генерация случайных чисел, Гистограмма, Описательная статистика.

Теоретическая часть

Очень часто для обработки данных, полученных в результате обследования большого числа объектов или явлений (статистических данных ), используются методы математической статистики.

Современная математическая статистика подразделяется на две обширные области: описательную и аналитическую статистику . Описательная статистика охватывает методы описания статистических данных, представления их в форме таблиц, распределений и пр.

Аналитическая статистика называется также теорией статистических выводов. Ее предметом является обработка данных, полученных в ходе эксперимента, и формулировка выводов, имеющих прикладное значение для самых различных областей человеческой деятельности

Полученный в результате обследования набор чисел называетсястатистической совокупностью.

Выборочной совокупностью (или выборкой ) называется совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которой производится выборка. Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называется число объектов этой совокупности.

Для статистической обработки результаты исследования объектов представляют в виде чисел x 1 , x 2 , …, x k . Если значение x 1 наблюдалось n 1 раз, значение x 2 наблюдалось n 2 раз, и т.д., то наблюдаемые значения x i называются вариантами , а числа их повторений n i называются частотами . Процедура подсчета частот называется группировкой данных.

Объем выборки n равен сумме всех частот n i :

Относительной частотой значения x i называется отношение частоты этого значения n i к объему выборки n :

Статистическим распределением частот (или просто распределением частот ) называется перечень вариант и соответствующих им частот, записанных в виде таблицы:

			…
			…

Распределением относительных частот называется перечень вариант и соответствующих им относительных частот.

Основные статистические характеристики.

Современные электронные таблицы имеют огромный набор средств для анализа статистических данных. Наиболее часто используемые статистические функции встраиваются в основное ядро программы, то есть эти функции доступны с момента запуска программы. Другие более специализированные функции входят в дополнительные подпрограммы. В частности, в Excel, такая подпрограмма называется Пакетом анализа. Команды и функции пакета анализа называют Инструментами анализа. Мы ограничимся изучением нескольких основных встроенных статистических функций и наиболее полезных инструментов анализа из пакета анализа в электронной таблице Excel.

Среднее значение.

Функция СРЗНАЧ вычисляет выборочное (или генеральное) среднее, то есть среднее арифметическое значение признака выборочной (или генеральной) совокупности. Аргументом функции СРЗНАЧ является набор чисел, как правило, задаваемый в виде интервала ячеек, например, =СРЗНАЧ (А3:А201).

Рассматривая основные статистические характеристики ряда, оценивают центральную тенденцию выборки и колеблемость, или вариацию. Центральную тенденцию выборки позво­ляют оценить такие статистические характеристики, как среднее арифметическое значение, мода, медиана. Средняя величина характеризует групповые свойства, является центром распределения, занимает центральное положение в общей массе варьирующих значений признака.

Среднее арифметическое значение для неупорядоченного ряда измерений вычисляют путем суммирования всех измерений и деления суммы на число измерений по формуле: = ,

где – сумма всех значений x i , n – общее число измерений.

Модой (Мо) называют результат выборки или совокупности, наиболее часто встречающейся в этой выборке. Для интервального вариационного ряда модальный интервал выбирается по наибольшей частоте. Например, в ряду из цифр: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 7 модой является 4, потому что встречается чаще других чисел.

В случае, когда все значения в группе встречаются одинаково часто, принято считать, что группа не имеет моды. Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и они больше частоты любого другого значения, мода есть среднее этих двух значений. Например, в ряду из цифр: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7 модой является 4,5. Если два несмежных значения в группе имеют равные часто­ты и они больше частот любого значения, то существуют две моды. Например, в ряду из цифр: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7 модами являются 3 и 5.

Медиана (Ме) – результат измерения, который находится в середине ранжированного ряда. Медиана делит упорядо­ченное множество пополам так, что одна половина значений ока­зывается больше медианы, а другая – меньше. Если ряд чисел содержит нечетное количество значений, то медианой является среднее значение. Например, в ряду чисел: 6, 9, 11 , 19, 31 медиана число 11.

Если данные содержат четное количество измерений, то медианой является число, составляющее среднее между двумя центральными значениями. Например, в ряду чисел: 6, 9, 11, 19, 31, 48 медиана равна (11+19): 2 = 15.

Моду и медиану используют для оценки среднего при измерении в шкалах порядка (а моду также и в номинальных шкалах).

К характеристикам вариации, или колеблемости, результатов измерений относят размах, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и др.

Все средние характеристики дают общую характеристику ряда результатов измерений. На практике нас часто интересует, как сильно каждый результат отклоняется от среднего значения. Однако легко можно представить, что две группы результатов измерений имеют одинаковые средние, но различные значения измерений. Например, для ряда 3, 6, 3 – среднее значение = 4, для ряда 5, 2, 5 также среднее зна­чение = 4, несмотря на существенное различие этих рядов.

Поэтому средние характеристики всегда необходимо дополнять показателями вариации, или колеблемости. Самой простой характеристикой вариации является размах варьирования, определяемый как разность между наибольшим и наименьшим результа­тами измерений. Однако он улавливает только крайние отклонения, но не отражает отклонений всех результатов.

Чтобы дать обобщающую характеристику, можно вычислить отклонения от среднего результата. Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле:

где Х – наибольший показатель; X – наименьший показатель; К – табличный коэффициент (приложение 4).

Среднее квадратическое отклонение (оно называется также стандартным отклонением) имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения. Однако для сравнения колеблемости двух и более совокупностей, имеющих различные единицы измерения, эта характеристика не пригодна. Для этого используется коэффициент вариации.

Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах. Вычисляется он по формуле: V = . 100%

Колеблемость результатов измерений в зависимости от величины коэффициента вариации считают небольшой (0–10%), средней (11–20%) и большой (>20%).

Коэффициент вариации имеет важное значение, так как, будучи величиной относительной (измеряется в процентах), позволяет сравнивать между собой колеблемость результа­тов измерений, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации можно использовать лишь в том случае, если измерения выполнены в шкале отношений.

Еще один показатель рассеивания – стандартная (средняя квадратическая) ошибка средней арифметической . Этот показатель (обычно он обозначается символами m или S) характеризует колеблемость средней.

Стандартная ошибка средней арифметической вычисляется по формуле:

где σ – стандартное отклонение результатов измерения, n – объем выборки.

Предварительная информация по МЕТОДАМ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

ПОДГОТОВКА ПЕРВИЧНЫХ ДАННЫХ К АНАЛИЗУ

Наблюдая и измеряя характеристики объекта, экспериментатор собирает первичный статистический материал. Дальнейшая задача состоит в такой обработке и представлении первичных данных, которые позволили бы оценить и сопоставить результаты для проверки гипотез, для выявления существенных свойств и закономерностей изучаемого процесса. В основе методов обработки лежит предварительное упорядочение, cиcтeмaтизaция первичных данных и вычисление их статистических характеристик.

Обобщенный алгоритм подготовки данных может быть представлен следующим операциями:
а) все данные формулируются и записываются в необходимой краткой форме;
б) проводится группировка данных, то есть распределение их на однородные группы в соответствии с интересующими экспериментатора признаками. Данные в каждой группе упорядочиваются - классифицируются, сортируются, структурируются в соответствии с той моделью, которая разрабатывалась при составлении плана-программы устанавливаются характеристики (признаки, параметры каждой группы данных и производится подсчет абсолютного числа факторов, характеризующих группуг) данные внутри каждой сформированной группы располагаются в ряд (вариационный ряд) по убыванию или возрастанию признака. Определяется наибольшее и наименьшее значения признака;
д) вариационные ряды данных, полученных в номинальной или порядковой шкале, ранжируются. Интервалы группировки по рангам выбираются оптимальными (слишком крупные интервалы скрывают нюансы явлений, слишком дробные - затрудняют o6pаботку). В результате этой операции появляются новые количественные данные;
е) проводится статистическая обработка полученных количественных данных, заключающаяся в вычислении некоторых статистических характероистик и оценок, позволяющих глубже понять особенности экспериментальных явлений;
ж) составляются наглядные материалы, отображающие полученную информацию: таблицы, графики, диаграммы, схемы и др., по которым в дальнейшем устанавливаются и анализируются связи между параметрами экспериментальных объектов.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Экспериментатору необходимо знание ряда простейших понятий математической статистики и умение с ними работать.
Все множество интересующих исследователя однородных явлений, событий или их показателей называется генеральной совокупностью данных объектов. Та часть последней, которая подвергается экспериментальному изучению, называется выборочными совокупностью или выборкой.
Величина (объем) выборки представляет собой абсолютное (счетное) количество однородных объектов исследования (явлений, событий или их характеристик).
Выборка характеризуется рядом статистических характеристик, наиболее употребительными из которых являются: среднее арифметическое значение, дисперсия, среднее квадратичное отклонение среднего арифметического.

Среднее значение данного показателя выборочной совокупности (арифметическое среднее, выборочное среднее ) - это отношение суммы всех измеренных значений показателя к величине выборки.

Если в выборке есть повторяющиеся значения, то составляется таблица сгруппированных данных, следующего вида:

Тогда = , где n= .

Среднее значение недостаточно полно характеризует выборку; за ним скрывается “поведение” самого показателя явления-“разброс”, различное распределение его значений около среднего (так называемая “функция распределения”).

Выборочной дисперсией (s 2) статистического показателя называется среднее значение квадратов отклонений отдельных его значений от среднего выборочного; дисперсия определяется по формуле:

S 2 = (2)

Для сгруппированных данных S 2 = .

Выборочнымсредним квадратическим отклонением называется корень квадратный из выборочной дисперсии.

Выборочные дисперсия и среднее квадратичное отклонение играют большую роль при определении степени достоверности результатов.
Генеральная совокупность также обладает всеми вышеперечисленными статистическими характеристиками, которые в общем случае не совпадают с характеристиками выборки. Для эксперимента особое значение, имеет оценка той ошибки, которая допускается, если по выборочным характеристикам судить о генеральной совокупности.
В практике вычислений величина расхождения средних значений генеральной и выборочной совокупностей определяется средней квадратической ошибкой выборочного среднего, которая вычисляется по формуле

Мода - это наиболее часто встречающеесязначение в выборке. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является значение, обладающая наибольшей частотой.

Медиана - это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение признака приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то значение среднего в упорядоченном ряду будет медианой, порядковый номер медианы вычисляют по формуле:

(n + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна среднему арифметическому из двух признаков находящихся в середине ряда.

К основным статистическим характеристикам ряда измерений (вариацион­ного ряда) относятся характеристики положения (средние характе­ристики, или центральная тенденция выборки ); характеристики рассеяния (ва­риации, или колеблемости ) и х арактеристики формы распределения.

К характеристикам положения относятся среднее арифметическое значе­ние (среднее значение ), мода и медиана.

К характеристикам рассеяния (вариации, или колеблемости ) относятся: размах вариации , дисперсия , среднее квадратическое (стандартное ) отклонение , ошибка средней арифметической (ошибка средней ), коэффициент вариации и др.

К характеристикам формы относятся коэффициент асимметрии, мера ско­шенности и эксцесс.

Характеристики положения

1. Среднее арифметическое значение

Среднее арифметическое значение – одна из основных характеристик вы­борки.

Она, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.

Точность вычисления по необработанным данным выше, но процесс вычисления оказывается трудоёмким при большом объёме выборки.

Для несгруппированных данных среднее арифметическое определяется по формуле:

где n - объем выборки, х 1 , х 2 , ... х n - результаты измерений.

Для сгруппированных данных:

,

где n - объем выборки, k – число интервалов группировки, n i – частоты интервалов, x i – срединные значения интервалов.

2. Мода

Определение 1. Мода - наиболее часто встречающаяся величина в данных вы­борки. Обозначается Мо и определяется по формуле:

где
- нижняя граница модального интервала,- ширина интервала группи­ровки,
- частота модального интервала,
- частота интервала, предшествую­щего модальному,
- частота интервала, последующего за модаль­ным.

Определение 2. Модой Мо дискретной случайной величины называется наиболее вероятное её значение.

Геометрически моду можно интерпретировать как абсциссу точки максимума кривой распределения. Бываютдвухмодальные и многомодальные распределения. Встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимума. Такие распределения называютсяантимодальными .

Определение. Модальным интервалом называется интервал группировки с наибольшей частотой.

3. Медиана

Определение . Медиана - результат измерения, который находится в сере­дине ранжированного ряда, иначе говоря, медианой называется значение признака Х , когда одна половина значений экспериментальных данных меньше её, а вторая половина – больше, обозначается Ме .

Когда объем выборки n - четное число, т. е. результатов измерений четное количество, то для определения медианы рассчитывается среднее значение двух показателей выборки, находящихся в середине ранжированного ряда.

Для данных, сгруппированных в интервалы, медиану определяют по фор­муле:

,

где
- нижняя граница медианного интервала;ширина интервала группи­ровки, 0,5n – половина объёма выборки,
- частота медианного интервала,
- накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Определение. Медианным интервалом называется тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше половины объёма выборки (n / 2) или накопленная частость окажется больше 0,5.

Численные значения среднего, моды и медианы отличаются, когда имеет место несимметричная форма эмпирического распределения.