दो विमानों के लिए, पारस्परिक व्यवस्था के निम्नलिखित रूप संभव हैं: वे समानांतर हैं या एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं।

स्टीरियोमेट्री से यह ज्ञात होता है कि दो विमान समानांतर होते हैं यदि एक विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाएं क्रमशः दूसरे विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर हों। इस स्थिति को कहा जाता है समानांतर विमानों का संकेत.

यदि दो तल समानांतर हैं, तो वे समानांतर रेखाओं के साथ किसी तीसरे तल को काटते हैं। इसके आधार पर, समानांतर विमान आरऔर क्यूउनके निशान समानांतर सीधी रेखाएं हैं (चित्र 50)।

जब दो विमान आरऔर क्यूअक्ष के समानांतर एक्स, उनके क्षैतिज और ललाट निशान विमानों की एक मनमानी पारस्परिक व्यवस्था के साथ x अक्ष के समानांतर होंगे, अर्थात परस्पर समानांतर। नतीजतन, ऐसी परिस्थितियों में, निशान की समानता एक पर्याप्त संकेत है जो स्वयं विमानों की समानता को दर्शाती है। ऐसे विमानों की समानता के लिए, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि उनके प्रोफ़ाइल निशान भी समानांतर हैं। पीछड़ी क्यूडब्ल्यू विमान आरऔर क्यूआकृति में 51 समानांतर हैं, और आकृति 52 में वे समानांतर नहीं हैं, इस तथ्य के बावजूद कि पीवी || क्यूवी, और पीएच वाई || क्यूएच ।

मामले में जब विमान समानांतर होते हैं, तो एक विमान के क्षैतिज दूसरे के क्षैतिज के समानांतर होते हैं। इस मामले में, एक विमान के मोर्चे दूसरे के मोर्चे के समानांतर होने चाहिए, क्योंकि इन विमानों में एक ही नाम के समानांतर निशान होते हैं।

एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हुए दो तलों की रचना करने के लिए, उस रेखा का पता लगाना आवश्यक है जिस पर दोनों तल प्रतिच्छेद करते हैं। इस रेखा को बनाने के लिए, इससे संबंधित दो बिंदुओं का पता लगाना पर्याप्त है।

कभी-कभी, जब विमान को निशान द्वारा दिया जाता है, तो आरेख का उपयोग करके और अतिरिक्त निर्माण के बिना इन बिंदुओं को खोजना आसान होता है। यहां परिभाषित सीधी रेखा की दिशा ज्ञात होती है और इसकी रचना भूखंड पर एक बिंदु के उपयोग पर आधारित होती है।

समतल के समांतर सीधी रेखा

एक निश्चित तल के सापेक्ष एक सीधी रेखा की कई स्थितियाँ हो सकती हैं।

एक सीधी रेखा और एक समतल के समानांतरवाद के चिन्ह पर विचार करें। एक रेखा एक समतल के समानांतर होती है जब वह उस तल की किसी भी रेखा के समानांतर होती है। चित्र 53 सीधा अबविमान के समानांतर आर, क्योंकि यह रेखा के समानांतर है एम.एन., जो इस विमान में निहित है।

जब एक रेखा एक समतल के समानांतर होती है आर, इस तल में इसके किसी भी बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा खींचना संभव है। उदाहरण के लिए, चित्र 53 में रेखा अबविमान के समानांतर आर. यदि एक बिंदु के माध्यम से एमविमान से संबंधित आर, एक सीधी रेखा खींचना समुद्री मील दूर, समानांतर अब, तो यह विमान में लेट जाएगा आर. उसी आकृति में, रेखा सीडीविमान के समानांतर नहीं आरक्योंकि सीधी रेखा केएल, जो समानांतर है सीडीऔर बिंदु से गुजरता है सेवासतह पर आर, इस विमान में झूठ नहीं बोलता।

एक सीधी रेखा जो एक समतल को प्रतिच्छेद करती है

एक रेखा और एक तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, दो तलों के प्रतिच्छेदन की रेखाओं का निर्माण करना आवश्यक है। रेखा I और तल P पर विचार करें (चित्र 54)।

विमानों के चौराहे के बिंदु के निर्माण पर विचार करें।

किसी सीधी रेखा I के माध्यम से एक सहायक विमान बनाना आवश्यक है क्यू(प्रोजेक्टिव)। रेखा II को विमानों के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है आरऔर क्यू. बिंदु K, जिसका निर्माण करना आवश्यक है, रेखा I और II के चौराहे पर स्थित है। इस बिंदु पर रेखा I समतल को काटती है आर.

इस निर्माण में, समाधान का मुख्य बिंदु एक सहायक विमान बनाना है क्यूइस लाइन से गुजरते हुए। सहायक विमान को सामान्य स्थिति में खींचना संभव है। हालांकि, किसी दी गई सीधी रेखा का उपयोग करके आरेख पर एक प्रक्षेपित विमान को सामान्य स्थिति में खींचने की तुलना में आसान है। इस मामले में, किसी भी सीधी रेखा के माध्यम से एक प्रक्षेपित विमान खींचा जा सकता है। इसके आधार पर, सहायक विमान को प्रोजेक्टिंग के रूप में चुना जाता है।

1 से कम नहीं, इसलिए कम से कम 1 तत्व शून्य से अलग है। मान लीजिए 1 और 2 प्रतिच्छेद करते हैं, उनकी एक उभयनिष्ठ रेखा है, उनकी एक समान प्रणाली है, वे समानांतर नहीं हैं, और इसलिए वे संयुक्त हैं, जिसका अर्थ है। मान लीजिए 1 और 2 समानांतर हैं: , । यदि निर्देशांक प्रणाली कार्तीय है, तो सामान्य सदिश हैं। दो सदिशों के बीच के कोण की कोज्या:

दो तलों के लंबवत होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त:

20. अंतरिक्ष में सीधी रेखा स्थापित करने के विभिन्न तरीके। सीधी रेखा और समतल। अंतरिक्ष में 2 पंक्तियाँ। दो रेखाओं के बीच का कोण। टिप्पणी। अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को एक समीकरण द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। इसके लिए दो या दो से अधिक समीकरणों की प्रणाली की आवश्यकता होती है। अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरणों की रचना करने की पहली संभावना इस सीधी रेखा को समीकरणों द्वारा दिए गए दो गैर-समानांतर विमानों के प्रतिच्छेदन के रूप में प्रस्तुत करना है ए 1 एक्स+बी 1 वाई+सी 1 जेड+डी 1 = 0 और ए 2 एक्स+बी 2 वाई+सी 2 जेड+डी 2= 0, जहां गुणांक ए 1, बी 1, सी 1और ए 2, बी 2, सी 2समानुपाती न होना: ए 1 एक्स+बी 1 वाई+सी 1 जेड+डी 1=0; ए 2 एक्स+बी 2 वाई+सी 2 जेड+डी 2=0. हालांकि, कई समस्याओं को हल करते समय, एक सीधी रेखा के अन्य समीकरणों का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है जिसमें स्पष्ट रूप से इसकी कुछ ज्यामितीय विशेषताएं होती हैं। आइए हम एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरणों की रचना करें एम 0 (एक्स 0, वाई 0, जेड 0) वेक्टर के समानांतर ए = (एल, एम, एन)। परिभाषा।दी गई रेखा के समांतर कोई भी शून्येतर सदिश उसका कहलाता है गाइड वेक्टर.किसी भी बिंदु के लिए एम (एक्स, वाई, जेड) दी गई रेखा पर स्थित है, सदिश एम 0 एम = {एक्स - एक्स 0, वाई - वाई 0, जेड - जेड 0) दिशा वेक्टर के साथ संरेख है ए . इसलिए, निम्नलिखित समानताएं रखती हैं:

बुलाया विहित समीकरणअंतरिक्ष में सीधी रेखा। विशेष रूप से, यदि दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है: एम 1 (एक्स 1, वाई 1, जेड 1) और एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2), ऐसी सीधी रेखा के दिशा सदिश को सदिश माना जा सकता है एम 1 एम 2 = {एक्स 2 - एक्स 1, वाई 2 - वाई 1, जेड 2 - जेड 1), और समीकरण (8.11) रूप लेते हैं:

- दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण. यदि हम समीकरणों में समान भिन्नों में से प्रत्येक को कुछ पैरामीटर के रूप में लेते हैं टी, आप तथाकथित प्राप्त कर सकते हैं सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण:

समीकरणों से एक सीधी रेखा के विहित या पैरामीट्रिक समीकरणों में जाने के लिए, इस सीधी रेखा के दिशा वेक्टर और इससे संबंधित किसी भी बिंदु के निर्देशांक खोजने की आवश्यकता होती है। सीधी रेखा का निर्देशन सदिश दोनों तलों के अभिलंबों के लंबकोणीय है, इसलिए, यह उनके सदिश गुणनफल के समरेखीय है। इसलिए, दिशा वेक्टर के रूप में, आप चुन सकते हैं [ एन 1 एन 2 ] या आनुपातिक निर्देशांक वाला कोई सदिश। किसी दी गई रेखा पर स्थित एक बिंदु को खोजने के लिए, आप इसके निर्देशांक में से एक को मनमाने ढंग से सेट कर सकते हैं, और अन्य दो को समीकरणों से ढूंढ सकते हैं, उन्हें चुनकर ताकि उनके गुणांक से निर्धारक शून्य के बराबर न हो।

रेखाओं के बीच का कोण। एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण।अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है। इसलिए, यदि फॉर्म के विहित समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी गई हैं

और उनके बीच के कोण की कोज्या सूत्र द्वारा ज्ञात की जा सकती है:

समानांतरता और रेखाओं की लंबवतता की शर्तें भी उनके दिशा वैक्टर के लिए संबंधित शर्तों को कम करती हैं:

- समानांतर रेखाओं की स्थिति,

- लंबवत स्थिति. कोण φ विहित समीकरणों द्वारा दी गई रेखा के बीच

और सामान्य समीकरण द्वारा परिभाषित विमान कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी= 0 को रेखा के दिशा सदिश और तल के अभिलंब के बीच के कोण का पूरक माना जा सकता है। फिर

एक सीधी रेखा और एक समतल के समानांतर होने की स्थितिवैक्टर की लंबवतता की स्थिति है एन और ए : अल + बीएम + सीएन= 0, और एक रेखा और एक तल के लंबवत होने की स्थिति- इन वैक्टरों की समानांतरता की स्थिति: ए/एल = बी/एम = सी/एन।

21. एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण। गुण।एक रेखा कहलाती है, जिसे कुछ कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली में विहित समीकरण x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 द्वारा निर्धारित किया जाता है, बशर्ते a≥b>0. यह समीकरण से इस प्रकार है कि अंडाकार │x│≤ a और │у│≤ b के सभी बिंदुओं के लिए। तो दीर्घवृत्त 2a और 2b भुजाओं वाले एक आयत में स्थित है। विहित समन्वय प्रणाली के अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु, जिसमें निर्देशांक (a, 0), (-a, 0), (0, b) और (0, -b) होते हैं, दीर्घवृत्त के शीर्ष कहलाते हैं . संख्या a और b को क्रमशः वृहत और लघु अर्धअक्ष कहा जाता है। सी1. विहित समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियाँ दीर्घवृत्त की समरूपता की कुल्हाड़ियाँ हैं, और विहित प्रणाली की शुरुआत इसकी समरूपता का केंद्र है। केंद्र में केंद्रित त्रिज्या के एक चक्र के साथ तुलना करके दीर्घवृत्त की उपस्थिति को सबसे आसानी से वर्णित किया जाता है दीर्घवृत्त का: x 2 + y 2 = a 2. प्रत्येक x के लिए ऐसा है कि I x I< а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окруж­ности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эл­липсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коор­динат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее рас­стояния до фокуса к расстоянию до соответствующей ди­ректрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между от­резками, соединяющими эту точку с фокусами

22. अतिपरवलय का विहित समीकरण। गुण।हम एक अतिपरवलय को एक रेखा कहते हैं, जिसे कुछ कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली में विहित समीकरण x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह समीकरण दर्शाता है कि अतिपरवलय │x│≥a के सभी बिंदुओं के लिए, अर्थात। अतिपरवलय के सभी बिंदु चौड़ाई 2a की एक ऊर्ध्वाधर पट्टी के बाहर स्थित होते हैं। विहित समन्वय प्रणाली का भुज अक्ष अतिपरवलय को निर्देशांक (a, 0) और (-a, 0) वाले बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, जिन्हें अतिपरवलय का शीर्ष कहा जाता है। y-अक्ष अतिपरवलय को प्रतिच्छेद नहीं करता है। इस प्रकार, एक अतिपरवलय में दो असंबंधित भाग होते हैं। इसकी शाखाएँ कहलाती हैं। संख्या a और b क्रमशः अतिपरवलय के वास्तविक और काल्पनिक अर्धअक्ष कहलाते हैं। C1। हाइपरबोला के लिए, विहित समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियाँ समरूपता की कुल्हाड़ियाँ हैं, और विहित प्रणाली की उत्पत्ति समरूपता का केंद्र है। हाइपरबोला के आकार का अध्ययन करने के लिए, हम इसके चौराहे को मूल से गुजरने वाली एक मनमानी रेखा के साथ पाते हैं . हम सीधी रेखा के समीकरण को y \u003d kx के रूप में लेते हैं, क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि सीधी रेखा x \u003d 0 अतिपरवलय को प्रतिच्छेद नहीं करती है। चौराहे के बिंदुओं के एब्सिसास समीकरण x 2 / a 2 - k 2 x 2 / b 2 \u003d 1 से पाए जाते हैं। इसलिए, यदि b 2 - a 2 k 2 > 0, तो x \u003d ± ab / b 2 - ए 2 के 2. यह आपको चौराहे के बिंदुओं (ab / u, abk / u) और (-ab / u, -abk / u) के निर्देशांक निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है, जहाँ u \u003d (b 2 - a 2 से 2) 1/2 है संकेत दिया।

विहित समन्वय प्रणाली में समीकरण y = bx/a और y = -bx/a के साथ सीधी रेखाएं अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख कहलाती हैं। सी 2. अतिपरवलय के बिंदु से स्पर्शोन्मुख तक की दूरी का गुणनफल स्थिर है और a 2 b 2 /(a 2 + b 2) के बराबर है। सी3. यदि कोई बिंदु अतिपरवलय के अनुदिश इस प्रकार गति करता है कि उसका भुज निरपेक्ष मान में अनिश्चित काल के लिए बढ़ जाता है, तो बिंदु से एक स्पर्शोन्मुख की दूरी शून्य हो जाती है। हम c 2 \u003d a 2 + b 2 और c\u003e 0 सेट करके एक संख्या c का परिचय देते हैं। हाइपरबोला के फॉसी निर्देशांक (c, 0) और (-c, 0) के साथ बिंदु F 1 u F 2 हैं। विहित समन्वय प्रणाली। अनुपात ई \u003d सी / ए, जैसा कि एक दीर्घवृत्त के लिए है, सनकी कहा जाता है। अतिपरवलय में e > 1. C4 होता है। हाइपरबोला पर एक मनमाना बिंदु M (x, y) से प्रत्येक foci की दूरी इसके भुज x पर निम्नानुसार निर्भर करती है: r 1 =│F 1 M│=│a-ex│, r 2 =│F 2 M =│a +ex│. सी5. एक बिंदु M के लिए एक अतिपरवलय पर लेटने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसकी नाभियों से दूरियों का अंतर अतिपरवलय 2a के वास्तविक अक्ष के निरपेक्ष मान के बराबर हो। हाइपरबोला की डायरेक्ट्रीक्स समीकरण x=a/ , x=-a/ द्वारा विहित समन्वय प्रणाली में परिभाषित सीधी रेखाएं हैं। सी6. हाइपरबोला पर लेटने के लिए एक बिंदु के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसकी दूरी का फोकस से दूरी से संबंधित डायरेक्ट्रिक्स तक का अनुपात विलक्षणता के बराबर हो। बिंदु M 0 (x 0, y 0) पर स्थित हाइपरबोला के स्पर्शरेखा के समीकरण का रूप है: xx 0 /a 2 - yy 0 /b 2 = 1. C7। बिंदु M 0 (x 0, y 0) पर अतिपरवलय की स्पर्शरेखा इस बिंदु को नाभियों से जोड़ने वाले खंडों के बीच के कोण का समद्विभाजक है।

23. एक परवलय का विहित समीकरण। गुण।हम उस रेखा को कहते हैं, जिसे कुछ कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली में विहित समीकरण y 2 =2px द्वारा निर्धारित किया जाता है, बशर्ते कि p > 0। यह समीकरण से अनुसरण करता है कि परवलय के सभी बिंदुओं के लिए x≥0। परवलय विहित समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से होकर गुजरता है। इस बिंदु को परवलय का शीर्ष कहा जाता है। परवलय का फोकस विहित समन्वय प्रणाली में निर्देशांक (p/2, 0) के साथ बिंदु F है। एक परवलय की नियता विहित समन्वय प्रणाली में समीकरण x=-p/2 के साथ एक सीधी रेखा है। सी1. परवलय पर स्थित बिंदु M (x, y) से फोकस की दूरी r=x+p/2 है। सी 2. बिंदु M के लिए एक परवलय पर स्थित होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि यह फ़ोकस से और इस परवलय से समान रूप से दूर हो। परवलय को एक विलक्षणता e = 1 सौंपा गया है। इस सम्मेलन के आधार पर, सूत्र r / d \u003d e दीर्घवृत्त के लिए, और अतिपरवलय के लिए, और परवलय के लिए सत्य है। आइए परवलय की स्पर्शरेखा का समीकरण उस पर स्थित बिंदु M 0 (x 0, y 0) पर व्युत्पन्न करें, जिसका रूप yy 0 = p(x + x 0) है। C3 बिंदु M o पर परवलय की स्पर्शरेखा उस खंड के बीच के कोण का समद्विभाजक है जो M o को फ़ोकस से जोड़ता है और किरण इस बिंदु से परवलय के अक्ष की दिशा में निकलती है।

24. बीजीय रेखाएँ।समतल पर बीजगणितीय रेखाएँ सेट करें, जिसका अर्थ है F(x,y)=0 रूप के कुछ बीजीय समीकरण और विमान पर सर्कल के कुछ एफ़िन समन्वय प्रणाली, फिर वे और केवल वे M(x,y) जिनके निर्देशांक संतुष्ट करते हैं समीकरण को दिए गए समीकरण पर झूठ माना जाता है। इसी तरह, अंतरिक्ष में एक सतह के लिए समीकरण निर्धारित किए जाते हैं। फॉर्म के बीजीय समीकरण सेट करें F (x, y, z) \u003d 0 (z) 3 चर के साथ और कुछ समन्वय प्रणाली OXYZ केवल वे और वे बिंदु F (x, y, z )=0(z) समतल के समीकरण हैं। इसके अलावा, हम मानते हैं कि दो समीकरण टी और टी की एक ही रेखा या सतह को परिभाषित करते हैं, जब इनमें से एक समीकरण दूसरे से किसी संख्यात्मक कारक लैम्ब्डा 0 से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

25. बीजीय सतह की अवधारणा।बिंदुओं के मनमाने सेट का अध्ययन एक पूरी तरह से विशाल कार्य है। परिभाषा। एक बीजगणितीय सतह बिंदुओं का एक समूह है, जिसे कुछ कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में फॉर्म + ... + = 0 के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है, जहां सभी घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। सबसे बड़ा योग (निश्चित रूप से, यहां हमारा मतलब वास्तव में समीकरण में शामिल सबसे बड़ा योग है, यानी यह माना जाता है कि समान शब्दों को कम करने के बाद गैर-शून्य गुणांक वाला कम से कम एक शब्द है जिसमें घातांक का ऐसा योग होता है।) + +,…।, + + को समीकरण की डिग्री कहा जाता है, साथ ही बीजगणितीय सतह का क्रम। इस परिभाषा का अर्थ है, विशेष रूप से, एक ऐसा गोला जिसका कार्टेशियन में समीकरण है आयताकार समन्वय प्रणाली का रूप है (+(+(=) एक दूसरे क्रम का बीजगणितीय सतह है। प्रमेय। किसी भी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में क्रम p की बीजगणितीय सतह को क्रम के +…+ =0 रूप के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है। पी।

26. दूसरे क्रम की बेलनाकार सतहें।मान लीजिए कि समतल P को दूसरे क्रम की कुछ सीधी रेखा और समानांतर रेखाओं का एक गुच्छा d इस प्रकार दिया जाता है कि किसी भी d के लिए जो P के समानांतर नहीं है, तो बंडल की उन सीधी रेखाओं से संबंधित स्थान के सभी बिंदुओं का समुच्चय जो प्रतिच्छेद करता है रेखा γ को निर्देशन कहा जाता है, और को प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं को जनक कहा जाता है। आइए हम एफाइन कोऑर्डिनेट सिस्टम के संबंध में एक बेलनाकार सतह के समीकरण को प्राप्त करें। मान लीजिए कि कुछ K किसी समतल P में स्थित है, जिसका समीकरण F(x, y) = 0 है, जिसकी दिशा a(a 1 a 2 a 3) d, a के समानांतर है। बिंदु M(x,y,z) किसी जेनरेटर पर स्थित है, और N(x'y'o) इस जेनरेटर का समतल P के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है। वेक्टर MN ta के साथ संरेख होगा, इसलिए MN=ta , एक्स'=एक्स+ ए 1 टी; y'=y+a 2 t; 0=z+a 3 t इसलिए t= -z/a 3 , फिर x'=x- (a 1 z)/a 3 ; y'=y- (a 2 z)/a 3 F(x'y')=0 F(x- (a 1 z)/a 3 ; y- (a 2 z)/a 3 अब यह स्पष्ट है कि समीकरण F(x,y)=0 ओए अक्ष के समानांतर जनरेटर के साथ एक सिलेंडर का समीकरण है, और F(y,z)=0 जनरेटर के साथ ऑक्स अक्ष के समानांतर है। विशेष मामला: की लाइन दें लिंक a समानांतर हो (o,z), इसलिए a 1 = 0 a 2 \u003d 0 a 3 ≠0 F (x, y) \u003d 0, इसलिए, दूसरे क्रम की कितनी लाइनें, इतने सारे सिलेंडर सतह: 1. अण्डाकार सिलेंडर x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 2. अतिशयोक्तिपूर्ण सिलेंडर x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 3. परवलयिक सिलेंडर y 2 =2πx 4. प्रतिच्छेद करने वाले विमानों की जोड़ी x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0 5. समानांतर विमानों की जोड़ी x 2 /a 2 =1

27. दूसरे क्रम की विहित सतहें।एक सतह जिस पर एक बिंदु M o होता है, जिसमें यह गुण होता है कि, प्रत्येक बिंदु M o M के साथ, एक सीधी रेखा (M o M) होती है, ऐसी सतह को विहित या शंकु कहा जाता है। M o शंकु का शीर्ष है, और सीधी रेखाएँ इसके जनक हैं। एक फलन F(x,y,z)=0 सजातीय कहलाता है यदि F(tx,ty,tz)=φ(t) F(x,y,z), जहां (t) t का एक फलन है। प्रमेय। यदि F(x,y,z) एक समांगी फलन है, तो इस समीकरण द्वारा परिभाषित सतह मूल सतह के साथ विहित सतह है। डॉक्टर। मान लीजिए कि एक affine निर्देशांक प्रणाली दी गई है और केंद्र F(x,y,z)=0 के साथ एक विहित समीकरण दिया गया है। बिंदु O M(x,y,z)=0 पर एक शीर्ष के साथ एक समीकरण पर विचार करें, फिर F से किसी भी बिंदु OM का विहित सतह पर M 1 (tx,ty,tz) रूप होगा। M o M(x,y,z), चूंकि यह सतह को संतुष्ट करता है, तो F(tx,ty,tz)=0 एक सजातीय फलन है φ(t) F(x,y,z)=0, इसलिए सतह विहित है। दूसरे क्रम के वक्र विमानों की परिमित सतह में खंड हैं x 2 + y 2 -z 2 \u003d 0 / विमानों द्वारा विहित सतहों को काटते समय, हम अनुभाग में निम्नलिखित रेखाएँ प्राप्त करते हैं: a) एक बिंदु से गुजरने वाला विमान या मर्ज की गई रेखाओं की एक जोड़ी और प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी। बी) विमान शंकु के शीर्ष से नहीं गुजरता है, इसलिए हम खंड में एक दीर्घवृत्त, या एक अतिपरवलय, या एक परवलय प्राप्त करते हैं।

28. क्रांति की सतहें।मान लीजिए कि त्रिविमीय स्थान में एक कार्तीय फ्रेम दिया गया है। विमान П ओज़ से होकर गुजरता है, γ विमान ओज़ी में दिया गया है और कोण xOy=φ का रूप u=f(z) है। ऑक्सीज फ्रेम के संबंध में γ से एक बिंदु M लें। परिवृत्त वृत्त है M सभी बिंदुओं पर से M एक मानचित्रण कहलाता है। घूर्णन के अक्ष से गुजरने वाले समतल के घूर्णन पृष्ठ के भाग को मध्याह्न रेखा कहते हैं। परिक्रमण के अक्ष के लंबवत समतल के परिक्रमण की सतह के खंड को समानांतर कहा जाता है। क्रांति की सतह का समीकरण x 2 +y 2 \u003d f 2 (z) क्रांति की सतह का समीकरण है। 1) यदि कोण φ=0, तो γ xOz तल में स्थित है, x 2 +y 2 =f 2 (z) 2) xOy तल में स्थित है और इसका समीकरण y=g(x) है, तो y 2 +z 2 = g 2 (x) 3) समतल yOz में स्थित है और इसका समीकरण z=h(y) है, तो z 2 +x 2 =h 2 (y)

29. दीर्घवृत्त।वह सतह जो समरूपता के अपने अक्षों के बारे में एक दीर्घवृत्त को घुमाने के परिणामस्वरूप होती है। सदिश e 3 को पहले दीर्घवृत्त के लघु अक्ष के अनुदिश निर्देशित करके, और फिर दीर्घ अक्ष के अनुदिश, हम दीर्घवृत्त का समीकरण निम्नलिखित रूपों में प्राप्त करते हैं: . सूत्र के आधार पर, क्रांति की संगत सतहों का उर-वें = 1 (a>c) होगा। ऐसे स्तरों वाली सतहों को संपीडित (ए) और पीछे हटने वाले (बी) क्रांति के दीर्घवृत्त कहा जाता है।

हम प्रत्येक बिंदु M (x, y, z) को क्रांति के संकुचित दीर्घवृत्त पर समतल y=0 पर स्थानांतरित करते हैं ताकि बिंदु से इस तल की दूरी सभी बिंदुओं के लिए एक स्थिर अनुपात में घट जाए<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем , где b=λa. Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат имеет это ур-е, называется эллипсоидом (в). Если случайно окажется, что b=c, мы получим снова эллипсоид вращения, но уже вытянутый. Эллипсоид, так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения видно, чо начало канонической системы координат – центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости – его плоскости симметрии. Эллипсоид можно получить из сферы x 2 +y 2 +z 2 =a 2 сжатиями к плоскостям у=0 и z =0 в отношениях λ=b/a и μ=с/а.

30. हाइपरबोलाइड्स।क्रांति का एक शीट वाला अतिपरवलयजएक अक्ष के परितः अतिपरवलय के परिक्रमण की सतह है जो इसे प्रतिच्छेद नहीं करती है। सूत्र के अनुसार, हम इस सतह का समीकरण प्राप्त करते हैं (चित्र 48)। विमान y=0 पर क्रांति के एक-शीट वाले हाइपरबोलाइड के संकुचन के परिणामस्वरूप, हम ur-th के साथ एक-शीट वाले हाइपरबोलाइड प्राप्त करते हैं। सिंगल-शीटेड हाइपरबोलॉइड की एक दिलचस्प संपत्ति इसमें रेक्टिलिनियर जनरेटर की उपस्थिति है। तथाकथित सीधी रेखाएं, सतह पर स्थित सभी बिंदु। हाइपरबोलाइड के एक-क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से दो रेक्टिलिनियर जनरेटर होते हैं, जिनके समीकरण निम्नानुसार प्राप्त किए जा सकते हैं। समीकरण (8) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। समीकरणों के साथ एक सीधी रेखा पर विचार करें μ =λ , λ =μ (9), जहां और μ कुछ संख्याएं हैं (λ 2 +μ 2 ≠0)। सीधी रेखा के प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक उर-कुओं दोनों को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए उर-वें (8) भी, जो पद-दर-अवधि गुणन द्वारा प्राप्त किया जाता है। इसलिए, जो भी λ और μ हैं, eqs (9) वाली रेखा एक शीट वाले अतिपरवलयज पर स्थित होती है। इस प्रकार, सिस्टम (9) रेक्टिलिनियर जनरेटर के एक परिवार को परिभाषित करता है। यदि, अतिपरवलय के साथ, हम इसके स्पर्शोन्मुख को घुमाते हैं, तो वे एक समकोणीय शंकु का वर्णन करते हैं, जिसे क्रांति के अतिपरवलय का स्पर्शोन्मुख शंकु कहा जाता है। जब क्रांति के एक अतिपरवलयज को संकुचित किया जाता है, तो इसका स्पर्शोन्मुख शंकु एक सामान्य एक-पत्रक वाले अतिपरवलयज के स्पर्शोन्मुख शंकु में सिकुड़ जाता है।

दो शीट वाले हाइपरबोलाइड।क्रांति की दो शीट वाली अतिपरवलयज एक सतह है जो एक अतिपरवलय को उस अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त की जाती है जो इसे प्रतिच्छेद करती है। सूत्र के अनुसार, हम क्रांति के दो-शीट वाले हाइपरबोलाइड का ur-e प्राप्त करते हैं। इस सतह के समतल y = 0 पर संपीड़न के परिणामस्वरूप, ur-th (12) वाली सतह प्राप्त होती है। सतह, जिसमें कुछ कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में फॉर्म (12) का यूर-ई होता है, को दो-शीट वाले हाइपरबोलॉइड (चित्र 49) कहा जाता है। यहाँ अतिपरवलय की दो शाखाएँ सतह के दो असंबद्ध भागों ("गुहा") से मेल खाती हैं। दो-शीट वाले हाइपरबोलॉइड के स्पर्शोन्मुख शंकु को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे कि एक-शीट वाले के लिए।

31. Paraboloids।अण्डाकार पैराबोलॉइड।परवलय x 2 =2pz को समरूपता की अपनी धुरी के चारों ओर घुमाते हुए, हमें समीकरण x 2 +y 2 =2pz के साथ एक सतह मिलती है। इसे क्रांति का परवलयिक कहा जाता है। विमान के लिए संकुचन y=0 क्रांति के परवलयिक को एक सतह में बदल देता है, जिसका समीकरण 2z (14) के रूप में कम हो जाता है। एक सतह जिसमें कुछ कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में ऐसा समीकरण होता है, एक अंडाकार परवलयिक कहलाता है। हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड।समीकरण (14) के अनुरूप, हम eq लिख सकते हैं। एक सतह जिसमें कुछ कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में यह eq होता है उसे हाइपरबॉलिक पैराबोलॉइड कहा जाता है। हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड के विहित समीकरण z \u003d x 2 /a 2 - y 2 /b 2 से, यह निम्नानुसार है कि ऑक्सज़ और ओयज़ विमान समरूपता के विमान हैं। Oz अक्ष को अतिपरवलयिक परवलय का अक्ष कहा जाता है। z=h विमानों के साथ अतिपरवलयिक परवलय के प्रतिच्छेदन की रेखाएँ z=h दर्शाती हैं, h > 0 के लिए, अतिपरवलय x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 अर्ध-अक्षों के साथ a * = a√h , b * =b√h , और h के लिए<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гипер­болического параболоида. Как и в случае эллиптическо­го параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический па­раболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сече­нием параболоида плоскостью Оуz (Охz).

32. जटिल संख्याएँ। एक सम्मिश्र संख्या का बीजीय रूप।एक सम्मिश्र संख्या z = x + iy के रूप का व्यंजक है, जहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ हैं, i एक काल्पनिक इकाई है। संख्या x को संख्या z का वास्तविक भाग कहा जाता है और इसे Re(z) द्वारा दर्शाया जाता है, और संख्या y को संख्या z का काल्पनिक भाग कहा जाता है और इसे Im(z) द्वारा दर्शाया जाता है। संख्या z \u003d x + iy और z \u003d x - iy को संयुग्म कहा जाता है। दो सम्मिश्र संख्याएँ z 1 = x 1 + iy 1 और z 2 = x 2 + iy 2 समान कहलाती हैं यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों। विशेष रूप से, मैं 2 = -1। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर अंकगणितीय संक्रियाओं को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। 1. जोड़: z 1+ z 2 \u003d x 1 + x 2 + i (y 1 + y 2); 2. घटाव: z 1 -z 2 \u003d x 1 -x 2 +i (y 1 -y 2); 3. गुणन: z 1 z 2 \u003d (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1); डिवीजन: z 1 / z 2 \u003d ((x 1 x 2 + y 1 y 2) + i (x 2 y 1 - x 1 y 2)) / x 2 2 + y 2 2. के.च. का प्रतिनिधित्व करने के लिए ऑक्सी समन्वय तल के बिंदु हैं। एक समतल को सम्मिश्र कहा जाता है यदि प्रत्येक c.h. z \u003d x + iy, समतल z (x, y) का एक बिंदु पत्राचार में रखा गया है, और यह पत्राचार एक-से-एक है। ऑक्स और ओए अक्ष, जिस पर वास्तविक संख्याएं z=x+0i=x और विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या z=0+iy=iy स्थित हैं, क्रमशः वास्तविक और काल्पनिक अक्ष कहलाते हैं।

33. एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप। मोइवर सूत्र।अगर असली एक्सऔर काल्पनिक आपएक जटिल संख्या के भागों को मापांक के रूप में व्यक्त करें आर = | जेड| और तर्क j(x=r cosj,y=r sinj), फिर कोई सम्मिश्र संख्या जेड, शून्य के अलावा, में लिखा जा सकता है त्रिकोणमितीय रूप z=r(cosj+isinj). त्रिकोणमितीय रूप की विशेषताएं: 1) पहला कारक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, r³0; 2) एक ही तर्क के कोसाइन और साइन लिखे गए हैं; 3) काल्पनिक इकाई को sinj से गुणा किया जाता है। उपयोगी भी हो सकता है प्रदर्शनजटिल संख्याओं को लिखने का एक रूप, जो यूलर सूत्र के माध्यम से त्रिकोणमितीय एक से निकटता से संबंधित है: z=re i j । जहाँ e i j सम्मिश्र घातांक के मामले के लिए घातांक का विस्तार है। एक सूत्र जो आपको त्रिकोणमितीय रूप में एक जटिल संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाने की अनुमति देता है। डी मोइवर फॉर्मूलाइसका रूप है: z= n =r n (cosnj+isin nj), जहां आरमापांक है और j सम्मिश्र संख्या का तर्क है।

34. बहुपदों पर संक्रियाएँ। यूक्लिड का एल्गोरिथ्म। nवीं डिग्री के समीकरण का सामान्य दृश्य: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0 (1)। गुणांक का एक सेट निर्धारित किया जाता है। (ए 0, ए 1, ..., ए एन -1, ए एन) -मनमाना जटिल संख्या। (1) के बाईं ओर पर विचार करें: a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n -nth डिग्री के बहुपद। दो बहुपद f(x) और g(x) को समान या समान रूप से समान माना जाएगा यदि गुणांक समान घातों पर समान हों। किसी भी बहुपद को गुणांकों के समुच्चय द्वारा परिभाषित किया जाता है।

आइए बहुपदों पर योग और गुणन की संक्रियाओं को परिभाषित करें: f(x)=a 0 +a 1 x+…+a n x n ; g(x)=b 0 +b 1 x+…+b s x s n³s; f(x)+g(x)=c 0 +c 1 x+…+c n x n -1 +c n ; c i =a i +b i यदि i=0.1…n; मैं>एस बी मैं =0; f(x)*g(x)=d 0 +d 1 x+…+d n + s x n + s ; ; डी 0 = ए 0 बी 0; डी 1 \u003d ए 0 बी 1 + ए 0 बी 1; डी 2 \u003d ए 0 बी 2 + ए 1 बी 1 + ए 2 बी 0। बहुपदों के गुणनफल की डिग्री योग के बराबर होती है और संक्रियाओं में निम्नलिखित गुण होते हैं: 1)a k +b k =b k +a k; 2)(ए के + बी के) + सी के = एक के + (बी के + सी के); 3))। एक बहुपद f(x) को प्रतिलोम (x) कहा जाता है यदि f(x)* (x)=1. बहुपदों के समुच्चय में विभाजन संक्रिया संभव नहीं है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, एक बहुपद के लिए, शेष के साथ एक विभाजन एल्गोरिथ्म होता है। एफ (एक्स) और जी (एक्स)मौजूद आर (एक्स)और क्यू (एक्स)स्पष्ट रूप से परिभाषित। ; ; एफ (एक्स) = जी (एक्स);; . दाहिनी ओर की डिग्री £ डिग्री जी (एक्स), और यहाँ से लेफ्ट साइड की डिग्री यहाँ से - हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं। हम प्रमेय के पहले भाग को सिद्ध करते हैं: . गुणा जी (एक्स) एक बहुपद द्वारा जैसे कि अग्रणी गुणांक गुणा किया जाता है।

बाद में ककदम।

; ; कम डिग्री है क्यू (एक्स) बहुपद क्यू (एक्स) का भागफल है एफ (एक्स),ए आर (एक्स) -विभाग के शेष। यदि एक एफ (एक्स)और जी (एक्स)वास्तविक गुणांक हैं, तो क्यू (एक्स)और आर (एक्स)- भी मान्य हैं।

35. बहुपदों का भाजक। जीसीडी।मान लीजिए जटिल गुणांक वाले दो शून्येतर बहुपद f(x) और j(x) दिए गए हैं। यदि शेषफल शून्य है, तो f(x) को j(x) से विभाज्य कहा जाता है यदि j(x) f(x) का भाजक है। बहुपद के गुण j(x): 1) बहुपद j(x) f(x) का भाजक होगा यदि Y(x) मौजूद है और f(x)= j(x)* Y(x) (1)। j(x)-भाजक, Y(x)-भागफल। माना Y(x) संतुष्ट (1) है, तो पिछले प्रमेय से Y(x) एक भागफल है, और शेषफल 0 है। यदि (1) संतुष्ट है, तो j(x) एक भाजक है, इसलिए j(x)<= степени f(x). बहुपद की विभाज्यता के मुख्य गुण:एक) ; 2 f(x) और g(x) j(x) से विभाज्य हैं, तो वे j(x) से विभाज्य हैं; 3) अगर; 4)अगर f 1 (x)..f k (x):j(x)®f 1 g 1 +…+f k g k:j(x); 5) कोई भी बहुपद शून्य f(x)=a 0 x n +a 1 x n -1 +a n c घात वाले किसी बहुपद से विभाज्य होता है; 6) अगर f(x):j(x), तो f(x):cj(x); 7) बहुपद cf(x) और केवल वही बहुपद j(x) के भाजक होंगे जिनकी घात f(x) के समान है; 8)f(x):g(x) और g(x):f(x), फिर g(x)=cf(x); 9) f(x) और cf(x), c¹0 में से एक का कोई भी भाजक दूसरे के लिए भाजक होगा। परिभाषा:सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)। बहुपद j(x) को gcd f(x) और g(x) कहा जाएगा यदि यह उनमें से प्रत्येक को विभाजित करता है। शून्य घात बहुपद हमेशा gcd होते हैं और सहअभाज्य होते हैं। गैर-शून्य बहुपद f(x) और g(x) के gcd को d(x) कहा जाता है, जो yavl है। एक सामान्य भाजक और किसी भी अन्य भाजक और इन बहुपदों के सामान्य से विभाज्य है। जीसीडी एफ (एक्स) और जी (एक्स) = (एफ (एक्स): जी (एक्स))। जीसीडी खोजने के लिए एल्गोरिदम:माना डिग्री g(x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)

r k-2 (x)=r k-1 (x)q k (x)+r k (x)

आर के-1 (एक्स)=आर 2 (एक्स)+क्यू के (एक्स) आर के (एक्स)-जीसीडी। आइए इसे साबित करें। r k (x) r k -1 (x)® का भाजक है, वह r k -2 (x) का भाजक है... वह f(x) के g(x)® का भाजक है। g(x)g 1 (x) r से विभाज्य है k (x)® f(x)- g(x) g 1 (x) r से विभाज्य है k (x)® r 1 (x) r k (x) से विभाज्य है )® r 2 (x) r k (x)®… q k (x) से विभाज्य है: r k (x) r k (x) से विभाज्य है।

दो विमानों के लिए, पारस्परिक व्यवस्था के निम्नलिखित रूप संभव हैं: वे समानांतर हैं या एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं।

स्टीरियोमेट्री से यह ज्ञात होता है कि दो विमान समानांतर होते हैं यदि एक विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाएं क्रमशः दूसरे विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर हों। इस स्थिति को कहा जाता है समानांतर विमानों का संकेत.

यदि दो तल समानांतर हैं, तो वे समानांतर रेखाओं के साथ किसी तीसरे तल को काटते हैं। इसके आधार पर, समानांतर विमान आरऔर क्यूउनके निशान समानांतर सीधी रेखाएं हैं (चित्र 50)।

जब दो विमान आरऔर क्यूअक्ष के समानांतर एक्स, उनके क्षैतिज और ललाट निशान विमानों की एक मनमानी पारस्परिक व्यवस्था के साथ x अक्ष के समानांतर होंगे, अर्थात परस्पर समानांतर। नतीजतन, ऐसी परिस्थितियों में, निशान की समानता एक पर्याप्त संकेत है जो स्वयं विमानों की समानता को दर्शाती है। ऐसे विमानों की समानता के लिए, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि उनके प्रोफ़ाइल निशान भी समानांतर हैं। पीछड़ी क्यूडब्ल्यू विमान आरऔर क्यूआकृति में 51 समानांतर हैं, और आकृति 52 में वे समानांतर नहीं हैं, इस तथ्य के बावजूद कि पीवी || क्यूवी, और पीएच वाई || क्यूएच ।

मामले में जब विमान समानांतर होते हैं, तो एक विमान के क्षैतिज दूसरे के क्षैतिज के समानांतर होते हैं। इस मामले में, एक विमान के मोर्चे दूसरे के मोर्चे के समानांतर होने चाहिए, क्योंकि इन विमानों में एक ही नाम के समानांतर निशान होते हैं।

एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हुए दो तलों की रचना करने के लिए, उस रेखा का पता लगाना आवश्यक है जिस पर दोनों तल प्रतिच्छेद करते हैं। इस रेखा को बनाने के लिए, इससे संबंधित दो बिंदुओं का पता लगाना पर्याप्त है।

कभी-कभी, जब विमान को निशान द्वारा दिया जाता है, तो आरेख का उपयोग करके और अतिरिक्त निर्माण के बिना इन बिंदुओं को खोजना आसान होता है। यहां परिभाषित सीधी रेखा की दिशा ज्ञात होती है और इसकी रचना भूखंड पर एक बिंदु के उपयोग पर आधारित होती है।

काम का अंत -

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अनुमानों की अवधारणा
वर्णनात्मक ज्यामिति एक विज्ञान है जो ड्राइंग का सैद्धांतिक आधार है। इस विज्ञान में विभिन्न निकायों और उनके तत्वों को एक समतल पर चित्रित करने की विधियों का अध्ययन किया जाता है।

समानांतर प्रक्षेपण
समानांतर प्रक्षेपण एक प्रकार का प्रक्षेपण है जो समानांतर प्रक्षेपित किरणों का उपयोग करता है। समानांतर अनुमानों का निर्माण करते समय, आपको सेट करने की आवश्यकता होती है

दो प्रक्षेपण विमानों पर एक बिंदु का अनुमान
दो तलों पर बिंदुओं के प्रक्षेपणों पर विचार करें, जिसके लिए हम दो लंबवत तल (चित्र 4) लेते हैं, जिसे हम क्षैतिज ललाट और तल कहते हैं। फ्लैट डेटा चौराहे लाइन

प्रक्षेपण अक्ष गुम है
यह समझाने के लिए कि लंबवत प्रक्षेपण विमानों (चित्र 4) पर एक बिंदु के मॉडल अनुमानों को कैसे प्राप्त किया जाए, एक लम्बी आयत के रूप में मोटे कागज का एक टुकड़ा लेना आवश्यक है। इसके बीच झुकने की जरूरत है

तीन प्रक्षेपण विमानों पर एक बिंदु का अनुमान
अनुमानों के प्रोफाइल विमान पर विचार करें। दो लंबवत विमानों पर अनुमान आमतौर पर आकृति की स्थिति निर्धारित करते हैं और इसके वास्तविक आयामों और आकार का पता लगाना संभव बनाते हैं। लेकिन कई बार ऐसा भी होता है जब

बिंदु निर्देशांक
अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति को तीन संख्याओं का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जिन्हें इसके निर्देशांक कहा जाता है। प्रत्येक निर्देशांक किसी समतल pr . से एक बिंदु की दूरी से मेल खाता है

एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण
एक रेखा को परिभाषित करने के लिए दो बिंदुओं की आवश्यकता होती है। एक बिंदु को क्षैतिज और ललाट तलों पर दो अनुमानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, अर्थात क्षैतिज पर इसके दो बिंदुओं के अनुमानों का उपयोग करके एक सीधी रेखा को परिभाषित किया जाता है।

सीधे निशान
एक सीधी रेखा का निशान किसी समतल या सतह के साथ उसके प्रतिच्छेदन का बिंदु है (चित्र 20)। एक रेखा का क्षैतिज निशान एक बिंदु H . है

रेखा के विभिन्न पद
एक रेखा सामान्य स्थिति में एक रेखा कहलाती है यदि यह किसी प्रक्षेपण विमान के समानांतर या लंबवत नहीं है। सामान्य स्थिति में एक रेखा के प्रक्षेपण भी न तो समानांतर होते हैं और न ही लंबवत होते हैं।

दो सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था
अंतरिक्ष में रेखाओं की व्यवस्था के तीन मामले संभव हैं: 1) रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, अर्थात उनका एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है; 2) रेखाएँ समानांतर हैं, अर्थात उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, लेकिन एक ही तल में स्थित हैं

लम्बवत रेखायें
प्रमेय पर विचार करें: यदि समकोण का एक पक्ष प्रक्षेपण तल के समानांतर है (या उसमें स्थित है), तो समकोण इस तल पर बिना किसी विकृति के प्रक्षेपित होता है। हम इसके लिए एक प्रमाण प्रस्तुत करते हैं

विमान की स्थिति का निर्धारण
एक मनमाने ढंग से स्थित प्रक्षेपण विमान के लिए, इसके बिंदु तीनों प्रक्षेपण विमानों को भरते हैं। इसलिए, पूरे विमान के प्रक्षेपण के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है, आपको केवल अनुमानों पर विचार करने की आवश्यकता है

विमान के निशान
विमान पी का निशान किसी दिए गए विमान या सतह के साथ इसके चौराहे की रेखा है (चित्र 36)। क्षैतिज तल के साथ समतल P के प्रतिच्छेदन की रेखा कहलाती है

समतल आकृति और अग्रभाग
एक निश्चित तल में स्थित रेखाओं के बीच, दो वर्गों की रेखाओं को प्रतिष्ठित किया जा सकता है, जो विभिन्न समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। ये सीधी रेखाएं हैं, जिन्हें क्षैतिज कहा जाता है।

विमान के निशान का निर्माण
समतल P के चिह्नों की रचना पर विचार कीजिए, जो प्रतिच्छेदी रेखाओं I और II के एक युग्म द्वारा दिया गया है (चित्र 45)। यदि कोई रेखा तल P में है, तो उसके निशान उसी नाम के निशान पर होते हैं

विमान की विभिन्न स्थिति
सामान्य स्थिति में एक विमान एक ऐसा विमान है जो न तो समानांतर है और न ही किसी प्रक्षेपण विमान के लंबवत है। ऐसे समतल के निशान भी न तो समानांतर होते हैं और न ही लंबवत।

समतल के समांतर सीधी रेखा
एक निश्चित तल के सापेक्ष एक सीधी रेखा की कई स्थितियाँ हो सकती हैं। 1. रेखा किसी समतल में स्थित है। 2. एक रेखा किसी समतल के समांतर होती है। 3. प्रत्यक्ष हस्तांतरण

एक सीधी रेखा जो एक समतल को प्रतिच्छेद करती है
एक रेखा और एक तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, दो तलों के प्रतिच्छेदन की रेखाओं का निर्माण करना आवश्यक है। रेखा I और तल P पर विचार करें (चित्र 54)।

प्रिज्म और पिरामिड
एक सीधे प्रिज्म पर विचार करें जो एक क्षैतिज तल पर खड़ा है (चित्र 56)। उसका पक्ष अनाज

सिलेंडर और शंकु
एक बेलन एक आकृति है जिसकी सतह इस सीधी रेखा के साथ एक ही तल में स्थित i-अक्ष के चारों ओर सीधी रेखा m को घुमाकर प्राप्त की जाती है। मामले में जब लाइन एम

बॉल, टोरस और रिंग
जब घूर्णन की कुछ धुरी I एक वृत्त का व्यास है, तो एक गोलाकार सतह प्राप्त होती है (चित्र 66)।

रेखाचित्रों में प्रयुक्त होने वाली रेखाएँ
विभिन्न मोटाई की तीन मुख्य प्रकार की रेखाएँ (ठोस, धराशायी और डैश-बिंदीदार) ड्राइंग में उपयोग की जाती हैं (चित्र। 76)।

दृश्यों का स्थान (अनुमान)
ड्राइंग में, छह प्रकारों का उपयोग किया जाता है, जो चित्र 85 में दिखाए गए हैं। यह आंकड़ा "L" अक्षर के अनुमानों को दर्शाता है।

विचारों की व्यवस्था के लिए उपरोक्त नियमों से विचलन
कुछ मामलों में, अनुमानों के निर्माण के नियमों से विचलन की अनुमति है। इन मामलों में, निम्नलिखित को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: आंशिक विचार और अन्य विचारों के साथ प्रक्षेपण कनेक्शन के बिना स्थित विचार।

इस शरीर को परिभाषित करने वाले अनुमानों की संख्या
अंतरिक्ष, आकार और आकार में निकायों की स्थिति आमतौर पर उचित रूप से चयनित बिंदुओं की एक छोटी संख्या से निर्धारित होती है। यदि, किसी पिंड के प्रक्षेपण का चित्रण करते समय, ध्यान दें

प्रक्षेपण के तल के लंबवत अक्ष के बारे में एक बिंदु का घूर्णन
चित्र 91 रोटेशन I की धुरी को दर्शाता है, जो क्षैतिज तल के लंबवत है, और एक बिंदु A मनमाने ढंग से अंतरिक्ष में स्थित है। अक्ष I के बारे में घूमते समय, यह बिंदु वर्णन करता है

घूर्णन द्वारा किसी खंड की प्राकृतिक लंबाई का निर्धारण
किसी भी प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर एक खंड बिना विरूपण के उस पर प्रक्षेपित होता है। यदि आप खंड को घुमाते हैं ताकि यह प्रक्षेपण विमानों में से एक के समानांतर हो जाए, तो आप परिभाषित कर सकते हैं

खंड आकृति के अनुमानों का निर्माण दो तरह से किया जा सकता है
1. आप पॉलीहेड्रॉन के किनारों के मिलन बिंदुओं को काटने वाले विमान से पा सकते हैं, और फिर पाए गए बिंदुओं के अनुमानों को जोड़ सकते हैं। इसके परिणामस्वरूप, वांछित बहुभुज के अनुमान प्राप्त होंगे। इस मामले में,

पिरामिड
चित्र 98 ललाट प्रोजेक्शन प्लेन P के साथ पिरामिड सतह के प्रतिच्छेदन को दर्शाता है। चित्र 98b प्लेन के साथ रिब केएस के मिलन बिंदु के ललाट प्रक्षेपण को दर्शाता है।

तिरछा खंड
अनुमानित विमान द्वारा विचाराधीन शरीर के प्राकृतिक प्रकार के वर्गों के निर्माण के लिए ओब्लिक वर्गों को कार्यों की एक श्रृंखला के रूप में समझा जाता है। तिरछा खंड करने के लिए, खंडित करना आवश्यक है

ललाट तल द्वारा एक शंकु की सतह के एक भाग के रूप में अतिपरवलय
मान लीजिए कि समतल P द्वारा एक क्षैतिज तल पर खड़े शंकु की सतह के एक खंड का निर्माण करना आवश्यक है, जो तल V के समानांतर है। चित्र 103 ललाट को दर्शाता है।

सिलेंडर की सतह का खंड
एक समतल द्वारा लम्ब वृत्तीय बेलन की सतह के एक खंड के निम्नलिखित मामले हैं: 1) एक वृत्त, यदि छेदक तल P, बेलन की धुरी के लंबवत है, और यह आधारों के समानांतर है

शंकु की सतह का खंड
सामान्य स्थिति में, एक गोलाकार शंक्वाकार सतह में दो पूरी तरह से समान गुहाएं शामिल होती हैं जिनमें एक सामान्य शीर्ष होता है (चित्र। 107c)। एक गुहा के जनक की निरंतरता हैं

गेंद की सतह का खंड
एक समतल द्वारा गेंद की सतह का कोई भी भाग एक वृत्त होता है, जिसे बिना किसी विकृति के प्रक्षेपित किया जाता है, यदि काटने वाला विमान अनुमानों के तल के समानांतर हो। सामान्य मामले में, हम

तिरछा खंड
शरीर के सामने से प्रक्षेपित विमान द्वारा खंड के प्राकृतिक दृश्य का निर्माण करना आवश्यक है। चित्र 110a तीन बेलनाकार सतहों (1, 3 और 6) से घिरे एक पिंड पर विचार करता है, सतह

पिरामिड
कुछ ज्यामितीय निकाय की सतह पर एक सीधी रेखा के निशान खोजने के लिए, आपको एक सीधे सहायक विमान के माध्यम से आकर्षित करने की आवश्यकता है, फिर इस विमान द्वारा शरीर की सतह का खंड खोजें। वांछित होगा

बेलनाकार हेलिक्स
एक हेलिक्स का गठन। चित्र 113a पर विचार करें जहां बिंदु M एक निश्चित वृत्त के अनुदिश एकसमान रूप से गति करता है, जो समतल P द्वारा एक वृत्ताकार बेलन का एक भाग है। यहाँ यह तल है

क्रांति के दो शरीर
क्रांति के दो निकायों की सतहों के प्रतिच्छेदन की रेखा का निर्माण करते समय सहायक विमानों को खींचने की विधि का उपयोग किया जाता है। इस विधि का सार इस प्रकार है। एक सहायक विमान ले जाएँ

धारा
कुछ परिभाषाएँ और नियम हैं जो अनुभागों पर लागू होते हैं। एक खंड एक सपाट आकृति है जो किसी दिए गए शरीर के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त किया गया था

कटौती
परिभाषाएँ और नियम जो कटौती पर लागू होते हैं। कट किसी वस्तु की ऐसी सशर्त छवि होती है, जब उसका हिस्सा, प्रेक्षक की आंख और काटने वाले विमान के बीच स्थित होता है

आंशिक कट या आंसू
कट को पूर्ण कहा जाता है यदि चित्रित वस्तु को पूरी तरह से काट दिया जाता है, तो शेष कटौती को आंशिक या कट कहा जाता है। चित्र 120 में, बाएँ दृश्य में और योजना पर, पूर्ण खंड बनाए गए हैं। बाल शैली

अंतरिक्ष में विमानों की पारस्परिक व्यवस्था

अंतरिक्ष में दो विमानों की पारस्परिक व्यवस्था के साथ, दो परस्पर अनन्य मामलों में से एक संभव है।

1. दो तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। फिर, दो तलों के प्रतिच्छेदन के अभिगृहीत द्वारा, उनके पास एक उभयनिष्ठ रेखा होती है। अभिगृहीत R5 कहता है: यदि दो तलों का एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो इन तलों का प्रतिच्छेदन उनकी उभयनिष्ठ रेखा है। इस अभिगृहीत से यह निष्कर्ष निकलता है कि समतलों के लिए ऐसे तलों को प्रतिच्छेदी कहते हैं।

दोनों विमानों में एक सामान्य बिंदु नहीं है।

3. दो तल संपाती होते हैं

3. समतल और अंतरिक्ष में सदिश

एक वेक्टर एक निर्देशित रेखा खंड है। इसकी लंबाई को खंड की लंबाई माना जाता है। यदि दो बिंदु M1 (x1, y1, z1) और M2 (x2, y2, z2) दिए गए हैं, तो सदिश

यदि दो सदिश दिए गए हैं और तब

1. वैक्टर की लंबाई

2. वैक्टर का योग:

3. दो सदिशों a और b का योग इन सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज का विकर्ण होता है, जो उनके अनुप्रयोग के एक उभयनिष्ठ बिंदु (समांतर चतुर्भुज नियम) से आता है; या एक वेक्टर जो पहले वेक्टर की शुरुआत को आखिरी के अंत से जोड़ता है - त्रिभुज नियम के अनुसार। तीन सदिशों का योग a, b, c इन सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है (समांतर चतुर्भुज का नियम)।

विचार करना:

• 1. निर्देशांक का मूल बिंदु A पर है;
• 2. घन की भुजा एक खंड है।
• 3. हम OX अक्ष को AB किनारे पर, OY को AD किनारे पर और OZ अक्ष को AA1 किनारे पर निर्देशित करते हैं।

घन के निचले तल के लिए

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