Переходные процессы в RLC цепях

Линейные цепи 2-го порядка содержат два разнотипных реактивных элемента L и C. Примерами таких цепей являются последовательный и параллельный резонансные контуры (рис.1).

Рис. 1. Линейные цепи второго порядка: а - последовательный резонансный контур; б - параллельный резонансный контур

Переходные процессы в колебательных контурах описываются дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Рассмотрим случай разряда емкости на RL цепь (рис.2). Составим уравнение цепи по первому закону Кирхгофа:

После дифференцирования (1) получим

Рис. 2.

Решение U с (t) уравнения (2) находим как сумму свободной U св (t) и принужденной U пр составляющих

U с =U св +U пр. (3)

U пр зависит от Е, а U св (t) определяется решением однородного дифференциального уравнения вида

Характеристическое уравнение для (4) имеет вид

LCpІ + RCp + 1 = 0, (5)

Корни характеристического уравнения

Величину R/2L = б называют коэффициентом затухания, - резонансной частотой контура. При этом

Характер переходных процессов в контуре зависит от вида корней p 1 и p 2 . Они могут быть:

1) вещественные, различные при R > 2с, Q < 0,5;

2) вещественные и равные при R = 2с, Q = 0,5;

3) комплексно-сопряженные при R < 2с, Q > 0,5.

Здесь - характеристическое сопротивление, Q = с/R - добротность контура.

В схеме рис. 2 до коммутации при t<0 емкость заряжена до напряжения U c (0 -) = E. После коммутации емкость начинает разряжаться и в контуре возникает переходный процесс. В случае 1 при Q < 0,5 решение уравнения (2) имеет вид

Для нахождения постоянных интегрирования А 1 и А 2 запишем выражение для тока в цепи

Используя начальные условия U c (0 -) = E и i(0 -) = 0, получаем систему уравнений

Из решения системы имеем

В результате для тока и напряжений в контуре получим

Переходные процессы в цепях второго порядка

Определение независимой переменной.

I L - независимая переменная

Составляем дифференциальное уравнение для переходного процесса в цепи и записываем общее решение.

I L (t)=i св (t)+i пр

Определим начальные условия.

IL(0)=E/R=19.799А

Запишем решение дифф. уравнения для свободной составляющей.

i св (t)=A*e бt *sin(wt+и)

Z вх =2R+jwL+1/jwC

p=-883.833-7.016i*10 3

ф=1/|б|=1.131*10 -3

T=2р/w=8.956*10 -4

Определим принужденные составляющие при t=?

Определим постоянный интегрирования Aи и

U L (t)=LAбwe бt *sin(wt+и)

i L (t)=Ae бt *sin(wt+и)

LAб*sin и+ LAw*cosи =0

р Acos и=2.494

tg и=19.799/Acos и=7.938

Спектральное представление периодических процессов в электрических цепях

Во многих случаях в установившемся режиме кривые периодических э.д.с., напряжений и токов в электрических цепях могут отличаться от синусоидальных. При этом непосредственное применение символического метода для расчета цепей переменного тока становится невозможным. Для линейных электрических цепей задача расчета может быть решена на основе метода суперпозиции с использованием спектрального разложения несинусоидальных напряжений и токов в ряд Фурье. В общем случае ряд Фурье содержит постоянную составляющую, первую гармонику, частота которой совпадает с частотой щ 1 =2р/T периодического с периодом T тока или напряжения, и набор высших гармоник с частотами щ n =nщ 1 , кратными основной частоте щ 1 . Для большинства периодических функций ряд Фурье содержит бесконечное число членов. На практике ограничиваются конечным числом членов ряда. При этом исходная периодическая функция будет представлена с помощью ряда Фурье с некоторой погрешностью.

Пусть имеется периодическая с периодом Т э.д.с. е(t)=e(t±nT), удовлетворяющая условиям Дирихле (функция на интервале Т имеет конечное число разрывов и экстремумов). Такая функция может быть представлена суммой гармонических составляющих с различными амплитудами Е n , частотами щ n =nщ 1 и начальными фазами ц n в виде ряда Фурье

Ряд Фурье можно представить в другой форме:

Постоянная составляющая Е 0 и коэффициенты ряда Фурье В n и С n рассчитываются по формулам

Для нечетных функций е(t) коэффициенты С n =0, а для четных B n =0, Связь между коэффициентами B n , C n и амплитудами Е n и фазами ц n гармоник определяется соотношениями

Диаграмма, на которой изображают зависимость амплитуды гармоник E n от частоты щ n =nщ 1 , называют спектром.

Используя метод суперпозиции и спектральное представление периодической э.д.с. в виде ряда Фурье электрическую цепь можно рассчитать по следующей методике:

1. Несинусоидальная периодическая э.д.с. е(t) раскладывается в ряд Фурье и определяются амплитуды E n и фазы ц n всех гармоник э.д.с.

2. В интересующей ветви рассчитываются токи i 0 , i 1 ,...i n , создаваемые каждой гармоникой э.д.с.

3. Искомый ток в ветви находится как сумма токов

Так как составляющие тока i(t) либо постоянная величина i 0 , либо синусоидальные токи i n , то для их определения применяют известные методы расчета цепей постоянного и переменного синусоидального токов.

Лабораторная работа №4

Цель работы: исследование переходных процессов в RLC – цепях при воздействии прямоугольных импульсов напряжения.

Одним из методов исследования переходных процессов в электрических цепях является операторный метод /1,2/. При этом используется преобразование Лапласа:

определяющее изображение F(p) по известному оригиналу f(t) .

Решение интегро-дифференциального уравнения цепи относительно искомой функции времени (оригинала) сводится к решению алгебраического уравнения для изображения.

1. RC - цепь

Пусть на вход цепи, схема которой приведена на рис.1,а, подается прямоугольный импульс напряжения. Требуется найти форму напряжения на входе цепи, Для этого необходимо выполнить следующие этапы вычислений:

1) записать аналитическое выражение входного сигнала;

2) составить интегро-дифференциальное уравнение цепи;

3) перейти к операторному уравнению;

4) решив операторное уравнение, найти изображение искомой функции;

5) перейти к оригиналу искомой функции.

Аналитическое выражение идеального прямоугольного импульса напряжения амплитуды E запишем в виде.

где l(t) – единичная функция, определяемая условиями:

l(t)=0, если t<0 и l(t)=1, если t>=0.

Выражение (2) представлено графически на рис.1,б. Для t>t u разность единичных функций дает нуль. Уравнение цепи имеет вид

где входное воздействие U(t) определяется выражением (2), U R (t) и i(t) – напряжение на конденсаторе и ток в цепи в произвольный момент времени. Выходное напряжение U R =i(t)R с точностью до множителя R совпадает с i(t) , поэтому выберем i(t) в качестве искомой функции и учтем, что i(t)=dq(t)/dt=CdU C (t)/dt . Тогда (3) с учетом (2) примет вид

Введем изображение тока I(p)=a и применим преобразование Лапласа (1) к обеим частям (4) . С учетом изображения единичной функции и теоремы интегрирования оригинала операторное уравнение примет вид

Решение его

Переход к оригиналу осуществляется также о помощью таблицы 1:

Таблица 1

Некоторые свойства преобразования Лапласа

№ Свойство

Графически зависимость (7) представлена на рис.1,в для случая t<

Рассмотрим схему на рис.2,а. Для получения зависимости U c (t) при входном воздействии (2) уравнение (3) представим так:

Вводя изображение напряжения U c (p)=a, переходим с помощью табл.1 к операторному уравнению:

где учтено, что U c (0)=0. Решая (9) относительно U c (p) и переходя к оригиналу, получим

Графически эта зависимость представлена на рис.2,в.

Таким образом, как следует из выражений (7) и (10) (см. рис1,в;1,г;2,в), передний и задний фронты входного П-импульса напряжения вызывают в RC-цепи переходной процесс. На переднем фронте происходит протяженный во времени заряд конденсатора (увеличение U c (t)), а ток i(t) по мере заряда конденсатора уменьшается до нуля. При воздействии заднего фронта импульса начинается заряд конденсатора через резистор и источник входного сигнала. Ток при этом течет в противоположном направлении и постепенно уменьшается по абсолютной величине. С этим связано появление на осциллограмме отрицательного выброса U R (t). Время переходного процесса, т.е. время, за которое конденсатор зарядится до напряжения источника E, теоретически бесконечно велико. На практике длительность переходного процесса в RC-цепях характеризуют постоянной времени t=RC , которая показывает, за какой промежуток времени ток в цепи уменьшается в e раз (из (7) при t=t i=0,367(E/R)) или - за какой промежуток времени напряжение на конденсаторе достигнет величины 0,633 E (из (10)) при t=t U c =(1-e -1)E=0,633E). При оценке t по осциллограмме U c (t) следует выполнить условие t<

осциллограммы U R (t) и U C (t) будут иметь вид, показанный на рис.1,д и 2,г.

Рассмотрим RL-цепь, схема которой представлена на рис.3,а, для которой входное напряжение

U(t)=i(t)R+U L (t) (11)

Или с учетом (2) и U L (t)=L di(t)/dt

Сравнивая (12) и (4), заметим, что эти уравнения совпадают при взаимной замене искомых функций и введении для RL- цепи постоянной времени t=R/L, поэтому решение (12) запишем по аналогии с (7):

где t=L/R . Форма напряжения U L (t) для RL-цепи повторяет форму напряжения U R (t) для RL-цепи (рис.3). Аналогично можно показать, что форма U R (t) для RL-цепи повторяет форму U C (t) для RC-цепи (рис.4). Для этого достаточно из (11) получить уравнение относительно l(t) и сравнить его с (8).

Переходной процесс в RL-цепи на переднем и заднем фронте входного импульса обусловлен протяженностью процесса накопления и рассеивания энергии магнитного поля в катушке.

В радиоэлектронике применяются цепи, напряжение на входе которых пропорционально производной или интегралу от входного напряжения. Такие цепи называются соответственно дифференцирующие или интегрирующими. Дифференцирующими являются цепи, схемы которых приведены на рис.1 и 3, если их постоянные времени достаточно малы (по сравнению с длительностью входного сигнала). Интегрирующими являются цепи, схемы которых показаны на рис 2. И 4, если их постоянные времени достаточно велики (по сравнению с интервалом интегрирования). Для этого выходное напряжение приходится выбирать существенно меньшим выходного.

3. RLC-цепь.

Рассмотрим цепь, схема которой представлена на рис.5,а. Для упрощения расчета рассмотрим воздействие на цепь положительной ступеньки напряжения, т.е. входное воздействие выберем в виде U(t)=E l(t). Тогда уравнение U(t)=U R (t)+U L (t)+U C (t), записанное относительно U C (t), примет вид

Переходя к операторному уравнению относительно изображения и решая его, найдем

Корни P 1,2 =

Уравнения p 2 +(r/L)p+1/LC=0, могут быть комплексными, вещественными(равными в частном случае), поэтому различают колебательный, апериодический и критический режим работы контура. При условии (l/LC)>R 2 /4L 2 имеем колебательный конур. Тогда, полагая p 1 =-s ± jw, где s=R/2L – коэффициент затухания контура, - круговая частота свободных (собственных) колебаний, - резонансная частота контура, перепишем (15) так:

Корни знаменателя в (16) простые, поэтому, применяя теорему разложения (см.табл.1) и считая затухание малым , т.е. w=w 0, имеем

Отсюда видно, что ток в цепи и напряжение на конденсаторе осциллируют, причем амплитуде осцилляций монотонно убывает, что характерно для переходного процесса в колебательном контуре.

4. Практическая часть

1. Ознакомится с оборудованием (генератор прямоугольных импульсов напряжения, осциллограф, макет).

2.Собрать RC-цепь. С помощью осциллографа просмотреть и зарисовать формы входного импульса напряжения и импульсов напряжения на резисторе и конденсаторе. По осциллограммам оценить постоянную времени цепи t и сравнить ее с произведением RC, где R C – номинальные значения параметров элементов.

3.Выполнить задание п.2 для случаев, когда на одну и ту же RC-цепь действует прямоугольные импульсы напряжения разной длительности и импульс с t u =const действует на RC-цепь, постоянная времени которой изменяется за счет изменения как R , так и C. Рассмотреть случаи t<t u . Для случая t<

4. Выполнить задания пунктов 2 и 3 применимо к RL-цепям. Для случая t<

5. Собрать последовательную RLC-цепь. С помощью осциллографа просмотреть и зарисовать формы входного импульса напряжения и импульсов напряжения на элементах цепи. По осциллограммам напряжения на элементах цепи наблюдать переход от апериодического к колебательному при изменении коэффициента затухания

В колебательном режиме оценить период колебаний T и сопоставить его с вычисленным значением. Зарегистрировать зависимость T от емкости С при .

6. Обсудить полученные результаты.

5. Контрольные вопросы

1. Что такое переходной процесс в электрической цепи?

2. Как оценивают длительность переходного процесса?

3. Что такое постоянная времени электрической цепи?

4. Какими выражениями описываются зависимости напряжений на элементах RC и RL – цепей от времени, если входным воздействием являются прямоугольный импульс напряжения?

5. Как оценить постоянную времени электрической цепи по осциллограмме напряжения на элементе цепи?

6. Можно ли оценить t по осциллограмме рис.2,г, используя переходной фронт импульса?

7. Всегда ли одинаковы постоянные времени цепи, оцененные по переднему и заднему фронту импульса?

8. Какие физические процессы происходят в RC и RL –цепях при воздействии прямоугольного импульса напряжения?

9. Почему в RLC-цепи возникает колебательный процесс при прямоугольном импульсе на входе?

10. Как можно качественно объяснить осциллограммы l(t) и U c (t) на рис.5?

11. Каким образом изменяются осциллограммы i(t) и U c (t) на рис.5 при изменении параметров колебательного контура?

Гинзбург С.Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – М.:Высш.шк.,1967.-388 с.

Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. – М.: Высш.шк., 1981. – 334 с.

Цепь c реактивными элементами L и С запасает энергию как в магнитном, так и в электрическом поле, поэтому в ней отсутствуют скачки тока и напряжения. Найдем переходные i и , связанные с запасами энергии в RLC -цепи (рис. 7.13), при ее включении на произвольное напряжение u , считая конденсатор С предварительно разряженным.

Уравнение состояния цепи удовлетворяет второму закону Кирхгофа:

.

Выразив ток через емкостное напряжение:

,

получим уравнение

,

порядок которого определен числом элементов в цепи, способных к накоплению энергии. Поделив обе части уравнения на коэффициент LC при производной высшего порядка, найдем уравнение переходного процесса:

, (7.17)

общее решение которого состоит из суммы двух слагаемых:

Принужденная составляющая определяется видом приложенного напряжения. При включении цепи на ток установившегося режима и все напряжение будет приложено к емкости . При включении цепи на установившиеся ток и напряжения на элементах R, L, C будут синусоидальны. Принужденную составляющую рассчитывают символическим методом, а затем переходят от комплекса к мгновенному значению .

Свободную составляющую определяют из решения однородного уравнения

(7.18)

как сумму двух экспонент (два элемента накопления энергии L , C ):

где - корни характеристического уравнения

.

Характер свободной составляющей зависит от вида корней

, (7.20)

которые могут быть действительными или комплексными, и определяется соотношением параметров RLC -цепи.

Возможны три варианта переходного процесса:

- апериодический , когда переходные ток и напряжения приближаются к конечному установившемуся режиму без изменения знака. Условие возникновения:

(7.21)

где - критическое сопротивление . При этом корни характерис-тического уравнения - действительные, отрицательные и
разные: ; постоянные времени также разные: ;

- предельный режим апериодического .Условие возникновения:

. (7.22)

Корни характеристического уравнения - действительные, отрицательные и равные: ; постоянные времени также равны: . Предельному режиму соответствует общее решение однородного уравнения (7.18) в виде

; (7.23)

- периодический, иликолебательный , когда переходные ток и напряжения приближаются к конечному установившемуся режиму, периодически изменяя знак и затухая во времени по синусоиде. Условие возникновения:

. (7.24)

Корни характеристического уравнения - комплексно сопряженные с отрицательной действительной частью:

где α - коэффициент затухания :

ω св - угловая частота свободных (собственных) колебаний :

. (7.26)

Переходный процесс в этом случае - результат колебательного обмена энергией с частотой свободных колебаниймежду реактивными элементами L и C цепи. Каждое колебание сопровождается потерями в активном сопротивлении R , обеспечивающими затухание с постоянной времени .

Общее решение уравнения (7.18) при колебательном переходном процессе имеет вид

где А и γ - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Запишем напряжение u C и ток i , связанные с запасами энергии в цепи, для случая вещественных и разных корней характеристического уравнения:

Из начальных условий

(7.30)

определим постоянные интегрирования А 1 и А 2 .

Рассмотрим включение RLC- цепи на напряжение . Принужденные составляющие емкостного напряжения и тока определяются из конечного установившегося режима при и равны:

. (7.31)

Тогда система уравнений (7.30) для определения постоянных интегрирования принимает вид

(7.32)

Решение системы (7.32) дает:

; (7.33)

. (7.34)

В результате подстановки принужденных составляющих и постоянных А 1 и А 2 в выражения для переходных напряжения u C (t ) (7.28) и тока i (t ) (7.29) получим:

; (7.35)

так как согласно теореме Виета .

Зная переходный ток, запишем переходные напряжения:

;

. (7.37)

В зависимости от вида корней возможны три варианта переходного процесса.

1. При переходный процесс- апериодический , тогда

На рис. 7.14, а , б приведены кривые , и их составляющие; на рис. 7.14, в кривые , , представлены на одном графике.

Как следует из кривых (рис. 7.14, в ), ток в цепи растет плавно от нуля до максимума, а затем плавно убывает до нуля. Время t 1 достижения максимума тока определяют из условия . Максимуму тока соответствуют точка перегиба кривой емкостного напряжения () и нуль индуктивного напряжения ().

Напряжение в момент коммутации возрастает скачком до U 0 , затем уменьшается, проходит через нуль, меняет знак, возрастает по модулю до максимума и снова уменьшается, стремясь к нулю. Вре-
мя t 2 достижения максимума напряжения на индуктивности определяют из условия . Максимуму соответствует точка перегиба кривой тока, так как .

На участке роста тока () ЭДС самоиндукции, препятствующая росту, отрицательна. Напряжение, затрачиваемое источником на преодоление ЭДС, . На участке убывания тока () ЭДС , а напряжение, уравновешивающее ЭДС, .

2. При в цепи возникает предельный (пограничный ) режим апериодического переходного процесса; кривые , и подобны кривым на рис. 7.14, характер процесса не меняется.

3. При в цепи возникает периодический (колебательный )переходный процесс, когда

где - резонансная частота , на которой в RLC -цепи будет резонанс.

Подставив сопряженные комплексы в уравнение для емкостного напряжения (7.35), получим:

Подставив сопряженные комплексы в уравнение для тока (7.36), получим:

Подставив комплексы в (7.37), получим для напряжения на индуктивности

Для построения зависимостей , , необходимо знать период собственных колебаний и постоянную времени .

На рис. 7.15 приведены кривые , и для достаточно большой постоянной . Порядок построения следующий: сначала строят огибающие кривые (на рис. 7.15 – пунктирные кривые) по обе стороны от конечного установившегося режима. С учетом начальной фазы в том же масштабе, что и t, откладывают четверти периода, в которых синусоида достигает максимума или обращается в нуль. Синусоиду вписывают в огибающие таким образом, чтобы она касалась огибающих в точках максимума.

Как следует из кривых u С (t ), i (t ) и u L (t ), емкостное напряжение отстает от тока по фазе на четверть периода, а индуктивное опережает ток на четверть периода, находясь в противофазе с емкостным напряжением. Нуль индуктивного напряжения () и точка перегиба кривой емкостного напряжения () соответствуют максимуму тока./Максимуму индуктивного напряжения соответствует точка перегиба кривой тока ().

Ток i (t ) и напряжение u L (t ) совершают затухающие колебания около нулевого значения, напряжение u С (t ) – около установившегося U 0 . Емкостное напряжение в первую половину периода достигает максимальной величины, не превышая 2U 0 .

В случае идеального колебательного контура w

называемый логарифмическим декрементом затухания .

Идеальному колебательному контурусоответствует .

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 70.1).

Общий вид решения для тока: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

Установившаяся составляющая: Iy=0

Характеристическое уравнение и его корни:

Дифференциальное уравнение:

Независимые начальные условия: i(0)=0; uc(0)=0.

Зависимое начальное условие:

Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

Окончательное решение для тока:

Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.

а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу.

Это имеет место при условии:

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции ep1t и ep2t убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность ep1t - ep2t ≥ 0. Из этого следует вывод, что искомая функция тока i(t) в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени tm своего максимального значения Imax. Найдем этот момент времени:

Графическая диаграмма функции i(t) для случая вещественных корней характеристического уравнения показана на рис. 70.2.

Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем: Tп=4/|pmin|.

Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристического уравнения получил название затухающего или апериодического.

б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.

Это имеет место при соотношении параметров:

коэфициэнт затухания:

угловая частота собственных колебаний:

Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:

Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения искомая функция i(t) изменяется во времени по гармоническому закону Imsinω0t с затухающей амплитудой Im(t)=A·e-bt. Графическая диаграмма функции показана на рис. 70.3.

Период колебаний T0=2π/ω0, продолжительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания: Tп=4/b.

Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения получил название колебательного или периодического.

В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

где коэффициенты A и ψ или B и C являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу.

Это имеет место при условии:

Полученное ранее решение для искомой функции i(t) в этом случае становится неопределенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая p2=p=const, а p1=var, которая стремится к p. Тогда получим:

Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является граничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухающего. Продолжительность переходного процесса Tп=4/p. При изменении только сопротивления резистора R=var=0…∞ затухающий характер переходного процесса соответствует области значений Rvar (Rkp < Rvar < ∞), колебательный характер - также области значений (0 < Rvar < Rkp), а критический характер – одной точке Rvar = Rкр. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

В случае равных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

где коэффициенты A1 и A2 являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

Критический режим переходного процесса характерен тем, что его продолжительность имеет минимальное значение. Указанное свойство находит применение в электротехнике.

Рассмотрим два случая переходных процессов в последовательной RLC-цепи:

последовательная RLC-цепь подключается к источнику постоянной Э.Д.С. Е;

Предварительно заряженный конденсатор разряжается на RLC цепь.

1) При подключении последовательной RLC-цепи кисточнику постоянной Э.Д.С. Е (рис. 6.3.а) уравнение электрического равновесия цепи по второму закону Кирхгофа имеет вид:

U L +U R +U C =E (6.10)

с учетом соотношений

U R = R i=R C (dU C /dt);

U L =L (di/dt)=L C (d 2 U C /dt 2)

уравнение (6.10) можно записать в виде:

L C (d 2 U C /dt 2) + R C (dU C /dt) + U C = E (6.11)

а	б	в
Рис. 6.3

Решение неоднородного дифференциального уравнения (6.11) опреде­ляется характеристическим уравнением: LCp 2 +RCp+1=0 ,

которое имеет корни

δ=R/2L - коэффициент затухания,

Резонансная частота.

В зависимости от соотношения δ 2 и ω 2 возможны три основных вида переходных процессов:

а) δ 2 > ω 2 или Корни характеристического уравнения – отрицательные вещественные. Переходный процесс имеет апериодический характер (рис. 6.3.б).

б) δ 2 < ω 2 или Корни характеристического уравнения – комплексные и сопряженные. Характер переходного процесса - колебательный и затухающий (рис. 6.3.в)

в) δ 2 = ω 2 или Корни характеристического уравнения вещественные и равные p 1 =p 2 =-R/2L. Характер переходного процесса - апериодический и затухающий (критический случай). Время переходного процесса минимальное.

Для первых двух случаев решение уравнения имеет вид:

(6.13)

V=U C (0) - напряжение на конденсаторе в момент коммутации.

Для случая δ 2 < ω 2 уравнение (6.13) приводится к виду:

, (6.14)

- частота затухающих колебаний.

Из уравнения (6.14) следует, что переходный процесс U c (t) имеет ха­рактер колебаний с угловой частотой ω и периодом Т=2π/ω , которые затухают с постоянной времени τ=2L/R=1/δ.

Для определения величины постоянной времени τ можно использовать огибающую колебательной кривой U c (t), имеющую форму экспоненты:

exp(-δt)=exp(-t/τ).

Для третьего случая δ=ω 0 решение уравнения (6.11) имеет вид:

. (6.15)

Особенность этого режима состоит в том, что при уменьшении R ниже значения переходной процесс становится колебательным.

2. При разряде конденсатора на RL-цепь (рис 6.4.а) возможны все три режима, рассмотренные выше и определяемые соотношением величин δ и ω 0 . Переходные процессы в этих режимах описываются уравнениями (6.13), (6.14), (6.15) при Е=0. Например, для случая δ<ω 0 уравнение (6.14) при колебательном разряде конденсатора имеет вид:

(6.16)

Кривая переходного процесса U c (t) приведена на (рис. 6. 4.б). Огибаю­щей кривой U c (t) является функция exp(-δt)=exp(-t/τ), которая может быть исполь­зована для определения постоянной времени τ и коэффициента затухания δ=1/τ.