Из определения следует, что для неотрицательной функции f(x) определенный интегралравен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у =f(x), прямыми х = а, х =bи осью абсциссy= 0 (рисунок 4.1).

Если функция – f(x) неположительна, то определенный интеграл
равен площади соответствующей криволинейной трапеции, взятой со знаком минус (рисунок 4.7).

Рисунок 4.7 – Геометрический смысл определенного интеграла для неположительной функции

Для произвольной непрерывной функции f(x) определенный интеграл
равен сумме площадей криволинейных трапеций, лежащих под графиком функцииf(x) и выше оси абсцисс, за вычетом суммы площадей криволинейных трапеций, лежащих над графиком функцииf(x) и ниже оси абсцисс (рисунок 4.8).

Рисунок 4.8 – Геометрический смысл определенного интеграла для произвольной непрерывной функции f(x) (знаком «плюс» помечена площадь, которую прибавляют, а «минусом» - та, которую вычитают).

При вычислении на практике площадей криволинейных фигур часто используется следующая формула:
, гдеS– площадь фигуры, заключенной между кривыми y = f 1 (x) и y = f 2 (x) на отрезке [а,b], а f 1 (x) и f 2 (x) - непрерывные функции, заданные на этом отрезке, такие, что f 1 (x) ≥ f 2 (x) (см. рисунки 4.9, 4.10).

При изучении экономического смысла производной было выяснено, что производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта или процесса во времени или относительного другого исследуемого фактора. Чтобы установить экономический смысл определенного интеграла, необходимо саму эту скорость рассмотреть в виде функции от времени или другого фактора. Тогда, так как определенный интеграл представляет собой изменение первообразной, мы получим, что в экономике он оценивает изменение этого объекта (процесса) за определенный период времени (или при определенном изменении другого фактора).

Например, если функция q=q(t) описывает производительность труда в зависимости от времени, то определенный интеграл от этой функции
представляет собой объем выпущенной продукцииQза промежуток времени отt 0 доt 1 .

Методы вычисления определенных интегралов основаны на рассмотренных ранее методах интегрирования (доказательств проводить не будем).

При нахождении неопределенного интеграла мы пользовались методом замены переменной, основанным на формуле: f(x)dx= =f((t))`(t)dt, где x =(t) - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Для определенного интеграла формула замены переменной примет вид
, где
и для всех.

Пример 1 . Найти

Пусть t= 2 –x 2 . Тогдаdt= -2xdxиxdx= - ½dt.

При х = 0 t= 2 – 0 2 = 2. При х = 1t= 2 – 1 2 = 1. Тогда

Пример 2 . Найти

Пример 3 . Найти

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла примет вид:
, где
.

Пример 1 . Найти

Пусть u=ln(1 +x),dv=dx. Тогда

Пример 2 . Найти

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 – 2 иy=x.

График функции y= х 2 – 2 представляет собой параболу с точкой минимума приx= 0,y= -2; ось абсцисс пересекается в точках
. График функции у = х – прямая, биссектриса неотрицательной координатной четверти.

Найдем координаты точек пересечения параболы у = х 2 – 2 и прямой у = х, решив систему этих уравнений:

х 2 – х - 2 = 0

х = 2; y= 2 или х = -1;y= -1

Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно представить на рисунке 4.9.

Рисунок 4.9 – Фигура, ограниченная линиями у = х 2 – 2 иy=x

На отрезке [-1, 2] х ≥ х 2 – 2 .

Воспользуемся формулой
, полагая f 1 (х) = х; f 2 (х) = х 2 – 2;a= -1;b= 2.

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х 2 иy= х 2 – 2x.

График функции y = 4 - х 2 представляет собой параболу с точкой максимума приx= 0,y= 4; ось абсцисс пересекается в точках 2 и -2. График функции у = х 2 – 2x– парабола с точкой минимума при 2x- 2 = 0, х = 1;y= -1; ось абсцисс пересекается в точках 0 и 2.

Найдем координаты точек пересечения кривых:

4 - х 2 = х 2 – 2х

2х 2 – 2х - 4 = 0

х 2 – х - 2 = 0

х = 2; y= 0 или х = -1;y= 3

Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно предствить на рисунке 4.10.

Рисунок 4.10 - Фигура, ограниченная линиями у = 4 - х 2 иy= х 2 – 2x

На отрезке [-1, 2] 4 - х 2 ≥ х 2 – 2x.

Воспользуемся формулой
, полагая f 1 (х) = 4 - - х 2 ; f 2 (х) = х 2 – 2х;a= -1;b= 2.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/х;y= х 2 иy= 4 в неотрицательной координатной четверти.

График функции у = 1/х представляет собой гиперболу, при положительных х она выпукла вниз; оси координат являются асимптотами. График функции у = х 2 в неотрицательной координатной четверти – ветвь параболы с точкой минимума в начале координат. Эти графики пересекаются при 1/х = х 2 ; х 3 = 1; х = 1; у = 1.

Прямую y= 4 график функции у = 1/х пересекает при х =1/4, а график функции у = х 2 при х = 2 (или -2).

Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно представить на рисунке 4.11.

Рисунок 4.11 - Фигура, ограниченная линиями у = 1/х; y= х 2 иy= 4 в неотрицательной координатной четверти

Искомая площадь фигуры ABCравна разности между площадью прямоугольника АВНЕ, которая равна 4*(2 – ¼) = 7, и суммой площадей двух криволинейных трапеций АСFЕ и СВНF. Вычислим площадь АСFЕ:

Вычислим площадь СВНF:

.

Итак, искомая площадь равна 7 – (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43,28 (ед. 2).

Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.

Определение.

Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).

Определенный интеграл ʃ а b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл ʃ а b f(x)dx.

Таким образом, S(G) = ʃ а b f(x)dx.

В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ а b f(x)dx.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 ; у = 1; х = 2.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.

Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.

Используя формулу S = ʃ а b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:

{у = х 3 ,
{у = 1.

Таким образом, имеем х 1 = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.

Итак, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).

Ответ: 11/4 кв. ед.

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции

у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.

Искомая площадь равна S = ʃ а b (√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:

{у = √х,
{у = 2.

Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.

Итак, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√х| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. ед.).

Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 – 4х; у = 0; х ≥ 0.

Решение.

Построим график функции у = х 3 – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.

Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у min = -16/(3√3) ≈ -3.

Определим точки пересечения графика с осями координат:

если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;

если у = 0, то х 3 – 4х = 0 или х(х 2 – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х 1 = 0, х 2 = 2, х 3 = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).

Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.

Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.

Так как функция у = х 3 – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Имеем: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, откуда S = 4 кв. ед.

Ответ: S = 4 кв. ед.

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х 2 – 2х + 1, прямыми х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х 0 = 2.

Решение.

Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х 2 – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Так как производная y’ = 4x – 2, то при х 0 = 2 получим k = y’(2) = 6.

Найдем ординату точки касания: у 0 = 2 · 2 2 – 2 · 2 + 1 = 5.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

Построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х 2 – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение 2х 2 – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).

Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.

Имеем: S О A В D = S OABC – S ADBC .

Найдем координаты точки D из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Площадь треугольника DBC найдем по формуле S ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,

S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2х + 1)dx = (2x 3 /3 – 2х 2 /2 + х)| 0 2 = 10/3 (кв. ед.).

Окончательно получим: S О A В D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.

Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями . Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры

Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры . Наконец-то ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Не .

2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений .

В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, параболу и гиперболу. Сделать это можно (многим – нужно) с помощью методического материала и статьи о геометрических преобразованиях графиков .

Собственно, с задачей нахождения площади с помощью определенного интеграла все знакомы еще со школы, и мы мало уйдем вперед от школьной программы. Этой статьи вообще могло бы и не быть, но дело в том, что задача встречается в 99 случаев из 100, когда студент мучается от ненавистной вышки с увлечением осваивает курс высшей математики.

Материалы данного практикума изложены просто, подробно и с минимумом теории .

Начнем с криволинейной трапеции.

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ .

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно , с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций . Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница , обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений .

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение : Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:

Внимание! Не следует путать два типа задач :

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение : Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .
Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться .

Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Техника поточечного построения для различных графиков подробно рассмотрена в справке Графики и свойства элементарных функций . Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.

Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».

А теперь рабочая формула : Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

На самом деле школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. простенький пример №3) – частный случай формулы . Поскольку ось задается уравнением , а график функции расположен не выше оси , то

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

Пример 5

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры , именно так несколько раз лажался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение : Сначала выполним чертеж:

…Эх, чертеж хреновенький вышел, но вроде всё разборчиво.

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Переходим еще к одному содержательному заданию.

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
Представим уравнения в «школьном» виде , и выполним поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:


,

Действительно, .

Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Ну, и в заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.

Пример 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,

Решение : Изобразим данную фигуру на чертеже.

Блин, забыл график подписать, а переделывать картинку, простите, не хотца. Не чертёжный, короче, сегодня день =)

Для поточечного построения необходимо знать внешний вид синусоиды (и вообще полезно знать графики всех элементарных функций ), а также некоторые значения синуса, их можно найти в тригонометрической таблице . В ряде случаев (как в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: – «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Класс: 11

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: вывести формулу для вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла; сформировать навык вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла; повторить известные и сообщить новые сведения из истории интегрального исчисления; подготовка к экзамену; продолжить работу по развитию внимания, речи, логического мышления, аккуратности в записи; совершенствовать графическую культуру; продолжить работу по развитию творческих способностей учащихся; повысить интерес к изучению математики;

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, презентация по теме, разработанная в среде Power Point.

Ход урока

I. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.

II. Проверка домашнего задания.

Проверка дополнительного домашнего задания (учитель показывает решение на заранее подготовленном рисунке, решение с обратной стороны доски):

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0

III. Актуализация опорных знаний.

1. Устная работа (Слайды 3-4)

1. Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:
2. Вычислите интегралы:

2. Немного истории. (Слайды 5-9)

Фрагмент компьютерного проекта учащихся на тему «Из истории интегрального исчисления».

1 учащийся

Интеграл – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным, а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Оно происходит от латинского integero , переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать.

Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция» , которое ввел Жозеф Луи Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный».

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга.

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления.

Труды Архимеда, впервые созданные в 1544 году, явились одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления.

2 учащийся

Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.

Более близко и точно к понятию интеграл подошел Исаак Ньютон . Он первый построил дифференциаль­ное и интегральное исчисления и назвал его "Методом флюксий..." (1670-1671 гг., опубл. 1736 г.). Переменные величины Ньютон назвал флюентами (текущими величинами, от лат . fluo – теку). Скорости изменения флюент Ньютон – флюксиями , а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент – "моментами " (у Лейбница они назывались дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределённого интеграла).

Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические, задачи.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный – Готфрид Вильгельм Лейбниц .

Размышляя над философ­скими и математическими вопросами, Лейб­ниц убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Знак интеграла (∫), был впервые использован Лейбницем в конце XVII века. Этот символ образовался из буквы S - сокращения слова лат. summa (сумма).

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

,
где F`(x)=f(x) .

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

Формулу, которую открыли независимо друг от друга Ньютон и Лейбниц назвали формула Ньютона – Лейбница .

Таким образом, понятие интеграл было связано с именами знаменитых ученых: Ньютон, Лейбниц, Бернулли, положивших основу современного математического анализа.

IV. Объяснение нового материала.

С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида.

Пусть фигура P ограничена прямыми х = a , x = b и графиками функций y = f (x ) и y = g (x ), причем на отрезке [a ;b ] выполняется неравенство g (x )f (x ).

Для вычисления площади фигуры будем рассуждать следующим образом. Выполним параллельный перенос фигуры P на m единиц вверх так, чтобы фигура P оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс.

Теперь она ограничена сверху и снизу графиками функций y = f (x )+m и

y = g (x )+m , причем обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [a ;b ].

Полученную фигуру обозначим ABCD . Ее площадь можно найти как разность площадей фигур:

S ABCD = S aDCb – S aABb = =
=

Таким образом, площадь фигуры S, ограниченной прямыми х = a , x = b и графиками функций y = f (x ) и y = g (x ), непрерывных на отрезке [a ;b ] и таких, что для всех х из отрезка [a ;b ] выполняется неравенство g (x )f (x ), вычисляется по формуле

Пример. (Слайд 11) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x , y = 5 – x , x = 1, x = 2.

Подберите из данных формул для вычисления площади фигуры ту, которая подходит к одному из шести чертежей. (Слайд 14)

Задание 3. (Слайд 15) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 0,5х 2 + 2, касательной к этому графику в точке с абсциссой х = -2 и прямой х = 0.

1. Составим уравнение касательной к графику функции y = 0,5х 2 + 2 в точке с абсциссой х = -2:

y = f (x 0 ) + f "(x 0 )(x – x 0 )
f (-2) = 0,5∙(-2) 2 + 2 = 4
f "(x ) = (0,5х 2 + 2)"= x
f "(-2) = -2
y = 4 – 2(x + 2)
y = -2x

2. Построим графики функций.

3. Найдем площадь фигуры АВС .

VI. Подведение итогов.

• формула для вычисления площадей плоских фигур;
• запись формул площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла;
• повторение уравнения касательной к графику функции и решения уравнения с модулем;
• выставление оценок учащимся.

VII. Домашнее задание.

1. п. 4 стр. 228-230;
2. №1025(в, г), №1037(в, г), №1038(в, г)

учебник: А. Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10–11»

5. Бесконечно малые величины (определение). Свойства бесконечно малых величин (одно из них доказать)

6. Бесконечно большые величины (определение). Связь бесконечно больших величин с бесконечно малыми величинами

7. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах

8. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва

Тема 3: Производная

9. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке

10. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему)

11. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из правил доказать)

12. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции

Тема 4. Приложения производной

13. Теорема Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем

Правило Лопиталя

14. Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать)

15. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать)

16. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем)

17. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты

18. Общая схема исследования функций и построения их графиков

Тема 5. Дифференциал функции

19. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Тема 6. Функции нескольких переменных

36. Функции нескольких переменных. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия

37. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений)

Тема 7. Неопределенный интеграл

20. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать)

Доказательство.

21. Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности его применения при вычислении определенного интеграла

22. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу)

Тема 8. Определенный интеграл

23. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

24. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница

25. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства)

26. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Тема 9. Дифференциальные уравнения

27. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса

28. Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися переменными) и их решение

29. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения

Тема 10. Числовые ряды

30. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Свойства сходящихся рядов

31. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Гармонический ряд и его расходимость (доказать)

32. Признаки сравнения и признак для знакоположительных рядов

33. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов

34. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов

35. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов

26. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Определение 1. Криволинейной трапецией , порожденной графиком неотрицательной функцииf на отрезке, называется фигура, ограниченная отрезком
оси абсцисс, отрезками прямых
,
и графиком функции
на
.

1. Разобьем отрезок
точками на частичные отрезки.

2. В каждом отрезке
(гдеk =1,2,...,n ) выберем произвольную точку .

3. Вычислим площади прямоугольников, у которых основания есть отрезки
оси абсцисс, а высоты имеют длины
. Тогда площадь ступенчатой фигуры, образованной этими прямоугольниками, равна
.

Заметим, что чем меньше длины частичных отрезков, тем более ступенчатая фигура по расположению близка к данной криволинейной трапеции. Поэтому естественно дать следующее определение.

Определение 2. Площадью криволинейной трапеции, порожденной графиком неотрицательной функции f на отрезке
, называется предел (при стремлении к 0 длин всех частичных отрезков) площадей ступенчатых фигур, если:

1) этот предел существует и конечен;

2) не зависит от способа разбиения отрезка
на частичные отрезки;

3) не зависит от выбора точек
.

Теорема 1. Если функция
непрерывна и неотрицательна на отрезке
, то криволинейная трапеция F , порожденная графиком функции f на
, имеет площадь, которая вычисляется по формуле
.

С помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур и более сложного вида.

Если f иg - непрерывные и неотрицательные на отрезке
функции, причем для всехx из отрезка
выполняется неравенство
, то площадь фигурыF ,ограниченной прямыми
,
и графиками функций
,
, вычисляется по формуле
.

Замечание. Если отбросить условие неотрицательности функцийf иg , последняя формула остается верной.

Тема 9. Дифференциальные уравнения

27. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса

Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчислением.

Определение 1. n -го порядка называется уравнение вида, в котором
- неизвестная функция.

Определение 2. Функция
называется решениям дифференциального уравнения на промежуткеI , если при подстановке этой функции и ее производных дифференциальное уравнение обращается в тождество.

Решить дифференциальное уравнение - это найти все его решения.

Определение 3. График решения дифференциального уравнения называетсяинтегральной кривой дифференциального уравнения.

Определение 4. Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида
.

Определение 5. Уравнение вида
называется дифференциальным уравнением 1-го порядка ,разрешенным относительно производной .

Как правило, любое дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить из совокупности всех решений какое-либо одно, надо наложить дополнительные условия.

Определение 6. Условие вида
, накладываемое на решение дифференциального уравнения 1-го порядка, называетсяначальным условием , илиусловием Коши .

Геометрически это означает, что соответствующая интегральная кривая проходит через точку
.

Определение 7. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка
на плоской областиD называется однопараметрическое семейство функций
, удовлетворяющее условиям:

1) для любого
функция
является решением уравнения;

2) для каждой точки
существует такое значение параметра
, что соответствующая функция
является решением уравнения, удовлетворяющим начальному условию
.

Определение 8. Решение, получаемое из общего решения при некотором значении параметра, называетсячастным решением дифференциального уравнения.

Определение 9. Особым решением дифференциального уравнения называется всякое решение, которое не может быть получено из общего решения ни при каком значении параметра.

Решение дифференциальных уравнений - очень сложная задача, и, вообще говоря, чем выше порядок уравнения, тем труднее указать способы решения уравнения. Даже для дифференциальных уравнений первого порядка удается лишь в небольшом числе частных случаев указать приемы нахождения общего решения. Более того, и в этих случаях искомое решение не всегда является элементарной функцией.

Одна из основных задач теории дифференциальных уравнений, впервые изучавшаяся О. Коши, состоит в отыскании решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

Например, всегда ли существует решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальному условию
, и будет ли оно единственным? Вообще говоря, ответ отрицательный. В самом деле, уравнение
, правая часть которого непрерывна на всей плоскости, имеет решенияy =0 иy =(x +C ) 3 ,C R . Следовательно, через любую точку оси Ох проходит две интегральные кривые.

Таким образом, функция должна удовлетворять некоторым требованиям. В следующей теореме содержится один из вариантов достаточных условий для существования и единственности решения дифференциального уравнения
, удовлетворяющего начальному условию
.