Как из бумаги сделать тетраэдр? Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре Тетраэдр на клетчатой бумаге
Live Journal
Facebook
Twitter |
тетраэдр, тетраэдр формулы
Тетра́эдр
(др.-греч. τετρά-εδρον - четырёхгранник
, от др.-греч. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες - «четыре» + др.-греч. ἕδρα - «седалище, основание») - простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.
- 1 Свойства тетраэдра
- 2 Типы тетраэдров
- 3 Объём тетраэдра
- 4 Тетраэдры в микромире
- 5 Тетраэдры в живой природе
- 6 Тетраэдры в технике
- 7 Примечания
- 8 См. также
Свойства тетраэдра
- Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
- Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.:216-217
Типы тетраэдров
Помимо правильного тетраэдра, выделяют следующие специальные виды тетраэдров.
- Равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники.
- Ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.
- Прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.
- Каркасный тетраэдр - тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий:
- существует сфера, касающаяся всех ребер,
- суммы длин скрещивающихся ребер равны,
- суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
- окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
- все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, - описанные,
- перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
- Соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны.
- Инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Объём тетраэдра
Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках, равен:
Или, где – площадь любой грани, а – высота, опущенная на эту грань.
Через длины рёбер объём тетраэдра выражается с помощью определителя Кэли-Менгера:
Тетраэдры в микромире
- Правильный тетраэдр образуется при sp3-гибридизации атомных орбиталей (их оси направлены в вершины правильного тетраэдра, а ядро центрального атома расположено в центре описанной сферы правильного тетраэдра), поэтому немало молекул, в которых такая гибридизация центрального атома имеет место, имеют вид этого многогранника
- Молекула метана СН4
- Ион аммония NH4+
- Сульфат-ион SO42-, Фосфат-ион PO43-, Перхлорат-ион ClO4- и многие другие ионы
- Алмаз C - тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
- Флюорит CaF2, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
- Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
- Комплексные ионы -, 2-, 2-, 2+
- Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр 4-
Тетраэдры в живой природе
Тетраэдр из грецких ореховНекоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.
Тетраэдры в технике
- Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
- Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
- Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр.
Примечания
- Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «τετρά-εδρον»
- Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: 86 томах (82 т. и 4 доп.). - СПб., 1890-1907.
- Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1985. - 232 с.
- В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» № 7, 1983 г.
- http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Триггер
См. также
- Симплекс - n-мерный тетраэдр
| Многогранники | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Правильные (Платоновы тела) |
|||||||||
|
Правильные невыпуклые |
Звёздчатый додекаэдр Звёздчатый икосододекаэдр Звёздчатый икосаэдр Звёздчатый многогранник Звёздчатый октаэдр | ||||||||
| Выпуклые |
|
||||||||
|
Формулы, теоремы, теории |
Теорема Александрова о выпуклых многогранниках Теорема Бликера Теорема Коши о многогранниках Теорема Линделёфа о многограннике Теорема Минковского о многогранниках Теорема Сабитова Теорема Эйлера для многогранников Формула Шлефли |
||||||||
| Прочее |
Ортоцентрический тетраэдр Равногранный тетраэдр Прямоугольный параллелепипед Группа многогранника Двенадцатигранники Телесный угол Единичный куб Изгибаемый многогранник Развёртка Символ Шлефли Многогранник Джонсона Многомерные (N-мерный тетраэдр Тессеракт Пентеракт Хексеракт Хептеракт Октеракт Энтенеракт Декеракт Гиперкуб) Паркет |
||||||||
тетраэдр, тетраэдр, тетраэдр, тетраэдр вид сбоку, тетраэдр вид сбоку, тетраэдр вид сбоку, тетраэдр гэж юу вэ, тетраэдр гэж юу вэ, тетраэдр гэж юу вэ, тетраэдр дүрс, тетраэдр дүрс, тетраэдр дүрс, тетраэдр из бумаги, тетраэдр из бумаги, тетраэдр из бумаги, тетраэдр картинки, тетраэдр картинки, тетраэдр картинки, тетраэдр определение, тетраэдр определение, тетраэдр определение, тетраэдр формулы, тетраэдр формулы, тетраэдр формулы, тетраэдр чертеж, тетраэдр чертеж, тетраэдр чертеж, тетраэдр шаблон, тетраэдр шаблон, тетраэдр шаблон
Тетраэдр Информацию О
Правильный тетраэдр. Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180?. Рис. 1.
Картинка 4 из презентации «Многогранник 2» к урокам геометрии на тему «Правильный многогранник»Размеры: 445 х 487 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать картинку для урока геометрии, щёлкните по изображению правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Для показа картинок на уроке Вы также можете бесплатно скачать презентацию «Многогранник 2.ppt» целиком со всеми картинками в zip-архиве. Размер архива - 197 КБ.
Скачать презентациюПравильный многогранник
«Доказательство теоремы Пифагора» - Доказательство Евклида. Доказательства теоремы. Алгебраическое доказательство. Геометрическое доказательство. Значение теоремы Пифагора. Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век. Формулировка теоремы. Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии.
«Правильные многогранники» - Правильный октаэдр. Правильный додекаэдр. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Названия многогранников. Кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба. Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников.
«История геометрии» - VI век до нашей эры. В геометрии много формул, фигур, теорем, задач, аксиом. Средние века. Фалес предложил способ определения расстояния до корабля на море. Древний Египет. В целом творение Евклида величественно. Фалес вычислил высоту египетской пирамиды Хеопса по длине отбрасываемой тени. В геометрии Любачевского сумма углов треугольника меньше 180°, в ней нет подобных фигур.
«Угол между векторами» - Рассмотрим направляющие прямых D1B и CB1. Найти угол между прямыми ВD и CD1. Косинус угла между векторами. Найдем координаты векторов DD1 и MN. Скалярное произведение векторов. Как находят расстояние между точками? Угол между векторами. Вычисление углов между прямыми и плоскостями. Направляющий вектор прямой.
«Геометрия Лобачевского» - На рисунке буквы расположены параллельно (стоят прямо) или нет? Неевклидова геометрия единственно правильная? Риманова геометрия получила своё название по имени Б.Римана, который заложил её основы в 1854. Наука никогда не будет стоять на месте. На рисунке изображена спираль или несколько окружностей?
«Равнобедренный треугольник» - Боковая сторона. BD - медиана. Высота. Основание. Равнобедренный треугольник. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. АВ и ВС – боковые стороны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. BD - высота. ВD - биссектриса. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.
Всего в теме 15 презентаций
Тетраэдр – самая простая фигура из многоугольников. Он состоит из четырех граней, каждая из которых представляет собой равносторонний треугольник, при этом каждая из сторон соединяется с другой всего лишь одной гранью. При изучении свойств этой трехмерной геометрической фигуры для наглядности лучше всего сделать модель тетраэдра из бумаги.
Как склеить тетраэдр из бумаги?
Для построения простого тетраэдра из бумаги нам понадобится:
- собственно бумага (плотная, можно использовать картон);
- транспортир;
- линейка;
- ножницы;
- клей;
- тетраэдр из бумаги, схема.
Ход работы
- если бумага очень плотная, то по местам сгибов следует провести твердым предметом, например, ребром линейки;
- для того, чтобы получить разноцветный тетраэдр, можно раскрасить грани или выполнить развертку на листах цветной бумаги.
Как из бумаги сделать тетраэдр без склеивания?
Предлагаем вашему вниманию мастер-класс, в котором рассказывается, как собрать 6 тетраэдров из бумаги в единый модуль при помощи техники оригами.
Нам понадобится:
- 5 пар квадратных листов бумаги различных цветов;
- ножницы.
Ход работы
- Каждый лист бумаги делим на три равные части, разрезаем и получаем полосы, соотношение сторон в которых 1 к 3. В результате получаем 30 полос, из которых и будем складывать модуль.
- Кладем полосу пред собой лицевой стороной вниз, вытянув по горизонтали. Сгибаем пополам, разворачиваем и подгибаем к середине края.
- На дальнем правом краю сгибаем угол так, чтобы сделать стрелку, поведя ее на 2-3 см от края.
- Аналогичным образом сгибаем левый угол (фото как из бумаги сделать тетраэдр 3).
- Перегибаем правый верхний угол маленького треугольничка, который получился в результате предыдущей операции. Таким образом, боковые стороны сложенного края окажутся под одинаковым углом.
- Разворачиваем полученную складку.
- Разворачиваем левый уголок и по уже имеющимся линиям сгиба заворачиваем угол внутрь как показано на фото.
- В правом углу сгибаем верхний край вниз таким образом, чтобы он пересекся со складкой, сделанной во время операции №3.
- Внешний край еще раз заворачиваем направо, используя складку, выполненную в результате операции №3.
- Предыдущие операции повторяем с другого конца полоски, но так, чтобы маленькие складочки оказались на параллельных концах полоски.
- Полученную полоску складываем пополам по длине и даем ей немого раскрыться самопроизвольно. Точный угол раскрытия станет понятен потом, при окончательной сборке модели. Элемент готов, теперь аналогичным образом делаем еще 29.
- Звено переворачиваем таким образом, чтобы во время сборки была видна его внешняя сторона. Соединяем два звена, вставив язычок в кармашек, образованный маленьким внутренним углом.
- Соединенные звенья должны образовывать угол в 60 ⁰, под которым будут присоединяться и другие звенья (фото как из бумаги сделать тетраэдр 13).
- Добавляем третье звено ко второму, а второе соединяем с первым. Получается конец фигуры, на вершине которой соединяются все три ее звена.
- Аналогичным образом добавляем еще три звена. Первый тетраэдр готов.
- Углы у готовой фигуры могут быть не совсем одинаковыми, поэтому для более точной подгонки следует оставлять открытыми отдельные углы всех последующих тетраэдров.
- Между собой тетраэдры следует соединять так, чтобы угол одного проходил сквозь отверстие в другом.
- Три соединенных между собой тетраэдра.
- Четыре соединенных между собой тетраэдра.
- Модуль из пяти тетраэдров готов.
Если вы справились с тетраэдром, можно продолжить и смастерить
Разделы: Математика
План подготовки и проведения занятия:
I. Подготовительный этап:
- Повторение известных свойств треугольной пирамиды.
- Выдвижение гипотез о возможных, не рассмотренных ранее, особенностях тетраэдра.
- Формирование групп для проведения исследований по данным гипотезам.
- Распределение заданий для каждой группы (с учётом желания).
- Распределение обязанностей по выполнению задания.
II. Основной этап:
- Решение гипотезы.
- Консультации с учителем.
- Оформление работы.
III. Заключительный этап:
- Представление и защита гипотезы.
Цели занятия:
- обобщить и систематизировать знания и умения учащихся; изучить дополнительный теоретический материал по указанной теме; научить применять знания при решении нестандартных задач, видеть в них простые составляющие;
- формировать навык работы учащихся с дополнительной литературой, совершенствовать умение анализировать, обобщать, находить главное в прочитанном, доказывать новое; развивать коммуникативные навыки учащихся;
- воспитывать графическую культуру.
Подготовительный этап (1урок):
- Сообщение учащегося “Тайны великих пирамид”.
- Вступительное слово учителя о разнообразии видов пирамид.
- Обсуждение вопросов:
- По каким признакам можно объединять неправильные треугольные пирамиды
- Что мы понимаем под ортоцентром треугольника, и что можно называть ортоцентром тетраэдра
- Существует ли ортоцентр у прямоугольного тетраэдра
- Какой тетраэдр называют равногранным Какими свойствами он может обладать
- В результате рассмотрения разнообразных тетраэдров, обсуждения их свойств уточняются понятия и появляется некоторая структура:
- Рассмотрим свойства правильного тетраэдра.(Приложение)
Свойства 1-4 доказываются устно с использованием Слайда1.
Свойство 1: Все ребра равны.
Свойство 2: Все плоские углы равны 60°.
Свойство 3: Суммы плоских углов при любых трех вершинах тетраэдра равны 180°.
Свойство 4: Если тетраэдр правильный, то любая его вершина проектируется в ортоцентр противоположной грани.
Дано:
ABCD – правильный тетраэдр
AH – высота
Доказать:
H –ортоцентр
Доказательство:
1) точка H может совпадать с какой-либо из точек A, B, C. Пусть H ?B, H ?C
2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,
3) Рассмотрим ABH, BCH, ADH
AD – общая => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH
AB = AC = AD т. H – является ортоцентром ABC
Что и требовалось доказать.
- На первом уроке Свойства 5-9 формулируются как гипотезы, которые требуют доказательства.
Каждая группа получает своё домашнее задание:
Доказать одно из свойств.
Подготовить обоснование с презентацией.
II. Основной этап (в течение недели):
- Решение гипотезы.
- Консультации с учителем.
- Оформление работы.
III. Заключительный этап (1-2 урока):
Представление и защита гипотезы с использование презентаций.
При подготовке материала к заключительному уроку учащиеся приходят к выводу об особенности точки пересечения высот, мы договариваемся называть её “удивительной” точкой.
Свойство 5: Центры описанной и вписанной сфер совпадают.
Дано:
DABC –правильный тетраэдр
О 1 - центр описанной сферы
О - центр вписанной сферы
N – точка касания вписанной сферы с гранью АВС
Доказать: О 1 = О
Доказательство:
Пусть OA = OB =OD = OC – радиусы описанной окружности
Опустим ОN + (ABC)
AON = CON – прямоугольные, по катету и гипотенузе => AN = CN
Опустим OM + (BCD)
COM DOM - прямоугольные, по катету и гипотенузе => CM = DM
Из п. 1 CON COM => ON =OM
ОN + (ABC) => ON,OM – радиусы вписанной окружности.
Теорема доказана.
Для правильного тетраэдра существует возможность его взаимного расположения со сферой – касание с некоторой сферой всеми своими ребрами. Такую сферу иногда называют “полувписанной”.
Свойство 6: Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер и перпендикулярные этим ребрам являются радиусами полувписанной сферы.
Дано:
ABCD – правильный тетраэдр;
AL =BL, AK=CK, AS=DS,
BP=CP, BM = DM, CN = DN.
Доказать:
LO = OK = OS = OM = ON =OP
Доказательство.
Тетраэдр ABCD – правильный => AO= BO = CO =DO
Рассмотрим треугольники AOB, AOC, COD, BOD,BOC, AOD.
AO=BO=>?AOB – равнобедренный =>
OL – медиана, высота, биссектриса
AO=CO=>?AOC– равнобедренный =>
ОK– медиана, высота, биссектриса
CO=DO=>?COD– равнобедренный =>
ON– медиана, высота, биссектриса AOB=>
AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– равнобедренный =>
BOD= BOC= AOD
OM– медиана, высота, биссектриса
AO=DO=>?AOD– равнобедренный =>
OS– медиана, высота, биссектриса
BO=CO=>?BOC– равнобедренный =>
OP– медиана, высота, биссектриса
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD
3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - высоты в равных OL,OK,ON,OM,OS, OP радиусы
равнобедренных треугольниках сферы
Следствие:
В правильном тетраэдре можно провести полувписанную сферу.
Свойство 7: если тетраэдр правильный, то каждые два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны.
Дано:
DABC – правильный тетраэдр;
H – ортоцентр
Доказать:
Доказательство:
DABC – правильный тетраэдр =>?ADB – равносторонний
(ADB) (EDC) = ED
ED – высота ADB => ED +AB,
AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + CD.
Аналогично доказывается перпендикулярность других ребер.
Свойство 8: Шесть плоскостей симметрии пересекаются в одной точке. В точке О пересекаются четыре прямые, проведенные через центры описанных около граней окружностей перпендикулярно к плоскостям граней, и точка О является центром описанной сферы.
Дано:
ABCD – правильный тетраэдр
Доказать:
О – центр описанной сферы;
6 плоскостей симметрии пересекаются в точке О;
Доказательство.
CG + BD , т.к. BCD - равносторонний => GO + BD (по теореме о трех GO + BD перпендикулярах)
BG = GD, т.к. AG – медиана ABD
ABD (ABD)=> ? BOD - равнобедренный => BO=DO
ED + AB , т.к. ABD –равносторонний => OE + AD(по теореме о трёх перпендикулярах)
BE = AE, т.к. DE – медиана?ABD
ABD (ABD) =>?AOB – равнобедренный =>BO=AO
(AOB) (ABD) = AB
ON + (ABC) OF + AC (по теореме о трёх
BF + AC, т.к. ABC - равносторонний перпендикулярах)
AF = FC, т.к. BF – медиана?ABC
ABC (ABC) => AOC - равнобедренный => AO = CO
(AOC) ?(ABC) = AC
BO = AO =>AO = BO = CO = DO – радиусы сферы,
AO = CO описанной около тетраэдра ABCD
(ABR) (ACG) = AO
(BCT) (ABR) = BO
(ACG) (BCT) = CO
(ADH) (CED) = DO
AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)
Следовательно:
Точка О является центром описанной сферы,
6 плоскостей симметрии пересекаются в точке О.
Свойство 9 : Тупой угол между перпендикулярами, проходящими через вершины тетраэдра к ортоцентрам, равен 109°28"
Дано:
ABCD – правильный тетраэдр;
O – центр описанной сферы;
Доказать:
Доказательство:
1)AS – высота
ASB = 90 o OSB прямоугольный
2)(по свойству правильного тетраэдра)
3)AO=BO – радиусы описанной сферы
4) 
70°32"
6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC
Заключение.
(Учитель и учащиеся подводят итоги занятия. С кратким сообщением о тетраэдрах, как структурной единице химических элементов, выступает один из учащихся.)
Изучены свойства правильного тетраэдра и его “удивительная” точка.
Выяснено, что форму только такого тетраэдра, имеющего все выше перечисленные свойства, а также “идеальную” точку, могут иметь молекулы силикатов и углеводородов. Или же молекулы могут состоять из нескольких правильных тетраэдров. В настоящее время тетраэдр известен не только как представитель древних цивилизации, математики, но и как основа строения веществ.
Силикаты – солеобразные вещества, содержащие соединения кремния с кислородом. Их название происходит от латинского слова “силекс” – “кремень”. Основу молекул силикатов составляет атомные радикалы , имеющие форму тетраэдров.
Силикаты – это и песок, и глина, и кирпич, и стекло, и цемент, и эмаль, и тальк, и асбест, и изумруд, и топаз.
Силикаты слагают более 75 % земной коры (а вместе с кварцем около 87%) и более 95% изверженных горных пород.
Важной особенностью силикатов является способность к взаимному сочетанию (полимеризации) двух или нескольких кремнекислородных тетраэдров через общий атом кислорода.
Такую же форму молекул имеют предельные углеводороды, но состоят они, в отличии от силикатов, из углерода и водорода. Общая формула молекул
К углеводородам можно отнести природный газ.
Предстоит рассмотреть свойства прямоугольного и равногранного тетраэдров.
Литература.
- Потапов В.М., Татаринчик С.Н. “Органическая химия”, Москва 1976г.
- Бабарин В.П. “Тайны великих пирамид”, Санкт-Петербург, 2000г.
- Шарыгин И. Ф. “Задачи по геометрии”, Москва, 1984г.
- Большой энциклопедический словарь.
- “Школьный справочник”, Москва, 2001г.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Добрый день! Мы продолжаем с вами изучать тему: «Параллельность прямых и плоскостей».
Я думаю, уже понятно, что сегодня речь пойдет о многогранниках- поверхностях геометрических тел, составленных из многоугольников.
А именно о тетраэдре.
Проводить изучение многогранников будем по плану:
1. определение тетраэдра
2. элементы тетраэдра
3. развертка тетраэдра
4. изображение на плоскости
1. построим треугольник АBC
2. точка D, не лежащая в плоскости этого треугольника
3. соединяем точку D отрезками с вершинами треугольника ABC. Получим треугольники DAB, DBC и DCA.
Определение: Поверхность составленная из четырех треугольников АBC, DAB, DBC и DCA называется тетраэдром.
Обозначение: DABC.
Элементы тетраэдра
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны ребрами, а вершины - вершинами тетраэдра.
Сколько граней, ребер и вершин имеет тетраэдр?
Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины
Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.
На рисунке противоположными являются ребра AD и BC, BD и AC, CD и AB
Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие - боковыми гранями.
Развертка тетраэдра.
Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется следующая развертка,
ее нужно перенести на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить.
На плоскости тетраэдр изображается
В виде выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра.
На первом рисунке AC- невидимое ребро,
на втором - EK, LK и KF.
Решим несколько типовых задач на тетраэдр:
Найти площадь развертки правильного тетраэдра с ребром 5 см.
Решение. Начертим развертку тетраэдра
(на экране появляется развертка тетраэдра)
Данный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников, следовательно, площадь развертки правильного тетраэдра равна площади полной поверхности тетраэдра или площади четырех правильных треугольников.
Площадь правильного треугольника ищем по формуле:
Тогда получаем площадь тетраэдра равна:
Подставим в формулу длину ребра а=5 см,
получается
Ответ: Площадь развертки правильного тетраэдра
Постройте сечение тетраэдра плоскостью проходящей через точки M, N и K.
а) Действительно, соединим точки M и N (принадлежат грани ADC), точки M и K(принадлежат грани ADB), точки N и K (грани DBC). Сечением тетраэдра является треугольник MKN.
б) Соединим точки M и K (принадлежат грани ADB), точки K и N(принадлежат грани DCB), далее прямые MK и AB продолжить до пересечения и поставить точку P. Прямая PN и точка T лежат в одной плоскости АВС и теперь можно построить пересечение прямой МК с каждой гранью. В результате получается четырехугольник MKNT, который является искомым сечением.