Гипермаркет знаний >>Математика >>Математика 10 класс >> Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

§ 35. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы

1. Исследование функций на монотонность

На рис. 129 представлен график некоторой возрастающей дифференцируемой функции у = f(х). Проведем касательные к графику в точках х= х 1 и х- х 2 . Что общего у построенных прямых? Общее то, что они составляют с осью х острый угол, а значит, у обеих прямых положительный угловой коэффициент. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом, А вточке x=x 3 касательная параллельна оси х, в этой точке выполняется равенство f"(Х 3) =0. Вообще в любой точке х из области определения возрастающей дифференцируемой функции выполняется неравенство

На рис. 130 представлен график некоторой убывающей дифференцируемой функции у = f(х). Проведем касательные к графику в точках х= х 1 и х= х 2 . У построенных прямых? Общее то, что обе они составляют с осью х тупой угол, а значит, у обеих прямых отрицательный угловой коэффициент. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом, А в точке х=х 3 касательная параллельна оси х, в этой точке выполняется равенство f"(х 3) =0. Вообще в любой точке х из области определения убывающей дифференцируемой функции выполняется неравенство
Эти рассуждения показывают, что между характером монотонности функции и знаком ее производной есть определенная связь:

если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна; если функция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна.
Для практики гораздо важнее то, что верны и обратные теоремы, показывающие, как по знаку производной можно установить характер монотонности функции на промежутке. При этом, во избежание недоразумений, берут только открытые промежутки, т.е. интервалы или открытые лучи. Дело в том, что для функции, определенной на отрезке [а, Ь], не очень корректно ставить вопрос о существовании и о значении производной в концевой точке (в точке х= а или в точке х= Ъ), поскольку в точке х = а приращение аргумента может быть только положительным, а в точке х = Ъ - только отрицательным. В определении производной такие ограничения не предусмотрены.

Доказательства этих теорем проводят обычно в курсе высшей математики. Мы ограничимся проведенными выше рассуждениями «на пальцах» и для вящей убедительности дадим еще физическое истолкование сформулированных теорем.

Пусть по прямой движется материальная точка, s =s(t) - закон движения. Если скорость все время положительна, то точка постоянно удаляется от начала отсчета, т.е. функция s = s(t) возрастает. Если же скорость все время отрицательна, то точка постоянно приближается к началу отсчета, т.е. функция s = s(t) убывает. Если скорость движения была положительна, затем в какой-то отдельный момент времени обратилась в нуль, а потом снова стала положительной, то движущееся тело в указанный момент времени как бы притормаживает, но все равно продолжает удаляться от начальной точки. Так что и в этом случае функция s = s(t) возрастает. А что такое скорость? Это производная пути по времени. Значит, от знака производной (скорости) зависит характер монотонности функции - в данном случае функции s = s(t). Об этом как раз и говорят обе сформулированные теоремы.

Пример 1. Доказать, что функция возрастает на всей числовой прямой.
Решение. Найдем производную заданной функции:

Очевидно, что при всех х выполняется неравенство . Значит, по теореме 1, функция возрастает на всей числовой прямой.

Пример 2. а) Доказать, что функция у = 5соз х + зт4х - 10х убывает на всей числовой прямой;
б) решить уравнение 5соз х + sin4х - 10х = х 3 + 5.

Решение , а) Найдем производную заданной функции:

Полученное выражение всегда отрицательно. В самом деле, для всех значений х выполняются неравенства:

Это неравенство выполняется при всех значениях х. Значит, по теореме 2, функция убывает на всей числовой прямой.

б) Рассмотрим уравнение 5соз х + sin4х - 10х = х 3 + 5. Как было установлено только что, у = 5соsх + sin4х-10х - убывающая функция. В то же время у = х 3 +5 - возрастающая функция. Имеет место следующее утверждение: если одна из функций у = f(х) или у = s(х) возрастает, а другая убывает и если уравнение f(х) = g(х) имеет корень, то только один (рис. 131 наглядно иллюстрирует это утверждение). Корень заданного уравнения подобрать нетрудно - это число х= 0 (при этом значении уравнение обращается в верное числовое равенство 5 = 5).
Итак, х = 0 - единственный корень заданного уравнения.

Пример 3. а) Исследовать на монотонность функцию у = 2х 3 + Зх 2 -1; б) построить график этой функции.

Решение , а) Исследовать функцию на монотонность - это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких убывает. Согласно теоремам 1 и 2 это связано со знаком производной.

Найдем производную данной функции: f"(х)=6х 2 +6х и далее f"(х)=6x(х + 1).

На рис. 132 схематически указаны знаки производной по промежуткам области определения: на луче (-оо,-1) производная положительна, на интервале (-1,0) - отрицательна, на луче (0,+ - положительна. Значит, на первом из указанных промежутков функция возрастает, на втором убывает, на третьем возрастает.

Обычно, если функция непрерывна не только на открытом промежутке, но и в его концевых точках, эти концевые точки включают в промежуток монотонности функции.

Таким образом, заданная функция возрастает на луче , возрастает на луче убывает на отрезке [-1,0].

б) Графики функций строят «по точкам». Для этого надо составить таблицу значений функции у= 2х3 +3х 2 -1, куда обязательно следует включить значения функции в концевых точках промежутков монотонности х = -1 и х = 0 и еще пару-тройку значений:

Отметим эти точки на координатной плоскости. Учтем найденные в п. а) промежутки возрастания и убывания функции, а также то, что в точках х = -1 и х = 0 производная функции равна нулю, т.е. касательная к графику функции в указанных точках параллельна оси абсцисс, более того, в точке (-1; 0) она даже совпадает с осью абсцисс. Учтем, наконец, то, что функция непрерывна, т.е. ее графиком является сплошная линия. График заданной в условии функции изображен на рис. 133.

Завершая рассуждения по исследованию функций на монотонность, обратим внимание на одно обстоятельство. Мы видели, что если на промежутке X выполняется неравенство f"(x) >0, то функция у-f(х) возрастает на промежутке X; если же на промежутке X выполняется неравенство f"(x) < 0, то функция убывает на этом промежутке. А что будет, если на всем промежутке выполняется тождество (х) =0 ? Видимо, функция не должна ни возрастать, ни убывать. Что же это за функция? Ответ очевиден - это постоянная функция у = С (буква С - первая буква слова соп81ап1а, что означает «постоянная»). Справедлива следующая теорема, формальное доказательство которой мы не приводим, ограничиваясь приведенными выше правдоподобными рассуждениями.

В дальнейшем эта теорема будет нами востребована, т.е. в ее пользе для математики мы сумеем убедиться. А сейчас приведем (для наиболее любознательных) пример использования теоремы 3 (из разряда математических развлечений). Мы приведем новый способ доказательства хорошо вам известного тождества sin 2 x + cos 2 x= 1.
Рассмотрим функцию у = f(х), где f(х) = sin 2 х+соs 2 х. Найдем ее производную:

Итак, для всех х выполняется равенство f"(х) =0, значит, f(х) = С. Чтобы найти значение С, достаточно вычислить значение функции в любой точке х, например, х = 0. Имеем: f(0) = sin 2 0+соs2 0=0 + 1 = 1.

Таким образом, С = 1, т. е. sin 2 х+соs 2 х = 1

2. Точки экстремума функции и их отыскание

Вернемсяк графику функции у=2 х 3 +3х 2 -1(рис. 133). На графике есть две уникальные точки, определяющие его структуру, - это точки (-1; 0) и (0; -1). В этих точках:

1) происходит изменение характера монотонности функции (слева от точки х = -1 функция возрастает, справа от нее, но только до точки х =0, функция убывает; слева от точки х =0 функция убывает, справа от нее возрастает);

2) касательная к графику функции параллельна оси х, т.е. производная функции в каждой из указанных точек равна нулю;

3) f(-1) - наибольшее значение функции, но не во всей области определения, а в локальном смысле, т.е. по сравнению со значениями функции из некоторой окрестности точки х = -1. Точно так же f(0) - наименьшее значение функции, но не во всей области определения, а в локальном смысле, т.е. по сравнению со значениями функции из некоторой окрестности точки х = 0.

А теперь взгляните на рис. 134, где изображен график другой функции. Не правда ли, он похож на предыдущий график? На нем те же две уникальные точки, но одна из указанных выше трех особенностей этих точек изменилась: теперь касательные к графику в этих точках не параллельны оси х. В точке х = -1 касательная вообще не существует, а в точке х = 0 она перпендикулярна оси х (точнее, она совпадает с осью у).

Дальнейший ход рассуждений вам уже известен: если появляется новая математическая модель или новая особенность математической модели, ее надо специально изучить, т.е. ввести новый термин, новые обозначения, сформулировать новые свойства.

Определение 1. Точку х =х 0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х =х 0) выполняется неравенство:
f(х)>f(х0).

Так, функции, графики которых изображены на рис. 133 и 134, имеют точку минимума х=0. Почему? Потому что у этой точки существует окрестность, например, или (-0,2, 0,2), для всех
точек которой, кроме точки х= 0, выполняется неравенство f(х) > f(О). Это верно для обеих функций.
Значение функции в точке минимума обычно обозначают . Не путайте это значение (наименьшее, но в локальном смысле) с т.е. с наименьшим значением функции во всей рассматриваемой области определения (в глобальном смысле). Посмотрите еще раз на рис. 133 и 134. Вы видите, что наименьшего значения нет ни у той, ни у другой функции, а существует.

Определение 2. Точку х = х 0 называют точкой максимума функции у=f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, кроме самой точки х = х 0 , выполняется неравенство:
f(х)

Так, функции, графики которых изображены на рис. 133 и 134, имеют точку максимума х= - 1. Почему? Потому что у этой точки
существует окрестность, например, , для всех точек которой, кроме х=-1, выполняется неравенство f(х) < f(-1). Это верно для обеих функций.
Значение функции в точке максимума обычно обозначают . Не путайте это значение (наибольшее, но в локальном смысле) с ., т.е. с наибольшим значением функции во всей рассматриваемой области определения (в глобальном смысле). Посмотрите еще раз на рис. 133 и 134. Вы видите, что наибольшего значения нет ни у той, ни у другой функции, а существует.

Точки минимума и максимума функции объединяют общим термином - точки экстремума (от латинского слова ехtremum - «крайний»).

Как искать точки экстремума функции? Ответ на этот вопрос мы сможем найти, еще раз проанализировав графические модели, представленные на рис. 133 и 134.

Обратите внимание: для функции, график которой изображен на рис. 133, в обеих точках экстремума производная обращается в нуль (касательные параллельны оси х). А для функции, график которой изображен на рис. 134, в обеих точках экстремума производная не существует. Это не случайно, поскольку, как доказано в курсе математического анализа, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Если функция у = f(х) имеет экстремум в точке х = х 0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Для удобства условимся внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называть стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная функции не существует, - критическими.

Пример 4. Построить график функции у = 2х 2 -6х + 3.

Решение. Вам известно, что графиком заданной квадратичной функции является парабола, причем ветви параболы направлены вверх, поскольку коэффициент при хг положителен. Но в таком случае вершина параболы является точкой минимума функции, касательная к параболе в ее вершине параллельна оси х, значит, в вершине параболы должно выполняться условие у"=0. Имеем: у"=(2х 2 -6х + 3)"=4х-6.

Приравняв производную нулю, получим: 4х-6=0; х = 1,5.

Подставив найденное значение х в уравнение параболы, получим:

у = 21,52 - 6-1,5 + 3 = -1,5. Итак, вершиной вдраболы служитточка(1,5; -1,5), а осью параболы - прямая х=1,5 (рис. 135). В качестве контрольных точек удобно взять точку (0; 3) и симметричную ей относительно оси параболы точку (3; 3). На рис. 136 по найденным трем точкам построена парабола - график заданной квадратичной функции.

Помните ли вы, как мы строили график квадратичной функции у=ах 2 +Ьх+с в 8-9-м классах? Практически так же, лишь ось параболы находили не с помощью производной, а по формуле которую приходилось запоминать. Решение, показанное в примере 4, освобождает вас от необходимости помнить эту формулу. Чтобы найти абсциссу вершины параболы у=ах 2 +Ъх+с или уравнение ее оси симметрии, достаточно приравнять нулю производную квадратичной функции.

А теперь вернемся к теореме 4, которая говорит, что если в точке х = х 0 функция у = f(х) имеет экстремум, то х = х 0 - стационарная или критическая точка функции. Возникает естественный вопрос: верна ли обратная теорема, т.е. верно ли, что если х = х 0 - стационарная или критическая точка, то в этой точке функция имеет экстремум? Отвечаем: нет, неверно. Посмотрите на рис. 137, где изображен график возрастающей функции, не имеющей точек экстремума. У этой функции есть стационарная точка х = х 1 ,в которой производная обращается в нуль (в этой точке график функции имеет касательную, параллельную оси х), но это не точка экстремума, а точка перегиба, и есть критическая точка х =х 2 , в которой производная не существует, но это также не точка экстремума, а точка излома графика. Поэтому скажем так: теорема 4 дает только необходимое условие экстремума (справедлива прямая теорема), но оно не является достаточным условием (обратная теорема не выполняется).

A кaк же быть с достаточным условием? Как узнать, есть ли в стационарной или в критической точке экстремум? Для ответа на этот вопрос снова рассмотрим графики функций, представленные на рис. 133, 134, 136 и 137.
Замечаем, что при переходе через точку максимума (речь идет о точке х = -1 на рис. 133 и 134) изменяется характер монотонности функции: слева от точки максимума функция возрастает, справа убывает. Соответственно изменяются знаки производной: слева от точки максимума производная положительна, справа отрицательна.
Замечаем, что при переходе через точку минимума (речь идет о точке х=0 на рис. 133 и 134 и о точке х = 1,5 на рис. 136) также изменяется характер монотонности функции: слева от точки минимума функция убывает, справа возрастает. Соответственно изменяются знаки производной: слева от точки минимума производной отрицательна, справа положительна.

Если же и слева, и справа от стационарной или критической точки производная имеет один и тот же знак, то в этой точке экстремума нет, именно так обстоит дело с функцией, график которой изображен на рис. 137.
Наши рассуждения могут служить подтверждением (но, конечно, не доказательством - строгие доказательства проводятся в курсе математического анализа) справедливости следующей теоремы.

Теорема 5 (достаточные условия экстремума). Пусть функция у=f(х) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x 0 .

а) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при х<х 0 выполняется неравенство f(x) < 0,а при x > x 0 - неравенство f"x)>0, то x =x 0 - точка минимума функции У=f(х);

б) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при x < x 0 выполняется неравенство f"(x) > О, а при x > x 0 - неравенство f(х) < О, то x = x 0 - точка максимума функции У=f(х);

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x 0 знаки производной одинаковы, то в точке x = x 0 экстремума нет.

Пример 5. а) Найти точки экстремума функции
у = 3х 4 -16х 3 + 24х2 -11; б) построить график этой функции.

Решение , а) Найдем производную данной функции:

Производная обращается в нуль в точках х = О и х = 2 - это две стационарные точки заданной функции. На рис. 138 схематически указаны знаки производной по промежуткам области определения: на промежутке производная отрицательна, на промежутке (0, 2) - положительна, на промежутке - положительна.
Значит, х = 0 - точка минимума функции, а х = 2 точкой экстремума не является. На первом из указанных выше промежутков функция убывает, на втором и третьем возрастает.

В точке минимума х = 0 имеем f(0) = -11 (подставили значение х = 0 в аналитическое задание функции), значит, = -11.

б) Чтобы построить график функции, нужно знать особо важные точки графика. К таковым относятся:
- найденная точка минимума (0; -11);

Стационарная точка х = 2; в этой точке

Точки пересечения с осями координат; в данном примере это уже найденная точка (0; -11) - точка пересечения графика с осью у. И еще: можно догадаться, что f(1)=0, значит, найдена точка пересечения графика с осью х - это точка (1; 0).

Итак, мы имеем точку минимума (0; -11), точку пересечения графика с осью х - точку (1; 0) и стационарную точку (2; 5). В этой точке касательная к графику функции горизонтальна, но это не точка экстремума, а точка перегиба.

График функции схематически изображен на рис. 139. Заметим, что есть еще одна точка пересечения графика с осью абсцисс, но найти ее нам не удалось.

Завершая этот пункт, заметим, что мы фактически выработали

Алгоритм иследования непрерывной функции " у = f(х)" на монотонность и экстремумы

1. Найти производную f"(х).
2. Найти стационарные и критические точки.
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
4. Опираясь на теоремы из § 35, сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума.
Заметим, что если заданная функция имеет вид то полюсы функции, т.е. точки, в которых знаменатель q(х) обращается в нуль, тоже отмечают на числовой прямой, причем делают это до определения знаков производной. Но, разумеется, полюсы не могут быть точками экстремума.
Пример 6. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
Решение. Заметим, что функция всюду непрерывна, кроме точки х = 0. Воспользуемся указанным выше алгоритмом.
1) Найдем производную заданной функции:

2) Производная обращается в нуль в точках х = 2 и х = -2 - это стационарные точки. Производная не существует в точке х = 0, но это не критическая точка, это точка разрыва функции (полюс).

3) Отметим точки -2, 0 и 2 на числовой прямой и расставим знаки производной на получившихся промежутках (рис. 140).

4) Делаем выводы: на луче(-°°, -2] функция убывает, на полуинтервале [-2, 0) функция возрастает, на полуинтервале (0, 2] функция убывает, на луче функция возрастает, на промежутке;

3) на промежутке [−4; 4];

4) на промежутке [−2; 1].

2.34. Издержки производства С (у. е.) зависят от объема выпускаемой продукции х (ед.): Найти наибольшие издержки производства, если х изменяется на промежутке . Найти значение х , при котором прибыль будет максимальной, если выручка от реализации единицы продукции равна 15 у. е.

2.35. Требуется выделить прямоугольную площадку земли в 512 м 2 , огородить ее и разделить забором на три равные части параллельно одной из сторон площадки. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на ограждение пошло наименьшее количество материала?

2.36. При заданном периметре прямоугольного окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света.

2.37. Найти максимум прибыли, если доход R и издержки C определяются формулами: где х − количество реализованного товара.

2.38. Зависимость объема выпуска продукции W от капитальных затрат К определяется функцией Найти интервал изменения К , на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.

2.39. Функция издержек имеет вид Доход от реализации единицы продукции равен 200. Найти оптимальное для производителя значение выпуска продукции.

2.40. Зависимость объема выпуска продукции (в денежных единицах) от капитальных затрат определяется функцией Найти интервал значений , на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.

2.41. Считается, что увеличение реализации от затрат на рекламу (млн руб.) определяется соотношением Доход от реализации единицы продукции равен 20 тыс. руб. Найти уровень рекламных затрат, при котором фирма получит максимальную прибыль.

2.42. Доход от производства продукции с использованием единиц ресурса составляет величину Стоимость единицы ресурса – 10 ден. ед. Какое количество ресурса следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?

2.43. Функция издержек имеет вид Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.

2.44. Зависимость дохода монополии от количества выпускаемой продукции определяется как Функция издержек на этом промежутке имеет вид Найти оптимальное для монополии значение выпуска продукции.

2.45. Цена на продукцию монополии-производителя устанавливается в соответствии с отношением, идентифицируемым как . При каком значении выпуска продукции доход от ее реализации будет наибольшим?

2.46. Функция издержек имеет следующий вид при при . В настоящий момент уровень выпуска продукции При каком условии на параметр p фирме выгодно уменьшить выпуск продукции, если доход от реализации единицы продукции равен 50?

2.47. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции:

2.48. Найти асимптоты графика функции:

Указание. Вертикальнаяасимптотаимеет уравнение х = а, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке х = а равен ∞.

Наклоннаяасимптота имеет уравнение

2.4.2. Общая схема исследования функции

и построения ее графика

1. Найти область определения функции и установить наличие вертикальных асимптот.

2. Исследовать функцию на четность/нечетность, периодичность.

3. Установить наличие наклонных (горизонтальных) асимптот.

4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

5. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика.

6. Найти точки пересечения графика с осями координат и дополнительные точки, уточняющие график.

2.49. Исследовать функцию и построить ее график:

Контрольные задания

Вариант 1.

Вариант 2.

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 3.

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Неопределенный интеграл

Определение. Функция F (x ) называется первообразной функции f (x ) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F′ (x ) = f (x ).

Определение. Неопределенным интегралом от функции f (x ) называется семейство ее первообразных:

где F(x) – некоторая первообразная для f (x );

C – произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла

Таблица интегралов

3. Частный случай:

Частный случай:

Частный случай

Примеры.

2.50. Найти интегралы:

7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) ; 14) .

2.51. Найти интегралы:

1) 2) 3) ; 4) ;

9) 10) 11) 12)

13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

2.5.1. Метод замены переменной

в неопределенном интеграле

где – дифференцируемая функция.

Примеры.

2.52. Найти интегралы методом замены переменной:

10) ; 11) 12) ;

13) 14) 15) ;

16) ; 17) ; 18)

Пример 2.4.

2.53. Найти интегралы от рациональных функций.

1) ; 2) ; 3) dx ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) 8) 9) dx ;

10) ; 11) ; 12)

Пример 2.5.

2.54. Найти интегралы от иррациональных функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

2.55. Найти интегралы от тригонометрических функций:

5) ; 6) ; 7) 8)

2.5.2. Метод интегрирования по частям

в неопределенном интеграле

Пусть u= u(x) , v= v(x) – дифференцируемые функции. Тогда справедливо равенство (формула интегрирования по частям ):

Примеры.

2.56. Найти интегралы, применяя интегрирование по частям:

9) 10) 11) 12)

2.57. Найти интегралы:

1) 2) 3) ; 4) ;

5) 6) ; 7) 8) dx ;

9) 10) ; 11) 12)

Определенный интеграл

Определение. Определенным интегралом от функции f (х ) называется предел интегральной суммы:

При этом функция f(х) называется подынтегральной функцией, а и b – нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.

Укажем свойства определенного интеграла , которые будут необходимы при решении задач:

Геометрический смысл определенного интеграла : площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f (х ), равна

2.6.1. Правила вычисления определенного интеграла

1. Формула Ньютона–Лейбница:

где F′ (x ) = f (x ).

2. Замена переменной:

где x = – функция, непрерывная вместе с на отрезке – функция, непрерывная на отрезке .

3. Интегрирование по частям:

где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на функции.

4. Если f(x) – нечетная функция, то

5. Если f(x) – четная функция, то

Примеры.

2.58. Вычислить интегралы:

1) 2) 3) ; 4)

5) ; 6) 7) ; 8)

9) 10) 11) ; 12)

13) 14) 15) 16)

2.6.2. Геометрические приложения

определенного интеграла

Пример 2.6.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 , х = у 2 .

Графики функций пересекаются в точках (0; 0), (1; 1) (рис. 2.3 ).

Y

X

у = х 2

у = √х

Рис. 2.3. Площадь фигуры

2.59. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

2.60. Найти объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу плоской фигуры, ограниченной линиями:

Указание. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг осей координат Ох и Оу, соответственно равен:

2.61. Найти длину дуги кривой:

1) от х = 0 до х = 1; 2) от х = 0 до х = 1;

3) от точки О(0; 0) до точки А (4; 8).

Указание. Длина дуги кривой при равна

Похожая информация.

Формирование понятия производной в средней школе.

Введению понятия производной функции предшествует рассмотрение 2-х задач: 1)физической – задача о мгновенной скорости движения; 2)геометрической – о касательной к линии. Т.е. понятие производной функции должно формироваться на основе задач, приводящих к этому понятию. Заметим, что чем задачи разнороднее, тем лучше, так как именно разнородность приложения подчеркивается общность понятия производной. Отметим также, что рассмотрение задачи о мгновенной скорости позволяет выяснить механический смысл производной, а задачи о касательной к линии – ее геометрический смысл.

Внимание учащихся обращается на то, что решение каждой рассмотренной выше конкретной задачи по существу сводится к следующему.

А) Рассматривается функция f(x), определенная на некотором интервале (a,b). Берется некоторая точка х – фиксированная точка интервала (a,b) и точка х+- произвольная точка интервала (a,b) (
- приращение аргумента, которое может быть как положительным, так и отрицательным), т.е. а

Б) Рассматривается приращение функции, соответствующее приращению аргумента
:
=f(x+
) –f(x), и затем отношение приращения функции
к вызвавшему его приращению аргумента
:

Данное отношение есть функция переменной
, определенная для всех значений
из интервала (a-x,b-x), кроме
=0.

В) Ищется придел функции F(
) при
→0, и, если он существует, то его называют производной функцииf(x) в данной точке х.

Таким образом, естественно возникает следующее определение: производной функции f(x) в точке х называется придел отношения приращения данной функции в точке х к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует.

Применение производной для исследования функции на монотонность и экстремумы

1. Исследование функций на монотонность

Н

рис 1

Рисунок 2

а рис.1 представлен график некоторой возрастающей дифференцируемой функции

х =х 1 их = х 2 . Что общего у построенных прямых? Общее то, что обе они со­ставляют с осьюх острый угол, а значит, у обеих прямых положитель­ный угловой коэффициент. Но угло­вой коэффициент касательной ра­вен значению производной в абсцис­се точки касания. Таким образом,
и
. А в точкех = касательная параллельна осих, в этой точке выполняется равен­ство
. Вообще в любой точ­кех из области определениявозрастающей дифференцируемой функции выполняется неравенство
.

На рис.2 представлен график некоторой убывающей дифференци­руемой функции
. Проведем касательные к графику в точкахх =х 1 их = х 2 . Что общего у по­строенных прямых? Общее то, что обе они составляют с осьюх тупой угол, а значит, у обеих прямых отрицательный угловой коэффи­циент. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом,
и
. А в точке х = касательная параллель­на осих , в этой точке выполняется равенство
. Вообще в любой точкех из области определенияубывающей дифферен­цируемой функции выполняется неравенство
.

Эти рассуждения показывают, что между характером моно­тонности функции и знаком ее производной есть определенная связь: если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна; если функ­ция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна.

Для практики гораздо важнее то, что верны и обратные те­оремы, показывающие, как по знаку производной можно уста­новить характер монотонности функции на промежутке. При этом, во избежание недоразумений, берут только открытые про­межутки, т. е. интервалы или открытые лучи. Дело в том, что для функции, определенной на отрезке
, не очень коррект­но ставить вопрос о существовании и о значении производной в концевой точке (в точкех = а или в точкех = b ), поскольку в точкех =а приращение аргумента может быть только положи­тельным, а в точкех =b - только отрицательным. В определе­нии производной такие ограничения не предусмотрены.

Теорема 1. Х выполняется неравенство
(причем равенство

возрастает на промежутке X.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство
(причем равенство
выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция
убывает на промежутке X.

Доказательства этих теорем проводят обычно в курсе высшей математики. Мы ограничимся проведенными выше рассуждени­ями «на пальцах» и для вящей убедительности дадим еще физи­ческое истолкование сформулированных теорем.

Пусть по прямой движется материальная точка,
- закон движения. Если скорость все время положительна, то точка постоянно удаляется от начала отсчета, т. е. функция
возрастает. Еслиже скорость все время отрицательна,то точкапостоянно приближается к началу отсчета, т. е. функция
убывает. Если скорость движения была положительна, затем в какой-то отдельный момент времени обратилась в нуль, а потом снова стала положительной, то движущееся тело в указанный момент времени как бы притормаживает, а потом продолжает удаляться от начальной точки. Так что и в этом случае функция
возрастает. А что такое скорость? Это производная пути по времени. Значит, от знака производной (скорости) зависит характер монотонности функции - в данном случае функции
. Об этом как раз и говорят обе сформулированные теоремы.

Завершая рассуждения об исследовании функций на монотонность, обратим внима­ние на одно обстоятельство. Мы видели, что если на промежутке Х выполняется не­равенство
, то функция
возрастает на промежуткеX ; если же на промежуткеХ выполняется неравенство
, то функция убывает на этом про­межутке. А что будет, если на всем промежутке выполняется тождество
? Видимо, функция не должна ни возрастать, ни убывать. Что же это за функция? Ответ очевиден - это по­стоянная функция
(букваС - первая буква словаconstanta , что означает «постоянная»). Справедлива следующая теорема, формальное доказательство которой мы не приводим, ограничи­ваясь приведенными выше правдоподобными рассуждениями.

Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется равенство
, то функция
постоянна на промежутке X.

В повседневной жизни часто приходится наблюдать множество процессов и явлений, при изучении которых нужно рассматривать самые разнообразные величины. Эти величины могут по-разному зависеть друг от друга. Закон, по которому одна величина зависит от другой, мы назвали функцией. Это одно из основных математических и общенаучных понятий, имеющее практическое применение во многих областях знаний и человеческой деятельности. Поэтому так важно уметь исследовать функции.

В данном видео уроке познакомимся с правилами исследования известных нам функций на монотонность.

Разглядывая графики, мы уже многое можем сказать об их функциях. Например, указать возрастает функция или убывает, как об этом говориться в видео уроке. Однако понятия возрастания и убывания функций в математике имеют свои точные определения, которые и приведены в предложенном нашему вниманию видеоматериале.

Так, чтобы судить о возрастании или убывании функции, зададим некоторый промежуток, на котором будем исследовать функцию. В видео уроке это промежуток Х. Выберем любые два числа, принадлежащие промежутку Х. Пусть это будут числа х 1 и х 2 . Эти два числа являются двумя значениями аргумента, которым соответствуют два значения какой-либо функции f(x 1) и f(x 2). Если получается, что при х 1 > х 2 выполняется неравенство f(x 1) > f(x 2), то наша функция возрастает на промежутке Х.

Другими словами, можно сказать, что функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Аналогично в видео уроке рассматривается понятие убывающей функции.

Далее в видеоматериале подробно проводится исследование линейной функции y = kx + m. Как известно, эта функция определена на всем множестве действительных чисел, то есть на всей числовой прямой. Даже если не проводить математических доказательств, а просто судить по графику этой функции, видно, что она ведет себя одинаково на всей области определения. Функция либо возрастает (график все время идет вверх), либо убывает (график все время идет вниз). В таких случаях можно не указывать промежуток, а просто сказать, что функция возрастающая или убывающая.

Возрастает или убывает функция y = kx + m, зависит от коэффициента k. Если коэффициент k положительный, то функция y = kx + m возрастает на всей области определения, то есть является возрастающей. Если коэффициент k отрицательный, то функция убывает. Доказательство возрастания или убывания функции y = kx + m основано на свойствах числовых неравенств и рассматривается в видео уроке.

Обычно, если функция только возрастает или только убывает на данном числовом промежутке, то ее называют монотонной на этом промежутке. Функция y = kx + m монотонна на всей своей области определения.

Следующая функция, которая рассматривается в видео уроке квадратичная y = kx 2 . Как и в первом случае, областью ее определения являются все действительные числа x. По графику мы видим, что функция ведет себя неодинаково. К тому же коэффициент k может быть, как положительным, так и отрицательным. Пусть коэффициент k больше нуля. Тогда если аргумент принадлежит промежутку (-∞; 0], то функция убывает. А вот на числовом промежутке }