» Статистика

Статистика и обработка данных в психологии
(продолжение)

Корреляционный анализ

При изучении корреляций стараются установить, существует ли какая-то связь между двумя показателями в одной выборке (например, между ростом и весом детей или между уровнем IQ и школьной успеваемостью) либо между двумя различными выборками (например, при сравнении пар близнецов), и если эта связь существует, то сопровождается ли увеличение одного показателя возрастанием (положительная корреляция) или уменьшением (отрицательная корреляция) другого.

Иными словами, корреляционный анализ помогает установить, можно ли предсказывать возможные значения одного показателя, зная величину другого.

До сих пор при анализе результатов нашего опыта по изучению действия марихуаны мы сознательно игнорировали такой показатель, как время реакции. Между тем было бы интересно проверить, существует ли связь между эффективностью реакций и их быстротой. Это позволило бы, например, утверждать, что чем человек медлительнее, тем точнее и эффективнее будут его действия и наоборот.

С этой целью можно использовать два разных способа: параметрический метод расчета коэффициента Браве-Пирсона (r) и вычисление коэффициента корреляции рангов Спирмена (r s), который применяется к порядковым данным, т.е. является непараметрическим. Однако разберемся сначала в том, что такое коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции - это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до -1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной - минус 1. На графике этому соответствует прямая линия, проходящая через точки пересечения значений каждой пары данных:

В случае же если эти точки не выстраиваются по прямой линии, а образуют «облако», коэффициент корреляции по абсолютной величине становится меньше единицы и по мере округления этого облака приближается к нулю:

В случае если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные полностью независимы друг от друга.

В гуманитарных науках корреляция считается сильной, если ее коэффициент выше 0,60; если же он превышает 0,90, то корреляция считается очень сильной. Однако для того, чтобы можно было делать выводы о связях между переменными, большое значение имеет объем выборки: чем выборка больше, тем достовернее величина полученного коэффициента корреляции. Существуют таблицы с критическими значениями коэффициента корреляции Браве-Пирсона и Спирмена для разного числа степеней свободы (оно равно числу пар за вычетом 2, т. е. n- 2). Лишь в том случае, если коэффициенты корреляции больше этих критических значений, они могут считаться достоверными. Так, для того чтобы коэффициент корреляции 0,70 был достоверным, в анализ должно быть взято не меньше 8 пар данных (h =n -2=6) при вычислении r (см. табл. 4 в Приложении) и 7 пар данных (h =n-2= 5) при вычислении r s (табл. 5 в Приложении).

Хотелось бы еще раз подчеркнуть, что сущность этих двух коэффициентов несколько различна. Отрицательный коэффициент r указывает на то, что эффективность чаще всего тем выше, чем время реакции меньше, тогда как при вычислении коэффициента r s требовалось проверить, всегда ли более быстрые испытуемые реагируют более точно, а более медленные - менее точно.

Коэффициент корреляции Браве-Пирсона (r) - этопараметрический показатель, для вычисления которого сравнивают средние и стандартные отклонения результатов двух измерений. При этом используют формулу (у разных авторов она может выглядеть по-разному)

где ΣXY - сумма произведений данных из каждой пары;
n-число пар;
X - средняя для данных переменной X;
Y - средняя для данных переменной Y
S x - стандартное отклонение для распределения х;
S y - стандартное отклонение для распределения у

Коэффициент корреляции рангов Спирмена (r s ) - это непараметрический показатель, с помощью которого пытаются выявить связь между рангами соответственных величин в двух рядах измерений.

Этот коэффициент рассчитывать проще, однако результаты получаются менее точными, чем при использовании r. Это связано с тем, что при вычислении коэффициента Спирмена используют порядок следования данных, а не их количественные характеристики и интервалы между классами.

Дело в том, что при использовании коэффициента корреляции рангов Спирмена (r s) проверяют только, будет ли ранжирование данных для какой-либо выборки таким же, как и в ряду других данных для этой выборки, попарно связанных с первыми (например, будут ли одинаково «ранжироваться» студенты при прохождении ими как психологии, так и математики, или даже при двух разных преподавателях психологии?). Если коэффициент близок к +1, то это означает, что оба ряда практически совпадают, а если этот коэффициент близок к -1, можно говорить о полной обратной зависимости.

Коэффициент r s вычисляют по формуле

где d - разность между рангами сопряженных значений признаков (независимо от ее знака), а - число пар.

Обычно этот непараметрический тест используется в тех случаях, когда нужно сделать какие-то выводы не столько об интервалах между данными, сколько об их рангах, а также тогда, когда кривые распределения слишком асимметричны и не позволяют использовать такие параметрические критерии, как коэффициент r (в этих случаях бывает необходимо превратить количественные данные в порядковые).

Резюме

Итак, мы рассмотрели различные параметрические и непараметрические статистические методы, используемые в психологии. Наш обзор был весьма поверхностным, и главная задача его заключалась в том, чтобы читатель понял, что статистика не так страшна, как кажется, и требует в основном здравого смысла. Напоминаем, что данные «опыта», с которыми мы здесь имели дело, - вымышленные и не могут служить основанием для каких-либо выводов. Впрочем, подобный эксперимент стоило бы действительно провести. Поскольку для этого опыта была выбрана сугубо классическая методика, такой же статистический анализ можно было бы использовать во множестве различных экспериментов. В любом случае нам кажется, что мы наметили какие-то главные направления, которые могут оказаться полезны тем, кто не знает, с чего начать статистический анализ полученных результатов.

Литература

1. Годфруа Ж. Что такое психология. - М., 1992.
2. Chatillon G., 1977. Statistique en Sciences humaines, Trois-Rivieres, Ed. SMG.
3. Gilbert N.. 1978. Statistiques, Montreal, Ed. HRW.
4. Moroney M.J., 1970. Comprendre la statistique, Verviers, Gerard et Cie.
5. Siegel S., 1956. Non-parametric Statistic, New York, MacGraw-Hill Book Co.

Приложение Таблицы

Примечания. 1) Для больших выборок или уровня значимости меньше 0,05 следует обратиться к таблицам в пособиях по статистике.

2) Таблицы значений других непараметрических критериев можно найти в специальных руководствах (см. библиографию).

Таблица 1. Значения критерия t Стьюдента
h	0,05
1	6,31
2	2,92
3	2,35
4	2,13
5	2,02
6	1,94
7	1,90
8	1,86
9	1,83
10	1,81
11	1,80
12	1,78
13	1,77
14	1,76
15	1,75
16	1,75
17	1,74
18	1,73
19	1,73
20	1,73
21	1,72
22	1,72
23	1,71
24	1,71
25	1,71
26	1,71
27	1,70
28	1,70
29	1,70
30	1,70
40	1,68
¥	1,65

Таблица 2. Значения критерия χ 2
h	0,05
1	3,84
2	5,99
3	7,81
4	9,49
5	11,1
6	12,6
7	14,1
8	15,5
9	16,9
10	18,3
Таблица 3. Достоверные значения Z
р	Z
0,05	1,64
0,01	2,33

Таблица 4. Достоверные (критические) значения r
h =(N-2)		р= 0,05 (5%)
3		0,88
4		0,81
5		0,75
6		0,71
7		0,67
8		0,63
9		0,60
10		0,58
11		0.55
12		0,53
13		0,51
14		0,50
15		0,48
16		0,47
17		0,46
18		0,44
19		0,43
20		0,42

Таблица 5. Достоверные (критические) значения r s
h =(N-2)	р = 0,05
2	1,000
3	0,900
4	0,829
5	0,714
6	0,643
7	0,600
8	0,564
10	0,506
12	0,456
14	0,425
16	0,399
18	0,377
20	0,359
22	0,343
24	0,329
26	0,317
28	0,306

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема: Корреляционный анализ

Введение

1. Корреляционный анализ

1.1 Понятие корреляционной связи

1.2 Общая классификация корреляционных связей

1.3 Корреляционные поля и цель их построения

1.4 Этапы корреляционного анализа

1.5 Коэффициенты корреляции

1.6 Нормированный коэффициент корреляции Браве-Пирсона

1.7 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

1.8 Основные свойства коэффициентов корреляции

1.9 Проверка значимости коэффициентов корреляции

1.10 Критические значения коэффициента парной корреляции

2. Планирование многофакторного эксперимента

2.1 Условие задачи

2.2 Определение центр плана (основной уровень) и уровня варьирования факторов

2.3 Построение матрицы планирования

2.4 Проверка однородности дисперсии и равноточности измерения в разных сериях

2.5 Коэффициенты уравнения регрессии

2.6 Дисперсия воспроизводимости

2.7 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии

2.8 Проверка адекватности уравнения регрессии

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Планирование эксперимента -математико-статистическая дисциплина, изучающая методы рациональной организации экспериментальных исследований - от оптимального выбора исследуемых факторов и определения собственно плана эксперимента в соответствии с его целью до методов анализа результатов. Начало планирования эксперимента положили труды английского статистика Р.Фишера (1935), подчеркнувшего, что рациональное планирование экспериментадаёт не менее существенный выигрыш в точности оценок, чем оптимальная обработка результатов измерений. В 60-х годах 20 века сложилась современная теория планирования эксперимента. Её методы тесно связаны с теорией приближения функций и математическим программированием. Построены оптимальные планы и исследованы их свойства для широкого класса моделей.

Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.

В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.

Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:

Планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;

Планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;

Планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);

Планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;

Планирование при изучении динамических процессов и т.д.

Целью изучения дисциплины является подготовка студентов к производственно-технической деятельности по специальности с применением методов теории планирования и современных информационных технологий.

Задачи дисциплины: изучение современных методов планирования, организации и оптимизации научного и промышленного эксперимента, проведения экспериментов и обработки полученных результатов.

1. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

1.1 Понятие корреляционной связи

Исследователя нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых выборках. Например, может ли рост влиять на вес человека или может ли давление влиять на качество продукции?

Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной, или корреляцией. Корреляционная связь - это согласованное изменение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого.

Известно, например, что в среднем между ростом людей и их весом наблюдается положительная связь, и такая, что чем больше рост, тем больше вес человека. Однако из этого правила имеются исключения, когда относительно низкие люди имеют избыточный вес, и, наоборот, астеники, при высоком росте имеют малый вес. Причиной подобных исключений является то, что каждый биологический, физиологический или психологический признак определяется воздействием многих факторов: средовых, генетических, социальных, экологических и т.д.

Корреляционные связи - это вероятностные изменения, которые можно изучать только на представительных выборках методами математической статистики. Оба термина - корреляционная связь и корреляционная зависимость - часто используются как синонимы. Зависимость подразумевает влияние, связь - любые согласованные изменения, которые могут объясняться сотнями причин. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинно-следственной зависимости, они свидетельствуют лишь о том, что изменениям одного признака, как правило, сопутствуют определенные изменения другого.

Корреляционная зависимость - это изменения, которые вносят значения одного признака в вероятность появления разных значений другого признака.

Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции.

Корреляционные связи различаютсяпо форме, направлению и степени (силе).

По форме корреляционная связь может быть прямолинейной или криволинейной. Прямолинейной может быть, например, связь между количеством тренировок на тренажере и количеством правильно решаемых задач в контрольной сессии. Криволинейной может быть, например, связь между уровнем мотивации и эффективностью выполнения задачи (рисунок 1). При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем достигается оптимальный уровень мотивации, которому соответствует максимальная эффективность выполнения задачи; дальнейшему повышению мотивации сопутствует уже снижение эффективности.

Рисунок 1 - Связь между эффективностью решения задачи и силой мотивационной тенденции

По направлению корреляционная связь может быть положительной ("прямой") и отрицательной ("обратной"). При положительной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака - низкие значения другого (рисунок 2). При отрицательной корреляции соотношения обратные (рисунок 3). При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, при отрицательной корреляции - отрицательный знак.

Рисунок 2 – Прямая корреляция

Рисунок 3 – Обратная корреляция

Рисунок 4 – Отсутствие корреляции

Степень, сила или теснота корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции. Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции.

1.2 Общая классификация корреляционных связей

В зависимости от коэффициента корреляции различают следующие корреляционные связи:

Сильная, или тесная при коэффициенте корреляции r>0,70;

Средняя (при 0,50

Умеренная (при 0,30

Слабая (при 0,20

Очень слабая (при r<0,19).

1.3 Корреляционные поля и цель их построения

Корреляция изучается на основании экспериментальных данных, представляющих собой измеренные значения (x i , y i) двух признаков. Если экспериментальных данных немного, то двумерное эмпирическое распределение представляется в виде двойного ряда значений x i и y i . При этом корреляционную зависимость между признаками можно описывать разными способами. Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. д.

Корреляционный анализ, как и другие статистические методы, основан на использовании вероятностных моделей, описывающих поведение исследуемых признаков в некоторой генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные значения x i и y i . Когда исследуется корреляция между количественными признаками, значения которых можно точно измерить в единицах метрических шкал (метры, секунды, килограммы и т.д.), то очень часто принимается модель двумерной нормально распределенной генеральной совокупности. Такая модель отображает зависимость между переменными величинами x i и y i графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Эту графическую зависимость называются также диаграммой рассеивания или корреляционным полем.
Данная модель двумерного нормального распределения (корреляционное поле) позволяет дать наглядную графическую интерпретацию коэффициента корреляции, т.к. распределение в совокупности зависит от пяти параметров: μ x , μ y – средние значения (математические ожидания); σ x ,σ y – стандартные отклонения случайных величин Х и Y и р – коэффициент корреляции, который является мерой связи между случайными величинами Х и Y.
Если р = 0, то значения, x i , y i , полученные из двумерной нормальной совокупности, располагаются на графике в координатах х, у в пределах области, ограниченной окружностью (рисунок 5, а). В этом случае между случайными величинами Х и Y отсутствует корреляция и они называются некоррелированными. Для двумерного нормального распределения некоррелированность означает одновременно и независимость случайных величин Х и Y.

7.3.1. Коэффициенты корреляции и детерминации. Можно количественно определить тесноту связи между факторами и ее направленность (прямую или обратную), вычислив:

1) если нужно определить носящую линейный характер взаимосвязь между двумя факторами, - парный коэффициент корреляции : в 7.3.2 и 7.3.3 рассмотрены операции вычисления парного линейного коэффициента корреляции по Бравэ–Пирсону (r ) и парного рангового коэффициента корреляции по Спирмену (r );

2) если мы хотим определить взаимосвязь между двумя факторами, но зависимость эта явно нелинейная - то корреляционное отношение ;

3) если мы хотим, определить связь между одним фактором и некоторой совокупностью других факторов - то (или, что то же самое, «коэффициент множественной корреляции»);

4) если мы хотим выявить изолированно связь одного фактора только с конкретным другим, входящим в группу факторов, воздействующих на первый, для чего приходится считать влияние всех остальных факторов неизменным - то частный (парциальный) коэффициент корреляции .

Любой коэффициент корреляции (r, r) не может по абсолютной величине превышать 1, то есть –1 < r (r) < 1). Если получено значение 1, то это значит, что рассматриваемая зависимость не статистическая, а функциональная, если 0 - корреляции нет вообще.

Знак при коэффициенте корреляции определяет направ­ленность связи: знак «+» (либо отсутствие знака) означает, что связь прямая (положительная ), знак «–» - что связь обратная (отрицательная ). К тесноте связи знак никакого отношения не имеет

Коэффициент корреляции характеризует статистическую взаимосвязь. Но часто нужно определить другого типа зависимость, а именно: каков вклад некоторого фактора в формирование другого связанного с ним фактора. Такого рода зависимость с некоторой долей условности характеризуется коэффициентом детерминации (D ), определяемым по формуле D = r 2 ´100% (где r - коэффициент корреляции по Бравэ–Пирсону, см. 7.3.2). Если измерения проводились в шкале порядка (шкале рангов) , то с некоторым ущербом для достоверности можно вместо значения r подставить в формулу значение r (коэффициента корреляции по Спирмену, см. 7.3.3).

Например, если мы получили как характеристику зависимости фактора Б от фактора А коэффициент корреляции r = 0,8 или r = –0,8, то D = 0,8 2 ´100% = 64%, то есть около 2½ 3. Следовательно, вклад фактора А и его изменений в формирование фактора Б составляет примерно 2½ 3 от суммарного вклада всех вообще факторов.

7.3.2. Коэффициент корреляции по Бравэ-Пирсону. Процедуру вычисления коэффициента корреляции по Бравэ–Пирсону (r ) можно применять только в тех случаях, когда связь рассматривается на базе выборок, имеющих нормальное распределение частот (нормальное распределение ) и полученных измерениями в шкалах интервалов или отношений. Расчетная формула этого коэффициента корреляции:

å (x i – )(y i – )

r = .

n×s x ×s y

Что показывает коэффициент корреляции? Во-первых, знак при коэффициенте корреляции показывает направленность связи, а именно: знак «–» свидетельствует о том, что связь обратная , или отрицательная (имеет место тенденция: с убыванием значений одного фактора соответствующие значения другого фактора растут, а с возрастанием - убывают), а отсутствие знака или знак «+» свидетельствуют о прямой , или положительной связи (имеет место тенденция: с увеличением значений одного фактора увеличиваются и значения другого, а с уменьшением - уменьшаются). Во-вторых, абсолютная (не зависящая от знака) величина коэффициента корреляции говорит о тесноте (силе) связи. Принято считать (в достаточной мере условно): при значениях r < 0,3 корреляция очень слабая , нередко ее просто не принимают в расчет, при 0,3 £ r < 5 корреляция слабая , при 0,5 £ r < 0,7) - средняя , при 0,7 £ r £ 0,9) - сильная и, наконец, при r > 0,9 - очень сильная. В нашем случае (r » 0,83) связь обратная (отрицательная) и сильная.

Напомним: значения коэффициента корреляции могут находиться в интервале от –1 до +1. Выход значения r за эти пределы свидетельствует о том, что в расчетах допущена ошибка . Если r = 1, то это значит, что связь не статистическая, а функциональная - чего в спорте, биологии, медицине практически не бывает. Хотя при небольшом количестве измерений случай ный подбор значений, дающий картину функциональной связи, возможен, но такой случай тем менее вероятен, чем больше объем сопоставляемых выборок (n), то есть количество пар сравниваемых измерений.

Расчетная таблица (табл. 7,1)строится соответственно формуле.

Таблица 7.1.

Расчетная таблица для вычисления по Бравэ–Пирсону

x i	y i	(x i – )	(x i – ) 2	(y i – )	(y i – ) 2	(x i – )(y i – )
13,2	4,75	0,2	0,04	–0,35	0,1225	– 0,07
13,5	4,7	0,5	0,25	– 0,40	0,1600	– 0,20
12,7	5,10	– 0,3	0,09	0,00	0,0000	0,00
12,5	5,40	– 0,5	0,25	0,30	0,0900	– 0,15
13,0	5,10	0,0	0,00	0,00	0.0000	0,00
13,2	5,00	0,1	0,01	– 0,10	0,0100	– 0,02
13,1	5,00	0,1	0,01	– 0,10	0,0100	– 0,01
13,4	4,65	0,4	0,16	– 0,45	0,2025	– 0,18
12,4	5,60	– 0,6	0,36	0,50	0,2500	– 0,30
12,3	5,50	– 0,7	0,49	0,40	0,1600	– 0,28
12,7	5,20	–0,3	0,09	0,10	0,0100	– 0,03
åx i =137 =13,00	åy i =56,1 =5,1		å(x i – ) 2 = =1,78		å(y i – ) 2 = = 1,015	å(x i – )(y i – )= = –1,24

Поскольку s х = ï ï = ï ï» 0,42, а

s y =ï ï» 0,32, r » –1,24ï (11´0,42´0,32)» –1,24ï 1,48 » –0,83 .

Иными словами, нужно очень твердо знать, что коэффициент корреляции не может по абсолютной величине превосходить 1,0. Это нередко позволяет избежать грубейших ошибок, точнее - найти и исправить допущенные при подсчетах ошибки.

7.3.3. Коэффициент корреляции по Спирмену . Как уже было сказано, применять коэффициент корреляции по Бравэ–Пирсону (r) можно только в тех случаях, когда анализируемые факторы по распределению частот близки к нормальному и значения вариант получены измерениями обязательно в шкале отношений или в шкале интервалов, что бывает, если они выражены физическими единицами. В остальных случаях находят коэффициент корреляции по Спирмену (r ). Впрочем, этот коэффициент можно применять и в случаях, когда разрешено (и желательно! ) применять коэффициент корреляции по Бравэ-Пирсону. Но следует иметь в виду, что процедура определения коэффициента по Бравэ-Пирсону обладает большей мощностью («разрешающей способностью »), поэтому r более информативен, чем r . Даже при большом n отклонение r может быть порядка ±10%.

Таблица 7.2 Расчетная формула коэффици-

x i y i R x R y |d R | d R 2 ента корреляции по Спирмену

13,2 4,75 8,5 3,0 5,5 30,25 r = 1 – . Вос

13,5 4,70 11,0 2,0 9,0 81,00 пользуемся нашим примером

12,7 5,10 4,5 6,5 2,0 4,00 для расчета r , но построим

12,5 5,40 3,0 9,0 6,0 36,00 иную таблицу (табл.7.2).

13,0 5,10 6,0 6,5 0,5 0,25 Подставим значения:

13,2 5,00 8,5 4,5 4,0 16,00 r = 1– =

13,1 5,00 7,0 4,5 2,5 6,25 =1– 2538:1320 » 1–1,9 » – 0,9.

13,4 4,65 10,0 1,0 9,0 81,00 Мы видим: r оказался немного

12,4 5,60 2,0 11,0 9,0 81,00 больше, чем r , но это разли-

12,3 5,50 1,0 10,0 9,0 81,00 чие не очень велико. Ведь при

12,7 5,20 4,5 8,0 3,5 12,25 таком малом n значения r и r

åd R 2 = 423 очень уж приблизительны, мало достоверны, их действительное значение может колебаться в широких пределах, поэтому различие r иr в 0,1 малосущественно. Обычно r рассматривают как аналог r , но только менее точный . Знаки при r и r показывает направленность связи.

7.3.4. Применение и проверка достоверности коэффициентов корреляции. Определение степени корреляционной зависимости между факторами необходимо для управления развитием нужного нам фактора: для этого приходится влиять на другие факторы, существенно влияющие на него, и нужно знать меру их действенности. Знать про взаимосвязь факторов нужно для разработки или выбора готовых тестов: информативность теста определяется корреляцией его результатов с проявле­ниями интересующего нас признака или свойства. Без знания корреляций невозможны любые формы отбора.

Выше было отмечено, что в спортивной и вообще педагогической, медицинской и даже экономической и социологической практике большой интерес представляет определение того вклада , который один фактор вносит в формирование другого . Это связано с тем, что помимо рассматриваемого фактора-причины на целевой (интересующий нас) фактор действуют, давая каждый тот или иной вклад в него, и другие.

Считается, что мерой вклада каждого фактора-причины может служить коэффициент детерминации D i = r 2 ´100%. Так, например, если r = 0,6, т.е. связь между факторами А и Б средняя, то D = 0,6 2 ´100% = 36%. Зная, таким образом, что вклад фактора А в формирование фактора Б приблизительно 1½ 3, можно, например уделять целенаправленному развитию этого фактора приблизительно 1½ 3 тренировочного времени. Если же коэффициент корреляции r = 0,4 , то D = r 2 100% =16%, или примерно 1½ 6 - в два с лишним раза меньше, и уделять его развитию по этой логике следует соответственно лишь 1½ 6 часть тренировочного времени.

Величины D i для разных существенных факторов дают приблизительное представление о количественном взаимоот­ношении их влияний на интересующий нас целевой фактор, ради совершенствования которого мы, собственно, и работаем над другими факторами (например, прыгун в длину с разбега работает над повышением скорости своего спринтерского бега, так как оно является тем фактором, который дает самый значительный вклад в формирование результата в прыжках).

Напомним, что определяя D можно вместо r поставить r , хотя, конечно, точность определения оказывается ниже.

На основе выборочного (рассчитанного по выборочным данным) коэффициента корреляции нельзя делать вывод о достоверности факта наличия связи между рассматриваемыми факторами вообще. Для того, чтобы сделать такой вывод с той или иной степенью обоснованности, используют стандартные критерии значимости корреляции . Их применение предполагает линейную зависимость между факторами и нормальное распределение частот в каждом из них (имея в виду не выборочное, а генеральное их представление).

Можно, например, применить t-критерии Стьюдента. Его рас-

четная формула: t p = –2 , где k - исследуемый выборочный коэффициент корреляции, a n - объем сопоставляемых выборок. Полученное расчетное значение t-критерия (t р)сравнивают с табличным при выбранном нами уровне значимости и числе степеней свободы n = n – 2. Чтобы избавиться от расчетной работы, можно воспользоваться специальной таблицей критических значений выборочных коэффициентов корреляции (см. выше), соответствующих наличию достоверной связи между факторами (с учетом n и a ).

Таблица 7.3.

Граничные значений достоверности выборочного коэффициента корреляции

Число степеней свободы при определении коэффициентов корреляции принимают равным 2 (т.е. n = 2) Указанные в табл. 7.3 значения имеют нижней границей доверительного интервала истинного коэффициента корреляции 0, то есть при таких значениях нельзя утверждать, что корреляция вообще имеет место. При значении выборочного коэффициента корреляции выше указанного в таблице можно при соответствующем уровне значимости считать, что истинный коэффициент корреляции не равен нулю.

Но ответ на вопрос, есть ли реальная связь между рассматриваемыми факторами, оставляет место для другого вопроса: в каком интервале лежит истинное значение коэффициента корреляции, каким он может быть на самом деле, при бесконечно большом n ? Этот интервал для любого конкретного значения r и n сопоставляемых факторов можно рассчитать, но удобнее пользоваться системой графиков (номограммой ), где каждая пара кривых, построенная для не которого указанного над ними n , соответствует границам интервала.

Рис. 7.4. Доверительные границы выборочного коэффициента корреляции (a = 0,05). Каждая кривая соответствует указанному над ней n .

Обратясь к номограмме на рис. 7.4, можно определить интервал значений истинного коэффициента корреляции для вычисленных значений выборочного коэффициента корреляции при a = 0,05.

7.3.5. Корреляционные отношения. Если парная корреляция нелинейна , нельзя вычислять коэффициент корреляции, определяют корреляционные отношения . Обязательное требование: признаки должны быть измерены в шкале отношений или в шкале интервалов. Можно вычислять корреляционную зависимость фактора X от фактора Y и корреляционную зависимость фактора Y от фактора X - они различаются. При небольшом объеме n рассматриваемых выборок, представляющих факторы, для вычисления корреляционных отношений можно пользоваться формулами:

корреляционное отношение h x ½ y = ;

корреляционное отношение h y ½ x = .

Здесь и - средние арифметические выборок X и Y, и - внутриклассовые средние арифметические. Tо есть - среднее арифметическое тех значений в выборке фактора Х, с которыми сопряжены одинаковые значения в выборке фактора Y (например, если в факторе X имеются значения 4, 6, и 5, с которыми в выборке фактора Y сопряжены 3 варианты с одинаковым значением 9, то = (4+6+5)½ 3 = 5). Соответственно - среднее арифметическое тех значений в выборке фактора Y, с которыми сопряжены одинаковые значения в выборке фактора Х. Приведем пример и проведем расчет:

Х: 75 77 78 76 80 79 83 82 ; Y: 42 42 43 43 43 44 44 45 .

Таблица 7.4

Расчетная таблица

х i	y i	x y	х i – х	(х i – х ) 2	х i – х y	(x i – x y ) 2
			–4		–1
			–2
			–3		–2
			–1
					–3
x=79	y=43			S=76		S=28

Следовательно, h y ½ x = » 0,63.

7.3.6. Частные и множественный коэффициенты корреляции. Чтобы оценить зависимость между 2-мя факторами, вычисляя коэффициенты корреляции, мы как бы по умолчанию предполагаем, что никакие другие факторы на эту зависимость никакого воздействия не оказывают. В реальности дело обстоит не так. Так, на зависимость между весом и ростом очень существенно влияют калорийность питания, величина систематической физической нагрузки, наследственность и др. Когда нужно при оценке связи между 2-мя факторами учесть существенное влияние других факторов и в то же время как бы изолироваться от них, считая их неизменными , вычисляют частные (иначе - парциальные ) коэффициенты корреляции.

Пример: нужно оценить парные зависимости между 3-мя существенно действующими факторами X, Y и Z. Обозначим r XY (Z) частный (парциальный) коэффициент корреляции между факторами X и Y (при этом величину фактора Z считаем неизменной), r ZX (Y) - частный коэффициент корреляции между факторами Z и X (при неизменном значении фактора Y), r YZ (X) - частный коэффициент корреляции между факторами Y и Z (при неизменном значении фактора X). Используя вычисленные простые парные (по Бравэ-Пирсону) коэффициенты корреляции r XY , r XZ и r YZ , м

ожно вычислить частные (парциальные) коэффициенты корреляции по формулам:

r XY – r XZ ´r YZ r XZ – r XY ´r ZY r ZY –r ZX ´r YZ

r XY (Z) = ; r XZ (Y) = ; r ZY (Х) =

Ö(1–r 2 XZ)(1–r 2 YZ) Ö(1– r 2 XY)(1–r 2 ZY) Ö(1–r 2 ZX)(1–r 2 YX)

И частные коэффициенты корреляции могут принимать значения от –1 до +1. Возведя их в квадрат, получают соответствующие частные коэффициенты детерминации , называемые также частными мерами определенности (умножив на 100, выразим в %%). Частные коэффициенты корреляции больше или меньше отличаются от простых (полных) парных коэффициентов, что зависит от силы влияния на них 3-го фактора (как бы неизменного). Нулевая гипотеза (Н 0), то есть гипотеза об отсутствии связи (зависимости) между факторами X и Y, проверяется (при общем количество признаков k ) вычислением t-критерия по формуле: t Р = r XY (Z) ´ (n –k) 1 ½ 2 ´ (1–r 2 XY (Z)) –1 ½ 2 .

Если t Р < t a n , гипотеза принимается (считаем, что зависимости нет), если же t Р ³ t a n - гипотеза опровергается, то есть считается, что зависимость действительно имеет место. t a n берется по таблице t -критерия Стьюдента, причем k - количество учитываемых факторов (в нашем примере 3), число степеней свободы n = n – 3. Другие частные коэффициенты корреляции проверяют аналогично (в формулу вместо r XY (Z) подставляют соответственно r XZ (Y) или r ZY (X)).

Таблица 7.5

Исходные данные

Ö (1 – 0,71 2)(1 – 0,71 2) Ö (1 – 0,5)(1 – 0,5)

Для оценки зависимости фактора Х от совместного действия нескольких факторов (здесь факторы Y и Z), вычисляют значения простых парных коэффициентов корреляции и, используя их, вычисляют множественный коэффициент корреляции r X (YZ) :

Ö r 2 XY + r 2 XZ – 2r XY ´ r XZ ´ r YZ

r X (YZ) = .

Ö 1 – r 2 YZ

7.2.7. Коэффициент ассоциации. Нередко требуется количественно оценить зависимость между качественными признаками, т.е. такими признаками, которые нельзя представить (охарактеризовать) количественно, которые неизмеримы . Например, стоит задача выяснить, существует ли зависимость между спортивной специализацией занимающихся и такими личностными свойствами, как интравертность (направленность личности на явления собственного субъективного мира) и экстравертность (направленность личности на мир внешних объектов). Условные обозначения представим в табл. 7.6.

Таблица 7.6.

X (лет)	Y (раз)	Z (раз)		X (лет)	Y (раз)	Z (раз)

Признак 1 Признак 2	Интравертность	Экстравертность
Спортивные игры	а	b
Гимнастика	с	d

Очевидно, что числами, имеющимися в нашем распоряжении, здесь могут быть только частоты распределений. В таком случае вычисляют коэффициент ассоциации (другое название «коэффициент сопряженности »). Рассмотрим простейший случай: связь между двумя парами признаков, при этом вычисленный коэффициент сопряженности называют тетрахорическим (см. табл.).

Таблица 7.7.

а =20	b = 15	a + b = 35
с =15	d = 5	c + d = 20
a + c = 35	b + d = 20	n = 55

Вычисления производим по формуле:

ad – bc 100 – 225 –123

Вычисление коэффициентов ассоциации (коэффициентов сопряжения) при большем количестве признаков связано с расчетами по аналогичной матрице соответствующего порядка.

Коэффициент корреляции (или линейный коэффициент корреляции) обозначается как «r» (в редких случаях как «ρ») и характеризует линейную корреляцию (то есть взаимосвязь, которая задается некоторым значением и направлением) двух или более переменных. Значение коэффициента лежит между -1 и +1, то есть корреляция бывает как положительной, так и отрицательной. Если коэффициент корреляции равен -1, имеет место идеальная отрицательная корреляция; если коэффициент корреляции равен +1, имеет место идеальная положительная корреляция. В остальных случаях между двумя переменными наблюдается положительная корреляция, отрицательная корреляция или отсутствие корреляции. Коэффициент корреляции можно вычислить вручную, с помощью бесплатных онлайн-калькуляторов или с помощью хорошего графического калькулятора.

Шаги

Вычисление коэффициента корреляции вручную

Соберите данные. Перед тем как приступить к вычислению коэффициента корреляции, изучите данные пары чисел. Лучше записать их в таблицу, которую можно расположить вертикально или горизонтально. Каждую строку или столбец обозначьте как «х» и «у».

• Например, даны четыре пары значений (чисел) переменных «х» и «у». Можно создать следующую таблицу:
  • x || y
  • 1 || 1
  • 2 || 3
  • 4 || 5
  • 5 || 7

1. Вычислите среднее арифметическое «х». Для этого сложите все значения «х», а затем полученный результат разделите на количество значений.

   Найдите среднее арифметическое «у». Для этого выполните аналогичные действия, то есть сложите все значения «у», а затем сумму разделите на количество значений.

   Вычислите стандартное отклонение «х». Вычислив средние значения «х» и «у», найдите стандартные отклонения этих переменных. Стандартное отклонение вычисляется по следующей формуле:

   Вычислите стандартное отклонение «у». Выполните действия, которые описаны в предыдущем шаге. Воспользуйтесь той же формулой, но подставьте в нее значения «у».

   Запишите основную формулу для вычисления коэффициента корреляции. В эту формулу входят средние значения, стандартные отклонения и количество (n) пар чисел обеих переменных. Коэффициент корреляции обозначается как «r» (в редких случаях как «ρ»). В этой статье используется формула для вычисления коэффициента корреляции Пирсона.

   Вы вычислили средние значения и стандартные отклонения обеих переменных, поэтому можно воспользоваться формулой для вычисления коэффициента корреляции. Напомним, что «n» – это количество пар значений обеих переменных. Значение других величин были вычислены ранее.

   • В нашем примере вычисления запишутся так:
   • ρ = (1 n − 1) Σ (x − μ x σ x) ∗ (y − μ y σ y) {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{n-1}}\right)\Sigma \left({\frac {x-\mu _{x}}{\sigma _{x}}}\right)*\left({\frac {y-\mu _{y}}{\sigma _{y}}}\right)}
   • ρ = (1 3) ∗ {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{3}}\right)*} [ (1 − 3 1 , 83) ∗ (1 − 4 2 , 58) + (2 − 3 1 , 83) ∗ (3 − 4 2 , 58) {\displaystyle \left({\frac {1-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {1-4}{2,58}}\right)+\left({\frac {2-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {3-4}{2,58}}\right)}
     + (4 − 3 1 , 83) ∗ (5 − 4 2 , 58) + (5 − 3 1 , 83) ∗ (7 − 4 2 , 58) {\displaystyle +\left({\frac {4-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {5-4}{2,58}}\right)+\left({\frac {5-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {7-4}{2,58}}\right)} ]
   • ρ = (1 3) ∗ (6 + 1 + 1 + 6 4 , 721) {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{3}}\right)*\left({\frac {6+1+1+6}{4,721}}\right)}
   • ρ = (1 3) ∗ 2 , 965 {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{3}}\right)*2,965}
   • ρ = (2 , 965 3) {\displaystyle \rho =\left({\frac {2,965}{3}}\right)}
   • ρ = 0 , 988 {\displaystyle \rho =0,988}

2. Проанализируйте полученный результат. В нашем примере коэффициент корреляции равен 0,988. Это значение некоторым образом характеризует данный набор пар чисел. Обратите внимание на знак и величину значения.

   • Так как значение коэффициента корреляции положительно, между переменными «х» и «у» имеет место положительная корреляция. То есть при увеличении значения «х», значение «у» тоже увеличивается.
   • Так как значение коэффициента корреляции очень близко к +1, значения переменных «х» и «у» сильно взаимосвязаны. Если нанести точки на координатную плоскость, они расположатся близко к некоторой прямой.

   Использование онлайн-калькуляторов для вычисления коэффициента корреляции

   1. В интернете найдите калькулятор для вычисления коэффициента корреляции. Этот коэффициент довольно часто вычисляется в статистике. Если пар чисел много, вычислить коэффициент корреляции вручную практически невозможно. Поэтому существуют онлайн-калькуляторы для вычисления коэффициента корреляции. В поисковике введите «коэффициент корреляции калькулятор» (без кавычек).

      Введите данные. Ознакомьтесь с инструкциями на сайте, чтобы правильно ввести данные (пары чисел). Крайне важно вводить соответствующие пары чисел; в противном случае вы получите неверный результат. Помните, что на разных веб-сайтах различные форматы ввода данных.

      • Например, на сайте http://ncalculators.com/statistics/correlation-coefficient-calculator.htm значения переменных «х» и «у» вводятся в двух горизонтальных строках. Значения разделяются запятыми. То есть в нашем примере значения «х» вводятся так: 1,2,4,5, а значения «у» так: 1,3,5,7.
      • На другом сайте, http://www.alcula.com/calculators/statistics/correlation-coefficient/ , данные вводятся по вертикали; в этом случае не перепутайте соответствующие пары чисел.

   2. Вычислите коэффициент корреляции. Введя данные, просто нажмите на кнопку «Calculate», «Вычислить» или аналогичную, чтобы получить результат.

   Использование графического калькулятора

   1. Введите данные. Возьмите графический калькулятор, перейдите в режим статистических вычислений и выберите команду «Edit» (Редактировать).

      • На разных калькуляторах нужно нажимать различные клавиши. В этой статье рассматривается калькулятор Texas Instruments TI-86.
      • Чтобы перейти в режим статистических вычислений, нажмите – Stat (над клавишей «+»). Затем нажмите F2 – Edit (Редактировать).

   2. Удалите предыдущие сохраненные данные. В большинстве калькуляторов введенные статистические данные хранятся до тех пор, пока вы не сотрете их. Чтобы не спутать старые данные с новыми, сначала удалите любую сохраненную информацию.

      • С помощью клавиш со стрелками переместите курсор и выделите заголовок «xStat». Затем нажмите Clear (Очистить) и Enter (Ввести), чтобы удалить все значения, введенные в столбец xStat.
      • С помощью клавиш со стрелками выделите заголовок «yStat». Затем нажмите Clear (Очистить) и Enter (Ввести), чтобы удалить все значения, введенные в столбец уStat.

   3. Введите исходные данные. С помощью клавиш со стрелками переместите курсор в первую ячейку под заголовком «xStat». Введите первое значение и нажмите Enter. В нижней части экрана отобразится «xStat (1) = __», где вместо пробела будет стоять введенное значение. После того как вы нажмете Enter, введенное значение появится в таблице, а курсор переместится на следующую строку; при этом в нижней части экрана отобразится «xStat (2) = __».

      • Введите все значения переменной «х».
      • Введя все значения переменной «х», с помощью клавиш со стрелками перейдите в столбец yStat и введите значения переменной «у».
      • После ввода всех пар чисел нажмите Exit (Выйти), чтобы очистить экран и выйти из режима статистических вычислений.

Коэффициент корреляции – это величина, которая может варьировать в пределах от +1 до –1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1 (говорят о том, что при увеличении значения одной переменной увеличивается значение другой переменной), а при полной отрицательной – минус 1 (свидетельствуют об обратной связи, т.е. При увеличении значений одной переменной, значения другой уменьшаются).

Пр1.:

График зависимости застенчивости и дипресивности. Как видим, точки (испытуемые) расположены не хаотично, а выстраиваются вокруг одной линии, причём, глядя на эту линию можно сказать, что чем выше у человека выражена застенчивость, тем больше депрессивность, т. е. эти явления взаимосвязаны.

Пр2.: График для Застенчивости и Общительности. Мы видим, что с увеличением застенчивости общительность уменьшается. Их коэффициент корреляции -0,43. Таким образом, коэффициент корреляции больший от 0 до 1 говорит о прямопропорциональной связи (чем больше… тем больше…), а коэффициент от -1 до 0 о обратнопропорциональной (чем больше… тем меньше…)

В случае если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные полностью независимы друг от друга.

Корреляционная связь - это связь, где воздействие отдельных факторов проявляется только как тенденция (в среднем) при массовом наблюдении фактических данных. Примерами корреляционной зависимости могут быть зависимости между размерами активов банка и суммой прибыли банка, ростом производительности труда и стажем работы сотрудников.

Используется две системы классификации корреляционных связей по их силе: общая и частная.

Общая классификация корреляционных связей:1) сильная, или тесная при коэффициенте корреляции r>0,70;2) средняя при 0,500,70, а не просто корреляция высокого уровня значимости.

В следующей таблице написаны названия коэффициентов корреляции для различных типов шкал.

	Дихотомическая шкала (1/0)	Ранговая (порядковая) шкала
Дихотомическая шкала (1/0)	Коэфициент ассоциации Пирсона, коэффициент четырехклеточной сопряженности Пирсона.		Бисериальная корреляция
Ранговая (порядковая) шкала	Рангово-бисериальная корреляция.	Ранговый коэффициент корреляции Спирмена или Кендалла.
Интервальная и абсолютная шкала	Бисериальная корреляция	Значения интервальной шкалы переводятся в ранги и используется ранговый коэффициент	Коэффициент корреляции Пирсона (коэффициент линейной корреляции)

При r =0 линейная корреляционная связь отсутствует. При этом групповые средние переменных совпадают с их общи­ми средними, а линии регрессии параллельны осям координат.

Равенство r =0 говорит лишь об отсутствии линейной корреляционной зависимости (некоррелирован­ности переменных), но не вообще об отсутствии корреляционной, а тем более, статистической зависимости.

Иногда вывод об отсутствии корреляции важнее наличия сильной корреляции. Нулевая корреляция двух переменных может свидетельствовать о том, что никакого влияния одной переменной на другую не существует, при условии, что мы доверяем результатам измерений.

В SPSS: 11.3.2 Коэффициенты корреляции

До сих пор мы выясняли лишь сам факт существования статистической зависимости между двумя признаками. Далее мы попробуем выяснить, какие заключения можно сделать о силе или слабости этой зависимости, а также о ее виде и направленности. Критерии количественной оценки зависимости между переменными называются коэффициентами корреляции или мерами связанности. Две переменные коррелируют между собой положительно, если между ними существует прямое, однонаправленное соотношение. При однонаправленном соотношении малые значения одной переменной соответствуют малым значениям другой переменной, большие значения - большим. Две переменные коррелируют между собой отрицательно, если между ними существует обратное, разнонаправленное соотношение. При разнонаправленном соотношении малые значения одной переменной соответствуют большим значениям другой переменной и наоборот. Значения коэффициентов корреляции всегда лежат в диапазоне от -1 до +1.

В качестве коэффициента корреляции между переменными, принадлежащими порядковой шкале применяется коэффициент Спирмена, а для переменных, принадлежащих к интервальной шкале - коэффициент корреляции Пирсона (момент произведений). При этом следует учесть, что каждую дихотомическую переменную, то есть переменную, принадлежащую к номинальной шкале и имеющую две категории, можно рассматривать как порядковую.

Для начала мы проверим существует ли корреляция между переменными sex и psyche из файла studium.sav. При этом мы учтем, что дихотомическую переменную sex можно считать порядковой. Выполните следующие действия:

· Выберите в меню команды Analyze (Анализ) Descriptive Statistics (Дескриптивные статистики) Crosstabs... (Таблицы сопряженности)

· Перенесите переменную sex в список строк, а переменную psyche - в список столбцов.

· Щелкните на кнопке Statistics... (Статистика). В диалоге Crosstabs: Statistics установите флажок Correlations (Корреляции). Подтвердите выбор кнопкой Continue.

· В диалоге Crosstabs откажитесь от вывода таблиц, установив флажок Supress tables (Подавлять таблицы). Щелкните на кнопке ОК.

Будут вычислены коэффициенты корреляции Спирмена и Пирсона, а также проведена проверка их значимости:

/ СПСС 10

Задание № 10 Корреляционный анализ

Понятие корреляции

Корреляция или коэффициент корреляции – это статистический показательвероятностной связи между двумя переменными, измеренными по количественным шкалам. В отличие от функциональной связи, при которой каждому значению одной переменной соответствуетстрого определенное значение другой переменной,вероятностная связь характеризуется тем, что каждому значению одной переменной соответствуетмножество значений другой переменной, Примером вероятностной связи является связь между ростом и весом людей. Ясно, что один и тот же рост может быть у людей разного веса и наоборот.

Корреляция представляет собой величину, заключенную в пределах от -1 до + 1, и обозначается буквой r. Причем, если значение находится ближе к 1, то это означает наличие сильной связи, а если ближе к 0, то слабой. Значение корреляции менее 0,2 рассматривается как слабая корреляция, свыше 0,5 – высокая. Если коэффициент корреляции отрицательный, это означает наличие обратной связи: чем выше значение одной переменной, тем ниже значение другой.

В зависимости от принимаемых значений коэффициента rможно выделить различные виды корреляции:

Строгая положительная корреляция определяется значениемr=1. Термин «строгая» означает, что значение одной переменной однозначно определяются значениями другой переменной, а термин «положительная» - что с возрастанием значений одной переменной значения другой переменной также возрастают.

Строгая корреляция является математической абстракцией и практически не встречается в реальных исследованиях.

Положительная корреляция соответствует значениям 0

Отсутствие корреляции определяется значениемr=0. Нулевой коэффициент корреляции говорит о том, что значения переменных никак не связаны между собой.

Отсутствие корреляции H o : 0 r xy =0 формулируется как отражениенулевой гипотезы в корреляционном анализе.

Отрицательная корреляция : -1

Строгая отрицательная корреляция определяется значениемr= -1. Она также, как и строгая положительная корреляция, является абстракцией и не находит выражение в практических исследованиях.

Таблица 1

Виды корреляции и их определения

Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, по которой измерены значения переменной.

Коэффициент корреляции r Пирсона является основным и может использоваться для переменных с номинальной и частично упорядоченными, интервальными шкалами, распределение значений по которым соответствует нормальному (корреляция моментов произведения). Коэффициент корреляции Пирсона дает достаточно точные результаты и в случаях анормальных распределений.

Для распределений, не являющихся нормальными, предпочтительнее пользоваться коэффициентами ранговой корреляции Спирмена и Кендалла. Ранговыми они являются потому, что программа предварительно ранжирует коррелируемые переменные.

Корреляцию rСпирмена программаSPSSвычисляет следующим образом: сначала переменные переводятся в ранги, а затем к рангам применяется формулаrПирсона.

В основе корреляции, предложенной М. Кендаллом, лежит идея о том, что о направлении связи можно судить, попарно сравнивая между собой испытуемых. Если у пары испытываемых изменение по Х совпадают по направлению с изменением по Yсовпадает, то это свидетельствует о положительной связи. Если не совпадает – то об отрицательной связи. Данный коэффициент применяется преимущественно психологами, работающими с малыми выборками. Так как социологи работают с большими массивами данных, то перебор пар, выявление разности относительных частот и инверсий всех пар испытуемых в выборке затруднителен. Наиболее распространенным является коэф. Пирсона.

Поскольку коэффициент корреляции rПирсона является основным и может использоваться (с некоторой погрешностью в зависимости от типа шкалы и уровня анормальности в распределении) для всех переменных, измеренных по количественным шкалам, рассмотрим примеры его использования и сравним полученные результаты с результатами измерений по другим коэффициентам корреляции.

Формула вычисления коэффициента r - Пирсона:

r xy = ∑ (Xi-Xср)∙(Yi-Yср) / (N-1)∙σ x ∙σ y ∙

Где: Xi, Yi- Значения двух переменных;

Xср, Yср- средние значения двух переменных;

σ x , σ y – стандартные отклонения,

N- количество наблюдений.

Парные корреляции

Например, мы хотели бы выяснить, как соотносятся ответы между различными видами традиционных ценностей в представлениях студентов об идеальном месте работы (переменные: а9.1, а9.3, а9.5, а9.7), а затем о соотношении либеральных ценностях (а9.2, а9.4. а9.6, а9.8) . Данные переменные измерены по 5 – членным упорядоченным шкалам.

Используем процедуру: «Анализ», «Корреляции»,«Парные». По умолчанию коэф. Пирсона установлен в диалоговом окне. Используем коэф. Пирсона

В окно отбора переносятся тестируемые переменные: а9.1, а9.3, а9.5, а9.7

Путем нажатия ОК получаем расчет:

Корреляции

а9.1.т. Насколько важно иметь достаточно времени для семьи и личной жизни?	Корреляция Пирсона
	Знч.(2-сторон)
а9.3.т. Насколько важно не бояться потерять свою работу?	Корреляция Пирсона
	Знч.(2-сторон)
а9.5.т. Насколько важно иметь такого начальника, который будет советоваться с Вами, принимая то или иное решение?	Корреляция Пирсона
	Знч.(2-сторон)
а9.7.т. Насколько важно работать в слаженном коллективе, ощущать себя его частью?	Корреляция Пирсона
	Знч.(2-сторон)

** Корреляция значима на уровне 0.01 (2-сторон.).

Таблица количественных значений построенной корреляционной матрицы

Частные корреляции:

Для начала построим парную корреляцию между указанными двумя переменными:

Корреляции
с8. Ощущают близость с теми, кто живет рядом с вами, соседями	Корреляция Пирсона
	Знч.(2-сторон)
с12. Ощущают близость со своей семьей	Корреляция Пирсона
	Знч.(2-сторон)
**. Корреляция значима на уровне 0.01 (2-сторон.).

Затем используем процедуру построения частной корреляции: «Анализ», «Корреляции»,«Частные».

Предположим, что ценность «Важно самостоятельно определять и изменять порядок своей работы» во взаимосвязи с указанными переменными окажется тем решающим фактором, под влияние которого ранее выявленная связь исчезнет, либо окажется малозначимой.

Корреляции
Исключенные переменные			с8. Ощущают близость с теми, кто живет рядом с вами, соседями	с12. Ощущают близость со своей семьей
с16. Ощущают близость с людьми, котрые имеют тот же достаток, что и вы	с8. Ощущают близость с теми, кто живет рядом с вами, соседями	Корреляция
		Значимость (2-сторон.)
	с12. Ощущают близость со своей семьей	Корреляция
		Значимость (2-сторон.)

Как видно из таблицы под влиянием контрольной переменной связь несколько снизилась: с 0, 120 до 0, 102. Однако, это незначительно снижение не позволяет утверждать, что ране выявленная связь является отражением ложной корреляции, т.к. она остается достаточно высокой и позволяет с нулевой погрешностью опровергать нулевую гипотезу.

Коэффициент корреляции

Наиболее точный способ определения тесноты и характера корреляционной связи - нахождение коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции есть число определяемое по формуле:

где r ху - коэффициент корреляции;

x i -значения первого признака;

у i -значения второго признака;

Средняя арифметическая значений первого признака

Средняя арифметическая значений второго признака

Для пользования формулой (32) построим таблицу, которая обеспечит необходимую последовательность в подготовке чисел для нахождения числителя и знаменателя коэффициента корреляции.

Как видно из формулы (32), последовательность действий такая: находим средние арифметические обоих признаков х и у, находим разность между значениями признака и его средней (х і - ) и у і - ), затем находим их произведение (х і - ) (у і - ) – суммa пocлeдних дает числитель коэффициента корреляции. Для нахождения его знаменателя следует разности (x i - )и (у і - ) возвести в квадрат, найти их суммы и извлечь корень квадратный из их произведения.

Так для примера 31 нахождение коэффициента корреляции в соответствии с формулой (32) можно представить следующим образом (табл. 50).

Полученное число коэффициента корреляции дает возможность установить наличие, тесноту и характер связи.

1. Если коэффициент корреляции равен нулю, связь между признаками отсутствует.

2. Если коэффициент корреляции равен единице, связь между признаками столь велика, что превращается в функциональную.

3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не выходит за пределы интервала от нуля до единицы:

Это дает возможность ориентироваться на тесноту связи: чем величина коэффициента ближе к нулю, тем связь слабее, а чем ближе к единице, тем связь теснее.

4. Знак коэффициента корреляции «плюс» означает прямую корреляцию, знак «минус»-обратную.

Таблица50

х і	у і	(х і - )	(у і - )	(х і - )(у і - )	(х і - )2	(у і - )2
14,00	12,10	-1,70	-2,30	+3,91	2,89	5,29
14,20	13,80	-1,50	-0,60	+0,90	2,25	0,36
14,90	14,20	-0,80	-0,20	+0,16	0,64	0,04
15,40	13,00	-0,30	-1,40	+0,42	0,09	1,96
16,00	14,60	+0,30	+0,20	+0,06	0,09	0,04
17,20	15,90	+1,50	+2,25	2,25
18,10	17,40	+2,40	+2,00	+4,80	5,76	4,00
109,80	101,00		12,50	13,97	13,94

Таким образом, вычисленный в примере 31 коэффициент корреляции r xy = +0,9. позволяет сделать такие выводы: существует корреляционная связь между величиной мышечной силы правой и левой кистей у исследуемых школьников (коэффициент r xy =+0,9 отличен от нуля), связь очень тесная (коэффициент r xy =+0,9 близок к единице), корреляция прямая (коэффициент r xy = +0,9 положителен), т. е. с увеличением мышечной силы одной из кистей увеличивается сила другой кисти.

При вычислении коэффициента корреляции и пользовании его свойствами следует учесть, что выводы дают корректные результаты в том случае, когда признаки распределены нормально и когда рассматривается взаимосвязь между большим количеством значений обоих признаков.

В рассмотренном примере 31 анализированы только 7 значений обоих признаков, что, конечно, недостаточно для подобных исследований. Напоминаем здесь еще раз, что примеры, в данной книге вообще и в этой главе в частности, носят характер иллюстрации методов, а не подробного изложения каких-либо научных экспериментов. Вследствие этого рассмотрено небольшое число значений признаков, измерения округлены - все это делается для того, чтобы громоздкими вычислениями не затемнять идею метода.

Особое внимание следует обратить на существо рассматриваемой взаимосвязи. Коэффициент корреляции не может привести к верным результатам исследования, если анализ взаимосвязи между признаками проводится формально. Возвратимся еще раз к примеру 31. Оба рассмотренных признака представляли собой значения мышечной силы правой и левой кистей. Представим себе, что под признаком x i в примере 31 (14,0; 14,2; 14,9... ...18,1) мы понимает длину случайно пойманных рыб в сантиметрах, а под признаком у і (12,1; 13,8; 14,2... ...17,4) -вес приборов в лаборатории в килограммах. Формально воспользовавшись аппаратом вычислений для нахождения коэффициента корреляции и получив в этом случае также r xy =+0>9, мы должны были заключить, что между длиной рыб и весом приборов существует тесная связь прямого характера. Бессмысленность такого вывода очевидна.

Чтобы избежать формального подхода к пользованию коэффициентом корреляции, следует любым другим методом - математическим, логическим, экспериментальным, теоретическим - выявить возможность существования корреляционной связи между признаками, то есть обнаружить органическое единство признаков. Только после этого можно приступать к пользованию корреляционным анализом и устанавливать величину и характер взаимосвязи.

В математической статистике существует еще понятие множественной корреляции - взаимосвязи между тремя и более признаками. В этих случаях пользуются коэффициентом множественной корреляции, состоящим из парных коэффициентов корреляции, описанных выше.

Например, коэффициент корреляции трех признаков-х і , у і , z і - есть:

где R xyz -коэффициент множественной корреляции, выражающий, как признак х i зависит от признаков у і и z i ;

r xy -коэффициент корреляции между признаками x i и y i ;

r xz -коэффициент корреляции между признаками Xi и Zi;

r yz - коэффициент корреляции между признаками y i , z i

Корреляционный анализ это:

Корреляционный анализ

Корреля́ция - статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

Корреляция может быть положительной и отрицательной (возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи - например, для независимых случайных величин). Отрицательная корреляция - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции отрицателен. Положительная корреляция - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, при этом коэффициент корреляции положителен.

Автокорреляция - статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса - со сдвигом по времени.

Метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции) между переменными, называется корреляционным анализом .

Коэффициент корреляции

Коэффицие́нт корреля́ции или парный коэффицие́нт корреля́ции в теории вероятностей и статистике - это показатель характера изменения двух случайных величин. Коэффициент корреляции обозначается латинской буквой R и может принимать значения между -1 и +1. Если значение по модулю находится ближе к 1, то это означает наличие сильной связи (при коэффициенте корреляции равном единице говорят о функциональной связи), а если ближе к 0, то слабой.

Коэффициент корреляции Пирсона

Для метрических величин применяется коэффициент корреляции Пирсона, точная формула которого была введена Фрэнсисом Гальтоном:

Пусть X ,Y - две случайные величины, определённые на одном вероятностном пространстве. Тогда их коэффициент корреляции задаётся формулой:

,

где cov обозначает ковариацию, а D - дисперсию, или, что то же самое,

,

где символ обозначает математическое ожидание.

Для графического представления подобной связи можно использовать прямоугольную систему координат с осями, которые соответствуют обеим переменным. Каждая пара значений маркируется при помощи определенного символа. Такой график называется «диаграммой рассеяния».

Метод вычисления коэффициента корреляции зависит от вида шкалы, к которой относятся переменные. Так, для измерения переменных с интервальной и количественной шкалами необходимо использовать коэффициент корреляции Пирсона (корреляция моментов произведений). Если по меньшей мере одна из двух переменных имеет порядковую шкалу, либо не является нормально распределённой, необходимо использовать ранговую корреляцию Спирмена или τ (тау) Кендала. В случае, когда одна из двух переменных является дихотомической, используется точечная двухрядная корреляция, а если обе переменные являются дихотомическими: четырёхполевая корреляция. Расчёт коэффициента корреляции между двумя недихотомическими переменными не лишён смысла только тогда, кода связь между ними линейна (однонаправлена).

Коэффициент корреляции Кенделла

Используется для измерения взаимной неупорядоченности.

Коэффициент корреляции Спирмена

Свойства коэффициента корреляции

• Неравенство Коши - Буняковского:

если принять в качестве скалярного произведения двух случайных величин ковариацию , то норма случайной величины будет равна , и следствием неравенства Коши - Буняковского будет: . , где . Более того в этом случае знаки и k совпадают: .

Корреляционный анализ

Корреляционный анализ - метод обработки статистических данных, заключающийся в изучении коэффициентов (корреляции ) между переменными. При этом сравниваются коэффициенты корреляции между одной парой или множеством пар признаков для установления между ними статистических взаимосвязей.

Цель корреляционного анализа - обеспечить получение некоторой информации об одной переменной с помощью другой переменной. В случаях, когда возможно достижение цели, говорят, что переменные коррелируют . В самом общем виде принятие гипотезы о наличии корреляции означает что изменение значения переменной А, произойдет одновременно с пропорциональным изменением значения Б: если обе переменные растут то корреляция положительная , если одна переменная растёт, а вторая уменьшается, корреляция отрицательная .

Корреляция отражает лишь линейную зависимость величин, но не отражает их функциональной связности. Например, если вычислить коэффициент корреляции между величинами A = s i n (x ) и B = c o s (x ), то он будет близок к нулю, т. е. зависимость между величинами отсутствует. Между тем, величины A и B очевидно связаны функционально по закону s i n 2(x ) + c o s 2(x ) = 1.

Ограничения корреляционного анализа

Графики распределений пар (x,y) с соответствующими коэффициентами корреляций x и y для каждого из них. Обратите внимание, что коэффициент корреляции отражает линейную зависимость (верхняя строка), но не описывает кривую зависимости (средняя строка), и совсем не подходит для описания сложных, нелинейных зависимостей (нижняя строка).

1. Применение возможно в случае наличия достаточного количества случаев для изучения: для конкретного вида коэффициента корреляции составляет от 25 до 100 пар наблюдений.
2. Второе ограничение вытекает из гипотезы корреляционного анализа, в которую заложена линейная зависимость переменных . Во многих случаях, когда достоверно известно, что зависимость существует, корреляционный анализ может не дать результатов просто ввиду того, что зависимость нелинейна (выражена, например, в виде параболы).
3. Сам по себе факт корреляционной зависимости не даёт основания утверждать, какая из переменных предшествует или является причиной изменений, или что переменные вообще причинно связаны между собой, например, ввиду действия третьего фактора.

Область применения

Данный метод обработки статистических данных весьма популярен в экономике и социальных науках (в частности в психологии и социологии), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна: контроль качества промышленной продукции, металловедение, агрохимия, гидробиология, биометрия и прочие.

Популярность метода обусловлена двумя моментами: коэффициенты корреляции относительно просты в подсчете, их применение не требует специальной математической подготовки. В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных.

Ложная корреляция

Часто заманчивая простота корреляционного исследования подталкивает исследователя делать ложные интуитивные выводы о наличии причинно-следственной связи между парами признаков, в то время как коэффициенты корреляции устанавливают лишь статистические взаимосвязи.

В современной количественной методологии социальных наук, фактически, произошел отказ от попыток установить причинно-следственные связи между наблюдаемыми переменными эмпирическими методами. Поэтому, когда исследователи в социальных науках говорят об установлении взаимосвязей между изучаемыми переменными, подразумевается либо общетеоретическое допущение, либо статистическая зависимость.

См. также

• Автокорреляционная функция
• Взаимнокорреляционная функция
• Ковариация
• Коэффициент детерминации
• Регрессионный анализ

Wikimedia Foundation. 2010.